Solucionario Analisis Matematico IV

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A n á lis is Para

estudiantes

de

ario Eduardo Espinoza Ramos

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AN ÁL1S1S MATE;máticoiv PARA ESTUDIANTES i DE CIENCIA E INGENIERÍA C1ER EDICIÓN) y j

K ...

( <\^

L,

y=m j\p<¡

^

EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA -PERÚ


X

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ÍNDICE 1. CAPITULO1 1.1. CONCEPTOS BÁSICOS TERMINOL V OGÍA ............. I ................................. 1.2. SOLCUIÓN DEUNA ECUACIÓN DIFER ENCIAL ORDINARIA............... ........ .................... ... ..................................J Efi 1.3. ORIGEN DE LAS ECUACI ONES DIFEREN C1......... ALES........................ .

E. CAPITULO2 E.l. ECUACIONESDIFER ENC1 ALES DE VARIABLE SEPARABLES « ................... E.2. ECUACIONES ECUACIONESDIFERENCIALES DIFERENCIALES REDU RED UCIBLES VARIABLE ARABLES SEP E.3. CIBLES AA HOMOGÉN E1AS 1. 6S3í ............ E.4. ECUACI ONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS ...................223 E.5. FACTOR DE INTEGRACIÓN.............................................................. 21b E.6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DEERORDEN PRIM ..............317 E.7. ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLT...................................363 2.3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE RICATTI................................4 ...... .. W .

3. CAPITULO3 3.1. APLICACIONESA IA GEOMETRÍA.................................................... >435 3.2. TRAYECTORIAS ORTOGONALES .................................................449 3.3. APLICACIONES ..............................................................................457 .... ............... ................ 3.4. CIRCUI TOS ELÉCTRICOS ......................>467 3.5. APLICACIONES .............................................................................. >476 __ ___ __ _____________ __ ___ ___..482 3.6. ORDEN SUPERIOR... 3.7. ECUACIONES DIFERENCIALES QEFTCJENTES DE C CONSTANTES ......51S _


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4. CAPITULO4 4.1. ECUAC IONES DIFERENCIALES EULER DE.................... ..................... J»5 4.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES VA RI AB LE S...................................................................................636

CONCE PTOS BÁSICOS Y TERMINOLOGÍA

4.3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONE S DIFERENC IALES DE SEGUNDO ORDEN.............................................. .......... ........ .......................... .....643 4.4. SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ............. .ÉSt 4.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE.............................................. ...... .....663 5. CAPITULOS

_____________

0 ¿ 2 +r£Í3-i- 2 = 0

5.1. TRANSFORMADA INVER SA—.................................. 701 ........ ...........

esde Segun do ordeny primergrado .

o ( 3 H 3 J— |

+y=0

es de Tercer orden y cuarto grado.

o S S _S ) +y=o ^KS22I ¡ +y = 0

4.

¡ZM f

es de Segundo ordeny segundogrado

Jyt+ysCa afx)

Solución Vy'+y =Cos(x) 39 SOLUCIONARIOANAUSISMATEMATICOIV

y'+y = Ccrf(x)

esde Primer orden y primer grado

SOLUCIONAR,0 ANAUSISM AT AC O IV ^


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SOLUCIÓNDE UNAECUACIÓNDIFEfiD

s-FféJ O

esde Segund o orden ysegundo grado

O

Verificar que la función y = xJJ SenWdt, satisface la ecuación (fferencial x J = y+xSen(x).

(M 1 =3 ^ - 1 y= xj* â1^ dt

(D.y^- Sx’ -I

Derivamos respecto ax:

^ dx

dx’

, Stn(ir)

^d x1 te,

• 2 = ^ +Sen(x)

Dedonde: x ^= y+ xS en (x ) esverificado.

o (Sj-Síij-*-**)

ísíO

Q

Comprobar que la fundón y = e* JV ’dt -t-Ce*satisface la ecuación (fiferendal

s fé í- ^ Derivam os respecto ax:

*(y"/+(y)4- ’

e' JJe, dt+e*ev+Cex

^=e*Jê*'dt+e” ‘ +Ce" pero y = e'JJe^dt+Ce* x(y")J +(y ,)4-y = 0 O

esde Segundoordeny tercer grado

Q« (*) (y* )*+ *n(x)(yj‘ -1

j=y +é "* ‘

C“ W(y")* +SBn( x)(y')' - i


dedonde: ^ -y = é ,v

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O

Dada la función H (a)=

H"(a)+ ^H ,(a)+H(a ) = 0

,a * 0 probar que H

» H"(a) +ÍH'(a)+H(a)=0

Q

Verificar que la función y=arcsen(xy) satisface a la ecuación diferencial xy'+y= y'V, -* V

u(~)

Cos(at)dt _ . . , ri tSen(at|dt Denvamo6 respecto de a; Hâ) = —J ^ — i

en(xy) <*y

Calculandolasegundaderiva da; H"( a) =— r Ceci al A

(«y) '

^ ¿y. *

Reem plazando en laecuacióniferencial d dada:

, lo que es lo mism o escribir enforma: la =*y'+y

r.t’Coal Comprobar que la función x = yjjsen(t*)dt < y=x y‘+y,Sen(x’)

x = y|JSen(t')dt Derivamos respecto ax: 1= ^J^Se n(t, )dt+ySen(x1) pen* H"(a)+ aH'(a)+H(a) = £iVT-t*Cos(at)dt— Intég rame*por parte s enlaprimera integral:

u=Vl-t* => du=

1 = | g ]+y& n( x*)

lo que es tom ismo escribir enla forma: y = xyVy*Sen(x!) demostrado.

*v =JCos(at)dt=—Sen(at) O

Comprobar que latinción y = C,x+C ^ ^ ^ d t , satisfacelaecuación diferencial: xSen(x)y"-xCoa(x)y'+yCoa(x)=0


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k *k

4 *

*

y = f( - ) ~

-

h-(x)=£ =* * M = [i-±

.y

Como, y =C]x-ní^Kjí,-^ i Ü d t Derivamos reqrectoa

d -y JT a Ea'

s'-LL?-? + C,5en(xj , calculando lasegunda derivada g , 3 h vt C , c 0, M ^ c ,. 0 «M[

Reem plazandoenlaecuación diferencial:

,

^

■+(l-x-3e?')-------= 0, simplificando: (-^£*5==^==*-0 (a1-aje1*+a (2 - x)ex-4-a(x-S i) = 0rpar identidad:

xV" 5en(x} =xy'1 5en(x}-ySen(x) +x’Cae{x) y'-xyCoe(x)

¡í - 3 = 0 =» a’ =3 =» a = ±V3

síy " Sen(x) -x y 'Sen(x) + ySen(x)-x,Coa(x)y+xyCos(x) = 0 { } Verificar quelafimrifin x = y-nLi (y ), smtislaoelaecuacióndiferencial yy"+y11- y “ =0:

e la función f definida po r

Sea h(xJ = J|— d¡ f(x )= -— - EaÜEfeelaecuacióndiíerendal:

3Íy"+ (3x - x1)y 4- (l - x - 3e“ )y = 0

l|dy yjdx

y+1 dy , dy y y dx dx y+1 d*y y *? (y+i)J

fi OLL'C¡ih/ilO.VIAJO;>V/rCfc'ATCCfv

SOLUCIONARIAANALISIS MATEMATICO IV I


www.FreeLibros.net | Reem plazando en ecuación la diferencial:

/+y* / (y+i)a (y+0*

-Jf-T— XL^-0 (y -1) (y -1)

H- ( a) + i H '( .) +H ( a)=£ V ^S e ^-)d t^;’^

/ (y+i)’ (y+i)*

± 2 í

Integramo s por partes enlaprimera integral: u=V l-t* => H"~ -tC*t : v=|Sen(at)d t=—!co s(at)

Por lotanto: yy"+y° -y * =0 H"(a)+- H'(a)+H(a) = Osi lo verifica. Dada la fundón H(a ) =

, a* 0 probarque H(a) satisface a la ecuación 0

diferencial H"( a)+ -H' (a) +H {a) = 0

Si x(t)= £( t-a )e‘ l'",e*d5tcalculareJvalorde x“(t)+2x'( t)+x(t )

m£SmM H

Derivam os respectode a: f f ( a ) ,

x(t) =

Calculand o lasegundaderivada : H*'(a)=—

- ’eMs = tJ V^ el dE -

x(*)=t£e’M
Reem plazandoenlaecuación diferencial dada:

Derivam os respec to at x'(t )=e -,£eadE-te " jV d s +tE-,e« +e-'£se"cte -te > » x'(t) =e- *Jê^ds -te*"Jte**ds+e"'|o'se"ds Derivamos nuevam enterespecto a t: x"(t) =-e -*JV ds+ e-V * -e -1JV d s +te- £eu
H

— I


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x“(t)=-ae-*J’c”tí9+«' +te-'J'e*-cb+2te' -e-'J*se*Nfc y"- k,y = R(x)+k£R(t)S enhk(x-t )dt-k’ 2j [,R(t)Senhk(x-t)dt

Luego en laexpresión : x"(t) +2x'( t)+x(t ) = -Se"'Jê“ds+e*+ce'*£e’"ds +2te*- e " ^se”

R(x)+k£ R(t)Senhk (x -t )d t- kjTR(t)Senhk(x-t)dt= R(x)

+Se-‘J’ e“dB- 2te"£e**ds+ 2er*£se“ds+ te- JV 'd s- e' jja e' -d

y“-k ’y= R(x)

©

Probar que lafunc ión y=C,x-i-C,xj^ ® dt , x > 0, satisface a la ecuación diferencial:

x"(t) +2x'( t)+x(t )=e, +2te' = (1+2t)e‘ A "- (x , +x)y, +(x+1 )y =0 Probar que la fundón y =Í £R (t) Se nh [k( x-t )]d t, x > 0, sati y=C ,x+C ,x£— dt D diferencial: y

k*y=R(x)

y= C, x-C ,xj ;^d t y = c 1-c ,j ;^ d t -c Ix.^

Y=-¡; J>(t)Se nhk(x-t)d t =* y=jR(x >Serh Mx- x)+í kJ0,R(t)Co5hk(x- t) *

y'= C1-C IJt*¿dt-Cje*

y' =Ji!j¿!.Senh()+ 0 £ r (t)Ccshk(x - t)±

y "= -C, — -C,e*, reemplazando en laecuación diferencial

y' = J^R(t)Coahk(x-t)dt

x1j- C ,£ -C tf }- (* * +x)(c , -C ,j ;í d t -C ,e '] +(x +t)^C,x+C, xj; ¿d tj xV "-( x*+x)y'+( x+l)y=0

y'=JjR(t)Co shk(x-t)d t => y" = R(x) Coshk(x-x) + kjj R(t)Senhk( x-1) dt y” = R(x)Coah(0)+k£R(t)Senhk(x-t)dt O

Dada lafunció n y=C, Ln (x )+ Cfx|* ^^ ^ , x > 0, satisfacea laecu ación diferencial:

y» = R(x)+k£R(t)Senhk(x-t)dt x*Ln“(x)y '-x üi (x)y‘+ [lj i(x )+ l]y =0 SOLUCIONARIOANALISISMATEMÁTICOIV |


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*(x)=x-1e£ 'v ' y=C,Ln(x)+C1x J ^ ^ ^ ,

Derivamos respecto a> #1(x)=-x-e t’'v“,+irV

v

Derivamosnuevamente:

y.= £ i+ c, r - £ — j £ l x Ln(t) ln(x)

*"( x)=2 x-,ek’’ ''*,-x V v-vc'é' *- W

r (x) =2xTs^ ’V“,-2x- V*v -xê’ *V v +*-V *v

x*!/»*(x)y"-xL n(x)y '+[ln (x)+t ]y => xV"( x) +( 3x -x’y'( x)+( l- x-e*“ )*(x) - ar*^ ’

-2x "Vv -if W v

=-C,Ln’ (xJ-Cjx’lníxJ+ Qx"-C 1x*Ui(x)- C1lii{x )-

+(3x-x*)£-W-' V“,+j rle - v j+ (l-x -e fc)x- Ví'“ x^n*(x)y,,-JiLn(x)y,+ [l ji (x )+ l] y = C ^ £ ^ ^

=> x,^(x)+(3x-x’y i(x)+ (l-x- «’')<»(x)«2x-‘eí *,rt*-BexV - x W v +e,
Pero! ! ^ l¡^ )= °

Lue9°:

=>x’Lrf (x)y”-xLn (x)yV [Ln(x)+ l]y=0

Demostrarque lafundón ^( x) = x* ,e^"

- W *V t

^xV"(x)+(3x-x,

parax> 0, satisfac ea laecuación difere ncia0 l:

-e

•j

, , ,. —x e

( '. Va, +3e

^'(x )+ (l-x- eSx)^(x) =

f.V » + xe

«J'. V* -x e

=0

demostrado

Dada lafunción yLn(y)x+£ = eF"d t, x> 0 , satisfa cealaecuac ión diferen cial:

x V {x )+ (3x-x* )*'(x)+(l -x-é ** )¿(x )=0


[l+Ln(y)]y"+(y')*=
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yt a( y) =x +J V i* ■¿y+ y'ln(y) =1+*? '

=»

v ~ l

^+ L n y^ = 1 +C'.. .( l)

(x '+1)($)+xs=k,(+x'/7’Típeroy= (x +'/771 í g cu

o

û

j d

j . *

0

^

Prabar qpe I

(x ,+i($)+x*=kly=>(x,+i)(S)+x2'k’v =o

Demuestreque lafundón y = (x +V ? 7 ¡) ‘, (l+x,)y"+xy-k,y=0

y = (x+ V TT T )'=*^ =k(x t-'/x'+lJ

..t ’Sec’ ^JdíV ,t*Sec!(0) dtf _f.Cos! (í?)_ 1 f,[l+Cos(^)]dO 1J’a(VSec»] ‘ tW (#) J» t s t ' J* 2

Vx* + t


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1

1

TS(«»)=|

*

yS

De donde:

Ahora enlaexpresió n:

1

3 * j2 ,-3 ^ -»,^-3dw ^

s

-

1£erv^ cf c +W£ e^ îfc +SbVjVw -^d>c f

w + w + !b V )

2tV(t)=Artg(1/t) +1Í ? Probar que lafunción — =J** Coe^ mx"Sen(tf)JCos'M (íl)díJ, satisface a la ecuación

Derivando respecto a t 4 t x ( t ) +2 ex' (t )= Tr r+2

l ^

=» 4t x( t) + 2 ' x, (t )= iiV + ^

r

diferencial: y "+m V V ^ y =0

_ 1—1-1 —t (uf) 4tx(t) +2tx,( t ) = - ^ i r => tx- (t) +2x (t) (.^r° O

Derivam os respec to a x:

y=xJ'"cas[ mx'Sen(<*)] cos'',,(0)d<í

^ = |i' ’,C£B[rrai'Sen(É»)]C0 B"'(t»)dtl-nm x'|i' ’’sen(t<)Sen[rax,Sen{ri)J:Qj''''(í))dtf _nmx-,J" ‘Sen(J)Sen[mx,SHi(tf)]Qa»,* (t;) d^-

Probarque lafunció n f (a.b)=£°e’*^"h‘ dx, sati sfacealaecuación diferencial:

-n 'mx “-1JJ *Sen(0) Sen[mx"Sen(0)]Casv* (0) <10Stf

éb

^BEESII

«a

Sen<0)]Cosw (fl)d0 -tPnhr*£*SBf (0)Cos[mxn

iÜW

= -n ,m*x*"VxJ^™Sen*(0)Cos[mx''Sen(íi)JCos ''" (0)d0

Hallamos lasderi vadas respecto a a y b:

Pera: y = xj’ 'c o ^ mxnSen(í')] Cosu‘<30(tf)


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^ 4 = -n*m*xy=» iL¿ +n*m*xy= 0

O

Probar que y < ^ ± h ^ 2 ± }d z

:al aecuación diferencial:

lim— —— *lim ~ (x«¡f ~

+y =—

^ tíl^ íl) s ,im^ L ( x+ z/ ““ ( x + zj T

0sj i2 j62 ± h ^ ± } s 0 »U

dy __ r ^n(«)-bCo .(i) *Y dx1

"

(x + z)1

dx’

xE J.

(*+z )’

r aCos(z)- b Sen( z)+ I, (x+z )” !"

a C ^ -b S ^ x+z

(X+I)*

J.

d~y dx*

b aCos(z)- bSen( z) |* f.aCos (z)-bSen(z )^ |p ^» (« )-b B w (z ) x* x+z |f « x+z « x+ z dx'

x!

x+z

. aCos^-bSenÔ) x+0

rf y. y - , ^ °S en (^^(z ). «S^ OJ+ bGo^ <*<* ( x+ z) ’ ( x+0) * -aáaSen(z)£a y -bSbCos(z)í:b J" (* «)’ Medianteteorema del emparedado para calcular límite; el -aáaSen(z)áa y -b£bCos(z)áb

i =0

0B(z)]dz u = aCos(z)-bSen(z) =» du= [-aSen(z )-bC v_ r d z ____1_ (x+z)'= x+z

Integramos por partes primera la integral: u=aSen(z)+bCos(z) =» du=[aCoa(z)-bSen(z)]dz

tfy d*

^±

dV ^ y -n ^ b ^ r .aCos(z )-bS en(z) ^ p aCos( z)-bSen( z) /
r-^zj^bCostz)^ " x +z

_r dz 1 V=J( x «) 1_ 2(x +z ) *

m ^h

i-b£aSen(z)+bCo s(z)áa+b = > ^

-a-báaSen(z)+bCos(z)áa+b


Ltbálm£-Éh5£22ÍE)5!Bma±b

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1

2x*y"+3xy-y — =

0S limaSenW +bC“ W ^0 * lm,aSeríZ)+bC“ W= 0 De donde:

£|

Verificar si la función y = C,e""’“M + Cje'“““*'*, es lasolución de la ecuación diferencial:

■íi+y=-^-0+- *^|+y=-^+-Demostrado. dx x x dx x x 0

xO no verifica.

(l-x’)y''-xy'-b,y=0

Verificarque lasfunciones, Jy,x ,=y, = X~v’ , x > 0, sa tisfa cen a laecuacióndiferenc ial 2x*y"+3xy’-y =0. . .e y =C a) Para y=J H Derivamos:

11+C„e ^

bC.e ,(x) bCLe"*— — =— . “ ~-------------------— ,,x) * Derivamos dy <* VTv

y V n ? =bC,e“— w -bC .e -* *- «

=— W =» ^ - j----= = d* íJ J *■ */? Probam os laecuación diferencial:

Derivam os nuevamente:

, xy’ taFCe“ “ *”* b*C,e "'"""M y v 1---j==^ x = ------------T— ------i — -

Arrcslamo s enlaexpresión , multiplicando por V l- x* todos lo s térm inos: Ji

zfk

b) Paray = ir " Derivamos: — *— i= = > =— = dx 2 /7 dx’ 4vV

r

(l- x ')y "- x y,= b1y =» (l-x *) y" -xy l-t fy = 0 queda demostrado. ©

Demostrarque la función =y Jt’ *Log^ Sen )+*x’Coa*(0 )j df l, satisface a la ecuación (6 diferencial: (i +x)V v(i«)y

Probam os laecuación diferencial:

|—

vy =*i *sp ±í )

SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOIV


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EDLUUR DOEBP MOZA RAMOS J

(MPmJltì 1

ynmgi

EDUAH»EBPMOZAHAMOS«

du q .xi] = 0 x—d*tu +-----d? dx

En laecuación dad a:

y

=^

J T 103D3™*!*) +,<,t:oe’

H

dy 1 Eri ***!*) dx ln(10)J" Seni1(0|+x*Co^(0 )

Derivand o laexpresió n dada: * = T [ qCoa

Lasegund a derivada:

{ * +■BHas[xSaf (fl)J+}]

eqMGoso'EùcBenas1'síienaíídtf **

[Wltfj dV

1

^ = J^[qCos(0)e^){A-HBU5s[:iS eff (tf)]+}]

+xW RiT

r.J1ECDa’ (í?)rSEn=(í>)^x’CQ3=(í>)-2K,&H= (í )) l^

eqxCos0Ex5en&>xBena>dÉ>

dx1

■f = £ d*y dx’

1 [.* BC™1{0)[>en= (0 )+XW (tf)] ,. ü^¡5]1° [g^ jfr)4 VW (i)J

|A + BLcs[xSerf (fl)]

Jd0

Lasesunda derivada:

En laecuacióndiferen cial: (l+xfyV

fl+xJy '+yÎi^t-1 )

-tEeqM Ccefie4-qCos0eiioCos0B SeriSi*l0 En laexpresión:

dx* 1

Ln( lO)■*

r 11* td0 Ln(10)J* Sai (0)-i-x1Coií (
[ a r f ^ + s W^ J rU=s[Benl(0) -h^Ccb1(0}}lí Ln(10) J* L } v y™

Lascondici ones dad as en el problema no satisfac en laecuación diferencial. £)

Dada la función u =

-q V =£ [xfCoa1(0 JeT"** (A-hELqs [xSen1(0 )] }] + +EecpCoa0 +bqCoa0eqH Cbsdd0

■+JJqCos(0

| A + BLcg[xSeii’ (0 )]+

| ¿0 -

-q Ix £ e '^ ,'Â + Elog[3iSens(0)]^ l0= {i

demostrado.

+Bli3g[xSens(fl)]Jd0 r satisfece a ls ecuación

diferencial: SOUULÌIONARJOAKALISISMATEMATICOIV

SOLUCIONARAANALISISMÀI EMAlItÜIV


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EDUARDOE5PW0ZA RAMOS

CflPVIUUH

CAmiO,

EDUARDOESWNOZA RAMOS « =>

Si H (t)= J V - ’Cas (tx)dx, paratodo, probar que: H’(t) +^H (t)= 0

(y')* (y -k),+ (y -k)t =1&> •••

P ^ J ,> '/ +l]=1= >[(y, )’+ lJ =(y") ! D emostrado Sea:

Demostra r que: y =e“" ^C, + Q Je"* dxj , eslasolución de ecua la cióncfifere ncial:

H(t)=JV*Cos(tx)dx

y"-2x y'-2y = 0

H(t)'=e-Cos(«)-1 H( t ) "= -o or *Coo( o o) - eT , Sen{®) H’(t )+ ^ H( t) = 0

0

JK Z Ü STB Í

Si satisfacealaecuación diferencial.

y =eI*Je, +C,Je~*dx J

Derivamos respecto a x:

^=2xC,eT'+2xCse,,Je-,,dx+CIex'e-'

. Verificar que (y“)'= £ l+ (y ') ’ ] es laecuación diferencial de lascircun ferenciasde r = 1.

^ = 2xe# [ c,+C,Je“*dx]+C, ^ =2xy+C,

Sealafamiliade circunferencias: (x-h )‘ +(y-h )* = 1

y" = 2y+2xy de donde: y"-2xy '-2y = 0

demostrada

Derivando respectoax: 2( x -h )+ 2y '( y- k) =0 x—h+ yy ky ' = 0 .„(1 )

Comprobar que=2ff'e~*ds+C, y esla solucióne d^

1+(y,)*+yy"-ky"=0 1+(y^yT (y_k)=0^ y

-k = -l ¡Í £ l .. .( 2) y «Sj^’ e^ds+C

De(2> x -h =- y ' (y-k)en: (x- hj ’ +t y-k )’ =1

g— www.Solucionarios.net

Derivamos respecto =— a X:s =— * «x *

quedademostrad o.

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intercepción con el ejeXigua les. 4 ) Encon trar laecuación difere ncial uya c 9o luáón gen eral e s lafamiliade circu nferen cias: (x- a) * + (y - b )! = r ' enel plan o xy, siendo a, by r constantesarbitrarias. Sealafamiliade reí (x- aj ’ -t^y-b)’ =r f Derivamos: 2(x -a)+ 2(y-b )y'= 0

Si y=0 => Ax+B=0=> x=-B /A

A=-B/A * B=—A’... (1)

x- a + (y -b )y ‘=0 Segundaderivada: l +f y- b jy '^ ^' jf *0

luego: y = Ax+B

Tercera derivada; y'y"+(y-b)y'"+2y,y"=0

Logaritmamas: ü i(y )=L n(A x+B )

Derivando respectoa k

Despejemo s ( y - b ) de lasegunda derivada y reemp lazam os en latercerad< y—b = - l ± l -

y=Ax+ B

Estaexpresión debe er s igu al alapendiente A-

X y

y , y ^ ] y . . , SyV .= 0

' Ax+B

d e dx Ax+B

(1): B= —A*

S = > ¿ ^ - y' = ^ - ^ - A ) = y y'(y" )' -[l+ (y ')* ]y ,"+2y,y"=0 ^ [l + fy 1)*Jy'”+2y'y "=0

Hallar la

Hifomwwial

A= y' Q

alaránirfea J-

=»

y'(x -y') =y =>xy -íy')' =y =» (y')’= xy'-y

Halla r laecuac ióndiferencial de lafam iliade con el ejeY son igua les.

y>= a * x -y, a-y*x =x1 = ,a = i^ 2 L Sealafamiliade rectas: y = Ax+B = >Six = 0=> y = B

Derivamos respecto ax: y -^ ./ ^ -g y y ^ .x y -)^

^

i=B

y(3x. +y. +sbw,)_ 8y.(x.+xy,)= 0

Syx1+ / +2xy!y -2 x V -x y ,yI =0 3yx" +/’ +x/y'- 2xJy'=0= » 2x,y'=y (3x’ +xy)


y = Ax+B

—O

tomando logaritmamos: Ln(y)=Ln(Ax+B)

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_£ _

Ax-i-B

dy Ay dx A x + A

=*.

d^__A¡ f_ dx Ax-i-B

^ y= “

(y1- Jf=)(3x* + y5■+Exyy' (x1+ xy=)(2yy - 2 x) = O E= A

BW'(y’- v a^ ^ 1-x ’ ) ^ ' + yJ)-2yy'(Kí t-vy‘)+fiK(xí+vy1}+fiK^,+J
y'(x+1)= y

Eyy' (-2 ^ )+ 4x V -x V y* = O■*(x* -y* -* i V ) dx4-4yx"dy = O ^

icifin diferencial l

Encontrar laecuación diferencial cuyaadiirifiiigeneral es lafam iliade circunferenciaE: (x -a )1+ (y - b )s = r*rde radiofijor enel plano XY aiendoay b

SeaIí familiade TEctaey A=k + E AB-B=lcA

Siy = 0=> x = -B/A=> E- E/ A =k

donde: y'= A

(x- aj * -t -(y -b )’ =r^ Derivando respexctoE(x—a)+ a 2y’(y—b) = Ch => x- a +y y' -b y' =0 ... (1) Derivamos niK^rnente:

E = y -y 'x =t yl(y -y ,:t)-y^-y ,x = lty,

y'y —x (y')l -y+ xy ' =kyr=»x(y - xy yy '+ y-nky' = Q

lH-( y')l+y" -by'' = 0

*y1(y1- i ) - y (y1-i )+ W '^= o* (y1-i )( * -y'y )+ W =ü I Hallar laecuación diferencial

ln-[yf+ y"(y- b} = ü = > y -b = -Il¿l

... ( E)

De©: x—a = —y'( y—b)

en: (x -a )V (y -b )’ = iJ =*(y')*(y- b j1+( y- b) s=r* -.( 3 } [ ( y) ’+ i J -V

) '

3ís+=> ^ = x*(x + a) =>ayl_sy==){lH.aJÍ ^ a(y, -Ks}=3!xI Encontrar laecu adúti diferencialacuj solución gen eral esdada; a) y^+ C.e ’ +C .e* b) y = C1K+Cse- 1 I/*)

c) y = KH-C1 e“T -n Cê"3“


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.* «* .

y"+y '-2y= 2-2x +2x ’ =» y"+ y'-2 y= 2(l+ x-x *J

d) y=C,e'*Cos(3x)+C,e2* Sen(3x) e> y= Ae*' f)

EtXJA flOOES PWOZA RAMOS

b) y=Cpt+C¿e"'

y=¿'(c;+Qje-*,dx)

Derivando respecto ax: y*=Q -Qe "*

S) y=A ewí + Be_1',í

Si restamosambas ecuaciones: =* *y'-y =C1x- Csxe'*-C1x- C1c -^ x y ,-y = -C lxe-’ -C 1e-* ...(1)

h) y = C ,x J^ £ ‘+C, x

=>Derivamos nuevamente xy"+ y' -y '= -C ,e 'T +C,xe‘x+0,6” i) (ax+b)(ay+b)=c j)

=»xy‘,=C,xe-*=*y" = Cie -

y=C,e*'Cos(bx)+C,€*‘Sen(tec),ayb sonparámetros.

xy '-y= xy "-y "

=» y" (x+1 )+x y-y =0

Ic) y = A[Ccs( x) + xSen(x)]+B[Sen(x) -xCos( x)J, A y B constantes I) y = A>/l+x' +Bx m) y= Ae- ’ +Be"'**

c) y=x+C,e"* +Ctc"a* Derivando respecto ax: y '= 1- C^ e-1 -SC^sr1' Si sumamos ambas ecuaciones: y'+y sl- Cj e' 1-3C 1e~’' +x+Cjef* +C,e":"'=>y’+y= 1-2 CseJ” +x

n) y = AVl+x‘ +Bx

Derivamos nuevamente:

y" + y ’= 6C,e'j1' + 1

Si sumamos ambas ecuaciones: y"+y ,-t-3(y'+y)=6Cse"te-t- l+3 (l-2 Cie_i,*+x) a) y= *+ C, t? +C ,e -

y"+ yV3y'+ 3y= 6Cse'J'' +1+3 -6C,e"“*+3x

y= x’+ CjC'+ Cjé De ^ rivando respecto aX: y' = 2x+Cle’ -2lCir ”‘ Si restamos ambas ecuaciones; = » y '- y =2 x-x* -3 Cl e'*'r Derivam os nuevamente: y"-y '=2 -2x +6 CIe-to Si sumamo6ambas ecuaciones:

y”+4y'+3y=4+3x d) y=C,e’“Cos(3x)+CÎ*Sen(3x) Derivando respecto jc a y, =2C,e,"Cos(3x)-3C1e!¡*Sen(3x)+3C!eI‘Co8(3x)+2C,efcSen(3x)

y”-y V 2( y'- y )= 2- 2x +6 C¿**+2 (2x-x ‘ -3C,e-**) y“- y ■+2y,-2y =2 -2x +6Cse-**+4x -2x! -6C se-^


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....( f)

««»«a

y = ej, (c,+ c=je -“,dx)

-ÆC^*ïen (3x)-aCíE,tk Bk(3 ) - 2C-E*'Sa i (3 k) y = C;e’‘ +Cie^Je^, dx Derivandoinspecta a:

=Jy'-Sy = -3C1^ “Sen(3x)+3£;^:ICte(3x)...{1)

y11=2vC,e*■+SKê’’ Je"^dK + C je V "

y1= ExC,^ +t xCjSJ ¡T^dx+C ,

[»erivamcenu y M-2y ' = - ^ ,^ (3 x )- fi C 1e*‘5en(3K)-i-6Çie’’'GQs(3x)-9Cfe’ïSeii(3K) ... (3)

y'- îx y = 2xC1e’*+2xCIeT‘Je-’" +C, En(ït

y1— Exy=€ ,

y"-ay'+9y =- 9Cje,:ïta(3x) -6 C1eElSen

+faC^"'|e ',,dx

Denvamos nuevamente: y"— Sxy'—2y = Û

9tê"5en(3x) -t-OC^Cos^) + SCje^SfenfSx) y "-Sy'+9y = = -5C^*'Sen(3x)-H« :fQiCbe(3K) ...(31 " Ek*1

De ($ y Cl* y "_2yV9y - Í (y '-2y) = q ^“Sekn( }+3«^C çb(3k) ■+#;£¿“5en(k)3-ÈQ i^C cb^ y "—4y'n-ÎSy = Ü

*Sx” y 's-AeP^+Bffvfi -1 i/Jx * ËKaiay'+ y = ^ e 1Nï^ + B e ,^ -hAe1^ +Be-,‘"

Derivando respe ctaxa

=*Ex“V+ y= ! (1) Bp-^ 3>?'*y'+y-HaxMy"+y' = ^ ~

y' = BAe* +Beî“ +2EKeî“

=f y'—2y =SAe^ +Ee^ H-S& ie^1—SA^1-E Bs ^1

3K\'+E*ay"+5(;1V '= te -’^

(E)

=> y S y = Be1“ Derivarno s nuevamente: y "- 2y ' = ÜEe”1

-&K*y ■- 4x V — 2¡cry+ 2x*V+ y = 2 &rl'rt - '’* SBer -&K*y'—4x3y "+y = Ù^

6k V+ 4x V'- Y = 0

y"-a y,-S(y '-ay ) = ! h) y = C,xjS— J-+ C.K SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOIV


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respecto a x: y,=C1J -£ -^ + C ,^ -+ C I

>.-)-■.«^ «y * r iga tey 'tig S Bt

■» xy '-y= Qx J-^- +C,e’" >+C,x-C1xj‘í _ -C,x (y -x )y "= —SS(y')" -2 y' =» (y- x)y "+ 2(y 1)*+2y'=0

=» xy '- y= C1e*"n. .. (1) Derivamos nuevamente: x y“+ y -y '= x ’C1e,í 11. .. (8) =*xy"=x,C,e''n=» y“ = xC,eT'n=>y" = x (xy '-y)

j)

y"+x’yVxy = 0

y= C1e*íCos(bx)+C^*Sen(bx)taybsonpaíámeoos. Derivandoespecto r a* y' = aC1e*'Co6(bx)-bC,e“Sen(bx)+bC,e“Cas(bx)+aC!e-Sen(bx)

i) (ax+b)(ay-t-b)=c y- a y = aC,e*'Co6(hx)-bC1e“Sen(bK)+bC,e*,Cos{bx)+aCíe“Sen(bx )-

Derivando respectoax: ay'(ax+b )+a (ay +b) = 0 ^ y' =

-aC,e“Cos(bx) -aiC,e“Sen(bx)

(ax+b)ay'-(ay+b)a

—

r ~ -®

=»y' -ay = -bC,e“Sen(bx)+bCsC“CoS(bx).. . (1)

y"-ay' = -b’C,e”CQs(bx)-abC,e-Sen(bx)+abCse“CQs(bK)-b,CIe*‘Sen(bx)...{?) En (2): y"-a y’+b'y = -b,C,e“Cos(bx)-abC,e“Sen(bx)+abC,e"Cos(bx)i-b)ay'-(ay+t

k

c(ay-t-b) | (ax+ b) ’ (a x+ b) (ay+ b) (ax+ b) ’ (ax+ b) !

b’Qe“Sen(bx)+b'C,e“Ccs(bx)+bIC,e“Sen(bx) y "- ayVb*y=-dbC,e“Sen(tK)+abC^“Cos(bK)... (3) ax+b

De (3)y(1): y"-a y'+b* y-a(y'-a y) = = -abC, e“Sen( x)+abC,e“ b Cm( bx)+ abC,e-Sen(bx) - abC,e“Cos{ bx)


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y"-a v,-+h1y-flyr-HÍy = 0=>y"-EBv'+y(al H-h’ J=[}

Sustituyendo yen/ : y' = Ac" h' - y'y-Be -"'' =>y - y y 1= Ae” 1-Be"”*.. .{1)

y = A[üas(jt}+xSHi(x)] +B[Sen(x) -MCos(x)] rA y Bcc y

y' = A[-Sen (x}-nSen(x)-nxlC 0(x)]+ o B[Cce (x}-Gqs(x)+ xSen{x) I y1= AxCce (x)+BxSen(y)

... {!)

(y')l -y y " =

(i +y') - b^4

(i - y ■)

y" -(y ')l -yy '' = Ae ^+v 'Ae ^-n Be '“*' -y '^ - “*’' Sustituyendoy eny1:

y 11= AJCce(x }- xA&ïi ( x)+ ESen(x)-n&£oe(x) docciny:

y

(y' f -y y ”= y+ y '

-Be-” ' )

(l)en

y "+y = ACce(x)-AxSen(xJ + EËen(xJ-na
y " -( y T -w ”= y+ y’fy '-w ') * y" (y -i) + y= (y ')l (y -s)

■+ACœ(x}+ AxSen(x) -+BSe ri(x) - ExCc»(x) y "+y =SACch( x)-i-aBSen(x )

n} y = AVI

+Bk

y.

xy'4- xy - Sy"= 2AxCos (x J+ EExEen (xJ-SAxCa: (x) - SBxSe xy "-m y-iy r= 0

m x= ASan(ûÆ-n^) r ^

y "(x’ +1)

Fr

F r

= A =i enlaec.original y = y’'(s* +1) +Ex

lo nespecto ax: x ' = AtyCoa(x" =-ai'x=» — Í+ju!x=0

y- xy ' = y "(x1-ni)* h-~Bk

y -x y 1=y"(x ' Derivando respectoa>: y 1= Ae"* ( l +y' ) -t-Be-” ’' ( y - l ) =>y1 1= A

+ y ' ( Ae“^ + Ee""1)-Be~”


^_Hk P«™:

y" (x1+ij" 1= A

=> y- xy ' = y"(xI + lJl- x V ,{*i +1)

y- xy ' = y" (x V l)( xI -t--l-x=) =>y -x y ' =y "(x1+l)

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y“(j í + l)+ xy '-y= 0 En(!>. (x *+ y* )y "+ 8( y- xy ,)( y -k j l^ j = 0 Encontrar laecuacióndifere ncial que describa lafamiliadecircu nferen cias que pasa n por =*(* +/ )y"+2(y-xy,)[l+(y O

f ] =0

Encontrar laecuació n dife rencia l de lafam iliade rectasque asanpor p elrigen. o

(x- h)* +( y-k )! = r! donde h’ +l¿ =r* s 2(x-h)+2y1 (y-k )=0

lina rectaque pasapor el srcentiene laformay = i Donde: m=y'=» y = y 'x » y'x-y =0

x- h -y y- ky '= 0. ..( 1)

e: 1+(y‘) +yy"-ky"=0 l+ÍY1)*+y" (y-k) = 0 »

=0

O

Determ inarlaecuación difere ncia)de la familiade i y cuyos centros estánenel ejeX.

je pasanpor el origen

amospor (x* +/ ) ambos miembros: +y*)y"+(x*

=0 ... x1+y* +Cx+D=0

rf ^ "y

* _xy " y-k

">Y_ Xy _V+ y-k

a sucentro sobre el ejeX: x*+y, +0 t= 0.. .(1 )

y- xy ' = Xl ~>’Y^~^ l~Yk =»x*+yI -(x h+ yk )= (y- xy ')(y -k) Pero: (x -h )’ + (y -k )s= rs=» x*-2xh+h* +y* -2yk+k* =r ’ =»

2(xh+lcy)=x*+y*

Luego: 2(x* +y’ )-2 (xh +yt c)=2 (y-x y')(y -k)

2(x*+y“)-( x I +y, ) =2(y-xy ')(y-k)«* x*+y* =2 (y-x y')(y -k)

x1+y* +x(-2 x-2y y')= 0 =»x’+ y, -2x*-2xy y'=0 =>y*-x*=2xyy'


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e

Hallelaecuación diferen cial de lafamiliade circunferen cias cuyo s centrosstá e n en el eje

O

Hallar laecuación diferencia] de la ejeX

le su centro sobre el

(x -h j +( y-k) F =i* =» 2x+2(y-k)y'=0= >x+(y-k)y'=0 Despejamosy - k : y-k 4

O

<* : (x-h) *+y*=r1 :2(x-h)+2yy'=0

=0 derivando: y'+ 2 U2 L= o =» (y')1+ y'-x y"= 0

(y')

:2+2y'+2yy“=0 yy"+y'’+ l = 0

Encontrar la ecuación diferencial de lafamiliade parábolas con vértic e enel origen y cuyos fo cos es tánenel ejeX 0

Hallar laecua cióndiferencia l de lafam iliade parábola s con el ejefocal pa raleloal ejeX.

Laecuación de laparábolanco ejefocal enel ejefocal en el ejeX y vértice el ensrce n: y’ =4px derivamos respecto ka

Laecuación de parábolas con el ejefocal en X

2y ^ = 4p 9 P = ^ r

(y—k)* = 4p(x -h)

2(y-k )y' =4p ■» (y-k)y '=2f

enlaecuaciónde laparáb ola; / -< (? )*

=»

(y-k)y"+(y')’ =o

Y = * '* Tercera derivada:

O

Hallelaecua ción diferencial de lafa miliade tan gentes a lapará bola y' = 2x.

Pe«* y_k„M

(y -k )y “'+ y,y "+2y’y" =0

* ÍZ Íy u .+y. y» +2y' y»- 0 y" y”


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c ( T j Obtenga laecuació n diferen cial de lafamiliade pará bolascuyosvérticesy focas se el ejeX.

En P(-2,2) =>(-2-h)’ + {-2 -k )’ =r* =» (2+h)*+(2+k)s=rs ...(2) Igualando (l)y( 2> (2-h)’ -t-( 2-k]f =(2+h]T +(2+kf -» 4 -4h+h‘ +4-4k +k, =4+4h+h,+4+4k +k* —4h-4k=+4h+4k

La ecuación de lafamiliade parábolas co n vértice y je e focal enel eje X: el értice v

En (I* (x+k)* +< y-k )’ =t*

V(M)= y*= 4(x -h )

derivamos: 2y'y=4p

h= -k

x+k-f -(y-k)y ' 0= despejamos ky derivamo s: k = 7^^--

segundaderivada:

2y"y +2(y')* =0 =» y" y+ (y j' =0

QJy' -l)( x+yy -)-(y '-i) (x+yy')^ (y,-1)rUyy,,+(yx+yy.)= .). ] - y 0 (y'- l)

©

=»

derivandoc 2(x +k )+ 2( y-k )y '=0

Obtenga laecuación diferencial de lafamiliade circu nferencias que pasan por (0,-3) y

L

J

(y,-l)[l+yy"+(y'),]-y"x-yy,y" =0 Hallar laecuacióndiferencia l de todas line astangen tesa lacurvay1

Laecuac ión delafamiliade circunferen cias con centro en el ejeX (x -h )’ -t-y*=R’ enP(0,-3)=» (-h )‘ + 9= R" =»R’ = h*+ 9 (x-h) * +y* =h* +9 derivamos: 2 (x-h )+2 yy’ =0=> x -h +y y' =0 t 1+(y')*+yy"=0 O

y - y „ = - ^ (* -* .)

A

Hallar laecuac ión dife rencia l de todas slacircun ferenc iasque pa sanpor os l puntos(2,2) y (-2,Z>-

-O )

Donde: y* = -x =*y ¡ = -x , ... (2) La<

2yy' =-i=» V= —

Con(2)y(3)en( (2) y ( 3) en(1)=

y-y. = -^ (x+VÍ ) - W=>2y„ y-2>{ =-x-> í

Laecuació n de lafamiliade circun ferenc ias: (x-h), +(y -k), =r’ enP(2,2)=>( 2-h) ’ +(2 -^= 1* ...0 )


derivando respect o a x:

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2y— -0=- 1-0 dx

=1

De donde: 2y'(2y-4xyV1)= l

(x-y)y''[a-(x-y)y'•]=2y'[1+(y•),], 0

(X-h)*+(y-kf=r* La Estancia de la i

Porunpunto pC x,y) deunacurvaquepasapor elrigen, o setrazadosrecra spa curva de odo m que stá e divida al rectángu lo formadoen d dondeel áre ade lapartederechaseael triple del áre ade laparteizquierda

d _ M _ r. f c ü á Tu! 2 iónde la circun feren cia: lnlaecuac (x-h j’ +ty -k)’ » ^ ^

derivando respectoa x: f.

2(x-h)+ 2(y-k)y’= 0 - » x-h+(y-k)y'=0... (1)

y *

Segundaderivada: l ^v - kl yMY' l' -O -y -V » -l^ í * n ( i > x -h -^Z iJy 1«

*yVy=-y 3xy'=y


■

f.

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Q 0

Hallelaecuacióndiferenc ial detodaslasnorm alesde laparábo la y:

Hallelaecuación diferencial de tod as lastangentesa laparáb ola x*=2y+1

Sea L„ laecuaciónde larectanormal, seráenel punto (a,b): SeaLia rectatangentea laparábolaenel punto P(x,,y,);

L.:y-y.=m

Luego su ecuación será :

donde mHe

U :y-y « =y,( x0)(x-x .) Donde:

...(i)

y =— --1 =» y' = x

2 2

y'(*.)=x. A y „ = ^ 06 0> y-Y-í=^(x-xi,)=»y=x^-4-P5 ~

N(x-x,).-CI)

m*mT = “ ' del gráfico: b’ =a

-
D,:y‘ =x =»2y y' =1 = »y = -l Entonces el valorde lapendienteenel puntode tangencia(a,b) es: y ' =

mT .. . (*)

Reemplazando(4)en (2): m ,. ^L =- l » n\, =-2 b . ..{5 )

D.: y’ = x, ...(3) <3)en(Z): 2xy' -y',-2y-1 = 0

<5) y(3 )«n (1) : y-b =-2 b(x -b ‘)

...( 6)

Viene aser laecuación de laf amiliade rectas normales pedidas; como hay una co nstante

b=-T n(6):


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0

Determinarla ecuacióndifere ncial de tod as las curvas planasy = f(x) tal que la ley que Reso lver las siguientesecuaciones diferenciales: incide enellas, partiendo de una fuentepuntual fija, es reflejadahada un segundo pu nto fijo. Supo ner que lo s puntosfijosson( a, 0) y -a, ( 0). O Tg(x)Sen, (y)djc+Cos, (x)Ctg(y)dy=0

\ /

Tg(x)Serf (y)dx+Cos* (x)Ctg(y)dy =0 Separamos lasvariables: Tg(x) ^ Og(y) ^ rTg(x)dx fCts(y) dy

cm *+ äSF ® *m0~ yc Tenemos:

Tg (0 )=y '

Judu-Jtdt = 0=» u,-t*=C=»Tg*(x)-Cng*(y)=C

Además: 0=0+ayÁ =fl+(x-2a) Luego: De (2):

A

S T R =°

u=T g(x ) =» du = Sec’(x )dx; t = Ctg(y) ^ dt = -Csc*(y)dy

...0 > =»

Tg(¿+/ ?)=1S( 2»)

=»

tfrl+tgfl =2 _ M _ l-tgítg/J 1-Tg'tf

O

*Y'-Y-V‘

Pero Tg0 =y'Tgí =— ^ yT»? =-*xy'-Y =Y1 = »x ^= y( y, +l) Separamos lasvariables dx y(y* +J)

x

#¡"*M

,r*+1 =» du = 2ydy =» Ln(C)+Ln(y)=^ Ln(y I +1)+Ln(x)

xyy'*+(x, -y ! -a !)y '=x y


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üi(Cy)=üi(xVyî)=» Cy=xJ7^

[x* (y-1)+ (y-1)]
x*+3x 3x+1

Separamos lasvariables: dy =_-i "x*dx ? X => = f - i L ä L ¡ us x*+1 T+1 ^7 TT Jy+ 1 , 777i -

*

^ (x%«) dx J x -3

(y^jd y y—1 _

x- +1

J 7 7 Í Ä »xV+x * =» Vx'+l-áX =x* (y+1)

ln(y+,)=J~^~ • l"(y+,)+c=^T

(y^ gjdy y-1 _

^-+3x+IOn(x-3)+Jdy-i-3j-ÍL =0

-3x+9

=> du = 3x'dx

»/j?+i=3l*(y+1)+C

— +3x+IOLn(x -3)+y+3 Ln(y-1) = C

en(x)cbt+(2y+1)e_/dy=0

en(x)dx+{2y+1)e',''dy=0 =>e*e’S en(x)dx+{2y+l)ev dy =0 e’Sen(x)dx+(2y+ l)ev ^dy= C Separamos lasvariables:

Je’Sen(x)dx+Jc->'''(2y+1)
3C*T8(y) dK+(l-e’ )Se^(y)dy=0


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y-x y'= a(l +x ’yl)

Separamos lasvariables: 1-c»

Ts(y)

-

3j f £ + 0 ± * = 0 1i-e“ J Ts(y) y- xy ’=a(l +xJy')

-3Ln(l -e”) +In [Tg(x )] = Ln(C) *J' p 3(y)J=in[(c)(i-e*)1 ]=* T! s(y )=C (l-í )?

Separamos lasvariables: y- xy '=a +a xV

y-a=y'(a x* +x) =»Si y '= ~

=> —

=—

; integrando

.-fy -i- , i I t j

Separamos lasvariables ^ +=e~^ 1 =» ^ = e_T Separamos lasvariables:

= dx =»

J_ i!L .= Jd x

a(2)(l/2a) Vx+1/2a + 1/2a,l

^ 8=^2L V k J \.x+l/2a+1/2aJ k ax+l Kx Kx Kx+a'x+a cx+a y- a= ^ T y = œ T Î+a * y= áx+ T~ =>y= ‘STTT

=> x = C -l n (l -c T)

O (l+/)dx=(y-VÍ77)(l --r dy

y’s l+K+y* +xy* =» y '= 1 + x + / (l« c) =» S= (l+ y* )(l + x) fiables:

=(x +1) dx ;

J j - ^ ^ = J ^ Í ^ - dy En ^primeraintegral: x='

í - ^ i =í( x+1)dx=> Arcts(y )= 4 +X

, Sec*(fl)dft J[Sec»r


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' Integramos por pa rtes laprimera inte stai: En lasegunda integrai: u - U / a du = 2ydy

du = erdy ¡ v = Jy -d y= -l

í!S^û’(,+y,)_ í^í

=-=»-—+ - r £Ü5x= x y J y J y C-£= U,(u)= »C-£ = U [U. (x) ]

Sen(g)+C=lnf ^ V ^ ' l

0 e"r(l+y')=l Si: x= TS(fl)

1 + ^ =c »^ É !=c ' dx dx -^ j= d x

('- y>€’y , +* ^ =

integrando

= |dx =» j il £ -j d y = :

Integramo s por cambio de variable primera la integral: u=e*- 1 =» du = eMjr ^ J ^ i- y = xô üi(u)+üi(C) =x+y (i-vK

xüî( x)

Separamos lasvariables:

(1—y) e>dy dx _ re'dy reydy _ r dx y* xLn(x) J“ÿ*~’ Y _JxLn(x)

ü,[ c(e '-l )]= C- .C(l-e-)=e* 0

e’^ dx+ e^dy = 0 e’-'dx+ e^ xdy =0 Separamos lasvariables: 5 -d x + ^d y= 0


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© ©

(ì+y+y‘)dx+x( x*- 4)d y=0

dy_ * dx y^+x1) lf (x*- 4-x>) dx f

*

I

Separamos lasvariables: ydy-—= - dx , integrando:

J yd y= /7 ¿ -«b c21 ^== lü .(l+ 3?)+ C^ V-2 li»(l+ ^ C

“° *x( x*-4 4J ) XJV-4Ì x(x* -4) y’ +y +l 4J V + y + 'y ’+y +l rty v i?

2 fdx+ 1 r xdx j_____________________ _________________ 4J x"'4Jx , -4 +J(y+1/2 )!-1/41 + — ! Ln(x }+- ln(x* -4)+ f' ^ 4 1> 8 1 (y+1/2)) +3/4 > (y+1/2

^ =

— ln(x *)+ iui(x , -4 )+ -L A ra s fc ll^ ìs O 8 ' 7 8 1 '73 I V3 /2 J

X'" 4- H ©

H

“5 r ) =C

I I

y , =1 ( r'

J lOT
y* -X* +2(e* -e"*)=( 0

y' =10*" Separamos lasvariables: = =» J ^ = -J ^ + C

Separamoslasvariables: (y+e’ )d y= (x -e ~)d x

. . J( y+e» )dy =J( x- r, ) d x ^^ + e'= 4 +^ H‘+ C

Ëï =

IO*£t>c=ÍCrdy ,

10*+10- = c

I

* = “ +* Separamos lasvariaNes: d y - ^ d n , integrando:

ISOLUÖONARIOANALISIS MATEMATICO IV

iwA.aijfcpcu.M•in«•«v/oduïKrj.am


SOLUCIONARIOANA

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-*<■

I

-ax-ad/c b-ad/c

od

■

1?-Í7-1 ?-C -

-i-i-í-c •

ate

©

(xy +x) dx = (xV+ x*+y*+l) dy

y = ° J d * + ^ J - Í L =*y = ¿ x + * ^ U ,( c x +d)+ C

O 2 = S rd

II

a,b, c,d s«

(xy+x)dx= (xV+x, +y*+ l)dyi x( y+1)dx =[x,( / +l )+(y*+ l)3dy x(y+1)dx=(y* +1 )( x>+l) dy= » - L

^‘ fc'=í^ 7 b dy

*

^y-bc/ a d-bc/a

I

Y/ab

i

•jlii(x,+l)- j( y+1)dy+ 2jd y-2 j^= 0

I

Ln(x'+l)=y*-2y+4üi(y+l)+C ©

y(x‘dy+yJdx) = x,dy


x e ^- ’^dx+y V ^' ^d y =0 Separamos lasvariables:

I

yx’dy+y,dx=xJdy ^( y-1)W

^ - ‘ ’’d x+/ e- ^dy=0

< * =0 *^ V J= 0 =» j (y-1 -y - *)dy +JxJ dx =0


x,efc,e*',dx -y 'i- ^- d y0=

I

x V 'd x -A ^ * = 0 = » J x V -' d

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» EDUARDOESPWOXA RAMOS

.

ewnuuil

EDUARDOES«NOZA RAMOS «

Seintegrapor partesambas integrales u=x 1

=»

du = 2xdx ; v=Jxe”'dx=>^ -

u = y*

=»

du = 2ydy ; v=Jyr*\ix= -£!!L

dy = (y -l) (x -2 )(y + 3) dx (x-l)(y-2)(x+3)

Integrando: x'er»’ ,2xev dx 6 J 6 x V ^ _ rx ^ 6 J 3

,2ye*'' Q 10 +J 10

^ + í^ 10 > 5

Fracciones rciales pa en cada término: (y- 2) A ^ ¡_ (y-1)(y+3) y-1 y+3

=0 y =-3

2 ^ -£ l+ ^ +il = C .£:f3x--. í> 18 10 50 18

•»

-5 =B (—♦)

=» B= |

8=A(y+J )+B (y-l) VIVI y =1

=» -1 = 4A => A « - |

)+ ^( 5y* +l ) = C 1 50 ' Y >

25e1■, (3x*- 1 ) + ^ (5y*+1)=C 0

sepamos ^vanabtes:

(y-2)dy (x-2)dx (y-1)(y+3) (x-1)(x+3)

* 1 r^ü__1 fJSL = 5 r_dx__ i rdx. 4Jy+3 4Jy-1 4Jx+3 4Jx-1 |tii(y+3)-ilii(y-1)=^üi(x+3)-ilii(x-1)+üi(C)

xdy+/ ¡T y* dx =0

=» 5Ln(y+3) -Ln (y-1 ) = 5Ln(x+3) -ln (x+Ln(q -1 ) xdy+VT+y*dx=0 Separamos lasvariables: J

—— ^ + ^ = 0, integrando:

u, (■ ^ -)= u '(^^ ? -)= , ("-W + tf =c( y- i) (x + 3 /

*•l n ( y + V i + y 1) + U i ( x ) = ln ( C ) Q

xV -4x' =(xV-V}^

* Ln[x(y+^ü7]]=Ln(C)=» x(y+V^V)=C JB22 (T \ W

dy_(y-1)(x-2)(y+3) dx (x-1)(y-2) (x+3)

x*y*-4X 1= (x V -»y*


(y* - 4) dx=y*{ x*- 9 ) dy ; integrando:

1

_

l

’


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m-ift

©

*y '= V1-y’

V'-y’ x

xy' = v'l- y’


Í 7 T 7 =í O

=—

; integrando:

* Arc30n(y)= Ln (x)+ C =*y= Sen[ ln( x)+ C]

(x- ySc) dx+(y -xV) dy= 0 © (x -y ’x)dx-*-(y-x’y)dy = 0

xydx +(^+l )ev‘dy= 0


x (l -y , )d x+ y(l -x , )dy=0 ; integrando: xydx+(x, +l)e’*dy=0 í^

+

Ln (l -x *) W (l- y*)"=ln(C Q

O

m v a 'üüzm y*(l-x *)v, dy = Arcsen(x)dx Separamos lasvariables: y ’dy = Arc^ (. * ) dx

r

*

— 5+— dy= 0;

)^ ( 1- x* ) ” (i- / )” =C » (l-x’)(l-y’)=C

y ^ l- x 1) dy =Arcsen(x)dx en el intervalo-1
j


=*(c)

=°*

.

