Modul1 Teori Bunga,Anuitas, Obligasi Tujuan Pembelajaran dari matakuliah ini adalah : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa 1. Memahami arti konsep teori bunga secara umum 2. Memahami konsep nilai sekarang suatu aliran dana 3. Memahami konsep nilai sekarang untuk aplikasi dalam matematika 4. Memahami konsep Obligasi dan Yield 5. Memahami konsep formula harga Obligasi Sedangkan capain pembelajaran matakuliah ini adalah agar mahasiswa 1. Mampu mengaplikasikan teori bunga 2. Mampu menghitung nilai sekarang dari suatu aliran dana 3. Mampu mengaplikasikan kombinasi nilai sekarang dan anuitas 4. Mampu menurunkan formula obligasi 5. Mampu menghitung nilai yield 6. Mampu menghitung harga obligasi
Pada bab 1 ini akan dibahas tentang teori bunga secara singkat sebagai bahan dasar penyegaran dalam matakuliah ini, nilai sekarang atau present value, anuitas dan obligasi. Aplikasi Aplikasi teori bunga banyak digunakan dalam teori penentuan harga opsi dan pemodelan matematika keuangan lainnya, seperti obligasi.
1.1Bunga Majemuk 1.1.1 Bunga Nominal
Jenis bunga tunggal adalah bunga yang diberikan sekali dalam setahun, dan bunga tersebut tidak mendapat bunga lagi untuk perhitungan bunga periode berikutnya. Bunga tunggal sudah jarang sekali dipakai di dunia perbankan. Kebanyakan bank-bank sekarang menghitung
dan membayar bunga dengan
frekuensi bulanan, atau mingguan, bahkan harian. Selanjutnya bunga tersebut akan diakumulasikan ke dalam rekening kita, dan diperhitungkan mendapat bunga
1
periode berikutnya. Jadi bunga dibayarkan lebih sering atau beberapa kali dalam setahun. Suku bunga jenis ini disebut dengan suku bunga nominal. Simbol untuk suku bunga nominal yang dibayarkan m kali setahun adalah i(m) , dimana m adalah bilangan bulat positip >1. Dengan suku bunga nominal sebesar i(m)setahun, kita artikan deposito atau tabungan akan mendapat suku bunga sebesar i(m) /m yang dibayarkan m kali setahun, bukan i(m) . Sebagai contoh, suku bunga nominal 6% konversi 3 bulanan (m = 4) tidak berarti setiap 3 bulan diberi bunga 6%, akan tetapi bunga yang diberikan adalah 6/4=1,5% setiap 3 bulan. Demikian juga dengan suku bunga nominal 6% konversi 1 bulanan. Artinya bunga diberikan setiap bulan sebesar 6%/12 = 0,5%. Sekarang kita bangun formula matematika untuk bunga majemuk tersebut. Misalkan dipunyai bunga majemuk konversi 3 bulanan. Bunga majemuk 3 bulanan dengan suku bunga tahunan i, maksudnya adalah suku bunga i/4 diberikan setiap 3 bulan sekali. Uang yang ditabungkan selama 3 bulan dibank, akan bertambah 1+ i(4)/4 kali. Jika uang tersebut dibiarkan lagi selama 3 bulan berikutnya, maka uang tersebut akan bertambah menjadi (1+ i(4)/4)2. Setelah satu tahun uangnya akan bertambah menjadi (1+ i(4)/4)4 kali. Dapat dibuktikan bahwa untuk sebarang i > 0, nilai (1+ i(4)/4)4> (1+ i(4)). Ini berarti bahwa pada tingkat suku bunga yang sama, bunga majemuk 3 bulanan akan memberikan pertambahan yang lebih besar dibandingkan dengan bunga 1 tahunan Dari ilustrasi di atas, dapat dibuat generalisasi formula nilai akumulasi untuk bunga majemuk m kali setahun. Selama setahun uang kita akan bertambah (1+ i(m)/m)m kali.
Contoh 1.1Anda mempunyai rekening tabungan 1 juta rupiah di bank ABC. Bank
memberikan suku bunga nominal 10%. Hitunglah uang anda setelah 1 tahun jika dihitung dengan menggunakan bunga majemuk tahunan dan bunga majemuk konversi 3 bulanan.
2
periode berikutnya. Jadi bunga dibayarkan lebih sering atau beberapa kali dalam setahun. Suku bunga jenis ini disebut dengan suku bunga nominal. Simbol untuk suku bunga nominal yang dibayarkan m kali setahun adalah i(m) , dimana m adalah bilangan bulat positip >1. Dengan suku bunga nominal sebesar i(m)setahun, kita artikan deposito atau tabungan akan mendapat suku bunga sebesar i(m) /m yang dibayarkan m kali setahun, bukan i(m) . Sebagai contoh, suku bunga nominal 6% konversi 3 bulanan (m = 4) tidak berarti setiap 3 bulan diberi bunga 6%, akan tetapi bunga yang diberikan adalah 6/4=1,5% setiap 3 bulan. Demikian juga dengan suku bunga nominal 6% konversi 1 bulanan. Artinya bunga diberikan setiap bulan sebesar 6%/12 = 0,5%. Sekarang kita bangun formula matematika untuk bunga majemuk tersebut. Misalkan dipunyai bunga majemuk konversi 3 bulanan. Bunga majemuk 3 bulanan dengan suku bunga tahunan i, maksudnya adalah suku bunga i/4 diberikan setiap 3 bulan sekali. Uang yang ditabungkan selama 3 bulan dibank, akan bertambah 1+ i(4)/4 kali. Jika uang tersebut dibiarkan lagi selama 3 bulan berikutnya, maka uang tersebut akan bertambah menjadi (1+ i(4)/4)2. Setelah satu tahun uangnya akan bertambah menjadi (1+ i(4)/4)4 kali. Dapat dibuktikan bahwa untuk sebarang i > 0, nilai (1+ i(4)/4)4> (1+ i(4)). Ini berarti bahwa pada tingkat suku bunga yang sama, bunga majemuk 3 bulanan akan memberikan pertambahan yang lebih besar dibandingkan dengan bunga 1 tahunan Dari ilustrasi di atas, dapat dibuat generalisasi formula nilai akumulasi untuk bunga majemuk m kali setahun. Selama setahun uang kita akan bertambah (1+ i(m)/m)m kali.
Contoh 1.1Anda mempunyai rekening tabungan 1 juta rupiah di bank ABC. Bank
memberikan suku bunga nominal 10%. Hitunglah uang anda setelah 1 tahun jika dihitung dengan menggunakan bunga majemuk tahunan dan bunga majemuk konversi 3 bulanan.
2
Jawab. Dengan menggunakan formula suku bunga majemuk tahunan, uang anda
setelah satu tahun akan membesar menjadi 1.100.000 rupiah. Sedangkan jika dihitung dengan menggunakan bunga majemuk 3 bulanan adalah
. 1.000.0001 00 1 1.103.813
Dapat anda lihat bahwa suku bunga nominal 10% konversi tiga bulanan, memberikan suku bunga efektif 10,3813%, yang nilainya lebih besar dari suku bunga tahunan. tahun an. Cobalah anda hitung dengan bunga majemuk konversi 1 bulanan. Tentu saja akan memberikan suku bunga efektif tahunan yang lebih besar dari suku bunga konversi 3 bulanan.
Bagaimana formula atau rumus untuk bunga nominal dengan waktu investasi lebih dari 1 tahun? Formula untuk nilai akumulasi At pada suku bunga nominali(m) konversim/12 tahun selama t tahun secara umum adalah
A 1
,
dengan t menyatakan menyatakan tahun.
Contoh 1.2.Melanjutkan soal no di atas, nilai akumulasi deposito setelah 2 tahun.
× . A= 1.000.0001 1.218.403
1.1.2 Bunga Majemuk Kontinu
Selain pemberian bunga setiap bulan, minggu, atau setiap hari seperti yang dikatakan di atas, proses pemberian dan pemajemukan bunga dapat diberikan setiap jam, setiap menit, setiap detik dan seterusnya (setiap saat), atau dengan kata lain bunga diberikan terus menerus secara kontinu. Pemajemukan yang dilakukan secara
terus
menerus
ini
disebut
). Secara matematika, nilai compounding ). sebagai berikut :
pemajemukan
kontinu
(continuous
m→∞, dan diperoleh nilai pemajemukan
lim 1 1 → 3
Bukti :
l→im 1 lim 1 lim→ 1 → lim → 1 A Ae
Akan dibuktikan bahwa
Sehingga rumus untuk pemajemukan kontinu adalah
adalah bilangan natural yang nilainya
, dengan e
2.7183… dan A0 adalah nilai awal
rekening. Sebagai contoh, anggaplah kita punya uang sebesar Rp.1 juta, i = 10% dan n=5 tahun. Pada berbagai periode pemajemukan per tahun, kita mendapatkan nilai akumulasi 5 tahun ke depan sebagai berikut : Periode
Formula
Future Value
Tahunan
FV=1000.000 (1 + 0.1/1)1×5
1.610.510
Setengah tahunan
FV=1000.000 (1 + 0.1/2)2×5
1.628.895
Bulanan
FV=1000.000 (1 + 0.1/12)12×5
1.645.309
Harian
FV=1000.000 (1 + 0.1/365)365×5
1.648.608
Kontinu
FV=1000.000e0.10×5
1.648.721
Terlihat bahwa semakin sering periode pemajemukan, semakin besar nilai akumulasi akhir karena bunga atas bunga diperoleh lebih sering, apalagi jika uang yang dibungakan sangat besar, perbedaan pemajemukan yang dihasilkan oleh bunga kontinu akan semakin besar dibandingkan dengan pemajemukan bulanan. Jika uang yang dibungakan relatif kecil, maka perbedaan antar pemajemukan tidak akan signifikan.
4
Latihan
1. Rekening P mendapat bunga tunggal sebesar 4% setahun. Sementara itu rekening Q mendapat bunga tunggal sebesar i% pertahun. Uang sebesar 1 juta ditabungkan di rekening P dan 2 juta di rekening Q. Setelah 5 tahun, uang di kedua rekening P dan Q sama. Tentukan besarnya suku bunga i. 2. Anda meminjam uang 1 juta rupiah selama 90 hari dengan suku bunga efektif 8,5%. Berapakah total pembayaran yang harus anda sediakan untuk melunasi pokok dan bunga hutang anda ? 3. Hisam meminjam uang 200 juta untuk memperbesar usaha perkayuannya. Dia melunasi pinjaman di atas 4 tahun kemudian sebesar 260 juta. Berapakah suku bunga efektif tahunan dari pinjaman Hisam ? 4. Didi menginvestasikan uangnya 200 juta dalam dua usaha
dengan bunga
tunggal masing-masing 8% dan 7%. Jika total pendapatan pertahun dari dua investasi tersebut sebesar 15,175 jt, berapa juta kah modal yang diinvestasikan pada masing-masing usaha? 5. Misal anda mendepositokan 100 juta dengan suku bunga 6% (convertible quaterannualy). Enam bulan berikutnya anda mendepositokan lagi 200 juta. Berapa jutakah uang anda setelah dua tahun dari deposito yang kedua?
1.2 Nilai Sekarang (Present Value ) Selain kita bisa menentukan akumulasi nilai dari suatu investasi di masa yang akan datang, kita bisa juga menentukan nilai sekarang dari suatu nilai di masa yang akan datang. Kita sudah melihat bahwa uang sebesar 1 satuan akan
menjadi 1+i pada akhir 1 tahun. Besaran 1+i sering disebut dengan faktor akumulasi , karena besaran tersebut mengakumulasikan dana sekarang ke dana
masa yang akan datang. Jadi nilai sekarang sebesar 1 akan menjadikan uang kita menjadi sebesar 1+i pada akhir tahun.
Marilah kita buat pertanyaan dari kejadian di atas. Berapa uang yang harus disediakan di awal tahun, agar pada akhir tahun uangnya menjadi 1+i. Jawabnya
5
adalah 1. Berapakah uang yang harus anda sediakan (v), agar satu tahun lagi uang anda menjadi 1 ?
Marilah kita formulasikan secara matematis konsep nilai sekarang di atas. Dari formula 1= v(1+i)1, diperoleh v = (1+i)-1. Jadi uang sebesar (1+i)-1 jika diinvestasikan dengan suku bunga i selama 1 tahun akan menjadi 1. Sekarang kita gunakan simbol v = (1+i)-1 sebagai faktor diskon, karena besaran ini mendiskonto nilai investasi pada akhir periode ke nilai pada awal investasi.
Sekarang kita bisa menggeneralisasi hasil di atas untuk periode waktu lebih besar dari 1, yaitu berapa modal yang harus disediakan di awal periode agar pada akhir periode t, modalnya menjadi sebesar A. 1. Bunga majemuk . Untuk bunga majemuk kita punya hubungan A= k(1+i)t, sehingga dipunyai nilai sekarang k = a-1(t) = A(1+i)-t = Av-t. 2. Bunga kontinu. Dengan menggunakan suku bunga kontinu diperoleh k = Ae-rt. Nilai sekarang banyak digunakan dalam pemodelan harga opsi. Dalam mencari harga opsi sendiri, kita menggunakan prinsip nilai sekarang. Harga opsi adalah nilai sekarang dari harga harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo. Dengan memahami lebil awal konsep nilai sekarang, akan menjadi modal yang signifikan untuk mempelajari teori harga opsi.
Contoh 1.3. Carilah nilai sekarang yang harus anda investasikan pada suku bunga
9%, agar nanti 3 tahun ke depan uang anda menjadi 1 milyard. Jawab. Perhitungan present value di atas akan diperbandingkan menggunakan
dua metode 1. Bunga majemuk. Dengan menggunakan bunga majemuk, besarnya nilai sekarang yang dibutuhkan adalah
2. Bunga kontinu,
−3 .+... 772.183.480 6
−3 ..,×. 763.379.494 Contoh 1.4. Dipunyai suku bunga konstan 5%. Anda akan menerima uang tunai
sebesar $500 satu tahun ke depan dan $1.500 dua tahun ke depan. Carilah nilai sekarang dari kedua arus uang tersebut. Jawab.
PV
= 500×(1/1.05)-1 + 1500(1/1.05)-2 = $1836.73
Contoh 1.5.Dengan menggunakan j12 = 12%, hitunglah nilai diskonto dari uang
sejumlah Rp 100.000.000 yang jatuh tempo : a. 10 tahun lagi b. 25 tahun lagi Jawab. Dengan bunga nominal 12% setahun, maka diperoleh bunga perbulan
adalah 1%. a. Untuk jangka waktu 10 tahun, berarti ada 120 bulan, sehingga diperoleh nilai sekarangnya adalah P = 100juta ×(1,01)-120 = 30, 299.477 juta b. Untuk jangka waktu 25 tahun, berarti ada 300 bulan, sehingga diperoleh nilai sekarangnya adaah P = 100juta ×(1,01)-120 = 5,053.448 juta
Contoh 1.6. Berapa banyaknya uang yang harus disediakan agar dalam waktu
kontinu ∆t, uang kita menjadi sebesar B rupiah ? Jawab. Misalkan uang tersebut adalah K, maka K = e-r∆t B
Latihan Soal
1. Astri mendepositokan uangnya sebesar 1 juta dengan suku bunga nominal i (majemuk konversi enam bulanan). Sedangkan Andi mendepositokan uangnya sebesar 1,5 juta pada bank yang berbeda dan mendapat suku bunga tunggal i. Keduanya mendapatkan jumlah bunga yang sama selama 6 bulan terakhir pada tahun ke delapan. Hitunglah nilai i.
7
2. Hitunglah suku bunga nominal, konversi semesteran, yang memberikan suku bunga efektif tahunan i = 10%. 3. Dengan suku bunga tahunan tertentu, investasi sebesar 1 akan bertambah menjadi 2 dalam x tahun, investasi sebesar 2 akan bertambah menjadi 3 dalam y tahun, dan investasi sebesar 3 akan bertambah menjadi 15 dalam z tahun.
Selanjutnya investasi sebesar 6 akan bertambah menjadi 10 dalam n tahun. Carilah hubungan n terhadap x,y,z . 4. Pak Dwimenabung sebesar Rp 1000.000,00 dengan suku bunga majemuk sebesar 5%. Pada saat yang sama Pak Tri juga menabung sebesar Rp 630.000,00 tetapi bunga yang ia peroleh berdasar suku bunga tunggal sebesar k %. Uang Pak Dwi pada tahun kedua akan sama besar dengan uang Pak Tri
pada tahun kelima. Berapakah besar suku bunga dari tabungan Pak Tri (k )? 5. Ayah anda mempunyai uang 50 juta dan ingin ditabungkan. Ayah anda berharap dalam waktu 15 tahun uang tersebut dapat menjadi 3 kali lipat. Bank dengan suku bunga tahunan berapa yang akan Anda rekomendasikan ?
