FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
BANCO DE EXÁMENES RESUELTOS
EXAMEN – INGRESO INGRESO 2-2015 (1 a OPCIÓN) Viernes, 2 de octubre de 2015 ARITMÉTICA – ÁLGEBRA ÁLGEBRA A1
Ha llar la suma
1 11 111 ... ... 111...1 ..1 si
el último sumando es un número de 2015 cifras.
Solución. Solución. Se trata de una sucesión de números, por lo que debemos expresar de manera adecuada. 11
1 1
11 10 1
11 1 10
111 100 10 1
111 1 10 10
1111 10 1 000 10 100 10 10 1
1111 1 10 10 10 10
Luego el número que está formado formado por po r
n
2
2
3
10
unos se puede escribir:
111...1 1 10 1 0 10
2
10
3
... 10
n 1
n unos
Se observa que es la suma de una progresión geométrica de calculamos: n
S n
a1 (r
1)
1 (10 n 1)
r 1
111...1
10 1
n unos
1
n
10
9
n
términos, con primer término
a
1
1
y razón
r
10 ,
entonces
1
De este modo podemos escribir de la siguiente manera: 1
1
10 9
111
Entonces:
1
1
10 9
111...1 2015
1
1
1
1111
10 9
unos
9
3
1
11
2015
10
2
1
1
10 9
4
1
1
Ahora calculamos la suma total: S 1 11 111 111 1111 1111.. .... 111 111...1 ...1 2015 unos
S
S
1
10 9 1
1
1
10 9
1
2
10
1
10 9
2
3
1
10 10
1
10 9
3
2015
.. ... 10
1
1
9
1
10 9
4
1
...
1 1 1 ... 1
1 9
1 9
10
2015
S 2015
1
9
1
2015
2015 unos
La suma del primer paréntesis es la de una progresión geométrica de m
De manera que:
Sm
a1 ( r
1)
10(10 2015 1)
r 1
1 10
S 2015
10 1
10 1 2015 9 9
2016
Finalmente:
S
9
Otra forma. forma. Sea
S
2015 términos,
a
1
10
y
r
10
10 2016 10 9
1 10 9
2016
m
10
9
S 1 11 111 ... 111...1 , multiplicando por 9 a
2015
ambos miembros de la suma tenemos:
9S 9 99 999 ... 999...9 (10 1) (100 1) (1000 1) ... ... (1000...0 1) 2015 cifras
9S (10 100 1000 ... 100 1000...0 ...0)) (1 1 1... ... 1) 10(1 10 100 100 ... ... 100 1000...0 ..0) 2015 2015 cifras
Sabemos que:
1 a
2015 unos
2014 cifras
n
1 a
1 a a ... a n
2
a n 1 , luego.
1 10 2015 10 1 10 2015
9S 10 1 10
9S
Hernan Ramos Hilari
1
10 102015 10 9
2015 2
10 ... 10 2
2015
20151
10
S
1 10 9
2016
9
10
10 1 2015 10 10 1 2015
2015
2015
-1-
BANCO DE EXÁMENES RESUELTOS
A2
Sean x
,
y,
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
x y z 2 z las soluciones de sistema de ecuaciones: x y z 3 1 1 1 1 x y z 5 2
Hallar la suma:
x
3
y
3
2
2
2
3
z
Solución. Apliquemos las identidades de productos notables: 3
Cubo de un trinomio: x y z Tenemos:
También:
x y z
1
1
x
1
2
1
y
2
3
y
3
yz xz xy
z
x y z
5
z
x
2
3
3 x y z 2
2
x
3
2
2
xy xz yz 3xyz
y
2
z
4
2 xy xz yz
5
4
1
yz xz xy
5
xyz
2 xy xz yz
1
2
………………………………. (1)
xy xz yz
5
5
xyz
2
1
2
5
……….. (2) 25
xyz
xyz
2
……. (3)
Reemplazando (2) y (3) en (1): 3
2
A3
5 25 x y z 3 2 3 2 2 3
3
8 x
3
3
75
y z 15 3
3
2
x
3
3
y
3
z
29
2