- w -w -

í h

i>+i)(y -|)dx+(x- ,)(y+1)dy=0 (x+1)(y-l)dx+(x-1)(y+l)dy=0

- c


(x.1)dx + (y+ 1)dx = 0 x-1 y-1

inte^

o;

r(x+l )dX f(yfl)dx 0 ; ,(x -1fi)d x r(y-1fg)dit J y-1 * x-1 ' y-1 * x-1

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jdx +2 j-ás .-t-jd y+2 j'-^j = 0

y’dy+ x(y- 6)d x = 0 s-^ -^ = x d x =» J-^-^ +J xd x = 0

=* x+2Ln(x -1)+y+2 Ln(y-1) = Ln(C)

x+y sl ní C j-L ní x- ll’ -l /i íy -l )’ s» x-t-y=ln ____£ ____ (x-1)”{y-1)’

y* -y*+6y

_

►(x-1)(y -1)=C é+ *r>*

(x-l)'(y-l)’ 0

(er+l)Co e(x)dx+ey [Ser(x) +l]dy=0

. J(y +6 ) d y +3 6| -^ L+^ = C ^ ^ +6 y +3 6ü , ( y- 6) = C *y — 6 2 2 2 x*+y* + 12y+72Ln(y-6)=C

(e' +l)Coe(x)dx+e>[Se n(x )+l]dy = 0 Separamos 1« £ ^ +£5 S= 0 integrando: f £ ^ + f£íí = Sen(x)+1 e?+1 Jsen(x)+1 ■>e»+1

O

ytn (x)Ui (y) dx+ dy= 0

En laprimera integral: u = l-<-Se n(x)=a du = Ccs(x) dx

yln(x)Ln(y)d x+dy=0 Ln( x)dx+— ËL_=0=» [Ln (x) dx+r — i-L_=0 V’ yLn(y) J 1 > J^ü5(95

En lasegundaintegral:

En lapri meraintegral, integraciónp or pa rtes: u=Ln (x) ** du =— ;v=J dx= x

üi(ut)=U
En lasegundaintegral, cambio riable: de va t= ln (y ) => dt =^ xLn( x)-J— xy+y* ^ = 6x

Separamos lasvariables: y' ^ = 6x-xy

I SOLUCJOMARIOANALISISMATEMATICNO


+J— =0=> xLn(x)- Jdx+Ln (t)=0

=> xüí( x) - x+ ü ,[U.( x)] = C

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0

En lapri meraintégral:

(xy+2x+y+2)dx+(x*+2x)d>r=0

En lasegundainteg ral: (xy+2x+y+2)dx+(x*+2x)dy=0

=>[x(y+2)+y+2]dx+(x*-t-2x)dy=0

=> (y+2)(x+1)dx+ (x*+2x)dy=0 Separamos lasvariables: * x +2x

dx+ =0 ; integrando : y+2

1 r2(x+l) dx f dy 2J x’+2x 'y+ 2

=c(x“+l)

O

dy.UCa(x) dx Sen*(y)

En laprimera integral, cambio de variable: u=x*+2x=» du=2(x+l)dx=» J — +2Ln(y+2) = 0

d y _ i~t~c°a(x) dx " Sen’ (y)

Ln(u)+2Ui(y+2)=Ui(c)»Ln[u(y+2),]=Ui(C)

JSen* (y)dy = J[ l + Cos(x)]dx

“ J[ l_ Cos(2y) ]dy=x+Sen( x)^ y—jSen(2y )=2x+2Sen(xJ+C

•(* +2x)(y+2/ »C

y- î[l -2 Se n ’ (y) ] = 2x+2Sen(x)+C=> y+Sen’ (y|-2x -2Sen (x)=C O

é'(l +x,)dy- 2x(e'+l )dx=0 o W

^dx=

er (l+x*)dy-2x(eT +1)dx=0 dy-x(x-y)-(x-y) dx" y(x-y) I SOLUClONAR tOAMM.ISIS MATEM ATICOr /


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Sesabe:

- 2- t

-

H' -J i-'t*

4- ^* =

Sen(ö|=u

y*=(x -1)*+C xrfx->/l-x,dy =x, V l-x
”a/n? ayi-if+C a/n? *CaJî^7 +C

4M-

-Vl -x 4dy =x 'V l-x 4dy =» xdx=(x* + l)V l-x 4dy -------=d y=» J- -

^

=J dy

O

(i+y, )<**= (y-Vi +ys)(i+x,)“,dy

sx*=» du = 2xdx ; y= -------f — == 2J(1+u)VH7 (l+y’>k = (y-,/ÏT7

x=Sct>(
C os(ö)dO

y= 2J [|+SBi (ff)]J crf(Í ) “

1

1,

dO

w-(^h

1, [l -Se n(0 )] dO

1+Sen(i.)= zJ l-& rf (*)

Jl- M «)] * =1 ____| _ y 2J Cas'|7/| 2 SV ; 2Cos(0)

)(l+x*)Md y

Sustitucióntrigonomésrica: x=T g(0)=> dx = Sec*(0)d0 ; fS^ ( ^ J

(

+1 = Sec’ (ö)

) f dy_

SOUJCIONARIOANALISISMATEMATICOIV m


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JCoa(0)dÉ>=ib,(l+y*)—2ui(yfVE7)+l»(C)

I= -e*Cos(x)+J e“Cos(x)
Tg(*)=x

2l=e*[Sen(x)-C«(x)] =» t=^[Sen(x)-Cos(x)]

JyT* dy= Je*Sen(x)*c =» 1+x*

[y+^l+y*

+J -^- dy =¿[Sen(x)-C Qa(x)]+k

-J T : - £f = T tS en( x ) - c “ W >k 2y+1= 2e"’v[Sen(x )- C os(x)]+k

O

yy^ Sení xj e-’ 1 O

(4x+xy,)dx+( y-t-yx,Jdy =0

yy' =Sen(x )€*•*' Separamos lasvariables: yiÍ£=Se n(x)eV'' =>ye-,’'dy=e*Sen(x)dx

(4x+xy,)dx+(y+yx,|djr=0^ x(4+y,)dx+y(l+x*)dy=0

Integrando: Jve^dy=Jc'Sen(x)dx

JSÉL+J* L = o =* rJ ¡ 2y. = f—

x*+1 y*+4 En laprimera integral:

Integra ciónperparte a en laprimera integ ral: u=y =>du = dy ; va je ^d =— y

■

Integra cióncircular en lasegunda integ ral: 1=Je'Sen(x)dx u=e* ^du =e'd x ; v=JSen(x)dx = -Coe(x)


J y*+4 ^ + 1

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Enlasegundo ino egia l: u = *+Kl

=»

Be determinai 5ix=3 1y= E7+3 -9-3Ln (l) = C* C=S1 =» x1+3y-3x-3 Ln(y) = SI

du = SHdx

aj^+ 2j ^ = 0 =» üi(t)4-Iû)=In(q => Ln(tu) = Ln(c) ©

=t (/ + *)(*’ +l) = C

/T i W

dy _ 3x’ -6 x V dx y-xV

(x +xj ÿ) dy+ yjÿà x = a dy = ------------------------------3x*-6>V c âram 3Ko’C 1-svSayri1a ) ble—! —i —■ Sep s la s:■=--------------?-------------------------------^ dx y-x *y ^ dx yfl-x3 )

xjy jdy +yjyidx = 0

ydy 3x*dx r >rjy _ |-3j:'t±-[ l- By * ” l -Jf 1^ l- S / “ J 1- x3

Beparamoelas variab les;

u = 1- Ëy l

=>

du=- 4y dy t = l-x I=> dt =-3x*dx

i-dt/3 M-ü,(u) 1_ j-=iI ü1 1-(t)+In(C) j /«X Jr-du/4 —— = j—— ln ^J = In ^J +L n( C ) => Lji(u’,*}=Ln(ctln) ^ u 1* = rfn u1=Ct*=> (l-S y1/

0

| =

^

* 3 ) =1

3edetem ninaC is >^3 y=1 (i-a)1=c(t—S7j** c=-vas*

dy_i^y-y dx y+1

ox

=y£j) y+1

(W )* = - E6‘(t- V )3 n difienenrial, mediante Ie

I ±2dy= (rf - l)dx=*■j( l +1Jdy =J(x*- l)dx y+ ln (y )= ^ -x= » y1+3y-3x -3Ln(y ) = C

en(2x)dx+Cbs(2y)dy = 0 ; y |i j= SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOH


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O

^“

- 77 ;

; y(0)= I

Sen(2x)dx+Cas<3y)dy=0 » 1 JSen(2x)d(2x)+ifCaG(3y)d(3y)= 0 =» J Sen(3y) - i Cos(2y) = C =>2Sen(3y)-3C œ(2 y)= C

x=s /2

y=ic/3 => 2Sen(n)-3Cos(ii)=C =» -3 (- l) = C =>

dx y t+y

C =3

1+yJ

=> y(l +y )d y = x(l+ y-y)c bc=» y(l +y )dy = xdx , integrando

De donde: 2Sen(3y)-3Cos(2y)=3

O

la constanted e integ ración sedeterminacon x= O, y =1

y'- 2yQ8( X)=o ; y(|)= 2

O

x(Z +l)cbc+y’ (x* +l)dx = 0 ¡

y(0) = 1

'-2yQ8(x )=0 =» — -2yCtg( x) =0=> ^-2Qg (x)dx =0

x(y*+l)dx+ y*(x, +l)dx -2/Cts(x)d(x)=0=> Ln(y)-2in[Seji(x)]=Ln(C)

““•Ít ÍW&Í“ En laprimera inte gral:

Ln[sé ñ^xj J=lJ1(C) **y= cSen'(x)

integral:

Determinam œ laconsta nteparalosvalores: x=*/ 2

y=2

=» 2= CSen’ (*/2)=C= »C = 2

De donde: y=2 Serf (x)

ISS

t= y*

+ /f Í i = 0^

=»

dt =3 y1dy Arces(u)+ÍA n*g(t )=C

SArc ^x’ )-t-2Arctg(y:1)=C


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5S^!5!!«5îîâD La constantede integra ción: y(o ) = I

©

y* y' -x*= 0 ¡

y(-2)=-2

3Arcts(0)+2Arctg(l)=C =*C =| y’dy-x*dx=0

3Aias(x, )+2Arcts(y;,)= |

=» Jy*dy-Jx>dx = 0?--?=> ■ 3 3 = -2 ; y = -2

o x,dy+xydx = xsdy+2>cbi

s[2x) dy

1

y(2) =,

x,dy+xydx = x’dy+2>*fcc =>(x5-x s)dy+( xy-2 y)dx =0

,+Sen(v)

(x 1- x “)dy+y(x-2)d>f=Oseparamos variabteseintegramos:

=» y/l -Coe(2x)dx+^1+Sen(y)dy=0 => J^1-Coe'(x)+Sen!(x)dx+J,Jl->-Sen(y)dy=0 Por fracciones parciales: l^ h j= 7+ 7 + é i =»x-2 = Ax(x-1 )+B(x- 1)+Cx‘

J^2Sen, (x)dxfJ ■Ct”M

dy = 0=» Jvf2S en(x )dx-2 /üiS ftj=0

=» V2Cca(x)+2^1-Sen(y)=C Laconstantede integ ración: y ^ î j = 0 VSCosjjj j+2^1-Sen(0) =C *

=0

=*

-2 =A ( 0) +B ( - 1) +C (0 )

=»

B =2

=1

s»

- 1 = A ( 0) + B ( 0 ) + C { 1 )

=>

C =- 1

=-1

=»

—3= A(2)+ B(-2)+ C(|) s» -3 =2)—4 A ( —1 »

C = 3 * >/2Cos(x)+2jl-Sen(y)=3

I SOLUOOM ARIOANALISIS MATEMATICO N


ta(yW ? +2J ? - f â = °

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D In(y)+ln{x)-~Ui(x—t)=C y(2 )=c O -* Ln (c)+ü i(2)-l-Ln (l)=C» C = Ln(2)

dy dx i- dy _ r dx yü>(y) = S*n(x) * J yüi(y) = J Sen
I

Ln[Ln(y)] = Ln[KTS(x/2)] » Ln(y)=KrS(x/2)

De donde: li i(y )+ü.(x)- |-lii(x-l )=Ui(2) =, xy=2(x-1)«~

H

y=j2 j=e=» lii (e) =lCTs (i t/4) «

■

K=1

U,( y)= Tg (x/2 )= > y=e *~> 0

('1+e*)yy'= e*; y( 0)=1

(1+e' ) ^ =e1tk *

É

- ^r C

=, € = ^ = 1 ^ 4 =3 - 2/ 1 7 7 2 2

=Ln |^±í

e '+ Is a e^ ''^ » 2e/,’ /«/e(e*+l)

y = ^3-Sn/T+x*J** ©

O

-Ln(2) » C = O »

y»

(xy*+x)dx+(x*y-y)dy=0¡

y(0)=1

y'Sen(x)=yiii(y) ; y (| )- « y'Sen(x)=yLn(y)=* Sen(x)dy = yLn(y )dtx


(xy*+x)dx+(x *y-y)dy = 0* x(t+y*)dx+y(x*-l)dy=0

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■ Separamos variables: j£ l

+ * l = o »= X — 1 y +1

u = x*-1 -

r *ËL+r_ ç* »0 Jj í- 1 Jy*+>

=> du = 2xdx

Í~|f” +Í~Y “

xdx+>c"Tdy=0=»xexcbc+ydy=0 =» Jxe'dx+Jydy =0 Integramo s por partes primera la integral: u= x => du = dx ; v=|e'dx=e*

; t=y * +1 =>dt= 2ydy ü,(u) +üi(t )=ln( C)

Ln(x*-l )+Ln( y*+l)= Ln(c)

„ xe'-fe-dx J 2^ = 0= » * ex- ex^2 = C

x = 0 y=1»C=2 Se hai laC con x = 0¡ y = l: C= 0-e ‘ +-l = - i => C = - i 2 2 2 Finalmente:

Luego: (x*-l)(y'+l)=2

xex-e x 0

(4x+xy,)dx+( y+yx») dy=0

2

=_1 =» 2xeT -2ex+/+ 1= 0 2

: y(l)=2 (J) ^ y '»* -! ; y ( 2) =o

si (4x+xy*)dx-i-( y+yx,)dy =0 » x(4+y*)dx+y(l+x*)dy=0 Separamos variables:

ye'’dy= (x-1 )dx =» Je^'ydy = J(x-1)dx

J ^ L +J É L =o =, rJS* L+ f^.=o 1+x* y*+4 ’7*3

^Ln(l+x,)+-iln(y’ +-4)=Ln( C)« ln [(l+ jí)(y +4)]=üi(c) =» C= 1- (2-l )*» C = 0=»é ^ =x*- 2x+1

* (i+x*)(y*+*)-c Determinam os laconstantepar Iœa valores: x = 1 ;y = 2 =* (ï)(8 )= C s C = 16=» (l+x*)( y*+4)= 16 O

xdx+ye-My=0

£ )

y'+6yrg (2x)=0 ; y(0)=-2

; y(0)=1

H www.Solucionarios.net

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f ye"’dy = f——- integramos por parteslaprimera integral J J 1+e , ,fl+e*- e'ldx f =» du = dy;v= Je^dy =-e^»-ye-'+J e- ’d y = J i- ^ — ^L -

y'+6yTg(2x)=0 =» •áü+6Tg(2x)dx=0 , integrando J^'+ 6jT s(2x )dx = 0=» Ln(y)-3Ln[Cos(2x)] = Ln(C)

-yE ^-e ^= Jd x -{Í-^ U

^

=»->«- ' -e~=x- ln( l+e*) -i -C

r) =ü . ( C) . y= OC oa - ( íx )

Hallam os C usando: x = 0 ; y = -2

-0 -^ =0-Ln(l+«*)+C = >C = Ln(2)- l

-2 = CCca’(0)=» C = -2 =5y=-2Coe’ (2x) -ye-'-*r' = x-üi(l+e”)+Ul(2)-1=*ln^litj-x+1=(l+y)e-»

O

%M*)~ y=o S y(2)=L"W ©

2ydx-t -x*dy=-dx ; y ( ^ ) = |

- y =0 •» xLn(x)dy=ydbct integrando 2ydx+x’dy=-d x =* (2y-t-l)dx+x’dy=0 J^T "

1/1(y)'

y-a j«(x )

Separamos variables:

= 2 y = ln ( 4) Ln(4)=CLn(2)=> C=2 =» y=2Ln(x)

Íí£ í+ Í? = 0 ^ > (2 y + , )^=

x=üfe y=i - í «***-«— ©

do e +eCoa (tí)

I SOLUCIONA RIOANALISIS MATEM ATICOÍV


. J s ) m0 1,2)

C

c-ji»w

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=» /(x+2)=C(x-2)=»4+2=C(4-2) C = 3 /(x+2)=3
* Sen(g)-fe*'Sen(tf) dû er +e'Coa!(ô) dr

Sen^Vl+e*')

Sen(o)öC>

d5=^ u c l ' i v s a Tff1) ',n tesrand0

O

dy = x(í ydx-x dy)

+2 )-3x+ 6= 0

¡ y(l)= 4

* Ancts(e')=-Arrt8[Cas(ö)]+ C dy = x(2ydx-xdy) =>dy = 2xydx-x'dy Hallam os C, r =0 9; = k /2

(l+x* jd y = 2xydx ; integ rando:

Anrtg(e*) = -Arct g[Ccs(*/2)]+C =° » l"(y)-lil(x*+l)=lii(

Arcts(l)=C=*C =? Aictg (e' )+Anctg[Cos (0)] = —

©

c)

■ * y = c(xVl)

4dy+y dx=) idy ; y(4)=-1 0 4dy+yd>c = x,dy =>(4 -x ')d y+ ydx=0

Hallar y si: a) J*ycbt=k(y1- b 3)

ydx=k(3y‘)dy

=> dx = 3kydy

fy(3kydy) = k( / - b 1)=. kx*-ka1=k (y>- b3)

B www.Solucionarios.net

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» x , -ff1=ya-b 1=» x’ -y a=ff,-b , por identidades: x = a

; y=b

y’dx = kdy

Jdx=J(3ky)dy»x+C=2|_ **C=3ky’-2x

jd x = k j^

* * = -k g )+ <

y = J L dedonde: f J g - = k ( y - b )

C=3fcb'-2a=» 3ky' -2x=3kb*-2a e) JVdx=k(y>-tf) b) J ‘yd x= k( y- b)

fy M c= k (/ -tf ). £y’
lo para derivar ambos miembros: ydx = kdv =*J'dx = kj

=> x=küi(y)+C

ü.(y)-2=£,

Aplicamos primer teorem a del cálculo para derivar ambasiembros: m y1=2kyy' => y=2ky’ separamos variables: ydbc=2kdy

r*-«c* c) J>'ydx = k(y, -b ’)

O JV(y-b)

y±t=2ykriy =» Jd x= kJ ^ =» x=2ky+C

JV dy= xJ(y-b)=»x,J> *dy= x,(y-b)=»JJdy=x(y-b)

d) J*y'dx = k(y -b) jral: x*(x-a)=xJ(y-y+1-xy')=»x-a=x(l-xy')

I SOLUCJONA RIOANÁLISIS MATEM ATICO W


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1-xy'=1-sor' => xy'=ax J =» Jdy = aJîr'ctx =» y= C -i

S) J V y ’d y- x’ fy’ -t f ) O

JV /d y»X1(/ -tf ) =>f/d y=x (/-b-)=*

=x( y*- b*)

|- =C“ ( *+ y )

^ =Cos(x +y) =» Hacemosu = x + y =» u' = l+ y'

x> -¡í= 3 x( y*- tf ) uM-Cos(u)^í=1+Q»(x)

* x+J» ^ j+ / ^ ? =0

T s'5= c + x ~ Ï — u= 2arctg(c+x) => x+y=2a ras(c+x) O

y' = Sen* (x-y +l)

£ =Sen* (x -y +1)* Hacemos u= x -y + 1» % =1-£


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u-ue*— = l+u => dx+ue‘cti=0 Jdx+Jue’du = 0 =< ^ f° ~ l* =l - d£ü=

0 * x+c =1^(u) =* Tg(x-y+1) = C+x

x+ue*-Je “du=0

tnteg. por partes: U = u =» => x+u ef-e "=C

»

dU=du ; v = Je’du=e“

x+(x-y)L n|x—y|—x+ y=C

=» (x-y)Ln|x-y| = C -y 0

y' = (x+ y) ’

-------i-_^Hacemosu = x + y+2=»u'=1+y*

=> 11. _ 1= ü ^ * U * -U =U-8

2dbt=^=y =0=» 2jd >t-jd u-j-p j=0 =» !x-u+L n(u-l)= C 2x -x-y-2 +L n(x +y+ 2-l)= C ^

Separamos variables e integrando:

C+x=y +Ln (x+ y-t -1)

=» Jdx= ¡-^¡ * x+C = Arcts(u) =» x+y=T g(x+C )

O gln|x-yj=1+ln|x-yj=»

(x+ y-I)d>c +(2x +2y-3)dy=0

u=Lr|x -y|=» x-y=e *

=» y = x-tf= »^= 1-e *^

(x+y-l)dx+(2x+2y-3)dy=0 =>Hacemos u= x+y- 1

Separamos variables eintegrando:

=» dy = du-dx=» udx-t-(2u-l)(du-dx) =0 udx*(2u-l)du-(2u-1)dx=0 =. (2u-l |du+ (1-u)dx = 0

I SOLUC IONAW OANA LISISMATEM ATICOIV


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1 (x*-2 x“ +2x* -x V +4x!xz)dx+{xx*z* -4X1)(zdx+xrfz) =0

=> jebc -jl 2ü~1'jdli =0a x-8 jd u -|-~ =0 ^ x-2u-Ln (u-l)=C

(x,-x ,+ 2x-z, +*z )dx+ (z*- 4)( zdx+ Mte) =0 => x-2x-2y+2-Ln(x+y-l-l)=C»x+2y+Ln(x+y-2)=C O

(i+**y,)y+(x y-i),*y'=0

(x>-2x* +2x-z» +4z)dx+(zI -4z)dx+x(z* -4)dz=0 (x1- 2x! -*-2x-z:’+ 4z+z3- 4z)dx+x(z* - 4)dz=0

a«. z=xy

(x,-2x* +2x)d x+x( z,-4)d z=0

l¡

=* J( x*- 2x+2) dx+J (z,-4yiz=0

=>

(x*- 2x+2 )dx( z“-4)dx=0

=» ^-x* +2 x+ ^-4 z= C ; z= í

(l+x sy*)y+(xy -1)’ xy,=0 => Hacemos z=x y => dz=ydx+xdy e^^tfa-ydx ^ (i+z*)ydx+(z-l)*(dz-yd x)=0 (l+z'Jy dx+íz-l) '£fc-y (z -l)‘ dx =0 y(l+ z, -z '+ 2z -l) cb c+ (z -l), dz = 0=» 2zydx+(z-1)f dz = 0 ; y= z/x

O

5 - frgj JH222XBÍ

. ^

+ ( z - l ) * d z= 0 »2 j f + jíí^

Hacemos u = y -x +1 *

dx y- x+ 5

= 0

dx

dx

Sustituyendo: =» 2 Ln(x )+J^1-| +r, '|dz=0 =>2tn (x)+z-2 Ln(z )-i=Ln (C) -2Ln (Cz/ x)=J -z

=» ^ + 1=_iL

* (u+4j ^+u+4=u=» (u+4)^+4=0

Separamos variables eintegrando:

=» C(x/z/ =e’^ v-» =» Cy*=e»‘,w

4dx+( u+4)du = 0 =»4jdx-t-j(u+4 )du=0^ 4 x+ -ii¡ ^- = C O

(x*-2x fl +2x’ -y* +4x’y)dx+(xy’ -*x 1}dy=0

Sug.y=xz

Bx+(y-x+5)' = C=» 8x+(y-x)’+ 10(y-x)=C => (y—x)*+IOy -2x=C

Hacemos y= xz => dy = zdx+xdz

o

ye*^dx+(y*-2xex'', )dy=0

SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOA/

SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOIV ^


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©

yl = (8x+2y+1)*

yeTVdx+(y 1 - 2xe’‘v‘ )dy= 0 => Hacemos u = x /y ’ => 2ydy = udx ,” **

y' = (8x+2y+l) =* Hacemos u=8x+2y+l

Sustituyendo:

ye-dX+(y > -2 * E -)[ ü ± ^í íj = 0

9

du = 8dx+2dy dy =-i (du -8d x)

=> 2yVe“dx+ (y, - 2 « o)udx-(y 1-2x»!',)xriu=0 Pera y*=x/ u =>2xue'dx-i- (x/u-2xe" )ud x-{ ya- 2xeu)xdu=0

= u' =» d u-8dx=2u'dx=» du =2(u' +4)dx

=* 2ue’dx+(l-2ue")dx-(l/u-2e*)xdu=0 ííT Ü í^ í* 1* i Ar as(^)= 2)c+Cs» Ara5 ^j = *x +C => dx- (l/ u-2e*) xdu=0 =» Jj£+2je,d u -J* = 0

u=215(4x+C)=» 8x+2y-i-1=2l^(4x+C)

Ln(x)+2e*-ln(u)=C •» U>(x/u)+2e’ =C=* Ln(y)+e*"’ =c © ©

(x *yVy +x- 2)di t+( xV + x) dy= 0

y' =Se n( x- y) Hacemos u=x y =» du=xdy+yctx

(u*y+y +x-2)d>t+( xu, + x )ií í^ í^ = 0 (u*y+y+x-2)dx+(u’+ l)du-(us+l)ydx =0 d x = _ íu l-Sen(u)

=» f dx+fI i^ l# := o = » x + r — ^-r+f— * ' I-Sen1(u) * Cas1(u) J C x+Tg(u)-t-Sec(u)=C =» x+T S(x-y )+S ec (x- y)= C

I SOLUOONAM OAMALISIS MATEMA TICOIV


(x-2)d>c+(u, +l)du=0» |(x-2)d> t+J(u* +l)du= 0

www.FreeLibros.net 1 0

1 [l-xjCos(xy)] dx-x*Cos( xy)dy=0 Ln[*Sec(ii)]=li,(C)=»xSec(ii)=C=» xSecQj)=C

Hacemos u= xy

a» du = xdy+ydx

0

ery'=K(x+e,)-1 Sug .: z = x+¿ r

Sustituyendo:

1 i Hacemos u=x+ e' =* du = dx+eTdy=» dx = du-e rdy

[l-uCcs(u)]dx-xCos(u)du+xyCos(u)dx=0

e,dy = (Ku-l)(du-c'dy )=» e'dy =(Ku-l)du-(iai-1)e'd y

[l-uCoa(u)Jdx-xCos(u)du+uCos(uJdx=0

(lüj-1)du-KueTdy=0

dx- xCo s(u)du =0 - - -Gc a( u) cki=0

Separamos variables eintegramos:

Jd x - | C os ( u ) d u=0 = » L n ( x ) - S e n ( u ) = C a » L n ( x ) - S e n ( x y ) = C

[^K-- j d u -K e 'd y= 0=» J ^ K- i j du - K[ e ' dy = 0 Ki-Ln(u)-Ker =ln(C)

®

K(u-e»)=Ln(Cu)

[x ‘Sen(7 )_a CQS('7 )]dx +xC“ ( ^ ) dy =0

l& = lji[c(x+eT)]

* (((x+e7-e ,,)=Ln[c(x+e’')] =*C( x+eI)=e"‘ .»

é =C¿*-x

x+eT = Ce“

=> y= Ln (Ce“ -x )

Hacemos u = -^ =» y=ux* =» dy = x*du+2x udu [x’Sen(u)-2ux'Cas(u)]dx+xCoa(u)(x’du+2xudx)=0

0

x’yy1^Tg^xV ^-xy*

z=x*y*

x,Sen(u)dx-2ux?Cas(u)dx+xICos(u)du+2x!uCas(u)dx=0 x*Sen(u) dx+x’Coo(u) du=0 =» Sen(u)dx-t-xCos(u)du = 0

-M í

Separamos variables e integrando: t £+ 2 ^ u )dU=° » f * +J Ts(u)du=(>* ln(x)+’ln[Se c(u)] »ln( c)

g— —

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G =>^ J =

(z)dx - 2xy^dx =f dz - 2Hy*dx= Tg(z ) dx-âxy^dK =>

^

dz = Ts (z )d x

=0 =» (lì +l)dK + 2xdu-Ëxirix = 0

(u*+l)dï+2xdj-Eudx= 0 =»lì( -Sun- l)dx + Sxriu = 0 jQB(z )dz = J{k ©

y'=aot + by+c

=>x = lnfSer (i)/K]

=f Sen (xY) = KeT

[.ËÏ + f ^ = Q=>Lníx )— L = C=» Iji fxW — 1— =Ç J X J fu_t)’ k ; u-1 Jk 1-xy

a,b,CËÎR [xy—2xyLn*(y )-i-yLn(y }]dx t[2x 1ji (y)-t-x]dx =0z =xLn(y) Sug, Hacemos u = ax-i-by-i-c =t

nia ecuación: — - ii i= u dx J

= a + by'

[xy-SxyLn* (y)-i- ytn( y)]dx -i-[i2x,Ln(y )-t-x]çtx =0 Hacernos z =xLn(y) => dz = Ui(yJdx+salyyy

’"-¿(s-)

=t

du=(a+bu)dx y !

=t

^ a+bu

joJy =yd z- ylji (y )dx

='

(xy-2yz* +yzx;)dx + (Ez+'l) [ytfe-ylji(y) dx] = 0 (x-Ez* +z/xJdx-i-(äi-i-l)[\ii-Lri(y)dx] = Q

Ln|a+tR^ hK— = bit

(x-S z’ + z/x)dx -i- (2n-1Jdz(2kz+1)(z /x)dK = 0

B+t u = 6 ^

(x-2z* + z /x)dx +(0z-i-'l}d z-(Sr1-4-z/x)dx= (l

a + b(mc -i-by-i-c) = oe* £ j! E l2 £ =C » Sv=+[5 ïLR( y) +-l ]' + C (x Vs+ l}dx + 2x’dy = 0 1^1 (x*y1-4-1Jdx -4-âx^dy= 0

(Ex + 3y-l)dx+(4x H-fiy-5)d y=0

=>Hacemos u= => xy du = xdy -nytk

fi OLUCÛh./ilO.VlA.IG iKH/rCt;ATCG ÍV

SOLUCIONARIÛANALISIB MATEMATICO IV |


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1

1

5x-l0y+2Ln(10x-5y+3)=C

Hacemos u= 2x+ 3y -1 =» du = 2dx +3ddya y = ™ -~ Sustituyendo:

(6x+3y-5)dx-{2x+y)du=0

udx-t-(4x+6y-2-3)dy=0«» udx+( 2u-3) |'du_2^cl=0 ^ 3 ' 3udx+(2u-3)du-2(2u-3)dx=0 = >(6-u)dx+ (2u-3)du=0 (6x+3y-5)dx-(2x+ y)du=0 => Hacemos u=2x+y => du = 2dx-t-dy x-2u+ 9Ln (u-6 )=C =>x-2 (2x+ 3y -1) +9 üi( 2x +3 y-l- 6)= C 3 x + 6 y - 9 L n ( 2 x + 3 y - 7 ) = C =s x + 2 y - 3 l n ( 2 x + 3 y - 7 ) 0

sJdx-J^ U_l+'^ <Í, =0= » 5x-u -Ui(u-l)=C 5x-u-Ln(u-l)=C 5x-2x-y=Ln(2x+y-1)+C=» 3x-y = Ln(2x+y-1)+C Q

(2x-y )dx+ (4x-2 y+3 )dy= 0

(x Y +yV +xV ' +XV + y 7+y5)dx -(x* y3+x*y +xy“Jdy =0

Hacemos u= 2x -y

=> du = 2dx-dy =* dy = 2dx-du udx—(2u+3)j 2dx-du) =0

M

VH 'i -'Y mm

=> udx-2(2u+3)dx-(2u+3)du = 0 Hacemos y = xz =» dy =xdz+zdx

-» (5u-f6)dx-(2u-t-3)du=0

Reemplazando: (xJx*^ +z*xV « V x 1+x>z*x» + zY +z V )dx-

Separamos variablese integramos dx-| U-^ d u = 0 5u+6 1

-(x *z V +x“zx+ xzV )(xdz+zdx) =0 '5u+6

Simplificamos x5:

* -|jdu !i7=t> * x- 5T +¿ 5J +7Íír 5J5U+6 » U' l( 5u' +6)=c

a—

dy = du—2dx

( 3 u - 5 ) d x - u ( d u - 2 c t x ) = 0 = » ( 5 u - 5 ) d x - u d u =0

(!x-y)c fct+( 4x-2y+3 )dy=0

25x- IOu+ 2li i(5u+3 )=C =>

=»

Sustituyendo:

(xV+zV +z V +xV +zV +r3)dK- (zV +A +üV ] (xcb+ak)= 0

25x-l0(2x- y)+2üi(l0x- 5y+3) = C

r

------------------------------------------------------


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p(u)ynudx+Q(u)xy(du-inx”"y
p(u)n udx- Q(u |du -Q(u |rmidx= 0

-z( z1x,+x’z +z‘x*)dx =0

[p(u)un-Q(u)mu]dx-Q(u)du =0 Be de VA

(xV+* V+zV +xV +zV +rs -zV -xV -zV )dK -(zV +x llz+ zV )* it e» 0 (z V +x V +z*)d x- (zV +x*z+z*x* )xdz =0

©

(s+íx ’TyJyctx+x'í/ydy=0

z,(x*+x,+ l)dK -xJ(z’ + 1+zMz) =0 paramos va riablese integramo s: dx- ^

(2+4j¿Jy)ydx+xVydy=0 dividimos entre 2y

dz = Q=»J (5 Í+ 1+ x- ,)d x-J(z +z -+z -)b= 0 X*

1

z* 1

dx+2 x*7 ydx -i-^^ = 0 ahora entre x:

1

— +2xjydx'

=

Sustituyendo:

:=y/x:

—--t :

1

2x* 2x* y 3 /

+C=0

^+ d(x V y)= 0= »J^ +Jd (x’Vy) =0=* Ln(x)+x,yy =C

Medianteunasustitució n adecuadareducirlaecuacióndiferencia l p(x"/)ydx+Q(x”y")xdy=0

©

y(xy+1) cbc+x (t+xy+ xY)dy =0

A una ecuación diferencialriable de va separable y(xy+l)d>c+x(l+xy+x'y>)dy=0 =>Hacemos u=xy

^B2ZE1ZV p()í’y,)ydx+Q(x”yn)xdy=0=»Hacemos u=x"y' du -mx"''y*dx =» du = nx"y*J dy+mx"',y ’d>t=» dy ™ r p ( u ) y dx- fQ^x^

^

J

<*) =0

1 SOUJCION ARIOAN ALISISMATEMA DCOW

=> du = xdy+ydx =» dy = ^ ~

y(u+1)dx-x(l +u+uP

=o

> y(u+l)dx+(l +u+u*)du-y(l +u+u*)dx=0 SOLUCIONARIOANÁLISISMAI bMAIICUIV


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(l+u+ u')du- yu’d x = 0 pero y = -» (t +u+u !)d u-^-^ =0 jj u - +U-«

=0 =>L n(u )-J

-Ln(x ) = Ln|C)

x(y -zy +z ’y)dx-t-(xz! -xz)d z-y(x z* -xz)dx =0 (xy- zxy+ z*xy)dx+ {x¿ - xz)dz+ (-xyz1 xyzjdx=0 (z -z 1-t-z1)dx+(xz,-x z)dz +(-z ’ +z,)dx=0

K t )=¥^>=

w

zdx+(xz* -xz)dz=0=» dx+x(z-t)dz=0 ^ z -l) d z * J ± + J( z- l) dz =0 => U( x) +£-z= C

O

(y-x y*)dx- (x+x’y )d y = 0 2Ln(x)+z'-2z=Cpero z = xy» 2ln(x)+xY-2xy=C

Hacemos u = xy

du =xr iy+ yd x» dy = -------—

Sustituyendo: y(1- u)d x-x (l + u)| ^ - ^ (1+u)du-2yudx =0

¡=»0 y(l-u)dx+(1+u)du-y(l+u)dx=0 peno y = -

=» (l- t-ii)du-gu ^ =0

(*Y -x V -l-yx’Jd y =(xV -x»/ +1«V)dx (x*yt-l)d y-(x V+ yx 3)dy=(x’ V,+xy,)dx+ (l-xV )dx

j ( U- +J] < * .- 2 j^ = 0

0

«

U, (u )-I -2 l* (x )= C » L n (^ )- “ =C

=x+y =* ^ = 1+ ^ ; v=xy

=» dv = xdy+ydx

(v> -l)dy -xsy(x+ y)dy=x / (x+y)
(y-xy* +3iy,)dx+( x3y*-x*y)dy=0

(v,-l)d>r-xv(x+y)dy=yv(x+y)

dx+(l-v’ )dx

(v’-l)dy+ (vi -l)d x=yv(x+y) dx+xv(x+y )dy (v’ -l)(dx+ dy)=v(y dx+x dy)» (v*-l)du = uvdvr

xy dz = xdy+ydx =» dy = (dz-ydxVx (y-zy+zV)c fc+(xz’ -xz)(cfe-yebc)/x=0


■-Ä - JÎ-JÂ -

^(U )^(C)=

->(V-1

)

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Ir(Cu’ ) =Ln^vs-l J =» Cu* = V -1 pero u = x4-y v = xy +

At+B Ct+D 1+f l+it -t*

:-St1=A(t+ E**-t')+ B(1+ Et—t*)+c(t+t*) +D(t+t’)

O *- e> dx

1

Sv-3ueT

r : -A+c=-a

HBO ETIKlSrU. = XET => du= e'dK + XE?
{ : ea-b-hT>={]

t : A + EB+C = E t*: E +D = 0 = 1 E=1 C = 1 D=1 f Etrit f Edt J Bfadt j i Sdt * J 1+ t1 + 1-nSt-t* M+S t-t’

Ey dy- >eTity =e’rd5 ( Eydy = udy+du-udy => Eydy = du=í Ejyd¡r=|dii =* y’ =u + C=* yl = xeT+C ©

%=M*+y)

‘” *(C Hacemoa: z = x+ y => — = 1-t-— =s — - l = T&(zl =? dz = [JL-i-TgfzYldv dx d* dx v ’ L wj [Tutelando: J— ■= Jdx =>x I=— Coe(I) dj J t+1^(z ) J J Sen(z)+Cos(z) Bi hacemoa: t=Ts(z/E) ; C œ (z )= ij l ; d z = i^

,

m

ííf] ■ M l

VÊ-TS (j ) +1 Vâ+Ts[|)-i

■GM3I

. „ jz îih

i+t* i7? I SOLU CIOH AHJO AKAI.ISISMATEMA TICOIV

SOLUCIONARIÛAUrtLISIBMATEMATICOIV


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* _y4)S=xya"i** lacemos: z = 2x+y +3 a t¿ =2+(¿

= > ^ = ^ -2

(u*-y*)(l-y^)=u* =

-- 2 = — î_-2 = »— =— !— =» f Ln( z ) dz = f dx dx Ln(z) dx Ln(z) J ’ 1 ¡

I I

lx,( z+ l)-U,(C )-x

0

.

> rf -/ -(tf -/ )y ¿j 2 = .f-> ydx+(i i' -y* )du =0

y(udy+ydu)+(u‘- y s)du=0=»uyd y+/du+(u, -y s)du=0

Ln [iÍl)=:

(x *-y‘) ^ = >V Sus-: x= uy


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rdx r(u’ +2u-5)du . (u*+2u-5)du ;-----f -----;= 0 ------Jí—x Ju>-u;-----*-4u+ =° 4 = * LnMk +f-í ; J u* (u-l)-4(u-l) ----

O

(4x* +xy-3y ,)dx+(-5x!+2xy +ys)dy=0

(u’+2u-5)du

, (u‘+2u-5)du

(4x,+xy-3y,)dx+(-6x’+2xy+y!)dy=0 u' +2 u- 5 A t B + C (u-l)(u -2)( u+ 2) u-1 u—2 + u—2

Homog énea degrado 2:

u*+2u-5=A(u*-4)+B(u-1)(u-2)+C(u-1)(u+2) Plintos críticos: ^x ’ +x’u—ajVJd x-^-S x’ +2xsu+uV)(xdu+udx)=0 16 x? de cadatémun o:

u=1 : 1+2 -5=A(-3) +B(0)+C(0)

=»

u=- 8 :-5 =A(0)+B(12)+q0)

=> B = -l

A=|

u=2 :3=A(0 )+B(0) +C(4)

=»

(4+u+3u* )dx+(-5+2u+u* )(xdu+udx) = 0 (4-t-u-3u,)dx-t-(-5+2u+u’)xdu+(-5+2u+u*)udx=0

C=|

(4+u-3u'-5u+ 2u‘ +ir,) dx+(-5+2u+u!)xdu = 0 (4—u*—4u+ir’)dx+(-ó+2u+usjxdu = 0 U.(x)+|ü,(u-l)-^ü»(u+2)+ÍU,(u-2)=C

I SOLUCIONA RIOANA JLISISMATEMATICO W

^«xdjkperu.aam ■


»vmodJipon i.com SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO IVI


1

0 Pe r* «-* *

V

xy' =2( y- ^?)

l1,(x)+ |lx ,|i-l| -^ü ,g+sj +|ü,|í -2|=C Homogénea de grado 1: Hacemos: y = ux

dx X l' ( y/ x)

dy = xrim-udx

Sustituyendo: xUd x^ d U=2 (ux_ >/^ r) Homogénea de gr ado 0: Hacemos: y = ux =»dy = xriu-i -udx Simplificamos x de cadatérmino: udx+xdu = 2û-Vüjdx

Sustituyendo:

Separamos variables eintegramos: xdu = (u-2VÜ)dx Ahora hacemos: t = # (u)

dt = ¿'(u) du Hacemos u=t* =* du = 2tdt

x=J^

=* üi(Cx )=In (t) =»

t=Cx =»^(u) =Oc

*(y/x) = Cx

J^ÍÉL =ln(x)= » ü i(x )= j|^ =, Ln(Cx) = 2Ln( t-2) Ln(Cx) =Ln(t-2 )' =» Cx =(Vu -2) per uo= y/x

SOLUOONARIOANALISISMATEítónCOW

-


L

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\

1

Q

C x= j^-2 j

xy' = y+2xe"'*

=C x*

]’ = I6xy y-
j^xCsc^-í j-y jd x+ xd=0 y

Reem plazamos enlaecuación diferencial. x(udx+xdu)=(ux+ 2xe” '”)dx Simplificamos x: udx_xdu = udx-t-2e=’dx 5 xdu = 2e*dx

j e s e e l z m

|e-<*i = 2j— => -e " = 2Ln(x)+Ln(k)

Laecuación diferencial hom es ogéneade grado 1.Hacemos =» dyu xy= = xriu+udx.

perou=y/x

%e"* = Ln(kx*)

Reem plazamo s enlaecuación diferencial. [xCsc(u)-uxjdx_x(udx-xdu) =0

O

dy= |j>-Caí?^jjctx

Simplificamos x [Csc(u)-u]dx+udx+xriu =0 Cscûjdx—udx+udx+xdu = Q=>

-t-x=d0u

Laecuación diferencial es homog énea de grado 0. Hac emos y = ux=» dy = udx+xdu. udx-xdu=| uCsc 1 fujjdx^ xdu= -Csc' (u)dx

— +Sen(u)du 0= =»J— +|Sen(u)du0=

Separamos variables: Sen*(u)du+— = 03 Serf (u)du+— =0

u
_

_

_

_

_

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O

x V-

JSen‘(u)du+|- ^=0=» j | L E ^ L )jdu+Ln (x )=0 '+2ln( x) = l • 2u-S en( 2u) +4ü i(x)=k x*y' =4x”+7xy+2/ Homogénea de grado 2: Hacemos

O

y = ux =» dy= xdu+udx

Sustituyendo:

2^-SenjiÜ : j+4üi( x) = k=» 2y-xSen|Í£)+4xLn(x):

4x*+7x!u+2i/x’ => x’ (udx+xdu)=x, (4-t-7u-t-2ij!)d x udx-t-xdu=(4+7u+2u*) dx => xdu = (4+6u+2u')dx

2(2x* +y’ )dx-x ydy=0

- - a/ — i-,(u+3/2) -9/ 2 Jx 2(2x* +y *)dx-xyd y=0

rJ; (u+3/2) -1/4

2 (1/ 2)

Homogéneade grado 2:

-ü -i = Cx* »Pero u= — =» 2+1 =ÍCxH'¡

=» x+ y= C x* ( y+ 2x )

2(2x* +u*xs)dx-x?u(xdu+u
ydx =(x +Vy ‘ -x* )dy

2(2+ i/)dx -uxd x-ifdx =0 =» (4+2u* -u*)dx-uxdu = 0 =» J— - J ÛC^l =C ^ (x )~ 1*(*+u*)= lii (C ) .* 2Ln(x) -ln(4-t1/ )= Ln(C) Ln(x? )- Ln(4 +\f) =Ln (C)

ydx=^x+\]y'- x ! Jdy

üi-^ í=Ii> (C)= * Per o:U=^=» x*= C^4+¿j= »x* =C (4x,+y‘ )

“T www.Solucionarios.net

Homogénea de gradoI. Hacemos

y = ux =» dv = xdu+udx

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=* (2-3uJ ) xdu = Wdx

J^2 ir‘-ijd u= |-^

uxdx = (xW u V -X * J(udx-t-xdu) =» uxdx = |x+Wu '-lj(ud x+xd u) -A-3Ln( u)=Ln(x) +l^q^Ln(Cxu> )= -J . uxdx = x^1Wu*-l)(u dx+x du) =» udx

-l) dx +{ I W if -l) xd u Pero u=—

u7^Tdx +( n- /TÖ)xdu=0

=>J^ ¡+J -j Ä -

=»

Cxu1=e *'‘v

=» y1= Cx’ i w v

=0 0

u=1/t du = -dt/t* ln(x)+ J-— ~^t t ,

xdy-ydx=yf>F *ÿàx

Ln (x u) -J^ =ü = = 0=» Ln(Cux)-Arcaen(t)=0 =» Pero u = ~ Homogénea de grad o 1. Hacem os y = ux=»dy =xdu-i-udx

Ln(Cy) = Ar e s e n =» ln(Cy) = Are sen^ j

x(udx+xdu)-ujcdx=Vx’ +Wi/dx =»x(udx-i-xdu)-iKdx = Wl+u’ dx udx->-xdu-udx=>/l+u*dx =» xdu=Vl+u*dx

Pér ou »! « C x ^ + jT Z * C x1= y+ Vx ’ +y* uxffix’ + u V i = - A _ J *

(2 - 3u>) ( xdU +ud x) =u( 2^ )d x

©

y(x *+x y-2 y1)d x+x (3y ,- x -x ’}dy=0

(2-3 ii ) xdu+u(2-3ii )dx=u ( 2+ii )dx Hacemos y = ux =»dy = xdu+■ udx. Sustituyen do:


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1

r

ux(x* +x’u-2xIu!)dx+x(3xV -x*u-x*)(xdu+udx)=0

0

1

(6x*—7y*)dx—I4xydy=0

u(l+u+2u, )d>c+(3u, -u-l) (xdu +ud )t)=0 ¡B Z Z E S íS J K

(u+u*- 2u’)dx+(3 u’ -u-l)xd u+(3u 1-ü* -u)dx =0

(6x, -7 y*) djc-14xydy= 0 Homogénea de grado 2.

u’dx+^Su* -u-l)xdU=0»»J-^+j^-?-ir*-ir*jdu=0

Hacemos: y = ux => dy = xdu+udx. U.( x)+3 üi (U)+¿ +¿ = C ^ P Br ou = í

Sustituyendo: (6x*-7xV) dx-14x *u(xdu +udx) = 0 => (6-7u')d x-l4uxdu -l«u,dx=0

K 0

í H

'F

-c - ! y - ü ' ( £ ) * w

'c ’,‘

(6 -2 hí )d x- l4 uxd u=0 » 3 J ^ + J ^ 0 = O

xy* <*+( x>- y>) dx. O

3Ln(x)-Ln(2-7u‘)=Ln(C)=»Pero u=*

Ü’( A

Homog énea de grado. Hacemos 3 y = ux =»rtv = xciij ixtx * Sustituyendo: uV(xdu+udx)(W -yí\i )dx=0=» uV(xdu+udx )+X3(i- u 1}dx=0

© W

) =Ü' ( C)

Xl =C (2_ ?y ,/ X,) * ^ =2X> "7/

y —3x -y

u,xdu+u1dx +(l- u'}d x = 0 =»u*xdu+dx=0 =» u'du+— =0 +Ju’du =0 ^ Ln(x) +-í£ = C ^ Pero u=i

(3x* - / ) d y = 2xydx = 0 Homogénea de grado 2. Hacemos: y = ux *

3Ln(x)+i , =C ^ yJ=-8xíi» (x)+OcJ

dy = xdu+udx.

Sustituyendo: (3x*-xV)(xdu+udx)=2x*udx Simplificamos: x*

1 —

—

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B

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(3-u*)(xdu-t-udx)=2udx

=>(3-u’)xdu+(3u-u,)d>c=2udx

x ^ W x V -x *

=>

xdu+udx=Vu1-Idx

(u, -3 )x ¡d u+ (ir '- u) dx =0 Separamos variablese integramos:

-■ F + - J f - f j r h J x +J u( u-1)( u+1)-0 Fracciones rciales pa la a segunda integ ral:

ÍVu*-1+u)du J -1 -J °° "

i/- 3 At B C u(u-1JCu+1) ü u-1 u+1

v r/ 1— ^(*) +j( '/^*u) du = 0

ü,(x )+ ¿V7 ^T+ili ,(u +Vn^T )+ ¿ = C

Pe rou =I

u*-3=A(u*-l)+Bu(u-i-1)+Cu(u-1) yVy, -x*+x *biíy 'l'^y,

u=0 =» -3 = A( —i) =» A =3 u=1 =»-2 = B(2) <* B = -1

|+y* = Cx*

u=—1 -> -2 =C(2) >» C=-1 O

ax, +2bxy+c y*+y '(bx, +2cxy+ fy,)=0

Ln(x)+3Ln(u)-ln(u-l)-Ln(u+t)=ln(C) L n | -^ - |=Ln(C) =» XU*= C( u* -l)

ux =» dy = xdu+udx.

donde u =2

Sustituyen do:

ax‘ +2 b xS j+o cV +^ ^(b x, +2cx,u+fxV) = 0

■GTH&H

/ = c (y * -x ')

Simplificamos x1: (a+2bu+cu’ )dx+(udx+xdu)(b+2cu+fu*) =0 (a+2bu+cu* jdx-t-udx| b+ 2cu+fií )+xdu(b+2cu+fu!) =0 (a+ 2»xi+cu*+ bu+ Scu1+ fi í )dic+xdu(b +2cu+fi/) =0

i+udx.

Sustituyendo:

I SOWCW NARIOANALISI S MATEMA TICOrv


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rdx r ftn-Sai+ fij )du [ — + [- *--------------— T =0haciendo z =a- n3txj+3cu+ fi í J x J B-nSbuH-acu’+ fil3 dz = 3(tn-Scij+fiil )du áz

* ‘»(*)+ J I"(-)=l"(k ) )*z = k

=>

=*

^xjx1+ y’ -y JJdjc+ jqriy = 0 Hacemos: y = ux =f dy =xdu-t-udx.

yI(a H-3bu-H3cu’ H-hl1) = V

xíffl+ÍÍ 2 í+ ^ ¡I .¿ £ ]= k

=*

ahorau =^ x ’ + x\is- xî1JdK +xî(udx+ HduJ

ar, +3tKJy-H3cxyJ+fy1=k

Simplificamos x1 detoda laopresión: 0

+

ydn+ (Ej xy- x)d ¡f =Ü

ííj dx -4-ifdx+xudu - ü

=» J'l + u’dx - u’idx-i-u^djn- xudu — íi

udu= 0 separam os vairiab lese intesramc a. ■JT+itdK + so * + ’2L= Í =» x 7Ñ T7

Hacem os: y = ux=> dy = xdiH-udx. ±e+•

—xjfxdu +udxJ = 0 => Lidx+(Wu —ij xriu+u^ Wu-1 j dbí =? EuMMx+( a ju-i) » dLi =o =>a j— -

i

-

|ji( x) Wl-t-u* =C

pa on = ^# In(x)-i-Jl+ ¿ = C

xtn(x) -4-^K*4-y1- Cx

=o

ELn(x^+2Ln(u)+2u’,1=C => Ln(xii}+ir 1'1= C

f* +f ^ = 0 J x J 7ÍTT7

O

[x+( x-y)e ^]dx -H>E ^dy = 0

Perau =i =*^ Hacemos; y=u x =5 dy = xrhn-udx.


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[x+(x-u x)e, ]dx+xE, (xdu+udx) = 0 Ü, W “C “ (x) = k Simplificamos x de toda laexpresión: [l+(l-u )e*] dx+ XE'd u+u c“dx = 0 =» (l+e’ )dx+xe°du = 0

0

x’^= y ,+3 xy,+4x ,y +x*

Separamos variables eintegramos: *♦£*= 0«. r*i+ re’du= o x I*«? J X j l+e°

s

Ln(x)+ln(i +e’ ) =ln(k ) =» Ln£x(i-t-e’)J =ln(k)

Hacemos: y = ux => dy = xdu+udx ^(u dx+ xdu )

x(l+e* )=k donde u = -s x(l+e T") = k

O

+3)f3u. +4>eu+)e

Simplificamos x1detoda laexpresión; udx+xdu = (u3+3u?+ 4u+l)dx=» udx+xdu = (u1+3uf!+4u+l)dx

[x+ySen(y/x)]dx-*Sen(y/x)dyr=0

xdi] =(i í -4-3 f1+3u+ l)» xdu=(u+l j’dx Hacemos: y = ux => dy = xriu+udx.

Separamos variableseintegramos:

[x + uxSen (u)] dx - xSen(u) (udx+xdu)= 0 Simplificamosx de toda laexpresión: [1+uSen(u)] dx - uSen(u) dx-xSen(u) du=0 dx-xSen (u)du = 0 Separamos variables eintegra mos:

x / k -2Ln(x) ' =>y" ^ k - 2lii( x)~ X

— +Sen(u)du = 0 a J— +Jsen(u)du=0 =» Ln(x)-Cos(u) = C

_ —


1


O

1

(2xy+x*)í£=3y*+2xy

uctx^ ” ia=— +Sen(u) =» udx—xdu = udx+Seníu)dx

üi(x)-t-U»(k)=ln[Csc(u)-Qs(u)] =» Ln(kx) =Ln[cBc(u)-CtS(u)]

Homogénea degrado2: y = ux =» dy = xdu+u dx

=»loc=Csc(u)-Cts(u)=» kn= Cs c| Íj -Q s ^]

(2x1u+x’ \i íí ^Ü íí i = 3u, x' +2x*u ’ 5t Simplificamos x*: (2u+l)(udx+xdu) = (3u*+2u)dx

©

2x ^(x -+y* ) = y( y* +2x »)

(2u' +u|dx+(2u-r|xdu = (3us+2u)ct>í (2u+ l)xdu=(u*+u)dx separamos variables e integramos Iíí í r

Homogénea de grado 3: y =u x ^

= ÍT ■ »

Ln(kx)=Ln(u’+u) =»kx = u'+ u

2 x ü ^ ü (x '+xV)=ux(xV+

donde; u= —

dy = udx-t-xdu 2)c*)

Simplificamos x' detoda laexpresión; 2(udx+xdu)(l+u,) = u(ijs+2)dx=»2(u+u’)dx +2(l+u2)xriu = (if'+2u)dx u’dx+2(l +u,)xi du=0=» * =2(,rI % )du © í - i- H

i) j‘-^=2 jjî r‘ + Jjd u =» Ln( x)=- l+2 Ln(u )+L n(C ) U»( Oc) -U. (u- )=- ±=> < «( ? )— jr Cx=tfev* =* Homogénea de grado0: y = ux =» dy = udx-t-xdu

—


—

1

_

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0

0

x>’,dy -(x ’ -hy*)
Homogénea de grado 3:y = u x ^ dy = udx-t-xdu

x« |=3( x*+ y,) Ar aS g j+>

x*ii*(udx+xdu)-(x>+x V) dx = 0

u' (udx+xdu)- (l +u3)dbc=0 =9 u'dx+u*xdu-dx-u'dx=Û Homogénea de grado: 2y =u=>x dy = udx+xdu

=> u,xdu- dx=0= » — =u'du* J— = Ji/du

X*UäX^ Al=3 ( x»+xV Aictg ) (u)-t- X*j ln(x)=^ +C

X*

9 pera u =~ => Ln(xJ

=> y* =3ai'Qj»(x)+C]

udx-t-xdu =3( 1+uP)Anrtg(u)dx+udx © xsen

»*i=3(l+u'J*rcig(u)dx

^^g}

^

Ln[Aic*g(u)]=3ln(x)+Ln(C) =» Ln[Arctg(u)]=Ln(Cx*) Anctg(u)=CxI» u=Tg( Cx’ ) pero: u=— ï

Homogénea de grado I:y =ux=* dy=udx+xi xSen(u)(udx-t-xdu)=uxSen(u)dx+xdx

y=*Ifc(Cx>)

uSen(u) dx+xSen(u) du=uSen( u) dx+xr xSenlu) du = dx =>— =Sen(u)du


www.FreeLibros.net J

Reemplazam os y= ux y simplificamo s x: J*=fSen(“)d“=» Ln(x)=Ln(C)-Coe(u) Ln(Cx)+Cos(u| = 0

xV dx +^ Wx V -x* -x*u)(udx+xdu)=0

pero: u= - =» ln(Cx)+Co sí-j = 0

u,dx+û, -t-u| (udx-i-xdu)=0 tídx+uVu* -ldx -u ,du+^Vu,-1 -u|xd u=0

O

Z - i 'g r '

u>/u’ -1dx+|Vu*-1 -u)x du =0

X V i/ - 1-u Homogénea de grado en c o. Hacemos: y= u x » dy = udx+xc*j

J

Ln(x}-J'u(u*-l)*i-JWu,

Reem plazamo s y = ux y simplificamos x:

W x )- ^ ^ -M

udx-xdu _m -û« _i üdx+xriiJ=udxWu’ -tdx dx . i i du dx r du r dx xdu =v u -1dx=-» j = = — » J ^ = = /— Lnû+Vu'-l|=Ln(Cx)=» u+Vu*-1 =Cx pero: u=-í

JX


-= C

u —1—uT -1du = 0 P e r o:-?

w ,) -y* + y * -i!-4í!=c 1 ' 3 x* 2x* 3x

O

2x’S +( y, - x'y )d y= 0

^+ ^-l=C x= »y* ví/-x s= Cx*

O

Homo géneade grado3.

/dbc +( ^7T?- xy| dy=0

Reem plazamos y = ux y simplificamos xJ

2X1(udx+xdu)+ (xV -x ’u|dx=0 Homogéne a de grado2.

Hacemos: y = ux =» dy =udx+xdu

2udx+2xdu+(uJ-u)dx=0=» udx+2xdu+uJdx=0

------------------—


—

■

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1 Separamos variables e integramos: (u-t-u1)dx+2xdu = 0 «» — +

0

i) = 0

x1^ =y* +3 xy+2xI

jhezsüm

Homogéneade ja do 2. Hacemos y=ux , dy = udx+xdu.