1.3.Anuitas Harga obligasi dapat diterangkan sebagai nilai present value dari rangkaian pembayaran besarnya kupon dan pokok yang akan diterima pemegang obligasi. Untuk
itu
perlu
diterangkan
tentang
teori
anuitas
atau
rangkain
pembayaran.Anuitas yang pembayarannya pada akhir periode disebut dengan anuitas akhir atau annuity-immediate.Anuitas akhir sering juga disebut dengan anuitas biasa atau anuitas ordinary. Pada anuitas akhir ini, suku bunga perperiode juga dilambangkan dengan i. Sekarang kita lihat suatu anuitas dengan pembayaran 1 rupiah yang dibayarkan pada akhir periode selama n periode. Nilai sekarang ( present value) dari anuitas akhir ini dilambangkan dengan
a n
. Nilai ini adalah
nilai yang dibayarkan diawal untuk mendapatkan pembayaran sebesar 1 rupiah tiap akhir periode selama n periode.Nilai present value inilah yang digunakan sebagai dasar perhitungan produk anuitas .
8
Kita dapat menurunkan formula nilai sekarang suatu anuitas akhir
a n
sebagai
suatu present value dari masing-masing pembayaran. 1. Present value dari pembayaran 1 rupiah di akhir periode pertama adalah v. 2. Sedangkan present value dari pembayaran 1 rupiah yang dilakukan pada akhir periode ke dua adalahv2 . 3. Proses ini berlanjut sampai present value dari pembayaran 1 rupiah pada akhir periode ken adalah vn. 4. Nilai akumulasi total dari present value
sama dengan jumlahan
a n
dari present value tiap-tiap pembayaran, yaitu vv
a
2
... v
n 1
n
v
n
(1.1)
Formula present value anuitas akhir (1.1) di atas dapat disederhanakan menggunakan deret geometri dan diperoleh hasil a n
2
...
1
n 1
n
1
1
n
n
1
i
i
n
(1.2)
Contoh. Hitunglah
a. Nilai sekarang dari pembayaran 1 rupiah di setiap akhir tahun selama 10 tahun, nilai i = 5% (< 10) b. Nilai akumulasi dari pembayaran 1 rupiah di akhir tahun selama n = 10 dan i = 5% (> 10) Contoh 1.3. Carilah nilai sekarang atau nilai tunai (present value) dari suatu
anuitas yang membayar 4 juta pada akhir tengah tahunan selama 16 tahun dengan suku bunga 8% (convertible semiannually atau konversi 6 bulanan)
Jawab. Nilai yang dicari adalah present value dari suatu anuitas selama 32 periode
dengan suku bunga 4% dan pokok 4 juta rupiah.
9
4 a
1 1 1 , 04 4
3 2 0 ,0 4
32
0 , 04
4 17 , 87355 71 , 4942
Jadi jika anda membayar 71,4942 juta rupiah sekarang kepada lembaga penyelenggara program anuitas yang menerapkan bunga 8%, maka selama 16 tahun anda akan mendapat pembayaran 4 juta rupiah setiap akhir tengah tahunan. Tentu saja perhitungan di atas tidak termasuk biaya administrasi dan biaya marketing yang bisa merubah angka-angka di atas.
1.4. Obligasi Return yang akan diperoleh dari investasi obligasi disebut yield . Sebelum memutuskan untuk berinvestasi obligasi, investor harus mempertimbangkan besarnya yield obligasi, sebagai faktor pengukur tingkat pengembalian tahunan yang akan diterima. Ada 2 (dua) istilah dalam penentuan yield yaitu : a. Currrent yield adalah yield yang dihitung berdasarkan jumlah kupon yang diterima selama satu tahun terhadap harga obligasi tersebut.
t a hunan Current yield bunga harga obligasi Contoh: Jika obligasi PT XYZ memberikan kupon kepada pemegangnya sebesar 17% per tahun sedangkan harga obligasi tersebut adalah 98% untuk nilai nominal Rp 1.000.000.000, maka:
Current Yield RpRp 170.980.0000.00.000000 atau 17% 98% 17.34 % 10
b.
Yield to maturity (YTM)
adalah tingkat pengembalian atau pendapatan yang akan diperoleh investor apabila memiliki obligasi sampai jatuh tempo. Formula YTM yang seringkali digunakan oleh para pelaku adalah YTM approximation atau pendekatan nilai YTM, sebagai berikut:
− C YTM approximation + x 100% Keterangan: C = kupon n = periode waktu yang tersisa (tahun) R = redemption value (nilai Par) P = harga pembelian (purchase value)
Contoh.Obligasi XYZ dibeli pada 5 September 2003 dengan harga 94.25% memiliki kupon sebesar 16% dibayar setiap 3 bulan sekali dan jatuh tempo pada 12 juli 2007. Berapakah besar YTM approximationnya ? Dari keterangan di atas diperoleh nilai-nilai C = 16% n = 3 tahun 10 bulan 7 hari = 3.853 tahun P = 94.25% R = 100%
−. 16 YTM approximation +.. x 100% 18.01 % Hubungan antara Y ield dengan Harga Obligasi
Yield dan harga obligasi adalah 2 hal penting yang tidak dapat dipisahkan
dalam
teori
estimasi
kurva yield obligasi.
11
Para
investor
akan
selalu
mempertimbangkan harga obligasi dengan yield yang akan diperoleh. Secara matematis, harga obligasi dapat dituliskan sebagai berikut : P=
C1
(1 r )1
C
C2
1 vn
(1 r )
i
... 2
C n
(1 r ) n
Mn (1 r ) n
Mn (1 r ) n
dimana
P = harga obligasi Ct = kupon obligasi pada periode t Mn = nilai par dari obligasi r = tingkat yield yang diharapkan
Contoh.Dipunyai obligasi 150 juta, dengan kupon 10% pertahun, diketahui yield
12% pertahun. Berikut harga obligasinya P
1 1,12
5
150
15
54, 07164 85,11403
139,1857
0,12
1,12
5
Disimulasikan untuk nilai yield 10% 5
P
1 1,1
150
15
56,86 93,14
150
0,1
5
1,1
Sedangkan untuk nilai yield 8% P
1 1, 08
5
150
15
59,89 102,09
161,98
0, 08
5
1, 08
Terlihat bahwa jika nilai yield sama dengan kupon, maka harga teori obligasi akan sama dengan nilai pokoknya, sedangkan jika nilai yield lebih kecil dari kupon rate
12
yang diberikan, harga obligasi akan lebih besar dari nilai pokoknya. Sebaliknya, jika nilai yield lebih besar dari kupon rate, harga obligasi lebih kecil dibandingkan nilai pokoknya.
Contoh. Carilah harga obligasi yang bernilai par $1000 selama 10 tahun dengan
kupon 8.4% yang dibayar setiap 6 bulanan, dengan nilai redeemed $1050. Obligasi memberikan yield 10% konvertibel 6 bulanan. Jawab. P
42
1 1, 05
20
0, 05
1050 1, 05
523, 4128 395, 734
919,1468
20
Latihan
1. Jika anda menginginkan mempunyai uang 1 M 10 tahun lagi, berapakah uang yang harus anda siapkan sekarang ? 2. Jika anda tidak kuat menyediakan uang sebesar yang harus disediakan hasil perhitungan pada no 1, dan anda hanya kuat menabung tiap tahun, berapakah uang yang anda depositkan tiap tahun ? 3. Suatu suatu obligasi memberikan bunga/kupon 10% selama 5 tahun. Jika diketahui yield sebesar 12%, berapakah harga obligasi di atas. 4. Bagaimana pengaruh yield terhadap harga obligasi di pasar ? 5. Disebut apakah Obligasi yang tidak memberikan kupon 6. Bagaimana penilaian harga obligasi tanpa bunga ?
13
Modul 2 Mekanisme Perdagangan Opsi Tujuan Pembelajaran dari matakuliah ini adalah : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa 1. Memahami arti konsep berbagai jenis opsi 2. Memahami konsep Waktu jatuh tempo, keuntungan opsi, dll 3. Memahami konsep harga opsi Sedangkan capain pembelajaran matakuliah ini adalah agar mahasiswa 1. Mampu menghitung keuntungan opsi 2. Mampu menguraikan harga opsi
2.1 TIPE-TIPE OPSI
Opsi adalah produk derivative saham dimana pemegang kontrak opsi tersebut dapat membeli atau menjual saham pada waktu dan harga tertentu.Dalam perdagangan opsi, terdapat bermacam-macam tipe opsi, baik yang secara resmi maupun yang tidak secara resmi diperdagangkan di bursa. Tipe opsi yang paling umum dikenal orang adalah tipe opsi berdasarkan haknya, yaitu opsi call (beli) dan opsi put (jual) seperti yang sudah disebutkan di Bab 2. 1. Opsi Call (Beli)
Akan lebih mudah memahami mekanisme opsi call berdasarkan contoh. Misalkan seorang investor membeli kontrak opsi call tipe Eropa dengan harga kontrak $100 terhadap saham eBay. Harga saham eBay sekarang adalah $98 dan waktu jatuh tempo dari opsi call tersebut adalah 4 bulan atau 0.33 tahun. Harga opsi call tipe Eropa ini adalah $5. Karena opsi ini adalah opsi tipe Eropa, maka investor hanya bisa menjalankan opsi call nya pada waktu (tanggal) jatuh tempo saja. Jika harga saham pada waktu jatuh tempo kurang dari harga kontrak $100, investor memilih tidak akan menjalankan opsi callnya (jika opsi itu dijalankan
14
oleh investor, maka investor harus membeli saham eBay seharga $100, padahal di pasaran harganya lebih kecil dari $100). Pada kondisi ini, investor akan merugi sebesar $5 (besarnya harga premi opsi yang dibayar di awal). Jika harga saham di atas $100 pada waktu jatuh tempo, maka investor akan menjalankan opsi call tersebut. Misalkan harga saham pada waktu jatuh tempo adalah $115. Dengan menjalankan opsi call tersebut, investor dapat membeli saham eBay seharga $100 dari counterpart-nya dan sesegera mungkin menjual saham eBay tersebut dengan harga $115. Investor mendapatkan keuntungan $15 per lembar opsi. Jika transaksi di atas melibatkan 100 lembar opsi, maka keuntungan yang diperoleh investor adalah $1500. Selanjutnya jika investasi awal diperhitungkan, keuntungan bersih yang diperoleh investor menjadi $1500 - $500 = $1000. Dapat dilihat di sini bahwa keuntungan pemegang kontrak opsi dapat dirumuskan secara matematika dalam max(0, ST-K). Dari uraian di atas, dapat disebutkan peranan dari partisipan opsi call sebagai berikut: 1. Penjual kontrak opsi call mengeluarkan kontrak opsi dan menerima uang premi opsi. 2. Pembeli kontrak opsi call membayar premi opsi dan memegang kontrak opsi.
2. Opsi Put (Jual)
Investor yang membeli opsi call seperti dijelaskan di atas, berharap harga saham pokok akan naik. Berbeda dengan opsi call, investor yang membeli opsi put berharap harga saham pokok akan turun, karena dia dapat mengambil keuntungan dari kondisi tersebut. Misalkan seorang investor membeli opsi put tipe Eropa untuk menjual 100 lembar saham IBM, dengan harga kontrak $70. Misalkan harga saham IBM sekarang $70. Misalkan harga saham sekarang adalah $65, dan waktu jatuh tempo opsi put tersebut adalah 3 bulan atau 0.25 tahun. Harga opsi put tersebut adalah $7. Investasi awal adalah $700. Karena tipe opsi put ini adalah tipe Eropa, maka opsi hanya bisa dijalankan 3 bulan lagi, jika harga saham di bawah $70. Misalkan harga saham IBM pada waktu jatuh tempo adalah $55. Investor pemegang opsi put, dapat menjual saham IBM seharga $70, kepada counterpart-
15
nya. Keuntungan opsi put tersebut sebesar $70 - $55 = $15 per lembar opsi put. Jika
ada 100 lembar opsi, maka keuntungan opsi adalah $1500, tanpa
memperhitungkan investasi awal. Jika investasi awal diperhitungkan, maka keuntungan bersih menjadi $1500 - $700 = $800. Jika harga saham pada waktu jatuh tempo naik di atas $70, maka opsi put berlalu tanpa bernilai apapun, dan investor pembeli opsi merugi sebesar $700. Dapat dilihat di sini bahwa keuntungan pemegang kontrak opsi dapat dirumuskan secara matematika dalam max(0, K-ST).
Dari uraian di atas, dapat disebutkan peranan dari partisipan opsi put (jual) sebagai berikut: 1. Penjual kontrak opsi put mengeluarkan kontrak kepada pembelidan
menerima uang premi harga opsi. 2. Pembeli kontrak opsi put
membayar uang premi harga opsi dan memegang kontrak opsi put.
3.Keuntungan Opsi
Bagaimana formula untuk keuntungan opsi call? Keuntungan opsi merupakan fungsi dari harga kontrak opsi K dan harga saham pada waktu jatuh tempo ST dilihat dari sisi pembeli opsi. Biasanya uang yang dibayarkan untuk membeli opsi beli tidak diperhitungkan dalam perhitungan keuntungan opsi. Jika pada waktu jatuh tempo ST > K , maka pihak pemegang opsi akan menerima keuntungan sebesar ST-K . Sedangkan jika harga saham pada waktu jatuh tempo ST< K , maka pihak pemegang opsi tidak akan menerima keuntungan alias
keuntungannya nol. Jadi secara matematika, keuntungan opsi dari sisi pemegang opsi call adalah max(ST - K, 0). Sebaliknya, keuntungan penjual opsi call adalah - max(ST - K, 0) = min(K - S T, 0)
Bagaimana dengan opsi put? Pemegang opsi put akan menjalankan opsinya jika harga saham pada waktu jatuh tempo ST< K , dan memperoleh keuntungan sebesar K-ST. Jika pada waktu jatuh tempo harga saham ST> K , pemegang opsi put tidak akan menjalankan opsinya dan otomatis keuntungannya nol. Jadi secara matematis keuntungan opsi put dari sisi pemegang kontrak opsi adalah max(K - ST , 0) dan keuntungan dari sisi penjual opsi put adalah - max(K - ST , 0) = min(ST - K, 0)
16
2.2 Opsi Saham Aset pokok (underlying asset) yang dapat dijadikan dasar untuk dikeluarkannya opsi relatif banyak, bahkan semua aset bisa dijadikan aset dasar produk derivatif opsi. Dari sekian banyak aset dasar tersebut, ada beberapa aset yang relatif populer di pasar bursa, yaitu saham, mata uang, indeks, future serta swap. Kebanyakan perdagangan opsi dilakukan di bursa. Di Amerika, bursa perdagangan opsi dilakukan di bursa Chicago Board Options Exchange (www.cboe.com), Philadelphia Stock Exchange (www.ptux.com), American Stock Exchange (www.amex.com), Pacific Exchange (www.pacifex.com), dan International Securities Exchange (www.iseoptions.com). Option diperdagangkan pada lebih dari 1,000 saham yang berbeda. Satu kontrak opsi memberikan hak untuk membeli atau menjual 100 lembar saham.
2.2.1Spesifikasi Opsi Saham
Pada bab ini, kita akan menfokuskan pembahasan pada opsi saham. Seperti yang sudah disebutkan, opsi saham yang diperjualbelikan di berbagai bursa adalah tipe Amerika. Detail dari kontrak — waktu jatuh tempo (T), harga kontrak
(K),
bagaimana
jika
dividend
dikeluarkan,
dan
sebagainya —
dispesifikasikan oleh bursa. Spesifikasi opsi saham dapat diterangkan satu-persatu sebagai berikut:
1. Strike Price atau Harga Kontrak
Bursa biasanya menyediakan beberapa harga kontrak untuk suatu opsi saham,
dengan selisih $2.50, $5, atau $10. Bursa akan menyediakan harga
kontrak dengan gradasi $2.50 ketika harga saham berada diantara $5 dan $25, gradasi $5 ketika harga saham berada diantara $25 dan $200, dan gradasi $10 untuk harga saham di atas $200. Untuk penentuan harga kontrak suatu opsi, biasanya dua atau tiga harga kontrak yang paling dekat dengan harga saham ditawarkan oleh bursa. Jika harga
17
saham bergerak keluar dari range harga kontrak terendah dan tertinggi, bursa akan mengeluarkan harga kontrak baru. Sebagai ilustrasi aturan ini, kita misalkan suatu saham dengan harga S0 = $84. Harga kontrak opsi call dan put yang ditawarkan dari saham tersebut kemungkinannya adalah $80, $85, and $90. Jika harga saham naik di atas $90, maka harga kontrak baru $95 akan ditawarkan; dan jika harga saham jatuh di bawah $80, maka harga kontrak baru $75 akan ditawarkan.
