ECUACIONES DIFERENCIALES PROGRAMA DE INGENIERÍA AMBIENTAL CURSO: 100412_162 ESTUDIANTES: Luis Alberto Rizzo Yolenis Olivo Carreazo Cód. 1.128.051.176 Jose Luis Barragán Segrera Cód. 1.143.365.436 Rodolfo Ruiz
CEAD: Cartagena
TUTOR:
Francisco Fernández CARTAGENA DE INDIAS 02/11/2016
INTRODUCCION Las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de orden superior tienen una gran variedad de aplicaciones a muchas situaciones físicas y ricas en consideraciones teóricas como son el teorema de la existencia y unicidad cuya demostración no es fácil de encontrar en libros de esta asignatura por eso y mucho más las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior ocupan un lugar muy importante en la teoría matemática. El interés en esta unidad es la deducción de las Ecuaciones Diferenciales a partir de situaciones físicas que se presentan en determinados problemas de carácter físico y/o técnico. Además analizaremos y solucionaremos las ecuaciones homogéneas y no homogéneas de segundo orden, determinando así los diferentes casos que se pueden presentar en la ecuación diferencial.
OBJETIVOS
Conocer los diferentes métodos para la solución de ecuaciones diferenciales de orden superior. Resolver problemas relacionados con las ecuaciones diferenciales de orden superior.
ACTIVIDAD INDIVIDUAL
Aportes individuales Estudiante: Luis Alberto Rizzo 1. Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables. '' ' x Con la tarea de encontrar la solución a la ecuación y −4 y +4=2 e −1 , Un estudiante propone:
yh
A. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da C1 e
2x
+ C2 x e
2x
yh
B. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da −2 x
C1 e
+ C2 xe
C. Hacer las sustituciones
y=x m , y ' =mxm −1 , y ' ' =m(m−1) xm −2 y yh
resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da C1 x
2
+ C2 x
m
'
y=x , y =mx
m −1
m −2
, y ' ' =m(m−1) x
resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da C1 x−2 + C2 x−2
2y
Resolvemos
=
2
D. Hacer las sustituciones
−4
=
−2 x
dy ( x ) d y ( x ) + + 4 y ( x )=0 dx dx2
Supongamos una solución será proporcional a
e λx
para algún λ constante.
yh
y =
=
Sustituimos
y ( x )=e λx
en la ecuación diferencial:
d 2 ( λx ) d e −4 ( e λx ) + 4 e λx =0 2 dx dx
Sustituimos d 2 ( λx ) 2 λx e =λ e dx2
y
d λx ( e ) =λ e λx dx
λ2 e λx −4 λ e λx + 4 e λx =0
Factorizamos e
λx
( λ2 −4 λ +4 ) e λx=0
λx
Ya que e ≠ 0 para cualquier λ finita, el cero debe venir del polinomio: x 2−4 λ+4=0
2 Factor: ( λ−2) =0
Resuelve para λ:
λ=2 o λ=2
La multiplicidad de la raíz soluciones, donde
c1
y
λ=2 c2
es 2 que da
y 1 ( x )=c1 e 2 x , y 2 ( x ) =c 2 xe 2 x
son constantes arbitrarias.
como
La solución general es la suma de las soluciones anteriores: y ( x )= y 1 ( x )+ y 2 ( x )=c 1 e 2 x + c 2
Estudiante: Yolenis Olivo Carreazo 2. Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables. '' ' En la intención de resolver la ecuación diferencial y +2 y +1=senx , un estudiante propone hacer las sustituciones
y=x m , y ' =mxm −1 , y ' ' =m(m−1) xm −2
ecuación homogénea asociada, cuya solución da
yh
−1 = C1 x
y resolver la
−1 + C2 x .