=» b1(x)+ 21 û)- ü,(u '+l) = U,(C)

Reem plazamo s y = ux y simplificamos ': x =c (x*+y,) Pero: u=j-

x,(udx+xdu)=(x*i/+3x1u+2xI)

x(S)=c(S+1) 5^= c(x,+y’) O

udx+xdu=(u’ +3u+2)dx =» xdu = (u*+2u+2)dx Separamos variables e integramos: ^ = (u+t|)' + i a* tj,(x)+C =Arc t8( u+1)

x,^ -y ’+ xy= x*

u+1 =Ts[Ln(x)+Cj Pe ro: u = I => 2 +l=Ts[L n(x)+C] y=* r8[ta (x)+ C ]-x Homogénea de grad o 2. cfy= udx+xdu. Reemplazam osy = ux y sim plificam os x ': x1(ocbí+xdu)-(xsií -x ,u)dx=xsdx

1 ’

=» udx+xdu-(u* -u)dc =dx

W

xd u- (u* -2u +1 )dx =0 »í { ¡ =0=» f ^ - f * (» -I )’ J * PmKU=í U_1____ ’ *2-1= C-Ln(x) x

j

___ ’

C-ln(x)

0

jxSen^ j-yCc B^íJj dx+xCos ^£jdy=0

* !~ =0

+x

„ y ____* C-Ln( x)

SOLUCIONADOANALISISMATEMATICOS

Homogéne a degrado .1 Hacemos y= u x , dy = udx-t-xr iu. Reemplazam os y = ux y simplificam os x ' :

SOLUCIONAR®ANALISISMATEMÁTICOr

C www.Solucionarios.net

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[xSen(u) -u xCos(u)]dx+ xCos(u |(udx—xdu)=0

Ln (x )+ J^ +J^

1=0Hacemos t' =U* +1

[Sen(u) —uCoe(u)]dx+uCoe(u)dx+xCo5(u)du = 0 tdt = udu=»Ln(x )+Ln(u)+ J^ÍÉf =0

Sen(u)dx+xCos(u)du=0

Ln(ux)+J^ t'

=0 =»Ln (H+Jdt+Jf ^ = °

=0 * ^(*)+Ln[Son(u)]=Mc)

— *

Ln[xSen(u)]=Ln(C) => xSen(u)=C P< ■J . ( y) *wr o+ ü ^ ¡j^ ©

j-c

p »:u JL

Wx* +y»dx->c (x+V*1-y* )dy =0 ((y/xl'fi/(y/xj’ +t +l

2ln(y)-i

2Ui(y)-

Homogénea de g rado 1 . Hacem os y = ux, dy = udx+xdu. Reem plazamos y=ux y si mplificamos :x*

Conjugada en el segundo logaritmo:

uWx* +x*u*dx-x(x Wx1+ x V )(xdu+uebe)=0 2Ln(y)+2^¿ u7l+u*dx-^l—7l+u* J(xdu+udx) = 0

uVT+ i7dx-|l +VT+i7)xdkiu|l+VÍ+üñjdx=0» (l+Vl+u1 Jxd u+udx=i

2 , Ji£^ +y>!í_,íiL |

2Ln(y)+2* X 2ln(y)+2-


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□ Ln(y)+Homogénea de gradoI. Hacemos y= u x =» dy =udx+xdu. ^»/•ndLa

Y^ X ^

J =C =»/x* +y*+xtn(Vx* +y*- x j =C

uxdx+x[ln(u )-2](xdu+udx )=0

=» udx+[Ln(u)-2]wiu+u[Ln(u)-2]dx=0

^Ln(u)-2]xdu-t-u[Ln(u)-l]
O x-^=y[u,(y)-lji(x )] Pero: u= ^ Homogénea degrado _Hacem 1 os y = ux => dy = udx-txdu. Sustituyendo: x(xdu-udx)-xuln(u|dx = 0 => xdu+ucbc—uLn(u)cbc=0 0 xdu+udx-uLn(u)cbc=0 9

=>Ln^ j=Ln [CLn (u)-C] y= Ot‘ [lj i(y /x )-2 ]

[xCoa(y/x) +ySen( y/x)]y dx+[xCoa(y/x)-ySen(y/ x)]xdy=0

^=0

LnW+Ln(c)=u, [1-Ln< u)] Pero: u=- ^

Ln(Cx) = Ln [l- Ln (u )J

=»

Cx+1 = Ln^—j

Homogéne a de grado2. Hacemos y= ux => dy = udx-t-xdu. Sustituyendo: [xCos(u )+ uxSen(u )] uxdx—[xCos(u

O

uxSen(u |"jx(xdu +udx) =0

[Coa (u)+uSen (u)] udx+[Coa (u)- uSen(u)] (xdu+udx)=0

ydx+ x[ Ln(y /x) -2] dy=0

[Coa(u)+ifien(u)]udx+[Coa(u)-ifien(u)]xdu+[Cos(u)-ifien(u)]udx = 0 [Coa(u)+uSen(u)+Cba(u)-uSen(u)]udx-i-[Co6(u)-uSen(u)]xdu = 0


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1

1

Sustituyendo:

2uCos (u )dx+[Cos (u )-u Scn (u ijxriu=0

ux[tn(u)+!]dx-xLn(u)(udx+xdu)=0 u[ln (u )+l]dx-u ln (u)dx-xLn (u ) dú=0 2 L n ( x ) + l n ( u ) + l n [ C G s ( u ) ] = ln ( C ) « x’u Coe( u) =C

/. ud x- xL n( u) du = 0 =>

dx Ln( u) du f dx r Ln( u) du —------=0=> j— -J w =0

Pero: u= — => xyCos(y/x)=C u (« )_ ia .c Q

O2

- ££

Homogénea de grad o 1- Hace mos y = ux =i dy = udx+xd u. Sustituyendo: [x+uxe*]dx-xe" (xdu+udx)=0 [l-nje’]dx-e"x riu-ue*dx=0 => dx-xe"du= 0a— -e"du=0 J— -Je -du=0= » Ln(x)-e’ =C=» Ln(x )+C=e'fi>==» Ln[Ln(x)+C]

Homogéneade grado2. Hacemos y = ux » dy = udx+xdu. Sustituyendo: (jí - x su*)d)c-(x* +x*rf)(udx+xdu) =0 (l-u*)dx-(l+u*)(udx+xdu)=0 = » (l -u ,)d x-(u+ u’)dx-{l-i-u, )xdu=0 (1-u-u*-u’)dx-(l+u')xdu=0

y=xL n[ln( x)+C] 0

, ta( <) - : u. ' (v /x) . c

[x+ yer ',]dx- xe'"' dy=0

* , (tf+,)d u =0X V -lí-ü -1

y[ln( y/x)+l ]dx- xln(y/ x)dy=0

( u' +, ) du = o J X V -lí-U -l

J-í— T- ^— =L nW +c U -U -U-l

donde: U=I X

Homogénea de grado 1 . Hace mos y = ux =» dy = udx+xdu.

-----------------------------------------------------


H

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1

n

Sustituyendo: 0

( x,+ y, V^7 7)dx-X yV ^y Td y= 0

UC*X^ XC*U= — +Arctg^— j=» udx+xdu =udx+Arctg(u)dx

Homogénea de grado3. Hacemo s y= u x =» dy =udx+xdu.

Jf

= J^TC

“

""í

Sustituyendo y simplificando x1: (x>+xVVx* +x V )dx-x'uVx 1+x V (udx+xdu) =0

,/xydx=(x-y+Vxy)dy

(l+uVl+if)dx-u,Vl+u,dx-xu/l+u?du=0 dx—xV l - u ’d u= 0 Separamos variables e integramos: Homogénea de grado1. Hacem os y= u x => dy = udx+xdu.

— =i»/l+u■ =» J— = JiWu* + ldu Sustituyendo: . Sfu’+ l)” v Ln (x )+ Ln (C)= —^ — donde: u=^ ya Ui(C)+Ui(x3 )= 2 Í^ + ll

Vx*udx = (x -u x - Vx*¡3) (xdu+udx) Simplificamos x y reducimostérminos:

*x*Ii>(Cxs)=2 (x, +y,)M

'/udx = (l-u+>/u)(xdu+udx)=* \^üdx= ^l-u+v‘u)xdu+(l—u+7u)udx (l- u+Vü) xdu+( u-u* +u ” -u^d xsO

o

d( ,u - r f ^ - r f - ) *r X 1-U+VÜ Hacem os u =t ’

^SSSLIW

( u - u - + uu« " ^ = o Jx J 1-U+VÜ

=» du = 2tdt

Homogénea de grado0. Hacemc6 y = ux => dy = udx+xdu.

1

"“

—


T I

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o ^ +3x'-r;=Q W l ü ( * ) + s j ( e+ l ) d t + 2 f£ ^= 0 =>U , ( x ) + 2 (^ t )+j i ^ =

yd x 3y -x

0

U , ( x) +"l+ 2^ +r í ^ l í +3--------f 1 --------=0 Homogéneade grado0. Hacemos y= u x =» Wx)+^ + bVS+u ,( t * -t-i )+ 3J —

2L— =o

x udx+xriu 3x‘ -u V xu dx 3u V- x* ) + (3^

U,(x)^+

2 ^. U»( t*- t- l) +i Û, - I - £

Le

=p =» (3uP-l)( udx+xdu)-t-(3-u*)u
(3U1-u)dx+(3uJ-l)xdu+(3-u!)udx=0 * (3f -u+3u-ii')dx+ (3uí -l)xriu = 0!

lt_2+ 2 J

(3u' -l) du

,-v: rdx r(3u’-l )du Sj— -i-J ——-p -------¡ = 0 Fracciones parciales en lasegunda ira u ( u’V )

U u* + -1 = A

=» 3u’ - l = A(ií + l)+Bií +C u u':A+B= ;

2Ln(x)-J* + J^ =j =0 a a Ln^-lnfuj+aLn^ +

■ps*]I SOLUCtONAM OANALISIS MATEM ATICOIV

í)=ln( C)

donde u = í

1 www.Solucionarios.net

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= Cu=>(*W]f=0
■J M Î PÂ—

*

su'- Ul -1 (w-l}(w -!}(«■ +U+1) U-1 (u-1) 1 lf + M+1

Homogéneade gado uno. acern H os y = ux =» dy = udK -nxdu

Su’ -i / -1 = A(u* u = l: u": A + C = a; Qs(u)dx-HMCce(u)dLj= [ijCce(u)-l] dx= > xCcb(u)( ìj=-

h- uh-1)

0 = B(3)

=>B = 0

li : —EC+D=— 1- u: C-SD = 0 =»C=SD

Dedondt -4D+D = 1=» D = i C = A- = 3 3 3

du-i-fiÌL = 0=>Bjn (u)+Ln (x )= C

liie^ S* (*} +| J-ÍL +|

O

+O j( u-1^ + D(u -1)=

ydy S ^- ü Jy -y ’ xd « iy1- ^ - ^

=0

ain(K)+|u ,(u -i)U u ,(^ +u+ i)=u1 (c ) 6Iji (xJ-t-Lnû-l)* -i-Iji (u’ + u+l) = Ln(C ) =» ln |V (u- l)* (if -i-u-ni)J = Ln(C) xi(u- l}*(u= + in-l) = C=i3
/"ujtîudx+ialu) Sk' - x^j - uV

.

,

‘4-----------------------= D simplificamos > : [x— JP-------------d* ExV - kV - x1 P

¿üLuc ok ai o .-v'j/'Lisi v/rch,'AT ;c rv


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[TsCu) +u]tfcc — udx —k íj = TB (u )d x- >d u = 0 = > | * + | ^^ = Ü =>J * + Jc tg (u)du= 0 U n f t ^ S ^ u )] ^ ) » Lr [n Se n( u) ] =U .( C) =** Sen( *J = C

[C T H

î ) W

^

0

{ ^

+^ = 7 ) ^ ( 4 ^ - ^ ) d y = 0

yfí—iTdx—uAiœn (u)dii + uAit3enû JdK+3cAn3En(u)dij =0

y = UK

-

dy=uc

fyrm +-jï^ü)dx +(j n z -v i-u ) (u*+«d uj=o L .Î . )Æ

= ffl.

C -W

^«--

(í)-C (JÏ+LJ +Vl- fl](k + (Wl + Li-Wl-u Jd K + ('JT+L - Vl-U^HdU = O (Vl-t-u W l-U +u/T+lj -W l-U Jdx+ ^/ÌTù- i/ I- u Jm Ju =O [J ü Z (i -u) +

(i +u ) ] d K +JT7 ( ¿-,/ T^ ) Hdu=o

fl+U-Sjl-u* +1-uï du

lí-a/ l-u* '

N ï H *"** — >-■ SOLUCIQNARIOANALISISMATEMÀTICOIV


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2j f = íC*S(u) du =» 2ü,(x) = W k) ^ [ Sen<11)] Hacemos u= - =* 1n(-~ii)J . <*i=-i2I

O

=0

(4x’ +3xy+y* )dx+(4y* +3xy+x* )dy=0

ir~7 Ln(xu) + J

— . = 0^ Ln(xu)+ln^t+Vc* —lj=ln(C ) Homogéneade grado dos.

Pero: y= ux

y= ux => dy=udx-

(4X1+3W,u+Wii‘ )dx+(4 xV +3 )iu +)i )(ucfc+xdu) = 0

» üi| y| j+ ^JL -ljj= ln( q Ahora: u=*

(4+3u+u*)dx+(4u’+3u+ l)(udx+xdu)=0 Vív +^7 ”1| =C* X+ Vx*^7=c

(4+3u +u')d x+(4u ' +3u* +u)dx+(4u! +3u+1jxdu = 0 , , Í4u'+3u+lidu 4(l +U+U* +u’)dx+ (4us+3u* + l) xdu = 0 =>4 | - + j i ^ - ^ -= —0 Í4u'+3u+l)du

“ ^W

r -

4u>- 1-3IJ+ 1 Au + B c =» 4u'+3u+1=A(U*+U)+B(U+1)+(U*+1) ( u, +1) (u + 1) rf+1 +U+1

Homogénea de grado). y= ux =* dy = udx +«k ]

A=l u=0 = > C=0 -

[2xTg(u) +u x]dx =x(udx+xdu) simplificamos« [2Tg(u)+u]d>e=udx+xdu =» 2Tg(u)dx= xdu =» 2— =

.


u.( x4)+u»( u+i)+|u,(u Vi)= ü1(q

ln^x4(u+1)(u’ +l )1', j = Ln(C)Pero: u= ¿

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o *SKx) =x+vu{x) o *%-->■— < Arctg

Homo génea degrado - (udx+xdu)| ^ l ^ ^ x - u x l ^ ) a (u dx— xdu) ln( u) = dx-t- uLn( u|dx uLn(u)dx+xLn(u)du = cbc+uLn(u)dx» xLn|ujdu = =dx J ln(u)du =J — Int por partes U = Ln(u) =* dU= —V=Jdu ; =u

Homogé nea degrado un

Ln(x)=uln(u)-Judu

Sustituyendoen laecuacióndiferencial y eliminandox: (udx+xdu) » udx+xdu-udx=. Arctg (u)

=» Ln(x) = uLn(u)-u+C pera u=^

Ln(x)=-^|\ji^—j- lj -u + C

|Ar ctg(u)du=J— integramospor partes: U = Arctg (u) d li = -j -^ r V= J du =u =» i^rcts

^-J^ -üifx J+ C

en^-jjdx -xSen^ —jdy = 0

uArctgfu)—jln( l+ü *)= lii(x )+C Pero: u = Homogénea de grado uno. Â ras^= Ln ^x , +y* +C

fH

y = u x ^ dy = udx+xdu

— |jdx-xSen^— i(xdu+udx)=0

SOLU^NARIOAHA LISISMATEMATICOIV


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1

1

[1+ uSen(u)jdx -x Sen(u) du-uSen(u) dx = 0=» dx-xSen(u)du=0

,-------------------------------------I -

O

(x ,+y’ V ^+ / )dx -W x T+ yí< *y=o

Separamos variables eintegramos: J^-jSen(u)du=0 =» üi(x)+Cos(u)=C =» Ln(x)+Ccs^J=C Laecuació n diferen cialeshom ogénea de orden3.

Hacem os y=u x

dy = udx+xdu

y(x*+xy+2y’)dx+x(3y, -x y- j¿ )d y= 0 (x1+Wx* +y‘ )dx-xyVx* +/ dy = 0 (x3+u Laecuación diferen cialeshomo génea de orden2.

Hacem os y= uot dy = udx-t-xchj

+u*xk)d x- ux Vx s!+u*xl (udx+xdu)=0

(l+uVl+u*j
Reem plazamos simplificamos y x*: ux(x* +x*u-2xV) dx+x(3xV -x*u-x*) (xdu+udx)=0

(l+u*Vl+ií jdx-iíVl+u*dx-xuVl+u,du=0

u(l+u -2u’ )dx+(3u' - u —l)(xdu-t-udx) = 0

dx -xu /T Wd u=0 Separamos variables: — -Vl +u' du =0

u(l+u-2u’dx )+(3u’ -u-l)xdü+(3u’ -u-l)ud x=0 u(l +u-2u’+3 u,-u-l) dx+(3u’ -u-l) xd u= 0»

J— -jV7+ü*du=0» Ln(x) -^Vl +u* —^L nû+Vl +ií J = C

u’dx+(3u,-u-l)xdu=0

rdx r(3ií-u-l)du Separamos variables e integramos; J— — =0 Ln(x )+J^--ir* -uJ jdu = 0=» Ln(x}+3Ln(u)+-+ ^j =C

ÜI(XU‘K +SS = C

■»

Ahoracon: „= í i^ (x )- X jí I? _ X ül ^ +^ I? J = C

Q

(3xy+y*)dx+(x, +xy)dyr=0

u’(?)-x'H^*=c

y=ux

dy = udx+xdu

(3x,u+i/xI |dxi-|V + x'u)(udx-<-xdu)=0 (3u+u'|dx-*-(u+uI)dx+(l +0)xdu=0


1

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(2u’ +4u)dx+(u+ l)wJu=0 2 r*+r^ l)* J x Ju*+2u

xsc^ J Z H y x^c{y*J777)

=o

Hallamos C siy(>/3)=1

2Ln(x)-jLn(tf +2u)=ln(C)

3 = c(l+VÏ+3) =» C = 1=>x*=y+ V7"!ô?

Lnx4(u! +2u)=Ln(C) 0

O

(xy' -y)Ar ctg ^ïj =x; y(l )=0

{Y- y¡7 77 j<¡ x-x dy = 0;Y (J á )^ Hacemos y=u x => dy = udx+xdu Homogénea de grado I. Hacemos y =uot => dy = udx+xdu Sustituimos en la ecuación diferencial: (ux-Vx*+uV)d x-x(udx-t -xdu)=0 x|u-V Î7ï7jdx-x(udx+xd

£(udx+xdu )-udx] Arctg(u) =dx

u)=0

Integraciónp or parties : (u -Vl +u JJdx-(ud x+x du) =0

>/T+üTdx -x du =0 =*

=0

ln(x)-ln (uW l+u’ ) = Ln(C)

U= Arctg(u) =» d U = -~ ; v=Jd u=u jA rc ts( u) du =. J*

u= 2

F I SOLUC ONA RIOAW Aj-ISIS MATEMATICOIV


Por partes: u= Arctg(u) <*i= _i2LL v= Jd U= U

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www.FreeLibros.net 1 -i-udx =y£,/x+ux=» xdu+ix±K=e'f,dx

Homogénea de grado 2.Hacemos

xdu = eIcbc=» J— =Je"d u = 0=» Ln (x)= -c" +C ** Ln (x)= C- e" * laconstantecon losvalores: =, 0

y= ux => dy = udx+xdu

Sustituyendo:

y= 0 ; x=1

( x1 -3u'x') dx-2x'u(xdu +ud >c ) = 0=» (l -3 u,)d x+2uxriu+2u*dx=0

Ü,(1)=C-C - » C = l=* ü.(X)= l-e -^

(l -ií dx)+ 2uxdx= 0» j* + 2 j-p ^ =0 üi(x )-ln(l-ií)= ln(C )^ Lny ^- =L n( C)

(x1+y,)dx- xy*dy=0 ; y(1) =0

x= C(l -u* ) Pero u=2 =» x = c ( l - £ j Homog éneadegrado 3.

Sedeterminalaconstante: x=2 y=1 =» 8 = C(3)=» C= |

Hacemo s = uk y =» dy = udx+xdu

Sustituyendo: (x1+u*x1)d x- x1u(xdu+udx)=0 =» (l+u3)dx-u*xdu- u1dx=0

Finalmente:

dx-u*xdu=0 =» J— -Ju*du=0 tu(x)—■—

Pero u= — => Ln(xj—

=C

0

(x*+y*) dx+xydy = 0; y(1)=-1

Se determinacon laconstante: x=l y=0 ^ Ln(1)-0 =C =» C=0 Finalmente: y, =2x\n(x) 0

B

(x*-3y’ )dx+2xytJy=0 ; y(2)=1

_

—

Homogéneade grado2. Hacemos y = u =>x dy = udx+xdu Sustituyendo: (j?+uf x,) dx+ xsu(xdu-MKix)=0 =* (l+u")dx+uxdu+u,dx =0

„

_


_

H

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m..

m(1+2u,)dx +uxdx=0=,if +I t ^ =0 Ln(x)+.l( l+2u,)= üi(C ) =» Ln[x4(l+2u*)]=üi(c)

x =1

y= -t ac =3

x,(x"+2y1)=3=» x*+2 xV =3

£

* (x-y-6)dy-(x+y+

4) dx =0

X—y—6 = 0 ; x+y +4 Hacemos: u= x- l

=* du = dx ;

Sustituyendo: (u+1-v+5-6)dx-(u+l+v-5+4)dy

= y+5 =» dv = dy

=0 =» (u-v)du-(u+v) dv=0

Ahora: v= tu => dv =tdu+udt (u+tu)du-(u+tu)(tdu+udt)=0 — (l-t)du-(l+t)(tdu-t-udt) = 0 » (1-t)du-(t+l ?)du-(l+t)udt=0=*(t?+2t-l)du-(1+t)

udt=0

mu Pero: t=-2=* uM(t-1 )4(t+1)1i=C=» rur(t-1 )*(t+ 'l)i =C (y-u),(y-t-u),=C» (y-x+tfty+x I

SOLUCJOMA RIOANALISIS MATEMA TICO W


-l)=c 1

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1 Q

| (x- 2y+5)dx+{ 2x-y+4) dy=0 lT + í? 7 i-/ííi=

0 •u'WJ iu<( L+1) - Ana®(t)=c

Pero: t= í =»A rct8 ^j=U iíx^7 l j+C Si resolvemos medianteecuaciones simultaneas: x-2 y+ 5= 0 ; 2x- y+4 = 0 => x=-1 ; y= 2 Hacemos: v = y -2 » dv = dy ; u= x+l => du = dx Sustituyendo: (u-l-2v+4+5)du+(2u-2-v-2+4)dy=0 =» (u-2v)du+(2u-v)ckr=0

v= y —1 =>

O

Arctsí— ] = Liv/(y-1)'+x*+C V x )

(x+y,)+6xyV=0

Ahora: v=t u => dv = tdu+udt => (u-2tu)du+(2u-tu)(tdu+udt)=0

O W

^dx= Xx-y * Y+1 ~1

(x + y1)dx+6xy,dy= 0

Hacemos x11/=

dx = 3uy'dy+yJdu=» (uy‘ +y" )(3uy'dy+y'du)+ 6uy'ysdy= 0

2 = 1 ^ =*( x- y+l )< ty -( x+y -l )d x=0

(u+l)(3udy+ydu)+6udy=0=» 3u (u+l)dy+(u+l)ydu+6udy=0 3(u* +3u)dy+(u+1(ydu = 0

Si resolvemos: x-y +1 =0 ; x+ y- t= 0 => x=0 ; y = 1 Hacemos: v= y —1 => dv =dy Sustituyendo: (x-v-l+l)d v-(x+v +1 -l)dx= 0 Ahora v= tx

=»

=»

3dyJu+l)du=o ^ y u +3u

3^ + 1j (2 u+2 )d u= () J y 21 i/+3u

(x-v) dv-(x+v)dx=0

dv=tdx+xdt

(x-tx)(tdx+xrit)-(x+tx)dx=0=> (l-t)(tdx +xd t)-(l + t)dx=0 (t-t,)dx+(1-t)xdt-(1+t)dx=0 (t-í)dx+ (l-t)xdt-(1 +t)d x=0 => (t' + l)dx-(t-l)xd t = 0

W

2J u +3u 2 J (u+3/2)*-9/4

, . 1 , . í’u + 3 / ! - 3 / S ' l . . . 1 31i,( y)+- U,(u*+3 u)-i ^ 57i)üI(u_ 3/2 +3/sj = ü,(C)

I


_

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U1(y>)+2ü,(u*+3u)- 2 u ,[ £ 3] = tl,(c) b | ^ ( i + a i ] r [ ^ Wj- b i( C )

^ W

dy _2 y- x+ 5 dx 2x—y —4

• / ( u +3 r u - = C donde u = iL

y*(* /y1 +3)w xn /y=C » (x+3 yJ)” xv,=C

dy 2y-x+5

^ x +3y1=C>e-u,=> y '= S £ ? lz í

(x+3 /)*x=C

SttK *

^ ^ aimMineaSi

2y-x +5= 0 ; 2x-y-4=0 =» x = l ; y = -2 Hacemos: v= y+ 2 => dv = dy ; u = x -l

O

=»

du = dx

Sustituyendo:

3x+y-2+y '(x—1)=0

(2x-y-4)dy=(2y-x+5)dx [2(u+1 )-(v-2)-4 ]dv= [2(v-2 )-(u+l)+ 5]du = » (2u-v)dv=(2v-u)du Ahora hacemos:

(3x+y-2)dx+(x-l)dy=0

v= tu =» dv = tdu+udt (2u-tu )(tdu +ud t)= (2tu—u )du

(2—t)(tdu—udt)=(2 t—l)du => (2t- t*)du +(2- t)udt= (2t-l)d u

3x+y-2= 0 ; x-1= 0^x =l ; y=-1 Sustituyendo:

(2 - t)u d t= (2 t- 1 - 2 t+ t* )d u » (2 - t)u d t= (t‘ - l)d u (3u+3 -t-v-l-2)du+ud v=0 =>(3u+v)du+ udv=0

Ahora: v = tu

(2 -t)d t du V r= u"I?r

=» dv = tdu —udt

i- dt r tdt ,-du r/ — i =J t

(3u+tu)d u+u(tdu+ udtl = 0=» (3—t|d u—tdu+udt =0 (3+2t )du +udt =0 Ln[u’(2t+3)] =Ui( C) u(2v +3u)=C *

1

=> J * + J^ ^ = 0 =»Ln(u) +Jln(2t+ 3)=ln (C) Per ot=-

=> u*(2t +3)=C =» u*^— +3^=0

v=y+ 1; u= x-l

1

•

O

(_»x+3y-7)dx-(x-l)dy=0 ÊZUZ

(x-l) (3x+2y-l )=C

.


mW

Í

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1

-*+3 y-7=0

(2+2t)du-udt=0 variables separadas:

a» y = ll/3

2í ' / ^ i =° **2Ln(u)- l«( t^l )=Un( C)^L n^-^ T) = L n(C) J¿L = C » u*= C(t+1 ) Pero: t

En laecuación diferenc ial: [-4(u+1)+3(v+11/3)-7]dü-udv=0

=» u’cjjj+ 'Tj

Puestoque: v=y +2 ; u= x-3 =s(x -3)1 = C(y+ 2+x-3 )

(3v -4u )du- udv =0 homogénea: v = tu => dv = cdu-udt

(x-3)1=C(y+x-l)

(3tu-4u)du-u(tdu+udt)=0^ 2(t-2)du-udt=0 S^ _^

(6x+4y-8)dx+(x+y-l)dy=0

=0=>2I ¿ - Í ^ 2 =0S 2Ü1(U) -K t - 2 ) =

H á ) '

- á =C *U * -C M> *

= C ( ^- 2) (6x+4y-8)cbc+(x+y-l)dir=0

(x-»)* = c íy ~11/3-2| =» (x-1)" =C( 3y-6 x-8 ) V x ~l ) 0

S resolvemos: 6x+4 y-8= 0 ; Hacemos: u = x- 2

(2x+ 3y)dx +(y+ 2)dy =0

=»

x + y- l= 0 =» x = 2 ; y = -l

du = dx ¡ v = y + l

=> dv = dy

Sustituyendo: (6u+12 +4v-4 -8)du+ (u+2+ v-1-l)dv = 0 =* (úu+4v )du+( u+v)dv =0 Ahora: v=ut= » dv =cdu+udt (6u+4ut)du+(u+ut)(tdu+udt) =0

(2x+3y)dx +(y+2)dy=0=» 2x+3 y = 0 => y= -2 ; x=3

fd u , (t+1 )dt _o J u J (t+5/2) ‘ -25/4+ 6

De donde: v= y+ 2 =» dv = dy ; u = x- 3 = » du = dx En laecuación diferencial:

r(t+5 /*- 3/ 8) dt J (t+ 5/2 )’ -1/4

[2(u+3)+3(v-2)]du-vdv = 0 (2u+3v)du-u dv = 0 homogéneade grado 1: v = tu =* dv=tdu+udt ü,[ u*(t*+5*+6) ]-ü. (í±| J =U .(C )W (t+3 )(t+ 2)(jl¡ y =C

(2u+3tu)du—u|tdu+udt)=0=» (2+3t)du-triu-u<*=0 j j

SOLUCK5NARIOANALISISMATEMÁTICOIV 1


—

—

H

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» EDUAR DOEGPMDZARAM IOS J

CMfVrUUï ■

1

ûtprruLù u 0

CEOUAf*OD eepmdza ramos «

(3y -7x- n7)dx- (3x- 7y-3) dy = 0

if (t+3)4 =C(t+E)a=>u(t+ 3]f =c (t+ s) P e n a ti

=» u^ - +3^ = C^ - + 2^ =>(v+3ul ) = C(v + &i) (3y -7x -n7)dx-(3x-7y-3)dy=0

u = x-2 ; v = y + l* (y+3K—s)' = Cty+ä!t-3) ^1

Si neadvemoa: 3y-7x:+7 =0; 7y-3 x+3 = 0=» y = 0 ; x= l

(3x+5*+6)dx = (7y-i-x-i-2)dy = 0

Hacjemce u=x -l=idu= dx Sustituyendo; (3y -7u - 7+7)dx - (3u +3 -7 y-3 )(V = 0 =» (3y -7u)(ii-(3 u -7y ) dy = 0 (3x +Six-ná)dx = (7y -n>n-2)dy = 0

Ahora ha cemos: y = tu=> dy = idu-njdt

Siresolventas; 3x + Sy-i-fi = 0 F 7y4-x4-2 = Q=*■x = -SF y = (J Hacemaa: u=x-n2 => du=dx Sustituyendo: (3u-fi-n5y+6)du = (7y+ u-2 + 2)dy =D => (3u+5y)du = (7y-nj)dy=tl Ahora hacemos; y = hi

=>

(3tu -7u}du -(3fc -7tu)(tdu + utt} = 0 =>(3t -7 ) du-(3-7t)t du -(3 -7 t) udt = 0 7(tl -l)du-(3-7t)i* 3t = 0 7J? -3 i Ä + 7i Ä

=0*

dy = iriu-njdt

(Sun- 5hi)du = (Vtu-Hu){tduud -4t ) =>(3 +5t)du = (7t nl)(td u -4-udt) (3 +5t)du = (7tl 4-t}du -h (7t+1)udt =» (7 t*- 4 t - 3 ) du+(7t + L)ix± =0 Separamos variaJuleEeirnesramoa r du if( 7t +l ) dt _ n J u i Te -*t—3

^

r (7t +l) dt J(t-1}( 7t+3}

5Lr(u)+Ir (t-l)+ Lii (7 t +3) = Ln(C) ^ lji( rf) (t- i f (7t+Lji 3)(C) =

= q y-u)s (y +U/ =C^ (y-x +tf ty+ x-l^ C 0

(Bx -*y)d x4-( x4-y -3)d y = 0

(Ex - +y)dx -n(x-Hy-3)(V = 0 Si resolvemos: 2 x-4y = 0 =í x=2 y; x+y = 3 => y = l ; x = E ----------------------------------------------

--------------------------------


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1

aipHULi ll Hooemoe: u= x -2 => du=dx ; v = y -l => dv=dy H££niplazBntfci:

Haçam oa: u = k + =1> du = dx ; v = y -2

[E (u+S) - 4( v-i-1)](ii-i- (u +2 + v-t-l-3)d v =ü

=>

(u-v)du +(3w 4-v)(trhn-w*) = 0

dv = triu+udt Ahora hacemos v = t u

(Eu - 4tu)(ii-i- (u -i-tii)(l]du -i- udt) = 0 =» (e -4t)du-i-(l - t-t)(kij+ i rit) = 0

Separando variableE eintesfanda: J— + *

*

dv =Ériu+ udt

2}dt Cdu r£+3]dt _0 ^ lt,, . + ritn-1 + _Q J u J (t-t-l)* ^' J ( t+1)1

- =0

-0 => Lnfx-a) +f

=>

(l-t )du H- (2 4-t)felj4 (2 4-t)ud t = 0» (tl + 2t+1)du +(3-t- t)udt =0

(E -4t)du-i- (t-i-1’ )du -i-(t -i-1)ijd t = Q=» (tl- 3t -nS)du-i- (t+1 )udt = 0

InfuWf

=» dv=dy

Sustituyendo: (u -i —v-2+3) du-n(3i— 3+v-n2+l)dv = 0 =>

(!u -4v )dj + (u + v) dv =0 Ahoia hocemos: v = tu

DUA E KDOEEFHDZA HAMOS4

-0

I»( u)- M-(** l) -l HC) = -1 »

= -±

PenM =- * u(t+ l) = Ce’("1)=*v-ra = Ce ^" ) Iil(*-E)+Iii|j-|-jJ

= Iii=(>c)

=

Li -K + 1 - v- y 2-*x+y

S :t = ; =» (*_ 2)| jJ-^ j = C => (* -E )^ j H J = C => u = x—2 v = y—1

© '**’

1

dy = 2yzi dx 2 x- y

=c - (*-s)( y-fc+3)-qy-*+i) udx+xdu 2u>:-x Hacemos: y = ux =f, dy .=udx+ xdu => -------------------------dx Sx - ik O

(x- y+3)dx -i-( 3x+y-i -l)dy = 0 - (ï-» K "d *+ *dU)= (Sta—i)d* (Eu-u* JdxH- (S- ujx tki - (2u-1 )dx = 0 =» (E u-u 1-Sm -Ï)d x+ (2 - u)xdu = 0

U Êf

Si Tiesolvemoa: x —y+3 = tî

3x-t-y+1 = 0 =» x =y-l = l;

SSÜÜJi;iONAR10AUALISlSU«rEUATICOIV

(l -u l )dx-t-(2-Li)Hdi j =>J^^-j^jdu-t-J^=0 =Ù SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOIV


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(x-4y -9)dx- i-(4x+ y -2)dy = O

(1-if )K- =c (l+ u) . (l -y / K)V =C(1+y/ K)=> (x-y )J = qx-Hy) Resolviendo el sistema: x - 4 y - ? = O=» x = 4y+ 9 => 4(4 y+q )+ y -2 = O 16y-n36 + y -2 =» y = -2 ; x =l

dedonde u = ■x -lv = y + 2

=> du =dK ¡ dv = dy Eíi laecuación diferencial: [uH -t- 4(v -2) -?]d uH -f4 (u-H l)- nv- 2- 2]d v=0 (j-4v)d jH-(4 u+v) dv = 0 9: 4x-n3y = -15 ; Ex-ny= -7 => x = -3 ; y = -1 Hacemos: u = x4-3 =» du = dx ; v = y + l

Ahora hacemos; v = tu => dv =tdu +udt

(j-4*u)tljH-{4uH-liu)(ttlj+udt)=[) =» (l- 4t )d i + (4H-t)(tdu+udt)=0

=» dv= dy (1-4*)(*i+ (4t =* (f +l)dy +( t +4)udt = O ~e )du+(t+4)i*it O

Busdtuyienjdo: (Eu-fi -nv-1 + 7)du-n(4u-12+ 3v -3 +15jdv= 0 =» (Eu+ v)dj +(4u+ 3 v)dir = O

J ^ +í-^Tr= 0*ü,W+í ü'C'1+1)+JlA ,ria (t)=c

Ahaa hocemos: v =lM=> dv =triu-njdt t= ^

(Euh- Lt)duH-(4u+ 3iM)(feli+ udt) = O=» (3tl +5t -nS^d ij ■+(4 -n3t)ucit = O .du f M < t = 0 J LL J (3t + S)(t + 1)

Infu) -hóJ-2- - f -2- = O >^ J 3t-n2h+1

Lji(u) + Sin(3t + E)-L n(t -ni) = Ln(c) =» üi| Peto t = -=» Lr |U

j =Ln(C)

Ln|u^Jl — |-t-1|+ 4ATtí5(t) = C luego: u = x -l ; v = y +2

2üi (v’ -o 1)+4ArtJ3(t)= C =>Ln[(y ttf++ (x-1)1]+ 4An*g(t) =C

©

(x- 4y -3) dx-( x:- 6y-5) dy = O

j = In( C) = »(3v + 2ujf = C( v- nu )

u = ¡c4-3; v = y+ l* (3y + 2n-t1)*=C(*+y-t-*)

x—4y—3=0 ; x—Éy -5 = 0

=>x = -1 ; y = -1

u = k +1 =t du =dx ; v = y+ l => dv=dy SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOn


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1

1 Sustituyendo: (u -1 -*v+4— 3) du—(u- 1—6v+6-5)dv=0 =» (u-4v)du-(u-6v)dv= 0

fT)

(x+2y-l)d>c-(2x+y-5}dy=0 mmrrvmrmi

Ahora hacemos: v = uc^ dv = tdu—udt (u- 4ut) du-(u- 6ut) (tdu+ud t)=0= » (l-4t)du -(l-6t)tdu-(l-6t)ud t=0 f A i f (6t- 1)dt J u J(2t-I)(3 t-1)

Si resolvemos; x+2 y- l = 0 ; 2x +y -5= 0

, dt _3J dt _ 'V J 2t-1 J3C-I

Ln(u)+2Ln (2t-l)-Ln(3t-1)=Ln(C)^

Hacemos: u= x-3

=* du=dx ;

y = 1 ; x=1

v= y+ l=> dy = dv

Sustituyendo: (u+3+2v-l -3)du -(2u-6 +v+ 1-5)dv =0

j = Ln(C)

=> (u+2v)du- (2u+v) dv=0

Ahora: v= ut =» dv =tdu+udt (u+2t) du-(2u+ ut)(tdu +udt)=0 =» (l-t*)du-(2 +t)udt = 0

Pero t = ^ u(2 t- iy =C(3t -l ) =>u g -t j = C0 S-lj

íM

^ =° -

(2v-u)’= C(3v- u)=* u=x+1; v=y +l ^ (x+2y- 1)’ = C(x-3 y-2) 0

Pero t=-^=»u* (t—I)1=C{t+1) ->

(x- 3y+2)d x+3( x+3y- 4)dy=0

(v- u)1 =C (vtu)au =u 3 v= y-l Si resolvemos: x-3 y+ 2= 0 =,

x = 3y-2 =» 3 y-2 +3 y-4 =0

O

= c g +l ] => (x-y-4)1 =C(x +y-2)

(x+y-4)dx- (3x-y-4) dy=0>y (4 )= 1

y = 1 ; x = W v = y -1 ; u = x -l =*dy = dv; dx = du En laecuacióndiferenc ial: [u+l-3(v+1)+2]du+3[u+l+3(v+1)-4]dv=0

=> (u-3v) du+3(u +3v)dv =0

H Si resolvemos: x+ y- 4= 0 ; y-3x +4= 0=» x=2 ; y = 2

Ahora: v = ut=i dv=tdu+udt (u-3tu)dm-3(u+3tu)(tdu+udt) = 0=» (l-3t)du+3 (l+3t)(triu +udt)= 0 (1-3t)du+(3t+9t*)du+3(1+3t)udt=0 =» (l+9í)d u+3(1+ 3t)udt= 0 í

K " )^ K 9t*+, )- A , a s( 3t)=c

Sustituyendo: (u+2+v+2-4)du+(v+2-3u-6+4

)dv=0 =» (u+v)du-(v-3u)dv=0

Ahora: v=u t =» dv = tdu+udt =» (u+u t)du+(ut=3u)(tdu+ udt)=0

■

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1 ■» (l+t)du+(t-3)triu+(t-3)ud t = 0=» (t‘ -2t-t-l)du-(t-4)ud t = 0 ^

dx x+y -1 JHZEZE9F Si resoKcmos:

0

(2x-3y+4 ) du = dx ; Sustituyendo:

v = y -2

(2u-2-3 v-6+4)du+ 3(u-l)dv=0

Reem plazando en laecuacióniferencial: d u _2_ v— +2 |— U--+V+--1 ~2

=> dy = dv =» (2u-3v) du-3udv =0

Ahora: v=ut=» dv=tdu-udt (2-3t)du+3tdu+3udt=0

•» 2du+3udt=0

9 —

9 tdu+udt u-tu

(2u-3ut)du+3u(«riu+udt)=0

2j— +3jdt = 0=» 2uLn(u)+3t = C Peto t= —

2

=> du = dx ; dy = dv

— u+v

homogéneade grado 1:

(t+ |)(tdu+udt) = (1-t)du

(t* +t)du+ (t+1)udt=(1 —t)du => (t? +2t -1)du+ (t+1) udt=0 Separamos variables e integramos: J T * J t ^ 2 t -l =° ■* Ln(u)+^Ln(t’ +e,- 1)“ ll'(C) =»Ln[*‘,(t’ +2 t-l)]-Ln (q ií( t*+2t -l) =CPer o t = - »

2(x-I)Ln(x-1)+3(y-2)=C(x-1)

v’+2vu- u’ »C

Six = 3 ; y =2 2(2 )Ln(2)+3(0) = 2C =>C = 2Ln(2) 2(x-l)U.(x-l)+

3(y- 2)=2(x- l)U. (2) * 3(y-2) = -2(x-l)Ln Jí^J

(2y-3)* +2(2x +1)(2y-3 )-(2x+1)*=C

SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOr

1


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O

dy _ 2x-3y+ l dx x-2y+l

Ln[v’ -mv+u sJ —

©

Arcts^ ^ ^ “ j =C donde u = x+ l ;

(4x +3y+2 )dx+( 5x+4y +l)dy =0

(x-2y+l)dy-(2x+3y+l)dx=0 Sira 2x+3y =—1 ; x-2 y= -l : u= x+®

=»

=> du = dx ; v =y -J

x = -5 ; »

dy = dv

Sustituyendo;

s: 4x+3y+2 =0 ; 5x+4y+1=0 :=-S ; y=6 dedo rxte u=x+5; v = y- 6 => du = dx; dy = dv En laecuacióndiferenc ial: [4(u-S)+3(v+6)+2]du+[5(u-5)+4(v+6)+l]dv=0

(.-I-i.-;., =» (4u+3v)du+(Su+4v)(udt+tdu)=0 Ahora con: V = ut => dv = tdu-udt

=» (u-2v)dv-(2u+3v)du=0 Ahora: v= ut =»

(4u+3ut)du+(5u-i-4ut)(udt+tdu) = 0 Simplifica mos U:

dv = tdu+udt => (u-2ut)(t du+udt) -(2u+3 ut)du= 0

(4+3t)du+(5+4t)udt+(5+4«)triu=0 =» (4t'+8t+4t)du-i-(5+4«)udt=0

(l-2 t) tdu+( I-2t)udt-{2+3t)d u=0 (-St,-2t-2)du-(l-2t)udt=0

, d u rM î. 0 j u ■>f+2t+ 1

- 4 t a( u ) +fM 1; J

* i}l * (t+1)

4üi(u)+j(t+1f*+4j-í- i =0 =» 4ln(u)-JL+ 4ln{t+1 )=C

*-î ^[ u( r 1)]=w ^ +c 4U’(v + u)= 7 t ;','c "* 4ti>(4- 6+K +s ) - y_ 6 t L s +c ■*

*i(y+x- ^ i +c T i SOLUO ONAR IOANALIS ISMATEMATICOW


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» EDUARDO ESPIHOZA RAMOS

CWVTUUÏII

1

fiunHOH

f ~ EDUAH»EEPHD»HAMAS «

Si nesoIremos: x -y +4 =0 ; x+ y- 2= 0 =»x = -1 ; y = 3 0

Haceros: u= x +1 =» du=dx ; v = y- 3

(x—2y-t-3^dx-t-(Ex-t-y—l)dy =0

=> dy =dv

SuEdtuyendo: (u -l-v -3+ +)d u-n (u- l + v-n3-E)d v = 0 =>(u-v )du+ (u-nv) dv =0 Ahora:y =lM =>

Si resolvemos: x-2y+ 3= 0 - !x + y -l = 0 => x = -^ ;

dv = ldu + udt => (u-u t) ftrJu-nudt) +(u-mt}du = 0

=» (l-t )tt* n-(l -t)u dt + (l+t)du = íi=» ^-t^-i-2t+lJdiJH-(1-t)irf; = 0 Hacemos: u = x + - =*du =dx - v = v - ^ => dy=dv G r 5 Sustituyendo: Lji(u1) +Ln( t*-a t - l) = ln (q =» Iji[u1(t’ —Et —l} ] = In (C)

- 3v— ■+3jdu -i-|Su—ï -Hv+Z -1 jdv = 0 =* (u-2v)du+(3u-nv)dv = 0 Ahma: v=iM =>

dv = Ériu+ udt =» (u-2ut)du+(Su-nut){tidu-nudt)= 0

Pera: t = — =>v1—Eut- 1== C u = x+l

=> (l -» )d i+ p! 4-t)Wu+(a+ t)udt=0 * (t* +i)dg 4- (t -1-aJudt = Û Æ .

[n(u*)+ln(t?-lVHji|^j=ln(C)^

Iji|U

^j=ln(C)

v = y —3 ( y-3f -2(x-H lXy-3 )-(x+l)’ =C => yl -ùy-axy-2y-nfix-x *-Ex=C

=0=» Lr (g)+ÍL n(tl - 1) +I n [j d ] = l*(C)

y*-ay- äxy -Hi x-x 1= C=> s?- y1+Ey +2xy —4x = C 0

(4n-3y-7)dx + (3x- 7y-n 4)dy =0

Pen*t =- = *i i(t -1)l = C = »^-l J =C =f V*-Euv + U*= C=* u= x+ l ; v = y+ l

Si nesolranos: 4x -n3y-7 = Q; 3x -7 y+ 4 = 0

(y+1)1-^x+l)(y-t-'í)-i-(x-i- l}* =C =» 3Í H-xy-y1-x+ 3y = C

EBx+ Ely —4fl = 0 =t 9x—Ely+ IE =Q Sumando amhflEecuaciones: 37x-37 =>0x = l ; y = l

(x-y+4)dyH-( xH-y-aJdx = 0

Hacemos: u = K- 1 =» du =dx ; v = y- l= * dy =dv Sustituyendo:

1 ~

---------------------H

" --------------------------


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1

i (Elh-3v) íéi + (2 v - 3u)dv = 0

(4u +4 + 3v -h3—7)du+{a] + 3—7v-7H-4)dv={]=> (*i+ 3v)du 4-(3u-7v)dir = 0 (Eu+Bl^+^(4+3 t) {U+(3 -7t)t U+ (3-7t}U dt = 0

Î

W

Ô

=* (E+3t}rt J+(2t-3)(MU + «» )= 0

(E.Vs)dU+ C2 t-3 ) Ud. = ü=» sJ t

+ i^ = °

^ £ H ï S ï = î^ M “) + ^ + i } - M ( t ) = c Ul[u*(t’ +l)]-3 A« g(t )=C Pent t= ^

U,( tf) 4-Ii .(4+«* W ) = [z.(C) =* Lr[U*( 4+6t-7f )]=l^ (C)

=»^+tf

)- 3Aids^J=C

I^* -lf+ ( y+ l ) ’| -^ | 2 £ ) =C

=>4u*-t-fiuv—7V3= C ; u = x Ip v = y—1 ^ J ( I 4l)1+6(* -1) (y-1 ]-7( y-1 ), =C -Sx+fixy-fiy-fi x-Ty* +14y = C=* * í -7y “-M x+ toy +3y = C

0

(5x+2y-nl)dx-n(2!t-Hy+l)dy=ü « a

n

s»

© (5x+2y-Hl)dx+(2!t-Hy+l)dy =0 SireeolYEmos; 5x-nSy+l = 0 ; Ex + y+ l = 0 s s = -1 ; y = E Hacemos; u = x -l

=f

du=dx ; v = y+3 => dy = dv

(5u+5+2v -6+l)dij-H(a u-H2+v-3+l )dv = 0 => (5u+ Ev) dj+(2u + v)dv = 0 SreaotvEmos: Est+3y+! = (]; Ey-3Sc+ 5= 0 =>6st+ 9y+3 = 0 ; 4y -6x+10 = 0 => (5+2t)du+(2 +t) tdu+(2 +t) Ljdt = 0 s (i? +4t+ &)du+(t +2}udt = 0 Hacemos; u= x -l => du =dx ; v= y+l =* dy =dv (Eu+ E-t-3v-3 +l) du+(3 v-2 -3fc - 3-t- 5)dv= 0

J=0 t^

=°

BU,(u)+ln(e +4t-* )=b.(C M ln [í (Í + *t+5 )] = bi(C)

SUWOONÄRJOAHHÜJSIS MÂÎEUÂT1COIV ““


“

“

“"

i


I

Pero: t

=» u!|^j + 4— +5^ =C =» v1+4UV+5U1=C

u=x-1 ; v=y+3 *

(y+a^+ífx-t^y+aJ+

=» x, +/-2x 4+2y +4A xcts^^-jj = C

Sfx-l)’ =C

5x*-10x+5 +4(xy-y+3x-3)+y * +6y+9=C

0

(2x -y- l)d x+( 3x+2y- 5)dy= 0

5x*+ / -10x+4xy-4y+12x+6 y=C=» 5x*+y* +2x+4xy+2y=C 0

(x- 2y-3 )dx +(2x +y- 1)dy =0

(2x-y-l)dx+(3x+2y-5)dy=0 Si resolvemos: X—2y—3 = 0; 2x+y—1=0 =»x =1 ; Sustituyendo:

(x-2y-3)dx+(2x+y-l)dy=0 S resolvemos: x -2 y- 3= 0 ; 2x+ y-1= 0 =» x= l ; y= -1 Hacemos: u= x- l

y= -1

=s du=dx; v=y+1

=> dy=dv

Sustituyendo: (u+l-2v+2-3)du-i-(2u+2+v-l-l)dv=0 * (u-2v)du+(2u+v)dv=0

(2u+2-v-1-l)du+(3u-i-3+2v+2-5)dv=0 =» (2u-v)du+(3u+2v)dv=0 Ahora: v=u t => dv = triu-t-udt (2u-ut |du+(3u+2ut)(tdu+udt (=0 (2-t)du+(3+ 2t)tdu +(3+ 2t)ud t = 0 2(t* +t+l)du+(2t+3)udt =0

Ahora; v = ut => dv = tdu-udt (u-2ut)du+(2u+ut){tdu+udt)=0 =s (l-2t)du+(2 +t)tdu+ (2+t)udt = 0=»(t* +í|du+(t-2|udt = 0 -»-¡I

t o

J u J í+ t+ i

' Jt*+t+i

J (t+i/a)’ -i /4+i

- ít o -

2Ln(u)+Ln(t* +3)+ 4Aratg(t)=ln(C)=*Ln[u,(t*+3)]+4Arets (t)=Ln(C) Pero: t=-= » i í ^ + l]+4A ictg^-j=C ^ v*+u*+4A rct8^ j=C u=x-l v=y+l»»(y+iy+(x-l]r+4Arrt8^j=C

§ —

U, [ rf ( e« *| )] »Â , 0 8^ ) . C In^ uV+rft +ií J+^L Aict g^^ j=C Peta ,= í

=, ±b . ( v* + lW + u*) +j ^ ^ ) =


C

H

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1 U=X-1 ; V = y+1s* W (x -lf +(x-l)( y-l)+(y-l

o l-

( a

^ " W t - , 6/ .6 f- 16t +1 =°

f

J(t-1/2 ) -1/4+1/16

K «-' ) t 8‘ “(Í(«-Í-2

j M KUIZlfJ

Hacemos: u= x—y Sustituyendo:

{ x-1 J 73

M

=» du = dx+dy =» dy = du—dx

O

¡- ¿ _ t+ v ü = °

J (t -l / 2 )+3/16

-J8 .)'C

[4(x-l)-(2+73)(x+y

)J

(9x+7y-5)dx+(5x+4y-3)dy=0

dU~
Homogéne a de segun do grado . Hacemo s x - 1 = tu

Hacemos: u= x+1 »

dx = tdu+udt => 16 tV du -16 tV ( tdu+udt)=u’ (tdu+udt |

du=dx ; v = y —2 => dv = dy

Reemplazamos:

Simplificamos u': 16t'du-16t’(tdu+udt) = triu-i-udt

[9(u-1)+7(v+2)-5]du+[5(u-1)+4(y+2)-3]dv=0

16í d u -lú^du-I6í*udt=tdu+udt

=» (9u+7v)du+(5u+4v)dv=0 fw

-w -. )*-(

«*,)

* ,.

Ahora: v =tu => dv = tdu+udt =» (9u+7tu)du+(Su+4tu)(udt+tdu)=0

Fraccionesparcialespara la segunda integral: í p raa t = 0 =» A = 1

j - 7 - i raa t ': 16A + B= 16 => B = 0

Simplificamosu: ( 9 + 7 t ) d u + ( 5 + 4 t ) ( u d t + t d u ) = 0=» K

(9+7t )du+( 5+4t)udt+(5t+4t’ )du= 0»(9 +l2t +4t ,)du+(5+4t )udt=0

-— t:- 16 A+ C= 0 => C = 16

©

(*x+1 ly-42 )dx+(1 lx-9y -37)dy =0

B—


1

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1

1 Si rasíilvHimi 4n-11y-4E = 0 ; 11x-9y-2r7 = 0=> x = 5; y = E

I IL o

Resa tvErIBSsiguienteseaiaci ones d terendale& i . yIdx +2(xs-x /) d y =Ü

Hacemos: u = x- 5 =f du=dx ; v = y -2 =t dv = dy Sustituimos: [4(u+ 5) -t-1l(v+ 2) -4a ] du +5 )-9( v+2 ) -37]dv = 0

yIdx + 2(xs-x y’ )dy =[}

(4u-t-1lv)d u+ (l 1u—ÍJv)dv = 0 homogéneade grado1: v —tu ^ dv =tdu-njdt (4u+ llüj)d ij+(l 1u-9 tj)(tt lj+u dt} = 0 =» (4+ llt) du -i-(11—
1

(4+llt)du +(1-tt}udt+(lt-4t)hfti = Q

Puestoque laecuarifi n es homo géneaeecumple:

(4 +e2t-9t*)du + (l'l- í) t)u dt =0 Separamos \rariatalese integramos 1- ?t)dt J u JJ (1 4-+EEt + 9t 0

Hacemos € y ==í dy = c?z '_1dz

Sustituyendo: z^dx+a^x’ -xz*“)(a í,_ldzj=0 => z1, dx+ 9a(x^í--1-xz1'-1Jíb = 0

E+ d- l =3d

^ + 2at 9tl ) K- ’Ln(C) > .E 1lnÍ4

=s

o=i

H

De (fcnde: zJ^dx+(x^z_',s-x z 1'1Jdz=0 Ahora laecuadún diíerendal eshom ogéneadegrado 3/ 2.

Lní-------------- J= ljifCÍ=> => --------- = C --------------r = C Pero: t = - -------|,4+EE-9f J 1' 4 +ESt —?t^ u 4 +22v 9v= u ü*

z=ux => dz=M*j +udx => uJIV"d x+( >\i _1,,x'’'s-3 «’î 1,’ J(udx +xdu)=íl Simplificamos

il*=c(4u '+2Euv -íif1'}Ahora: u =x -5 ; v = y- 2

: u’”dx+ (ir“ -i í* )(udx+xdu) = 0

u ^ d x - i - —ifa )udx + (ir1'1—if’ )K( ii = 0 (x-S f =c[4(x- a)f +22(x-5 )(y-E)-9(y-2f ] u''1dK+(u ^ -u ,ra)*du = 0 =>— -t-— - du = ÜJ— + J— — Jdu = 0 —i

dy _ fcn-y -ie d¡t 6x—y—1E

Ln(x)+Lri|V|-u =Ln{C) =>Ln(0ux) = u Perou = — => Ln(Cz )=¿ - z ==y1 > xL nf Cj^ y* => y^xLnf Cy*)

Si resolvemos: &x+ y-12 =íl; tx -y -1 2 =0=» x = E; y = Q Hacemos: lj= x -2

=> du=dx

o

(x+y 1) dx +(V - 3 V ) dy = 0

Bustimimos:

SOLUCIONARIOAHALISISMATEMATICOIV

SOLUCIONARIOANÁLISISMATEMATICOIV



I

(x+y ,)dx+(3y>- 3x /) dy =0 Sustituyendo:

Hacemos y=z-^dy=crZ ~'cte => y|^ ^ jx d x + d z = 0 Separando lasvariables;

(x+ 11 )dx+ (3zv‘ - 3xz*' )( «z 'j dz)= 0 (x+z*1)dx+(3x*"‘'- 3x z1,~’ )adz =0

=,

X Z —1

o =» r ^ - í * =o * X J^-1

Puestoque laecuación eshomo génea secumple: 3a =1 =* <*=1 (x + z) d x+ (z -x )d z =0

Laecuación diferencial eshomogénea de grado 1.

z= ux =» dz = xdu+udx =» (x +ux)dx+(ux+x)( udx+xd u)=0 L VZ+V J

Simplificamos x : (l+u)d x+{u-l)(u dx+x du)= 0

=» ( l í + l ) d x + ( u - t ) x d u = 0 » — x

u +1

x*y*

(jxV +1 -l) = Cy4 => VxV* +1 =C y* +t

=» (l+u)dx+(u-l)udx+(u-1)xdu = 0 =0

ln(x)+^Ln(u" + l)-Arctg(u)=C=»Perou=—

0

;

* > --■

=» iü í[x,(u,+l )]+C = Anrts( u)=» 2u.(z‘ +x*)+C=Arctg^j z=y>-.