2. Deviden
Ketika ada pembagian dividen yang cukup besar (lebih dari 10% dari harga saham), Komite Options Clearing Corporation (OCC) di Bursa CBOE (Chicago Board Options Exchange) dapat memutuskan untuk membuat penyesuaian terhadap opsi yang dijual di bursa. Contohnya dapat dilihat sebagai berikut.Pada tanggal 28 Mei, 2003, Gucci Group NV (GUC) menyatakan membagikan deviden sebesar 13.50 euros (sekitar $15.88) untuk setiap sahamnya dan keputusan ini disetujui opada rapat umum pemegang saham tahunan 16 Juli 2003. Dividen ini bernilai sekitar 16% dari harga saham pada saat diumumkan. Pada kasus ini, Komite OCC memutuskan untuk menyesuaikan harga opsi. Pemegang kontrak opsi call membayar 100 kali harga kontrak pada waktu jatuh tempo, dan menerima uang tunai $1.588 sebagai tambahan dari 100 lembar saham. (harga kontrak dikurangi $15,88 perlembar saham). Pemegang kontrak opsi put menerima 100 kali harga kontrak pada waktu jatuh tempo dan membayar uang tunai $1.588 sebagai tambahan dari 100 lembar saham. Penyesuaian ini memberikan pengaruh mengurangi harga kontrak sebesar $15,88. Penyesuaian untuk dividen yang besar tidak selalu dilakukan oleh bursa. Sebagai contoh, Deutsche Terminborse memilih untuk tidak menyesuaikan struktur opsi yang diperdagangkan di bursa ketika Daimler-Benz secara mengejutkan pada tanggal 10 Maret 1998 mengeluarkan dividen sebesar 12% dari harga saham.
3. Komisi
18
Tipe dari pemesanan atau types of orders yang dapat didelegasikan kepada broker atau pialang untuk perdagangan opsi sama seperti pada perdagangan future. Penugasan market order akan dijalankan secepatnya, limit order akan dijalankan pada harga terendah yang masih menguntungkan dan sebagainya. Misalnya seorang investor yang membeli kontrak opsi call dengan strike price K =
$50 ketika harga saham S0 = $49, dengan harga opsi call adalah
C=$4.50, sehingga untuk 100 opsi call bernilai $450. Dari tabel 3.1, pembelian atau penjualan dari satu kontrak (100 opsi) selalu memerlukan biaya $30 (komisi maximum dan minimum $30 untuk kontrak pertama). Misalkan harga saham meningkat dan pada waktu jatuh tempo mencapai $60. Diasumsikan investor membayar komisi 1.5% dari perdagangan saham, komisi yang dibayar ketika opsi call dijalankan adalah 0.015 x $60 x 100 = $90. Total komisi yang dibayarkan adalah 30+90= $120, dan keuntungan bersih dari investor $1,000 - $450 - $120 = $430. Selain biaya komisi di atas, ada juga biaya yang harus dikeluarkan oleh investor opsi call yaitu perbedaan atau selisih harga jual dan harga beli yang berlaku di pasar. Misalkan pada contoh di atas, harga penjualan adalah $4.00 dan harga pembelian adalah $4.50 pada waktu investor membeli opsi call. Kita dapat mengasumsikan bahwa harga opsi yang wajar atau fair adalah $4.25, yaitu ratarata dari harga beli dan harga jual. Biaya tambahan untuk pembeli dan penjual opsi menurut sistem pasar opsi adalah selisih rata-rata selisih harga beli dan harga jual, yaitu $0.25 per opsi atau $25 per kontrak opsi. Tabel 2.1. Skedul komisi untuk pialang atau broker Volum perdagangan < $2,500 $2,500 to $10,000 > $10,000
Komisi* $20 + 2% dollar $45 + 1% dollar $120 + 0.25% dollar
* Maximal komisi adalah $30 per kontrak untuk lima kontrak pertama plus $20 untuk setiap tambahan kontrak. Minimal komisi adalah $30 per kontrak, dan $2 untuk setiap tambahan kontrak.
19
2.2 Harga dan Nilai Opsi 2.2.1 Harga Opsi
Harga opsi merupakan salah satu bahasan yang sangat menarik untuk dikaji. Orang selalu ingin mengetahui apakah harga opsi yang ditawarkan di pasaran cukup fair, murah, atau relatif mahal. Untuk tujuan itu, banyak sekali pakar matematika dan ekonomi keuangan yang berusaha memodelkan harga opsi sesuai
dengan
kondisi
yang
berlaku
di
pasaran.
Kemudian
mereka
membandingkan harga opsi di pasaran dengan harga opsi menurut model mereka. Tentu saja model yang dianggap baik adalah model yang bisa memprediksi harga opsi di pasaran dekat dengan harga opsi yang dihasilkan oleh model tersebut. 2.2.2 Nilai Opsi
Dalam harga Opsi, terdapat dua komponen, yaitu Nilai Intrinsik dan Nilai Waktu. Jika kita tulis dalam bentuk persamaan matematika, maka : Harga Opsi = Nilai Intrinsik + Nilai Waktu
Banyak definisi yang digunakan untuk menjelaskan apa itu Nilai Intrinsik dalam opsi. Di sini akan dipakai
‘definisi’ yang bisa dipakai baik untuk opsi Ca ll
maupun Put. Mari kita lihat sebuah ilustrasi opsi Call : Harga saham perusahaan XYZ adalah S0 = 3946. Misal ada Opsi Call dengan harga kontrak K = 3500. Tanpa memiliki opsi tersebut, jika kita ingin membeli saham XYZ, kita harus membayar harga 3946 atau 446lebih mahal dari harga kontrak. Jika kita lihat situasi di atas, saat ini opsi tersebut sudah mempunyai ‘manfaat’ sebesar 446. Nilai manfaat sebesar446 inimerupakan Nilai Intrinsik dari opsi call tersebut pada waktu sekarang. Misalkan minggu depan, harga saham XYZ naik menjadi 4500, maka Opsi Call akan mempunyai ‘manfaat’ sebesar 1000, dan nilai Intrinsiknya pun menjadi 1000.
20
Bagaimana dengan Nilai Waktu opsi? Mari kita kembangkan contoh di atas. Misal opsi call dijual seharga 600.Dari persamaan matematika di atas, diperoleh Harga = Nilai Intrinsik + Nilai Waktu Nilai Waktu= Harga – Nilai Intrinsik
Nilai Waktu opsi call saham XYZ di atas adalah 154 (didapat dari 600-446). Jika Nilai Intrinsik dari opsi menggambarkan ‘manfaat’ opsi
tersebut ’saat
ini’, Nilai waktu menggambarkan adanya ‘waktu’ dan ‘harapan’ bahwa Nilai Intrinsik opsi tersebut masih bisa naik mengingat masih ada waktu jatuh tempo. Semakin dekat dengan waktu jatuh temponya, Nilai Waktu opsi akan semakin menurun. Nilai Waktu suatu opsi sama dengan 0 pada waktu jatuh tempo, karena saat itu opsi tersebut telah tidak mempunyai ‘waktu’ dan ‘harapan’ lagi. Latihan Soal
1. Harga saham XYZ saat ini adalah $39,46. Harga opsiput dengan K = 35 adalah $2,4 dan harga opsi put dengan K = 42,5 saat ini adalah $6,2. Berapakah Nilai Waktu dan Intrinsik opsi ? 2. Seorang arbitraser ingin menghitung yield deviden pada suatu saham ketika melihat opsi call dan put 5 tahun dengan data sebagai berikut: Harga saham $85, harga kontrak $90, suku bunga bebas resiko 5%, harga opsi call $10, dah harga opsi put $15. Berapakah yield deviden kontinu dari saham tersebut? a. b. c. d.
2.48% 4.69% 5.34% 7.71%
21
Modul3 Sifat-Sifat Harga Opsi Tujuan Pembelajaran dari matakuliah ini adalah : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa 1. Memahami konsep batas bawah dan atas harga opsi call 2. Memahami konsep batas bawah dan atas harga opsi put 3. Memahami konsep penurunan formula put-call paritas Sedangkan capain pembelajaran matakuliah ini adalah agar mahasiswa 1. Mampu menghitung batas bawah dan atas harga opsi call 2. Mampu menghitung batas bawah dan atas harga opsi put 3. Mampu menghitung harga opsi berdasar prinsip put-call paritas
3.1 Batas Bawah dan Atas Harga Opsi Harga suatu opsi yang melebihi batas, akan mengundang kesempatan bagi para arbitraseruntuk selalu mengambil keuntungan. Demikian juga jika harga suatu opsi berada di bawah harga minimalnya, akan ada kesempatan bagi para arbitraser untuk menciptakan strategi yang selalu menguntungkan mereka. Untuk itu, harga opsi harus berada di antara interval harga minimal dan maksimalnya, agar tidak muncul para arbitraser yang selalu dapat bermain dalam situasi tersebut. 3.1.1Batas Atas Harga Opsi Call
Opsi call tipe Amerika atau Europa memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli saham pada harga kontrak tertentu (K). Dalam kondisi apapun, harga opsi baik tipe Eropa dan Amerika tidak pernah melebihi harga saham pokoknya S0. Jadi, harga saham pokok merupakan batas atas dari harga opsi. Batas ini tentu saja sangat wajar mengingat opsi merupakan produk derivatif dari saham, sehingga diperoleh hubungan sebagai berikut c ≤ S0 and C ≤ S0
22
Jika hubungan ini dilanggar, maka seorang arbitraser dengan gampang akan membuat langkah yang jelas-jelas selalu menguntungkan dengan cara membeli saham dan menjual opsi call saham tersebut. Logikanya sebagai berikut : Dengan membeli saham pokok , dan menjual opsi yang harganya lebih mahal dari harga saham, dia sudah mendapat keuntungan dari selisih harga saham dan opsi. Sementara dia masih memegang saham pokok. Pada waktu jatuh tempo, apapun yang terjadi pada harga saham, dia tinggal menyerahkan saham pokok kepada pembeli opsi call-nya.
Contoh 4.1.Misalkan harga saham $10, dan harga opsi call untuk saham itu
adalah $12.Seseorang dapat membeli saham seharga $10 dan mengeluarkan opsi untuk mendapatkan $12, sehingga mendapat keuntungan $2. Selanjutnya, apapun status kondisi opsi tersebut, baik in the money atau pun out of the money, dia akan selalu memperoleh keuntungan. Karena pada saat jatuh tempo, apapun yang terjadi, dia tinggal menyerahkan sahamnya kepada pembeli opsi call-nya dan dia mendapat keuntunganbersih sebesar $2 ditambah saham atau uang sebesar harga saham.
3.1.2 Batas Bawah Harga Opsi Call
Harga minimal opsi call tanpa adanya pembayaran dividen saham adalah S0 - Ke-rT. Apabila suatu opsi call dijual lebih murah dari harga di atas, maka
akan ada seorang arbitraser yang dapat menciptakan strategi sehingga selalu memperoleh keuntungan. Maka harga opsi call memenuhi c ≥ S0 - Ke-rT
Pertama-tama kita lihat contoh numeriknya dan kemudian kita pikirkan suatu alasan yang lebih general.
Contoh 4.2.Misalkan ada opsi call saham dengan data-data sebagai berikut: S0 =
$20, K = $18, r = 10% per tahun, dan T = 1 tahun. Pada kasus ini, dapat dihitung
23
nilai S0 - Ke-rT = 20 - 18e-0.1*1 = $3.71. Berdasarkan hasil hitungan di atas, harga opsi minimal adalah $3.71. Bagaimana jika ada orang yang menjual opsi call lebih murah dari harga di atas ? Misalkan ada opsi call seperti di atas dan dijual seharga $3.00. Seorang arbitraser dapat bermain pada kondisi seperti ini. Dia dapat meminjam untuk menjual saham atau short saham pokok dan membeli opsi call, sehingga dia memperoleh dana sebesar$20.00 - $3.00 = $17.00. Selanjutnya dia akan menginvestasikan uang tersebut pada tingkat suku bunga 10% per tahun, dan setahun kemudian uangnya berkembang menjadi 17e0.1 = $18.79. Satu tahun berikutnya, opsi memasuki waktu jatuh tempo. Kita lihat dua kondisi sebagai berikut : 1. Harga saham pada waktu jatuh tempo lebih besar dari harga kontrak K=$18.00. Arbitraser akan menjalankan opsinya, membeli saham pokok seharga $18.00, dan mengembalikan saham pinjaman. Pada kondisi ini dia akan dapat membuat keuntungan sebesar $18.79-$18.00 = $0.79. 2. Harga saham pada waktu jatuh tempo lebih kecil dari harga kontrak K = $18.00. Arbitraser tidak menjalankan opsi callnya, dan keuntungan yang diperolehnya adalah = $18.79 - ST. Keuntungan pada kondis ini lebih besar dari pada kondisi pertama > $18.79-$18 = $0.79. sebagai contoh jika harga saham $17.50, arbitraser dapat memperoleh keuntungan $18.79-$17.50 = $1.29. Jika harga saham $17.00, keuntungan arbitraser $ 1.79.
Untuk alasan yang lebih formal, kita lihat dua portofolio berikut:
Portfolio A Portfolio B
: Satu opsi call Eropa dan uang tunai sebesar Ke-rT , Bernilai c + Ke-rT : Satu saham, bernilai S0
Dalam portofolio A, uang tunai Ke-rT, jika diinvestasikan pada suku bunga bebas resiko r, pada waktu jatuh tempo T akan berkembang K.
24
1. Jika ST> K , opsi call dijalankan. Uang sebesar K digunakan untuk membayar saham, dan portofolio A akan bernilai ST . (Portofolio A, di waktu awal dipunyai cash Ke-rT, pada waktu ekspirasi, uang berkembang menjadi K. Jika kondisi opsi in the money, Uang tersebut digunakan untuk menjalankan opsi, membeli saham seharga K, mendapatkan saham seharga ST). 2. Jika ST< K , opsi call tidak dijalankan, dan portofolio A bernilai K.
Jadi pada waktu jatuh tempo T, portfolio A akan bernilai max(ST, K)dan portfolio B selalu bernilai ST pada waktu jatuh tempo T. Dari ilustrasi di atas, dapat diambil kesimpulan bahwa portofolio A selalu bernilai sama atau lebih besar dari portfolio B pada waktu jatuh tempo (Jika ST> K, maka portfolio A bernilai ST = portfolio B, jika S T< K, maka portfolio A bernilai K > portfolio B). Selanjutnya dengan menggunakan prinsip tidak ada kesempatan melakukan arbitrase, kondisi pada waktu jatuh tempo juga akan berlaku pada waktu sekarang. Jadi Portofolio A
c + Ke-rT ≥ S0 Portofolio B
atau
c ≥ S0 - Ke-rT
Karena harga opsi tidak mungkin negatif, c ≥ 0, maka harga call opsi minimal dapat dirumuskan sebagai berikut c ≥ max(S0 - Ke-rT, 0)
Example 4.3.Misalkan ada opsi call Eropa dari suatu saham dengan data sebagai
berikut :S0 = $51, K =$50, T = 0.5, dan r = 0.12. Dapat dihitung batas bawah harga opsi minimal adalah S0 - Ke-rT, or 51-50e-0.12*0.5 = $3.91.Jadi jika ada bursa yang menjual opsi tersebut di atas dengan harga di bawah batas minimal di atas, anda dapat memikirkan untuk melaksanakan strategi arbitrase seperti di atas.