a x b y ab Hallar el valor de x (distinto de uno) en el sistema de ecuaciones: 2 log x log y log b a 1 a b
Solución. En la primera ecuación aplicamos a ambos miembros logaritmo de base a x b y
ab loga
log a a xb y log a ab
En la segunda ecuación pasemos a logaritmos de base 2 log a x log 1 y log
b a
2 log a x
b
2 log a x 2log a
Reemp. (2) en (1):
x
1 x
y
2 log a
log a b 1 log a b
x
2 log a
x
1
x
y
x
8
en el desarrollo
1
x
2
x
2
3
1
log a a log a b
y
2 log a x
y
9
1
log a y
loga b
loga b 1 log a a 2 1
……………………………… (2)
x
log a b x 1 log a b
x 1 x 1 x log a b 0 1 x2 loga b
Hallar el coeficiente de
log a b y
:
x y log a b 1 log a b ……………………….. (1)
log a y log a b 1 log a a loga b
x
a
, entonces:
a
log a a x
A4
x
x
2
1 log
a
b x log a b
0
loga b
.
Solución. Reagrupando los términos de la potencia, aplicamos el binomio de newton.
1
x
1
x
Se observa que
x
2
2
8
9
9
x3 1 ( x 2 x3 ) 9 9 9 9 x 1 1 x x 1 x x 1 x x 0 1 2 3 4 5 9 9 9 9 15 x2 x3 14 x2 x3 ... x2 x3 4 5 9 3
9
9
8
2
3
1
7
2
3
2
6
2
3
3
figura en cuarto y quinto términos, veamos:
9
3
9
9
4
9
9
Cuarto término: 16 x2 x3 ( x 2 )3 3( x 2 ) 2 ( x 3 ) 3( x 2 )( x 3 ) 2 ( x 3) 3 x 6 3x 7 3x 8 x 9 3 3 3 Quinto término: 15 x2 x3 x8 4 x9 6 x10 4 x11 x12 4 4 -2-
Hernan Ramos Hilari
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA Luego el coeficiente de
x
8
será la suma:
BANCO DE EXÁMENES RESUELTOS
Coef .
9 9 3 3 84 126 3 4
378
Otra forma. Aplicando la fórmula de Lebnitz. m!
m
El desarrollo de toda la potencia se expresa así: a b c Dónde: m , Tenemos como datos: Luego:
1 x
2
a b c
!! !
, , 0,1,2,..., m a
9
x3
1, b
9!
x
2
1 !! !
, c
3
x , m
9
x x 1 2
3
9!
! ! !
x 23
coeficiente
2 3 8 2 1 3 2 8 De donde: , entonces se cumple que si 1 , 2 9 1 2 9 6 2 4 3 0 8 4 0 9 5
y si 4 , 0
El coeficiente será: Coef . 1
2
9! 6!1!2!
1
9!
0
5!4!0!
252 126
Coef . 378
PROBLEMAS VARIOS 1
Mónica y Karen fueron contratadas para pintar las habitaciones de una casa. Si trabajan juntas, las mujeres pueden pintar la casa en dos tercios del tiempo en que tardaría Karen, trabajando ella sola. Si Mónica, trabajando sola, tarda 6 h en pintar la casa. ¿Cuántas horas tarda Karen en pintar la casa si trabaja sola? Solución. Sea
x
el tiempo en horas que tarda Karen sola en pintar la casa. 2
Las dos juntas (Mónica y Karen) pintan en:
x
3
del tiempo (horas).
Mónica trabajando sola, tarda 6 horas en pintar la casa. Ahora calculamos el avance del pintado de la casa en una hora. x horas.......................... 1 casa
Para Karen:
1 hora .............................a ? 6 horas.......................... 1 casa Para Mónica: 1 hora............................. b ? 2 x horas.......................... 1 casa Para las dos juntas: 3 1 hora ................................ c?