9 dy=«z"'Vfe — =■ Hacemos y= Z1 dx Sx3+3xy Sustituyendo:

O

(y+ y^x V+TJ dx+2x dy = 0

(2x, +3xy)dy+(3x,y+y')d x=0

=* (2x,r ', +3xz?"',)adz+(3x*r +^")d x=0

Puestoque laecuación eshomogéneasecumple: (Sjt’z''’ +3x^” ' )«dz+(3 x’z' |dx= 0 3+ a-l =2a r—1+1» a = !

Hacemos yJdy i = x, y*+1 =» 2zdz= 2xy*dx+4xs De donde: -------------------------------


B

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2(2x,z+3xZ,)dz+(3xV +z4)dx=0 (l- xy ’ )dx- 2x’ ydy=0

Hacemos: u= x/

=> du = y’dx+2x>tíy => dy = du~ ^ dx

2(2)<,u+3x'u1)(xdu+ucbc)+(3!<'ií +ji*u‘ }dx=0 Sustituyendo:

*u :

2(2+3u’)(xdu+udx)+(3u+u-1 )dx=0

(l -u)dx- 2xí y ^ ^ ^ j= 0 = » (l- u)dx -xd u+xy ’d x= 0

2(2+3u,)xdu+2(2+3u’)udx-t-(3u+ii,)dic=0 =* (l-u}dx-xdu+udx=0=* dx+xdu=0 2(2+3u,)xdu +7(u-t-u3)dx = 0 »*7— + 2 Í ^ -] ^ = 0

J— +Jdu = 0=» Ln(x)+u=C=*üi(x)+xy*=C

O

7Ln( x)+2üi(l +u*)+2 ln(u) +2j-í í-2 j J ^ =0

xI(l- xy )^ + (l +xy- xV)=0

x* (l-x y> ^+ (l+ xy - x V ) = 0

7Ui(x)+2Ln(l +u* )+4Ln(u)-Ln (l+u * )= Ln(C) => du = ydx+xriy -

In (x7)+ In ( i+ u*)+ Ln (u*)= Ln (C) Ln^x’u*(1+u* = Ln(C) =» Pera u =— xz^x’ +z’ ^ C Se determinaC: x =t 4 -8 = C

5Í (1 -U }d y+ (1+ U- U,)dx =0s* jí( l-u )^ ^ü ^ j+ (l+ u -lí )d*=0 y = ^2 » x(l-u)du -xy{1 -u)dx +(l-t-u -if )
^y * ■•■xy1= -4

=» x(l- u)du-u(1 -u)
I

J ^ +J( 1_u) du = 0= *ü
SOLLIOONARIOANÁ LISISMATEMA DCOW



1

(t1-2t)dx +(tdbc+ xdt) =0 » (t1-t)dx+x dt = 0

=> 2Ln(x)+2xy- xV'=C O

r* r * _o=»L( x)- r * =o v ’ J (t —1/2) —1/ 4 1 x Jt^t

(2y’-3x )dx +2xy dy=0

( t— 1/9—1/9'\ (fiy*-3x)dx-(-Sbtydy= 0 => du = ydx -xd y

=>

Hacemos: u=x y , =----du-ydx cry -—

=»u, (* )-u ,(^ )= u ,(cH ta(S

) - ta (c)

Sustituyendo: (2y,-3x)dx-f2u^du~ ydxj = 0 => (2xy*-3x*)dx +2udu-2uy dx=0 2=c(^-lJ=» =» (2uy- 3x,)dx+2udu- 2uydx=0 J2ud u-|3x*dx=0 ^

=»

xy=Cy-x>*y(x-C)=x*

2udu-3x*d x=0

* u’-x J=C -»x V- x5=C

O

2(xy,+l)dy+ y\fcc =0

(y* -3x *y) dx+ x,dy=0 Hacemos: u=xy* =» dy = 2yxdy+y *dx^ dy = ^ ^ Y‘^ Sustituyendo: Hacemos: y= ux *>dy = udx+xriu

2(u+l)j^^]+y^fc=0»(u+l)(du-y*dx)+xyVdbc=0

Sustituyendo: (xV-3x *u)dx +X1(Lidx* xdu) = 0=» (u'-3xu )dx+ x(ud x+x du)= 0

(u+l)du-(u+l)y,dx+uy

,d>e=0» J^1+-^ jdu+J^ =0 =» u+Ln (u)-L n(x)=C

•» (u *-2xu) dx+x*du = 0 Laecuación diferencial es homogénea de grado 2: u = tx=» du = cdx—xdt

u + Ln| - J= C=»xy'+Ln(y,)= C =»xy’ +2Ln(y)=C

=» (t*x* -2x’t)dx +x! (tdx+xd t)=0 Simplificamos x*

0

(l -*, y> £+ 2x y!=0



1 (3z* -xz*- )dx+(2x-j?z“ Jarr'_,dz=0 (l-x‘y^+ 2x yI = 0 du = 2xycfcc+x'dy

=> (3 r'- xz ,")
Hacemos: u= xy* =»

Puestoque laecuación diferencial esogénea hom secumple:
dy = du-acydx

Sustituyendo: (l -u )^ du~^tydxj+2xy1dx = Q=> (l-u)(du-2xyd xj+2xJy1d>í=0 (l-u)du-2(l -u)xydx-2iixydx=0»

En laecuación diferencial: =» (3z"’- xz'* }dx- (2xz "s- x ,z ‘a)dz=0 Si; x=uz dx = udz+zdu

I

=» V(3í" '-uz z-IWutfe A / +zd V uW2uzz", -u ’z! V 3\dz=0 =» (3-u)(udz-z du) -(2u-u*) dz=0

(l- u)du+2(2u- l)x>rt c=0

^4 v—-A UHl1-i- _A O

f 1-udu

^~

9^

-fd x

1-u

A

=> (3u-u’ )dz+(3 -u)zd u-(2 u-u')d z = 0=» udz+(3— u)zdu = 0 B

J— UÂ l;

Í ^ i l + 2Í T = 0 Fr 3c c»nesp a r e a d: t ^ = - — 1-u = A(2u-l)+Bu u = 0 A=-1 I/2 B=1

=»

"IT +

^

Ahora:

= Ln(C) pero u= x*y

y(2 u-l )=ty y* =*2 x*y -1 = Cya

;

e*=CSniJu = -

=

e"*=Cz(x/z)1=» z’e** Cx1

L*u J|

=»

=0 » ln( z)+ 3j— -Jdu = 0

Ln(z)+3Ln(u)-u=Ln(c) u = Ln(Czu‘)

+2U,W =0=> ‘"M +ít a(2 u-1 )+Süi(x =to(C) )

-2Ui(u)+Ui(2u-1)+4Ln(x)=LníC) Ln|

©

+j(3

u= =»

y = r- ’ =» y- e» =Ot '=»x ,y1=Ce*

0

(x+2x*y)dy+(2y+3xy*)dx=0

y(3-xy )cb+x(2x y)dy=0

*

y(3-xy)dK+x (2xy)dy= 0 (3y-xy‘)dx+(2x-x*y)dy=0

=»

Hacemos: y=z" dy= «z’ ~’dz

Hacemos: Sustituyendo:

=yf =»dy=crz"_,
Sustituyendo:

--- --------------

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Sustituyendo:

PüesDquelaecuacióndiferenc ial eshomogéneasecump le: a = 14 2a =f a = -1 En laecuacióndiferencia l: +3Kr"^dj: =0 Si x = ur

+xJa2H",dz+(xzs“ - z v)dx = 0 -i-xe"j )adz-t-(xz*'

=t cbn= udz + zdu

)dx = 0

Puestoque Ibecuación diferencial es génea homo secumple: a=1 + Ea =f a = -l En laecuación diferencial: -( x V + K Í, )ik+^)(z J - í 1)dK=OSi x = m =t dx = udz-nzriu

(Eé-1+3uzz^ )(udz: +2¡du) -(u zz -1■n3ifi1í J )d z= íl (E +3u)(udr+ zdu) - (u -nSu*)dz = 0 Êu+3i /Jdz-n(a+3u)z(ii-în-2if Jdi = 0 =í (i/ -nuj(dz)+(E-nSuJ zdu = 0

=> (lEZ^-^Jfu dr+Bd uJ-^nVz^+1122^^ = 0

rífe ,uu + *iau , . r u I t +Í^¡ v ^ = 0 ^ u ' (z M jl

=> (u-l}(udz-HzdLj)-(i/ -nu)dz = 0 =* (ul- ujd n-(u -l)zd u-û l+u^dz =0 =» -Eudz +-(u-1)h*j =0

(u+l/2]!- L/4

2l T -í (H ) dL,=0* a"W-u+i»(u)=u.(C) ln(cíu) = Li =» Cz’u= e" => ü,[z(^4Ü-)]4U

=E“ =>G
1[_ ^J = ü 1(C) Pem y = z-n=» C ^ j = e” =>y=QsT*

0

^ ( u + i;=c

=»

Pero: y= i- 1

=>

z(|J[|

+iJ=c

s í ( x + y"1J= Cy-1

xJ (Wz)* = Ci‘

©

(xí - Ey3)dx + 331^dy = 0

xV(*y-*-i) =c (xl - Ey3)dx + 3xy^dy= Q Hacemos: y3= ux*

( = í y + x)g+ (v -y H

3y’dy = 2xudx+x’du Sustituyendo(x*: SSux1) dx+ 3xy 8lalt^ 4 K duj = 0 y = í => dy = D'z' dz SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOIV


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»Z * R*«OS x’ (i-2 u )dx+x*(2udxi-xriu)=0 (1—2u)dx+2udx+)odu=0» dx+3xriu=0 * — +3du = 0 J— +3jdu = 0• Ln(x )+u =C= » u-C-L n(x) =*£=C-Ü.(x) =, y*=rf[C-ü.(x)]

^r

y7

yU

y=ux= »dy = udx+xdu -----------

Sustituyendo: O

( ~ jr,)
udx+xdu V x-mx+ Vx-ux ^ udx-i-xdu Vl-fu-»V 1-u dx dx VI +u -V 1-u vx + uk-V x-ux udx+xdu (^ W T ^ 5 ) 1+u-Ih

(x+ y1)dx+toty,dy = 0 Sustituyendo: (x+z 1" )dx+6í/xzi'z ”“'dz =0 => (x+z 1”)dx+6uxz*'‘'dz =0

udx+xdu l-i-m-2\/l-u’ +1-

lW l-u‘ _ u*dx+xudu=dx W T- i? dx

Puestoque laecuación diferencia]s homog e éneasecumple:

=j xudu = ^1-u’+ Vl- u’ Jdx => — ------ Cfa;— ■

1=3«=» a = l

u=Sen(¿y) => du = Coe(0)d0 ; 1-u* =Cos,(o)

En laecuación diferencial => (x+z)dx +2xdz =0 SI z=ux =» dz =udx+xdu

- ~» - J =

(x+ux)dx+2x(udx+xdj) =0=» (1+u|dx+2ixix+2xdu=0

sS

Bh

(3u+l)dx+2xdu=0=> Ln(x)+|l/*(3u+1)=ln(C) 3Ln(x)+2ln(3u+l)=üi(C)=» Ln¡V(3u+l)]=l/>(C) x’ (3u+1)=C

Sen’ (y) J Sen5(í/)

Peroz = irc y= =» xv>

u=Sen(0)

x * ( f + l ) - C - X*(3z +x)=C Ahor a ™ y^z 3/ +x=Cbr* =» y1=Cx-*-x/3

U,(x)=C. i¿EZ


------------------„ , 2 ^ .c

jd

E Z

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Ahora v = lu =ü ^

dv = tdu -njdt

tdu+udt BfauVarV v*) Ltda+u<* efa+a») du 3(Èi/lJvi-S t11v11) du 3^2 tV -E t11}

(x+yf (xdy - ydx) +[V - af (k + y]f ] (dx+ dy) = 0

(t1- t 11) (tdu-i- udt) = (l+ t‘)du (t* -t 1*

(t1-t 11)udt = (i +t‘) du

csen laecuación 1(K\3uJ+(y*-2x^*Jdz = 0= > ^ i í (i i+ (if -Sjís 3Í?) in - (u1- Ez*J = O

LlW = y ^ T r f ^ =* ln ( u) + C=ÂI 1dE (z)-iü .(l+i1 )

Ahora z = i*r =t dz = udv+vdj

=f i/vídu- n(i/-ai/v, )(udv-Hvdu) = 0 => v,du +(t-0v?)ittv -n(l-2ví )wlj = O

=* UifuJ- t-C^ AiriB^ ) J.l 4 i(l+ f)

É)v dv -h(v-hVa— Ev^JAi = 0 (1-Sv*

- cnH ¿)

1-2vl A E C v( v- l)( S v- 1) v + v—1+ Ev-nl

-

Evl -1 = A (v- l)(&+Í)+Or(bi r +Í)+-Qr(w-1)

SLX =lÍ ; y = ^ => C = ArrtSj^ !j -l L n (3<-+y*) C = Artíg

0

li, (x*+yJ)

(XH-y)’ {=cdy-ydx)-H[y1-SblI (K+yjf!](dxH-dy) = 0; Sus; z = x + y ; u = I SOUUaOHAKIOANALISISMATEMATICOIV

1=A(0)4B(3)+C{0)

E =— 3

-1 = A(-1)4B(0)+C{Q)

A =1

-J=A(0)+B{0)4cgj SOLU CIONA RIQANÁ LISISMATE MATICOl \


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süD.

2(2x,z+3xz:,}dz+(3xV + z' )dx=0

„ r *í +r± + :fj!L-if _* L = o j u J v 3 'v -1 3J2V+1

Ahora la ecuación diferencial eshomogénea de grado4: z=ux=> dz=xdu+ucbc

U,(u) +Ui (v)¿ ( v-1)^ Ln(2 v+l)=Ui (C) =» 3ln (u v)+ U,^ ij= Ln (C )

2(2x4u+3x*u,)(xd u+ud x)+(3x V+x* u‘ )dx=0

Pero:z=uv

=» 2(2+3u,)(xdu+udx)+(3u+ií)cbc=0 =» 2(2+3u*)xdu+2(2+3u,)udx+(3u+u1)d>c=0

—

»- í - M iH B S á -

=» 2( 2+ 3u * ) xd u +7 (u W) d x= 0

=*

7^+2 ^ ^ ^

=0

=» (x+y)’ (x*+xy-y)=c(2 x! +2xy+y)

=»7J< x'+2J^~^5~+2J^|f^ =0 dy_ 3x'y-t-y*Hacemos: y= z ' dx 2*V3xy

7U1(x)+ 2ü ,(1+u*)+2ü 1(u )+2JÍ¡ -2J1 !^ = 0

* 7ln(x)+2 Ln(l+u ’)+4ln(u )-üi(l+u*)=Ln (C) ln(x')+Ln(l+u* )+Ln(u*)=Ln(C) =» In^x'u*(1+u* J]=ln(C) Per o

u= —

xz4(x*+z*)=C ¡ z*=y =»xy, (x *+ y)= C« x1y*+xyJ =C Puestoque laecuación es homo géneasecumple =» 3+a


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1

©

1

r [y, -Ln(x)]dic+Vdy=0

; Sus. x=e* ; y = ^

(VI-l)ln(u)+(VI+l)Ln(u)+(V3-l)Ln(t+1-V3)+(V3+l)ln(t+1+V3)=C (Va -lJlnfu ^+ l-Va Q +^+ lJln^^ +l+ ^^C

Pero t = z/u

(V3-l)bi[zt-u(l-^)]+(^+l)Ui[z+u(l+V5)]=C [y* -ln(x )]dx-i- jty, djF=0 Hacemos x=e’ y= Vz

=» x=e’ ; y=Vz ;

u= Ln(x) ; dx = e’ du ; dy = -^ ¿

u=üi(x)

=> (3-V5)L n£y‘ +(l-V 3)Ln(x)]+ (3+V3 )Ln[/ +(1+^3)Ui(x)] =C

Sustituyendo: (z- u)e*du+e“zMQ ^j = 0 »* 8(z-u) du+zriz =0

0

xSdx-(x, +yJ) dy=0;

Sug. x=uy

Laecuación diferencial halladaes homogé neade grado 1. Hacemo s: z = tu => dz = tdu+udt =» 2(tu- u)du+ tu(tdu+udt)=0 =» 2( t- 1) du +t *d u+ ut dt = 0 = » ( t ? + 2 t - 2 ) d u + u t d t = 0

x’yi x- ( x1 + y ’) d y = 0

Hacemos x= u y => d x= ud y+ yd u

Separamos variables eintegramos: Sustituyendo: uY(udy+ydu)-(u,y,+y,l)dy=0 =» u>(udy+ydu)-(u, +y*)dií=0 =» u'ydu-y ,dy = 0=* u'du-ydy =0 Ju* Y “^ '=C =» ^ --3 y’ = C

8/ 3) ]-L n^ ~| ~J j=C a^3Ln(u)+Váj>(t+1-V3)+V3Ln(t+lWa)-U>(t+1-Vs)+ln(t+1+V3)»C

0

=>

*

21)1“V = C

3 y ’- 2x’=C y’

[3Tg(x) - 2Coa( y )]Sec' (x) dx+Tg(x)Sen{ y) dy=0

V3Ln(u)+V3Ln(u)+(V3-l)üi(t+1-V3)+(V3+l)Ln(t+1+V3)=C

—

■ -------- -


a

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EDUARDOEBPWOZA RAMOS

CAPÍTULO■

1 ( UHTIfIlI

£ EDUAflDOEEmOZ»HAMOS* x 'Jf (x)d K-H (lru)du =0

—

Eata eauna ecuac ión de enrariata ieasepa rables*lotjie pnjebs que co n laayudade la aBtitución yûx, podemo a reaolver ualqu c ier ecua ción de la forma

HacernoE: u= Tg*(x)C os( y) du = ZTg (x )S ec* (x)Cce (y )dx -1^= (x )Sen(y )dy ESec‘ (=t)c °s(Y)d*=

y’f(x)dx-nH( ^y)(>rix-x dy)=0 donde H(x,yJ es laftinciómhomogéne e ay. enx

+ Tg(x)SEn(y)dy O

SuatiruyEndo:

( x^ y- 4-x V ^- xV +x V

3TS x(JSbc*(xjdx-SCcxj y( fSec1(x)ck+ Tg (x)Sen(y )dy = 0

' +y c)tfc=(x V + xy * )d y=0 ES2W

=> JTgfxJSec’lxJdx— * -Tg(x)Ser(y) dy^Tg(x) S*í.(y)dy = Q TS!.X.I

(híy1-4->V-hjíV + x1/ + / +/ )dx = (x^Z + x1+xy*)dy = 0

3Ijf (x) Sh? ( x) dx - du,-TJ f ( x) Sen(y) dy+Ttf ( x) Sen(y) dy = 0 3TS’ (xJSec* (x)dx -du = 0 J3TS’ (x)SaJ {x)dx = fdu

Hacemos: y = ux => dy = udx-i-xdu

SuatiiuyEndo:

( x^ {V h- x*xj,uj'h- x*ux-hxVi, xj' +u*x*+u5xJ)dx -

=> u =T^( x) h-C =>Ttf(x)C™(y)=Ttf(x)4-C

-(x \i V + xc+xx\i*) (udxH-xdu )=0 Pruébeae que con aLayuda de lasuatitució y= nux,podemoaresolvEr cualquier ecuación de la twma y rf (x)dx-i-H(i^ y)(yrix-xriy) = 0 donde

es fundón

homogéneaenx ey.

Simplificamos }^: =} (xu1+ xíU*h-uxh- xilí*-hU*+uJxJdx-(u’xh- v+ xil1J(udx +Xdj) = 0 (su? +ji’tí'4(K-m ‘ii‘ + 1*+ iíx)dK—(iík +i k+ mí 1A Job;—( 1+X+ ju*}*Ju =0 (» l1+JÍ,LÍJ|+ UX+XV -H1Í*+ÜS 5(-UaX- UK-iaÍ: JdX-(u¡X+X + MÍl)|>HlU= 0

HZLHV

(x V +x\i* +u*)dx- (u“x+X+XU*Jxriu= 0 Haoemoa: y = ux=> dy = udx+xdu

[/( jí1+x?+ l)dx-)í (ir +l+ü‘J(ii = 0

Sustituyendo: u’x'f(ji)[í< + h(ji,y)(uni*t -uxift-x,i¡lu )mO => if 3?f(x Jd x- H û x)^ du) =0

— + x— -11+i-t— L= e= í s^lí+3xsii1-:hí -3x U<+3™/ +x = Cxu1 3 x u aí SOJUCIONARIOANALISISMATEMATICOIV


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ta a n J L =* V + J¿ -^:-^

---

1 -3 £ + x=C ^

=» x V + 3xV -3y" - 3y* -3 x V +x* =CxyJ

C

Demo strarque laecuación diferencial i ------—— dx A'y+B'x”

, sepuede trar

unaecuación diferencial hom ogénea . Haciendol ecambiode va riable:u = x" =0

(x"y* +x V + XV + *V + / + /)<* t-(xV +x“y+x/ )dy =0 Hacemos: y= ux

dy x 'V (Ay+Bx’*) ■J (AyfBu ) A’y+B'x" du/mx""'

=> cíy= udx+xdu

Sustituyendo:

mx 'Vd y

(x Vx* + x W +xsu*x*+ x W +iíx* +uV )dx- ( y W +xl‘ux+xiíx‘ )(udx+xdu) =0 (xV+xV+xV +xV+ xf+uV)ck-(xV+x*u+xV)(ud>(+xAi)=0 (>íit +iAf +»fií

+uV )dx-(x V 1Í+1Í +x* i/)dx-xy +u+i/)Ai= 0

du

ux~1(Ay+Bu) mudy u(Ayi-Bu) “

A'y+B 'u

du

_Oy

A'y+B 'u

Ay+Bu

- du- A'y+B 'u

Loque pnieba que es i esunaecuacióndiferenc ial homo génea de grado 0.

o Z

(xV+ xV+ xV +xV +u 5+u V-x V-x V-x *u 7)dic-x1(u, +u+ii6)dü»0 (xV +x V +u " +u V - x V )dx-x* (u*+U+ 1Í )du =0 (x V +x V +U4)dx-x- (u=+1+u» )du=0 u*( if + *> + l)d x-x »( u* +1 +u ‘)d u = 0 .J ^ ^ -1 Jb e -j[^ ^± lJju =0

2yxdy=(y *-x)dx Hacemos:

z=y*

=?

dz=2ydy

2xy^ j£j= (z-x)d x » xrtz=(z-x)dx ;z = xt => dz = xdt-t-tdx itituyendo:

« J( ) ?+ ,+ ^ )< k-J(u +t f «+u - ) *I =0* |+x -¿ -¿ +i + ¿ -C teo: u= y * ^ +x ' _£+*+ ¿L. C x 3 2x* 2x y Zy3 SOÜJOONARIO ANA LISISMATEM ATICO N

x(xdt+tdx)=(xt-x)dx

xdt+tdx=(t- l)dx=>xd t+dx=0 =Jdt+J— * =0 t+Ln(x)=Ln(C)=»t = Ln(C/x)=» x=C

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Ahora; Sustituyendo:

Homogéne a de grado 3 z=xt => dz = xdc+tdx

(2xx*t, -4 xJ )dx -2x i{2 xV -x, )(xdt+tdx)=0

Simplificamos 2x*: (i? -2)dx-t(2t* - l)(xdt+tdx) =0 (t, -2)dx-t (2t!-l)xd t-t*( 2t, -l)dx=0 » (t , -2-2 t‘+t’)d>i -( 2t ,-1 2(t4-t *+l )dx +(2* 1-t) xdt=0=» ^

x1 =»dz=3x*dx Ìgy (y-z)= 3x V+xV

» 3(y -z) dy=( 3y+ z) dz

+2Ì T = 0

Ahora: z = yt => dz=ydt+tdy

~.t^ ^2~ = Q W -WC)

Ln[(t4-t*+l) x*]=L n(C) =*(t, -t ’ +l) x’ =C dond t =e:-

3(y-yt)dy=(3y+yt)(ydt+tdy) = >3(l-t)dy= (3+t)(ydt+ tdy) 3(l-t)dy=(3+t)yik+(3+t)idy»(3+t)>dt+(3t+t*-3+3t)dy=0 » (3 +t )y dt +( t* +6 t- 3) dy =0 =* i l ± ^ +Ì!=o v t +6t-3 y '

=» x*z*-2?+3Ì =CPera y = z* »x V -y + x * = C

e

3 d y = IixV dx 3v —x

=0=,ÍÜ‘(t'+6t"3)+u ,(y)=u,(c)

u= y1 =» du = 3y*dy =» dx 3u-x = xt => du = xdt+tt±

Ln[(t’-t-6t-3)y’]=Ln(C) * (t*+6t-3)y* = Cdonde t= =» z*+6zy-3y* =CPero: z=x”=» ^+6x’y-3y*=C

(3xt-x) (xdc+tdx|=(xt+x)dx O

(2xy -4x 1)dx-(2y-x*)dy=0

»

=» (3t- 1)xdt+(3t—1)tdx = (t+ 1)dx =» (3t-1)dt dx 3t*—2t-1 X " . (2xz,-4 x3)dx-(2z*-x, )(2zdz ) = 0

1

SOLUCIONARI OANALISI SMAT EMA TICO N


(3t-l)(xdt+tdx)=(t+ l)dx (3t-1 )xdt+ (3t* -2t-l )dx= 0

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l

f

=0='* •gu>(3t*-2t- |h Ln(x) =Ln(c)

Ln[(3t’ -2t-l)x ']=Ln (C)» (St’-a -lJ x ’sC

donde t= -

gdy ya(l-xy ’) dx 1+xy*

=» 3 u*-6ux-x* =C Pero: u= y' =» 3y*-G x/ - x ” =C Q

Hacemos: z =y"* II l i T

Hacemos: z = yv* =» dz = i jy

o.^j

- v A = .y:. C r^ y dx y íy +x)

(4xyv, -6y)dx+(4y,"-3x)d y= 0 ; Su* z = yv* —

^

^

dy _ 1-xy1 dx l+xy* dx y^+ X

dz =-2 jrJ dy ^

y°d y=- dz

-d z =— H -d x =» Homogéneade grado0 => dy = 2zdz

Ahont

(*xz-6z*)dx+(4z-3x)(2zdz)=0 =» Homogénea de grado 2 Ahora: z = xr => dz = xdt+tdx

z= xt

=> dz = xdt+tdxSustituyendo:

(t+l)(xdC+tcbt)+(t-l)dx=0=» (t+l)xdt+(t+l)edx+(t—1)dx=0

Sustituyendo: (4>ít-6xsta)ctx+2(4xt-3x){xtdz) =0

( t +1) xdt+( t *+ 2t - 1) t f c t = 0 »

=

0

Simplificamos 2x*t (2-3t)dx+(4t-3)(xdt+tdx)=0 => (2-3t)dx+{4t- 3 )xdt+(4t-3)tdx= 0

j f c f t - W l T =0=> iM * ’ + 2t -i) +l n( x)= Ln(C)

=> (4t*-6t+2)dx+(4t-3)xdt=0=»iÎ^^+2Í =0

Ln[(t*+2t-l)x*]=lji(C) z'+2 xz- xs= C

í U ^ T + 2/ T = 0=> l»(*,-3t - ,) +« 1»W -U ‘( c)

=» (t’ +2t -l)x>=C=» donde t= i

Pera z= y* =» y+2xy -,-x I =C =* x*-24 — y* y4

=C

Ln[(2t, -3t+l)x, ]=ln(C)=»(2t,-3t+ l)x, =C dotnd = e—.

„dy

y+4
=» 2x*z*—3z+x*= C ; Peroy = z'= » 2x'y -3y vs+x, =C

w

dx xy*+ l SULUCIONARIOANALISISMATEMATICOW —


" C


I

Sustituyendo: (2x-xt)dx-{x-*-12xt)(xdt+tdx) = 0 =» Simplificamos x x= z’ =>

2zdz

t ó — A — Z l£ z*-2yz dz z-2y

(2-t) dx-(1+12t)(xdt+tdx)=0 ^ (2-t)dx-(1+l2t)xrit-(l+12t)tdx=0 =» (2-2t-12t*)dx (12t+1)xdt-0=» 2<*X+ ^

Homo génea de gr ado 0 Ahora:

y = zt => dy = zdt-i-tdz Sustituyendo:

zdt+tdz _ zt+4z dz z- 2z t

. z ,mP camosz

üi[( 6t,+ t-l)x 1]=tji(c )* (be+ t- l) )í =C

(l -2 z) (z dt +t dz )= - (t +4 ) dz =» ( l- 2t ) zd t+ (l - 2t )t dz +( t+ 4} dz= 0 (l-2t)zdt+(2t-2t*+4)dz=0=»

6z *+ zx -x ’=C

(xy*+y)dx-xdy = 0

I

«♦z*(t*-t-2), = C » donde t= |

(xy* +y)d x-xd y = 0 ;

Hacemos: y=u x ^

dy = udx+xdu

Sustituyendo: s» (x x V +ux) dx-x(xdu-ru dx) =0=> Simplificamos x

y '- y z -2 z s= C Pero: x=z**» y*- yV x-2 x= C 2x+ yVx -y’ =C

(xV +u)dx-xdu-udx=0=>x,u,dx-xdu=0

(2x-y4 )dx-4yJ(x +12y4)dy=0

=> xdx-£^=0 =»fxd x-fd“=0 = >— + -=C u’ 2 u > >\ ¡' (2x -y, )dx -4y , (x+12y4)dy= 0

Hacemos: z= y' =» dz=4yIdy

(2 x -z )d x- (x + I2z|dz=0=> Homogénea de grado 1 Ahora:

z=xt

o

donde u= — =>— +— =C => yx’ +2x=Cy x 2 y (x -y ’)dx+2x ydy=0

=* dz=xdt+tdx Hacemos: y3 =u x =» 2ydy= udx+xdu

B

_

x*- 6y "-x y* = C

=0 O

üi^z*(t*- 1-2 )'j =•Ln(C)

donde t= —

Perocz= y * => 6/ +x / - x* =C =»

=0* 8 ^(^ î(t, -t- 2)=li '( C)

0

+, ^dt -0

_

- - - - - - - - - - - - - - - - -- - -- ----- -- -


_

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1

1 J

Sustituyendo: => (x —xu}dx+ x(xdu-t-u dx)=0^ Simplificamos x 1

1. O

=» — +du = 0 »J — +Jdu = 0 =» Ln( x)+u=l n(C)

J

Resolver lassiguientesecuaciones diferencialesencasode ser exactas: [2xy-TS(y)] dx+[x’ -xSec* (y)]dy=0

u=L n(C /x)=»C = xe‘ donde u = *- => xe’*'*= C

©

1

(3X5+3x’y’ )obc+(2y ‘ -2x\)dy=0

Hacemos: y* =uxJ =» 2ydy=3x*udx+x’du Sustituimos: (3x’ +3x*ux3)dx+(uxJ-x 3^3x!udx+x1du)=0

;

N = x*-xSec’(y)

^ = 2x-Sec,(y)

:

g=2 x-Sec '(y)

1 1

=j Laecuación difere nciales exactapuesto a» Jque: f — =— Resolvemos: f(x,y) = J [2x y-^ (y)]d x=x*y-xTS( x) -i-f(y)

1

Derivamos con respectoa x e igualamo s a N:

■

En(1>

Simplificamos x5 3(l+u)dx+(u-1)(3udx+xriu)=0

M=2 xy-Tg(y) Derivadasparciales:

3(l+u)dx+3(u-l)dx+xdu=0

= * -Set f(y )+f(y)=,? -xS«?(y

... (1)

)^f (y)= C

6udx+xdu=0 , dx+—du= 0. integrando: 6— 6Lnx+Lnu=c Lnx*u=c

=>

x*u= k

x* ^.= k

=»

x*yt =k

0

x*y->ÍIl8(y)=C

[Sen( x)Sen(y) -xer]dy =[V +Coa(x)Coe(y)]dx

M= ér+Cos(x)Cos(y) ;

g

N = xe*-Sen(x)Sen(y)

SULUCKJNARIOANALISISMATE MATICO(V

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| [ - j Z - +2xy-Z jdx+jVtTx'Vx*-Ln(x)]dy=0 m =M

í3M

M =^2 ¡-+2 xy-2 ; N=,/r ñ?+x*- Ln(x)

! 5J+ x

Sen(2x)

,'N

2Sen(x)Ccs
Sen(2x)

* 7“ ; S ----------------7-------------~ -

£M =£N Oy <*

Laecuación diferencial es exacta pue sto que: —

f (x,y)=J^j2L |+2x y

-o )

■ feá ^ ií

i)+

â

^-

f .( y ) = y j^

vJâ w

â ^

j

f*(y)=0 =»f(y)=C

+f
f'(y)=y-¿;-(y)=j(y-í f )dy=|+ i +c fc(1> ¿2 a2y^ = fi2y 3 42-c

...(1 )

M = V Ü 7 +x* -Ln(x)+ f'(y) =Vt+x*+x* -Ln(x)

. w - i - 2 - w ^

jlx =W Ü 7 +x* y-ylJ>(x)+f(y)

0

y'/i+J ? +x*y-y ln(x)=C

(y- x*) dx+ (x+ y>)dy= 0

(y-x1)dx+(x+y3)dy=0 0

|^ 2 L +2 xy- ^jdx +[ VÑV -.-x *- Ln (x )] dy =i

I SOLUCIONAR»ÁLISIS AN MATEM ATICO W


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1

I Derivadas pardales: — =1 ; - ^ = 1Laecuacióndiferencial es exactapuestoque: — =— í)y Jy Sx Resolvemos

O

(x -1) J ydxJu .( 2x-2) +ildy=0

f(x,y)= J(y-x 1)dx=x y-^+f(y)...<1 ) Derivamosconrespectoa yeigualamos a N:

M=( x - t J " ’y ; N = l n ( 2 x - 2 ) + ^

f ^ = x +f (y) = x+ y> »»r(y) =y>» f( y) =Jy >dy= ^+ C

Derivadas parciales: r

En<1> xy-£ -+-^ - = C=» 4xy-x4+y‘ =C

s=(»- ir

Laecuadón difere ncial seexactapuestoue: q £íí = ¡2Í 0

[y+yCos( xy)]dx+[x+xCos(x y)]dy=0 Resolvemos: f(x>y)=J ^ =y tj l( x_ 1)+,( y)

-0 )

Derivamos con respecto y e igualam a os aN: M=y+yCas(xy)

;

N=x+xCos(xy)

£fc^ =Ln (x-1)+ f'(y)=U i(2x-2 )+-i Sy y

Deriva das pardal es — =1+Coa(xy)-xySen(xy) ;

üi(x-1)+f(y)=Ln( 2)+Ln(x-1)-Hl = » f(y)=L n(2)+ i

it!=1+ Caa(xy) -xySen( xy)

Laecuación difere ncial seexactapuesto que: — = — íV ac Resolvemos f(^y) =J(y+yCos(xy)) dx=xy+sen(xy)+f(y) Derivamos con respecto a y eigualam osa N: ^ ^

= x-fx Cos (xy) i-f '(y) =x+x Ccs(xy) =» f(y)=0

Pero üi(2x- 2)=Ln(2)+ln(x-1)

f(y)=j[li.(2)+i]dy=yUi(2)+ü.(y)+C En(1> yln(x-1)+yLn(2)+Ln(y)=C=» yLn(2x-2)+Ln(y)+C

- 0) 1

15. (3x* +6xy!)dx-t-(6x2y+4y 5)d y=0

=>f(y) = C

En(1> xy+Sen(xy)=C

a —


H

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Derivamos con respecto aigualamo x e s a M: ^ = y + f(x ) =9 x *+y - 1

M=3x'+6xy' ; N=6x*y+4y1

f'(x)=9x’-1 ^?=12xy ; df

^ = 12xy Sx.

En (l):

=»

f(x)=J(9x*+l)cbc=3x1-x+C

xy -2y ' +3x3-x= C

Laecuación dfterencial es exactapuesta que: ©

Resoívemoe: f(x,y) = J(3x’ +6x/)dx=x> +3 xV +f( y)

[ySen (x)-Sen (y )]dx-[x Cos(y)+ Cos(y )]dy = 0

... (1)

Derivamos con respecto agualam y e i os aN: [ySen(x)-Sen(y)]dbt-[xCos( y)+Cos(y)]dy = 0

=6x*y+f’(y) =6x*y+4y* => f’(y)=4 y1 =» f(y )=j 4y ,dy=y*+ C

M = ySen(x)-Sen(y) ; N=-xCo s(y)-Cos(x) En (I* x’+3 xV+ y4=C 0

^ = Sen(x )-C oe(y) ; ^=-C cs(y)+Sen(x)

(9x*+y- l)-( 4y -x)g= 0

(9X1+y-1)dx-(4y-x)dy=0=»

M=9x*+y-l

;

N=x -4y

l(^y)=J[ySen(x)-Ser(y)]dy= -yCoíi(x)-xSen(y)+ f (y)

Derivadas parciales: SM ,

SN_,

»(*r). ,v

_£N m que: Laecuación diferencial es xactapuesto e Oy-ñK

-Cos(x)-xCos(y)+f'(x)=-xCos{y)-Cos(x) f(y)=0 =» f(y)=C

En(1):-yCos(x}-xSen(y)+f(y)=C=» yCoe(x)+xSen(y)=C f(^y)=J(x-4y)dy = xy- 2y, +f(x )

.. .(1)

I SOLUCI ONAR»ANA LISIS MATEM ATICOIV


... (I)


i !

¡

i

0

(3x,+3xys)dx+( 3xsy-3 y’ +2y)dy=0 ~dy +^+2 U>(5y )(dx = 0 M = i+2ü,( 5y)

(3x* +3xyI)dx-t-(3x*y-3y* +2y)dy=0 M=3x, +3xy* ; Derivadas parciales: ^=6xy 0y

2M _2 ; ^ = 6xy Bk

N=~ ~

ÍN 2

V íes 1X exactapuesto V «JN que: SM=— Laecuación ^diferencial

Laecuació n difere ncial esexactapuesto qu e: — = — 0y ftc Resolvemos: f( xry) =J( 3x* +3 xy*) dx=xJ+^

-

Derivadas parciales:

N=3 x*y-3 ys+2y

+f(y)

Resolvemos: , (x-y )= í?7 í:= 25tLn(y)+f (x) Derivamos con respecto ax igualam e os aM:

-0 )

^fc^ =2 tn(y )+f'(y )=i+ 2üi (5y)

— c1)

pero

üi(5 y)=L n(5) +Ln(y )

Derivamos con respecto aigualam y e os aN: 2Ln(y)+f( x )= i+2Ui{y )+2Ln(5)

£M = 3x * y+f'(y) =3xt y- 3y* +2y «y

f(x)=l+2 Ln(5) => f(x)=J^ l+2ln( 5)jdx =Ln(x )+2xLn (5)+C

f'( y)=2y- 3y* => f(y)=J’ (2y-3y*)dy+C=y*-y3 +C En(1>

EhCl): =Ca

2xln(y)-t-Ln(x)+2xLn(5)=C=» 2xln(5y)+Ln(x)=C

2x’ +3x y +2y *-2 y’=C £)

O

e? (dy+2xytbc)=3x’dx

dy+J~ + 2Ln(5y)|dx = 0 e* (dy+2xydx)=3x'd>e =» e1"dy+2xye^ dx=3xsdx

a—

—


—

I


l => e*‘dy+(2xyc*‘ -3 x’ )dx =0 =» M = 2xye*‘-3 x" ;

N=c ^

= Eye” +f'( x) = 2ye’- -x* f’( x)=-x* =»

— = 2xe’’ ; ^ = 2xe'' 0/ dx La ecuación dife rencial esexac tapuesto qu e: Ü í = Ü Í Of Resolvemos:

f (x, y) = J e^d y= ye”’ + f (x )

... (1 )

Derivamos con respectoxae igualamos aM:

En (1): ye* *-y= C

^3y e’1‘- x , =C

y’Sen(2x)dx-3y'Cos! (x)dy =0

af^ y)=2xye*‘ +f,(x)=2xyey’ -3x* f' (x)=- 3x' =>

jhezeskht

f(x )=J (- 3x*) dx =- x> +C

En (1): ye?-x 1= C ©

f(x)=J( -x*)dx = -¿ + C

M = y’Sen(2x) ; N= 3^005*(x) Derivadasparciales:í£? = 3y’Sen(2x) ^ ;=3y*Sen(2x)

e’*(dy+2ydx )=xt dx

la ecuación diferencial es ctaexa puesto que: ^ Resolvemos: f(x, y)= Jy*Sen(2x)dx = -£ co s( 2x )+ f( y)

e*“(dy+2yr tc)=x’dx => ev‘dy+(2ye,*-x, )ctx=0

*»

etody+2ye*‘dx=x*dx

=»

£|Z2 =^Ca «(Sbt)+f ' ( y)=-3y W (x)

M=2ye”‘-x; , N = e**

Derivadas parciales: — = 2xe’” , dy

Cos(2x)+f(y)=-^[2Cos(2x)-l] f W 8x f , (y)=-T

La ecuación cfiferenc ial esexactapuesto que: ^ Resolvemos:

...(1 )

Derivamos con respectoe ay igualamos a N:

f(x,y)=Je**dy = ye’*+f(x )

... (1 )

(1):

• f (y )=í( Ir )^ = -T +c

-^ C o s( 2 x) -^= C ^y 1Coe( 2x)+yJ=C

Derivamos con respecto aigualamo x e s a M:


1 _

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w

,-------------------------------------J—

l m

0

Derivadasparciales:

[ye^Coa (2x)-Se *Soi( 2x)+2x ]dx+[ xe’»Cc6(2x) - 3]dy=0

•^ =2 hx +2 cy ;

=2bx+2cy

Laecuación diferencial esexac tapuesto que: — = — ñy 2* M = ye"Cos(2x)-2e''Sen(2x)+2x ;N = xe*Cos(2x)-3

f(x.y)= J[“ £,+2b>ty+cy’] dy='í5- +hK,y-,-ov ,+f (y)


Derivamos con respecto a y e igualamo s a N:

~ = e*'COs( 2x) -xye»Cca(2x) -2xE*'Sen(2x)

= bx*+2cxy+f'(y)=N = hx’ +2cxy+y, ^ =e''C0s(2x)+xye< yCos(2x)-2xe''Sen(2x) bx‘ +2cxy+f'(y)=bx, +2cxy+y1 =*f(y)=Jy*d>r = .L+ C Laecuació n difere ncial esexactapuestoue: q Í£ í

En (l) ; fíl+h K* +cxy* + ^ = C => 33X1+6bx'y+6cxy' +3cy* =C

f(x,y) =J[» e'Ca s(2x )-3]d y=e ’*'CoB(2x )-3 y+ f(x)

... (1)

Derivamos con respecto aigualamo x e s a M:

©

(x, +ye,,)dx +(2xy+y)e 'ydy=0

£ Í l ^ = ye*'Cos(2x)-2e,rSen(2x)+f,(x)=yE*Cos(2x)-2e*Sen(2x)+2 f(x)= 2x

=»

f(x) =J(2x) d>c=x,+C

En<1>

M=x*+ye*' ; N=(2x y+x) e,''

e*Coe(2x)-3y+x’ =C 0

Derivadas parciales: f =eW

(ax*+2bxy+cy*)cbc+(hx, +2cxy+y,)dy=0

; | =( 2y +1)^

Laecuacióniferencial d es exactapuesto que: ^ Resolvemos: M=ax'+2bxy+cy‘ :

1

N=hK, -t-2cxy-i-y1 '

f(x,y)=J(x*+ye* ')dx=^+x j^ +f(x) ...( 1)

—

-----------------------------------------------------


1

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O

e'(yJ+xy1 +l)dx+3y,(xe*-6}dy=0

£LhÜ=xe*+2xye*'+f,(y)=N í* '+f '( y)= (2x y+x) e, v

=*

f(y )=0

»

f(y)=c

M=c’ (yl +X/1+ l) ;

N=3y‘ (xc“-6 )

En(1> y+xye*, =C =» x3+3xye*r =C

©

^= é* (3/ +3x y*) =3 yV (1 +x) ;

[Sen(x)+Sen(y)]dx+[xCQs(y)+CoB(y)]dy=0

|2 =3y* (c-- xe 4*)= 3y* (e» +xe* )=3y*e* (l+x) Laecuación «fiferencial es exactapuesto que: M = Sen(x)+Sen(y) ; N=xCos(y)-hCoe(y) f(x.Y)=j3y«(xE»-6)dy=y1(xE»-6)+f(x)

... (1)

Derivamos con respecto agualam x ei os aM: £ ^ - y ’(w « +e *) +f( x)- e»( y*+ xy>+l ) f(x,y)= J[Sen (x)+Sen(y)]d)t=-CQ9(x )+)íSen(y)+f(y) ... fl)

f(y)=e ’ * f(y)=Je’dx= e*+k

Derivamos con respecto ay igualam e os aN:

En{1>

yJ(x e"- 6)+ e1'= k

f ^ -x C o .( y )+f (y )= xC Qs (y )+ Co .( y) f(y)=CQa(y) *»f(y)=JCos(y)dy=Sen(y)-*-k

0

tx1-e,»(y +xy, ) = 0

(4x*-e 1,y)dx-xewdy=0 I SOLUCKJNA RIOANALISIS MATEM ATICO N


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1

1

M=4x* -e* y ; Derivadas parciales:

N = -xe"

Laecuación diferencial esexacta puesto ue: q

=-e*'-xye’» at

ay

Laecuación diferencial actapuest es ex o que: ^ Derivamo s con respectox ae igualamos aM: f(x.y)=J(-**)dy=-e''+f(x)

£1 ^ ,-JL - , -T — — ; +f' (x)= — 7 7 - I ñx 2(l+xy) 2(l-x y) v ’ 1-x*/

...( 1)

f(x)=-1 Derivamos con respectoe ax igualamo saM

=» f(x)=J(-1)dx=-x+ C

En(1)=

£ ^= -y e * +f ' ( x ) = M * -yew+f'(x)=4x5-e”y f(y)=4xJ >»f(x)=j4x,dx=x*+C

H

x4-e' r=C

o

0

i ^)

— 1+xy

°-‘"w’‘“f e ) ' “ „

1+xy „ - te * —

(3x’+6xy-y* )dx+(3x*-2xy+3 y!)dy =0

(3x*+6x y-ys)dx+(3xí-2 xy+3ys)dy=0 d x =_ y ^ + xdy 1-x y 1-x *y

f Y _ ,U + 0 (l-x \ J l^ xy

M =T ^y-' Derivadas parciales: M _ 1-** / -y(-*íy

^

(i -xV) *

M=3x’+6 xy-y’ | = 6x_2y ;

: N =d ? ?

) _ 1+x*y* (1 -xVj 1 ’ *

¡

1-xV-x(,TN_

2xy*)_ , +xy

(i -xV)*

N=3x’-2xy +3y'


(i-xV

I f

^ = 6x -2 y

Laecuación diferencial esexactapuesto que: — =— dy Üx

1

“ www.Solucionarios.net

I

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□.... ..... ................. Derivamos con respecto a yigualam e os aN; f(x,y) =J(3xV6xy-y’)*

=x :,+3xV-y’x-t -f (y) -( I )

sspectDa ye igualamos aN: ^ ^

f ( y) =0 = *

= 3x,-2xy+f ’( y) =3x ,-2x y+3 y’

f ( y ) =C

Eh(1): f(y)-3y* * f(y)= j3y‘dx=y1+ C

xLn (x-y )+y Ln (x-y )=c

=>

(x +y )ln (x -y ) =

En<1> x, +3x,y -y 'x + / = c

O

^(x-y^l

dxJM x-yJ-i ir ldy^

M“ +Ul(y) ; 0y x y

Derivadas pardales; SM -1 x-y-(x+y) x+y 0y ' x - y ' (x -y (x-y)’ )’ J

3N I ac" x-y

x- y- (x -t- y) (x _y) «

x+y (x _y) *

N=^ta(x) ftc y x

La ecuación diferen cial es xactapues e to que; — = — Jy a«

Laecuació n dife rencial esexac tapuesto que: — =—

, (x,y)= j g +Ij,(y) ]dx = yLn(x) +xLn( y)+f (y). .. (I) Derivamos con respecto aigualam y e os aN:

f (x,y) = j| L n (x -y )+ -^ Jd x Integramos por partes u=Ln(x-y) =»

d u= -^- ; v=Jdx=x

f( x, y) =xLn(x-y) +J ^ = xLn(x -y) +yLn(x-y) +f(y) ... (1) I SOLO OONARtOANA LISISMATEMÁ TICOIV


» M

.

!Üi( xh y+f,(y)= -+lj ’W

f-(y)=o

=»

f(y)= C

yLn(x)+xLn(y) = C

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1 ©

| 5ec(x)[Tg(x)Tfc( y) + ySec(x)]dx +[Sec(x)S** (y) +Tfe(x)]dy = 0

M=SeC(x)T^(x)Tg( y) + ySeC’ (x)

;

w

^Í^ e c’ íu) ; Í2 =Sb ?( u)
= SNec(x)Sk ?(y) +Tg(x)

Derivadas pardales: ^

= 5ec (x)Tg(x)Sec* (yJ+Becs(x ): ^ = Sec(x)

x) Se¿ (y) +Sec? (:x)

fM

= J [ 1+T*H > = X

^difere M £N Laecuación ncialesexac ta puesto 3que — =— fly *t

£ ^ = ^ ( u ) +f '( u) = Sec(u)lS( u) +>Sec=( u) ftu )=s«(u)ii(u)

f (x; y) = |[Sec (x)Be^ (y)+1S(x)} ly = Sec (x]rr3(y) + yrg

( u) + f ( u ) ( 1)

Derivam os con reqKcto au e igua lamosa H:

(x )... <1)

=*

i(u )=j s«i ü)Ta M*.=SBc +c(0)

En<1>

Derivamo s con respecto a x e igualamos M: a

x-níTg(u)+Sec(u) = C

Ete(*)Tfc(*)TS(y)+ y Se ^x ) +f' (x) =SeC/x)Tgf x)Tg (y)+1SBc’ (x)

peno

u = xy

x+ JÍTa(*y)+See(xy)C=

-S« (x )TS (*) TS (y> ^> )-rf '{y> - M (5x*

-4-Sy1)dí-i- Exy(lOy*-3 x*) dy =0

f( x) = fl =*<(*)= C En(l> SeC(x)1S(y)-t-VTS(x)=C £ )

M = 5x*-
[l+ TS(íy}]dx4-[SH:(*y)T8(3íyj +JíSed (xy)](xdy+ydx) = 0

Hacemos: u=xy =>

JBEHSEaI W f du=xdy-i->dK

[i _|-Tg (u)] dx + [Sec(u) 1S(uJ -nxSec’ ( u)]du =0 M=1-t-Tfc(u) ;

N= SecfujTgjVKxSaz*fu)

^=- ia í y+EDy3

;

;

N = 2üxyJ -6ix3y

|í =20y3- I3xY

. tomque: su la ecuaciónJirdiferencial es e xactapues — =— íty Sk Resolvemos: f fcu) = Jfst* -9 * V + V )i x = x*- 3« V +Sxy* 4-f(y) „. (1)

Derivadas parciales: SOLUCION*™ ANÁLISISMATEMATICOIV



1

Derivam os con respectoaye igualamos aN:

f(x) = x+xLn(x)-|dx=x+xLn(x)-x+C =xLn(x)

— ^ “ =-6x,y+2£bcy1+f'(y)=20xy> => f'(y) =0 -ba?y

=» f(y) =C

En(1):

1

y +xLn(y)+xün{x) =C=»y+xLn(xy) =C ')d y= 0 Q (yc*+e')d>c+(e*+xeJ

X1-3xV+5 xy* =C

■ TT T7 !l'T* O

[l+Ln( xy)] dx^1- ^jdy=0 Derivadas parciales: — =e' +eT . *!=e*+ e» dy &t La ecuación diferencialexactapuesto es que: £5Í = £Í
M=1+ln(xy); N=t+Í Derivadas parciales: 1 SM_ d f” y

&

SN _1 y

f(x,y) =J (ye* +e*)dy=ye> +xe' +f(y)... (1)

Laecuación diferencial es exactapuesto que: — =— dy Bx Resolvemos:

Derivamos con respectoe ay igualamo s a N:

f(*,y)=j(l-^)l)r=y+xli,(y)+f{x)...
f-(y) = 0

=»

f(x) =C

EnO>

Derivamos con respecto x e aigualamo s a M:

**W

¿ k r í =Ln(y) +f'(x ) = 1+L n(x)+Ln( y)

-C

f’(x)=1-ln(x) *f(x)=J[l+ü,(x)]dx o u= Ln(x) =>du = ^

1 —

;

v=Jd x=x _


_

B

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1 Derivadas parciales: T ~ &= c = > y , ' x , = c x

0

^ = -C os(x)S e n (y) ; ^=-Cos(x)Se n(y) Laecuació n difere ncial seexactapuestoue q — =— fly Sx Resolvemos:

(xy *-y )dx+ x(x y-1 )dy= 0

f (x,y) =J[-Sen(x)Sen(y)] dy »Se n^C os M+ f (x) (xy* -y)cbí +(xV -x)d y=0 =>

M = xy*-y ;

N = x*y-x

... (1)

Derivamos con respectoe ax igualamos a M:


=Cos(x)Coa(y)+f'(x) =Cos(x)Coa(y)-Ctg(x ) f’(y) = -Cts(x) =» f(y) = -J Otg(x) dx= -Ln[Sen(x)]+Lr>(K)

Laecuació n difere ncial se exactapuesto cque )y ft—c = — Resolvemos: f(x,y)=J(xy*-y)dx=i^l-xy+f(y)

...(1)

En(1> Sen(x)Cos(y)=ln[KSen(x)] 0 w

2ydx+3xdy = -íi - -5 ^ xy3 y*

Derivamos con respecto igualamo ay e s a N: * ^ = ,íy -x + r( y) =*Fy- x=»r (y )=0 => f( y) =C En (1):

O

-xy=C =»x'y ’ -2xy= C

2ydx+3 x d y = ^ -^ J -i f =>2xy>dx*3x>y*dy j2 x / -j ]d x +j3 x V +^ jd y = 0

[Coa(x) Cda(y)- Ctg(x)]dx- Sen(x) Sen(y) dy = 0

M= 2xy1-1 y

: N =3x V+-íy*

Derivadas pardales: M= Cos(x) Coa(y) -Ctg (x) ; 1

_

N=-Se n(x)Se n(y)

ay

y*

Bx

y*

i

- - -- -- - - -- - - -- - - -- - - ----- - -- -


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1

r -----------------------------------1 Laecuac ióndiferen cialesexactapues to que — =—

df dx

0

[2xy+1+Xn(x}]dx+x*dy=0

Resotvemoe; f ( x , y ) =j ^ j ] d x= x v -í+f ( y )

. . . ( 1) M=2xy+1+ln(x)

Derivam os can respectoyae igualamos aN: f M = 3 x V ^ + r(x)=3x En (1):

©

;

N=x*


V^ = > f ’( y ) =0 *

f(y)=0

— =2x ;

ñf

x V -- = C

dx

Laecuación diferencial s exactapuesto e que ^

y

[2x+vCos(xyj]dx+xCos(xy)dy=0

f(*,y)=JIx,}iy=x*y+f{x)

...(i)

Derivamos con respecto aigualam x e os aM: = 2xy+f'(x)= 2xy+1+Ln(x) M =2x+yCos(xy) ;

N = xCoe(xy) #’(x)=1+Ü>( x) - f(x) = j[l+ül(x)]d x j U= ln(x)a» d u= ± ; V=JdX = X

Derivadas parciales: ^

= Cos(xy) -xySen(xy) ;

^ =Cos(xy)-xySen(xy)

f(x)=x+ xLn(x)-Jí2 í =x+xLn(x)-x +C=xLn(x)+ C En(1>

Laecuació n difere ncial seexactapuestoue q £íí =£ í! Resolvemos: f(x,y)=J[xCos(x)]dy =Sen(xy)+f(x)

.. .0 )

O

x*y+xUi(x)=C

[2ye»“+2xCca(y)]dx+[cfc-x !Sen(y)]dy=0

Derivamos con respecto x e aigualam os a M: ->Cm( xy)+r(K) .2x+yCM(xy) => f'(y)-2x m f(y)=j2xdx»x,+C M=2ye'*+2xCo6(y) ;

En (1): Sen(xy)+x* =C

N=e to-x ’Sen(y)


■

“

1

----------------------------------



1

¿ S -V -l t f n M

; |!=aB **-2*Sen( y)

En<1>

Laecuac ión difere ncial se exactapuestoque — =— ñf

üx

©

xV+^+^=C

(2x ^+>V+2¡ c)d >c+( xV+2jr f)dy= 0

Resobremos: f(^y )=J [2y Efa+ 2xCo8(y)]dx = yet“+x^Coe(y)+f(y)

... (1)

Derivamos con respecto a y e igualam os a N: M=2xer +y*ex+2x ; Derivadas parciales:

üfcZÍ =e**-x*Sen(y)+f,(y)=efc-xSien(y) f(y)=0

*

En O

f(y) =C

N=xV +2ye *

— =2x¿'+2yex ; ^ =2xe’ +2ye* ty OC

ye“ +x*Cbs(y)=C

Laecuació n difere ncial se exactapuesto que — = — Q

(2xy+x,)d x+(x *+y J)djr =0

Of

Resolvemos:

8x

f(x ,y) =J[xV+ 2ye’']dy= xV + yV +f(x) ... ( 1) M=2 xy+ x5 ;

N=x' +y* = 2xer + yV + f,(y)=2xe''+y*ex+2x => f’(x)=2x =»


f(x)=j 2xdx=x’ +C

^=2X ; ^=2X íty ac

En(l):

SM «
Resolvemos:

0 f(xry)=J[2xy+xs]dx=x*y+i£+f(y)

[e,5en(y) -2ySen(x )]dx+[ e’«os(y)+Cos(x)]dy=0

...0) J M E2EI

Derivamos con respecto ay e igualam os aN: £ÍÍ2íLx*+f'(y)=x*+y*

B —

—

»

xV+yV+x’=C

r(y)=y« . f(y)“Jy*dy=-¿+C

M Í

M= e'Sen( y) -2ySen(x) ;

N=e*Cos(y)+2Cos(x)

SOLUC IONARIOA NlAUSIS MATEM ATICOIV ^

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1

i Resolvemos-


f(x,y)= J[*e"C os(2x)-3 ]d>í=e'Cos(2x)—3y +f(x) ... 0 )

^ = e-CoB(y)-2Sen(x)

; ^=e*Cos(y)-2Sen(x)

Derivamos con respectoeaigualamos x a M:

- x_n diferencia . l es— — SM 3H Laecua ció exactapuesto que: — =— «)y ftc

= ye"Cos(2x)-2e”Sen(2x)+f'(x) = M

Resolvemos:

y e " Ca s( 2 x) - 2 e”rS e n ( 2x ) + f ( x) =y e *'C Qs ( 2 x) - 2 e ' rSen( 2x) +2x

f(^y)=J[eTSen(y)-2ySen(x)]dx=e,'Sen{y)+2>Ca6(y)+f(y) ...0)

f'(x)=2x * f(x)=j2xdx = x’+C

Derivamos con respecto a y e igualamos a N:

Eh(l): ewCos (2x}- 3y +x !