25
3.1.3 Batas Atas Harga Opsi Put
Opsi put tipe Amerika atau Eropa memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual saham pokok pada harga kontrak tertentu, K. Tidak peduli seberapa harga saham akan turun, harga opsi put tidak akan lebih besar dari K. Jadi dipunyai hubungan, p≤ K and P ≤ K
Untuk opsi put tipe Eropa, kita tahu bahwa pada waktu jatuh tempo, opsi put tidak dapat bernilai lebih dari K (Jika ST = 0, maka opsi put bernilai K-0 = K), sehingga harga opsi put (sekarang) tidak akan melebihi nilai sekarang (present value) K: p ≤ Ke-rT
Jika hubungan ini dilanggar, maka akan ada seorang arbitraser yang dapat mengambil keuntungan dengan cara mengeluarkan atau menjual opsi put dan menaruh uang hasil penjualan opsinya pada bunga bebas resiko. Contoh 4.1.2Misalkan ada opsi put Eropa dengan harga kontrak 10, T = 0.5 tahun
dan r = 1%. Dipunyai nilai Ke-rT = 10exp(-0.5*0.01) = 9.95. Jadi harga opsi put tidak boleh melebihi 9.95. Selanjutnya misal ada opsi put untuk kasus di atas dengan harga $10. Investor dapatmengeluarkan opsi jual untuk mendapat uang $10 dan menyimpannya di rekening bank dengan bunga 1%. Pada waktu jatuh tempo uang tersebut menjadi
$10.05. Sekarang kita lihat kondisi pada waktu jatuh tempo 1. Jika opsi put dalam kondisi in the money (opsi put dijalankan), maka investor tersebut harus membeli saham pokok sebesar $10, dan dia masih mempunyai keuntungan sebesar $0.05 + saham. 2. Jika opsi put dalam kondisi out of the money (opsi put tidak dijalankan), keuntungannya $10,05,
3.1.4 Batas Bawah Harga Opsi Put
Untuk opsi put tipe Eropa yang sahamnya tidak memberikan pembayaran dividen, batas bawah untuk harga opsi tersebut adalah
26
Ke-rT - S0
Sekali lagi, pertama-tama akan diberikan contoh numerik dan selanjutnya kita lihat alasan atau argumen yang lebih formal. Misalkan dipunyai opsi put dengan karakteristik sebagai berikut : S0 = $37, K = $40, r = 5% per tahun, dan T = 0.5 tahun. Pada kasus ini diperoleh, Ke-rT - S0 = 40e-0.05*0.5 - 37 = $2.01 Mari kita lihat situasi dimana harga opsi put Eropa $1.00, yang lebih murah dibandingkan harga teoritis of $2.01. Seorang arbitraser dapat menjalankan strategi meminjam uang $38.00 selama 6 bulan untuk membeli saham dan opsi put. Pada waktu jatuh tempo, arbitraser membutuhkan uang untuk membayar
hutang sebesar 38e0.05*0.5 = $38.96. Sekarang kita lihat kondisi harga saham 1. Jika harga saham dibawah harga kontrak K=$40.00, arbitraser akan menjalankan opsinya dengan menjual saham seharga $40.00. Selanjutnya dia membayar hutangnya , dan memperoleh keuntungan sebesar $40.00$38.96 = $1.04. 2. Jika harga saham di atas harga kontrak K = $40.00, arbitraser tidak akan menjalankan opsi put-nya. Dia dapat menjual sahamnya di luar dengan harga di atas harga kontak K, dan membayar hutangnya. Keuntungan arbitraser pada kondisi ini lebih banyak dibandingkan dengan kondisi I. Sebagai contoh jika harga saham $42.00, keuntungan arbitraser $42.00$38.96 = $3.04
Argumen Formal
Selain bukti secara empiris di atas, dapat juga diberikan bukti secara analisis yang lebih formal sebagai berikut. Kita berikan dua portofolio C dan D. Pada waktu T = 0, atau waktu sekarang atau waktu pembelian kontrak opsi, kedua portofolio di atas adalah sebagai berikut. Portfolio C: Satu saham pokok dan satu opsi put Eropa (p + S0) Portfolio D: Uang tunai sebesar Ke-rT Sekarang kita lihat situasi pada waktu jatuh tempo, T.
27
1. Jika ST< K, maka opsi put pada portofolio C akan dijalankan, saham dijual seharga K, jadi portofolio C bernilai K (Opsi put dilaksanakan, saham dijual seharga K). 2. Jika ST> K, maka opsi put tidak dijalankan, dan saham bernilai ST. Jadi portofolio C akan bernilai ST . Jadi
portfolio C berharga max(ST, K) pada waktu jatuh tempo T.
Selanjutnya kita lihat portofolio D. Uang tunai sebesar Ke-rT yang diinvestasikan pada suku bunga bebas resiko akan bernilai K pada waktu jatuh tempo T. Dapat diambil kesimpulan di sini bahwa portfolio C selalu bernilai sama dengan atau lebih besar dari portfolio D pada waktu jatuh tempo T. Selanjutnya dengan menggunakan prinsip bebas dari kesempatan arbitrase, portofolio C harus bernilai lebih besar atau sama dengan portfolio D pada saat sekarang, atau p + S0 ≥ Ke-rT p ≥ Ke-rT - S0
Selanjutnya karena harga opsi put tidak mungkin negatif, maka secara matematis harga opsi put tipe Eropa dapat dituliskan sebagai berikut :
p ≥ max(Ke-rT - S0, 0) Contoh 4.4.Misalkan ada opsi put tipe Eropa dari suatu saham dengan data
sebagai berikut S0 = 38$, K = 40$, T = 0.25 tahun atau 3 bulan , dan , r = 0.10. Dapat dihitung batas bawah atau harga terendah secara teori dapat dihitung sebagai berikut :Ke-rT – S0 = 40e-0.1*0.25 -38 = $1.01.
3.2 Put Call Parity Sekarang kita akan menurunkan hubungan penting antara harga opsi call dan harga opsi put dalam suatu persamaan matematis yang disebut dengan put-call parity. Marilah kita lihat dua portofolio yang sudah kita gunakan di atas, yaitu portofolio A dan C sebagai berikut : Portfolio A: Satu opsi call Eropa dan uang tunai sebesar Ke-rT , Bernilai c + Ke-rT Portfolio C: Satu saham pokok dan satu opsi put Eropa (p + S0)
28
Dari penjelasan di atas, portofolio A dan C bernilai max(ST, K) pada waktu jatuh tempo opsi. Karena tipe opsi ini adalah opsi Eropa yang tidak dapat dijalankan sebelum waktu jatuh tempo, maka kedua portofolio ini juga akan bernilai sama pada waktu sekarang. Jadi diperoleh hubungan matematis c + Ke-rT = p + S0. Hubungan matematis ini dikenal dengan nama put-call parity. Dari persamaan di atas, jika harga opsi call tipe Eropa diketahui, maka harga opsi put tipe Eropa dengan harga kontrak yang sama dan dari saham yang sama, dapat ditentukan. Begitu juga sebaliknya. Jika put call parity suatu opsi tidak terpenuhi, maka akan mucul kesempatan arbitrase. Marilah kita lihat kondisi berikut. Misalkan harga suatu saham S0= $31, harga kontrak K = $30, suku bunga bebas resiko r =10% per tahun, harga opsi call tipe Eropa 3-bulan C = $3, dan harga opsi put Eropa 3 bulan p = $2.25. Pada kasus ini, c + Ke-rT = $32.26, dan p + S0 = $33.25.Portfolio C lebih mahal relatif terhadap portfolio A. Stategi arbitrase untuk kondisi ini adalah membeli portfolio A dan melakukan short portfolio C. Jadi strateginya adalah membeli opsi dan shorting opsi put dan saham, menghasilkan arus uang positif sebesar $30.25 (beli opsi $3, mengeluarkan put $2.25 dan meminjam saham $31) -3 + 2.25 + 31 = $30.25. Uang sebesar $30.25 kita taruh di rekening selama 3 bulan dengan bunga 10% akan menjadi $31.02. Selanjutnya kita lihat dua kondisi pada waktu jatuh tempo 1. Jika harga saham melebihi $30, opsi call akan dijalankan (call dijalankan, dapat saham seharga K = $30, selanjutnya saham pinjaman dikembalikan. Opsi put yang dikeluarkan tidak dijalankan oleh pihak pembeli. Ia mendapat keuntungan $31.02-$30.00 = $1.02 ). 2. Jika harga saham dibawah $30, opsi put akan dijalankan (Call tidak dijalankan.Pembeli put akan menjalankan opsinya dan menjual saham ke arbitraser seharga $30. Selanjutnya arbitraser mengembalikan saham pinjaman. Dia mendapat keuntungan $31.02-$30.00 = $1.02 ).
Sebagai contoh, misalkan harga opsi call $3 dan harga opsi put $ 1. Pada kasus ini diperoleh hubungan c + Ke-rT = 3 + 30e-0.1*0.25 = $32.26 dan p + S0 =
29
1+31 =$32.00. Dari hasil perhitungan di atas dapat dilihat bahwa Portfolio A lebih mahal dibandingkan dengan portfolio C. Seorang arbitraser dapat melakukan proses short terhadap sekuritas di portfolio A dan membeli sekuritas di portfolio C untuk mengunci keuntungan. Strategi tersebut adalah melakukan short terhadap opsi call dan membeli opsi put dan saham dengan nilai investasi awal $31 + $1 $3 = $29. Selanjutnya modal tersebut selama 3 bulan dengan suku bunga 10% akan menjadi 29*exp(0.10*0.25) = $29.73. Selanjutnya kita lihat dua kejadian yang mungkin pada waktu jatuh tempo 1. Jika harga saham di atas $30, maka opsi put-nya tidak dijalankan, sahamnya dibeli oleh pemegang opsi call seharga $30. Sang Arbitraser harus membayar hutang sebesar $29.73 dan mendapat keuntungan $0.27. 2. Jika harga saham di bawah $30, maka arbitraser menjalankan opsi putnya, menjual saham seharga $30, membayar hutang sebesar $29.73 dan mendapat keuntungan $0.27. Pada dua kondisi di atas, dapat dilihat keuntungan sang arbitraser adalah $30.00$29.73 = $0.27. Kondisi di atas dapat ditabelkan sebagai berikut:
Table 3.1Peluang Arbitrase ketika put-call parity tidak terpenuhi.Harga saham = $31; interest rate = 10%; harga opsi call = $3. Kedua opsi call dan put mempunyai harga kontrak $30 dan waktu jatuh tempo 3 bulan.
Harga opsi put 3 bulan = $2.25
Harga opsi put 3 bulan = $1
Aksi Sekarang : Beli opsi call $3 Short opsi put menghasilkan $2.25 Short saham menghasilkan $31 Investasikan $30.25 selama 3 bulan
Aksi Sekarang: Pinjam $29 untuk 3 bulan Short opsi call menghasilkan $3 Beli opsi put $1 Beli saham $31
Tiga bulan ke depan Aksi jika ST> 30: Terima $31.02 dari investasi Eksekusi call untuk beli saham $30 Keuntungan bersih = $1.02
Aksi jika ST> 30: Call dieksekusi: jual saham $30 Bayar pinjaman $29.73 Keuntungan bersih = $0.27
Aksi jika ST< 30:
Aksi jika ST< 30:
30
Terima $31.02 dari investasi Put tereksekusi: beli saham $30 Keuntungan bersih = $1.02
Jalankan opsi put : jual saham $30 Bayar hutang $29.73 Keuntungan bersih = $0.27
3.3. Opsi Tipe Amerika Put-call parity hanya berlaku untuk opsi tipe Eropa.Walaupun begitu, masih dimungkinkan menurunkan sifat-sifat harga opsi tipe America.Dapat ditunjukkan bahwaselisih harga opsi call dan put tipe Amerika adalah sebagai berikut: S0 –K ≤ C- P ≤ S0 - Ke-rT
(4)
Contoh 4.Diketahui Opsi call tipe Amerika dengan harga kontrak K= $20 dan
waktu jatuh tempo 5 bulan serta harga opsi sebesar $1.50. Misalkan harga saham S0 = $19 dan suku bunga bebas resiko adalah r = 10% per tahun. Dari persamaan di atas, diperoleh -1
≤ C- P ≤-0.18 or 0.18 ≤P -C≤1, menunjukkan bahwa P-C
terletak diantara $1dan $0.18. Dengan nilai harga opsi call $1.50, harga opsi put amerika P harus terletak diantara $1.68 dan $2.50. Dengan kata lain, batas atas dan bawah harga opsi put tipe amerika di atas adalah $2.50 dan $1.68.
3.3.1 Menjalankan Opsi Call Pada Awal Periode
Bagian ini menunjukkan bahwa opsi call tipe amerika tidak akan pernah optimal dijalankan sebelum waktu jatuh tempo. Sebagai ilustrasi dimisalkan suatu opsi call tipe amerika dengan waktu jatuh tempo 1 bulan, harga saham berjalan $50 dan harga kontrak $40. Opsi call ini pada posisi in the money, dan pemegang kontrak opsi akan tergoda untuk segera menjalankan opsi callnya. Jika pemegang kontrak opsi menjalankan opsinya, ini bukanlah pilihan yang terbaik. Keuntungan dengan tetap memegang kontrak opsi call, ada peluang harga saham akan semakin meningkat sehingga keuntungan pemegang kontrak opsi call semakin besar. Argumen ini menunjukkan bahwa tidak ada keuntungan menjalankan opsi lebih awal jika investor berniat memegang saham selama sisa waktu ekspirasi. Bagaimana jika investor berpikir harga saham terlalu tinggi ?Apakah menjalankan opsi dan menjual saham pokok merupakan langkah yang tepat?Pada kasus ini
31
lebih baik investor menjual opsi tersebut dibandingkan dengan menjalankannya. Opsi tersebut akan dibeli oleh investor lain yang menginginkan mempunyai saham. Investor seperti ini pasti ada : Jika tidak harga saham sekarang tidak akan mencapai $50. Untuk argumen yang lebih formal, kita gunakan persamaan :
c ≥ S0 – Ke-rT Selanjutnya, karena pemilik opsi call amerika mempunyai semua keuntungan untuk mengexercise opsi kapan saja dibanding tipe eropa, diperoleh C ≥ S 0 – Ke rT
. Dengan nilai r > 0, dan nilai e-rT> 1, diperoleh C > S0 - K. Jika menjalankan
opsi amerika di awal itu adalah tindakan yang optimal, maka C akan sama dengan S0 - K. Dapat kita simpulkan di sini bahwa menjalankan opsi tipe amerika di awal waktu tidak akan pernah optimal.
Dapat diringkas di sini, ada dua alasan opsi tipe amerika seharusnya tidak dijalankan di awal waktu. 1. Nilai waktu atas uang. Dari perspektif pemegang kontrak opsi, membayar harga kontrak opsi di akhir lebih bernilai dibandingkan dengan membayar di awal. 2. Jaminan perlindungan dari penurunan harga saham. Sekali opsi call tersebut dijalankan, dan harga kontrak ditukar dengan harga saham, jaminan perlindungan dari penurunan harga saham akan hilang.