El proceso anterior es: A Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación m2+ 2m + 1 = 0 cuyas soluciones son m=1 y m=-1 B Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación m2+2m + 1 = 0 quien tiene una única solución real que es m=-1 C Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real que es x x yh m=-1 y por lo tanto su solución da = C1 e + C2 e D Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real que es −x −x yh m=-1 y por lo tanto su solución da = C1 e + C2 xe
Solución: La respuesta es la (C) Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real que es m=-1 y por lo tanto x x yh su solución da = C1 e + C2 e
6. Una ecuación lineal de orden n es de la forma: an y n ( x ) +a n−1 y n−1 ( x ) +…+ a1 y ´ ( x ) +a0 y ( x )=f ( x ) Esto es, todos los coeficientes son solamente funciones de x y además, la variable y y todas sus derivadas están a la primera potencia. Por otro lado, si la expresión n
an D +a n−1 D
n−1
+ …+a 1 yD+a 0
Es su respectivo Operador diferencial de orden n, entonces, la ecuación diferencial P ( D ) y=g ( x) lineal no homogénea puede escribirse simplemente de la forma Por lo anterior, de la ecuación diferencial 2y’’ + 5y =senx se puede afirmar que: 1. Es lineal de segundo orden con coeficientes variables 2 2 2. El operador diferencial que anula a g(x) es ( D +1 ) ( 2 D +5 ) y =0
2 3. El operador diferencial que anula a g(x) es ( D−1 ) ( D +5 ) y=0
4. Es lineal de segundo orden con coeficientes constantes
Solución: La respuesta es (2) 2 2 El operador diferencial que anula a g(x) es ( D +1 ) ( 2 D +5 ) y =0
Estudiante: José Luis Barragán
9. Un operador anulador para la función PORQUE la función f(x) es no lineal. f ( x )=5 e 3 x −6 x e 2 x el operador diferencial ( D−∝ )
n
f ( x )=5 e 3 x −6 x e 2 x
es
(D+3)( D+2)2
anula a cadauna de las siguientes funciones
e ∝ x , xe∝ x , x 2 e ∝x , … … x n−1 e ∝ x ∝=3 ∝=2 n=1n=2
( D−3 )( D−2)2
( D−3 )( D−2)2 [ 5 e 3 x −6 x e2 x ]=0
Seleccione D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. 5. Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables de la forma 2 a2 ( x ) D y ( x ) +a1 ( x ) Dy ( x )+ a0 ( x ) y ( x )=g(x) . Se procede sustituir y=x m , y ' =m x m−1 , y =m ( m−1 ) x m−2
Para, en primera instancia hallar la
solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma y h=c1 u1+ c 2 u2 Luego, con la ayuda de los wronskianos g( x) u2 u u2 w= 1' w 1= ' ' , g ( x) u'2 , u1 u2
| |
|
|
|
w 3=
|
u1 g( x) u'1 g '1( x )
Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, las soluciones homogénea y particular de la ecuación x2y’’ + xy’ = x son:
1.
y h=c1 +c 2 lnx
2.
y h=c1 x−c 2 lnx
3.
1 3 y p= x 9
4.
y p=
−1 3 x 9
Respuesta B x 2 y ' ' + x y ' =x y=x m y ' =m x m−1 y ' ' m( m−1) x m−2 x 2 ( m2−m ) x m−2+ xm x m−1=0 x 2 m2 x m−2−x 2 m x m−2 + xm x m−1=0 m2 x m−mxm +mx m=0 m2 x m=0 2
m =0 m=0
y h=c1 +c 2 lnx yb 1 ( x )=1; yb 2 ( x )=1
7. Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables de la forma a2 ( x ) D2 y ( x ) +a1 ( x ) Dy ( x )+ a0 ( x ) y ( x )=f ( x ) se y=x m , y ' =m x m−1 , y ' '=m ( m−1 ) x m−2 solución de su respectiva y h=c1 u1+ c 2 u2
procede
sustituir
Para, en primera instancia hallar la
ecuación
homogénea asociada de la
y luego, con la ayuda de los wronskianos
| |
w=
u1 u2 u'1 u'2
,
|
w 1=
|
g( x) u2 '
g ( x) u
' 2
,
Se procede a encontrar la solución particular.
|
w 2=
u1 u
' 1
g( x) '
|
g 1( x )
forma
Con base en lo anterior, los Wronskianos w1 y w2 de la ecuación ecuación diferencial: xy’’ - y’ = x son: 1. 2. 3. 4.