^^=c-Cos( y)+2Coa(x)+f'( y)=e*Cos(y)+2Coa(x) f(y) =0 En(1):

0

=»

f(y) = C

0

(2xí+2y)dx+ (2xIy+2x)d>'=0

é-Sen(y)+2yCoa(x)=C

MEZÜZZMÍ

[yc'"CcB(2x)-2e"Sen(2x)+2x]dx+[xe^Cos (2x) - 3]d y= 0

M = 2xyJ+2y Derivadas parciales:

;

^ = 4xy+2 , «y

M = ye*Cos(2x) - 2e*Sen(2x)+2x ;

.......

N=2x’y +2x « = 4xy+2 8x

_ SM fl—N = — Laecuacióndiferenc ial es exactapuesto que:

N=xe" Cos(2x)-3


‘y

— =é*Cos(2x)+xye'»Cos(2x)-2xewSen(2x) ay — =e*,Cos(2x)+xye"Cos(2x)-2xe’,Sen(2x)

f(^y)=J[2xyV2y]dx=xV,+2xy+

**

f(y ) ...0)

Derivamos con respecto ayigualam e osa N:

Laecuación diferen cial esexactapuestoue: q — =—

ay

=2x,y+2x+f(x) = 2x,y+2x f’(x)=0

SOLUCKJNARIOANALISISMATEMATICOIV

=» f(x)=C _


_

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1

1

Laecuación diferencial es e xactapuesto que: — =— ñf Ok Resolvemos

O

[^Sen(y)+ySen(x) ■+■■j dx-t-^xCos(y) -Co s(x)-t -^ jdy = 0

f( 3t-y )= / ^ 5dx= 7 +f (y) -c i) Derivamos con respectoe igualamo ay s a N:

M= Sen(y)+ySen(x)+-

^ ^ = - ^ r +f '( y)=N *» -axV +f ,( y) =y‘- 3xV - *' ( y) =y ’

Derivadasparciales:

f(x)=J/dy=-¿+C En<1> 0

^

- ^

;

N=x Coa(y )-Coe(x )+-

=Cos( y)+ Sen (x); ^ =C os(y(+Sen(x)

Ecuación diferencial exacta: ^ = ^

+ 2x^=C

í(*,y) = jjsen(y)+ySen(x)+iJ dx = xSen(y) -yCos(x) +f(y- )= 0 )0 . Derivamos respecto ya e igualam osa N:

yx,_,dx+xyLn (x )dy= 0

i íÍ H Í =xCos(yl-Co síx)+f'(y) = xCos( y)-Cos(x) +— «V y

J kzezlhht M =yxT"' ;

* í’(y)=i=»f(y)=;^=U,(y)+C

N= jfLn(x)

Eh(1): xSen(y)-yCoa(x)+ln(y)=C

Derivadas parciales: — =xT"1+yx,JLn(x) ; ^ = x'r"1+yxv"1 Ln(x) Ecuación dife rencial exa cta: — = — 3y üx

G

f(x,y)=Jyx’-,dx=xy+f(y) ...0)

Coe’ (xy)

dX+[c«=5(*y)+Sen(V)} ,y “ t>

Derivamos respecto y:a f M

= yxTi 1(x) +f'( y)=N * yx ’ln(x) +f'(y) =x,ln(x)» f(y )=0 M= -----?— +Sen(x) : N=-----; + Seníy) Coe’(xy) T’ Coe'(xy) x >

f(y)=C En(1>x* = C -------------------------------

—


—

B

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1

l Ecuación difere ncial exacta:

Derivadas parciales: _Cce*(xy)+2xySen(xy)Co8(xy) _Cos(xy)+2xySen(xy) ay Coe^xy) Cos^xy)

r

Coa*(xy)+2xySenlxy) Cos(xy) Ccs(xy)+2xySen(xy) ñc CoS*(xy) Cos*(xy) Ecuació n diferen cialexacta:

8y

— =— Sx

M

-

+ f ( xo) . . .

Derivamos resp ecto ax e igualam osa M:

— =— «V üx

f(*.y) "l [ c 5 ^ +Sen(x)jdx = Tg(xy) -Cos{x )+f(y ) ... ( 1) =>

Derivamos respecto ay igualam e os aN: En(l ):

f | L ) = xSeC*( xy)+f .(y) =í _ ^ _ )+ Se„(y) => r(y)=Sen(y) En(*>

=> f(y)=J Sen(y)dy=- CoS(y)+ C

O

f ( x ) =J d x = x + C

Sen| lj+Cos^ j - i +x = C

(l+e ^)dx +e*"( 1-x/y )dy=0

Tg(xy)-Coa(x)-Cos(y)=C M=1+e^ ; N=e*"(l-x/y) Derivadas parciales: 3y

“ - H - rH ' K í ) * ' ‘' "- M - yB Derivadas parciales:

K í)* ?

’

ax

y*

StA— SN=— ay ax

f(^ y)= J(1+ e*w)€k=x+yB w +f(y) ...0 ) ^

f - '?

y»

., n dife „ ___ Ecuació rencial exacta:

y). -^ -| e ^ +f ' (y ) = N = >6 *" - —e “* +f '( y) =e WT

e "”

=» f(y)=0 =» f(y)=C

s“ f é) "7C °{ y) Eh{l):

=c

”


“

”

1

.

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1

1

Derivadas parciales: 0

x(2x*+y1)dx+ y(x '+2y* )dy=0

=-nmSen(nx+my)-nmCQs(mx+ry) ^ = -nmSen(nx+my)-nmCos(mx-ny)

M= x(2^+ / ) ;

N=y(x* +2y*)

Ecuació n diferenc ial ex acta: — =— ¿V 8x

Derivadas parciales: &f

F(x,y)=J[nCos(nx+my)-mSen(mK+r>y)]dx

i S ¡b-«* e

F(x,y)=Sen(nK+my)+Coa{mx+ny)+f (y) ... (1)

Ecuación diferencial exacta: — =— ty ñu

f L ^ = mCo8(nx+my} -nSen( mx+iV)+f(y )=N

F( x, y) =J (2 x> +xy*) dx=^+^

+f( y)

mCos(nx+myj -nSen(mx-t-ny)-i-f'(y)=mCos(nx+my) -nSen(mx+ny) - f ' ( y ) =0

£ í ^ = xV+f(y) = N =» xV+ f(y)=y( x*+ 2y*) En(1):

=>

f ( y) =C

Sen(nx+my)+Cos(mx+ny)=C

=» f'(y) =2yJ => f(y)=J(2y,)dy =^ + c En(1>

0

y

+^^+^=C=»

©

x*+x"y*+ / = C

(x+3)"’ CoB(y)dx-[Sen(y)Ln(5x+15)-1/y]dy =0

[nCce(nx+myJ-mSen(mK+ny)Jdx+[mCos(iiDC+my)-nSen(mx+ny)]ciy= 0

M = (x+3)J Cos{y) ;

N=i-S en(y)Ln (5x+15)

Derivadas parciales: ^ = -( x +3 ) "s en( y) ; E = _(x+ 3)- Sen( y) M=nCos(rot+nny)-mSen(mix+ny) ;

N=mCos(nx+my)-nSen(mx+ny)

1 Ecuació n difere ncialexacta: — = —


“

_

1

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0

Resolver lasecuac ionesdifere ncialescan la scondiciones inicia lesdadas ;

O

3y(x*-l )dx+(x1+8y-3x)dy=0

;


y (0) =1

M=3y(x* -i ) ;

N = x, +8y-3x

Laecuación c&ferencial esexactapues to que: — =— df ñt Resolvemos: f( xry )= J(1 -x y) -d x = _l _+ f( y) ...C1>

, 3(x

;

0

a, 3)1 “3= 3(x

Derivamos con respecto aigualam y e os aN:

la ecuació n diferen ciales exactapuestoque: =—— ¡>f a<

^

y (i- xy ) +f,(y) =v’ +*,(1 _xy)"

Resolvemos: f(x,y) = J3y(x' -l)d x= y(x >-3x) +f (y) ... 0 ) f'(y)=y,+

Derivamos con respectoe ay igualamo s aN: £ | ^ = x > -3 x+f(y)=x >+fl y- 3x f'(y)=8y «» f(x)=J8ydy=4y *+C En (1):

>

y(x1-3x)+4 y, = C

Hallam os laconsta nte;

x’ ,i ,l~2xy, (t-xyj y (i-*y)

f'(y)_y1 + x’ , +' - 2xy +xV '- fx V (l-xy)* y*(l-xy) X*

( 1 - x y J- x*y* X* 1 x* s , ¿ v r ■ ’ T ^ r' s T ^ r"

i ' V

y (0 )= l (0-0)+4=C=»y(x) -3x)+4y’ =4 En(l): _j_L_+.^-J=C y(1- xy ) 3 y

O

(l-xy) -dx+[y*+x* (l-xy)-]dy=0

;

y(2) =1

Hallam os lacons tante: y( 2) = 1 1 3

_5

3

-

1 V 1 S y(l- xy ) 3 y 3

M=(1-*y) "* ; N= y*+ x*(1 -xy)-'=-^— (l-xy) g

SULUCKJNARIOANALISISMATE MATICO N —


—

H

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www.FreeLibros.net l =-2x+f'(y)=5y-2x+7

f(^y)=í1 ^ dx=7+f (y) ■-«

f-(y)=Sy+7 =>f(y)=*£+7y+c

Derivamos con respecto a y e igualamo s aN: 0 f ( x, y ) _ 3x* /-3x* yTQy y>

2xI -2xy+3x +^|I+7y=c

W

»•(y)=7

-

f (v)=$

Parax = 1ry=2: 2—4+3+10+14

= -^

=»

c = 25

2x'-2xy+3x+^|!+7y=25 0, ( 1) :

4 -" = C y* y Hallamos laconstan te:

)

y =1 (1

C=0=*4y* -= y 0 =>x' = y* =»

0

(4x-2y+3)dx+(5y-2x+7)d y=0 ;

y=±x

y(l)= 2

™ = -2 fM=4x-2y+3^ ,> \N=5y-2x+7^ __ 2 8x

£N ~

Como =»

~

es exacta: f(x,y)=jM(x,y)dx+f(y) f(x,y) =J(4x-2y+3)dx+f(y) f(x,y)=2x*-2xy+3x+f(y)

j

SOLUCIONARJOANALISISMATEMATICOIV

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f(-4y’)dx_ M= y=>— = 13y O£55

, fdx_

N=2x-yeT = üM=U,(*")=>„=x

r Multipli camoslaecuación diferencial dada por este faetón ^=^=

1 7 ^ =1 7 ^

-

x-w (y4+xJ)d x+ 8x -"V ‘dy =0 =>(*'My4+xM )dx+axu,y1dy=0

£¿3

Eaexacta =» 3f (x,y) talque:

Multipl icandoen laecuación diferencial da: da y*dx+ (2xy-yV) dyf=0, es exacta => 3f(x,y) tal que f(x,y)=Jy*d> t+f(y)=x y1+f( y) - 0 )

= x -V +f tx) = M =» x-V +f(x) =x-, V + xOT

£ ^ = 2 x y +r( y) = N=2x y- yV =» f' (y)=- yV

f(x)=JxMdx=|xM+C

=» f(y) =-y*e’ +2ye> -2e» +c

Reem plazando en <1>

( 1) x y' -y ’r» +2ye»-2er = O

2xvV + | x7"= C

-1

0

(y 4+X )dx*8xyJdy = 0

=» 7Vx(y4+x3)=k

(5x, +3xy+2y, )d>c+(x, +2xy)dy’=0

K3+3xy+2y* ^ — =3x+4y M=y4+x a=> — =4ya ; N=8xy>=»— =8/ I SOLUOOM ARIOANÁLISIS MATEM ATICOIV

1 “ www.Solucionarios.net


1 Puestotlue4j“

; determinamos el factorde integración.

Si ~ - ~ = 2 x ,y-3 x«y= -x*y

S¡£j í-£t ¿=3x +4y -2x- 2y= x+2 y Estefactor tom a laforma:

Ln(|í)=bi(y)=* A=y Multiplicam os laecuacióndiferen cial dadapor estefaetó n

Multiplicamos laecuación diferencial por estef actory lavolvemosxacta: e

xV dx +(x Y+ y* +3 y)d y=0 , esexacta => 3f(x,y) tal que

(5* +3>í,y+2xy,)dx+( x>+2x*y)dy=0 f(^y)=J(x1+2x*y) dy=xV+xV+f(x)

f(x,Y)=J(xV)dx=i^+f(y) ...(I)

-(1 )

Derivamos respecto ay e igualamos aN: Derivamos respecto ax igualam e os aM:

=x V+ f(y)=N =»x V +f(y) =x V +y *+3y

=3x*y+2xy* +f(x)=M=>3x* y+íxy ’ +r (x )= Sx ‘ +3x*y+2xy*

1 r(y) =y* +3y=»f(x)=J(/ +3y)=^.+

r(x)=5x4=»f(x)=|(5x*)dx=x*-C, reemplazando en (1)

^.+C

Bi(t):

xV+x V* +x5=C

J^ + Jj L + I^ C ^ S b c V +2y" +3y* =C £

x*y"dx+(xay+y+3)dy= 0 0

x*d x- (xV +y* )dy =o

jK S IE IiIM r x’y!dx+(x,y+y +3 )dy= 0 x*d x-(xV +y* )dy = 0

M = x,y*=» ^=2x*y;N=sxVy43=>^=3x*y M=x*

1

—

=0 ; Ns-x’y*-y* =>|? =-3x*y*

—


—

B


1

Nermi crieS^M íi^det

Determinam os el factor de integraciónsegún:

factor de mteâoón

Ln(u) «J 'H ^ü dx = J - L ^ d x =2jdx =2x =s*/=e'v , multiplicando Si 5“ _ * != 3xV ¡>f ax

En laecuación diferencial dada, tiene: se (xy’+xV’ +3)e"dx+x'ye'*dy =0

u,( ^). |Í2C2

ll l- /í±5P

í - - aí/d y - -y* =* ^ «v

Estaecuación es exacta -> 3f (x,y) talque:

Multiplicamos laecuación diferencial dada por estefaetón xV *d k- (x Y+ y* )e ^d y = 0 es exacta

f(x,y ) = Jx*ye**dy =

Derivamos con respecto ax gualam e i os aM:

f(x,y)=j(xV'}dx=Üíl+f(y) ...{I) Derivamosrespectoayeigualamosa N:

^ ^ =xye * V xV e ,*+ f '( x ) = x y * e,í‘ + xV*eto+3e,í‘

+f(y)=N=»-xVe-’+f f(x)=

-y^ =*f(x).

- í (x) ...(1 )

Bf (x,y) tal que:

(x)= - (xV + y*Je"**

J-yV'dy=íl+

r(x) =3^f(x) =3je**dx=|e“

=»

B»(1> 0 0

+C

En(1):

c

e**(x,y’ +3)= c

ef( x+1 )dx+( eyy-xeI)dy=0

(xy*+JÍy*+3)dx +x*ydy=0

M=e* (x+l)=>— =0 y ' ñy (x Z +^ y1+3)dx-t-x*ydy = 0 ; M=xy'+x V’ +3 ; N=x*y Derivadas pardales: ^=2xy +2x* y ; =2xy ¡ c o m o n o es exacta dy fy 2x ¿he B

_

—

N SM
;

Nsc^y-xe" =»—= - xe*-€ x Sx

If acegra tor de intewación

Si — -ií != 0 + e '(x + l) v ’ Sy Sx

_ —


i

-

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Determinam os el factor de integración según : dx= -3|^= gü(x)= »^= x« -W -f A laecuación diferencial dada lo multiplicamos u = x1 por (x*’-y)dy-x-Vlx=0

Multiplicamos laecuación diferencial dadafaetón por este

Estaecuación es exacta =>3f (x,y) tal qpe: f (x,y) = -JxJ ydx =X^y+ f(y ) ..(1 ) e*"T(x+l)d x+(y -xe ‘, )dy=0 es exacta => 3f(x,y) tal que:

Derivamos con respecto ay gualam e i os aN:

f(x,y) =Je*^( x+l) d>c=!a!-»+ f( y) ...0 )

=x -’ +f(y) = x-’ -y =>r(y)=-y=>f( y)=-Jydy = -^ + C Reem plazandonelaecuación (1> x-V -^= C= »2 y- xj r* =O t

= -xe*- '+f(y ) = N=» -xe^+ r(y) = (y -xe -’') f(y)=y =» f(y)=Jydy=^+c

0

(5x,y‘+2y)d>t+(3x
Reemplazando en laecuación (1) :

©

M=SxV+2y =» — = lO xV +2 ay

(x -x V)dy -yd x=0

N=3x4y+ 2 x= >^ =12x3y +2 Derivadas pardales:

M = - y ; N= x-x *y

m 1, :SN m— <*3N— no esexacta: — ,= _1-2 xy : como ------<5y íix ñf ñx

Puesto que ''M * ,7Ndeterm inamos el factor de integ ración Seael factorp¡ =x"y ' multiplicam os laecua cióndiferencial por estefacrory la volvemos exacta: (5x1*y*-" +2x"'y1-" Jd y- â x^ y“ +2x"*y )dy=0

--------------------------------


B

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^ = 5( n+ 2) x“V

+2 (n +! )x"y *

“ =3(m+<)x>" yfc" +2(m+l)x "y” Puestoque laecuación diferencial exac es ta, secumple;

(3x’y+2x y* y1)e,*dx+(x'-i-y*)e5“dy = 0 =» 3f(x,y) tal que

= — => 5(n+2)x*-"y***+2(n+l)x"y* = 3(m+4)x**"y-" + 2( m+ 1)« V

f(x,y) =J(x’ +y*)e*tty=|x *y+£je1“+f(x ) ...0 )

Derivamos respecto a x eigualam os a,Vt

5(n+ 2)=3( m+4)= *5n- 3m =2 2(n+l) =2(m+l)=>n= m =>5m-3m=2=>m=n=1

%0= 2xye^3(x*y+5

De donde: (5x Y+ 2xy ’)d x+(3 xY+2x* y)dy=0 es exacta =>3 f(x,y) tal que

)e -+ r( x) =M

2XJ«3*+3^x,y+^~ je1*-s jx 'y J^ Je " +f(x)= M +3^ x*y +^je “t+f(x)=(3x*y+2xy+ y:i)e1'

f(x,y)=|(5xV+2xy,)dx=x3 y’+ f(y) ...( 1)

f(x )= 0= *f (x )= C, reemplazando en (1) Derivamos respecto a y eigualamo s aN: ( x V ^ ) e- +c = ° =» (3x>y+/) «**= le

=3x5y> +2x*y++f'( y) = N =» xa 3y>+2x*y+f'(y) = 3 x Y +2x*y r(y)=0=»f(y)=c:re xY+xY=C 0

©

dx+| í-S en(y )Jd y=0

(e*+xé')dx+XE’,dy = 0

dx+[y'Sen(y)] dy=0; M=1 : N=^Sen(y) 2M=q j3N=_1 fly ¡ Sx~ Y ^


SM^ÍJN ¿V * a*

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£kl)= Je* ''dx = x e’!' +f(y) ...( 1) Multiplicamosecuación la diferencial dada por factor este y se vuelve exac ta. >dx+[y-ySen(y )]d y=0 => 3f (x,y) tal que: = 2xe*v+f(y )= N=»2xe*'+^(y)=2xe,v-y -,

f(x,y)=Jydx= xy+f(y) ... (1)

f(y)=íf=My)+c N=>x+f' (y)=y-ySenf(y) =J[-ySen(y)]dy Integramospor paites: u =y ^ du=dy ; v=JSen( y)dy=-C as( y) f (y)= yCo e(y )-S er( y)- t-c , reemplazando en(1)

0

(x*+y*+2x)dx+2ydy =

xy+yCos(y) -Se n(y)= C ©

ydx+( 2xy-e- ^)dy =0 x*-t-y*+2x SM ÍN - no es exacta, c dy dx

M =y ; N=2xy-e-*v =»*í_i — .=1 ü/ ~

^=jj! ididx=/^

2d x=jdx«

=»fi = e'

e, (x*+y!-*-2x)dx+2yexdy=0 esexacta ln(t*}= ; V

’ dy=

dy= 2y- Ln( y) =>ti = e’’M='MZ -

e,sdx+ (2xe’v- y ’ )dy= 0

»

3f(x,y) falque:

f(x,y)=Je? (x*+ y*-2x) dx+f( y) =é>x>+ e«/ +f(y ) ... (I) ^^ = 2 y e * +f '( y) =N = 2ye* => f(y) =0 => f( y) = c .-. eV+eV=c


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Puestoque ~ ~ ~ =2x+4y +4+2x+4 = 4x-t-4y+8=4 (x+y+2)

Derivadas parciales; — =8y +10x -4 ; — =4x+ 2y-1

ictor toma laforma;

Detetminam os el factor de integración según : tM, —

2y-’(x+ y+ 2) dx +(l -yV -y-'4 x-y -s)dy=0=» 3f( x,y ) tal

,

r 6y+6x—3

f^y )= í(7 +S!+; ) d>t=7 + 2 x + 7 +t W - w

2(2xIy5+5x,y -2 x:V+4x 3)dx+(2x5+2x*y-x‘ )dy= 0 => 3f(x,y) tal que: f( ^y )= 2j(2x1y!+5x‘y-2x \+4 x3)dx T-^ + f(y) = 1-y ‘V -y- 4x-y* =»f(y)

=1 -y "*

f(^y)=x*ys+2xV-x*y +2x* +f(y)

f(y)=J(1~y,)dy=>f(y)=y+p+c

-O )

= 2xV+2x“-X ‘+ f(y )= 2xa+2x*y-X 4=» f(y)= O =>f (y)=C

xY +2 x* y-x 4y+2x4=C 0

M=4y* + IOxy-4 y+8 ; N=2x*+2xy-x

3(x*+y ’)dx+x (x*+3y *+6 y)d y=0

M=3(x’ +y )=> — =6y; N=x’ +6xy+3x/ =»— =3x’ +6y+3y* fly di

!áL)LUCtO NARIQANÁ LISISMATEM ATICOIV

SCLUCIÛNARIOU-WLiilS ».UD.t.TIÜÛ IV f~ 1



1 Dete rmmwiijQSdfactor de intesiar ión segú n:

(3nJy - líx^yJ)dK+(Ex*-(ix3y)dy = 0

=» B f^ y) falque:

ff cy ) = J(a ^ -W )* = & V -3 * y - r f (y). .. (i ) .a„-

= Se*- 6* y -t-í^y) = eT3(x, +ys^d!t-H>E'^3 :s+ 3y1-HÓy)dy es exacta =* 3f(x,y) falque: f (>; y) = |3(K’ -H/ydxn - f (y) = (x3+3=^s)e' +f( y) ... (1) —

= (x3-H3xy1

x=eT +3xy V =s- f'( y) = 0

■H6xye>' +fr(y )= N

Ex*y-3x V =C 0

y (i -4-xy )dx—xriy = 0

ÊEELEW

-+f'(y) = xV ■+3xy1e>'

=!■ f(y ) = c Reemplazando en( 1) x( x V 3/ K -

©

M=y(l+xy) => ^ =l + 2xy ;

y( 3x -9y)d>t + 2x(x -3y) dy=Ü

=!>f"(y)= 0 =» f (y }= C

Reem plazandone( 1>

N=-x

"^ =_1

Como — *— noesexactB =t talcula moe el factor mtewaiite ñy íix rN ,-M

r -t —1—2xy

rdy

nr

^ = I t =1-7^ ^ =-2It =_SLTV M =S xy -V= »™ = fis-l 3y ; N=Ex*- tay= »^ =4 x -6 y

hy¿=

=» ¿r= y* r multiplicando a laecuació n -~l^)iyd x -- ^ dy = Q esorada =» 3f(*;y) fal que:

£M J5N Puerto qu e — =#— , determ inamos el laotnrde integ ració n

f(* ,y)= J^ d x+f(y)=^+ ^ +f (y ) ... (1} £ ^ = ^ d y + f'{y ) = N= ^ i => f( y) = Q =* f ( y ) =C

Estefactor rom a, laforma:

Reemplazand o enlaecuación( 1) Multiplicamosecuación la diferencial por este ; factor y volvemos la exa cta:

y"*" ® SQLUCIQNARIQANAUSISMATEMATICOIV ^

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©

Si — —

y(l+ xy) dbc -xdy=0

ln(|1)=f MrNM,ldx=J ^ ~ dx=- 2J ^ = - 2U>(x)=>P = x-1

M=y (.+xy) =» ^ = 1 +2xy; Puestoque^ K p=)

=-óxy*-6xy* =-12xy*

; determinamos el factorde integració n. =J [T S(y) ]dy= üi[sec(y )] =»|i = Sec(y)

x"*(x+y *) 3f (x,y ) tal que f (x,y )= J^j dy =^ +f (x)

Sec(y)dx+[Sec(y)xl$(y) -2Sec«(y)]dy=0 => 3f(x,y) tal qi f(x,y)=JSec(y)d)e=Sec(y)x+f(y) ...(1) =xSec(y)Tfc(y)+r (y ) = N =*f(x)=J^=U.(x>,C xSec(y)Ts(y)+qy )=-2Sec* (y)+xSBc(y)T s(y)= »f(y)= -2Se c*(y ) f(y) =-2jSec,(y)dy=-2TS(y)+C En(l): ec(y)x-2TS(y)=C 0

[x4üi(x) -2xy,]dx +3x,y,dy =0

y


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0

O

2(x+y)(Sec*x+Tgx)
r..

* ., # * »«,

•ídx +[ y1-ln(x)] dy=0

) _

I n - tw

2 , s« - » lax OM « N Como — * — no es exacta df Ac Calculando el factor integrante; WM ) = J it¿

% =J^dy=-2j^=-

2ü,( y )^,=

u=eum^*.=1SxE*. Multiplicandoaecuación al dada. 2(x+y)(Sec’x+T¡p<)Tg x.e*‘dx+Tg!Xje K‘dy=0, esexacta => 3f(x,y) talque;

j^ d x^ y

jdy = O, esexacta => 3f(x,y) ta

f(x,y)=jT g’xJe,»dy+f( x)=yTS,xe*«+f(x)=M ... 0) = 2yTg>cSecW

+SyTg'xe’*+f '(x)= M

f M = Jxy^ = y^ + f ( y ) - o) Derivamos respecto ya e igualam os a N;

2yTS>cSe^ xt?-'+2y Tíx^'+fl(^ = 3(x+^(Sec?x+Tgx)Tgx.^* 2y(Se^x+Tgx)TsxE^ +f'(x) =2y(Sec,x+TSx)Tgx.e*' -t^Sec'x+TsxjTsx«?* fI(x)=2x(Se¿,x+1^x)Tgx^‘

=»

f(x)=xTS'xefc

Reemplazando en laecuación (1) yTg’xe**+xTg,xje**=C

f(y)=J(y)dv=»f(y)=Y+c

(x+yjTg’xe*“ =C I SOLUOONARIOAMAUS JSMATEMATICO( V


y-

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o

©

xdy+yctx=y'cb!

xd y+ ^- y’ Jdx

;

M= y-y*

;

xdy -yd)c+ (x' +y,)dx=0

N= Dividiendo laecuacióndiferen cial e ntrex1+y*

Déterminâm es el factor de egraciónsegún: int

d(flrctSi ) +dx = 0 ; Jdâ«cts^j+Jd

«:TS 2 = c-x

Laecuacióndiferenc ial: (l-y)*

1-y

f M =Jf^=

3f(x,y)talqi

’ -¡ ^+f(y)

-O)

=>

^ = Tg (c -x )

y= xTgx (c-x) O

3xdy = 2ydx—xyCos (x)dx

Derivamos con respecto y e aigualamos a N:

=2ydx-xyCos(x)dx=»[2y-xyCos(x)jdx-3xdy

Reemplazando en (1)

M = 2y-xyCoa(x) ;

xy = c (l -y )


N=-3x


1

Derivadas parciales;

O

— = 2-xCos(x) - — =-3 Como —*—
, , u .( k )

e'(x+l )dx+( ye' -X E*) dy= 0

no es exacta

ÍM = e*(x+1) ^ lN =ye !'-xe' ^

N .2-xCoe(xW3 5 ,dx 1, = J-V- a = J -------a/ x +s /0 * ^ ^(M )=-|t "(x)^S en(x)^Ln( Mx- )= Js en( x)

JKEEELIU [aM ay " como M * <7N no es exacta ^ =_e »(x +1 ) ' ^ gy * ^ ’1X3^ exaaa

Calculando el factor integrante

M=x- eH- fl|

ltW= JN*~Ml,cfcc= J~ee^~J |) ^dy = -J d y= -y

Al multiplicar estefactorlaecuacióndiferenc en ial;

ü\u = -y

[2y x^1e^^'1 -x-,'V «( x )e ^] d x -3 x ê 5-< ^d y= 0

=> /i=e~r ; multiplicando a laecuación

é'", (x+ 1)d x+( y-x ¡e‘ ",) dy =O tesexacta entonces 3f(x,y) tal que f(x,y )=J(y -xeI' ')dy+ f(x)

Estaecuación es exacta. f(x,y)=-£+xe~>'+f(x)

f (x,y)=-j3 x-VW '5dy = -3 x« e“« "y +f (x ) ...0)

-0 )

Derivamos con respecto aigualam x e os aM; ^-'(x+ 1)+ f1(x)^ '(x+l)

= -2x^ ,e“ í'>1y-x-" 1,e“ ^yCo a(x)+f(y) = M _ar *V*w'\ - x -» V ,'W,'yCos(x)+t(y) -2yx^"e*^>"-x -‘,‘yCaa (x)ea ”Ma

1

=» f'(x)=0 =» f(x)=C

Reemplazando en laecuación (1 ) — + xe*"t =C 2

fty)=o=»f(y)=c Reem plazando en )(1 3jrMjeS~»i=c

O

y( *xy +3)d x+x( 3xy +2)d y=0

— — 1 www.Solucionarios.net

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B modelodel factor, (i =x"y*

xrix-t-)*Jxé xdy-ydx

v7T7+

En laecuacióndifere ncial: (4x"-’y~' +3 x'V ‘')dx+(3x”*,y'*' +2 x*-y )dy= 0 De donde: M=4 x” ‘V” +3x’V“,; N=3x~ V""+ 2x~ Vn Secumple: N, = Mt

J^ 7 ' 2ydx-xtfy=xy,dy

M, =4(n+2)x"V<+3(n+l)x*y* N,=3(m+2)x'v‘’y"*, +2 (m+l )x”y n 4(n+2)=3(m+2)=>4n-3m+2=0 3(n+l)=2(m+t)=>3n-2mvl=0

2ydx-xdy=xy3dy=»2ydx-(xy1+x)dy M=2y=»^

N=-xy’-x => ^=-y l-1

ji= x-y ’ =* 2x" +y"*Hc -( x~ Y~ >+x *"V )d y= O

f(x,y)=J(4xV+3xV)dx+f(y) f(x, y)=xV+x V +f (y...O) )

Mt = 2xV ( h+1) ; N„=-(m+l)x"y~,-(m+1)

|í = 3xV +2xV+ f(y) =N 3*V

=2 ;

— *— : determinamos el factor de integración Aí

(4xV1+3xV,)dx+(3xV,+2x:ly)dy=0

2(m+l)=-m-1->n=-l

+f (y)= 3* Y + 2*^9*p+f y f(y)=J(o)dy=C

Eh (1): xV + x Y =C

2x-'dx-(y*+y-’)dy=0 f( x-y )= í ^ = 2Lnx+f (y )=° - co

xdx+yrjy xdy-ydx_

fT)

w

7777

*

£ = f(y) = N^.f( y) = -y* -^

i

SOLUCJONARIOANALISISMATEMATICWO


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1 -xdy+(x1-2x,y+y)dx=0=»^-x*+2xy-y/x=0

souxnóN

-^+(2x-1/x)y=x* Ec.Lineal: P(x )=2 x-i ; Q(x)= x'

Ec. Lineal en términos dex: p(x)=-e* Q(x)= JjSe n^j-e >C os^j

.

y-

y ^ x)*[Je,<’,)'‘‘Q(X )dx-t-c]

y=

Q(x) dx+cj =e"f

(xs)dx+c ]

y = e ^ [ | c - ^ (x*)dx+c] - e H V ^ J e V + ^ J d x + c ]

) - e-C o. g J|dx+c ]

y=x e'<‘\j+x* (x*)dx+c] = xe"#[Je'xdx+c]

Hacemos u=x’ => du=2xdx Integramo s por partea laprimera integral:

1 j IV Como y = Cas (0) => CosO= xe-*‘ — +c

u =e-' =»du = -c'cv dK v=J^-l sen^-jdx=Cos^j y =e‘ |ê_"'Coa^ j+Je ‘v,e,Cos ^jd x-J e‘ ve*Co8î jdx +cj

O

x’dy+xydx=8x2Cos, (x)dx

y=e*‘ |V CbsÎ j+cj= CosQj+Ce*' x'dy+xydx=8xaCos’ (x)dx arreglamos dividiendo entre x*dx: xSen(8)d8+jV -2x*Cas(8)+Cos(8)]dx=0 f

~,PTr~,,-T^ g

xSen(8)^+>c, -2x ,Co8(0)+Co6(0)=O Ahorahacemos y= Cos(B) ;

| —

dy = -Sen(0)dB

^ + ^= 8Co s'( x) de donde:

Ec. Lineal entérminos de x:

P = - ; Q=8Cos* (x )

Ecuación lineal: y=e -Í K 'í« ^cI ^ ,*'Q(x)dx+cJ =e-í * ^ ci®(8)C05«(x)dK+Cj

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y =e"“^ [sJe^MCos 1 (x)dx+c]

y = e ^ [J e ^ V d x +c] = e ^> [J e w<~V dx+ c]

y = e“i<) r [ 8Jx[UC^^ 2 X)]dx -c] = )f1[4jx[UCoe(2x)]dx+c]

y = x »[ j3rtc 4dx+c]=x>[Jx dx+ c ]^ y = x * [¿ +c ]

y= x-’ [4jxdx+4jxCos(2x)dx+c] 0

dy=XJ (4x*y+3x4y-' +257y7+ 768 /+864y3+ 432y+81yJ }dx

Adecuarl o de tal ma neraque tome lafor ma de ima ecuación lineai.

y = ^ 2 x , +4 Q s en(2 x)-4 ^]jS cn( 2x) dx +cJ O

í - K Ô

,

Dividimos entrexdx cada término . (x5+3y)dx-xdy=0=5>^

^ -f= x ^p (x )= -| ;

- S a .

[/. i— q í . j^ . c ]

*c ;

=-x, +2Z

Q(x)=x4 r -s ™ (*)[j '2^^ldx*

y = e -/ ^ g e ^ Q (x )d x +c ] =e / ^ [ / .+ - (* • )* +c]

cj»y-S«.

(K)[f o* (x)dx*c]

y=Sen(x)[Sen(x)+C]^y=CSen(x)+Sen,(x)

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O

Cce(y)dx =[xSen(y)-t-Tg(y)]dy

y = e -í '^ [| «í '^ Q (x )d ,c +c ]= e- S [ | e C ^ ¡ j í +c ] Dividimo s entreCos(y) cada térm ino.

©

=c(y) [TÍ!( y)dy+C]=Se c(y)(li, [Sec(y)] +C}

x( ,-x*)^- y+axJ =

x(, _ x. ) ^ _y+ax» =0=3 +_ ï _ dx x(x '-l) x(x ‘ -l ) \ >dx

o í«4* yV/cí-i** Ecuación lineal: [ f ef ^ Q( x ) c bc + c] = « f ^ [ j . ^ «£ £+ <

Arregla mos laexpres iónanterior linea a l con respec to a:

x (x «- .) = j


-

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x= 0= »A = -t : x=1 =» B =2

: x=-1=>C=-¡ 2

dx | xy _ y’

Luego: r d x __ rdx 1r dx I f du Jx( x‘-l)~ * X " V x - l + 2Jx+1

x = e -i ^ [j e f^ Q (y )d y + c ]= e i^ | je -,^ I > +cj

y- i'7râ[)*'!4J7 Î* c]- 7r â[ i(^ f* c]

x = ^ [ j ^ ) ^ +c]

Integ raciónporparte s: U= x* => rhj=‘2xdx¡ v=f—XI*ÎC.„ t= xl -1 =* dt=2xtbt -

V " 1)

=

y= ^=^ £-a xVx *-1 +2 aJ\ /x, -1xdx+cJ

*/7Tt¿£fÍL+cUy, =77~r

y=Sec(«)=>dy = Sec(e)rilg(0)dS y‘ -1=Sec’ (e)-l= Tfc! (e) rSec' (0)T;

x= V7 rî J X = ^ J

n*(e)cos(e)4 f Cos(e)de

0(y‘-l)
.... J

W ieicosifii

:='^ [ic ^ ë )+i ï ^ f +c]='/yrn[ü’isec^ +1,st6)3-c scw+c]

ec(0) = y Dividimos entre (y*- 1)


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1 De donde:

»/y*+1 =-Cos(y)+C=> xVy’ +ICoB(y)=C x = V 7 ^ ^ ( y + V 7 r-í ) - ^ - L - + c j

0

x= V y* -i[ Ln (y +V y* -i)+ c]- y

0

Í+ yC os (x) = Sen(x)Cos(x)

(l+y«}dl{=[V77ÍSen(y)-)cy]dy

^+yCos(x)=Sen(x)Cos(x) Ecuación lineal; * P(y)=Cos(x) ¡

Arreslam oe laexpre siónanteriorlinea a l con respecto a x.

Q(y)=Sen{x)Cos(x)

y=e-/,(<)*[eí,(’‘)'kQ(x)dx+ c ]= e -í ^ * ‘[ | e i^ )-Sen(x)CoB(x)dx+c ]

Dividimos entre íl + y5 ) cada término.

y= e^> [je^ >S en (x)C os(x )dX+c] Integraciónporpartes:

1*7S - S I - ' M T f e . - W

y =e-a"(’‘)[eI^*lSen(x )- «“ *4+c]=cfe*"w +Sen (x)-1

Ecuación lineal: x=e-í ’« * [j e ^ Q (y )d y +c ]= e'f^ [ j ^

„> | p

4MH y )» .,-j

. “7yr.

® "f c¡ S +c ]

sj(y )dy

e"**

u=Sen(x)=»du=Cos(x)dx v*je^Ccs(x)dx=

-J B I O

^[xCos(y)+aSen(2y)]=1

^ eüüelzv

„j

Arreglamos laexpresi ónanterior a lineal con respecto a x. ^[xCos(y)+aSen(2y)]=1 =* J =xCoe(y)+aSen(2y)

B —

—

—


1

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^-xC bs(y)=a Sen(2 y)=>P(y )=-Ct»(y ) ; Q(y)=aSen( 2y)

©

| + xy=2x

Ecuación lineal:

| +xy=2x^P(

x)=x;Q( x)=:

y = e-W * jj, e ^ Q (x)dx +c j=e -t" [j e*“ (2x )dx+ cJ

u=Sen(y)=»du=Cos(y)dy ; v=Jc‘^Cos(y)dy = -e'**

y =e-'™ [2je*’'*x dx +c ]=e -v' [ae*'11+c ] y=Ce~Vl +2

x =e“ 1^ [-2ae"“ ^T*-2ae"“ ^ +c ]= Ce“ ^ - 2a[l+Sen(y)]

O

£ + y« S« ( *) x*dy-Sen(2x)dx+3xydx=0 dividimosentre dx yx* ^ +^ = S ^ x }^ p( x) = 3 Q( x) = Sen( 2x) * +y=Sen(x )=*

P(x)=1 ; Q(x) =Sen(x)

Ecuación lineal: y =e 'J* * [j e í ^ Q (x )dx +c j= «+ ■ [*Sen Jef (x )dx+cj y.e -Q¿'S en( x)d x+c ]-e'^ (s«r .(x)-C iB(x))+ cj-O e-+^ [sen (x)-C 0«(x)] y= x-1[JxSen(2x)dx+c] u=x du=dx v=JSen(2x) dx = _ Coe(2xl

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]L_ j xCce(2x) jCos(2x)dx cJ

w

dx

^

x€os(2x) Sen(2x) ^

2x

' «M

-è

©

(x*+l) dy=(x3 +xy +x)d x

“

‘“

pW

- Â

iQ M

-

y = «- í’M*[j* í w ‘Q(x)
Dividimosentrex; y =V 7+ Î jV 7 + î + cj =X*+1+c /7 +î

—


T

"

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w

dx 1- x’

* -M-i- ■«M-1

p(x)=i=?:Q(x )=i Ì

iónlineai: y =e f’N* |^JJ ‘*Q( x) dcj x+ =*y =e^ ÌH “ | J e^H *
y= e- ^> -[| ei ^> “Q(x)dx+ c]

y =e^ [ f ^ d x +c ] =e,+ V [f«K» )e-d K+ c ]= £ [f x r- d x +c ] Se integrapor partes: u=x=>du=d>r; v=Je"'dx = -e '' y = £ [- x e ~ +dx+C] y = V Ì-x T^ J ^

----— +c ]

x = Sen(0)=>dx = Coa(e)d6

;

SuaHudàn tliymomtote»

y= £ [-x E~ + Je ~ d x+ c] =£ [-x e ~ -e ~ + C ]= * y= Ì£ -1 -.2

1-x'=Cas‘(e)

y=v r 7 [ r i ^ +c l = ^ i f ^ l 6+cl

O

2xdy=[y-3x*Ln( x)]dx

- = ^ [ t í M =^ [Ts(e)+c] o: Sen(fi)=x y = ^

,+c hx+cV T^

pM=-¿ ; q(x)= 5-|xUi
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1

1

Ecuación lineal:

dx

2x+1

v = e -^ ^ [j e ,^ t*‘Q(x)dX+c]= »y =e í- J je 'í -^- |x Ln (x) jdX+.cj y =e"^ [- Je ^ t (xSen( x)) dx+c]=x[-Je

^-'(ên (x))d x+c]

y =x[-J x“'xSen(x)dx+c] =x[-JSen(x)dx+ c] y=x[CDB(x)+ C]=> y = xC 08(x)+Cx

dy_2y+(2x-1)e‘ dx 2x+l Arreglamos laecuación: ± =- !3L=( gx- 1K => Wx)____! _ . of ,),í!ízll£ dx 2x+ l 2x+1 v’ 2x+1 k’ 2x+ l

©

£♦*.

(«) -£

2—

« - ?

Aireglanoa s laecuación: *-|=-xSen(x)

=> P(x)=-1 ; Q(x)=-xSen(x)

Ecuación lineal: y = e * ^ jjeJ* *Q(x )dx+c ]=s.y = e ^ | je '£ (-xSen(x) +C)dx J y -.■« [ - J e ^ (xSen(x))dK+c]= x[-| e1+ ,)(xSen (x)) dx+C]

Integramo s por paites en lasegunda integ ral:

y = X[-J x'VSen (x)dx + C] = x[-|Sen(x)d>c+c]

- 1 . « 1* u=e => e ;

r 2dx -1 J (fcc+1)* 2x+l

y = x[Cca(x) +C=> ] y = xCca(x) +Cx

“


■“

I

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dx x x—2

¿ü-(x+l)y=x*+4x+ 2

Arreglamos laecuación:

=»

P(x)= -(x+l) ; Q(x)=x’ +4x+2

y= e-í ’(^ [ j e í ,'^Q (x )d x + c] = Jl~ ^ [ f e - ^ ^ (x* +4x+2)dx+C]

>oM-¿i

y=e*’'*-'[je-r‘/,-*(x’ +4x +3 -l)d x+c ] y=e*’,***[Jev »~ [(x +l )(x +3 )-l]d x-t -c]

Ecuación lineal: * [j<^Q (x)d* + c] = »y

y = e/~ [ Je- “ ‘ (x+1 )(x +3 )dbc- Je - ’ •‘-d x+ c]

J L a>

Integramos por partes laprimera integral: u=x+ 3 =>

du=dx ¡

v=Je"*‘'^"(x+1)dx

y =e’tV*~[- (x+ 3) e -’" -Je+r- ’^d x -J e-'^d x+c]

y ^ ^ J j^ ^ d X H -c ]

'■át/frjGáM'áD'H ■*

0

(x -2 )y =x( x+C )

dy -( x+ l ) yd x_^ x +4x+2

O

(** +2x-l)y'- (x+l)y=x-

Dividimospor (x1+2x-l) cad a término dx x*+2 x-l = x*+2x-1 ’ PW =

V r r l f =d x= >d y- (x +1 ) yd x = ( xl- f 4x+g ) dx


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j

y- «-* *4“ I

y-| y = -l W x ’ +2x -l[C-IJi[S ec(e)+ 1^(e)]+ Cac(e )]

f-¿ ü+ w '

= n,x,+2x—1 f (X*1)dX„ ,- --------8f : |^J (x*+2x -1) J[(x+l)*- 2]

De donde;

+ l=Æec(e)=»dx=>/2Sec(e)Ts(e)d0

y = -l W x ! -2 x -l c-Lnx+l+ Vx’ +S x-l 1

— VI—

^TIS Ti

c+1)’- 2 = 2Secs(0) - 2= 2Tg* (0)

y=o/ xI +2 x-1 -t-x-V ^ +2 x-On |x+ lWx ’ + 2x- lJ

[VgSec(8)Tg(e)d6 I

ï 2J p * « r +CJ f ..-rr^

r-rr

«

'T f ©

(x+1) dy-[ 2y+(x+l )‘]dx=0

fSec(8)rr8(e)dB 1

i

i L Vx*+ 2x-î

WP)+CJ fSec?
J

Dividimos por dx cada término.

(x+1\á!_2y- (x +l)4= 0 = 3 í- ^ =(x+1)* v

'dx

'

’

dx x+l

'

y=Vx>+2x -ly xi +2xJ, "ÍSerf(0)008(6) +C] se-í-<^ rje í^ * Q(x) dx +cl =e Ue'K ^ (x+ I)5dx+cl f f ! MULUCION AWOANA llSISMATEMA TICOIV


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y = ^ [ f « - ^ - » ( x +1]TdK+c ] y =eM - r [j e« M , (x+ l), dX+c] y- & c+l f [f $ i + l f > +l fi fc +c] y = (x+l )’ [J( x+ l)dX+c ] = (x+l ), J ^ Í L +cJ

O

u=> r,’'=s.du=— Í L 2xjx

Jdi,(x> 5 -[ 1+t/i(x)> +'Y [2+ü'(x)]=0

; v=l — ^ — ----= 1— Ln(x) *xLn (x)

liJCSO:

H

y- ^ (4 7 ^ ) ^ r o ^ ) ' - fä 3 ^ ) +c]=^ 4 75"fci ) Dividimos por xLn(x ) cada término.

y=Cxü i(x)+Vx

dy [l+I*(x )]yfÆ [2+ü ,(x)]_o dx xLn(x) 2xLn(x) dy |ï+Ln(x)]y dx xln(x )

O

y'-y=2xe *"'

7xf2+Ln(x) ] 2xLn(x)

Ecuaciónlineal:

Ecuaciónlineal:p ( x ) = - 1q ( x ) = 2 xe * " “ y = e - ^ [j e í ,<^Q (x )d x+c ]

y = e -^ * '[ jeí'l^Q( x) dx +c ] = eí,fc[ j e-í*(2x)e“ A ‘ +c ] y = e*[zj xe"*e*"' dx+c] = 2J e*[xe1*dx+c] = eT [e1 c] *+

.

rû(«)VMî'/x[2+ln(x)]^ [ J 2xln(x)

1 J

c

xy'= y+x ,Sen(x)

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_



1

r xy'= y+ x«Sen(x)

L e ’^

2^* * - x ) d x „

=» ^- 2 =x S cn (x )

Ecuación lineal: p(x )= —1 q( x) = xSen(x) y =e ' ^ j j e ^ Q Í x ) dx + cj =e ^ |j c' ^ { x) Sen(x) j *Cdx

y

y = e-M jJ e*^(x)Sen(x)d x+C ]= x[ j e^'»(x)Sen (x)dx+ c]

=^ it f (8 x- ' >dsc+C] =^ i ( x,- x+C )

y=x [jSe n(x )dx+ c]= x[c - cos(x)] 0 0

x( x- 1) y' +y=

ylC 08(y) +Sen (y)=x+1

( 2x-1) y'Coe(y)+Sen(y)=x+1 zV z = x+ 1

Íx -1If)v'+ - x-x, Í2^x2- xi WlJ=y V ___ ^í)a x x(x ir v+y »y__ + —x(x_nj -

1 i __ 2+ __ _ íSSzl) x(x_»' n)+ =*y x(x_ , ) - x_

1

z = e - í ^ [j

Ecuación lineal: P(x) = - ^ ; Q(x)

Hacemos z=Sen (y)=>z' = CoB{y)y'

Ecuación lineal entérminosde z. p(x) = 1 ; q(x)=x+l (x Jebe+C]=e- í,k[jeí* (x +1)dx +C]

Sen(y) = e- [fe*(x+1)dx+C] Integración por partes; u = x+1 =» du = dx ; v= je *d x=e*

y = e ^ [ j J W Q(x)dx+ c ] = e ^ | / ^ ^ ^ * c J

Sen(y)=¿- [(x +1 )^- J íd x + c]=» Sen(y)=e* [(x 1 )+ ¿ -c] Sen(y)=x +Ce-

y

j l Ü Z Z Ü ¿ l ! l ± +C

0

y,+Se n(y )+xCos(y) +x= 0 Sqg:

Sen(2y) =2Sen

—

.......H

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1

O

y,-7 h y=e *(x+1)‘

y,+Sen(y)+xCos(y)+x=0 ZüEKST Ecuación lineal: P ( * )= -^ ¡ ; q (x)=e*(x+1)* yV2Sen (| )c o ^| J+ BxCQ5* (| ]- x +x =0 y= e-Jpt*>k[j J ^ Q (x )d x + c]= / " [ e ^ í (x +l )* a« -c] y = e ^ J) [J e ^ -V (x + t) 'd x + c ] Dividim os entre Co¿

j:

y=e,J+-,r J j e“'M V (x + l) ‘d x+c] = (x+ l)r[ J(x +ir e* (x+ lJ’ dx+c]

ySec,( | ] +2TS[| ]+ 2x=0 Hacemos

y= (x +l )‘ [Je’,dx +c ]=( x+ l)’ [e‘ +c ]

o

z = T* (j)= *z '=is ec *(| )y'

(yl -y)dx +(x y,+ x-y ,+1) dy =0

2z'+2z+2x=0=>z'+z=-x Ecuación lineal entérminos de z.

p (x )= l ; q( x)= -1

(y1-y) dx +( xy 1+x-y *+ l}d y= 0

z= e-J*9* [jeí^ Qfx Jdx * cj=«í * [ j ( - x ) d x+c j Tê-[I*(-X)á*+C]

Integración por partes: u= x=>du=dx ; « (I) =« *O ' *K*+

v=Je*dx=e* «] >* t (s |

Arreglamos entérminos de x:

0 dxix(y t^ ) 1 y (y * -i) y( y* -i) y( y * -i) y +i Ecuació n linea l entérmin os dex: p( y -----|=— — ; q(y)=— y(y *-i ) y

) [ * - * * +c]

—


—

H

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Mecfiantefracciones parciales:

y*+i y(y*-' y=0 => A= -1 ; y=l =»B=1 ; y=-l=»C=l

y

=

j"

dx+Cj

Luego: r _s y

/í = a 2 ^ ] _ J ^

[(a i(^ c ]

xySen(x) = Sen(x)+C =*(xy-1)Sen(x)=C [x+S en( y)- lJdy+Coe(y)dx = 0

x(y* -l)= y*+ l+C y Cosyí?+x+Seny-1=0 =» Cosy^+x=l-Seny

O

xf +ytxCrsW+1]=CISW

— + x = , ~Seny dy Cosy Cosy

+ y[xCT g( x)+ lj =C Tg (x ) Arrestemos entérminos deyt ± +[c rS ( X)+ i]y=ÍM

í)=»P (x )=cr S(x )+ J Q (X)= £^ Í

y =e'í^> k^ eK> “Q (X)dX+cj


Ecuación lineal enx

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1

1 x(Secy+Tgy) = J{Secy+Tgy)(Secy-Tgy)dy+c

x = e -í < »* [je ^< * y) d y +C]

x(Secy+Tgy) = J(sec*y-TS,y)dyH-c

x=

e 1! ^ “ ye’dy- C = e“«[ f e ^V 'dy -c]

x(Secy+Tgy) = Jdy+c= y+c x(Secy+Tgy)=y+c 0

( e '- 2 x y ) y '= y *

X = y [ f e ' d y +y =C ( ¿] ' + C)

0

x^ - 3y= x<

(eT -2xy )y ' = y1 Arreglamos en términos de * e.’-2xy=y , dd—xy = > ddxy- +2yx y= e*r

;wP (y , y 2=

w; Qy,y e=T -

x ^ - 3y =x4 Arreglamosen términosdex: ; P(y ) = ^

; Q(y) =* >

y = e-Í V )- [j e/ ^ Q(x )dX+c] y = e '^ ^J e '^ ^d x+ cj =e‘*t<' l[J e ^ 'i x ,dx+C]

xs -^ Qe 'd y+ c] Integracióndirecta;

y =xJ[Je “M xIdx+ c] =xJ[Jx Jx,d x+ c]= x1(Jdx+c) y =x>(x+C) O

y- xy' =y' yV y-xy '=y'y 'er Arreglamos entérminosde x: y ^ -x = y V = > ^ -í = y e » ; P(y )=p

0

| +> Qs( x)= 2x Cs c( x)

¡ Q(y)=y e’ _

1

—

--

--------------------------


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2 +>0 8(x)=2 xCsc( x) ;

P(x)=Og(x) ; Q(x)=2xttc(x) Ecuación lineal: P(x)= 1; Q(x)=2x e- ‘ +x’

cuación lineal: y = e ^[ jJ * * * Q (x )d > c +c ]

y =e "^ * [ jeí^QfxJdx+C J

y =e-W«)*

y=e'J*[jei *(2xE-* +x,)dx +c]= e^[Je T(2xe"' +x*)dx+c]

y

(2x)Csc(x)dx +C] [Je* “*»1(2x)0sc(x)dx -C J

y =e“t,"**W' [JSen(x)(2x)Csc(x)dx +c ]

y= e-[f

(W e> + c]

PeroSen(x)ttc(x)=1 u=x * => du=2xdx ; v=Jexdx=e *

y =[Sen(x)J"’Q(2x)dx+c]i»yi=Cxic(x)(x’ +C)

y= eJ,[x! +xV - J(2x e'')dx+c]=e-[x*+x,e’ -

C W

+v =— — ch e !sr 1+p,x

o

(l+x‘)dy+ 2xydx=Ctg(x)d x

ineal: p( x) =1 j C K * ) - ^ y = e -^ -[ je i^ Q (x )d x +c ]

y= e’f’*"* *' ^J j

j

(x)dx+C

„.«( fj B rw M 1 SOLU CJON ARIOAN ALISISMATEM ATICO W


2x¡ex-2ex+c]

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1

J

y=e-^)

(x+í)* ^ +4x>r+8y-6=0=>A+_l L =_ É _ dx x+2 (x+2) ' dx

{j e^ ) [^ ]d X+Cj

** P^ “x+ 2 ' Q(X)_(7 ^ f y= Wo?L f^ (x)d)t+C] ©

y=e-í^[jef^Q(x)dx+c]

(b,[Sen (x)]+C}

y=e-f^freí^_ÉáL.+cl

(x1+3y)dx-xdy=0

L

( ~ 2)

J

= €-M -> [í e« * - ) _ 6 * L + c | LJ (-*) J

y=(x+2)“ ‘[j 6{ x+2), dx-(-c]=(x-f2)-,[2(x+2)J+c x dx ^ x ’+ Sy=>*-£=x dx x < Ecuación lineal: P(x )= ~ ; Q(x)=x* y=c-^[|

©

(2xy+x* +* 1)dx-(l+x*)dy=0

^Q (x)dx+ C]

y = e ^ Je 4?(x* )dx +c ] = e^ ( } e-^( x«) dx+c] y=e^ ) [ je^ )( x 4)dX+c]=X-[f{x- )(x*)[f(x)dx+c]= x> (¿ +c]

0

]

(2xy+x* +x‘ )dx-(l+x , )dy=0 Arrestemos dividiendo entre dx: («■+l)|-2

xy -x*-*-0*£

de donde:?=- £x^+1 - , ’ Ecuación lineal:

2(2xy +4y-3)dx+(x+2)’dy=0

^ y = iJ£

Q=4¿£ x* +1

y = e í * * [j eí^ ‘*‘Q(x)dx+cj

■PTITTiTÍ

y-

Arrcslamos dividiendo entre dx:

--

---------------------

M

f e^^dxJ [J -77T


J

m

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H O

(y-x+xyCtgx) dx+xdy=0

x | +y -x +xy0gx=0 x ^ + (l+xCtgx)y=x

y= (x, +l)[x -Ar cl8 (x)+C]

O

^ + ^ + C ts x jy = 1, ecuaciónlineal en y [y-Cos* (x)jdx-f Cca(x)dy=0

y.. ^[ jJ0H^c] <*+c]

Arreglan** dividiendo entred x;C os( xj^ + y-Cos* (x) = 0

y = e ^ [ / c^

£+dfo=Co6(x) dedondcp=cdf t:“ M

dx+c]

y=¿[íxSenxdx+c]

Ecuación lineal:

xySenx=-xCoex+Senx+c y = e ^ [ j e í ^ Q ( x ) d x +c ]

o

y=c"f5*™'^Jeâj“LCosxdx+cJ

8y(/-x)dy=dx

y=e-^.M|-jcu*!».MCosxrix+cj y=Ü^ U (SeOt+MC0SXdX+C]

£ =2y(y* -x ) =» ^+ 2y x= 2y J Ec. lineal enx

y (Secx+Tgx) = J(1+Sen«)dx+c

x=e M [Je ^8 y» dy +c ] = ^ [/ ^ V d y +c]

y(Seot+Tgx)=x-Cosx+C 1

www.edlApcfli.cani IONARIOANAUSIS MATEM ASOLUC TICOIV ^

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owmun

L..Ü S * !Sg

X= er»' jVe*' -e*’ +c j= y*-1 +ce-y‘

x = Sa?y[| Coafydy+c]

x= / -l + œ v ©

x = S e c v [ j l ^ d y +c ] = S e c v [ | Ä +c ]

(1+x y)dx -(l +x’)dy=0

2xCoe,y = y + ^ ^ + C 2xCos’y = y +——

fl-t-x1)— -(l+ xy) =0 ' dx ^ '

=>& ------î _ y = _ l _ dx l+ x 1 +x

0

^+ C

[l+Co8 (x)]y' =Sen(x)[Sai (x)+Sen(x) Coa(x)-y ]

[1+Cos(x)]/=Sen(x)[Sen(x )+Sm( x)Co8 (x)-y] Arreglamos: dy Sen(x)[Sen(x)+Sen(x)Coa(x)] ySen(x) dx ~ 1+Cös(x) 1+Coa(x) r+e/i+j?

o

dy fl+ Cos(x)]Sai*(x) ySen(x) ^ dy | Sen(x) dx l+Cos(x) I +Cos(x) dx l+Ois fx)

d x- (J+2xlSy)dy = 0

Q=Sen*(x) y = e ^ [ j ef « ‘ ‘Q(x)dx+ c] — -(2Tgy)x = l Lineal enx

(x)dx4-c I

x = e,ü'*s~'>[Je-"«* »dy+ c]


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i y =e^ [ | ^ W

( x ) * . c ]

O

y = [l > c 0 6 (x )] | j^ ^ + c j= [u c 0 6 (x )] | ji 11 ^ j ^ > c j

(** +<)y' -(t- *)*y =»■*

(x* +l)y ,-(l -x )' y = X E - Arreglamos dividiendo entre (x*+ l): a , d ”a " - F

^ -°

^ 5

Ecuación lineal:

y=[l+C oo(x)] [j[l-C oa(x )3dx +c]= [l+C cia(x )][x-S en{x )+C]

y = e -f ^ [j e i^ Q (x )d x +c ] o ^

ezelübí

1

y'= e'fÂ jje fê (x -t) <| x4 c] y, =e^ H [ J e^ ) (x_ 1)dx+c]

...y=¿ Z l£ +CUl|x-1|

- ^

- - v I


“

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l+v'l-x* je*

y= -? 7 ïl

0

V“

xSenx^+(Senx+xCosx)y=xE*

- ** • ' <* x V T7 Ecuación lineal:

-*

[i*

s: *“]

, P(x)= —

1

—

1

(lW l-x< )

; ( x)=-^--------------e* q

En laintestai del exponente : x=1/ t

=»
* l lr H h î. c]

y_ 1 SOLUCION ARIOAN ALISISMATEM ATICOIV

|e-H^)ir! E£ l£i+cJ


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[

J

(sec'6) j

dy

!_ I secO J

____L_ => *J ^ lz= ___ i _ Sen*y Sen1(y) dy Sen*y Sen’(y

Ecuación lineal érminos ent de z:

y ’ =>/77 i

c4l 'í] *^ v?Ti J

LJ

^ (y ) J

:- ln (x +V?7Í)+ - ^ _

**mCI«(y{-íi^7)+c]*as{y)K^(y)3+ c} ©

(xy*)"= (xy)1(x1+l)

dy 4S0n‘ (y) dx x*+xTg(y) dx Tg(y) x» dx“ x5+ x T g (y )dy“ 4S en*(y) ^d y 4SenVX 4Sen”(y)

(VK*y)V+1) y1+2xy ^ =(xy)’ (j? +l ) dividimcs entre2xycadatérmino.