Luego: Karen Mónica Las dos juntas
1 x
2
1
3
6
a
1
x b
1
6
, de la casa , de la casa
c
3
2 x
/ / 6 x
2x
, de la casa
6 x 9
x
3
horas (Karen)
Un equipo de beisbol juega en un estadio que aloja 55000 espectadores. Con el precio del boleto a 10 dólares, la asistencia promedio en juegos recientes ha sido 27000. Un estudio de mercado indica que por cada dólar que se reduce al precio del boleto, la asistencia se incrementa en 3000. Encuentre el precio en dólares que maximiza el ingreso por la venta de boletos. Solución. Sea
A
Número total de asistentes. Precio total El monto (en dólares) que se reduce al precio del boleto.
P
x
Donde: A Asistente fijo + Asistente variable 27000 3000 x P Precio fijo + Precio variable 10 x
Luego: Ingreso (Número de asistentes) (Precio total)
Hernan Ramos Hilari
-3-
BANCO DE EXÁMENES RESUELTOS
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
I( x) (27000 3000 x)(10 x) 270000 27000 x 30000 x 3000 x 2 3000 x 2 3000 x 270000
Se observa que el ingreso representa a una ecuación de parábola, donde: El ingreso será máximo para:
x
B 2A
3000 2
300
Por tanto el precio que maximiza el ingreso es: 3
P
10
A
3000 , B
3000 y C
270000
.
1 2
x
10
1
2
9, 5
P
$us
9 5 ,
Un plomero y su ayudante trabajan juntos para reemplazar la tubería de una casa vieja. El plomero gana 45 dólares por hora de su trabajo y su ayudante gana 25 dólares por hora. El plomero trabaja el doble del tiempo que su ayudante y el cargo final por mano de obra trabajada es de 4025 dólares. ¿Cuánto tiempo trabajo el plomero y su ayudante en esta casa? Solución. Sea t el tiempo (en horas) que trabaja el ayudante Entonces: 2t en tiempo (en horas) que trabaja el plomero Según el enunciado tenemos: Plomero Ayudante Monto total($us)
45 (tiempo trabajado) 25 (tiempo trabajado) 4025 45(2t) 25(t) 4025
Por lo tanto: Plomero 4
2t
70
[hrs] y Ayudante
t
115t 4025 t 35 35
[hrs]
La población para cierta ciudad fue 112000 en 1998 y la tasa de crecimiento relativa observada es 4% por año ¿En qué año la población llega a 200000? Rpta. 2012 o 2013 Solución. Usamos la fórmula de interés compuesto, aplicado a una población en crecimiento: P(t) Po 1 r Donde: P Población inicial (habitantes) P(t) Población final en un tiempo “t ” o
t
Para
P(t)
r
t
Tanto por uno anual (taza de crecimiento):
4%
4
100
0, 04
Tiempo
200000 tenemos:
200000 112000 1 0, 04
Por tanto tenemos: 5
r
t
t 25 1, 04 / /Log Log t Log(1, 04) 14 14
25
t 14, 78
1998 14, 78 2012 o 2013
Dos recipientes iguales de 30 litros de capacidad cada uno, contienen en total 30 litros de alcohol. El primer recipiente se llena hasta los bordes con agua y con la mezcla obtenida se rellena adicionalmente el segundo recipiente. Luego del segundo recipiente se echan al primero 12 litros de la nueva mezcla. ¿Cuánto alcohol había al principio en cada recipiente, si al final en el segundo hay 2 litros de alcohol menos que el primero? Solución. Sea x litros de alcohol en el primer recipiente Entonces: 30 x litros de alcohol en el segundo recipiente