w1=2x w1=-x3 w2=1 w2=x
m2−m=0 m=0
m=1 yh
=
x + C2 e
C1
yb 1 ( x )=1; yb 2 ( x )=x 2
Para ello, los wronskianos
| |
w=
u1 u2 ' 1
u
u
' 2
| |
w 2= x 1 =1 1 0
| |
2 w 1= x x −x 2 2x 1
Estudiante: Rodolfo Ruiz
4. La solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes de la forma a2 D2 y ( x )+ a1 Dy ( x ) +a 0 y ( x )=g(x )
Es
y=r 1 u1 +r 2 u 2
En donde u1 y u2 son las soluciones de la ecuaciónhomogénea asociada y
r 1=
w1 w , r 2= 2 w w
Para ello, los wronskianos
| |
w=
u1 u2 u'1 u'2
|
w 1=
,
|
g( x) u2 '
g ( x) u
' 2
,
|
w 3=
u1 u
' 1
g( x) '
|
g 1( x )
Con base en lo anterior, la solución de la ecuación ''
'
y −5 y + 4 y=1 Es: A . y =c 1 e−4 x + c 2 e−x −
B . y=c1 e 4 x + c2 e x +
4x
1 12
15 12 x
C . B . y=c1 e +c 2 e −
−4
−1
D . y =c 1 x +c 2 x +
15 12
1 4
Una EDO lineal no homogénea de segundo orden tiene la siguiente forma ay ' ' +by ' +cy =g ( x )
'' ' La solución general para ay +by +cy =g ( x ) se puede escribir como
y= y h + y p
''
'
y h=es la solucion homogenea a la ecuacion:ay + by + cy=0
Sustitución: y=emt y ´ =m e
mt
y ´ ´ =m2 emt
y '' −5 y ' + 4 y=0
2 mt
mt
mt
m e −5 me + 4 e =0 simplificando :
e mt (m 2−5 m+4 )=0 (m2−5 m+ 4)=0 dos soluciones reales : m1=4 ; m2 =1 La solución general toma la forma
y h=c1 e m t +c 2 em t 1
2
y h=c1 e 4 t +c 2 e t
y h=es la solucion particular y =
1 4
y= y h + y p 4t
t
y=c1 e +c 2 e +
8
La
1 4
solución
y=c1 e
11+ √ 61 x 6
particular +c 2 e
11− √ 61 x 6
de
la
ecuación
3 y '' −11 y ' +5 y=0
PORQUE su ecuación asociada tiene raíces
imaginarias. ''
'
3 y −11 y +5 y=0
D=
−(−11 ) ± √−112 −4 ∙ 3 ∙5 2 ∙3
D=
11 ± √−112−60 6
D=
11 ± √121−60 6
D=
11 ± √ 61 6
y 1=e
11+ √61 x 6
y=C 1 e
, y 2=e
11+ √ 61 x 6
11− √ 61 x 6
+C 2 e
es
11−√ 61 x 6
La afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA.
10. La solución del problema de valor inicial
�′′ − 3�′ − 10� = 0, (0) = 1, �′(0) =12 es �1 = 2 �2 = −1 PORQUE la solución particular de la ecuación es � = 2�5� − �−2�
Solución. La ecuación diferencial a resolver es: �′′ − 3�′ − 10� = 0 Condiciones iniciales: (0) = 1, �′(0) =12 La ecuación algebraica asociada está dada por: 2
m −3 m−10=0
( m−5 ) ( m+ 2 )=0
( m1=5 ) y (m2=−2) La solución: y (x)=C 1 e5 x +C 2e−2 x Derivando la expresión anterior, tenemos: ' 5x −2 x y ( x )=5 C 1 e −2 C 2 e
Con los valores iniciales se encuentran las constantes C1 y C2 (0) = 1 y (x)=C 1 e5 x +C 2e−2 x
y (0)=C 1 e 5∗0 +C 2 e−2∗0 1=C 1+C 2
�′(0) =12 y ' ( x )=5 C 1 e 5 x −2 C 2 e−2 x
' 5∗0 −2∗0 y ( 0 )=5 C 1 e −2C 2 e
12=5 C 1−2C 2 Dado el siguiente sistema de ecuaciones por las condiciones de valor inicial 1=C 1+C 2
12=5 C 1−2C 2 Se tiene que C1 = 2 Y C2 = -1. Donde su solución es: y ( x )=2e 5 x −e−2 x La afirmación es incorrecta, Pero la razón si es correcta ya que la solución coincide con la que se hallo La respuesta es la D
Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema: Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m. Solución: m=
70 kg 35 = 32 16
Por la Ley de Hooke se tiene:
1 70=k ( )lo que implica que k =140 2 Por consiguiente, las análogas de las ecuaciones (1) y (2) son, respectivamente 35 d 2 d2 x =−140 xy +2240 x=0 16 d t 2 d t2 Segunda actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:
Situación y solución planteada: Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura
Se suelta desde el reposo a