Sustituimos enlaecuacióndiferencial: 1 .dn TB( y) 4dy 4Sena y

i3 í+ -I » i^ / W + 'l ) Ec. de Bemoulli ccn n= 2 dx 2x 2 ' ’

x» 4Sen! (y )

I SOLUC.W NARIOANALISIS MATEMA TICO N


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O

» .«8

(x +y,) +6xy V=o

+l ]d í+ cj »" . .i " [j« + V (<■ (x+y1)+6xyV=0 — + - - =— í- Bc.de Bemoulli con n = 2 dx 6x 6y

^

dy->Sen (x)dx=yln[y ec”,’‘,]dx

dx 6x=__L fiy1 =>*->2! dx 6x

dy-ySen(x)dx »yLnfye^Jdx Arreglam os dividiendo entrexy toda laecuación: = 3 -y Sen( x) =yü.( y)+ yLn [e^] -Sen (x) = Ln(y)-i-Coe(x)Hacemosz=Ln(y) => d ^ -Sen(x)=z+ Cos (x)=> ^-z= Sen( x) +Cos(x)

„.M

EcXineal:

r. - : - * «]

z . ef*‘[jeí'*'(sen(x)+Q»íx))dx+c ] . e“[/e-' S «( X) Ln(y) =Ke*Ccs(x) =»y =e‘*‘-n”W

J SOLUCIOMARIOANALISISMATEMATICOW


yJ=l +cí^

=


O

Integramo s por partes primera la integral: u= Sen*(x) =» du = 2Sen(x)Cos(x)dx = Sen(2x)

[xy1+xSen*(x)-Sen(2x)]dx - 2ydy=0

v=J ev ',xdx=-e*’ t y, =e'‘ s[-e ^,'sSen(2x)+ Je^,,sSen(2x)dx- J«~ ’',Sen(2x)dx+c]

[xy* +xSeri*(x)-Sen(2x)]dx-2ydy=0 Arreglamos:

y* = c ’#', ^ -"e'S en (2 x) +c=J c e *’ -S e n( 2 x) xy*+xSen*(x)-Sen(2x)-2y ^ =0

Dividimo s entre2y cada término dy xy xSen’ (x)-Sen(2x| 7^-„1í 1 ’ Ec.de Bernoulli conn =-1 dx 2 2y

©

| + ^=5(

x-2)V7

z = yH Uji *=y* d=»— zdx . =d'2 yydx — dy=»— =2y z dx -------dx1d ^ + - 2 L = 5(x -2 )>/y Ec. deBernoulli con n = 1/2 Sustituimos enlaecuación diferencial: 1 dz xy xSen' (x)-Sen(2x) 2ydx 2 2y ±-xy«= xSe n*(x )-Sen (2x)= >^-x z = xSen*(x)-Sen(2x)

Sustituimos enlaecuación diferencial:

Ecuación lineal n términos e t . de z=eí,*[;c-í" *,(xSen,(x)-Sen(2x) )+ c]

y‘ —

Í +2FT)=!(X- 2) Enjactó" lin ea,:PW =2¿2jQW =i(X- 2>

[|e -(x Se n’ (x)-Se n(2x))+ cj

z=e-^>‘ [jeí^^Q(x)£ k+c]

y* =e ” [f e-<‘’xSen:,(x)dx-Je--*Sen (2x)dx+c ]

B

SOLUCIONARIOANAUSISMATEMATICOIV

—


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m

r.

Iii ii m i ii i m h h ....

^ = «^ [| j«^

I

(x -2 ) d x + c ] z=e'f£|y3(8)(x+l)dx+cj z = «-“+•'>[8je "M (x +1 )dx +c ]=e ¡8 j (x+1 )’dx+c] IJ**1)'

^ =^

[ ^

( x - 8)’( x _ 2 ) d x + c ] y* = (x+l) ',^ X* ^ +c j ; x = 0 ; y=0 hallamosC:

^ = 7 ¿ f[l^x-^ ^ =7¿ 2 [ | J ( —

( x - 8 ) d x +c ]

C]=»^ =

0=(1)[|+ c] ^ c = -|= »3 y^( x+1)=8(x+ 1)1-8

7¿2 [
^ »( x -a j’ +c íx -a ) '" * © O

Sugerencia: z= e•*

3y*^ + ^ j= 8 (x +i ); y( o) =o JBEZE¿I£W Arreglam os laecuación diferenc ial: Si z=e ’* =*dz=2e* *dx .Arreglam os laecuación diferencial divid iendo enere3y *cada término:

g z dy _ y 1 dz Zd z~z +y 1 d y

z + y* dz__2z,+2zy* _^dz + 2z __ 2z* y* dy+ y “ / ta f ^ d y “

Ec. de Bemoulli con n= 2 w= z« =z -’ z =vH ^>

=>— =3 v>¿i :=»5ü = _ L ^ dx dx dx 3y*dx

dy

=- z^ ^= >^ = -z* ^ dy dy dy

, dw 2z 2z* dw 2z"' 2 dw 2w 2 Reemplazando: -z — +—-------r =>— ---------=-r — ---------=— d yy y' d y y y 1 dy y y 3 Ecuación lineal: y =e ^’’'1'*' [ j e ^ Q Íx J d x +c j

Sustituimos enlaecuación diferencial: — - i y 3y' dx 3(x +l)

3y’

=* * + -£ - = 8 íx -1) dx x+1

Ecuación lineal: P(x )=— ^ j ; Q (x )=8 (x+ 1)


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1

1 !ZI£37

e-*“ = y*[2 üi( y)+ C]= »y ! = e>'[2Ln
dy+ ^d x = 3x’ysdx arreglamos: ^ +^ =3 x* y* =^n = 2

2CoB(y)dx-[xSen< x) - x1]d y=0

de donde: z = y « =y* => * = -y-*¿ * Arreglam os laecuación diferenc ial dividiendo entred y

= -y * ^

Sustituimos en laecuacióndiferencial:

* _ Í2 ÍX L * ££ jeBemoulliconn = 3 dy 2Cos(y) 2Cos(y) z=x VJ = x’*=>— =- 2x "¡'— =>— =— — dy dy dy 2 dy

Ecuación lineal entérminos de z: z=ef 'i,|^Je"f*‘(-3 x') dx +c j = e’‘Q e’,(-3 x, )dx+ c] pero z = y 1

x5dz xSen(y) x1 2 dy 2 Cos(y)- 2Cos(y) dz ^Sen (y) dy Cos(y)

, . dz Cos(y) ' dy

y-1=e*[3jxIe',dx+ c] integramos por partes 1 ^5 ¡( 7 )

u=x"

=> du = 2xdx ; v=J eTdx=e*

dx+ cj y~' =e *[3 xV -6xe* +6je’1 y ’ =e*[^3x,e’‘ -6xe* +óe“+Cj 0

dy+ ytk =2x y,é“dx JESEEÜW

X*=C os(y)[Tg(y )+C] dy+ydx=2x*e*dx arre stamos: ^ + y = 2xy’e’ =>n =2 0

dy+^dy=3x*yVJx

de donde: z= y« = y

■ —

dx =-y*dx dx —


cbc —

1

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0


dx

x-'
=_®xc*^ d z -Z =_2xe' Arreslamos: x'1^ =xS en(y )-1=» ^ = x* S en (^- x» ^+ x= x,Sen( y)

Ecuación linealtérminos en de z:

n = 2 de donde z= xv*=x"' =-x"*— dy dy dy Sustituimos en laecuación diferencial:

z = e | j e ^ (-2xe* )dx+JC=ex£-2je-" (x)exdx+Cpjero z= y 1

=c*[-Sjxdx+c]=e*(c-x’) => 1=ye*(c-x*)

0

-x*

+ x = x'Sen(y) dividiendo entre- x* ^ - X - 1=-Sen( y) ^ -z = -Sen(y) Ecuación lineal:

3^ 3= 2 xV

z =e^*£ -J e”^*Sen (y )dy+c J =e*[-2je’ ’Sen(y)dy+c]

^B32!I2¡rW

Integral circulan

n = 4 de donde: z= yv4 = y 1=í>-C?= -3 y* — => — = - ^ * dx dx dx 3 dx Sustituimos en laecuación diferencial: • te)

=-x*— dy

! *?-“

z^fc-'fSeníyJ+Coeíyy+k) peroz = x^ X-’ = Sen(y)+Cos(y)+te'

’-

— -2? =—2x4Ecuación lineal en términoszzde dx x

O w

dy- 3 x' dx x’+y+l

z=eJ ^ ^ e ‘J^(-2x«)dx +c J = e^ [-a Je -J“
ÊÜELlBf Arreglamos ¡«virti endo aecuación: L ^

y 1=xJ( -8 jx d x + c^ y' J= xJ (c -x ') =» xV ^+ x* =c ----------------------------

=> *_*= y±Jx dy 3 3


M

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:=yH -)=y > *Ÿ 2 2Sen(x)

2Sai(x)

dz zCos(x) dx Sen(x)

dx

Sen(x)

Sen(x)

xCos(x)-Sen(x) Sen(x)

z =3 yV =>

* " 13ecuaciún diferencial:

*- Y 4 x ^ (x )l 3y* xLn(x) ~ yl n( x)

dz| 3^ 3fx -t ii (x )l dx xLn(x)“ Ln(x)

dz | 3z 3|x+t n(x)] dx ' xl/i(x) Ln{x)

z _c^ > )|j c-^-)l|'-x

CosM ^ ( x) jd )c,cj

*>-45 y> =e^ ^ l l j j eH ‘*( « ll | £ O l^ W > j+ cj

J dx+ cj integ ramos por pa rtes JCoa(x)dx én*(x) ~ Sen(x)

^

xî Y x[x+Ln(x)] dx ln(x)

.

u=ln ’ (x) =» du=2Ln(x)—

y*Ln(x) u= lrf (x )

P 1 “aULUClO HARIQAH ÁJ-IStSMATEM ATICO N


; v=|xdx \* ° t

=> du=3Ln5(x> * ; v=Jdx

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l II

i p( x > = ¿ v ,^

{ ¥

<

trf « -3í jd-í x>k + w (x ) - 9/ü ’,(x )di c+c}

U=Ul(x)

=> du= ^

; V=Jxd* = |

u=ln ’ (x) => du2Ln( = x)^? ; v=Jcbc = x

u=ü,(x) => <*=£ ; v=fdx=x 7 Lj[ ^ J ^ -ld >í+cJ 7= L¡[^*íyv*=

y, “ G ^ x ) { T Ln’( x)_T l" (^ +T +3>tL,,1(x)" 9)‘)" ’8*tn*><)"18,í+c|

O

( x - 1) f - 2 y = V F :TF

O ÊZEIE

dy 2y Dividimos entre(x-1):

iL

d *+^ j xriY=23Í y,dy

W

^ T lT F r ,l"lW

v(x*—0 ' x t Y

Ecuación de Bem oulli conn = V&en términos 2=de 7^ ^x: _y"* z"= J

1 +^ Ln(x+^ xr-Í)+ cJ

dx +^ ljx dy = 2x’y,dy Ecuarion de Bemoulli

y-=2y',’ z' en laecuación diferencial:

-dz 2y V O M dx x -l x-1 7

. * Vy _1 |(x-l)(x+1) dx x- 1 2^ (x- 1)’

Seaz =x -' =>— =x-*— dy dy ■S+ S )E = 2 y * - í -■$ h - *

— +—— = i dx x- 1 sVjÎ

Ecuación lineal entérminos de x

i —

z=e-H*^^(-


'ecuación,ineai

2/) d y +c]

H


l

z=^[|e~*(-2y>)dy+c]

Q

(l2e*“y’ -y)dx=dy,y(0) = 1

z=y*[J-ad>F+c]=/[-ajr+c] jr' = y'(-2 y+c )=>TC'y*= c-2y 0

— =12e“V’- y =» ~ + y = l2 e ”VI dx dx

dx - 2xydy= 6xJysc-**'‘dy

Ecuación de Bemoulli

y- *^ +y -, = l2e*' z = y -=> ^ -2 y x = 6 x Y V ''

Ecuación de Bemoulli

X"3dy — - 2yx"*= 6y*e-*'* dy

dy

dy

^ |-=|

—í +z=I2e'* =» — -z = -I2e’*, ecuaciónlineal dx dx z =e~f"*|jeí"*' (-ê^jdx+cj z =e* [Je"' (-12e*x^dx+c]

2dy

z=e¡*[-l2je*dx+c]

-I^-2yz=6y*e^ 2dy

z=e*[->2e’ +c]

^+4yz=-12y’e-^ Ecuación lineal

y W [ - n ¿ ,+ cj,p ara x>a >ys1 1= —12+c =>c= 13

2=e-í‘~[jef~(-12)yV*'dy+c]

y ’ =eT(-12eT+13)=> yV *=1 3-12 ex z =e ^[J e* v|, (-12y,)e"*,,dy+cJ z = « -^ [J-12y*cJy -kc]

O

x^^ /Lnx

z=e- v [Uy5+c ] x "= e -* * [c -V ] -

x ^ = c -4 y >

“ 1


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1

dy 3

z = e"^** £j
3

z=e *[4 je-Yd y+c]

Sea z = x' =* — = 3x’— dy dy 1d z 1 Cosy 3^ + 3 Z = — '

SlrnPl,fiCand0

—

{ - M

- - K

H

— + z = Cosy Ecuació n lineal dy z=e>[jef-'Cc8ydy+c]

0

yy Vy*=Cosx

z=€^[JevCosydy+c] ^K22E*iMr ^ + y = Cofficy’Ecuac ión de Bernoulli dx y— +y* =Cosx ;Se az = y‘ =» — = 2 yí í dx dx dx 0

x’dx-( x‘+yJ) dy= 0

^ ^ + z = Coax =» ^+2z=2CosxEcuación in l eal 2dx dx z

[j J^SCosxdx +cj

y*= e~ [2je-CoS» k + c ]= e - [***

x1— -x 4- / =0 dy — -x =yJx~’ Ecuación de Bernoulli dy

+c]

y* =£(2Cosx+Senx)+ce'te

x1— -x , =y ’ Seaz =X4 =» — =4 ^ — dy dy dy 1ÍF -z s y 1^ * -4 z= 4 yI Ecuación Lineal 4dy dy

O

y, =5 xV +i

—


H

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Câ z s e fr j^ je ^ 2xrix+cJ=e'*l"‘ [Je't“2xx Jx+c]

— — —

z = 5x*

Y*\

«■fri z=¿[-4x>+c]

z= y

t « dy ■= -y ~

y- =_ 4x -+4

o

í +T gicz = Eaiaciónlineal dx Coax z = e - f ’ -[- Je í— ^d x+ c]

Z=^ ‘[ - i ^ dX+C] y- '= Cc sx |J ££ +cj

SOLUC IONARIOANA LISISMATEM ATICOIV

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^ = 2 2 ; n=2 z=€',w'[Je*-yJdy+c] Z =y« =y J - >Z'=3yV ^y'=/l 3y 3y* x

«2_r3¿=3G»x y* X

•= 3Cosx - » Z =e"3^ dy 2y_ (*»«)✓ dx 3x

e 1? (3)cosxdx j

. y1=«■••“ [3j e*" cosxdx -t-c] / = X [ 3 j e fc yJ= jfJ [3jx 1co -4=y* -»Z'=-3yJy'->y'=^LL

2v

3 ~3x=

du=3x’dx ; v=senx

(x<+2)y< 3

y1= xJ [3x33enx-9jx,9enxdbc+c]

y-1 = e-*«*[Je”" (x*+2)dx+ C]

u=x*- »du = 2xdx ;v=Jsenxdx

yJ = X [ j X ( x * +2)dx +c] y’ = x'’ [3xs3enx-9(-x! cosx+2jxoosxdx)+c]

yJ = x-, (J(x*+ 2x*)dx+c)

X1/ =3xI senx-t-Çx1ooex-lfjf xoosxdx+c

_v^sfx’ . 2X1

Xi = x-»du =d x ; v = Jcoexrix = senx xV s=3xssenx+9x’ oosx-18xsenx+ I8jsenxdx+C

©

xV* = 3x3senx-t-9x’ cosx-18xsenx-1Scosx+C


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Z=e^Je‘fJî(-2x*)dx+cj y* =V*Î (- a je -^ d x + c ) — + -z = —

y* = x (c -2 j> ^ x ,dx)

Ecuación lineal

y*= x(c-2 jx-Vd >t) y* =x (c- 2j x-'x ,dx) y* =x( c-2jx dx)

^,=¿[x+c]

y* =x (c- x- )

X*= y, (x+ c)I parax = 2;y =1

x= 1 y =2 *=c-1->c=5

,.x*=y*(x+2) ©

(2yI-x ,)d x+3xy,d y=0 ; y(l)=t

y* -x (S -x ») ©

(y1-2xy)dx+3x*dy=0 ; y(2)=1 2y3-x J+3xy*— =0 dx 3x 3y! 3x‘^+y*-2xy=0

I SOLUOQNARJOANALISISMATEMÁTICNO


y =— y4 Ecuación de Bc dx 3x 3

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=x ’ z= e-^^x

Ecuación lineal *d x + c ] Parax=y= 1 =» 1= -i+c

a

2/ = tí (3x-l) x*y, =7 -+c ;par ax = 4; y = 1

©

1=-+c = >c =-

0

(x1+6y>)dx-4xydy ; y( l) =

dy /Sen(x)-yCos! (x) Sen(x)Cos(x)

Arreglamos laecuación diferencial: dy y*Sen(x) yCos*{x) dx Sen(x)Cos(x) Sen(x)Cc»(x) dy yCos(x) dx Sen(x)

— y =—y*' Ecuación de Bemoulli

y« Ecuación de Bemo ulli con n = 2 Cos(x) .-.4?

dx x

2

O

(x ,+l) Vyy ,= xev +(l-x),yV y

1 SOLUOO NARiOAN ÁLISISMATEM ATICO N


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(x* +1 }f cr = x ¿ ''+(1- X)* W ÿ Ecuación de Bernoulli

• - ' ■ - î- M - ' i -a


y=e[uc(*+rT

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yvl =-e* +(l +V5)e'x = Váe**+e**-< Reso lverlassiguientes ecuaciones ferenciales: di y = (Vaefc+e*‘-c*)* o

y'- y=-y' (x,+x+i);

y( o) =i Paralasolución y = z +p (x )= z+— +Tg(x)

^ _ ^ = _ ( x « + x + .) r z= y^ -j| -z = - (x* +x +z)

— =— — L +Sec’(x) * * 9í *

z=c-f*[jeí,,,(x*+x+t)dx+c] z = e - Qc* (x* +x +l)dx +c ]= e- [(x* -x

+

y “ **-x+2 +ce"“ ¡parax = 0;y =1 1= 2+c =>c =-1 ••• 4=x , -x + 2 -^ = * y = ^ ^ = r

± +S^( x) =z >+ 2^ g( x ) +¿

J ^

^+Sec*(x) = z!+2*rg (x) +Tg *(x )+1

+ T g '(x

)J ^ + 1^¿

PeroSec’ (x)=TS’(x)+l

* +Sec’(x )=z*+ 2*l*(x)+Sec*
Be. de Betnoulli con n = 2.

SOLUC IONARIOANAUSIS MATEM ATICOIV “

I StXUCIONAWOanálisis matemático n


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"»

^ +2Z-‘Tg (x) =-1

,aw- -= z_u¡= z .i = >—ow= -z .azaz — =>— = -z-dx dx dx dx

=, ^ +2ns(x) =-1

. dw 3z z* dw 3z"’ 2 dw 3w 2 _z * ~ = ~ ■*’ ' Z+ — = - * ' Z + ~ = 7

Ecuación lineal érminos ent de t t=e ^

[ j eK ^ ( _ , ) (k + c]

Ecuación lineal: ^ ^ [j e ^ Q Í x J d .H .c ]

t=c «
r'.^[sfd.»c]

luego: y =z +«» (x) V = Cce*(x)[C -TS(x)] +Í Í +TSW O

O

»--gg*

X(X-1 >^ -( 2x + t)y+y* +2 x=0 , una solución es *>(x)=x

xfy'=x!y +y, -x !t unasoluciónes «>(x) = x Paralasolución: y=z +« )(x) =: y=z +«. (x)= : dy

Luego al reemplazar enlaecuacióndifere ncial: , y* y 1

dz , ( z + x) * z+ x 1

dz

x(x-1 )|2-( 8x+ t)y+ y*+ 2x= 0 dz ^ + 2x z+ x * z 1 =»x(x-1 ) ^ + lj-(2x+ ,) {z+x)+(z+x) , +2x =°

- =— Ec_de Bemoulli con n = 2

x( x- 1^ +x (x -1 )-(2 x+ 1) z- x( 2x +1 )+ z‘ +2xz+x* +2x = 0


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=* du=dx ; v=Je*dx=e* r _ £_ +r _* _= 0 =*r —

u ‘

— +f — ^ —

H T-i HT - 4

Ln‘— i- ? +u’ — ?“?I=10(c)■* lZ_S"2j

O

=

) ■*M0)

lX-2"2j

©

2- Sen*( x) y>

^ W

■Cos1(x)= 0 , unasoluciónes «>(x) ) +CQ! ?w= '

Paralasolución: y=z +«j (x) =z +C tg( x)= »y' = z'-Csc* (x)

^ -* y 1+(2x-1)y=x-l ,unas oluc»ón es^(x) =l

|-0 ^(x )-W (x)[z+Q Paralasolución: y= z+«>(x)= z+1 » y ' = z’

— -xz *-2 xz-x +2x z-z +2 x-1= x-1 => — -> rf- z= 0= >— -z = xz* dx dx dx

t=

^

+ CDa« ( x ) =0 ^

)+ti c,(x) +c« 1(x),0

5 -z'Sen- (x)-2zSen(x)Cos(x)-Cos*(x)4 ► Cos’ (x )= 0 Sen(x)Cos(x)

Ec. de Bernoulli con n = 2 t=z'"* =z", » t ,= -z ‘*z' z ’=-z *t' - z ' z = xz* = » +z*= -x =»

|

^ -c acMx)-W (x)[z‘+2za g(, )+ ci8,(x )] +i5¡^

Reemplazando: i ^-x (z+ 1)* +(2 x-1 )(z +l) =x -1

Ecuación lineal:

S( x ) ] * + ^

+1= - x Ecuación lineal.

|j
SOLUCtONA BIOANA LISIS MATEM ATICOIV


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1

\

r

=

(x)]dx+cl Seay = z + x lasolución:

z1

(x)]d>c+c|

zVI=-8x(x+z)'+4x(4x+l)(z+x) -8x1-4x’ +1 y=z +x=* y' = zV1

V N ^ J .-H -V f r W r £-Sen* ( x) ]« t c +c]

z,=-8x(x* +2XZ+Z* )+4x(4xz+z+4xs+x)

1 =e--“ 4- 1IS(x)[-J e-i“ *- W (x) S0 ,*(x) dx+c]

z'=-8x^+4xz=0 - ¿ p j- .i '— T

, j c

f

, ) *

z'-4xz=-8xz* ; n= 2

, « ] t = z '- =z"’

=>

t 's - l V

t'= -Z "V =» z'=-z* t' =>-z ’t1- 4xz=- 8xzs=> t'+ 4xz"’ = 8x t'+ 4xt=8x =» ty= e_,f”*r|j e*í“ ( 8x) dx+ cj O

^+ y* -(l+ Sc ‘ )y+e’’ =0,unasoluciónes y = e’

z-' =e* f (8je^xdx +c)=e-| rf[2ew +c]=2+oe‘tí

=>y=[2+ce‘*Aj]+x Paralasolución:

y=z+«>(x)=z+¿‘

Reemplazando;

jj? +e '+z +e , -(l +2 el‘)(z-t-e’,)+e“‘=0

= ?

y'=z '+ex ©

^ -^ W

= -S

§ :UM,t ^

e a « ' W= c d ö 5

— + z -z -e T-2ze , -2e“‘+e**=0 >» — -2 e* +z '-z =0 dx dx

O

^ =-&cy,+4x(4x +1)y _(8x,+4x,_1) ; unaso,uciúnes *(*)=*

y = z “¿ ; " y, =z VS ^ ) =>2,+( 2+¿ c ] Senx=S w

---------------------

—


t

-

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1

1

1,1 (■

J à

Wxj- ^ T '™ H 1) ______ - EzSlim jsj

TITM- n^M ji■

Eusrituimcsn la e ecuadfin diferencial ada:d

Ed de Bernoulli conn = E t= af-" = 2T1

= - r t ' « ' = —zV Eki laecuación diferencial :

“ H l' =_Sen*(*)+ s^ (* )+ a's "' (’‘h zI ECQ3(x )| = aiSal(X)+z‘ | - T S(x)z=Js ecM z’ ; n=E u= I 1-1= Z-1=>U1 1= *2 -2'‘=» Z1= -Z* u' t = [Coefï)J* [J Cœ" ( ï j W ï ) dx+c] tonde t=f ‘ „■+TE(x)L1= -! s ec(x) z-

«

i -, c ~ , ( ig

:T

yT-—

■^ -.

w

—

w

w W

^j

e í ^l

^^c]

u = Cúa(x)[-^ Jsec’ (x)±C+c] = QH( x )^ T B(x)+c] U=Œ«(xj -i sen (* ) - = [«t a (¿Ö-IM *)]

Sea y=Ser (x)-Hzr la solución de la ecuación diferencia] dada, donde z es una y -5 » (* } = [ccca(*) J s^ x) j ”= S^(x)+[ cc«(x)-¿Se^x j j'

St"CIW W R“ “ DIV | www.Solucionarios.net

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MIHM ) ESPIOZA \ RAMOS^ >' EM 'j

ECUACIÓNDE CUURAUT

0

y=x( i+ yV( y) *

Resolve r lassiguientesecuaciones diferenciales: O

y=2 xy' +ln(y ')

y=x (1+ y,)+ (y’¡f y= x(l +p )+p '

y =2xy'+ln (y') Hacemos ^ = p =» dy = pdx

Hacemos ^= p = » dy=pdx

Diferenciando: dy = xdp+(l+p)dx+2pdp

pdse=xdp+(1+p)dx-t-'2p dp =>xdp+dx+2pdp =0 y=2xp+Ln(p)

Diferenciando: dy = 2xdp+2pdx +— ^ +x = -2p

Ec. lineal

pdbc=2xdp+2pdx+— =s 2xdp+pdx+— = 0 P P ¡e-f* |jeí* (-Sp)dp +cj=e"pD fe’pdp +c ] =p => du = dp; v= Je p<*>=.

g +^ = -p - Ec. lineal Ecuación lineal en términos de p:

í-p[2pep-2 je pdp+c ]=e "'’ [2pep-2ep+ c]

x = e í - [ | e f - ( - P- > +c ] . . - ^ [ j e ^ ( - P- > + C] jx =2 p- 2+ ar » )+ 1 [y = 2(1- p)+ cr" (1+p

x= e'"|p't[ j eu,P'! (-p-*) dp+ cj = p-*[- J pi*(p-*) dp+ c] x= p- [_J dp + C ]= p -( C -p )= | _ J y = 2 „ ^ - i j +U1(p) O

y=-x (yf +(y ') ’-

y= — -2 +ui ( p )

.£._i p* p y =— -2+Lnp

y= -x( y)*+(y'T+1

Hacemos ^ = p = » d y = pdx

j


-

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pdx=-p’cb;-2xpdp+2pdp=>(p+p,dx)=2p(l-x)dp y=2x(y')*+y'Hacemos ^ = p=sdy = pdx ln[C(x—l)]»ln(p+l)*» (p+1)* =C (x - 1)

y=2xp" -i-pody = 2p’<±>:+4xpdp+<%)=» pdx = 2p'dx-4xpdp+dp

=» yst+^-Vñ^x)* ©

y=2 xy'-2y '+1

y=2x y'-2y'+ l Hacemos

=p sd y = pdx

y=2xp -2p+1 Diferenciando: dy = 2xdp+2pdx-2dp pdx=2xdp+2pdx-2dp=> 2xdp+pdx—2dp=0 2x+p £ - 2=0 dp p

dp p

p

li neal

x = l+or" O

=*

Irá

(y- 1)*=c (x- 1)

■3Ts[a

y = 2x(y')’ +y'


iWi^+u & l l cl J

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n

1

©

y' = p => dy=pdx

2(y ') *+x y'- 2y= 0

y=px +p’ =»dy = pcbc+xdp+2pdp J— +2J— =0 =» lnp+2Lnx=Ln(C) y'= p =» dy=pdx

Lnpx' =lii( c) »p = ^

2p*+xp-2y=0 4pdp+xdp+pdx-2dy = 0 -(pdp+xdp+pdx-2pdx = 0

y _ £ +Ç l

pcbc=4pdp+xdp dx P“7 €*~> = *P+X

dx X dp p = *

©

y = xy V~ ;

x = e ^ [ ;e- ^ Wd p+ c] y'=P =* dy=pdx

x, e- *- )[4 j« ‘*(-)dp+c]

y = xp-t-l »d y = xdp+pcfcc-^ P P

x = p [4 je ^ > +C]

pdx = xrip+pdx- |B=» dp^x— l j = 0

x= p^ 4j Ä+ c)= p( 4ü *C ) x = 4pUl(pC); y=Jj(2 p+x)

p=c X = F

y= |[2 p+ 4pli.(pC)]

y= Cx +i

y= p‘ [l +2Ln(pC)] ©

0

y=xy'+ Sen(y')

Y=*y'+{yf

Sea;y, = <*',=P => dy = Pdx — —


H

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1 y=y =(x +l)p -1= > dy = pdx+xdp+dp-2pdp dp(x-t-1)=0=» dp=0 =» P=C =» y=(x+1)C-1

©

dy---- j- T .. - xdp- pdx=0 W ( __ 'i i T v 'T 0 " * - ° ~

p=c

y=xyV> /ï ^ÿ r

Uicgo: y= Vl +p ' -xp y= V l+ C -Cx

1H y,=P ^ dy = pdx y=px+ -/i+P =» dy=pdx+xdp+ 2^

L

■ K -i rò )- “ -* -0 - l>-c =»y=ût+
O

(y-V ,+(y')’) dx- xdy=0

y'= P

=» dy=pdx

(y-V l+p’ )d) t-)t dy=0 ydb:-v' l+p’dx-xdy=OCo
_ 1

------------------------------------------


_

H

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©

la norm al enel puntoP(x, y) de unacurvacorta al ejede lasx enM y alen eje de lasy N. Hallar ecuación la de lascurvas, para lascuales N es el punto medio PM de.

(x-hjV(y-k)’=R ©

Hallar la ecuación de una curva, tal que el ordenada variable , sea proporciona l a ladiferen ciaentreestasorden adas.

A= J’ ydy = k(y-a)dc

Luego: b=mx

Lní-^ 1=— => y=AexV jydy =-2jx dx =*■y*=-2x! +k=» ys+2x*=k Q

Q

Las normalesen todopunto deunacurvapasanpor unpuntofijo. Hallar la deecuación

El áre a del sectorformadopor unarco de curvay losdos radiasque van desdeel srcen a susxtrem e as esproporc ional aladiferenciad e esosradios. Hallarecua la ción

Lacurva del rea á ea:

-J(x-h)f e = J(y-k)dy . (x-h

)1

(y-kf

■’-H s-« /? -!* ’ ’+C)+2k=0


-T-"

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©

srcen asus asus extremo s Hallar laecuación de lacurva.

la ecuacióndelalongitud de l atoo s; e donde *a " esun radio fijo.

2y=2(x -x.K y+y 0=2(x -x.)

©

Hallar la linea que pase por ei punto (2,3) y cuya propied ad s< segmentede cualquier tan gente suya comprendido entre los eje sd divide endos parte s igua lesen elpinto de contacto .

o

El áre a limitapor y = s). f( El eje de lasX, y dosorden adases igual al producto de las ordenadas. Com probando que f(x)= 0 eslaúnica solución.

A=J f(x)d K=y1y1

\

Derivamo s: fíx)=0 demostrado

©

í»

la por el ejede las X, ur

[y -y V j = 2xy'


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Q

l

Probar que lastrayectorias ortogonales de y= Ln {T g[x-t -S en (x) +k] } es 2Senh(y)+

9

T (xffl) = c

1 Derivamos laecuadón dada:

™

y *

Derivamos laecuación dada: y=Ln(Tg[x+ Sen(x)+ k| =é>> =Tg[x+sen(x)+k] x+SenfxJ+ksArctgCe'')

3 á

Dividimosambasecuacione s:

—----=— a«" por

dy

=> =nyx'’ dy

Jxrix = -nJydy =» x*= -ny! +C =»x*+ny* =C

[^ )[1 + C o s( x ) ]

Pero Coeh(y) =— |— = 2Cosh(eT)[l+Cos(x }] ...(1) Ahora derivamossegunda la cuación e dada:

y

— =ny>r’ cambiamos — dx dx

Derivamos respecto a x:

U Q mto -£ S i = * £ “(Í ? !: )[ 1+C“ (x )]-2

** —

b) x'+£=a>

^K2¡IEI£W

2Senh(y)+T*(x/2)=c => 2CoSh( y)y 'Js ec *(| j= 0

Derivamos laecuadón dada: 4®D®*’(y )y '+ 1+Coi( x)

- t-2[UCaz(x)]a,*{y)

" ®

2 x+ y — = 0 dx

Multiplicando (l )y (S ):

Cambiamos — po r => 2Í — =0 dy dy > y > x

2Ln(y)-Ln(x) =Ln(c) =» ln^— j = Ln(c) =»— =c=» y=C x!

DmOTdo

c) x*-¿=a* Encontrar las trayectorias rtogonales o de lafamilia de curvas dadas a) y = ax* t aesun parámetro

jHdEiKiHr Derivamos laecuadón dada: 6x-2 ydy=0 cambiamos*^por-*** ^S x- y f- ^l s O dx dx dy ^ dy j

j

SOLUdONARJOANALISISMATEMATICOW

—


t

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1

r 0

3J-^ + J^ = 0 = » 3|Ji(y)+,Jn(x) = Ui(c)=»lJi( xy1)=Ui(c )=»xy: ,=C

1

y= *i *5 (y -k )

d) x*-xy+y*=c =» y+te2artc^ Derivamos la ecuación dada: 2 x -x ^ - y +2 y^ = 0 Cambiamos £ per ~

v'=> '7 =>7 (x'+ y' )=7 " 2y •ifx'+y* -2x]= 2y

2x -y +( x- 2y )^ = 0 =» (2x-y)dy +(x-2 )dx = 0 Ec.dif. homogénea y=ux (2x-ux)(xdu-t-udx)+(x-2ux)dx=0=>(2-u)(xdu+udx)+{l-2u)dx=0

x*+y* -2x = 2yy'

(2-u)xdu+(2-u)udx+(1-2u)tbc=0 => (2-u)xdu+(2u-u'+1-2u|dx=0 (u-2)xdu +(u'-l)dx= 0 =»

n=1 = >z sy ^,>=y* =» z'=2yy1

=0

z' 2y

-’ü ,(u « -l) -ü ,^ )+li 1(x )= ü,(C)

z' | y x »-2x 2y 2 2y

z'+y* =x’ -2x=> z'+z=x* - 2x z =e '“‘ [Se“ (x* -2x)dx +c] = e ' [Se * (x* -2x)d x + c]

+ü,(x-)= U.(C)= »Ln J(u*-l)^J x*j+ Ui(C)=0 ü=x* -2 x d u + t\*

V i

-1

m

\ ,

=1 =>C (y+^ = x-y

1

; vsje 'dx

du=(2x-2)dx ; v=e’ y« =e - [(x* -2x)e» - J (2x -2)e«d x +c] u=2x-2 ; v=Jexdx

--------------------- -----

—


—

B

■

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1

1

Laec.diferencial anterior lineal es oariables v separables

f j = k ( T - T 0) donde T„ =20*C (temp. ambiente) ■ í = k(T -20 ) ; T(0)=100*C ; t=20min ; T=60°C

jy ^ó = k jd í =>Ln(T-20 )-Ln(C„)=k t =>T=20+C^*

Laecuación ferencial di anterior es lineal o variables separables,

Parat = 0 setieneque T= 75°^, lo que nos perm ite hallar CB 75=20^ =>q,=55kF

^L _= kri t=^ JT ^L_ =k/ dt =*Ln(T—20)—Ln(C,)=kt=*T = 20+C,£“

con t = 4mm. paraT = 30*F, hallam os k:

Para t=0 ; T=1 100= 2£hCe° =* C = 80 Luego: T=20+a0e*Ahora allamos h k: t=20 T=60nC

30= 20+56®* => k=-Ln (2/ tl)

,. * «0

Silül de donde, laec.de late mperaturaes: T= 20 + 55e ‘

0 a) t=7 min

Si el 45%de nasusta u nciaradiactivase desin tegraen200años . ¿Cuál es suvidamedia? ¿En cuán to tiempo sedesinte grael 60%de lacantidadsrcinal?

T=20+ 55e * = 22,78-F b) T=20,5°F 20,5 = 20+55e -

i =* _tln(2/11)=Ln(9,09xl0-»)

Sea A (t) la cantidad de sustancias en un tiempo t La descomposición estarádada

t= 11,03min £!^ l) = kA Resoíviendtt|^ í) = kJdt=»Ln(A)-Ln(A ,)=kt ^

Dentro de cuánto tiempo la temperatura de un cuerpo calentado hasta 100*Cdesc enderá ast h a 30*C.Si latemperaturadel local es de 20’ C durante y slo prime ros 20 minuto s el cuerpo encuestiónseenfríahasta 60*C.

üi(A /A ,)=t e=» A = Arie1' Si; A =0,45A, en t=200 artos: A„(1—0,45)= A^” “ => 200k=Ln(0,55)=» k=-2,99x10-

T " " i r ,nTifT^ Laecuación diferencia del enfriamiento s: e

a) Si A=0 Â ,, el tie mpode vida m edia A„(0,5) =A„e“ => kt=Ln(0,5 ) pera1(^2,99x10^ =5. -2,9< fec10'1t = Ln(0,5)

=» t =231,88años.

—


I

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1

[ Ahora con el segundo recipiente:

b) Si A=0,4A, (60%sedesinteg ra) A„(0r4)A„e* => kt=Ln(0,4) pero k^N xIf f3

= k( Ts-T0) donde T, = 30*C

= k(T2-30)

-2,99xl0'lt=Ln(0,4) =» e=306,54años. í ^ l = k/d t Q

Se tiene os d recipientes con soluciones a temp eraturasonstan c tes. Lapri meraa 30*Cy lasegundaa 25*C. Un termóm etro que marca latemp eratura de la prime ra soluciones puesto encontacto con segunda la , cuatro inutes m después manca 27*C. Más 10 solución, adelante el termóm etro espuestonuevam enteen contactocon laprimera minutos despu és del com ienzo del experimento el termóm etro indica 28*C. ¿Cuánto fuellevado el termóm etro del segundo al primer recipiente?

W=Ü,( Í ^ 9) COnt(°) =^ C

T, =30+C,e“ =>T, =30+C, =>C,=T, -3 0 de donde: T, =30+(T, -3°)^ | j t, +t, =10 Ademas t=t, T=2F?C

28= 30 +(i; -30 )Q“ '<=>2=(30-'i;)[|j

M

i

r

-’

- c

- K

pero T,= 25 +s j]”

i r

Parael primer termómetro: T, =30*C ; i; (0) =25“C « a

Parat=4 =>T,=27*C Laecuación diferencial del enfriamiento es: ^ = k ( V T") donde T„ =25*C

r +< d

t, = 5,27 lo que indica que setraslado ent=10-5£7=4,'73min

=k (i;-25) O

=* “ ■ülp § 5 ) C“ lt(°)=3 °,c

Un ciertomateria l radiactivo tieneunavida med ia dedos horas. Encu entreel intervalo de tiempo requerido para que una cantida d dado de estematerial decaiga has ta un décimo de sumasasrcinal.

T¡ = 25+C1eB=>30=2S+C, =*C, =5 de donde: T, =25+5e*

j

Ahoracon t=4 ; T=27*C: Seax (t) lacantidad de sustanciaenun tiempo t La descomposición estarádada 27=2S+5e*=>e'=|| |

dedonde: T, =25+5^|J _

B

—


_

B

www.FreeLibros.net 1 i ^ = kx=»J-7=k fd t= »ü, M -lí ,K )= te=>Ln[^ ]= li

Sea A (t) lacantidad de azúcar en un tiempo t. La descomposición estará dada

S xsO,!«, ,el tiempo devida media: t=2 ^=kA dt

xo(0r5) = xDe“ =>2k=ü.(OrS)=>k = JLn (2 ) Resolviendo:

Ahora con x=0,1x„ =* 0,1x ¿e*=> kt =Ln 1,

, f1' \

J— = Kfdt =*Ln(A /A ,) = kt =» A = Aê*

„ 2ln(10)

-2^2)t=H io rt= mít

SÂ, =30lbs y A=10 Ibs. ent=4 horas, hallamos 1c

Suponer que una gotade lluvia esféricoseevapora auna velocidad proporcional a su áreasup erficial. Si srcinalm enteelradio es de mm. 3 una horadespué s sehareducido a 2mm. Encontrar aunexpres iónparael radio de lagota como fun ción del tiempo.

10=30e* => 4k=ln(1/3)=>k= -l u i ( 3 ) Si lamasadecaeal 95% de sumasaoriginal, tendremos: 0,05(30)=30e“ =>L(0r06) = kt -Jfli,(4)=U,(0,05)=»t=î

d í~ 1 -í^ = kA do ndeA=4jrtA =*—■ = *rr*k=>4Tt,dr = 4sT,kdt Jdr= k|dt= >r=k t+C

10

Sit=0 ; r=3mm =>C=3

De donde:r=kt+3 también:tal h ; r=2mm:2=k+3 => C=3 Finalmente: r=3-t 0

El azúcar se disuelveenel agua conina rapidez ropo p rcional a lacan tidadque queda sindiluir. Si 30 Ibs. de azú car sereducea 10Iba En 4 horas, ¿encuántotiempose habrá diluido el 95% del azúcar?

El radiactivo tiene unavida pro medio de 5600 años aproximadamente. ¿Encuanto tiempo desciende el 20% de lacantidadoriginal? ¿Al 10%?

SeaA (t) lacantidaddesustanciasenun tiempot Ladescomposición estarásegún: dA _|ca

Resolviendo: = k/dt=*.lii(A/A.)=kt=> A = A„e*

~


_

1

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Si, A =0,5 A, ent=5600años

0,5*.=!^»

A„ (l— fl^S) = Aê *"1=> 5600k=ln{0,5)=* k= —1,23

=>ü, (o<5)=¿ü,(0, 989)=»t=^ a| =1 56 6,6 5a í

a) Si A=0 ^ a, Ao(0t2)=Anc* =*kt=ln(0,8) pero k=-1,238x10^ =>-1,238x1 0-'t= Ln(0,2) =>t=13002£ años 0

Supongamos que el circu icode lafigura(a) tienevalore s dado s parael a resistencia, la

b) Si A=0,1A, A, (0 r1) = A„e“ =>kt=Ln(0,l) perok=-l ,238x10- l t238sd(r't= Ln(0,l)=» t=18 599,23años.

O

a)R= IQfí L=IHe —I2v 1(0) = 0A

cantidad de radio El radio se Supóng descom con una velocida propo rciona presente. asepone que se descubre quend e25 artos, fal a ciertacantida d de radio seha desco mpuesto. Determ aínese ¡

b)R=8/3 U1 H £=óv

1(0) —1A

c)R=50O U2H ¿=IOOv 1(0)=0A d)R

= IOí7 U5 H

= IOSen(t)v l(o )="

e)R=10/2 L=I0H *.Wv 1(0) =0A

Ladescripción m

— =kR donde Rese] radio.

= kjdt = Ln^-^-1 =k t =>R = R,f *Si se descompone: R=(I -0,01 l)R,en c=25aíios: Hallam os k: 0,989Ra=ne'ísi R =* 0,989=e*W => 25k= Ln(O,909) k= ^Ln(0,989) Paraque sedescomponga R=0,5R,:


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l

[lOOCos(60t)+605en(60t) j+ kj a) En lafigura;

q ^ “ ^ÍG C as W ]+3 Sen( 60t) } p ar=0 at q=0

R Ei

¿[5Cc.(0)+3fa,<0)>k«0 =>1^1 Rdq q dt c

dq q_e dt RC R

De donde: q=¿[5C»(«>th3Sen(«>t)]-lJ

Laecuación «fiferencial anterior es lineal riables o va separables, si esí con stante: 1 q= e-fí [j e2f ^ dt+c ]=c _ ^ | ¿ d t+ k]

c) R=10 ; C=0,00IF ; e =Sen. (60t)v ; q(ü)=1 C

q = e' té [je^ ^jd t+cj= e ^ J je^ Se 6 n( «)dt+c] q=e',a[|e'“Sen (60t)dt+c] R= l/J ; C=1F ;t=12v ; q(0 ) = 0C q=c-'(l2e‘+k)=>q(0)=0C =>12+k=0 =>fc^l2

q^ ” [ T ¿ ^ [ 10sen( 60t) _60C“ (60t )> c]

q=*"(l2e'- 12 ) =>q=12(l-«r‘) b) R=10/J ; C=0,001F; í =10Cos(60t)v ; q (D)=0C

q(0)=1C

=* C= J|

Sen(60t )-3Coa (60t )+3f73c-” 11 370 q ^ '” [Je1"*Cos(60t^t+C]

d) R=100/2 ; C=0,OOOIF ;

í =100v ; q(0 )= 1C _

■

“

---------------------------------


_

B


1

q=

=e ^ jj «/™1(100)dt+ cj Para t=0 [=0

q=e'“ [Je'~ (lOO)dt +C] - e '"" (e™ +C)

=> fc=3,015e"w m +ke'“

=> 0=3,015 +*

k =-3,015 => 1=3,015(e",'1,m-e-*1)

q=l+Ce™ => q( 0) =l C =» 1-tC=l => C=0

Para 1=0,5

=»0,5=3>015(e*OT>n_e-«.J

1197597,3 ^

luegoc =1q Q

e) R=200 O ■ 0=5x10- F ; c=1000cv ; q(0)=1C q= e ^ J ^^ jd t+ cj =

( «* ») dt + c j

Una resistencia variable R= ^g /7 y una capacitancia de fixIO-*Farad, secone cta en seriecon una .e.m. f de 100 volts ¿Cuál es lacarga del conde nsador espu d és de un minuto si0>q=0.(

q=e ""[Je'"' (lOOO)dt+c] = e^” (lOe’"‘ +c ) q=l Oí-Ce"" => q(0 )=1 C

=» I0+C=1

=> C=JJ La ecuación diferencial de un to circui RCen serie es:

Luego: q=I-9e,m Q

Se conecta en serieunairxJoctanciade 1Henryy unaresistenciade O , con2unabatería

^

dt C

=* dq+. 50000 (t+5)q =ioo(t+5) dt 3

^= 10 0 t + 5 dt 6x10-*

de 6e"’/,Imvolts ., inicialme nteno fluyeningu nacorrien te. ¿Cuánto ga llerá lacorriente a Laecuación diferencial anteriores lineal: 0,5 Amperios?

q .*

Laecuación dife rencial de uncircuito de un circuito LRen seriees: UÍ+ IR= í: de

^ î coj e—— —

=> ■!+21 í =6e-'"m dt

^(t +5)dt+cj 1

q

-jta

J 250

[25000

Laecuación diferencial anteriorinea esl l o variableseparables, s c es co nstante; i s l=c-í* [j€. J*6e ( — ')d t+ C]=e -(6j e ™ d t +k)

Puestoque q (0 )=0:


B

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1

MPIT1IL4 III 3 q=— -nCe 2G0

’

3 SEO

=t

3

1

EDUflFDOEBPnOZA RAMOS H

L'ncond ensador de capacitancia -1xlCr1tiradlosdescarga atraviés deunaresistencia de 100ÍJ ; d la comente es 1 amp. Al fin al de 0,01 seg. ¿.Cuál era la carga ¡nidal el d condensador? ¿Cuínta resisten ciadebe Ea caraedel rircui to paraobtener Ibmitadde la corriente enel mismotiempo?

HallelacorrienDeen estadoestacionario, jé conec ai ta en se rieuna re siste nciade2000Jí y una capacidad dek farad, coi unalternador de 1SOCos (2tJ Vota a) LaeoHclándifere ncial de un dn cuito JCenserie R es: R^3+-3 = í ft) =t100^ 2 +.-----3— = 0 =s f— —2¿fdt=0 dt C ti; ■fccir“ ' J q* Ln^-3-J+E5t=0 _

q=q[,e-Bl ; lf0r0l) = lA

RSHj='ro ^ + ^ q = ^ C o a (e t ) Ec. Diferencial lineal q^

[ Je^

^

^

( 2 t ) d t +C ]

Laowiience: l= ^ = -2 5 q ir ” => - q ^ 1^ = 1/S5 =» q, =0^05136 b) Ls corrien te: 1=0,5A ; en t=Üj01seg: R^ h- — 3— = 0 =» Rjdq+ 25Ü0jdt=0 dt AtAG* j q J

E500(C lü513óí Luego: 0,5= *e ------------------q = ^[ l5 0 Ü C M(2t )+1SSen(2t )]+Ce“

=■ O^ f clSS^ ÍSe -^ ™

11=250^50 Debesacarse AR=SCE,5-100 = UAfiíl

Derivam os respe cto at parahallar la conlente: T = f=

^ [-a ™s - tíO

^W

] - ^ o e”

Cuandot—j -n , laeonieiitees estacio narla , además0. = B

—

—

— —


—

|

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EMlUtDOE5PW0ZA HftHOE

CJPITUUI)II

1

EMIAHDOEEPMOZA RAMOS S

Según lascondiciones del problema:

APLICACIONES Q

OWIUIOIN

1a tazón el d increm ento d e lasvie ntas 5ra medida qje crece lagestió n de propag andax esigual a una con stante menos la s ventasdivididas por ai«iccnstan te mas lagestiSnde propagandas. Hallar larelaciónentre lasventa s y gestiónde propasada si S= 3¡.cuand o elació n obten ida k =x£h. Graficar lar

dR _£R— jí Eouacjún diferencial homo géneadegrado3 dx 3x5? Rj|r. _

,

------í -----= -------— dx

-

udx +mdu _ a^x3—x3 dx ¡Jxû1

=t 3ir,dx+3li'Hdu=(2u1-l )d x [ 1

(i? + l)dK+3u*xdu=íi=J!■-----i-J"— — - =0 La razón del increm ento de lasventas , aSmedida queere.« lagestióndekpropagand a dS_ b-S dx b+x

InfxJ-t-Lnû’ -i-l) = Ln(k) I=» h [\e(iÍ - t-l)] =Ln (le)
Separamos variables: Ln^—

= Jj“ "" ^

ji (a - S)=Iji (b +x ) Ln(k)—I

~ i r a "1J-k

Condiciones iniciales: ü=0 x=10 =!■ 10(a+1>=k =» k=10

j=L n( b-ioc) =» - L = x +b Si S=S,

Dedonde:Rj h- x3=10k'

Larelaciónenme el costo de fabricac iónpar cada ítem M y el núm ero declasesde Item fabricados N tal es que la tasade increm ennodel costo de fabricación, a medida que aúnenla el númeroe dlasclasesde ítem , esigual a la razóndel costo por Itemmas l e numero de cla sesde ftemdividido por el núm ero de cla sesde Item . Hallar la relació n entreel costo de bricació fa n por ítemy el número de clas esde tarn fahricados si N=M , la relación entreelingres o Ry lasantidad dem anda x esialque latasa de increm ento e n cuando N=1. el ingreso , a medida que aume nta lacantidad dem andatfe, es igua l al doble del cubo del ingres o menos el cubo de la cantidaddemandada , todo divi dido par el triple del producto de lacantidad demanda ing Encontrar elación lar entre y el cuadrado del reso. Segúnlascondiciones del problema: _ ^ = ^+ b- Ka-

S. Xvb _

) ,^

.M

íM

=x+b

(a—S»)(x„-i-b) *+ b

^

Ecuación(Sftrencial homogénea de grado1

1 i

SOLUCIÜNARIOANÁLISISMÁIUWAIICUIV


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1

ORDENSUPERIOR

O

o

$

=Crf(x) ty( 0)=¿ y'( 0)=0, y' (0 )= j.y -( 0)=0


+— l^f C, /( 0)=0 => 0i^p^+C,= s -í*

O

d’y x Sen(2x) dVrfx d?~2 4 =*

0'

0=>C,=0

Sen(2xn 4 J*

■0 =7 +^ £^ + c ,y ,( o) =o =» o * ^ ^ +c ,= o=» c, = J

^ = « - * , y ( 0)= 1ly'(0)=0

d*y 1x Cob(2x) 1 dy f[x» Cos(2x) ll dx! 4 8 8 dx'J[4 8 8j ^ ^

= XE-* =» ^ = Jxc-dx

u=x =* du=dx ; v^Je 1 dx=-e—

integramos por paites:

S

=> ^ = _xe-'‘+Je‘ 1*t

- 5

- r *

« ) _» 8 16

dx 12

=>y'(0)=0=> 0=0-1-tC, =» C, =1

^

- ^

«W —

1^

U

- *

-

[[¿ Js tó jíL 7 J [l 2 8J ^ 16 « - A

x4+CoS(2x)+¿ y~48H 32~"^Tó

Luego: ^ =-xe‘*-e"“ 1=^ + Jdy=J(l-xe~-e~)dx

luego: y=x+xe^2E + "1 -1

- T ^

O

0 = xSen(x),y( o)=0,y'(0 )=0,y* (0)=0

-----------


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1

,---------------J ECUACION ES DIFERENCIALES DEORDEN n Integrando:

ÍJ

= J[xSen(x)]dx Por partea u=x du=dx v=|Sen(x)ix=-Coe(x)

O §-*í«-*-0

= -xCos( x)+J Coe(x)dx = -xCoe(x)+Sen(x)+C, P(r)=r* -3r+2=0

HallamosC,: y'(0 )= 0 => 0=*tSen(0)+Ci => Q= 0 Luego:

O

2

=-xC“(x)+S0,(x) *•=

^ = í [ Sen(x)- ’
dedonde: (r -l )(r -2 ) =» r=1; r=2

Puestoque lassoluci onessonreales, lasoluci ón general es : y«C ,e“ +C,e»

$=2Sen(x)Grf(x)-Serf
o JBZJEZZJM

0

El polinomio característico de laecuación diferencial es: = 2Se n( x) Co s*- Se n» * Ä-J[Bta ^x)C rf(x)-Srf<

| =J C

*)> «

^ ^ w ( x ) S O T ( x ) d x = J c ^ ) _ ^ -CM l{ x ) ] s en( x) dx

^ =^£^W+CoB(x)_£^W+Ci

P(r)= t*-4 r+4 =0

dedonde: (r -2 )’ =0 => r=2 : r=2

Puestoque las soluciones son reale sy repetidas, solución la gene ral es: y=C,e*‘ +Csxe'ÍT

=C€8(x)-Ctl5>(x) + C,

= Cos(x)[l - Coa’ (x)] +C , = Cos(x)Sen*(x)-fC, y=J [Cos (x)W (x)+1>C x = ^Ö + q x + C1

O §**-• El polinomio característico de laecuación diferencial es: P(r ) = r*+1=0 dedonde: r=±i Puestoque lassoluciones sonaginarias, im solución la genera l es.