3.3.2 Menjalankan Opsi Put Pada Awal Periode
Menjalankan opsi put tipe Amerika di periode awal sebelum jatuh tempo dapat menjadi pilihan yang optimal. Untuk opsi put tipe Amerika, disarankan jika kondisi in the money sudah terpenuhi, maka kontrak opsi put segera dijalankan. Sebagai ilustrasi, pandanglah situasi ekstrim sebagai berikut. Misalkan suatu opsi put tipe Amerika mempunyai harga kontrak $10 dan harga saham sekarang $0. Dengan menjalankan kontrak opsi sesegera mungkin, investor tersebut akan mendapatkan
keuntungan
kemungkinan
menjadi
$10.
berkurang
Jika
investor
karena
32
harga
menunggu, saham
keuntungannya
naik,
dan
juga
keuntungannya tidak mungkin lebih dari $10, karena tidak ada harga saham negatif.Lebih jauh, menerima $10 sekarang lebih disukai dibandingkan menerimanya nanti.Ini menunjukkan bahwa opsi harus sesegera mungkin dijalankan. Seperti opsi call, opsi put juga dapat dipandang sebagai perlindungan bagi investor dari penurunan harga saham dibawah level tertentu. Ada beberapa kondisi dimana menjalankan kontrak opsi put tipe Amerika di awal periode lebih disukai. Hal ini menuntun pada konsekuensi logis, harga opsi put tipe Amerika selalu lebih mahal dibandingkan dengan opsi put tipe Eropa. Latihan Soal
1. Dipunyai opsi put tipe eropa dari suatu saham yang berharga S0 = $50. Opsi put tersebut mempunyai harga kontrak $40, waktu jatuh tempo 6 bulan. Sedangkan suku bunga bebas resiko dari bank central adalah 5%. Batas bawah dan atas dari harga opsi tersebut adalah a. $10
dan $40
b. $10
dan $39.01
c. $0
dan $40
d. $0
dan $39.01
2. Dipunyai opsi put tipe Eropa dengan waktu jatuh tempo 1 tahun yang dijual seharga $5 dari suatu saham seharga S0 = $25 dengan harga kontrak K = $27.5. Suku bunga bebas resiko satu tahun adalah 6%. Harga opsi call mana yang lebih dekat ? a. $0.00 b. $3.89 c. $4.10 d. $5.00 3. Dipunyai opsi call dan put tipe amerika dari suatu saham yang sama. Kedua opsi tersebut mempunyai waktu jatuh tempo 1 tahun dan harga kontrak $45. Harga saham pada waktu kontrak adalah $50 dan suku bunga tahunan 10%. Selisih harga kedua opsi tersebut adalah
33
a. $4.95 b. $7.95 c. $9.35 d. $12.5
4. Sesuai dengan put call parity opsi Eropa, membeli sebuah opsi put pada saham ABC akan ekuivalen dengan a. Membeli opsi call, saham ABC dan ZCB (Zero Coupon Bond) b. Membeli opsi call, menjual saham ABC dan membeli ZCB (Zero Coupon Bond) c. Menjual opsi call dan saham ABC serta membeli ZCB (Zero Coupon Bond) d. Membeli opsi call, menjual saham ABC dan ZCB (Zero Coupon Bond) 5. Yang mana yang mengakibatkan penurunan nilai opsi call tipe Eropa dari saham XYZ? I.
XYZ mengeluarkan stock split 3 untuk 1
II.
XYZ meningkatkan dividen tiga bulanan dari $0.15 to $.17 perlembar saham
III.
Federal menurunkan menstimulasi ekonomi
IV.
Investor percaya volatilitas saham XYZ menurun a. I dan II b. I dan III c. II dan IV d. II,III, dan IV
suku
34
bunga
0.25%
dalam
rangka
Modul 4 Strategi Perdagangan Opsi Tujuan Pembelajaran dari matakuliah ini adalah : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa 1. Memahami konsep strategi perdagangan opsi 2. Memahami konsep perbedaan antar strategi Sedangkan capain pembelajaran matakuliah ini adalah agar mahasiswa 1. Mampu menghitung keuntungan dan kerugian strategi opsi 2. Mampu membandingkan kelebihan dan kekurangan antar strategi 3. Mampu menganalisis strategi opsi yang cocok dengan suatu keadaan
Para pakar perdagangan opsi telah menciptakan beberapa strategi portofolio bermain opsi dan saham yang dapat kita adopsi. Kebanyakan strategi yang mereka ciptakan dimaksudkan untuk menghindari kerugian yang besar, dengan konsekuensi keuntungan yang mereka peroleh relatif kecil. Bagi pemula dalam perdagangan opsi, disarankan untuk mengikuti beberapa strategi yang akan dibahas dengan harapan menghindari kerugian yang relatif besar. Jika sudah mahir dalam teori dan perdagangan opsi, anda dapat menciptakan satu
atau
beberapa strategi yang mungkin lebih baik dibandingkan dengan strategi-strategi yang sudah ada. Beberapa dari strategi akan kita jelaskan dan ilustrasikan sebagai berikut :
4.1. Protective Put
Strategi protective put adalah strategi investasi memegang posisi long (membeli) suatu aset sekuritas, dan melindunginya dengan membeli opsi put
sekuritas tersebut. Tujuan dari strategi ini adalah, melindungi aset (saham) dari penurunan harga yang sangat tajam. Strategi ini tetap mengandalkan perolehan keuntungan dari kenaikan harga aset (saham), sedangkan opsi put digunakan hanya untuk berjaga-jaga ketika harga aset (saham) turun. dibutuhkan untuk menjalankan strategi ini adalah S0 + P.
35
Modal yang
Ilustrasi keuntungan dari strategi ini dapat digambarkan sebagai berikut. Selama harga saham dibawah nilai K+P, strategi ini belum mampu memberikan keuntungan. Strategi protektif put ini akan memberi keuntungan jika harga saham di atas K+P. Strategi ini hanya layak dibandingkan dengan strategi membeli saham underlying saja, bukan membandingkannya dengan strategi membeli opsi put.
Secara matematis, keuntungan investasi dengan strategi protektif put sebagai berikut : a. Untuk membeli saham dan put dia membutuhkan dana sebesar S0 + P b. Sahamnya pada waktu jatuh tempo akan menjadi ST. Dari opsi put yang dibelinya dia mendapatkan keuntungan sebesar max(0,K-ST). c. Keuntungannya totalnya adalah Profit = -S0 – P +ST+ max(0,K-ST)
Contoh4.1.Dipunyai
strategi protektive (investor mempunyai saham dan
melindunginya dengan membeli put seharga P =$3) dengan harga kontrak K = $20 dan S0 = $20. a. Jika pada waktu jatuh tempo, harga saham di bawah harga kontrak
K=$20, maka investor dengan opsi put-nya dapat menjual saham dengan harga K =20, dan dia hanya rugi sebesar harga opsi put (P). b. Jika harga saham berada di antara harga K=$20 dan K+P=$23,
investor mengalami kerugian bervariasi dari (0,P). Jika harga saham di atas harga K + P =$23, investor mulai mendapat keuntungan. Tabel 4.1. Perbandingan Protektif Put dan Saham
36
P
3 S0
K
20
ST
Protective Put
Saham
10
-3
-10
15
-3
-5
17
-3
-3
20
-3
0
21
-2
1
23
0
3
27
4
7
35
12
15
Dari ilustrasi tabel di atas dapat kita lihat bahwa strategi protektive put mampu memperkecil resiko investasi, kerugian investasi karena harga saham turun dapat dikontrol hanya sebesar harga opsi put. Berbeda dengan investasi pada saham tunggal, kerugiannya cukup besar mengikuti penurunan harga saham. Tentu saja sebagai akibat pengontrolan resiko tersebut, ada harga yang harus dibayar, yaitu tingkat keuntungan ketika harga saham naik masih dikoreksi dengan harga opsi put.
4.2. Covered call
Strategi lainnya yang umum digunakan adalah untuk melindungi dari penurunan harga adalah covered call, yaitu suatu strategi membeli saham dan mengeluarkan atau menjual opsi call atas saham pokok. Strategi ini dilakukan
oleh investorketika melihat ada kekuatiran turunnya harga saham, sehingga dia melindunginya dengan menjual opsi call. Secara matematis, keuntungan investasi dengan strategi covered call adalah sebagai berikut : d. Untuk membeli saham dia membutuhkan dana sebesar S0, dan dari menjual opsi call dia dapat premi C. e. Sahamnya pada waktu jatuh tempo menjadi ST. Dari opsi yang dijualnya itu dia harus menyediakan keuntungan untuk pembelinya sebesar -max(0,ST-K). f. Keuntungan totalnya adalah Profit = ST-S0 + C - max(0,ST-K)
37
Contoh4.2 Berikut ini diberikan contoh strategi covered call : C = 3, K = 50, S 0 =
50. Tabel di bawah memberikan ilustrasi keuntungan strategi ini dibandingkan dengan membeli saham saja. Tabel 4.2. Perbandingan Covered Call dan Saham C
3
K
50 ST
Saham
40
Covered -10
-7
45
-5
-2
46
-4
-1
47
-3
0
50
0
3
55
5
3
60
10
3
70
20
3
Jika harga saham pada waktu jatuh tempo ST = 45, maka opsi beli tidak dijalankan, dan investor covered call masih mengalami kerugian 45-50 + 3 = -2. Kerugian ini masih lebih kecil dibandingkan jika investor tidak menjual opsi call, karena dia akan mengalami kerugian sebesar 5.Jika harga saham pada waktu jatuh tempo ST = 55, maka opsi beli dijalankan, dan investor covered call menjual saham seharga K = 50. Investor covered call tidak mendapat keuntungan dari kenaikan harga saham, keuntungannya hanya dari menjual opsi call sebesar 3 . Dari ilustrasi pada tabel di atas, dapat dilihat strategi covered call mampu mengurangi resiko investasi, dan sebagai konsekuensinya keuntungan strategi ini juga lebih terbatas dibandingkan dengan strategi membeli saham saja.
Perbandingan : Secara umum Strategi Protektif put lebih bagus/efisien
dibandingkan dengan covered call, karena keuntungan Protektif put lebih besar dibandingkan dengan covered call, sedangkan kerugiannya juga lebih kecil.
4.3. Bull Call Spread, Bear Call Spread dan Butterfly Spread
38
Bull Call Spread. Dalamstrategi ini, investor mengkombinasikan pembelian opsi
call pada harga kontrak yang rendah, K Low, dan menjual opsi call yang lain (saham sama) pada harga kontrak yang lebih tinggi, K High (ingat ! Bukan
membeli opsi pada harga kontrak yang rendah dan menjualnya pada harga kontrak yang tinggi). Investor yang menerapkan strategi iniberharap harga saham akan naik, akan tetapi dia tidak percaya kenaikan harga saham akan berada di atas harga K H. Strategi ini didisain untuk mengambil profit dari kenaikan harga saham, sesuai dengan namanya yaitu
”bull” strategy. Investor Amerika mengilustrasikan
kondisi bull adalah kondisi harga saham sedang bergairah, harga saham sedang naik, sesuai dengan tanduk banteng yang melengkung ke atas. Harapan saham berada K low< ST< K high
Contoh 4.3.Seoranginvestor membeli opsi call pada harga CLow = 3$ dengan
harga kontrak K L = 40. Dia juga menjual opsi call yang lain dengan harga opsi call CHigh =1 dengan harga kontrak K H = 50 (ingat, harga opsi call dengan harga kontrak yang lebih tinggi, akan lebih murah). Hitunglah keuntungan menerapkan strategi bull call spread ketika harga saham pada saat jatuh tempo ST = 45. Jawab. Secara matematis, keuntungan investasi dengan strategi bull call spread
adalah sebagai berikut :
g. Untuk membeli opsi call pada harga kontrak yang rendah, investor membutuhkan dana sebesar CL, dan dari
opsi call tersebut, ada
peluang keuntungan sebesar max(0,ST-K L). h. Investor menjual opsi call pada harga kontrak K H, dia mendapatkan uang sebesar CH. Dari opsi yang dijualnya itu dia harus menyediakan keuntungan untuk pembelinya sebesar -max(0,ST-K H). i.
Keuntungannya totalnya adalah Profit = max(0,ST-K L)-max(0,ST-K H)-CL+CH
39
Ketika harga saham pada saat jatuh tempo ST = 45, maka keuntungan yang
diperolehnya adalah = 5 – 0 – 3 +1 = $3. Ketika harga saham pada saat jatuh tempo ST = 40, maka profit yang diperoleh adalah -2. Ketika harga saham pada saat jatuh tempo ST = 55, maka keuntungan yang diperoleh investor adalah Profit = max(0,ST-K L)-max(0,ST-K H)-CL+CH = 15 – 5 – 3 +1 = $8
Bagaimana jika harga saham pada saat jatuh tempo 60? Keuntungan yang diperoleh investor adalah = 20-10-3+1 = $8. Jadi dapat kita simpulkan di sini, ketika harga saham makin naik, keuntungan yang diperoleh dari strategi ini juga makin besar, akan tetapi keuntungan maksimumnya $8.
Tabel 4.3. Perbandingan Covered dan Bull Spread K-H
50 ST
Bull
C-Low
30
-2
-3
40
-2
-3
42
0
-1
45
3
2
50
8
7
52
8
9
60
8
17
Apabila kita lihat analisa keuntungan menggunakan strategi Bull di atas, maka resiko investasi dapat diminimalisir, sementara itu investor masih bisa berharap untuk mendapatkan keuntungan yang relatif baik. Akan tetapi jika dibandingkan dengan strategi hanya membeli opsi call pada harga kontrak K Low, terlihat lebih strategi Bull Spread kurang begitu menarik.
Bear Call Spread . Selain strategi bull call spread, para peneliti mengembangkan
juga strategi bear call spread. Pada strategi ini, investor membeli opsi call dengan harga kontrak yang relatif tinggi K High dan menjual opsi call yang lainnya pada
40
harga kontrak yang relatif rendah K Low . Strategi ini dirancang untuk mengambil keuntungan dari penurunan harga saham, sesuai dengan
namanya yaitu ”bear”
strategy. Investor Amerika mengilustrasikan kondisi bear adalah kondisi harga saham sedang bergerak turun, sesuai dengan beruang yang menghujamkan cakarnya menukik ke bawah.
Contoh 4.4. Seorang investor menerapkan strategi bear call spread dengan
membeli opsi CH = 1$ pada harga kontrak K H = 50 dan menjual opsi CL = 3 pada harga kontrak K L = 40. Hitung keuntungan investor ketika harga saham pada saat jatuh tempo = 40. Jawab. Keuntungan strategi ini dapat diberikan sebagai berikut: Profit = max(0,ST-K H)-max(0,ST-K L)+CL-CH
Ketika harga saham pada saat jatuh tempo = 40, maka profit investor adalah = 0 – 0 + 3 -1 = $2. Demikian juga ketika harga saham pada saat jatuh tempo = 35,
keuntungan investor juga = 0-0+3-1 = $2. Dapat diambil kesimpulan di sini, keuntungan investasi menggunakan strategi ini adalah 2. Sekarang kita lihat ketika harga saham pada saat jatuh tempo = 55, keuntungan investasi adalah Profit = max(0,ST-K H)-max(0,ST-K L)+CL-CH = 5 – 15 + 3-1 = -$8
Jadi dapat kita simpulkan di sini, ketika harga saham makin tinggi, kerugian dari strategi ini juga makin besar.
Tabel 4.3. Perbandingan Covered dan Bull Spread ST
Bear
C-Low
30
2
3
40
2
3
42
0
1
45
-3
-2
50
-8
-7
52
-8
-9
60
-8
-17
41
Butterfly Spread. Berikutnya akan kita perkenalkan dengan strategi perdagangan
opsi yang melibatkan tiga macam transaksi. Strategi ini dinamakan dengan butterfly spreads. Strategi ini melibatkan pembelian opsi pada harga kontrak rendah K L, dan juga pembelian opsi pada harga kontrak tinggi K H, serta menjual 2 opsi call pada harga kontrak medium K M. Investor dari strategi butterfly spread ini berharap harga saham akan tetap dekat pada angka K M. Keuntungan total dari strategi ini adalah Profit = max(0,ST-K L)-2max(0,ST-K M)+max(0,ST-K H) - CL+2CM - CH
Contoh 4.5.Seorang investor menerapkan stragegi butterfly sebagai berikut:
j.
Membeli opsi call CL = 7$ dengan harga kontrak K L = 55
k. Membeli opsi call CH = 2$ dengan harga kontrak K H = 65 l.
Menjual 2 opsi call CM = 4$ dengan harga kontrak K M = 60
Hitunglah keuntungan investor ketika harga saham pada waktu jatuhtempo sama dengan 60. Profit = max(0,ST-K L)-2max(0,ST-K M)+max(0,ST-K H) - CL+2CM - CH = 5-2.0+0-7+2.4-2 = 4.
Bagaimana jika harga saham pada saat jatuh tempo kurang dari atau sama dengan 55 (K L)? Keuntungan dari investasi adalah -1. Sedangkan jika harga saham 65, keuntungan dari investasi
= 10 – 2*5+0-7+2*4-2 = -$1
Berikut tabel perhitungannya Tabel 4.4. Keuntungan Strategi Butterfly
42
CL
7 KL
55
CM
4 KM
60
CH
2 KH
65
ST
CL
2CM
CH
Butterfly
45
0
0
0
-1
55
0
0
0
-1
57,5
2,5
0
0
1,5
60
5
0
0
4
62,5
7,5
5
0
1,5
65
10
10
0
-1
70
15
20
5
-1
4.4. Straddle, Strangle dan Collar .
Straddle. Strategi berikut yang akan kita bahas adalah strategi Straddle. Strategi
ini didesain dengan membeli opsi call dan opsi put pada harga kontrak dan waktu ekspirasi yang sama. Keuntungan total adalah Profit = max(0,ST-K)+max(0,K-ST)-C-P
Contoh 4.6.Seorang investor opsi menerapkan strategi Straddle dengan membeli
opsi call pada harga C = 3$ dengan harga kontrak K = 45, dia juga membeli opsi put seharga P =2 dengan harga kontrak yang sama. Hitunglah keuntungan opsi menggunakan strategi straddle ketika harga opsi pada waktu jatuh tempo 35. Jawab. Pada waktu jatuh tempo harga saham adalah 35, maka diperoleh
keuntungan Profit = max(0,ST-K)+max(0,K-ST)-C-P = 0+10 – 3-2 = $5
Ketika harga saham pada waktu jatuh tempo lebih kecil atau sama dengan 40, keuntungan strategi ini sama dengan 0. Ketika harga saham pada saat jatuh tempo sama dengan 55, keuntungan investor menjadi 5.