Primer Recipiente 30 x
Segundo Recipiente Agua
30 Lts.
x
Vacío
30 Lts. x
Alcohol
30 x
Alcohol
Ahora calculamos litros de alcohol que hay en cada litro de la mezcla. En el primer recipiente:
-4-
Hernan Ramos Hilari
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
BANCO DE EXÁMENES RESUELTOS
30 Lts mezcla .....................x Lts alcohol x Lts alcohol a 30 1 Lt mezcla a ......................... ? 30 Lts mezcla ..................... 30 x Lts agua 30 x Agua : Lts agua b 30 1 Lt mezcla ............................. b? Alcohol :
Cuando se llena el segundo recipiente. En
x
litros (vacío) habrá:
x 2 x 1 Lt mezcla .............................. Lts agua Alcohol : 30 Lts alcohol c 30 x Lts mezcla ............ ............ .....c ?
El total de alcohol será:
TAlcohol
30 x
x
2
30
,
Lts
. Luego:
30 x Lts agua x 30 x 1 Lt mezcla ........................... Agua : 30 Lts agua d 30 x Lts mezcla ............ ............ .....d ?
Entonces en el primer recipiente habrá quedado: 2 x x Lts mezcla ............................... Lts alcohol Alcohol : 30 30 x Lts mezcla ......................e ?
e
x 30 x
Lts alcohol
30
Ahora calculamos litros de alcohol que hay en 1 litro de mezcla del segundo recipiente: 2 x 30 Lts mezcla 30 .................. x Alcohol : 30 1 Lt mezcla ......................f ?
Lts alcohol
Luego se echan al primer recipiente 12 litros de la nueva mezcla, es decir: x
primer recipiente habrá:
30 x
30
12 1
x
30
x
1
f
2
2
30
x
30
x
2
30
2
Lts alcohol
Lts de alcohol, entonces en el
x x 12 1 Lts de alcohol. 30 30 2
2
Lts de alcohol. 30 30 Finalmente, según la condición del enunciado se tiene: N de litros 2do.recipiente N de litros 1er.recipiente 2
Y en el segundo recipiente quedará ( 30 12 18 ): 18 1
x
x
2
2
x 30 x x x x x Es decir: 18 1 12 1 2 30 30 30 30 30 2
2
2
2
Reduciendo la ecuación de se tiene:
2
x 30 x+ 200
=0
1er. recip. Alcohol 20 Lts. 2do . recip. Alcohol 10 Lts.
Por tanto tenemos: 6
x 20
x10
0
x 1
20
x
2
10
1er . recip. Alcohol 10 Lts. 2do . recip . Alcohol 20 Lts.
o
Oscar y Ana son vecinos y utilizan mangueras de las dos casas para llenar la piscina de Oscar. Ya saben que se requieren 18 h si se usan ambas mangueras. También saben que si se usa la manguera de Oscar, se tarda 20% menos de tiempo que cuando se utiliza la manguera de Ana sola. ¿Cuánto tiempo requiere Oscar para llenar la piscina utilizando solamente su manguera? Solución. Sea
x
el tiempo (en horas) que tarda en llenar la piscina, la manguera de Ana
Entonces la manguera de Oscar tardará:
x 20% x
x
20
x
100
80 100
x
4 5
x
, hrs.
Si usan ambas mangueras, tardarán 18 horas en llenar la piscina. Ahora calculamos el llenado de la piscina en una hora. x horas......................1 piscina
Para Ana:
1 hora ........................a ?
Hernan Ramos Hilari
a
1 x
de la piscina
-5-
BANCO DE EXÁMENES RESUELTOS
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
4 5 x horas......................1 piscina b Para Oscar: 5 de la piscina 4 x 1 hora ........................... b? 18 horas........................1 piscina 1 Para ambos: c de la piscina 18 1 hora ...........................c ?
Luego:
Ana Oscar
Por tanto:
-6-
Ambos
1
5
x x
40 , 5
hrs. (Ana) y
4 5
x
1
/ / 36 x
4x
18
32 , 4
hrs. (Oscar)
36 45
2
x
x
81
2
40 ,5
Hernan Ramos Hilari