SOLUCJONARJOANALISI SMATEMA TICO W


J

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1

r y=q CoB(x)+C,Sen(x)

1

P(r)=r1 - 2r'-r+ 2=0 => r*(r-2)-(r- 2)=0 =» (r- 2)(r*-l)=0 de donde: r =± l ; =2r

o

3e’1 y=C,e 'I +C,el +C

El potinomiocaracterístico de ecuación la diferencial es: P(r)=r* +r+1= 0 =>

O

y"'+ 3y"+ 3y' +y= 0

-¿ +1 =0 de donde: t* El polinomio característico de laecuación diferencial : es P(r)=r1-»-3r, +3r+1=0 =* rJ+1 +3r( r+l)= 0 => (r+ l)(r* -r+1 +3r )=0

Puestoque las soluciones sonaginarias, im lasol ución gene ral es: y= C ,e ^ C o ^ ^p j + C.e-* Sen J^p]

(r+l)(r*+2r+ l)=0 => (r+1^ 0 -1 de donde: ra

O

Puestoque las soluciones son realesrepetidas, solución la es:

$ +2s +2y=0

y= qé -+C ;xe -+C Ix?e« El polinomio característico de laecuación diferencial s: e

0

y'"-y"+y'-y =0

P(r) =r’ +2r +2= 0 = » (r +1)*-1 +2 =0 de donde: r=-1±i Puestoque las soluciones sonaginarias, im lasol ución general: es

□ polinomio ca racterís ticode laecuacióndiferencial: es P(r) = 1r-r* +r-1=0 =» r* (r-1)+(r-l) =0

y= Q'"’ Cos(x)-t-C;e‘,Sen(x)

(r*+l)(r- 1)=0 9 Q

r - 1= 0 ; r=ü

y'"- 2 y '- y ,+2y =0 Parasoluciones realese Imagina rias, lasolución es: JKSTTEjlW El polinomio característico de laecuación diferencials: e

g

_

- ---- ---- ---- ---- ---- ---- --. .

y = Qe*+CfioB(x )+C£en (x) _


B

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1

I P(r)=r4-2iJ+r*=0 =» r!(r!-2r+l)=0 =»r,=r„=0 => r,=r4= l

©

Ccn ralee s imaginaríasrepetidas dos ados, lassoluc ionessenel, x, e 'y x e “; luego: y =C,+C, x+C1e*+C,xE' El polinomio característico de unaecuación diferencial es: P(r)=r4+2rí +1=0 =» (r*+l)‘ =0 => i*+1=0 => r=±i

©

Con ralees imaginaríasr epetidas dosdos, a las soluciones n:so Cos(x);xCcfl(x);Sen(x) yxSen(x);luego: y=C1Coa(x)+C,xCos(x)+C 1Sen(x)+C
El polinomio caracterfeticodeecuación la diferencial - es P(r)=2r'-r’ -2r+l=0 => a'(r* -l)-(r*-l)=0

©s-

s

- *

=»(r*-l)( 2r - 1)=0 =» r=±1 ; r=V2 Con raíce s reales, la s soluc ionesson: y=C,e1’’ + C,e"“+ C,e*

-

El polinomio característico de laecuación diferencial es: P(r)=r4+3r*-4 =0 => (r-l)(r+ l)(r'+ 4)=0 => r=± 1 =>r = i2i Con rafee s imaginaríasr epetidas sdo 6,ado lassoluc ionesson: e“*; e*; Cos(2x) y Sen (2x), lueso: y= C ,e- +C,e« + C,Cos(x)+C,Sen(x)

O

2^ _7^ +2y= 0

El polinom io característicode laecuacióndiferen cial es: P(r)=2r>-7r+ 2= 0 => (2r+l) (i)l -4r) +2 = 0 =» t^-1 /2 ; t=2±JÍ Con raíc esreales , lassolu cione s son:e " ^ ; e * y e^W*1; lueg o:

©

j Íí - 2Í í + ^: =o dx4 dx* dx’

y = ^ +C

^ %

C ^

1 23l g -1 4 ^ + y= 0 El polinomioaracterístico c de laecuación diferencial e& g

_

-------------------------_

_


_

B

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1

1

El polinomio característico de laecuación diferencial es:

o

P(r)=r 4-14r* +1=0 =» (r*+l)'-16r* =0 => (r*+1-4r)(r, +1+4r)=0 t==S±J3 > ; r=*2±V3 Con mices reales,lassolucion es son:

P(r) = 4r*+5r*- 9=0 =» (i*-l)(4r* +9)=0 ¡ r=±1 ; r=±3i/2

y« * * * *

Con raíces reales e imag inarias, las soluciones son: y=

O

+ c , ^ ' + c 1^

’‘ +c ,¿ -* ^>

^+ fc «y =0 dx

o

s¡ *«-

o

MM UjU K lU M El polinomio característico de laecuación es. diferencial P(r)=r4+1=0

P(r)=r*+k* =0 =*■ rs±lá Con ralee simaginariasy una raíz, lassolucione s son: Cos (la ) y Sen (kx);luego: y=qC os(loc)+ C;&r(l«)

Mediantenúmerosmplejos co , fadorizarrxB: Z*=—4 Medianteteorema deróte, Mo lasr aleesde un polinomio seobt iene de: z= rv"C¡s¡^+- ^ kJ

donde: k=0,1,2,3,..., n -1

Paranuestro caso: El polinomio característico de laecuación diferencial es:

0= 180 ; r=4 ; n=4 => z ^ lO s p 804360. j =V2Cis(45+ 90k)

P(r)=r’-a-+4=0 =» r=l±v5i

M,1,2A4.

Con ralees imag inarias, las soluciones son:

Obtenemos lasraíces:

y=C,eTCos(>/3x)+C1e,iSen(>/3x)

krf) r, =N/2Cis(4G)=v'2Co s(4S;KW2Sen(4 5)=l+i

—


I

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Con rafee s imag inarias y rafeesreales, soluciones las son: y = C,g-*+C,e*+C,e"**+ C.e'Sen (2x)+ C,e*Cos(2x)

k = l rt =VsCíb(135) = V2Cos(l35) +k/2 Sen(135) = —1+i

r,

k=2 =^203(225) =V2(225)+k/2(225) = -1 -¡ k=3 r, =V2Cis(3l5) =V2C os(315)+k/2Sen(315) =1-i

0

2y" -3 y' +y =0

Con rafeesimaginariasy tafeesr eales, lassoluciones son: El polinomio característico de laecuación diferencial s: e

6(x) ye*Cas(x|.Luego: e’ Sen(x);e"lSen(x);g"*Co

P(r)=2r*-3r +l=0 =* (2r -l)(r- l)= 0= > n=1/2 ; r=

y=c;e'Co6(x>+c;e*Sen(x)+Clr*Sen{x)+C,e-Cofl(x)

Con rafe esreales,lassoluciones son; T'’ ye e*; luego: dVoA

y=q é~ +c ,e»

0

y" -9 y' +9 y= 0

El polinomio caracterí stico de laecuación diferencial es: P(r) =r*-2r ,+r'+2r-2 = 0 => (r’-l)[(r-1 )'+l]= 0

Q polinomio aracterístico c de laecuación diferencial : es P(r)=r*-9r+9=0 = > (r-9/2)’ -81/4+9=0 =» (r-9/2)=45/4;r

Con rafeesimaginariasy rafee s reales, lassoluciones son: Con rafeesreales , lassoluciones son:

y= C, e- +C,e* +C 1e>Sen(x)+C 4e-Cos(x)

y

. luego:

y = q e ^ ^ + C , e « '- ^ rfy „

y’+y'- 2 y= 0,y (0)= 1;y'( 0)=1

El polinomio característicoecuación de la diferencial : es

P(r) = rJ>+2rJ+ 10r'+r +10=0 =» (r »-l )(r + 2 )[(r -l)‘ +4]=0 r=± l ; =-2 r ; r=1± 2i

p(r)=r*+r- 2=0 => (r+2)(r-l )=0 =» r^-2 ; r=1 Can rafeesreales, Ib


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P(r) = rI - a JI-i-3r,-3f*+2r = D -

r (t*—

1

-4-3H—3T+S] = 0

-3

3

-3

a

1

-E

1

-2

-2

1

-E

E

0

2

r(r-l)(r-2)(rl+l)=0

p(T)= [*+Brí -t-16y =0 = (t*+4)1=0 =h *+4=0 =

0

z= r1”a3^ ' l'™ kj tfcnde: k=0,1,EA-.n-

=4^= 0 r,= l r,=2 r^±¡

=* W

^ 1™

]=,/2C íe( 45+ 9Ükj

t E5, e’ , E*“rCo 6
k=0 T1=VáOs(45) = JsCoE(45)+W2SEn(45) = i1.+ k = 1i ,=J5cis(l3S)=V5CoH(125)+bV!Sfen(l3S} = -1+i

y"-3/=(

krf TJ =JáOs(E2E) = 'yÉQM(225)H-iVÉSfen(EE5) = -1 -i k=3 TJl=V20s(315)= VáCos(315) + h/ESeii(31 5)=1-L P(r)=T* -Er=0 =» r(r,- S) = 0 =» r ( r- 3 ^ +&■++) = 0

Con raícesimaginarias lesrepetidas, Isa soluciones aoft y raíces rea ET5en(x); E“^Sen(x) ; í ’ Cosfx} yog (x) . Luego: é'C

MI ; r=E ; (r +l) l -l-n 4 = 0=t r=-1±V5i

y = q EFBen(x)+<;>ÎSen(x) +C,^Cce(x) +Ctxe
Con ra icearepetidas eimagina rias, lasscHuricneason:e'e*, , e1 “ rCoa^x) Set^ y x);

+CceJ'Sen(x}-H qjE^SeriíxjH-qE^Cosfx) ■hC1>e '“Cüs( x) y = C , 4 - C ^ 4-QCcs (x V C.Senfx)

O O

yK+ Éir+ 9y' = (}

y'™-nS/r-n1Éy=[) SÜLUCIOhJARIOANÁLISISMATEMATICOIV


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x=o

ÿ =Q

=t -c,+c;+ec; =9...(e)

=>

x=0y'=0=»y'=C1E“T-C,e““-Cie--HC,e“vH-ÎC1E!=‘

y = at+ae-T-3e -SK

Ci -Sq,-H^=0._(3)

©

C,= -a Cj = 3 C3= 3 dedonde : y^-ae -1 + 3hë'“-n3e

y^1,cuando x=E, yÔ y también ci

y"+y' -/ -y=o

El polinomio cara cterfa ticode laeoii p(r) = r3-t-r1-r -1 = 0 F^ctorizamce r*(r -ni) -(r-t- l) = 0

©

y lï-n3y"'+ay"=Û cuando x=ü, yÔ, y*= 4, y'=-ûvyli='U

(t*-a}{r-l>=0 =!■ r=1;r=-1 y = C,eT+Cj
El polinomiocarac terfat icode laecuaciúndiferencia l ea: P(rJ =r *+ 3f ! -4-2r* =0 T*f*+3r+a)=Q

©

y' -ù/ +E5y = 0

r*(r -n2)(r+l) = QDedonder=0(imult Par) r^-1 r^-2 El polinomio caram eriatico de laecuación diferencial ea:

r: 1, K, e^y e"“;luegio:

P(r)=r* —6r+25= Q T^ctorizamoa: ( r- 3 }l -9 +2 E =0 =s-r=^3±4i

y = C1+C,K-HCJe^+Ctc-t:

Dosraiceaimaginariaa :

H :ï= 0; y= C ; Ç-t-Ç («IJ-hCL, h-C^ =0

y = C ^ “CCa(4K)+C 1eSrSen(4*)

y’=C,-C fi-I - Z Z ^

/ = ^ -c ] -a q1 =+..(E)

©

/ -y = Û ajandox=0, y = y„r/ = 0

y"= q,i -T +4CJ^ Ir Lues® *s=0 y' =3-ÓC, 4ÌC ( =-i..( 3) Sumando(E) y (3):

4). ( + EC, = -E..

la óeroeraderivada y 1= -C ]p_1: -BCje-" =i -C3-8C* =14_.(&) AJlOfa(3)yf5}: -4 Q= E =* C, =-S Q =2 => C, =0 Ç, =S Tq

SiJUUU OHAR lOAHALISIS MATEMA TICOIV

P(r) = r*-1 =0 =t r=±l SÜLUCIONARIÛANALISISMATEMATICOIV [


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Hallamos lasconstantes: 6= C, +3C, -4C , x=0 ; y*0

y= C,e -+C tef x=0 y=y, => C, +C, =y„

=» C,+C ,+C , (0)=0 =» C ,= -C , ... (I)

Derivamos y'= -C,e ‘, +C,«? =» -q +C, =0 x = 0;y’ = 1 =* y’=-Cfi’- 2C,e"*rCoax-Cê'*‘Senx - 2CJe““‘Senx+Cje^Coax Dedonde: < ; = ^ C,

Lues<*

1=-Q-2Q+C, ...(2)

y -& .^ -* (.-< V )-y .C -h (K )

y"=C,e~ +4Cse-*‘ +2C,e'CxSenx+2C,e-faSenx-C,eJ!'Cosx+ 1e-e
o

y“= C,e - +4C,e-B‘ +4ê*Senx-qe^Cosx+3C,e-'*Senx-4<;e-'*Casx

y * + y =0 cuando 0,x=y= y,, y=0

Parax = 0ty”6, = 6=C,+4Ct-C,-4C 1 6=C,+3C,-4C, ...(3) 0)en(2)y(3): P(r) = r, +1=0 => r=±i Ra te imaginarias y=C,Sen(X)+ C,Cos(x) x= 0 y=y, =» C,(0 )+C,= 0 => C2=0 ^=C ,Co s(x ) =» C,cos(0) =0 y=* C,=yDUxgo:y*yjCce(x) ©

y*+5y*-t-17y'+13y=0 cuanx=0, do y=0, y'=1, '=6 y

P(r) = rV5r ’ +17r+13 = 0 =» (r+ l)(r! +4r+13) =0 r = -l ;r'+4r+13=0 =» (r+2)*+9=0 =» r =-2±3i ya^ # ”*+C#"fcCds(x)+ C^'“ Sen(x)

H



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y= Ye+ y„ = c, + C,e*—— — X*+ 2x I.

Reso lver 39e I t

© £-£«■ El polinomio caracterisöco de laecuación diferencial: es P( r) =r *- 4r -5 =0 Dedonde: (r-5) (r+1>=0 => r=-1 ; r=5

:o de laecuación diferencial : es P(r)=r*-r=0 Dedorvde: r(r-l)=0 n=0, => jsl Puestoque las soluciones son les, rea lasolución complem entaria es: yt =C^*+C,e* => y^ C.+ C.e *

y„=Ax+ B

dy_ _

d*yp_


y„ = Ax‘+Bx+C

rfy.

Puestoque una raíz es cero, esta modelo semodifica multi plicando por x: dv d*y yp=Ax* + Bx*+Cx => -j£ =3 Ax “+2Bx+C =» = 6Ax+2E

-5 A=5

s enlaecuación diferen cial: =* 6Ax+28-3Ax, -2B x-C = x*

-5y =5x => 0-4A-5 (Ax +B)= 5x

=» A=-1 ; x‘ :-«*-5B=0 =» B = 4/5

El resu ltadofinal: y= y. +y p= c,e-*+ ctel,'-x+i

anteidentidades algebraicas :

5

X : -3A=1

=»A=-1/3

X:6A-2B=0

X*:2 B-C = 0 =» C=2

8

=»B = -t

O

Í?_ A =x+ l dx! dx

SOLUCJONARIO ANALISIS MATEMA TICO N


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Lasolución particular toma laforma: dy„ y .-A c + B ^ -A

□ polinom io carac terísticode la ecuacióndifere ncial es: De dórete r (r-l) (r+1 )=0 => r=0 ;r = -1, r= l Puestoquelassoluciones son reales, lasoluci ón com plementaria es:

=>

d'y„


yc= q +C ,c -+C,¿*

-4-j£ +4 y = 4x-4 => (MA+4 (Ax+B) =4X-4

la solució n particulartomalaforma:yp = Ax+B Puestoque una rafz es cero, estamodelomo sedifica multiplicando por x: . dy. d'y„ dV» y„ = Ax+Bx => -^ =2 A x+ B =* =2A=>

C 4A = 4 => A = 1 ; V : -4 + 4B= -4

=0

:+1 =» 0-2Ax +B=x+l

=> B= 0

y=y.+y„=c,e”‘-*-c!*ei“ +

> A=-l/2 ; Xs:-B= Resultadofinal:

=y. +y, =C. +C¿E-* +C,e* J L _¡ Jelaecuación diferencial es: P(r)=r* +2r+2 =0 de donde: (r+1)’ +1 = 0 =» r=-1 ±i Ye = C.e-'Cosíx) +C,e"*Sen(x)


la soluci ón particular toma laforma:

p(r)=r , -4r +4= 0 de donde: ( r-2 )' =0 Puestoque lassoluci ones sonrealesrepetidas, lasolución y.= C,e » +c,exty

1

SOLUC IONARIOANALISIS MATEM ATICOIV

y. = Ax*+Bx+C => ^

=2Ax+B =

dVp dy„ — ÿ +2-¿*+ 2y = 2x*+4x+2 dx* + dx


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EL Xa: 2A+B+C=-2 =» C=-4

2A+2(2Ax +B)+2( Ax,+Bx+C)=2x,+4x+2 : 2A = 2

=> A = 1 ; x: 4A + 2B= 4 = » B = 0

X*: 2A+2B+2C=2

y= yt +yp= C,é"'Cas(x)+C,e'*Sen(x)+x’ O

Y= y. +y, = C,e-+C,Cos(x>+CISen(x>+x* -4

=» C=0 0

y,-+4yn =8 (6x*+5)

y'+/ -t- y' +y=x*+2 x-2 El polinomio característico de laecuación diferencial s: e P(r)=r4+4r*= 0 s> r* (rV 4) =0 => r=0 ; r^±2S 4Sen(2x) ye= C, +CIx+CJCoe(2x)+C

p(r)=r 1+r, +r+ l=0 =* r! (r-t-l)+(r+l)=0 =* (r+l)(r’ + l)=0

yp= Ax4+Bx* +Cx* =* ^ Ye= Q e - +C!Cos(x)+Q¡Sen(xO)

Lasoluci ón particular toma laforma: , ciy_ d*y_ yp=Ax5+Bx+C => 77 - = 2Ax+B =» — ^ =2

v

X*:48A=48

0-t-2A+2Ax’ +Bx+C =x* +2x—2 Mediante identidades algebraica s: 3Í : A = 1 ; k 2A + B = 2

=4Ax‘ +3Bx’ +2Cx

d'y. d’y d‘y„ — ^=12 Axs+6Bx+2C=-> — ^=24Ax+6B=> — ^ = 2 dx* dx5 dx4 Sustituimos en laecuacióndiferencial:

=» A=1 ; X:24B=0

X*:24A+8C=40 =» C=2

=» B=0 y= ye+yB=C,+ C,x+C 1C06(2x)+CJSen(2x)+x, +2xI

I

SOIUCIONARIOANALISISMATEMATICOIV

j


-

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1 0-3(2A)+2Ax'+ 2Bx+2C=6x,-18x Sustituimos enlaecuación diferencial:

Mediante identidades algebraicas: x’ : 2A=6 =» A=3 i K 26 =-18 => B=-Q

•íjr -2^ !£+ y= x’ -5 =* 0- 2( 2A) +Ax’+Bx+C =x*- 5

x\-6A+2C=0 => C=9

Medianteidenti dades algeb raicas: X*: A=1 ; x: B=0 ; x': -4A+C=-5 =» C=-1

El resultado final: y= yc+ yp=Cje/B + C ^ + C ie-‘+4e, C‘+3x,-9x+9

El resultado final: y =yc+ yp= <}**+<;xb~ +c,e-“ + qm ?+- >1? © 0

^2- 2^+ 5y=2 5x*+ 12

y* -3y *+2y= 6x( x-3 ) ^■77TT7V,^W El polinomio característico de laecuación diferencial : es P(r)=r*-2 r+5=0 => (r -l )’ +4=0 => r,=1+2i ;r, =l-2 i P(r) = i<-a*4-2=0 =* (i* -2)( i* -l )= 0 => i; =>/2 ^ =-/ 5 yc= Qe’Cós (2x)+C,eTSen(2x)

í = -1 ; r4=1 Lasolución complementaria es:

Lasoluci ón parti culartomalaforma:

y. =C,eA + C ,r^ +C,c- + C,e* Lasoluciónparticular toma laforma : dy d*y yp= Ax*+Bx+C =* -^£= 2Ax +B => -^ = 2 A d*y. „ d*yB ■^ =0 : — 0 Sustituimos en laecuación diferencial: ^

- 3 d¿

y„ =A>? +Bx+C =» -^ = 2 A x+ B

=> - ^

=2A

Sustituimos enlaecuación diferencial: - 2 ^ +5y=2Sx* +12 2A-2(2Ax +B)+5(A x’ +Bx+C)=25x* + 18 Mechanteidentidades algebraica s: X*:5A = 25 =>A = 5 ; x:-4A + SB= 0 =» B = 4

+ 2 y = 6 x* - 1 8 x

x*: 2A- 2B+ 5C = 12 =» C = 2 g

SOLUCIONADOANALISISMATEMATICOIV


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1

l De donde: y=-4C c6(x)+CtxGGs(x)+CjSen(x)+CtxSen(x)+3x+4

De donde: y= y. + y, = ci +c,x+c,x* +c,e-* + | ^

Laprimera derivada: ■^ = 4Sen(x)+C,Coe(x}-C,xSen(x)+C]Cos(x)+C 1xSen(x)+C,xCoe(x)+3 ©

©

/+ 2/ +3 y= 9x m zz zz m

y " +V=x

y"+2/ +3y =9x ...(1) El polinomio característico de laecuación diferenc ial es:

y‘- + V = x .. (l ) El polinomio característicode laecuación diferencial es: r^+r’ sO => i*(r +l) =0 => r=0 ; r^1

P(r)=i*+2r+3=0 =» (r+1)*-1+ 3=0 =* (r+1)* = -2 => r= -lW a Existe n dos afe r esimag inaria s. Lassoluc ionesson: e'ICos(v'2x), e"Sen(-/2x). Luego la

Existen cuatro raíces reales,¡gua teatres ellas, a las soluciones son: 2 y e" e'. x. lue x go lasolución com plementaria es:

solución complementaria es:

y ,= c, +ctx+c1x' +c,e"“

y, = C,/2x) La solución particular toma lafor mar y^ Ax+B, pera con 3 ralees iguales a cero

La solución particul ar toma la forma y„ = Ax+B, pero con 3 rafees iguales a cero

tendremos:y„ = Ax+B

tendremos: yp= Ax 4+BxJ — = 4Ax" +38x? => ^=1 2Ax *+6 Bx => ^ = 24Ax+6B=>^| =24A 1 dx dx dx1 dx* Sustituimos en laecuación diferencial: y*+y *=x => 24A+24Ax+6B=x Mediante identidades

x: 24A = 1 => A = — 24

Sustituimos enlaecuacióndiferencial: y*+2/+ 3y=9x => 0+2A+3Ax+3B=9x Medianteidentidades:

x:3A=9 => A=3 X*:2A+3B=0

=> B=-2

X*: 24A+ 6B=0 =» B = — 6

“


_

t

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□ y„=A x+B

derivando:

= A=> y£ =0=5. yf= 0 K y=y n+ y»= C1+Cpt+cix*+C,Coa(x)+C5Sen(x)+

Reem plazandonelaecuacióndiferencial: y*_4y,+5y'-2y = 2x+3 =>0- 0+5A -2(A x+B) =2x+ 3 Medianteidentida des:« -2A=2 =>A=-l B=-4 de donde y„ =- x -4 ©

; x*: 5(-1)-2B= 3

8

©

y*-y,=3(2x^y (0) =y'( 0)=y '(0 )=1

=> y=yh-*-y„ =C,e’ +C,xe*+C1 e,''-x -'<

y ’+y ” = x’-I

P(r)=r*-r= 0 => ^ -1 ^ = 0 => i=0 r=±1

Con raíc esrealesy una olución s en cero , lassolucione s son: ea,e " y e ' ; Luego: y=q +C,€ r'+q e* Determinamo s lasolución parti cular, la que tomalaforma: P(r ) = r’ +r’ =0 =» Ia(i* +1)=0=> n=0 con multiplicidad 3 n=±i y„ =C, +QX+C.X’ +C|Cóa(x)+C,Sen(x) la solución particular correspon de aúnaparáb olacon tres rafe esencero: yp=AxJ+Bx4+Cx1 derivando: y{ =5Ax4*4B¿ +30«? =» y^=20AxJ+12Bx’+6Cx => y£=60AxV24Bx+6C

Derivamosara p obtener los términos de laecuación diferencia]: dy d"y d*y _ , = 2 A X +B ;^= 2 A ; ^= 0 Sustituyendo en (1> 0-2Ax-B=63x De donde:

Y," =120aX+24B => ypv = I20A Reemplazamos en laecuación diferencial: y’ +y'1=x*-1 => l20A+6QAx,+24Bx+6C=xs-l Por comparación: x':60A=1 =» A = J L

;

A= | f B=>6 Luegolasolución neral ge de laecuación diferencial es: y= y, +y , =» y =c ,+ c, r- +c,e*+|x* -6x

x:24B=0 =>B=0

Hallamos lasconstantes: y (0}=y' (0)=y*(0)=1 X*: 120A+6C=0 =* C= -^ C,

SOLUCIONAR«) ANALISISMATEMATICOl\


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1

l Metíante identidades algebraicas:

Sustituyendo en(1):

*2A=1 =» As=I

y" -6 y' +6 =0 =» -36A=-6 De donde: A=J

y=y,+yp

y -y .+ y ,

y- C ,+ C Ix+C,x*+Cve* +¿

O

; X*:2A+B = 1 9 B=0

Luegolasolucióneneral g de laecuación diferencial es:

Luego lasoluci ón gen eral de la ecuación diferencial es:

©

• y, =C,c-CoB(x)+C.e-Sen(x)+|

7y '-y ' = 14x

/+ 2/ +2 y= x+ > 7y'-y’=1«x El polinomio ca racterístico de laecuación diferencial es: y'+y '+2y= x+1.. .(l) El polinomio cara cterísticode laecuacióndifere ncial es:

P(r)=7r*-r=0 = > r(7r-1)=0 ==0; >n Con rafe esreales , lassoluciones son:e'n; e*y luego la solución complementaria es:

P(r)=r*+2r+2=0 =* (r+l)*-1 +l = 0

y, = c, +{:,**"

=> (r+1)' = -l => r=-l±i Con ralees imaginariasyunasraleesr eales , lassoluciones on: s y e^Sen(x); e TCos(x)

Lasolució n particular tom a laforma Ax-t-B, ypuestoque una raíz es cero mu seltiplica porx:

luegolasolución com plementaria: es

yp=Ax*+Bx

y ,= C < ,CoB(x)+C,e-“Sen(x)

Derivamos ra paobtener los términos de laecuación diferencial:

Determinam os lasoluci ón pa rticular,laque tomalaforma: yp=Ax+B Derivamos para obtener lost érminosde laecuación diferencial: dy. = A = * — d’y.= 0 dx dx* Sustituyendo en<1> 0+2A+2Ax+B=x+1 j

— = 2Ax+B => ^ = 2 A dx dxSusótuyendo en(1> 7(2A>2Ax-B=l4x Mediante identidades algebraicas : X: 2A=14 => A=7 ; X*:MC7)-B = 0 => B = 98 luegolasolución ge neral de la ecuac ión diferenc ial es y= yj + y¡>=> y!=C+Ctexn , •*-7xs- 9Bx

SULUCKJNARIOANALISISMATEMATICO(V


—

1 _

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1 1

Luego lasolución señera) ecuación de la diferencial es: y= y, +yP => 0

-5e*

(11. O

Resolver Ia9ecuaciones diferenciales siguientes: y'+ y = 3Sen(2x)+xCos(x)

y*+y = IOe”‘ cuando x=0r y=0 a y'=0. □ polinomio ca racterístic o de laecuacióndiferen cial es : y' -2 y’+ y=a e*-( l) El polinomio carac terístico de laecuación diferenc ial es :

P(r) =r*+1=0 de donde: r*±¡

P(r ) = r»-2r +1=(r-l)*= 0 =>«¡=*=1

Puestoque lassoluci ones son imag inarías, solución la complementaria s: e y. =C,Cos(x)+qSen(x)

Con ra feesrealesr epetidas, lassoluciones son: , luego: xe’e*y

Lasolución particular toma laforma:

ye=C,e¡'+<;xe!> Determ inamos lasolución particular, debe la ser diferentea lassolucion es halla das, por que toma laforma:

y, = ASen(2x)+BCos(2x)+(Cx* +Dx)Sen(x)-t-(Ex* +Px)Coa(x) Lasderivadas de estaexpresión:

y,=Ax*e*

^

=2AGos(2x)-2BSen(2x)+(Cx* +Dx)Cos(x)+(2Cx+D)Sen(x)+

Derivamos paraobtener las términos de laecuación diferencial: dyp 2^^^,

d’y„

^

t

Axe’

+(2Ex-t-F}Cos (x}-(Ex’Fx)Sen (x)

*c* ^

Sustituyendo en(1): y'-2y/+y=2e*

+(2Cx+D)Cos (x)+ (2Cx+DjCos (x)+2CSen (x)+

2Ae'+AAxe”+Ax’e*- 2 (2Axe’ +Ax V )+VAx= 2e*

+2ECos(x)-(2Ex+F)Sen(x)-(Ex*+Bc)Cos(x)-(2Sc+F)Sen(x)

2Ae*=2e* =» As=1 Luego lasoluci ón ge neral de la ecuación diferencial : es

Sustituimcsenlaecuacióndiferencial: y '+ y= 3Sen(2x)+ xCos(x)

y = y ,+ yP => y^.e'+ CjXe’ + x V g

SOLUOONARIOANALISISMATEMATICO IV

=-4 Sen( 2x)- 4BC os( 2x)- (
«»»■».odukpenua**^


—

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-4ASen(2x)-4BCos(2x)-(Cx*+Dx)Co6(x)+2CSen(x)+

y.

+(2Cx+D)Cca(x)+(2Cx+D)Cbs(x)-i-2CSen(x)+

+c,¿*

Lasoluci ón particular tom a laforma: y. =ASen(2x)+BCos(2x)

—2ECos (x ) - (2Ex+F)Sen (x )- (Ex*+FSc)Cca(x)-(2£x+F)Sen(x)-t+ASen (2x|+BCos(2x)—(Cx’ +D)Sen(x)+ (ESx1 +Fx)Cos(x)=

Lasderi vadasde estaexpresión: -^■=2ACos(2x)-2BSen(2x)d*y„ ; = -4ASen{2x)-4BCos(2x)

= 3Sen(2x)+xGos (x)

-3ASen(2x)-38Cos(2x)+(4Cx+2D)Ccs{x)+2CSen{x)+ +2ECos(x) -{4Ex+ 2F) Sen(x)=3Sen(2x)+xCos(x) -4ASen(2x) - 4BCos( 2x) -t - 2ACosI 2x) - 2BSen(2x) — -6ASen(2x)+6BCos(2x)=——

Sen(2x): -3A = 3 => A = -1; Cos(2x): -38=0 => B=0 xCoe(xj:

4C=1 =» C=¿ ; Coe(x): 2D+2E=0

^

-l0ASen(2x)-10BCcs(2x)+2ACoe(2x)-2BSen(2x)=—

xSen(x): -4E=0 => E=0 D=0 ; Sen(x): 202F=1 =» F=| Sen(2x): -10A-2B=- ;

y = yc+yp=C,Coe(x)+C,Sen(x)-Sen(2x)+- Sen(x)+— Cos(x)

0

y'+ y'- 6y= Sen( x)C os( x)

Cos(2x): -10B+2A=0

El resultado fina l: y=y. +yp= ^ e- +C, e- _lsen (2x )_lco s(2x )

0

y'-4y'+5y = Sen(x)+Cos(x)

P(r) = r’+ r- 6 = 0 de donde ( r+ 3) (r- 2) =0 => r=^3;n=2 n

SULUCIONARIOANÁLISISMATEMATIC WQ


^

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1

i

□ polinom io caracte rísticodelaecuación diferen cial es P(r )=r *-4 r+ 5= (r-2 }, +1 = 0 de donde: r=2±¡

El polinomio característico de laecuación diferencial es: P(r ) = i*+1=0

Puestoque las soluciones son lese rea imaginarias, la solución com plementaria es: Lasoluci ón particular toma laforma .-

yc=C,Sen(x)+CtCoI(x)

Lasderi vadas deestaexpresión:

yp= AxSen(x(+BxCos(x)

^=ACo s( x) -BS en(x ) ; ^= -«e n (x)-B C o B( x)

las derivadas de estaexpresión:

Sustituimos enlaecuación diferencial: y'-4y'+ 5y=Se n(x)+Ccs(x )

= AxCas(x|—BxSen(x )+ ASen(x)+BCoe(x)

- A S e n( x ) - B C os ( x ) - 4 A C c s ( x ) + 4 BS e n ( x ) +5ASen( x) + 5BCos( x) =

, =-AxSen(x)+ACos(x)-BxCoa(x)-BSen(x)+ACoa(x)-BSen(x)

= Sen(x)+Cos(x) -4A Cos(x) + 4BS en(x)+ 4ASen(x)+4BCos( x) = Sen(x)+ Cos( x)

Sustituimos en laecuación diferencial: / + y = Sen(x) -AxSen(x)+ACos(x)-BxCoe(x)+ ACos(x)- BSen(x)

Cos(x): -4A+4B=I

A=0 ; B=i

AxSen(x)+BxCos(x)= Sen(x)+Cos(x) Simplificamos: 2ACos(x) -2BSen( x) = Sen(x) +Coa(x)

El resultado fina l: y= y. - y , = C,e*’Sen(x)+C¿**Ccs(x)+ O

r=±¡

la solución parti cular tom a laforma:

yp= ASen(x}+BCos(x)

Mediante identidades algebraicas : Sen(x): 4A+4B=1 ;

de donde:

Puestoque lassoluciones ima son ginarias, solución la comp lementaria es:

Y< =Ce**Sen(x)+C,e*'Cas(x)

Sen(x>.-2B=I ; B = -^ ; Coa(x> 2A=0 ; A=0

- ^ + y= Sen(x ) j

SÜLUCIOMAWOANALISISMATEMATICOrv

“


I

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1M0..I

1

C

El resultado final:

y= yc +yp= q + q e I*-Y (S en x+CoSx)

y=y <-y„ =Q Sen (x)+ C,CoB(x )j £ 2 Í2 Í IV.

O w

O

ResolverIa3ecuaciones diferenciales sisuientes: üí-âe-Senx dx’ dx

4y"-5y'+y=e*(Sen2x-Cos2x)

p( r)=4 r'- 5r+1= 0 ^ (4r-!) (r-1) =0 => r = 1 _¡ 1 1

l II II1 M Yc=CTe*+C1ex" yp-e ' IASen2x+BCos2x j

P(r) =r*- 3r=0 =* r=0 ¡ r=3

e los valores de A y Derivand o y operando en lamism aforma delejercicio an terior setien B obteniendo: Lasoluciónparticular es yo =e”‘ (ASenx-BCosx ) y. = ^(-11 Sen 2x+ 5Coe2x)

y.' =2e**(ASenx+ BCosx) + í-BSenx) yp"=e**[(4A-58)Senx+(5A+4B)Cosx]

y=C ie*+C,e'“ + Í L (-11Sen2x-t-5Cas2x)

o

Reem plazandoenlaecuación diferencial

y'"+y"-2y=e"^ (2Cosx+xSenx)

e’“[(4A-5B)Senx+(5A+4B)Cosx]-3e*,[(2A-B)Senx+{A+2B)Ccsx]=2e*ISenx [(4A-5B)-(6A-38)]Senx+[5A+4B-(3A+6B)]Co5x=2Senx (-2A-2BjSen x-(2A-2B)C csx = 2Senx

-lay-=ete[-s7t_CF]=_í í5““*0*“) J- 2A- 2B = 2 [2A —2B = 0

ÍA +B =- 1 ÍA = -1 /2 A =*| b = -1/2

i —

P ^ r 1+r* -2=0

=» (r-1) (r,+2r+2 )=0 =» r=1 ; r=-1±i

yc= C,cT+C,€"“03ax+C,c"*Senx yp= e" ((Ax+B|Cosx+(Cx+ D)Senx)


—

1

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Operando enl amism a forma de lo anterio r setie

•>(r) =r *+ 1= 0 Solución complementaria: Y*=C,Cos(x)+C1Sen(x)

f(x)y,dx _ j Cts(x)Sen(x)dx -|Cos(x)dx= -Sen(x) * ~ F r f(x)y>wdx f Ccg(x)Cos(x)dx f Cos'(x)dx r[l -Se rf (x)]dx = J“Ü ^ T =J Sen( x) =i ------------7 ------------

"■=^s^5"^Sen(x)d,t= ü’Wl)]+Q“(x) y=yc+my, +my, =c1cos(x)+clsen(x )-Sen(x) Cos(x)+Sen(x)


x)

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P(r)=r*+4=0 dedonde: r=i2S

y = C,Cos(X)+ C,S en (x)- Se n{x )Ln ^(|) J

aria: y.=c,Cos(2x)+q,Sen(2x)

•■b ¡ usa a

a -~ » — « -

El polinomiocaracterístico de laecuación diferencial : es P(r) =r’ +1=0 de donde: n=ii

m =ln[Tg(x)]+Coa(2x)

H s a - ca sa —

y= y.+ my , +mys=C/S»(2x)-.-CiSen(2x)-Sen(2x)Cos(2x)-(+Sen(2x|Ln[Tg(xj]+Sen(2x)Cos(2x) a ft-

y *

-

y=y«+M,y, +M,y, =C1Cos(2x)+C,Sen(2x)+Sen(2X)Ui[T s(x)]

Solución generai: y= yt +mv, +mys=C,Cas(x)+C,Sen(x)+Cos(x)Ln[Gas(x)]+xSen(x)

O

O

y’+2y'+2y = e"'Sec(x)

■^+') P(r)=r!+2r+2=0 => (r+l)Vt=0 =


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Con raf eesrea lese imaginarias, lassolucion es son: e^Cos(x) y e'* Sen(x). luego la solución complementaria es: yc=C,C-'Cos(x)+C,e-*Ser(x)donde: y, =e~*Coa(x) y, = c' “Sen(x)

El polinomio característico de laecuaciónal«íferenci es: P(r )=rJ+4r+4=0

Determinam os lasolución particular. Paraello determinamos l wroskiano: e I e-*CoG(x) e-S en( x) W |-e—Cos(x)-e"*Sen(x) e^Cos-e^Sen(xj (x w= e^ Co í (x)-e'*”Sen(x)Cos(x)+ e^Serf (x)+

(r+2)’

r^2

Con raíc es reales repetida s, lassoluciones son: er** y luego xe-®1 la solució n complementaria es: yc=C,¿-te+C,xr**

Determinam os lasolución particular. Paraello determinamos el wroskiano:

+€*-Sm(x)Co8(x)= «r* [Coi (x)+«f*- (x)]= (f1 Puestoque solución la particular toma laforma: y» =ny i +p.y.;y"=M.'yi +p.y. =f( x)= e* sec^x) Puestoque lasolución particular toma forma: la

Resolviendo el sistemase obtiene y.fM

yp=P.Vi +M*y.;y'=MÍyi1

t4_ y/ (x )

= f(x)donde f(x)= x'e*'

Resolviendo el sistemaseobtiene: M, = -í ^

, - J

p,

^

^ ^jr L

K

S- ( ^ c -J T, ( x ) d x , U , [ C o . ( x ) ] c

= jd x = x

Luego lasolución general ecuación de la diferencial es: y= y,+ y»= y,+ MiYi +Msy.

M

y« =C^'"CoB(x)+C^"“Sen(x)+e"*Cos(x)Ln[Cos(x)]+xe"‘Sen(x) y’*+4y'+4y=x"*e"**


.

dx = /x-* dx =-l

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Luego lasolución general ecuación de la diferencial es:

y= y,+y„=y.+n.y,+my, = Qe-*-+c,xe-'’ -e^Ln^-e-** O

/ +y =VM „ - jyi f(x)_ ^Se n(x)Ts'(x)H Si t=Cos(x)

=»

dt = -Sen( x) dx

P(r)=r’ +1=0 =» r=±i Con rafe es realesimaginarias, lassoluciones on: c Cos(x) y Seníx),luego lasoluc ión

Luegolasolución generalde laecuación diferencials: e

y=y,+yp+u,y,+usy« y =C,Cos(x) +C,Sen(X)+Sen(x) Cos(x) -Coe(X)ln[Sec(X)+T g(X)]+ +Tg(x)+Sen(x)Cos(x) y=q CoS(x) +C,Sen(x)+Sen(2x)-CoS(x)U,[Sec
y"+y=Sec* (x)Csc(x)

Puestoque lasoluci ón particular com a laforma: y* =my> +i*.y,;y/=PÍy ;+Ky i =f(x)
1 SOLUO ONAR IOANALISISMATEM ATICO VJ


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Reso lviendo el sistemase obtiene: y. “ “.yi+u.y. ; y ,=u\ y,+u\ y, = f(x) ; donde f(x)=Sec1(x) Resolviendo el sistem a se obtiene: í M

Luegolasolución gen eral de la ecuacióndiferencial es: y= y,+ yp= y, +u,y1+u,y,

; ... M í)

u, = -J[Sec (x) - Coa (x)]dx= -LnfSec (x)+Tg(x)J+Sen (x)

y=C,Co8(x)+< ; S e n ( x ) - j^ +^ t í = C lCo.(x)+C,Sen(X) - , ¡ ^ l ^ Luego lasolución general ecuación de la diferencial : es y= y, +y p=y1+u,y,+u,y ,

y=^C oa(x )+qiS « n (x )- g g = q C o ,( x)+£^Se,,(x) -J co 8(x)

y = (^ Coe(x)+ Sen( x) - Coe(x) Ln[Sec(x)+Tg( x)]+Sen(x| Coe(x) - Sen(x) Cos(xj ©

y -<;c«(x)-H <;Sn (s)-C os(x)L n[Se c(x) +TS(x)]

y" +y= Ts (x )

©

y +y= e- Se n( e- )

El polinomioracterístico ca de laecuación diferencials: e P(r )=r '+1 =0 =>

^■TrTPTTi'T^W

r = ±¡

Con rafees imaginarias, las soluciones son: Cos(x)y Sen( x), luegola solución P(r)= ^-1= 0

complementaria esc

*

r = ±i

Con raíces imaginarias, las soluciones son: la complem entaria é~*y ¿ , luego solución

Yc=C,Cca(x)+C,Sen(x) Determinam os lasolución particular. Para ello determinamos l wroskiano: e - f eS |

H 2 & sg—

»

-«

-

Yc=Cie'+C,é‘ Determinamo s lasolución particular . Paraello determinamos l wroskiano: e

—

y www.Solucionarios.net

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Luego lasolución general ecuación de la diferencial es:

|-e~

y=y1+yp=yi +4y¡+ny. er*Cosfer*) p-** o y=C,«r* +C,e» +------— l- f §-Co6{e-)+ |e-*Sen(e -)-3Co e(e-)+3 e',Sen(e-*)

y.=“iy,+“,y»;y'= u,,y1+u'ty,= f(x ); donde f(x)=tf<*Sm(e~) ©

fe n(e-) rYji(x) V*Se u’= -H r dx=- J— í J w emo5z = e

=>

u= z’ »

’

e-ê níe-) 4* - - / — r“

2

J

.x dz = -e„ ^d => du = 3z’dz

9

y"- 3y'+ 2y=C os( e'* )

Cosíe’*) k= — H

2

P(r)=r*-3r+2=0

du=2zdz

=»

u»=I rz'Sen(z - -d z)

u=JCoe(z)dz = Sen(z)

u,=-jCos(z)+|[z’Sen(z)-2jzSen(z)dz] u=z = >

du = dz

=»

r=l ; r=2

u= JSen(z)dz = -Cos(z)

»■fe

u, = - ^ Coa(z) +|j'z,C os(z)fe u= zI a»

=»

Con raíces reales repetidas, las soluciones son: e'y e1“,

Í K

.ett=e*‘

Puestoque lasoluci ón particular toma laforma: y,= u^, +u¿ y, ; y' = u', y, +u',ys=f( x); donde f(x)=Cos(e'*) Resolviendo el sistemaseobtiene:

u= JS en (z )d z= -C os (z )

... _ v. fM

. ...

“•= " 7 CoB(z)+|z’Sai(z)-3[-zCos(z) +J'Cos(z)dz] u. = ~ ^ Coa(z)+ ^ z*Sen(z)-3zCos(z)+3Sen (z) Cos(e"*)+!«r®Sen(ef*)-3eT’Co«(c",')+3Sen(e**)

•¡— ^ —^ ít t-h 'C aele ^)e ^


I

Hacemos

t=c"*

=>

dt=-e'dK

u, =-J«Cos(t)dt = -lSen(t)-Co8(t) = -c"*Sen(e‘,‘)-CoB(c"*)

J

^ ^ =- 3 h (|)x =9U , [ co . ^) ] 3

Luego lasolución gene ral de b ecuación diferencial es:

y=y, -*-yp=y,+u,y, +u,y,

Ui=j I ^ =jfKlHlL=3

y =C,e* +C,e*' +e"Sen(e"r]-e ê n (e-*) -e'^Cos (e— ) y=C,e*+Cte**-e-Cos(e«) ©

1 0

El polinomio cara cterísticode laecuacióndiferencia l es: P(r)=9rV 1=0

, J l-

y" -y =S en *( x)

=» r = ± i =y,> =q Cos(|)+q, Sen^j

H

JHEZEZLUBÍ El polinomio característico de laecuación diferencial es: P(r)=t*-1=0 =» r=± l => yc= C,e-T+ C,e'

v, J “ ( f ) k

x

y=y,+y,,=y.+“1* +u.y.

= Sec[|] 9y"+y

w>

jdx=3

3 Luego lasol ución ge neral de la ecuación diferencial : es

i)

H

ir

U

Js

UJ H '; ?.

y» =Hy,+y.y, ; / = « ', *

+u',y, =f(x ); donde f(x) = Sec^| |

Resolviendol sistemase e obtiene: '

w

'

l <~ : 1 .............

y, =u,y,+u,y, ; y' = u1,y ,+ u',yj = f(x ); donde f(x)=Sen’ (x) Resolviendo ei sistemase obtiene:

.

„.=*!& * w

—


I

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I — »— . — ) y,-«w+>wi ;y'=u',*+«*** =*(*);dondef(x)=Sen’(*) il*— y
^= ““ 6*+“ J e*Cae(2x)dx= —"je*+-“JexCûs{2x)d)c u’=4e’+ëtCœ(2x ,+2 Sen(2x Q U, = P ^ =fe^ (x)dx=^Je[1 -Cos(2 x)>

y» _

y»^)

4 = _ j ^ d x = -|^ £ £ ^1<= jjx »e ^ e- d x IntEgramos por partea: u=xe_I =»

du = (r * -x r * )
“■=ì[Kt^ y= C,e~+C,e« - Ç e«+£g I[C os( 2x) +2Sen (2 x )] -Ç

-f£r[-C“ (2x)+2Scn(2x)] * 0

y= Cie -' + C ¿ '- l+±C ce(2x)

Integramos por partes:

u=xe* »

du = (e*+xex)d>i; v=J x e 5dx = e*

y"-y = xV~

P(r )=i *-1 =0

=» r = ±1

=>

Yc=CiB-~+Ctex

y= yI +y „=y .+u 1y,+u,y , y = C < «+C ^« +^ x e ^ +^ - * ] - Ç ^ - e ^ * ]

-fe ; j - t a-1*' Puestoque lasoluci ón particular toma laforma:

™


www.FreeLibros.net 1 ^

m

y=C,é-*+C,c*+el 0

y"-2yV2y=3x- t-¿,Tg( x)

* = í [ 3 ^ Co 8( x ) +Sen(x)

] dx=

i ^+ ^

+i ^ - C

o

y= y, + y„ =y ,+ “,y,+u,y, Cl polinomio característicoecuación de la diferencial es: Yc= C,e*Cos(x) .+C,e'Sen(x)

-^Cos(x)Ui[Sec(x)+Ti 3(x)]-fe»Sen( x)Cos(x)+3Se^ W -

ly, y*1 _1 eTCos(x) e'Sen(x) 1 _ |y, y'il |e’,Cos(x)-e'Sen(x) e’Cos(x)+e
y=<;^ Cos(x )+C;e'Sen
W = e**[Cas* (x+) Sen(x) Cos(x) - Sen(x) Cos(+x) Sen*(x) =] e*“ 0

Puestoque lasolución particular toma forma: la

+e'CoB(x)ü,[Sec(x )+Ts(x )]

y“+y =xCoa( x)

y.=u iyi+ uty1; y ,=u ,1y1+u,ty1=f(x ); donde f(x)= 3x+ éTg(x )

MUEHHM

Resolviendol sistemase e obtiene:

u.,=j ^ )

.

ui

□polinomio característico de laecuación diferencial es: P(r)=i*+1=0 =? r = ±i rafeesimag inarías

Lueso:

yc =C)Cos(x)+C>Sen{x)

u =_ J^!Í W dx= j[3 -e * TS(x)]e>Sen(x)dx

Determinamos el wm sidano:

-■fe sH

3S

3 3 - « - » -

Puestoque lasoluci ón particular tom a laforma:

-ln[SBc(x)+ Tg(x)]+ Sen(x)

y» =H y, +^ yS ;y ,-u '.W +u ’1tt « f( x ); donde f(x)=xCos(x)

1

..

—

...................


§

S( x )

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Sen(2x)Cos(x) xSen1(x) xSen(x)

Resolviendo el sistem a seobtiene: _ rJ fr)

... .

.

v ,f c. w *

yM*)

i v ,i

p

0

^

P(r) =r,-7 r-6= 0

]

y, =C Je -+ C ^ -- +Cje1“

’

2

Operando en lamism a formaque los ejercicios anteriores setiene: yB= ef**(2Senx+3Cosx) y=C,e"’ +Cle',”+C,e,“+e‘®‘(2Senx+3CQSx)

v=JSen(x)Cos(x)dx =» v = SclV(x)

u _xSe n-(x)

(r+1)( r+2)( r-3)=0

Sea y„ = u,e'"-*-ii!e'+u,e?' 'S:‘

_ J y'fl(*) _ f xCa(x)&n(*: du = dx;

»

S» r, = —1 i r, =-2 ; r,=3

x* xSen(2x) x* Sen(2x) x* xSen(2x) Sen(2x) U ,=2 ' 4 4 8 4 + 4 4 8

u=x

y 7 y '—óy =2óe-,“Cosx

l h -C o e ^ -l

J

2

2

fiJL

2

J

O

y“+3y'+2y=Sen(e*)

■■- x w íx i Luegolasolución gen eral de la ecuación diferencial es: El polinomio ca racterístico deecuación la diferencial : es

y= y1+ y, = y, + u1y,+ u,y,

P( r) =r *+3 r+ 2=0

+

xSen*(x)Sen(x) xSen(x) Sen(x)Sen(2x) 2 4+ 8

y,=C ,e f +C;e-*‘

=*

(r+ l) (r+2) =0

donde: y,r* = ; ys= e“**

Determinam os lasol ución particular. Paraello deter minam os el wroskiano:

Hv;,


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P(r)=t*+ 4r+4= 0

y„= u,y,4 u.y, ; y'=u', y, tu^y, =f (x) ; donde f(x)=Sen(e*)

y.f(*):ifm y.fM

u.

=»

(r+2)*=0

=»

r =-S

Con ra fees reale s repetidas, la s soluciones son; e"*' y xe"* *; lueg o la solución complementaria es: Y, =C,e_‘*+C,-xeJtx donde; y, = e" *x ; y, = xe'"1*

Resolviendo el sistemase obtiene;

Determinamo s lasolución particular. Paraello determinamosrosldano: el w = -J -^ dx=-[ e

wJy , A II ^ J =^ |y\ y .n -a e 5“ - 2xe-" +«r”j

■U =J S^ ( e- ) e- ttc=-c os( e»)

Uf =j2¡ j á =j l ^ ^ l dx= _je xsen(e x)e,dx. t=e. ^

+c -«+ 2xe-‘'=e -*-

dt =e > y» =uiyi+u.y .•Y' = u\ Yi+ u^y, = f(x ); donde f(x) = ~

u, =-J tSen(t)dt

Resolviendol sistemase e obtiene:

u= t =» du = dt ; v = JSen(t)dt = -Coe(t) u, = tCoe(t)-JCos(t)dt = -tCoa(t)+Sen(t) Uj = e’Cos(ex) -Sen(e* ) Luego lasolución general ecuación de la diferencia] : es

y=y.+yP=y.+uiy> +u»Ys y = C,e"*+C,ex-e^Cos(e* )+ e"*VCos (e*}-e'*'Sen(e’') y=C fi~ +Ctex-e"*“Sen(e”)

Luegolasolución gen eral de la ecuación diferencial es:

y=y.+y,=y.+u,y, +u,y, ©

Y"+4y'+4Y=:

y = C ,e -+C ^ - +e -l i. (x )- e y =C,e"**+CjXe-**+e’*tn (x) 0

y"’_y"+y = 4xe>

I SOLUC JONAR IOANA LISISMATEM ATICO W


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Coe(x) Sen(x) -Sen(x)+Coe(x) Sen(x)+Cos(> -SCos(x) -2Sen(x) 2Sen(x) -2Cce(x)

W= H -W

^

Cos(x) Sen(x) W;=( x’ +1)|o Cos(x)-Sen(x) Sen(x)+Cos() 10 -2Coe(x) -2Sen(x) W, =e"*(x* '

¡ X xj =2( 2)( 2) [c œ* (x )+ ^ (x )]= 8

] -BCca(x)

Sen( x) +Cos( x) j= -2Sen(x) |

ominamos ahoraW^W^W, y W, : 0 e’ Cos(x) _ 0 e* -Sen(x) 0 e' -Cca( x) x*+1 e' Sen(x)

Sen(x) Coe(x) Sen(x)| Co a(x) =-(x«+l)e' -S«n(x) Cos(x)l -Sen(x) '** -Cos(x) -Sen(x| -Cos(x¡

W, = -2(x* -l)e~[Seri* (x)-Sen(x)Cos{x)+Cos' (x)+Scn{x)Coa{x)] W, =-fi(x*

|e* Cos(x) Sen( x) =—( x"+1) 0 -Sen(x)-Coa(x) Cos(x)-Sen(x) 10 -2Cos(x) -2Sen|x)

¿sai

V4=(s?+l1oSé- Sen{x)+Coa(xfl=-*( * + l)Sen(x) jo 0 -2Sen(x)

,=-S (x* +l)e*[Sen' (x)+Sen(x)Coa(x)+Cos,(x)] «■ O - W 0 I

W, =-(x* +l)e*Sen(2x) Cos(x) Sen(x)I -Sen(x) Coe(x)| , -Cos(x) -Scn(x«y I Sen(x) -Cos(x)|

Cos(x) Sen(x)| -Sen(x) Cos(x)| -Cos(x) -Sen(xj


«.