43
Simulasi keuntungan strategi ini secara lengkap dapat anda lihat pada tabel di bawah ini Tabel 4.5. Perbandingan Call, Put dan Straddle ST
Call
Put
Straddle
35
0
10
5
37,5
0
7,5
2,5
40
0
5
0
42,5
0
2,5
-2,5
45
0
0
-5
47,5
2,5
0
-2,5
50
5
0
0
52,5
7,5
0
2,5
55
10
0
5
Dapat kita lihat dari tabel keuntungan di atas, strategi ini akan memberikan keuntungan jika harga saham pada waktu jatuh tempo relatif kecil dibawah harga kontrak atau relatif tinggi di atas harga kontrak. Jadi strategi ini didesain jika investor merasa yakin harga saham akan turun atau naik drastis jauh dari harga kontrak.
Strangle. Strategi berikutnya yang akan kita perkenalkan adalah strategi strangle.
Strategi ini agak mirip dengan strategi straddle, hanya saja strategi ini didesain dengan membeli opsi call dan juga membeli opsi put pada harga kontrak yang tidak sama. Keuntungan totalnya adalah Profit = max(0,ST-K C)+max(0,K P-ST)-C-P Contoh 4.7. Seorang investor opsi menerapkan strategi strangle dengan membeli
opsi call seharga C = 1.5$ dengan harga kontrak K C = 42 dan dia juga membeli opsi put seharga P =2 dengan harga kontrak K P = 45. Hitunglah keuntungan opsi dengan strategi strangle ketika harga saham pada saat jatuh tempo 40.
Jawab: Keuntungan investor pada saat jatuh tempo adalah Profit = max(0,ST-K C)+max(0,K P-ST)-C-P = 0+5 – 1.5-2 = $1.5
44
Keuntungan investor jika harga saham pada saat jatuh tempo = 35 Keuntungan investor pada saat jatuh tempo adalah Profit = max(0,ST-K C)+max(0,K P-ST)-C-P = 0+10 – 1.5-2 = $6.5
Keuntungan investor jika harga saham pada saat jatuh tempo = 50 Keuntungan investor pada saat jatuh tempo adalah Profit = max(0,ST-K C)+max(0,K P-ST)-C-P = 0+8 – 1.5-2 = $4.5
Keuntungan investor jika harga saham pada saat jatuh tempo = 43 Keuntungan investor pada saat jatuh tempo adalah Profit = max(0,ST-K C)+max(0,K P-ST)-C-P = 1+2 – 1.5-2 = -$0.5
Secara lengkap, keuntungan strategi ini dapat dibuat dalam tabel sebagai berikut : Tabel 4.6. Perbandingan Call, Put dan Strangle C
1,5 KC
42
P
2 KP
45
ST
Call
Put
Strangle
35
0
10
6,5
37,5
0
7,5
4
40
0
5
1,5
42,5
0,5
2,5
-0,5
45
3
0
-0,5
47,5
5,5
0
2
50
8
0
4,5
Dapat kita lihat dari tabel keuntungan di atas, strategi ini akan memberikan keuntungan jika harga saham pada waktu jatuh tempo relatif kecil dibawah harga kontrak atau relatif tinggi di atas harga kontrak. Jadi strategi ini didesain jika investor merasa yakin harga saham akan turun atau naik drastis jauh dari harga kontrak.
Collar. Strategi berikutnya yang akan kita perkenalkan adalah strategi collar.
Strategi ini dijalankan dengan membeli saham underlying, menjual opsi call pada
45
harga kontrak yang relatif tinggi, dan membeli opsi put pada harga kontrak yang lebih rendah. Keuntungan totalnya adalah Profit = ST-S0- max(0,ST-K Call)+max(0,K Put-ST) Contoh 4.7. Seorang investor opsi menerapkan strategi collar dengan 1. membeli saham seharga $40.5 2. menjual opsi call pada harga kontrak K call= $50 seharga $9,8 3. membeli opsi put pada harga kontrak K put = $40 seharga $9,5
Hitunglah keuntungan opsi dengan strategi collar ketika harga saham pada saat jatuh tempo $20.
Jawab: Modal awal yang diperlukan adalah 40,2. Pada saat jatuh tempo
modalnya menjadi 20 – 0 + (40-20) = 40. Keuntungan investor pada saat jatuh tempo adalah Profit = ST-S0- max(0,ST-K Call)+max(0,K Put-ST) + C-P = 20-40.5 -0+40-20 + 0.3 = -0.2
Keuntungan jika harga saham pada waktu jatuh tempo adalah 50. Jawab: Modal awal yang diperlukan adalah 40,2. Pada saat jatuh tempo
modalnya menjadi 50 – 0 + 0 = 50. Keuntungan investor pada saat jatuh tempo adalah Profit = ST-S0- max(0,ST-K Call)+max(0,K Put-ST) + C-P = 50-40.5 -0+0 + 0.3 = 9.8
Secara lengkap, keuntungan strategi ini dapat dibuat dalam tabel sebagai berikut : Tabel 4.7. Perbandingan Call,Put,Collar
46
C
9,8 KC
50
P
9,5 KP
40
ST
Call
Put
Collar
35
0
5
-0,2
37,5
0
2,5
-0,2
40
0
0
-0,2
42,5
0
0
2,3
45
0
0
4,8
47,5
0
0
7,3
50
0
0
9,8
52,5
2,5
0
9,8
55
5
0
9,8
Dapat kita lihat dari tabel keuntungan di atas, strategi ini akan memberikan keuntungan jika harga saham pada waktu jatuh tempo naik di atas harga kontrak opsi put.
Latihan Soal
1. Seorang investor sangat percaya bahwa suatu saham akan berubah secara signifikan selama beberapa bulan ke depan. Akan tetapi arah perubahan harganya tidak diketahui. Pasangan strategi mana yang paling mungkin menghasilkan keuntungan jika pergerakan harga saham seperti yang diharapkan? I.
Short Butterfly spread
II.
Bearish calendar spread
III.
Long at the money straddle
IV.
Short Strangle a. I dan III
b. I dan IV c. II dan III d. II dan IV Jawab : Strategi short butterfly spread akan menghasilkan keuntungan yang tertinggi dan strategi long straddle juga akan menghasilkan profit
47
yang signifikan jika terdapat volatilitas yang tinggi pada harga saham. Sedangkan short strangle akan mengundang kerugian yang besar jika pergerakan harga saham bergerak terlalu tajam. 2. Strategi mana yang akan menciptakan bear spread? a. Membeli opsi call dengan strike price 45 dan menjual opsi call dengan harga kontrak 50 b. Membeli opsi call dengan strike price 50 dan membeli opsi put dengan harga kontrak 55 c. Membeli opsi put dengan strike price 45 dan menjual opsi put dengan harga kontrak 50 d. Membeli opsi call dengan strike price 50 dan menjual opsi call dengan harga kontrak 45 Strategi bear spread melibatkan pembelian opsi call dengan harga kontrak tinggi dan menjual opsi call dengan harga kontrak yang rendah. 3. Seorang investor yakin bahwa suatu saham akan naik atau turun sangat besar dalam beberapa bulan ke depan. Akan tetapi dia cenderung percaya harga saham akan turun. Strategi mana yang terbaik untuk investor ini? a. Protektif put b. At the money strip c. At the money strap d. Kombinasi top vertikal 4. Seorang investor membuat strategi long straddle dengan membeli opsi call April $30 seharga $4 dan put April $30 seharga $3. Jika harga saham pada waktu jatuh tempo $27, berapakah keuntungan dari strategi ini ? a. -$4 b. -$2 c. $2 d. $3 Jumlah dana yang diperlukan untuk menjalankan strategi ini adalah $7. Jika pada waktu jatuh tempo harga saham $27,
48
maka opsi call tidak
dijalankan, otomatis keuntungannya nol. Sedangkan menjalankan opsi put akan memberikan keuntungan $3. Jadi nilai dari strategi ini adalah -$4. 5. Dipunyai strategi opsi dimana seorang investor membeli satu opsi beli dengan harga kontrak $55 seharga $7, menjual 2 opsi call dengan harga kontrak $60 seharga $4 dan membeli satu opsi beli dengan harga kontrak $65 seharga $2. Jika harga saham turun menjadi $25, berapakah keuntungan atau kerugian strategi ini? a. -$3 b. -$1 c. $1 d. $2 Jawab. Strategi di atas adalah strategi butterfly spread dimana investor membeli suatu opsi call dengan harga kontrak rendah dan tinggi, dan menjual 2 opsi call dengan harga kontrak diantaranya. Jika harga saham pada waktu jatuh tempo $25, maka semua opsi call tidak dijalankan. Keuntungannya adalah sama dengan -$7-$2+2×$4 = -$1.
a. Seorang manager portofolio ingin melindungi portofolio obligasinya dari perubahan suku bunga. Dia ingin membeli opsi put dengan harga kontrak di bawah harga sekarang portofolio untuk melindungi dari kenaikan suku bunga. Dia juga ingin menjual opsi call dengan harga kontrak di atas harga portofolio sekarang untuk mengurangi biaya pembelian opsi put. Strategi apa yang direncanakan oleh manager tersebut? a. Bear Spread b. Strangle c. Collar
d. Straddle
b. Statement mana dari strategi perdagangan opsi yang tidak benar?
49
i. Long strangle meliputi membeli opsi call dan opsi put dengan harga kontrak yang sama ii. Short bull spread adalah strategi menjual opsi call pada harga kontrak yang rendah dan menjual opsi call lain pada harga kontrak yang lebih tinggi iii. Vertical spread adalah strategi yang dibentuk dengan opsi yang mempunyai waktu jatuh tempo yang berbeda-beda iv. Long butterfly spread dibentuk dengan membeli dua opsi pada harga kontrak yang berbeda dan menjual dua opsi lain pada harga kontrak yang sama. a. i saja b. i dan iii
c. i dan ii d. iii dan iv c. Strategi bearish dengan membeli opsi put pada harga kontrak $50 seharga $7, menjual dua opsi put pada harga kontrak $42 masing-masing seharga $4, dan membeli satu opsi put pada harga kontrak $37 seharga $2. Semua opsi put di atas mempunyai waktu jatuh tempo yang sama. Hitunglah keuntungan akhir perlembar saham dari strategi di atas jika harga saham $33 a. $1 per lembar b. $2 per lembar c. $3 per lembar d. $4 per lembar
Modal yang dibutuhkan adalah -7+2.4-2 = -1. Sedangkan keuntungannya adalah 17-2.9+4 = 3. Jadi total keuntungan perlembar saham adalah -1+3 = $2 perlembar.
50
Modul 5 Volatilitas Harga Saham Tujuan Pembelajaran dari matakuliah ini adalah : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa 1. Memahami konsep volatilitas harga saham 2. Memahami konsep volatilitas tersirat suatu opsi Sedangkan capain pembelajaran matakuliah ini adalah agar mahasiswa 1. Mampu menghitung nilai volatilitas suatu saham 2. Mampu menghitung nilai volatilitas tersirat
Volatilitas Harga Saham
Volatilitas
atau
volatilitireturn
saham
yang
dinyatakan
dengan
σmerupakan standar deviasi dari logreturn saham pada periode tahunan. Volatilitas ini sering digunakan untuk mengukur tingkat resiko dari suatu saham. Nilai volatilitas berada pada interval yang positif yaitu antara 0 sampai dengan tak terhingga ( 0 ). Walaupun volatilitas bisa bernilai besar sekali, pada kenyataannya, nilai volatilitas jarang lebih besar dari 1. Nilai volatilitas yang tinggi menunjukkan bahwa harga saham berubah (naik dan turun) dengan range yang sangat lebar.
Sedangkan volatilitas dikatakan rendah jika harga saham
jarang berubah atau cenderung konstan. Ada dua cara dalam mengestimasi volatilitas, yaitu dengan menggunakan data historis atau historical volatility dan menggunakan informasi volatilitas pasar hari ini atau implied volatility.
5.1 Estimasi VolatilitasHistoris Harga Saham
Salah satu metode untuk mengestimasi volatilitas saham berkaitan dengan opsi adalah volatilitas historis, yaitu volatilitas yang dihitung berdasarkan pada harga-harga saham masa lalu, dengan anggapan bahwa perilaku harga saham di masa lalu dapat mencerminkan perilaku saham di masa mendatang.
51
Teknis untuk menghitung volatilitas historis adalah dengan mengambil n+1 harga saham, dihitung nlog returnnya (tingkat keuntungan yang diperoleh
dari akibat melakukan investasi) sebagai berikut: Rt
S ln t S t 1
dimanaS t dan S t-1 menotasikan harga pasar saham pada waktu ke t dan t-1. Selanjutnya dihitung rata-rata return saham: Rt
1
n
n
Rt t 1
dan variansi atau kuadrat standar deviasi : s
2
1
n
Rt Rt
n 1 t 1
2
Volatilitas tahunan dihitung dengan rumus sebagai berikut: n
R
t
k
Rt
2
t 1
n 1
(5.1)
Dimana k = banyaknya periode perdagangan dalam satu tahun. Jika datanya harian maka periode perdagangannya juga harian, k =252 hari. Jika datanya mingguan, maka periode perdagangannya juga mingguan, k = 52 minggu. Begitu juga dengan data bulanan. Biasanya cukup diambil antara 90 sampai dengan 180 data hari perdagangan untuk teknik estimasi volatilitas. Lambang umum untuk volatilitas
saham adalah σ, yang dalam ilmu
statistika digunakan untuk melambangkan parameter standard deviasi suatu populasi. Padahal nilai volatilitas dihitung dari sampel, jadi dari sisi penggunaan
lambang σ untuk nilai volatilitas seperti menyalahi aturan statistika, akan tetapi perlu diingat bahwa hal ini sudah menjadi kebiasaan bagi para praktisi maupun peneliti opsi. Sebaiknya kita yang perlu menyesuaikan diri dengan perubahan ini. Contoh 5.1.Berikut ini diberikan ilustrasi penghitungan volatilitas menggunakan
data historis dari suatu saham. Tabel 5.1.Data harga saham dan return Tanggal
Saham
return
52
ln return
10/11/2006
73.23
10/12/2006
75.26
1.027721
0.027344
10/13/2006
75.02
0.996811
-0.00319
10/16/2006
75.4
1.005065
0.005053
10/17/2006
74.29
0.985279
-0.01483
10/18/2006
74.53
1.003231
0.003225
10/19/2006
78.99
1.059842
0.05812
10/20/2006
79.95
1.012153
0.01208
10/23/2006
81.46
1.018887
0.018711
10/24/2006
81.05
0.994967
-0.00505
10/25/2006
81.68
1.007773
0.007743
10/26/2006
82.19
1.006244
0.006224
10/27/2006
80.41
0.978343
-0.0219
10/30/2006
80.42
1.000124
0.000124
10/31/2006
81.08
1.008207
0.008173
11/1/2006
79.16
0.97632
-0.02397
:
:
: VoL
: 0,3229
5.2 Implied Volatiliti.
Sejauh ini, perhatian difokuskan pada penghitungan harga opsi teoritis berdasarkan estimasi parameter-parameternya seperti harga saham dasar, nilai volatilitas, suku bunga bebas resiko dan waktu ekspirasi. Sekarang coba anda lihat apa yang terjadi dalam praktek di pasar bursa, harga opsi pasar kebanyakan akan berbeda dari harga opsi teoritis. Bagaimana ini bisa terjadi?Salah satu alasannya adalah beberapa faktor tidak mengikuti model dengan baik Untuk mengatasi hal ini, kita membutuhkan model yang lebih baik dalam hal estimasi nilai volatilitas. Estimasi volatilitas baru yang akan diperkenalkan di sini adalah implied volatiliti. Implied volatiliti adalah volatilitas pasar yang dipandang lebih realistik dibandingkan dengan volatilitas historis. Di pasar sudah tersedia data harga opsi, harga saham, harga kontrak, dan suku bunga bebas resiko serta waktu jatuh tempo.Tidak ada informasi mengenai nilai volatilitas, walaupun pada kenyataannya ada. Dengan menggunakan formula Black Scholes, nilai volatilitas opsi tersebut akan diestimasi. Untuk mendapatkan nilai volatilitas ini, dapat digunakan metode coba-coba maupun metode-metode ilmiah seperti interpolasi.