es de
1 Kg 5
β=1,2 ¿
1 2
unidades debajo de la posición de equilibrio. La masa
y la constante elástica es
k =2
N . m
El movimiento es amortiguado (
y está siendo impulsado por una fuerza periódica externa
(T = π2 s)
,
comenzando en
t=0. Dicha fuerza está definida como
f ( t )=5 cos 4 t . Para esta
situación, procedemos a encontrar la ecuación diferencial que describe el movimiento
En los sistemas físicos acelerados la sumatorio de fuerzas se expresa de acuerdo a la formulación de la segunda ley de Newton:
∑ F=ma
De acuerdo al problema planteado se tiene un Movimiento forzado con amortiguamiento. En concordancia con la ley anterior: m
d2 x dx =−kx−β + f (t) 2 dt dt
d2 x Donde la aceleración y la velocidad están dadas por a= dt 2
y
v=
dx dt
Transponiendo términos en la ecuación: d2 x dx m 2 + β + kx=f (t) dt dt Y reemplazando los valores dados en esta se tiene: 1 d2 x dx 1 ´ +1,2 +2 x=5 cos 4 t x ( 0 )= x ( 0 )=0 5 dt 2 dt 2
Equivalente a:
d2 x dx + 4 +5 x=25 cos 4 t 2 dt dt
Se hace f ( x )=0 para convertir la ecuación a una homogénea: 2
d x dx + 4 +5 x=0 2 dt dt Se escribe la ecuación característica y se resuelve: m2+ 4 m+5=0 Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones:
m1=−2+ i , m2=−2−i Cuando las raíces son complejas, la solución se escribe como: y c =e−2 t ( C1 cos t+ C2 sin t ) Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma: y p= A cos 4 t+ B sin 4 t 4 t +¿ 4 B cos 4 t y p´ =−4 A sin ¿ y p´ ´ =−16 A cos 4 t−16 B sin 4 t 2
Sustituyendo en la ED
d x dx + 4 +5 x=0 2 dt dt
−16 A cos 4 t−16 B sin 4 t +4 (−4 A sin 4 t +4 B cos 4 t )+5 ( A cos 4 t +B sin 4 t )=25 cos 4 t Operando: −16 A cos 4 t−16 B sin 4 t−16 A sin 4 t+16 B cos 4 t +5 A cos 4 t +5 B sin 4 t =25 cos 4 t
Reuniendo términos semejantes: −11 A cos 4 t−11 B sin 4 t −16 A sin 4 t+16 B cos 4 t =25 cos 4 t
Factorizando:
(−11 A+ 16 B ) cos 4 t+ (−16 A−11 B ) sin 4 t=25 cos 4 t El sistema de ecuaciones resultante : −11 A+ 16 B=25 −16 A−11 B=0
Se cumple que:
A=
−25 50 y B= 102 51
y p= A cos 4 t+ B sin 4 t
Reescribiendo: y p=
−25 50 cos 4 t+ sin 4 t 102 51 y= y c + y p
La solución sería: −2 t
y=e
25
50
( C 1 cos t +C2 sin t )− 102 cos 4 t+ 51 sin 4 t
Haciendo t=0 y ( 0 )=e−2(0) [ C1 cos (0)+ C2 sin(0) ] −
25 50 cos 4( 0)+ sin 4(0) 102 51
1 −2 (0 ) 25 50 =e C 1 cos (0)+C2 sin(0)] − cos 4 (0)+ sin 4 (0) [ 2 102 51 1 25 C1 = + 2 102 C1 =
38 51
Derivando la expresión y haciendo t=0 C2 =
−86 51
Por lo tanto la ecuación de movimiento es:
y=e−2 t
25 50 cos 4 t + sin 4 t ( 3851 cos t− 8651 sin t )− 102 51
Observación:
El procedimiento es correcto, sin embargo, falta aplicar la solución a la siguiente 5 cos ( 4 t ) :minimo( ecuación f ( t )=5 cos 4 t , el cual sería:
−3 Π −5) . 4
CONCLUSIONES Mediante el desarrollo de esta actividad se logra Realizar la diferencia de las soluciones de una ecuación de segundo orden, con respecto a las raíces de la ecuación característica. De igual forma por medio de problemas matemáticos logramos resolver las ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes, mediante diferentes métodos para solucionar las mismas. Reconociendo la importancia la importancia de la modelación matemática con ecuaciones diferenciales en la solución de problemas científicos.
BIBLIOGRAFIA
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