53
Contoh5.2.Opsi saham Midwest secara teoritis dihitung menggunakan formula
BS adalah 14.98 pence.Dari data, dihitung volatilitas historis 30%.Harga saham Midwest sekarang adalah 148 dan opsi tersebut mempunyai harga kontrak 150.Waktu ekspirasi 180 hari (1 tahun ada 365 hari kalender) dan suku bunga bebas resiko adalah 10%. Jika harga opsi di pasar 17 pence, berapa implied volatiliti dari opsi tersebut? Jawab. Dengan metode trial and error, nilai volatilitas 35,05% bersesuaian
dengan harga opsi call teoritis BS sebesar 17 pence. Jadi implied volatiliti pasar untuk saham Midwest pada tanggal tersebut di atas adalah 35.05%. (Anda bisa mencoba memasukkan nilai volatilitas di sekitar 35, setelah mendapat interval yang paling mendekati, anda bisa memfokuskan pada nilai volatilitas antara 3 dan 3,1, dan akhirnya mendapatkan nilai estimasi 35,05% ) Banyak praktisi menyakini menggunakan implied volatiliti lebih informatif dibandingkan dengan volatilitas historis.
5.3. Estimasi Implied Volatiliti Dengan Interpolasi
Salah satu metode untuk mengestimasi implied volatilitas adalah metode interpolasi linier.Metode ini cukup sederhana karena menggunakan kesamaan
segitiga sebangun.
54
Gambar 5.1 Interpolasi linear untuk volatilitas
Misalkan di pasaran dipunyai informasi pasangan harga opsi dan volatilitasnya
sebagai berikut: (σn , C(σn); σ n+1 , C(σn+1)). Dipunyai juga informasi suatu harga opsi sebesar C(σ*). Ingin dicari volatilitas yang bersesuaian dengan harga opsi tersebut. Dengan menggunakan interpolasi linear dibentuk segitiga besar ABCDE dan berdasarkan sifat 2 segitiga ABC dan ADE diperoleh : AB AD
BC
DE
Selanjutnya diperoleh kesamaan dalam harga opsi dan nilai volatilitas sebagai berikut :
n 1
n 1
*
n
C * C x C
C n 1
n 1
n
Nilai volatilitas dapat dihitung dari kesamaan di atas. * n 1
C * C x C
C n 1 n 1
n 1
n
n
Contoh5.3. Diketahui harga opsi perusahaan komputer Apple pada tanggal 1
januari 2007 adalah $4, dengan harga saham $ 40, harga kontrak $45, tingkat suku bunga 4%, dan batas waktu opsi 6 bulan. Dengan menggunakan rumus Black Scholes diperoleh harga teoritis : Tabel 5.2. Perbandingan Volatilitas dan Harga Opsi Volatilitas
Harga opsi
0,2
0,8599
0,4
2,9528
0,5
4,02473
0,8
7,4469
55
Harga opsi di pasar $4. Dari perhitungan rumus BS pada tabel di atas diperoleh 2,9528
≤ 4 ≤ 4,02473, yang berarti volatilitasnya terletak diantara 0,4 dan 0,5.
Dengan menggunakan metode interpolasi diperoleh: 0,5
*
0,5 0,4
4,02473 4
0,5
*
0,5 0,4
4,02473 2,9528
0,02307
*
0,5 0,002307
0,4936
Jadi dengan menggunakan metode interpolasi linier diperoleh nilai
implied
volatilitas dari harga opsi perusahaan komputer Apple pada tanggal 1 januari 2007 sebesar $4 adalah 49,36%. Estimasi Interpolasi Kuadratik. Dengan menggunakan interpolasi kuadratik
dan
mengambil
pasangan
data
volatilitas
dan
harga
opsi
(0,2;0,8599),(0,4;2.9528),(0,8;7,446) diperoleh persamaan kuadratik sebagai berikut
1.2846 9.693671.130
Selanjutnya dengan menyamadengankan 4, kita peroleh σ=0.4939. Jadi dengan metode interpolasi kuadratik diperoleh implied volatiliti sebesar 49,39%. Hasil ini sedikit berbeda dengan metode interpolasi linear.
Latihan Soal.
1. Apakah implied volatilitas itu? Bagaimana volatilitas ini dihitung? 2. Carilah nilai implied volatilitas saham Midwest pada soal no 7.2 dengan menggunakan metode Interpolasi linier 3. Hitunglah volatilitas harga saham Indosat, Bank Mandiri, dan Astra saat ini. Anda bisa mendownload harga saham ketiganya melalui website yahoo_finance.com atau sumber lainnya. Anda bisa menggunakan data harga saham 3 bulan, atau 6 bulan atau 1 tahun dari sekarang. 4. Bisakah nilai volatilitas suatu saham yang didefinisikan dengan formula (7.1) di atas bernilai negatif ? Atau bernilai lebih besar dari angka 1?
56
5. Volatilitas dari suatu saham adalah 30% pertahun. Berapakah standard deviasi dari prosentase perubahan harga dalam satu hari?
57
Modul7 Model Black-Scholes-Merton Tujuan Pembelajaran dari matakuliah ini adalah : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa 1. Memahami konsep model harga saham BSM 2. Memahami konsep penentuan harga opsi model BSM 3. Memahami konsep formula harga opsi BSM Sedangkan capain pembelajaran matakuliah ini adalah agar mahasiswa 1. Mampu menurunkan formula Opsi Call model BSM 2. Mampu menurunkan formula Opsi Put model BSM 3. Mampu menghitung harga opsi call model BSM 4. Mampu menghitung harga opsi put model BSM
7.1 Formula Harga Opsi Model Black Scholes 7.1.1. Distribusi Probabilitas Harga Saham Model
yang
digunakan
untuk
mengembangkan
model
BSM
mengasumsikan harga saham berdistribusi lognormal. Dengan menggunakan sifat transformasi variabel random, diketahui bahwa ln dari variabel random berdistribusi lognormal akan berdistribusi normal, jadi diperoleh ln harga saham berdistribusi normal sebagai berikut
Dimana
ln S~NlnS μ T, σT
ST
= harga saham pada waktu T
S0
= harga saham pada waktu 0
µ
= harapan keuntungan saham per tahun
σ
= volatilitas saham pertahun
58
(7.1)
Contoh7.1. Penghitungan mean and standard deviasi . Misalkan suatu saham
mempunyai harga awal S0 = $25, harapan tingkat pengembalian 12%, dan volatilitas tahunan 20%. Hitunglah mean dan standard deviasi dari distribusi harga saham dalam 3 bulan ke depan. Jawab. Diketahui bahwa T = 3/12 = 0.25 tahun. Distribusi harga saham 3 bulan
ke depan mengikuti
0. 2 ln ~ln250.12 2 0.25,0.2 ×0.25
Ln ST~N(3.244; 0.1).
Karena Ln ST berdistribusi normal, 95% nilai-nilainya akan berada dalam interval 1.96 standard deviasi dari mean-nya. Jadi, Ln STakan terletak antara 3.244 ± 1.96*0.1, atau exp3.244-1.96*0.1< ST< exp3.244+1.96*0.1 21.073 < ST< 31.187.
Contoh 7.2Distribusi return . Misalkan suatu saham mempunyai harapan
pengembalian tahunan 12% dan volatilitas tahunan 20%. Hitunglah mean dan standard deviasi dari distribusi probabilitas untuk rata-rata tingkat pengembalian majemuk kontinu selama 4 tahun. Jawab. Dari data yang disebutkan sebelumnya, kita dapat menghitung
= 0.12-0.22/2 = 0.10,
mean = 12 2 dan
standard deviasi =
= 0.2/√4 = 0.10.
T
7.1.2 Expected Value.
Dengan menggunakan sifat dari distribusi lognormal (ingat kembali ekspektasi distribusi normal dan lognormal), ST akan berdistribusi lognormal dan kita dapat menunjukkan bahwa nilai harapan dari ST ,
+ +− ESe Se 59
Sedangkan variansinya adalah Var(ST)= S02 e2μT (eσ^2*T - 1)
dimana µ = nilai harapan tingkat pengembalian.
Contoh 7.3.Nilai harapan harga
saham. Misalkan suatu saham sekarang
berharga 25 dengan nilai harapan pengembalian tahunan 20% dan volatilitas 40%. Hitunglah nilai harapan harga saham 6 bulan ke depan.
Jawab. Nilai harapan harga saham dapat dihitung sebagai berikut
= $25*e0.2*0.5
E(ST)
= $27.63. Hasil ini cocok dengan definisi dari µsebagai nilai harapan tingkat pengembalian. Nilai variansi dari ST , var(ST), dapat ditunjukkan Var(ST)
= S02 e2μT (eσ^2*T - 1) = 625*e2*0.2*0.5*(e0.2*0.2*0.5-1) = 63,58.
Contoh 7.4. Misalkan suatu saham dimana harganya adalah $20, dan nilai
harapan pengembaliannya adalah 20% pertahun serta volatilitas 40% per tahun. Dapat dihitung nilai-nilai harapan dan variansi E(ST) = 20*e0.2*1 = 24.43 dan Var(ST) = 400* e2*0.2*1 *(e0.4*0.4*1 -1) =103.54. Standard deviasi harga saham dalam 1 tahun adalah $10,18.
7.1.3 Distribusi Return Saham
60
Sifat lognormal dari harga saham dapat digunakan untuk mencari informasi distribusi probabilitas return saham atau tingkat pengembalian majemuk kontinu dari suatu saham antara waktu 0 dan T. Jika kita mendefinisikan tingkat pengembalian majemuk kontinu antara waktu 0 dan T sebagai x, maka diperoleh ST= S0exT Sehingga
x=
Dari persamaan (7.1) diketahui jika ln ST berdistribusi normal dengan mean lnS0 +
σ [ ]
(μ-σ2/2)T dan variansi
T, maka dapat dibuktikakn juga bahwa x berdistribusi
2
normal dengan mean E(X)
=
= =
Dan variansinya adalah V(X) =
=
Sehingga dapat dituliskan X~N(μ-σ2/2,σ2/T) Jadi,tingkat pengembalian majemuk kontinu pertahun berdistribusi normal dengan mean (μ-σ2/2)dan standard deviasi σ/√T.
Selanjutnya, dapat dihitung persamaan : E (ST) = S0eµT Ln E (ST) = ln S0 + μT Mungkin kita tergoda untuk membuat manipulasi aljabar Ln E (ST) = ELn (S T), sehingga E [Ln (ST)-ln S0] kita pada
= μT, atau E [Ln (ST/S0 )] = μT, yang akan menuntun
E(R) = μ. Kita tidak dapat melakukan hal tersebut karena ln bukan
fungsi linear. Faktanya adalah Ln E (ST) > ELn E(ST), sehingga E[ln(ST/S0)]
61
<μT, yang menuntun pada E(x) <μ. (Seperti yang sudah ditunjukkan di atas, E(x) = μ-σ2/2).
Contoh 7.5. Misalkan suatu saham dengan nilai harapan pengembalian 17% per
tahun dan volatilitas 20% per tahun. Distribusi probabilitas untuk rata-rata tingkat pengembalian selama 3 tahun adalah normal, dengan mean (0.17 -0.22/2) = 0.15 dan standard deviasi
0.2/√3 = 0.1155 per tahun. Selanjutnya kita dapat melihat
interval konfidensi 95% bahwa rata-rata return pertahun dalam 3 tahun mendatang 0.15 – 1.96*0.1155 <μ< -7.6% <μ<
0.15 + 1.96*0.1155 37.6%
7.1.4. Volatilitas
Volatilitas suatu saham adalah suatu ukuran ketidakpastian dari return atau tingkat pengembalian dari suatu saham. Suatu saham biasanya mempunyai volatilitas antara 15% and 60%.Volatilitas suatu harga saham dapat didefinisikan sebagai standarddeviasi dari return saham dalam 1 tahun ketika return diekspresikan menggunakan pemajemukan kontinu. Ketika nilai T cukup kecil, persamaan (1) menunjukkan bahwa σ√Tsecara aproksimasi sama dengan standard deviasi dari persentase perubahan harga saham pada waktu T. Misalkan σ = 0.3, atau 30%per tahun, dan harga saham sekarang adalah $50. Standard deviasi dari persentase perubahan harga saham dalam 1 minggu adalah 30 ×
1/√52 = 4.16%. Standard-deviasi harga saham dalam 1
minggu dapat dihitung 50 ×0.0416 = $2.08. Persamaan (7.1) menunjukkan bahwa ketidakpastian terhadap harga saham ke depan, yang diukur dengan standard deviasi-nya meningkat sebanding dengan akar kuadrat panjang waktu ke depan-nya. Sebagai contoh, standard deviasi harga saham dalam 4 minggu sama dengan 2 kali standard deviasi dalam 1 minggu. 7.1.5. Hari Perdagangan versus Hari Kalender
Hal lain yang penting adalah masalah waktu jatuh tempo, apakah waktu jatuh tempo seharusnya diukur dalam hari kalender atau hari perdagangan ketika
62
mengestimasi volatilitas. Riset menunjukkan bahwa volatilitas membesar ketika bursa dibuka untuk perdagangan dibandingkan ketika bursa ditutup. Sebagai hasilnya, praktisi cenderung mengabaikan hari-hari ketika bursa ditutup pada waktu mengestimasi volatilitas dari data historis dan ketika menghitung umur opsi. Volatilitas pertahun dihitung dari volatilitas perhari perdagangan dengan menggunakan formula Volatilitas per tahun = standard deviasi return harian/252. Banyaknya hari perdagangan dalam 1 tahun biasanya diasumsikan 252 untuk saham. Waktu hidup opsi juga biasanya diukur menggunakan hari perdagangan dibandingkan dengan hari kalender. Banyaknya hari perdagangan dihitung sebagai T tahun, dimana T = banyaknya hari perdagangan sampai waktu jatuh tempo/ 252. Cukup wajar mengasumsikan bahwa volatilitas dari suatu saham disebabkan oleh informasi baru yang sampai ke pasar. Informasi baru ini menyebabkan orang untuk merevisi pendapat atau pandangan tentang harga saham. Harga saham berubah dan secara otomatis akan memunculkan angka volatilitas.
7.2 Formula BLACK-SCHOLES untuk Opsi Call
Model penentuan harga opsi yang paling terkenal dan banyak digunakan orang adalah model Black Scholes. Hasil perhitungan harga opsi beli model Black Scholes untuk tipe Eropa sama dengan tipe Amerika. Untuk alasan di atas, di sini akan diturunkan formula matematis harga opsi beli tipe Eropa dengan fungsi keuntungan opsi f T = (S T- K )+ = maks(S T -K ,0). Harga rasional premi opsi Black ScholesCBSadalah :
CB Nd – KeNd
dengan
d 1
ln S 0 / K T r / 2
2
T
63
(7.2)
d 2
T r
ln S 0 / K
dan N x
1
x
2
e y
2
/2
2
/2
T
d 1
T
(7.3)
dy adalah nilai kumulatif distribusi normal standard.
Pembuktian formula Black-Scholes secara matematik tidaklah mudah. Black-Scholes sendiri membuktikan formulanya dengan pendekatan PD parsial yang relatif panjang dan tidak mudah untuk dipahami. Pada materi kuliah ini, formula harga opsi model Black-Scholes di atas akan dibuktikan melalui pendekatan statistika, dengan menggunakan distribusi variabel random lognormal dan normal. Pendekatan ini relatif lebih sederhana dan mudah untuk dipahami. Fungsi densitas dari S T yang berdistribusi lognormal dapat ditulis sebagai berikut 1 ln S 1 e 2 g ( S T ) S 2 T 0 T
2
, S T 0 , S T 0
Secara umum harga kontrak opsi dapat dituliskan dalam bentuk harga harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo yang terdiskon oleh suku bunga bebas resiko r.
CB e−E[maksS K,0]
dimana S Ta dalah harga saham pada waktu T dan E menunjukkan nilai harapan. Di bawah proses stokastik diasumsikan oleh Black-Scholes bahwa S T berdistribusi lognormal. Diasumsikan harga saham mengikuti proses random gerak brownian geometrik ST = S 0 exp [ (r-0.5σ2)T +σWT ] , di mana W T adalah proses brownian berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variansi T. Terlihat bahwa ST merupakan fungsi eksponen dari WT, sehingga ST berdistribusi lognormal. Selanjutnya diperoleh Ln ST = ln S0 +(r-0.5σ2)T
+σWT merupakan fungsi linear
dari WT sehingga ln ST berdistribusi normal. Rata-rata dan variansi dari ln ST masing-masing E(ln ST) = m = ln S 0 + (r-0.5σ2)T ; Var(ln S T) = σ2 T
64
Deviasi standar dari ln S T adalah σ√T. Dengan transformasi diperoleh T adalah
√ − Z~N0;1
(7.4)
Dan diperoleh hubungan ln S T = eZσ√T+m. T= Zσ√T+m atau S T T = Selanjutnya ekspektasi fungsi keuntungan opsi dapat dijabarkan dalam bentuk integral sebagai berikut
(S S
E[max( ST K , 0)]
K
K
T
K ) g ( ST ) dS T
T g (ST )dST K
K
g (ST )dST
Dari nilai maks(ST-K,0), yang dihitung integralnya adalah nilai ST yang lebih besar dari K. Sedangkan untuk nilai ST yang lebih kecil dari K, keuntungan opsinya akan sama dengan nol. Integral dari fungsi nol sama dengan nol.
Harga harapan keuntungan opsi di atas mengandung dua integral, Integral I dan II. Integral I akan dibawa ke variabel random Z dengan transformasi normal standard (7.4) di atas. Batas bawah ST = K menjadi
− √ √ √ + +
∫ SgSdS ∫ e √
Sekarang kita lihat
. Integralnya menjadi
f zdz
e√ √ ++f z e√ √ ++ √ 12π2π e−, −√ )++ √ 12π2π e,−(−(−√ 1 ( ) , −( − −√ − √ + e √ 2π2π e Sefzσ√ fzσ√ TT ∫ SgSdS Se ∫f(zσ√ ∫f(zσ√ T)dz T)dz
(7.5)
Selanjutnya diperoleh
√
65
Misalkan z-σ√T
= y, dz = dy, batas bawah z dikurangi σ√T. Dengan
menggunakan sifat sifat distribusi normal 1-N(-a) = N(a), integral di atas menjadi
− −+ Se 1N √ √ l n rT0. 5 σ T Se 1N σ√ T l n rT0. 5 σ T Se N σ√ T Se
(7.6)
Untuk integral yang kedua II
∫ KgSdS K∫ fz dz √
KNd
KN lnσK√ mT rT0. 5 σT l n KN σ√ T
(7.7)
dengand 1dan d 2 seperti persamaan (7.3). Selanjutnya dengan memasukkan faktor diskonto selama waktu jatuh tempo T tahun ke dalam formula harga opsi, diperoleh rumus harga opsi beli model Black Scholes sebagai nilai present value dari harapan keuntungan opsi call seperti pada persamaan (7.2) di atas.
CB e−[See−NE[maks md aks KNS K,d ]0] − SNd Ke Nd 66
Contoh7.6Sebagai contoh dapat dilihat opsi saham Barnes Group Inc. yang
ditawarkan di situs www.yahoo.finance www.yahoo.finance.. Pada tgl 26 nov 2009, harga saham perusahaan tersebut S0 = 15,92$. Kita pilih opsi dengan harga kontrak K = 12.5$. Opsi tersebut di pasaran dijual dengan harga 4.73$. Bagaimana harga opsi menurut Black Scholes? Berikut diberikan informasi harga opsi
Menurut BlackScholes, dengan nilai volatilitas 20%, tingkat suku bunga r =0,25%, harga opsinya adalah sebagai berikut: d 1
d 2
ln 15,92 ,92 //1 12 2,5 0,00 ,0025 0,04 ,04 / 2 22 / 365 0,2 22 / 365
4.044507695
4.04 4.044 45076 507695 95 0, 2 22 / 365
3.984205426
Nilai yang bersesuaian untuk distribusi distr ibusi normal kumulatif kumulati f dapat ditentukan N(d1) = 0.999973783 ,
dan
N(d2) =
0.999966147 .
Selanjutnya harga opsi beli dapat
dihitung dengan menggunakan rumus CBS = 15,92 x 0.999973783 0.999973783 – 12.5 12.5 × e-0.0025*22/365 × 0.999966147 = 3.421883474 Bagaimana dengan harga yang ditawarkan di pasar untuk opsi tersebut? Apakah harga opsi di pasar tidak terlalu berbeda dengan harga opsi model Black Sholes?
67
7.1.7 Formula BLACK-SCHOLES untuk Opsi Put
Dengan cara yang sama dapat diturunkan formula harga opsi jual model Black Scholes. Secara matematis harga opsi jual merupakan present value dari nilai harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo dengan suku bunga bebas resiko r dan waktu jatuh tempo T tahun, atau dapat dituliskan dalam bentuk p = erT
E[maks(K-ST,0)]. Selanjutnya ekspektasi fungsi keuntungan opsi dapat
dijabarkan dalam bentuk integral sebagai berikut
E[maksKST, 0]
∫ ∫ ∫
Pembuktian rumus harga opsi put di atas diberikan sebagai berikut. Dari nilai maks(K-ST,0), yang dihitung integralnya adalah nilai ST yang lebih kecil dari K. Sedangkan untuk nilai ST yang lebih besar dari K, nilai maksimalnya akan sama dengan nol. Integral dari fungsi nol akan sama dengan nol. Penjabaran Secara matematisnya dapat dilihat sebagai berikut: Untuk integral yang pertama
∫g SdS Pr0
Kita tahu bahwa (r-0.5σ 2)T+σWT ~ N((r-0.5σ 2)T,σ2T). Dengan transformasi variabel random diperoleh
Z 0.52TσW√ 0.52T W√ ~0;1 68
Selanjutnya diperoleh
ln K ln S r 0.5 T g ST dST Pr Z T ln S / K r 0.5 T Pr Z T N d . 2
K
0
2
0
2
Untuk Integral yang kedua dibawa ke variabel random Z dengan transformasi normal standard (7.4) di atas. Batas atas ST = K menjadi menjadi
√ −
. Integralnya
√
∫S gSdS −∫ e√ +f zdz e√ +f z Sefzσ√ T
Dari persamaan (7.5) di atas diperoleh
Selanjutnya diperoleh
Misalkan z-σ√T
√ ∫S gSdS Se −∫ f(zσ√ T)dz
= y, dz = dy, batas atas z dikurangi σ√T. De ngan menggunakan
sifat sifat distribusi normal integral di atas menjadi
T lnKlnS rT σ T l n rT0. 5 σ σ T Se N σ√ T σ√ TSe N σ√ T Se
dengand 1dan d 2 seperti persamaan (7.3).
69
Diperoleh rumus harga opsi jual model Black Scholes sebagai berikut:
PB e−−E[[m aksS ,0] ] −
Dapat diringkas, harga opsi call dan opsi put tipe Eropa model Black-Scholes, tanpa pembayaran dividen adalah sebagai berikut : C = S0 N(d1) – Ke-rT N(d2) dan
P = Ke-rT N( – d2) – S0 N( – d1)
Contoh 7.7. Harga saham 6 bulan dari waktu ekspirasi suatu opsi adalah $42, dan
harga kontrak opsi tersebut $40, suku bunga bebas resiko 10% per tahun, danvolatilitas 20% per tahun. Ini berarti S0 = 42, K = 40, r = 0.1, σ = 0.2,T = 0.5, d1 = (ln(42/40) + (0.1 + 0.22/2)0.5)/(0.2*sqrt(0.5)) = 0.7693 d2 = 0.7639- )/(0.2*√0.5) = 0.6278 Untuk opsi call tipe Eropa, harga opsinya adalah c = 4.76, sedangkan untuk opsi put, harga opsinya adalahp = 0.81. Contoh 7.8 Suatu perusahaan dengan 1 juta lembar saham seharga masing-
masing $40 sedang mempertimbangkan mengeluarkan 200,000warrant yang memberikan pemegangnya hak untuk membeli 1 lembar saham dengan harga $60 dalam 5 tahun. Ingin diketahui biaya untuk hal ini. Tingkat suku bunga 3% per tahun, volatilitas 30% per tahun. Tidak ada deviden yang dibagikan. Dari persamaan (13.20), harga dari opsi call tipe Eropa 5 tahun adalah $7.04. Pada kasus ini, N = 1,000,000 dan M = 200,000, sehingga harga warrant adalah 1,000,000/(1,000,000 + 200,000)*7.04 = $5.87. Biaya total dari warrant adalah 200,000 ×5.87 = $1.17 million. Assuming the market perceives no benefits from the warrant issue, we expect the stock price to decline by $1.17 to $38.83.
70
Soal Latihan
1. Opsi put tipe Eropa mempunyai karakteristik sebagai berikut : S0 = $50, K =$45, r = 5%, T= 1 tahun dan volatilitas 25%. Berapakah harga opsi put tersebut di atas? a. $1.88 b. $3.28 c. $9.07 d. $10.39 2. Opsi call tipe Eropa mempunyai karakteristik sebagai berikut : S0 = $50, K =$45, r = 5%, T= 1 tahun dan volatilitas 25%. Berapakah harga opsi call tersebut di atas? a. $1.88 b. $3.28 c. $9.06 d. $10.39 3. Suatu sekuritas dijual seharga $40. Suatu opsi call dengan harga kontrak $42, dengan waktu jatuh tempo 3 bulan dan suku bunga bebas resiko 3%, berharga $2.49 Berapakah harga opsi put menurut put-call parity? a.
$1.89
b. $3.45 c. $4.18 d. $6.03 4. Saham ABC diperdagangkan seharga $60. Opsi call dan put nya dikeluarkan untuk waktu jatuh tempo 1 tahun dengan harga kontrak $60. Standard deviasi tahunannya 10% dan suku bunga majemuk kontinunya 5%. Harga opsi call dan put versi Black Scholes adalah a. $6.21 dan
$1.16
b. $4.09 dan c. $4.09 dan d. $6.21 dan
$3.28 $1.16 $3.28
5. Yang mana dari kondisi berikut yang bukan merupakan asumsi dari teori penentuan harga opsi model BSM?
71
a. b. c. d.
Opsi hanya dapat dijalankan pada waktu jatuh tempo Suku bunga bebas resiko konstan Return majemuk kontinu berdistribusi lognormal Saham pokok tidak menghasilkan aliran dana
72
73
DAFTAR PUSTAKA
Bower, dkk, 1997, Actuarial Mathematics 2nd edition, The Society of Actuaries, Schaumburg,Illinois. David G Luenberger, 1998, Investment Science, Oxford University Press John C Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, Sixth Edition, Prentice Hall, 2005. Kellison, Stephen G., 1991, The Theory of Interest 2 nd edition, Irwin McGrawHill. Lin, X. Sheldon, Introductory Stochastic Analysis for Finance and Insurance , Willey Series in Probability and Statistics, Willey Interscience, 2006. Shreve, Steven E, Stochastic Calculus for Finance II Continuous-Time Models , Springer Finance, 2004.
74
SOAL UJIAN MID SEMESTER OPSI DAN MANAJEMEN KEUANGAN Dosen : Abdurakhman,S.Si,M.Si,Dr Waktu : 118 Menit Rabu - 4 November 2009
1. Terangkan tentang kekuatan waktu atas uang. Berikan contoh atau gambarannya. 2. Mengapa sekarang bunga majemuk banyak dipakai di perbankan dari pada bunga tunggal? Berikan alasan matematikanya. 3. Terangkan tentang aturan seven-ten. 4. Apa yang dimaksud dengan present value dari suatu nilai 100 juta di 5 tahun mendatang? 5. Saya menabung 250 ribu rupiah perbulan dari mulai anak saya lahir untuk biaya kuliahnya. Anggaplah bank memberikan suku bunga 5%. Berapakah uang biaya kuliah anak saya pada saat dia memasuki perguruan tinggi, jika dia masuk SD di usia 6 th, 6 tahun di SD, 3 tahun di SMP, dan 3 tahun di SMA? 6. Sebutkan jenis-jenis obligasi. Apakah naik turunnya suku bunga akan mempengaruhi harga obligasi di pasaran? Jelaskan.
75
SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER OPSI DAN MANAJEMEN KEUANGAN Dosen : Abdurakhman,S.Si,M.Si,Dr Waktu : 118 Menit Rabu 13 Jan-09
1. Terangkan tentang aturan seven-ten. 2. Lima tahun lagi anda membutuhkan uang sebesar 100 juta. Berapakah present valuenya jika suku bunga sebesar r persent konversi bulanan? 3. Anda menabung sebesar 250 ribu rupiah perbulan dari mulai anda bekerja di usia 24 tahun untuk biaya pernikahan anda. Anggaplah bank memberikan suku bunga 5% konvertible bulanan. Berapakah uang biaya pernikahan anda jika anda menikah di usia 30 tahun? 4. Apa yang dimaksud dengan opsi beli yang murah? Berikan contohnya, dan ilustrasikan fungsi keuntungannya. 5. Bagaimana anda mengilustrasikan suatu pernyataan bahwa kita masih bisa mengambil keuntungan di saat harga saham turun? 6. Tuliskan rumus opsi beli model black scholes. 7. Jika harga saham XYZ sekarang 590$, dan dikeluarkan opsi beli dengan harga kontrak 500, sementara diketahui suku bunga bank central 5%, volatilitas return saham XYZ mencapai 45%, berapakah harga opsi dengan waktu jatuh tempo 1 bulan ke depan?
76
SOAL UJIAN TENGAHSEMESTER OPSI DAN MANAJEMEN KEUANGAN Dosen : Abdurakhman,S.Si,M.Si,Dr Waktu : 111 Menit
1. Diberikan tabel harga spot dan forward dibawah ini Table 2.1 Nilai Spot dan forward untuk kurs USD/GBP, 3 Juni 2003 (GBP = Pound Inggris; USD = Dollar US dollar).
Bid (harga beli) Spot 1.6281 1-month forward 1.6248 3-month forward 1.6187 6-month forward 1.6094
Offer (harga jual) 1.6285 1.6253 1.6192 1.6100
a. Apakah keuntungan bagi pihak yang membeli atau menjual kontrak forward 6 bulan ke depan? b. Apa bedanya tindakan hedging dibandingkan dengan langkah spekulatif ? c. Apa pula yang dimaksud dengan seorang arbitrase ?
2. Suatu saham yang tidak membayar dividend dan berharga $200. Anda dapat meminjam atau meminjamkan uang dengan bunga 7% selama 1 tahun. Berapa harga forward dari saham tersebut untuk jangka waktu 1 tahun? Jika ada forward saham di atas dan dijual dengan harga yang murah, apa tindakan anda sebagai seorang arbitraser? (Misal harganya $2 dibawah harga fair, berikan ilustrasi keuntungan dari tindakan arbitrase di atas ) 3. Jika harga saham XYZ sekarang 90$, dan dikeluarkan opsi beli dengan harga kontrak $95 untuk waktu 3 bulan ke depan, suku bunga bank central 1% a. Berapa harga opsi minimal agar tidak ada arbitrageur yang mengambil keuntungan ? b. Misalkan ada opsi seperti di atas dan dijual dengan harga di bawah harga minimal, strategy apa yang diterapkan oleh seorang arbitrageur untuk dapat selalu mengambil keuntungan ? c. Berikan contoh kasusnya (anda tentukan sendiri harga opsi di bawah harga minimal, dan lihat keuntungan pada waktu jatuh). 4. Apa yang dimaksud dengan strategy
77
a. Protective Put ? Apa bedanya dengan memegang saham saja ? Berikan ilustrasi keuntungan dan kerugian kedua strategy di atas dengan tabel dan juga diagram. b. Collar? Berikan ilustrasi keuntungan dan kerugian strategi ini. c. Lakukan simulasi pada beberapa harga saham untuk melihat keuntungan antara strategi Bull Call Spread versus Bear Call Spread. (Harga opsi, harga kontrak, harga saham kalian tentukan sendiri). Berdasarkan bukti empiris, strategy mana yang menurut kalian lebih menguntungkan ?
78