£ I S S ! =-(x*+i)p ; e' e‘

Sen(x) x*+ J

I e’* £‘

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I®-* e“

c“(*) i

W.=-(x* + l) 0 2c” Cos(x|-Sen(xj =-*(x*+l)Cos( x) I 0 0 -2Cäs(x) I

ut = -j l— - i — dx integramos por pattes: u=x*+1 => du=2xdx v= Je rd x= -e~

_ w; _-(x*+l )e*Sen(x )

“’"W

8

_WS_ 2e~(l+x*)_ e~ (l+x*)

;U ,- W“ W, 1 W

u

W.

8

4(xVl)Sen(x) 8 4(xVl)Coa(x)

=_

u, =(x*+l)e-“ +2 j xe*“dx

4

(x^QSenfx) 2

Integramos por partes: u=x => du=dx : v = Je ^d xs -e -* Ui = (x*+ l)e- —2xe"“ +2Je-dx =(x*+1]e~ -2xe~-2e^

(x'+l)Coa(x) (x*+l)Sen(x)^

u= x’ + l => du=2xdx ; v=Jsen(x)dx =-Cos{x) u, =(x* + l)Cos(x)+J Cos(x)dx=(x*+ l)Cos(x)+Sen(x)

u=x*+1 =» du=2xdx ; v=Je*Sen(x)dx=*^[Cos(x)-Sen(x)J

*='i(X*+’>f[C“(X)-SEnWHiXE,‘[C08<^-M*)*] Integramos por partes: v = ;e*[Coa(x)-Sen(x)] dx =Ç [S en(x)+ Coa(x)-CoS(x)+Sen(x)] u=x*+1 => du=2xdx ; v=JCos(x)dx=Sen(x) V = |é“Coa(x)-Sen(x)ctx= exSen(x) = _( X'+1)"l6 [C“

JVSen(x)dx

“■=~v Cos(x)-Sen(x)] I

U, =-(x* + l)Sen(x)+|Sen(x)d>t=-(x, + l)Sen(x}-CGB(x) Puestoque Usotuc iónparticular toma laforma:

[ N


y »= “.y,+ ‘i,y,+u1.yJ+u^4

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w

o

. u,=_ l£fc)

w

Reso lverloasiguientesej ercidos Luegcc ^

xJy'V2x y'- 2y=0

u‘=f^w^ dx=f3^ f dx=3idx luego lasoluci ón ge nerai de la ecuación diferencial : es y= y, + yp= y, -*-u,y, +u,y, v»

xr

3x*e __,3 »

_r

x V*+2xy'-2y =0 ,

d'ydy dV +ì2 dy L-2 = 0=>r,+r-2=0=>( r+2) (r- 1)=0 -^+ 2Ì£d y-2y =0 »^-£ dF dt+2d i 2 y-°^d ?r + * -2 f=> => >«C,e‘“ +C!Ìe* perox = e’ =»y=C,N"*+C,|x| 0

x*y"+xy'-rty=0

d’y dy , dy , 0;=) y=C,Cca(3t)+C,Sen(3t) pero x = e’ y = Cioè (3Lr»|xj )+C,Sen (3Ln|xj |


www.FreeLibros.net 1 “EDUARDOESPVWXZA RAMOS

O

1 CAFflULON

r = 2±V3¡ raícesimasinariae: y= C, e" Co a( VS t) +C ie*5en(VScj

*xV ,-8x y'+ «y=0

perox=e>=s. y=C ,|xf Cos (V5 jiM)+C t|x|, Sen(V3Lnm)

Seax=**=>t=Ln (x); además: — se“1— dx tk

=> dx

O l dr

x*yVxy'- p*y = 0

dt )

Reem plazando en laecuacióniferencial: d 4x*y- 8xy'- ^ = 0 =>4* V

j-8 e V& +9y = 0

4 ^ -4 ^- —8 ^ +9y=° =*4 ^ -1 2 ^ -+9y=° => 4r *- 12r+9=° =» ( 2r -3)* = °

Reem plazando en laecuación diferenc ial:

r= | raícesrealesrepe tidas: y=C, e5*'*+C,te,t" perox =e‘ y=c ;Wí +c1|>f>Ln|’l O

x*y"-3xy'+7y=0

Laecuación característica: r’ - p ’ =0 =*r = ±p aí r ces reales: y= C,e"‘*+qe l* perox =e‘ =>y = C,*-" + CjX" p* 0 O

xV"-2x *y*- 17x/ -7y =0

Reemplazando en laecuación diferencial: BE3E

xV-3 xy'+7 y =0 =>e*V,*^ j£ - ^ j- S e -e -* ^ +7y =0

Seax=¿=> t = Ln(x|:además: * = r ' * ; dx dt dx* K1 g

_

—

^dt* dt)

i

. .


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-13 —7Í

4^ Derivam os respecto a laexpresiónanterior x

(r+l )(i * -6r-7 )=(r +t)‘ ( i* -7)=0=> r=-1

r=7

raleesreales: y=C,eJ +C,teJ +C,e" perox=e* t=Ln|x|+Clx’ O dx

= - 2 e - ” eJí-y- ^) +eJ *í - V — IJdF dt J ^d F dx "d? dxJ

x’ym-*-4xV"-2y=0

1

dx =edt*‘— dx ^ Sea x=e'=*t=Ln(x);ademés:—

= I,e-dtí ^ dt-) ^ )

S — * ® -íH S -S ) Reemplazando en laecuación diferencial: xV" -2xV-ITxy'-Ty=O £^+s£ +t£+4 £- «&-l r. O *4? +¿-| £-8y. dr dr dt dt dr dt dt1 dt* dt


O


1 (r+l)(i*-2)=0=>r=-1 ; r=±V5 raícesreales: y= C,er’ + 0 ^ +C1e''* pero x=e* y -U + c M f + c J lf

O

Reem plazandoenlaecuación diferencial:

2x Y+x /- y= 0 dt1

dt”

dt

dt

dt

dt:

dr*

dy

Lasolución complementaria: r1-6r* +11r-6 =0 =>(r - l)( r- 2 )( r- 3 )= 0 r = 1- r =9 ■ r=3 Reemplazandoen laecuación diferen cial:

Rafeesreales: I +Cie*pero


x = e’

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0

x*y"+2xy'+éy = 0

©

a. dy _e- . ^ d’y _ cr»rd*y Cty^l dx d t’ dx* " l^dt* dtj

(Zx +1)*y *-2(2 x+!) y'+y =0

Sea2x+1=e’ =» t=ln(2x+1)¡además:

Reem plazando en laecuación diferencial: Rafeesimaginarias: y =C,e“'',Co6 ^p £ j +Cte_t,,Senj^|p j pero x:

H H M S fc* »- ' - S - í - S * »^ _ 2 ^ + v =0

0

Lasolución complementaria: r’ -2 r+ 1 = 0 => r=1; r= 1

xy'+ y'sO

Rafeesreales: y =q e* + qt ^ pero 2x+l=e ' y= C, (2 x-! )-C ,(2 x+ l)U.(2x+1) O

x*y”-3xy" +3y' =0

Seax=é=>

además: * _«-* ; dx dt

dx*

^dt* Jdt

y=C,+ tC,= »y=C ,+C,t JTx SOLUC IONAR IOANÁU SISMATEM ÁTICOIV


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1

Con rafee sreales , lassoluciones son: e*'3y teL1; luego lasoluci ón com plementaria es: y =C,e” +C,te"’ Puestoque x = e1 => t=Ln(x) Luegolasolución neral ge de laecuación diferencial es: y=C,e” +C,te”’

Reem plazando enl a ecuación diferencial: ^ dt 3

dt*

dtJ e*

^dt* dt J e*r

dt e *

Simplificando: o

El polinomio característico de laecuación diferencial es: >.

a. «- g .S

Hallamos: 0

-*

(S

4 )

:

P(r)=r’+r *-r-1 =0 => (r+l)‘ (r-1)=0=»r =1 ; r s-1 Con da s raíce s realesrepetid as, lassolucionesson: e’;e”'; y te- ’ ; luegola solución complementaria es: y=q x-t-< ;jr, +c1*J

Derivamos respecto a x laexpresiónanterior

Puestoquex=e‘ =>t=Ln(x) Luego lasolución general de laecuación diferencial: y=C,x+C¿x-’ +C,x- ln(x)

Si x=el ; — =e^ dx

dx

^ dt

dt ;

iv

dx’

l^dt

dt ) \_clt

dt

dx dt

)dx

dtJ


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,,fd^_dï V_5e.d i: +_4


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1

\

* $*— (30

El polinomio característico de laecuación diferencial es: P(r)=r*-2 r+l = 0 =* (r -1 )'= 0 => r=1 Con ratee s reales, slasoluciones son: e'y te'; luegolasolución com plementarias: e y=C,e’ +<^tE* yp=AtE* y'=Ae‘ +Ate‘ y‘=Ae'+2Ale’ En laecuacióndiferenc ial: ií ^ - 2 — +y=2e’ => Ae' + 2Ate*- 2Ae‘- 4Ate' + 2Ateht=2e' dt* dt

□ polinomio cara cterístic o de laecuacióndifere ncial es : P(r)=r* +9=0 => r=±3i Con rafee s imaginarías, lassoluciones son: Sen( 3t) y Cos<3t), luego lasolución complementaría ea y =C,Sen(3t)+C,Cos(3t) Ahora determinamos lasolución particular con una raferepetida. yp= AtSen(3t |+BtCca(3t) y' = ASen(3t)+BCos(3t)+3AtCos(3t)—3BtSen(3t|

=>-A e’ =2e' => A=2 y=ye+yp=C,e‘+C,te‘+2te' Puestoque x=e*

t=Ln(x)

y'=3ACos(3t)-3BSen(3t)+3ACos(3t)-3BSen(3t)-9AtSen(3t)9BtCos(3t)

Luego lasolución general ecuación de la cfiferen cial es : y=C¿t+C,xLn(x}+2xLn(x)

y"=6ACce(3t)-6BSen{3t}-9AlCos(3t) En laecuación diferencial: £

+9y = S en(3t)

=» 6ACcs(3t)-6BSen( 3t)-9AISen(3t) 9BtCos(3t)+9AtSen(3t) -<-9BtCos(3t)=Sen(3t)

y?Y +x/+9y=Sen[3Ui(x)]

■$■■*($-!) Reem plazando enl aecuación diferencial:

=> 6ACos(3t)-6BSen(3t |= Sen (3t) Mediante identidades algebraica s: Sen(3t|:-6B=I ; B=-í Cca(3t): 6A=0 ; A=0

-------------


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El polinomio característico de laecuación diferencia] s: e j


-

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L Reemplazandoen laecuacióndifere ncial:

O

Encuentreunasolución particula r de: (D+2), y=12xe"“‘ '

Simplificando: Hacemos z = 1^ g =» z(D+2)=12xe -“ =* •^+2z = l2xe-* - £->-

•

Ge. lineal z =e-l*[|e’í*(l2x B-)dx]=e-**[l2jxeV -tb c]

□ polinom io caracte rísticodelaecuacióndifere ncial es : P ( r ) = r * - 1 = 0 => r=±|

z= e ' , “[l2j 'xd x] =e '** ( 6 x! )= 6xV** Ahora en (1>

Con rafe esreales , lassolucionesn:se e-1y c’; luegolasolución com plementaria es:

y= ^_ 2 _ (áxV *') » y (D+ 2)= tote*'= >^ +2y = éx'e-’*

y = C ,e -R e  Ec. lineal:

puestoque x-e * s» t=Ln(x) Luego lasolución general ecuación de la diferencial es:

Y. =

y= c,x +c ^r 1

^ (óx’e'**)dx] = e ^ [ájx* eê^d x] yf = €r'*[6jx1dx]=íT"‘(2x3)= 2 xV "

o

(D-2 ? y=6xefc


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■ Ec. lineal: (D-2)1y =6x¡e,’‘ =» y = ‘*Xg"' =>y =— Í ^ L S É LcI)L (D-2) (D-2) L(D-2)J Hacemos z = ^ l =» z(D-2)= 6xe’* =»— -2 z = 6xe*i‘ D- 2 k ' dx Ec. lineal z =e’í‘*‘[j e ',,,‘r(6xe**)dx j=e*' [6jx e~e,“dx]

£)

(D+3)l y=15xse'to

z = e'*[ój xdx]= e**(3x*) = 3 xV*

Ahora en (1>

Hacemos z = l^ f Z l =» z(D+3)=15x,e',r D+3 dx — +3z=15x,e'5' Ec. Lineal z = e',í* Jje,J* (l5 x,e'"' )dx] = e^ [isJx’e’V d x ]

Hacemos z= ^í! £l ^ z(D -2) =3x*e ’' ^ D-2

dx

z =e'“ [l5j x'dx] =e"“ (Sx ’ JsS xV 1“

— -2z=3xV* Ahora en (1):

Ec. lineal z= e* í* [je ^( 3x V ‘)d>cj=e’6‘[3 jxV ,'efcdx]=e,*[ 3jx*dx]=eb(x, )= x V ' Ahora en(2>

v=r5T?)[fSÍ] -®

Hacemos z= J2! ¿1 =» z(D+3) = 5x3e',*-í+ 3z =5 x,eJ ' D+3 dx ’

i


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2= ^ [ j es/-(5*>e-)dx]=e-[5

jx»e>*e-d x]

z=e '”‘ [5j>edx] = e* ^ X4j =I x*e~

en(2): y =— ^ï^x’e'-j

u=

=>y(D+3) =|xV“ ± + 3y =|x*e**

e-*J*e**( 16x)dxj=e **

I6x) dxj

E-,I* |je ,J* jj* * V jdx j= e~‘"j j Jx*e*e^*dxj Hacemos u= 8x e D

=>Du = fix’ e”' =» - ^ = 8x*e” => u=4x ’e**-4xe** dx

De donde: ^ = 4xV * -4xe’*+2e** O

D, (D-2) , y=16et '

y=2x*e’*-2xea +e,>-2xe*'+e“‘ +e" =2xV* -4xe" +3e**

16e'* D’(D -2)*y=1 6e’=<^ y = D*(D-2)*

____1

D, (D- 2)i_D—2J

O

(Dl-D- 2)y= 18xr«

Hacemos z =25î— =» z (D- 2) =1ûe"' ^ - 2 z = I6e'“ D —2 ^ dx Ec. Lineal z = e,i*|^Je^'*(lûxe’=‘)d xj = eK[l6je -*,efcdx]

Hacemos z= ^5îE _ =» z(D+l)=18xe"* =» Í +z = ISxe" z =e~l* [ Jeí~ (l8xe~ }dxj = e*[iaj xdx]=9x’e-*

z= e,x( l6j'dx) = 16xe*<


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Y=^~-

«*y'-2y=9xV* * y =e,í‘ * ^ e-’í*(9xV *)dx] O

(D +l )*y =e^ +3x

y =e“ [9jx V~ dx ]=-e ^3x' * +2x +| je-°“ = -e~ ^3x! +2x +| j

O

(0-2) ’y = 20 -3xe’*

( D+ 1)y = ^ + 3 x.y

1 r 20-3xe&1 (D- 2)* y = 20-3xe**=» y =80-3x6*’' (D-2)(D-1) (D—2)L D-2 J

Hacemos z = i l l ! ï

=_

_5 = —

j

* z(D+l)=e - +3x=» ^ + z = e-+3x

z=e -/*[ j6i“ (3 x+ e-)dx ]=6 -[je«(3x +e-)dx] = 20-3x6*' =» ^ -2 z = 20-3x6*“

z=e"*[J'(3xe’‘+ l)d x]

z =e’I“ | j e"*i* (120-3xe** )dxj = c**[J (20e-**- 3x) dx] - --f i

3x*il

3x V

Int por partes: u= x=> du = dx . v= Je ’dx

z= e -(3xex- 3Je-dx+x)= 3x- 3 +XEAhora en(1>. y = 3x~ ^ [xe" » y'+y =3x—3x+xe"* y= e ^ j e ^ (3x-3+xe-“ )dxj= ^ [f e * (3 x-3+ xe**)dx]

D-2 y= C‘H f e - H - , 0 J ^

y= e -Q (3xE*-3e'+x) dx] = e"^3xB'-3 e«-3e ,,+ ^ )

Vg


-------------

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O

(D’-4D+4) y=6xV

(D-8)(D-2)

D+2

2=w ~ ( d-2)=6x V'*

=>*(D+2) =16xe-*x+8 +4

i - 22=6x^

=e*i*[je -i*(6x-e-)dx]=e **[ Je -( 6x *e-)d x ]= e -[J K )d x ] +2z = 16xe-'*+8x+4 z = 2x1e**

z =e"*i*'^Je'i‘,'(4+8x+16xe"*v)dxj ‘“'[Je ”' (4+8 x—16xe* )dx]= e-*[J(4e** +8xe»' + 16x)dx]

y = _ _ * y . _ 2y = 2x V y = e’i* [j

z = tf*1 (ae*”+4xete-2e*1+8xs)= 4x+8x’c-**

(Sbc-e- )dx]=e - Q e - (2x>e*- )dx] y =e ** (2 jx' dx ).2 Ç

-

=> y,-y=4 x+8 x1e'<* 0

(D- 3) ’y = e*

y= eJ* jje 'ffc(4x+ 8xV to)dx]=e*[j'e-*(4x+8xV*')dx] y = e" [J (4XE-*+8X*e“*)dxj integraciónpor partes u= 4x => du = 4dx ; v = Je'*dx= -e "'

u= 8x’

(D-3)V

>-3)(D-3)

du = 16xrix. v = JV Ädx = J Hacemos z=-f!— » z(D-3)= c“

+4je’"'

3

3J

=» — -3z

z=e Ii* [je Jit,'(C“ )dx]= c-[je*(c*‘)dx]= e*[Jdx] = xe

3x'e~'v 16xe~°* 16e"1“ 3 ” 9 ~ 27


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"

1

I Ahora en (1):

Ahora en(1>

y =2 2- I & )

-

—

=» y"=xe- =» y‘= Jxe-’dx

^ u= x_ , du = dx ; v=Jer*dx=-er*

y = e3í - [ j e-’í* (xe- )dx] = e - [| e - (xe» )dx] = e1*(J xdx)

0

y'=-XB"* +Je"”d>c

D( D- 2) y=^ “

0

‘ ’M

'' " " -

(D*+3D+2)y = >cSen(2x)

Ecuación característica

- a)

P(r)=r*+3r+2=0 =» (r+l)(r+2}=0

f* Hacemosz= D-2 ' 2)=c* ' ^ dx ^ -2 z = c “‘ -L —=» z(D’ z = e-/*[je ^(e-)d x]= e-[je-(^)d

=» r = -l ; r= -2

x]=e -[jdx]=

^

Solucióncomplementaria: y1=C,e -+C Ie'**

Ahora en(1> «» ....

Determinamo s lasoluci ón particular medianteoperadores diferenciales

, - sf.

(D* +3D+2)y=xSe n(2x)=> y= __ l__ ^x Se n (2 x) 0

ff (D +l )y =eu = - ^ ^ 5
FI=eí’W‘ =eJ~ =* . e^du+aeûdx = xe'*S en (2x )dx

9 z(D+l)=e'* =»-^+z=e-

Jd(ue*‘) = Jxe*'Sen(2x)dx 2=e-/-[jeí*(e-)d!c]=e«[je*(«r*)d)c] = e-*[j«k]=xr* B

—

— " ’ I


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Integramos por partes:

ue*- =2xe**Ccs(2x)-2je**Cas(2x)d x

u=x ; v=Je**Sen(2x)dx=— [Cos(2x)-Sen(2x)J ue*“=—

ue** = 2xe**Cos(2x) - e*' [Cos(2x)+ Sen(2x)] u=2xCos(2x)-Cos|2xj-Sen(2x)

[Cc6(2 x)-Sen(2x)] -Jje*[Cos(2x)- Sen(2x)]dx

y = y, +y,=CfT +C,e_,x+2xCos(2x) -Cos(2x) -Sen(2x)

ue* = í¿[ Cc s(2 x)- Se n( 2x )]-^ [Cos(2x)+Sen(2x)+Cos(2x)-Sen(2x)] ue*” =^ -[C os (2 x) -S en (2 x)] -eg Cos(2x)

O

(Cf-4D+3)y=2xe’* +3e‘Cos(2x)

u =2 [Cos(2x) -Sen (2x)]- i Cos(2x)

P(r) =r* -4r -*- 3=0 = »(r-l)(r -3)= 0 » r=l- r = 3

u=^7 F)K2xC“ (2x )_2 xSen(Sx )_c“ (2x )] => Du—2u=J ) 2xCos ( 2x) - 2xSen( 2x)—Cos(2x)]

y, =C1e*+C,e:”

Factor de integración n=eK>* =eJ~ =e».

DetEitninamas lasolución particular mech anteoperadores diferenciales

e*“du = +2e»*udx=i[2xCos(2x)-2xSen(2x)-Cos(2x)]dx Jd(ueto)=J{2xe*‘[Cos(2 x)-Se n(2x )]-e&CQs(2x))dx

v =J{2e'‘ [Cos(2x)-Sen(2x)Jdx=è" [Cos (2x)+Sen(2x)+Cos{2x) -Sen(2x)]

_ 2xe ^3er OS(2x) =_ _____ ¡ 1 _r 2^ (D-1)(D -3) (D— 1) (D-3 )L

+3eXoB(2x)1 J

u= — L_[2 xc,,‘+3exCQs(2x)] =» Du-u= 2xeI'+ 3e’,Cos(2x)

v=J{2¿'* |Cas(2x) -Sen(2x) Jj

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Factor de integración Integramo s por partes:

FU.f'W*

u= x_^ du = dx er*du-eT*udx=[2xe**+3Cos(2x)Jdx

v = J{2e,, ÍCoa(2x)-Sen(2x)]jdx=e**[Cos(2x)+Sen(2x)+Cos(2x)-Sen(2x)]

[ d(ue’ )=J[23œ’*+3Coa(2x)]dx

V = J (2e**[Cos (2x )-Sen(2x) ]jdx=2e"Cos (2x) ue"' =2xe*‘Cos(2x )-2 j e,*Cos{2x)dx

u=x; v=2je,-dx=í*

ue1*= 2xebCos(2x}-e**[Cos(2x)+Sen(2x)] u= 2xGos(2x)- Cos( 2x) -Sen(2x)

ue- =xe**-Je"d>t+?Sen(2x)=» ue- =xe" -£L+|sen(2x) ue**-^-[ Q» (2x )-S en (2x )]-^[ 0a «{2 *) +Sen(ïx) +C ob(S x)-Sbi (2x)] ue- =“~ [Cos(2x) -Sen( 2x)] — u

Cos( 2x)

y, =

©

+0,** + 2xCoa(2x)- Cos(2x)-Sen(2x)

(tf +50+6)y=e'**Sen1(x)[l+2Ts(x)J

[Cos(2x)-Sen(2x)] —^ Cosf2x)

Ahora;

U= (dÍT ) ¿[2xCos(2x) -axSenCS^j - Coe(Six)] P(r) = r*+5r+6=0

(r+2)(r+3)=0 =»

=>Du+tu=i[2xCos(2x)-2xSen(2x)-Cos(2x)]

n*( x )-t-8e**Tg (x)Sen* (x ) e**du+2efcudx = J[2xCcs(2x)-2xSen(2x)-Cos(2x)]dx Jd (ue**)= I {2xe**[Cas(2x )-Sen (2x)]- e*Cas(2x ))dx


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G

y

Factor de integracián

W*M]

n _ e/>t«)*= ei:>*=ei«

rt. .3.-

W c-[f-

â = fe )Ô.0

, ).Ï^

Î! )L

=» Du+2u=c-*Sen, (x)+2e 'HSens(x)T8(x) u=',-^|--^ -L [c™ (gx )-Sen(2 x)]-±.[Cii.(2x)+Sen( 2x )]+ j£^ L ÎilÎîti dx

n = J ^ =e ' I~ =e*'

e’-du -c-u dx =[Sens(x)+ 2Sen’ (x)TS(x)]dx

” *=¥ ^ - ^ t 3^ ( ^ sen(gx)]+je^^c“!rcflc“ -"'
J ^ w

as I

y= y, + y, y -C .^ + q «- .i ïl

-(° .3,1

0

-^[3C «(ix) .a r( i«) J^ [û »(3 x) ,asm(a«)J,£[c«(x),am(<)J

(d ’ +6D+ q)y =2eJ "Sen(x)

I

I SOLUOONA RIOANA LISISMATEM ÁTICOrv


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n = cfH-)*=ef“ =ei. P(r)=T*H-6r-n9=0 => (n-3)l =Q=>

r = -3

e”“dij -nS^'udx = e^ [C1b ( ï ) - 5si(x)]dx

^

= Ç [H ^ W +Sm(x) - SC™(x ) +5a, (x )] ui1“ =es“5en(x) =>u= e'"Seii(x)

EEJ,“Seníx'} I t r . (D+ 3)s =>y_(D+3)'[D T3jta e

Y= y±+y,

,

y = ^ - +^

+e-& n (4

Fkctor de Lnteg íaíJón n = cf ^ = ef - = e[juesQ îd u-e ^d x = 0Eên(x)dx Jd( ueI“)=2 je ‘Sen(5e)dx=> ue?& “ =[Goa (x}-S en(x) J u = e~[Cos(x)-Se n(x)] Ahora u=7 ¿ i¡^ [(^

K)- Sen] =><* +* =^ M *)-s»(*>

]

SOLJUCIOHAKIOANALISISMÄIEMAT1CwO

SOLUCIÜHARIOANALEIBMATEMATICOIV [ !


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Q

£

xy" -y' -4x) y = lóxV

x[l-xln(x)]y"+[l+ xsLn(x) ]y'-( x+1)y =[l-xLn(x)]1 c" ^ =¿t y = Ü I^

^ _e >' y >_ r.. , [l« tn (x )]

(x+l )y

[1-U.( x)>» ----------—

Arreglamos laecuacióndiferencial: Lasolución particular ea yp= C,( x)y ,+ C, (x) y, donde C ,(x )+ C;( x)so

y" -—y- 4x* y= •6x'ex" Lasolución particular es: y0=C,( x)y ,+ C, (x )y , donde C,(x )+C ,(x) sc

í

í e""C, (x) +e^C, (x)= O [íxe^C, (x}-2x e- ^C ,(x )= 16xse**

|( i - *M* Í K

;M-I

e

y, = C, (x)y, +C, (x) y, =

Lasolución: y =C,e1’ +C1g-1 ' +2xV’ -e-’f

-e ^ e' c,(x)=L_

l. V M

‘

-------

-^-ln(x )e'

. ['-xtn(x)]

u=ln( x) d u = ^ v=Jdx=x=» C,(x) = xLn(x)-x

le’ 0 [l-xLn(x)y| [,-xLn(x)]e* *C,(x) = *tott|


=L l z ^ ] i *

, | n -a.M

.»; , < » 1

C'( K)= JIj,(x)d, t Luego:

e’,C,(x)+Ln(x)C.(x) = O

{ e.-Ci(x)^

— -Ln( x)e"

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0

O

y±[Ts(x)-2Q8(x)]

y+2Qs *( x) y=0 ty1 =Sen( x)

,=CSen(x)J—

■

O

p(x)=Ts(x)-2Qs(x).

x*y "- xy '- 3y=5 x\

-

fr»

_____

x(x- 1) y"- (8x-l )y' +2y = x'(2x-3)t y, =x*

n*(x)

I— ■ Y = C,y, +C1y1=C,Sen(x)+ C,

y, » Cx -JI —

äen»

, * = Cx. J f _— ----------

*

.•M

y. =cx’J -

SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOl\


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Lasolución particular es:

Y, = Ce*f-^ 7dx=Ce*fxe^dx; u=x ^ du=dx ; v= fe-*dx=-eJ e J J

■

y= Ax ’ +BxV Cx+D

Y#*Ce*[—xe““+Je“*dx]=Celt[-Me“*-e" *]= C(x +l)

»1 laecuación diferencial: y' = 3Ax’+2Bx+C

y"=6Ax+2B

=qy,-<;y,=c,e'+c;(x+i)

(x* -x )y “-(2 x- 1) y,+2y=2x* -3x* ( x ' - ^ ( 6 A * +^ - ( 2* - i ) ( aA ^ +s» «4 C) . í ( A* ' ^ *Q t+D) .i!x1-ax*

0

y« _ 4y-i 2y= 0 , y, =

A lf a í- ín í- fa * ^ .íx^Bfibc* íx -4x‘+****■). C( 1-2>c.Sx)t2D -2x“-a** A(-3x* +2x,)+B (-x,)+ C +2D=2x ’ -3x' X1: 2A = 2 =»

A =1 x*: -3 A -B = -3 => B=0 C+2D=0 Luego,lasolucióngene ral es: Y= C1x, +C ,(l -2 x) +xa

Q

I

. , , „ y — 4y — l2y=0

■

xy" -(x +l) y'+ y =0, y, =e*

„ . . donde P|x| =. —♦

HallamosV,: Y ,= C Y ,J ^ ld x = C e -J ^d x = C e -/ Jd * = C e ‘« J ^ II

Y, ^ e ^ L -je ^ L c

y=C ;y1+CIyI =C1e*+C,e*‘ la ecuación diferencia l sepuede escribir del modo siguient e: y - ^ y + J L . =0, donde P ( x } = ^ í

©

y“+ y’T¡g(x)+yCos'(x) =0 ,y, = Cos[Sen(x)]


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y"+y"r$(x)+yCas*(x)=0 donde P (x)=Tg(x) Hallamos Y,: V « J —

'

0

En elextrem o de u i muellesespiral ujeto s al techo, se coloca un pesode Slibras . El peso qu eda en reposo ensu posición de equilibrio, en que la el mue lleaeha alargado 6 pulgadas. A continuación, else peso desp laza3 pulgadas por debajo de laposición de equilibrio y se aban dona ent= 0 con unavelocidad inicial 1pies de /se g., dirigida hacia abajo. Despreciando la resiste nciadel medio, y suponiendo que xiste no en fuerza s exteriores, determinar laamplit ud, periodo y frecuencia del movimiento ultante. res

Y, = CCas[Sen(x)]Tg[Sen(x)] Lasoluci ón comp lementaria es: y=Q yi

=qCo 9[Sen(x)]+QCo8[Sen(x)]Ts[Sen(x)]

Hallamos laconstantedel resorte mediante ley de Hooke: F=kx => mg=kx

=»

8= lcÂ j => Ic=l6lb/píe

Ecuación de los resortessin amortiguamiento:

Resolviendo: r*+64=0

=>

r = ±8i

x = C,Ccs(8t)-C,Sen|8t} Condicionesiniciales: t=0 ; x = iL =-| pie s; v= 1pie/s_ x = C1Cos(8t )-C,Sen(8t) =» C,Coe(0)+C„Sen(0)=- =» C, = ^ = -8Cên (8t )+8 CICos(8t) C,


=*

-8Cên(o)+8C,Cas(o) = I

de donde x =^Coa(8t)+^Sen(8t)

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í = Jq7s = I I 7 I = £ VM ^ V¡6 64 8

^ =-16C,Sen(16t)+16Cs Coe(1ót)

T Q

x-

-16C,Sen (0)+16Cs Cos(0)=0

;Jcoe( 16t)

C,=0 Amplitud : A =-^

En el extremo inferior de un muelle espiral sujeto al ted Periodo : T =— libras. El peso quedarepaso en enusposición de equilibrio, la que en el m uellequeda alargado1,5pulgadas. A continu ación sellevael peso 2 pu lgada s por debajo de su posición de eq uilibrio y se abando na partiendo de l reposo en t = 0. Hallar l e O

=•£ seg.

Al extrem o inferior deun muelleespiraluspen s didodel tec ho seligaunpesode 4IbaEl peso qu eda ensu posición de equilibrio enlaque elmuelle estaalargad o 6pulgadas. En el instan te t=0 se golpe a el peso demodo que se po ne en movimiento con una velocidad inicial de 2pieafeeg. dirigida haciaabajo. a) Determ inar el de splazam iento re sulta ntey la velocidad del peso en función el d

F=kx =» mg=kx

b) Hallar laam plitud, periodo y frec uenciadel movimie nto c) Determ inar los stan in tesenlosque el peso seencuen tra 1,5pulgada s por debajo de d) Determ inar lo s instantes en que se encuentra1,5 pulga das por debajode su

•’ +256=0

=»

r=±16¡

x=C,Cos(l6t)+C^Sen(l6t) Hallamos laconstante del reso rtemediante ley deHooke: :=C,Cos(l6t)+ClSen(l6t) =»

C,Cos(0)+C,S en(0) =Í

=> C, =•!


F=kx => mg=kx

=»

4= kí— 1 => k=8lb/pie

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0 ¿ £ + 96x =0- £+6 4x =0

=C,Cos(8t)+C,Sen(8t)

Lanaturalezade unuelle m spira e l estal queun peso de 225Iba. ledeform a 6 pulgadas. Ibs. q ue acontinu ación , quedaen su posició n de equilibrio. Enton ces se llevaa una posición 4pulga das por debajo de la del equilibrio se abandona en t=fl con na u velocidad inicial de 2pies'seg. dirigidahaciaabajo. a) Determinar el de splazamiento resultantecomo función el tiempo d b) Hallar laamplitud, periodo y frecuenc iadel movim iento res ultan te. c) ¿En qué in stanteatraviesael peso suposición de equilibriol yescuá suvelocidad en

= 0 x=0 v = 2pie/s. x=qCos(8t)+C,Sen(8t) =>C,Cos(0)+C,Sen(0)=0 => C, =0 Hallamos laconstante del resorte mediante ley de Hook e: ^=8C ,Cos( 8t)

=» 8C,Cos(0)=2

C, = i dedoode x=ls en(8t )

F=kx =» mg=kx

x=-jsen(8t|

a) El desplazamiento

=»

225= k ^ | =>k = 450Ih/pie

a) Ecuaciónde los resoltes sinamortiguamiento: Lavelocidad

v = ^ = 2Sen(8t)

b) Laamplitud

m.Í2 +0 — + kx= f( t) • » — ^ dx* dt 32dsí K'

+ 450x = 0=* dx

+«» x = 0

A = -l Ia+900=0 =* r = ±30i

El periodo

T= — = -^ =¿ seg.

La frecuencia

f=i=—

c) Parax=i|=Ipies:

osc'aeg.

x=C,Cos(30t)+C1Sen(30t) Condicionesiniciales: t= 0

isen(8t)l ==> Sen(8t)=i =>8t=^+2n.T

C,Cos(0)+C;Sen(0)=i

x = ^= ^p ie s v = 2pie/s =»C,= ¿

=» x=ic,Cos(30«)+Cên(30t)

^ = -I OSen(30t )+ 30C,Cos(30t ) => -10Sen(0)+30C,Cos(0) = 2 C,

N


de donde x =-| Cos(30t) + ^ Sen(30t)

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^=-0,383Sen(5t)+5t;Co5(5t) => 0,383Sen(0)+5C,Coe(0) = 0 C,= 0

=>

x= _0,0766Cos(5t) = 0,0766Sen

+^ j

wax = 0,0383m

0,0083 =0,0766S enj5t+^ j => De un res ortevertical cuya constan te de rigidez esigual a300Kg/m. sesuspende de 811 Kg. Si el pes o se levan ta 76,6mm sobresu posiciónde equ ilibrio y luego se suelta, calcular el instante en que el pesose halla a 38.3 mm. debajode suposición d e equilibrio m y oviénd ose haciaabajo. Halle tamb iénlaamplitud, periodo y frecuenciadel b) 0 periodo Lafrecuencia Amplitud

del re sorteenN:

S t+ ^ S U + i-

a>= 5iad/s

Sen^5t+ ^ j = 0,5 t =l

-*■

ta

A= ^C J+ C; =^0+0,0766=0,0766m

k = 300(9,8) = 2940Wm

=f(t)

■»

Resolviendo: r’ +25=0

118 ^+2 940 x = 0

L'npeso de 1,84 Kg. Suspendido de un resortel o estira76,5mmse tira del peso asta h bajarlo 15 3 mmde suposición de equilibrio y luegosue sele lta. Suponiendo que ctúa a unafuerzade amortig uamiento num éricam enteigual a 3v Kg., siendo v velocidad la instantá neaen m/seg , hallar la ecuación del movimientol de pesodespuésde haberlo

=>

(redondeado entero) => r = ±5i x=C,Cos(5t)+C,Sen(5t)

Íicialea: t= 0

x = -0,0766m.

C,Co6(0)+CtSen(0)=0,0766 =>

v =0

Lacons tantedel resorteen N: mg=kx =>

k = 1,84(9,8)/0,0766=235,71N/m

C,=-0,0i

x =-0,0766Cos(5t)+C,Sen(») SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOIV


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mg

+^

+l K=f (t ) , dx*

Resolviendo: r’ +16r+128=0

,, M$

+3 (9,8 )f+ 235, 7 ix =o o

J

1

+ 1íhÍ Í + 128x= 0 dt =5

s - »“

r+8 = ±8i

0 dz

x=C l^Q »( t )+ C ^ " S Cn(8t) Condiciones iniciales: t = 0

x = 0,l53m

0,1 53 =C ,(lKf (0)

C, =0,153

=»

*

I

x= 0,153e-"Cos(t)+qe*Sen(a«) Derjvamo s. * ^ = -1,2 2te- *Cos(t )-l,22 4e*Sen (t)-8C!e-“Sen(8t) +8C!e*Cos(8t) t=0 v = 0 ^ —1t224+8C,=0=» C, =0,153

1

1 1

Lasegun daderivad a enlaprimeraecuación: d ' x dy dz . . . d*x d’x dx d? = * + dí Ad onde: ^ . = x+z+x+y = »^ r =2x +_ Íí + ^ = 2 x de donde

r’+r-2= 0=> r=-S

r=1 * x=C,e-“+C *e‘

De donde-. x=0,l53e-"Cos(t)+0,153e-“Sen(8t) Laamplitud Q ángulo

1

¡estandolas dos primeras ecuacione s:

A = V ^+ C j =0,153^2 1 S (^)= S =i || =1

*

=»

¿= lra d

Laecuac ión delapc6Íció n : x= Aer',Sen((ut+¿)

=»

x=0,153/2e-“Sen(8t+»/4)

ÉL+Kf^S-cr+Cf-y

^ +y=2 C, e' -C, e-“

=>

- ^W

- C^-

y

y=e-J*[ j(2q e>-q( f«)eí ,*dt+C1]

y = e_,[J(2C ^t- C 1e"*Je'dt+C1] =>

y = ^[ J( 2 C le "- q e -)d t+ C1]

y = e- [ C,e»+ C,e-V C,] = Q,e‘+ C ,e +- Q e1Inahnente z: z=^_ y=- 2C, er “ + Cj e* -C, e’

- C. e" =» z = -aC,e--Cê-

--------------------- -----

—


i

“

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. !* « g « « !«

! í

i % dt dt à

de donde: — =3x+z+3x +y =>— = ûx+ _ dt* dt ydt‘

^= 6 x de donde

r*+r -6=0 => r=-3 . r=2 =» x= C,r “ +C,e“ d’z dsy_ dsx_2 *< d? dt* d?” d t

ï " ï =3 X"y

= 8 = 8( —2zl = -16z jf= -2 — dt 11 ’ dt a:

* 2 + 3C.e"‘-aC *“ = 3C ,e -+ 3 C^ ’*- y =* J - K ^ - i ^ +y = 5Cse“ =» y =e-f* [j(5C 1e**)eJ*dt+CI]

y=^[j(!<*■)«♦*.]• y S -S -S -S »

y -f v + q * 4

S -S -S -w

^ +2^+16

^+ 3 2z =0

=^ _y=_3C’e',‘+2C«e”-|c* e’,“cje r'a>z=“a c^ " ^ c-e ’,"c^ Lasoluci ón complem entaria: 1+! r

W

SOLU OONARIOWA LISIS M ATEMATICOIV

SOCUCIONAR IOANA LISISMATEMA TICOIV


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Ahora y: y = 6x- — = 6C,e” +éCê“ -3C,e* - SCê* = 3C,e"+C,e“ z =C,c'*‘ +Cste"lf' +C,tV*' ^ =C,e"“ +C,te'“ +C,t’e"*' y=- 2j(C ,c-“ +C,te-"

y=

+Ç,-Ç +<^ *+ C .Ç +C,tV"+C ,«** +C

, te

- ^ ^ + C,te'®'

Derivamos laprimeraecuación:

=

Con lasegunda ec uación:

la a

^=3^-4(2x-

3y)pero:

¿ £ ï- x = 0

de donde: r*-1= 0 =» r=±1 =» x(t )=C ,e ', +C,e'

4y=3x-±

=» ^

=3±-8x+ 3^3x- ^ |

=3x+2y

is a

luego: 4y =3x - ^

=» 4y =3C ^* +3C,e’ +C,e” ‘ -C¿e*

y= C,e -4c ,e*

Con lasegundaecuación: d * x _ , d x 3x- 2y pero: y = 6x—

Jg-fc-y » —r f x _

^ -8 ^ + 1 S x = 0 dedorote r*-8r+15= 0 =» r=3. r=5 x(t )= C¿ *+C ¿* ( T I SOL UCJON ARIOANA LISISMATEM ATICOW



1

^ = 2^-9 y+1 8x dt

^ £ ï= 4 - 9 y + 4-4y dt dt dt

« £

—

A..hora y

Resolviendo: r’ -4 r+ 1 3 = 0 » r = 2±3l Luego:

i

-

jv y . x=C,e * + Qe > -1

- 4 + 13y=0 dt de

y =qe*Co8(3t)+C,e»Sen(3t) si 9 x = ^ -2 y

x— dx +í

FH l^- ’K (Vs +i) y=C,£ • +C,e •

J±¡!

fV5-i )

i ±ü; « +t

*-ec,e-ca.(3t)-ac1«*SB.(3t) nK^sm(at)*aç,e*c«( at}- 2c^*Q*(3t)- acys»( at) (V Ê+3 ) ü í í ( V5+1 ) y = - j — ^C,e * +^- r J C j l ■ -1 De donde: ■3 -sc,«*c«(*>- ac,«-s«n(3.) *íc,^ún(ai)+ac.«íHi«(a.}-

X(0 )=- Z= *

ac,rt »(at)

x=C 1+C, -» = -Z

X=~ C,e”Sai (3 t) -J C,e"Cca (3 t) -i C,e"Sen(3t)

O

~r=x-y+t J x(0) = -Z S = x -2 y + 2t v

y (° H dx

y(o)=J ©

. -í dx d*x dx dy . En laprimeraeajaoón: dt =X _y + dt* = dt Con ^ =x-2y+ 2t en(1>

...

» (')-' X+y

t \ _ dt dt

^ =— -x+2 x-2— +2t -2t +1 dt* dt dt

1

dt* dt

y “^ -x + v dt y

»

dy - X => d*y dt dt* _ dt

d‘V - y =»d*v + v -0 dt’ dt’

r*+1=0 =» r= ±i =» y=C,CoB(t)+C,Sen(t)

-x=1 Resolviendo: r’+ r-l= 0

Jk i JR 1 -- ; r1=il-i=»x c=Ce ^^ +C ,¿^ 2 g' * 2 2 ^ M ^

SOLUOONARIOANALISISMATEMATICOIV

>M- °

Reem plazandolaprimera en lasegundaecuación

= ^- x+ 2y -2 c+ l ahoracon y = x—íj-t-t

Resolviendo:

r. =—

* c , +c ,= |

*"” * X=A

x '= 0

x=-^=C,Sen( 1)-C, CoB(t ) x(/f)— 1 y(
ivw*«*ikp«*uÆll»


u

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□ y=C,Cos(ff)+CISen(»)=0 =» C, =0 luego: y=-Se n(t) x = Coe(t)

k= 0 => C,=^;k=

1 -

: = 3 = , * -* -£ * -4

C4 = ^;

=» c,=-%=c

SOLUCIÓNDE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTESERIE DE POTENCIAS i de po tencia s de la forma y = Z L ,v l+ 3 +"Í8+Í62 "

O

3 +l8 +T6a ']^° n !n( 3 J

^ - x'y=° Aplicando laseriede Tayior: y^.=Q.Vx* . Deriva mos estaexpres ión:

2-a«^

Aplicando laseriede Taylon y =^ “ |)c-x*. Derivam os estaexpresió n:

Reemplazan do en laecuac ióndiferencial dad a: •^ -x *y =0 ZT.,-> x- - x*2L^=

o

o (l-x)2:,n c.x‘ -,-2 :^ c nx"= 0 Q + xC .+ ^n C .x ^- ^C .x ^’ = ° H acemos k=n- 3

Poniendo enuna mism a potencia:

^ (k + 3 )C ^x --^Ck x * - = 0 i:„*“

[ 0< +3 ) c ~- c; ] =o

-

o - x> ^ - y =

-

I

I

. M

c^= ¿-

=

o

K - ZW

V

=»

=ZU("+i)c».-c.y-2L^(n-i)x"=o C,-C0 +( 2C,- C,) x+2 Il[(n+1) C^-Cn- (n-1)C ^>-=0


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1

, igualam os losinicios:

Mediante identidades c .- c íc .- v í^.^ „.s

13

, . 3 - c - ÍLia 4 4

2 -

- c.

.a 8

.

=°

^ - k »

-2Q, - C ,x+ 2;j [(n+ 1)0, + no, - 2Q,]

=0

=^=f

Si v(*) = ZTj.C-** =C°+C,x+Cpt* +C.X* +Ct*, ._. SiC3= ^

c.x+S I !(n +1)^ x+*IL

;, ' * “ . . . - c . 4 4

0

y"-x y’+2 y= 0 ^nnüHiiiiw

y( ,) = C ,+Q ^ ( x - +x > f ( x ‘ +x- )..

Sustituyendo y = y “„c,x’ enlaecuación del diferencial nosotros tenemos: y= Q. (x+ i) ( n ^

....j = O, (

x

+

c.+( x+!)

y"- xy ,+2y = g n (n -l )C ^ -£ n C ^ % 2 g C „ x * O

=g(k +S )( k+1 )C k+2x‘-^ k e ^ -^ g c y

(i +*) ^- 2y=o

= t e,+>e.+g[(k4-«Kk+iK + Suponiendo que lasolución de laecuación diferencial es: y = £ ^ 0c,x*. f-

E «*

2c,+2c,=0 (k+2)(k+ l)C, +2-(k-2 )0„ =0

“

Reemplazandoen laecuación dffierencial dada:

(l+ x ^ -2 y = 0

(1+X) ^ “,r* c.x-,-2X ^c .x'= 0 V .n C .* - +2 n‘J'^.x"-8y*

*-(k -*K >* = 0

Asi

y C,=-Q, Escogiendo C, = y1 C, =0 nosotrasencontram os

TC. V = 0

C,=-1 Q =Q =Cr =—=0

Poniendo enunamism a potencia:

V“Jn+1 KL,x »+y: ,nC.x"-2y: B

—

C„ = 0 ,C.x=0 "

—

^ = ^ = < ^ = -..= 0


i

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c, =c,= c, =....=0 0

Y asf sucesivamente. Asi, dossoluciones son: y, = 1- x* 71

Demostrar que f( t )= t' tesde orden exponencial cuando t —>«;Vxe9 t

Paraque una funcióna de se or

yy. =x —1x* — - Xa... ' 7* fi I9fl Aplicando limites:

0

¿Lafunción f( t )= t’ esdeorden exponencial en [0,+a

Paraque unafunció n seade orden expon encial sedebe cumplir M sce -Wt fcO =» It^c er*

Um^íl)=Lim-^ Si hacemos y =£ ¿-j


=.

Ui(y)=

j

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Si hacemos y =^ p- j =» ln(y) = tL n ^ j

=> ln(y) =ljmL n^ t.U’^ ) =Um ip =Um(- t) L n( y) =® = >

y =e~° = 0

Porto tan» F(t ) = t1es dearden exponencial VxeîR A X Ln(y )=» =» 0

¿Es f(t) = tSen(l/t) continua por tramos en [0,+®>?

y=e ~ = 0

Por lotanto F(t ) = t*es de orden exponencial VxeîR A xè O ¿Cuá les de lassiguientes funciones son ontinuas c por tramos enwojo.>?.Razón esela

Analizam os lacontinuidad en t=0 a. f(0) noestadefinida b. LJmf(t)

a. f(t) =Il2

lira( -t )s Umj^tSen|^|jj sLim(t) i mj tSenQj j s O .-.a

H

U

b. fW = 7 ^ 2

41f(t)=e-

a) Paraque lafuncióneacontinua s sedebe cum plir-.

-1SSen^jà1=» -tâtSen^jst

«M -g|

*

t -i * ° -

-

Disco ntinuaevitablesi definim os f(0)= 0

|f(tjsce"’,'Jt&0

»

|t^scev*

t* 1

Luego lafunci ón escontinua en lossiguientestramos:

Luego lafunción es continu 0át<2 U c) Lafunción seacontinua en:

2
Ost<2 U

2
I SOiXXlNARtO ANALISISMA TEM ATICOW


df (t)=f

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te[0,4o

d) f(t)= t*. Lafundósín O

lo tanto

Demostra r queparacualquiernúmeroa re F(t)= e'' f(t )e s continua por tn , al

f, (t )= t" es continuapor tramos (por

que toda función

continua en l_a,b] es co ntinuaen[a,b] ). la fundón ^(t) =tCos( kx) es continua VteSR. En ] r. ^(t)=Cos(kt) e

[0,+c

m [ o,-ho >, por lotanto fj(t ) = t’ Cos(lct) es

J - Co6W . e

Para que lafimdón F(t) asea

Sea f(t)= f,(t )f,(t )=

Por definición: e” es continuaen t «[ o t+oo>

e D={t e¡H/ t*0} donde f ,(t )= t'\ f,(t)= l-Cos (kt), lafunción

^ (t )= r ’ es continua Vta ít/ ta O. En particular ^( t )= r ' es continua en

Pordefinición : f(t) escontinu a en te[0,+ ®>

<0 ,- K» >, por lo ta nto ^ (t)=t? es continua por tram os (por pro piedad quetoda

Por cantocF(t) escontinuaen te [o ,+ «>

fundón on c tinuaen [a,b ] es continua en[a,b ]) . 0

Demuéstreseque last uiciones dada s son continuaspor tram os y de orden ex ponencial en[0,+«>

Lafunción f,(t)=Cos(loc) escontinua VteSR. En par ticular, ^ (t ) = Cos(kx) es

a) f(t) = í“Cas(kl)

b) f(t) = 1~ ° ^ ^

Entonces como: f, (t) = t~' y ft (t) = 1—Ccs (kt) son cont

d ) f ( t ) =1 ~ S<^lI ClJ

e) f ( t )- —

c) f( t )= l^ ! f) f ( t ) = t - C h ( t )

continua en[O,+<»> ,por lo ta nto ^(t ) = l-Cc e(k t) escontin ua por tramos.

f(t) =1 c” (l!t) ^

c) f (t )= i- l- . El dominio: a) f(t ) = t’Cos( Id). 0 dominio:

e9t) {tD=

por tramos.

D={teM /t*0}

S e a f( t) = f, (t H (t )= l^ donde ^ (t )= t,f’(t)=1 r -e -, lafunción t( t) = f’

Sea f(t)= ^(t) ^(t) =r Co s(k t); donde f, (t )= f, {,(t)=C a¡(tó) , la fundón

«continua Vte 9t/ t* 0. En particular f,(t )= f ’ es continua en < 0,-*®>, por lo

f¡ (t ) = f escontin ua VteSR. En particular ^( t) =t * es continua en [d,+® >, por I SOLUCIONARIOANAL ISISMATEM ATICOS


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tanto f, (t) =t' es continua por trames (por propiedad que toda función continua

f(t)=Mt )(,(t) = C°a^ ' CQ5í ^ donde t (t )- r \ *(t) =Cos(t) -Gas(kt ),

en [a, b] es contìnuaen[a, b]). lafunción ^ (*)=*"' es continua Vtc9 t/t *0 . En particular ^ (t ) = r ’ es continua

La fundón fs(t) = l- e "1 es continua VteSR. En particular, ^(t )= t-é "* es

en <0,+oo>, por lo tantoI; (t |= t" escontinua portramo s (por propiedadueq

continua en[0,+«o>, por lo anto t ^ (t)= l-e"*es continuapor «ramos.

todafundón continuaen [a,b] es continuaen [a,b]>.

Enton ces comoc l¡ ( t ) = t~' y ^ ( t ) = l-e"* son continua s por tram os, en tonces f ( t )= ^~ C

La fundón

es continuaportramos.

f,(t)=C os( t)- Co s(k t)

^(t)= Cos( t)-C os(k t)

es

es continua

continua en

VteM.

[0,+oc > ,

por

En particular, lo

tanto

$ ( t ) = Cos( t) - Cos( kt) escon tinuapor tramos. d) f(t)=— —

‘

El dominio:

Entonces como: f, (t )= t"' y ^ (t ^C o s^ -C os ^k t) son continuas por tramos,

D={t e*R/t* 0}

entonces f (t )= C0B^

Sea f(t )= í ( t ) í ( t ) J ^ S l ! í l donde < (t )= r\ <(t) =l-S en (kt)t lafunción es continua V te 9t/ t*0 . En particular ^(t) =t "' es continua en <0 ,®> , por lo ta nto f, (t )= t J es continua por tramos (por propieda d quetoda función co ntinua en|a, b |es continu a en |a, b I). Lafundón f,( t)=1 -Sen (kt) es continuaVteSK .En particular, f,(t )=l -Se n(k t) es continuaen [Ot+o o>, por lo tanto ft (t ) = 1- Sen(kt) escontinua por tram os. Entonces como: f,( t) = tr ’ y f, (t )= l- S en (k t) son continuaspor tramos, entonces f (t) = ^ êfl^ ) es continua por tramos.

Q

f(t) = fCh(kt)

escontinuapor tramos El dominio: D= {te 9l}

Sea f(t)=f, (t)f,(t )=tXh (l
donde f, (t)=t ‘\

^(t ) = Ch(kt), la fundón

í (t )= r ' es continua VteSR . En particular í( t ) = t*es continua en [0,+® >t por lo tanto í ( t) =t" es continua por tram as (por propiedad que toda función continua en [a, b] es continua en [a, bj). La fundón f,(t)=C.h(kt) es continua VteSR. En particular, f, (t ) = Cos(kx) es continua en [o,+® >, por lo tant o ^ ( t) = Ch(kt)escontinuapor tram os. Entonces comoc í ( t) = t* y f,( t) =C h (k t) son continuas por ram t os, entonces

e)

f(t) = COS^

01

Eldomirúoc

D={ teíR /t* 0}

f(t) = fCh(kt) escontinua por tramos.


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Demostrar quel eproduc to de dosfunciones ntinuas co per hamos en4-[Dr »>es una iunrifin cc

b) f(t ) = tVCas(É) f(t) »tVCosíO 4 f(B) = L{f(t)}

Sen f (x) continuaen el tramo: x e[a,b] y g(x) continua en el Hamo x e[(^d], Paralas operacion es de producto x £[a, b]n x efcd ]* ¡i.Luego:

de

dos

func iones

se dle.

debe

Ha,¡alIllQS

cum plirse;

G( aJ=L{ elCce( t ) } = ^ ^

Si x e[a, b]rhX e[c,d]= x e[nvr] rdonde [m, n]e [a, b)n [^d ] Portanto , f (x). g( x) Vx[m, n]. Lueyi el pnoduan unafunción es on c Q

Hallar latianaib rmadadeLaplBoe L{F(tJ| } ai: a) f( t) =t ’C o.( t ) b) f(t )=t VD »(l)

c)

1=^1 *|[ [<-'M J

| =

I

FW^ | _ l ± j L j

^1* a)

* F( H) = L{f( t)}

■

K ') = \

+1|l -

|(8)(3-1)1

[mmí

\

TianEfarmada de unaderiv ada: L{F (t)} = (-1) '

F W=HfCo,(t#=

(-If

J

.Jii íí íU ÍJi'

F(3) dE[ (¿* 4-1)’ J (s‘ + lf (-S )-

¥+')

|

f(t) = (2t-3 )^"= (2t -3)e *\ >“ => F(,) =L {f (t)}= F (,-a )

propiedad de

+1) -E5 (aVl+E- 2s=) s(e2--3}

" M

“TM SOLUCIONARIÜAMALEISMATEMATICOl\


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3

sm

f(t)=ÌE ??-£) +icos(t) in:

9e*a(2-3s-t-1) (3S-1)’

r(s) - l{

O

^

, ¿ M » ) }-

^

*

Hallar L{eCoa(«)}

L(t!Sen(t)} = 7

V+n

Transfo rmamos lafunción : f( t) =Cas(t ) y luegoaplicam os:

m Transformamos b función: f(t)= t' Se n( t)

L{Coa(t)j =—¡ í- j 2(s%l),-s(2)(s^l)(2a)

©

2(s%l) -4s«

Luego:

tf_2

Demostrar que L(C«rf(t)} -

F(s)J

aslafunción: f(t)= Coe’ {t)=C os(t )Co6, (t) ©

Hallar SOLUC IONARIOANA LISISMATEM ATICOIV


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0

Calcular L(Coa' (bt)}

lafunción: f(t ) = Sen*(t)Coe (t) y Medianteidentidad: Cos*( bt) =-í[ l+C os( 2bt )J

F(B)=:L |co9 (t)-iCo s(3t )-Jcos (t)]} F(s) =^([ Cos(t )-C ce(3t )| = i[ -L . --J L -]

O a) L{Cosh’ (a«)J = .(Í- 4 Í)

Fw=-lr[77i-^}ki=-8^(u,+i)-ü'(u' +9)l'

!*+e-*'l

e”*+2+<

’w-^KíSHKíS) 0

b) L( Sem ,* (a »)}= -^L r)

Hallar l{Sen(a+ t)}

M Transformamos lafundón:

f(t)=Sen«*(a

la función: f(t)=Sen( t)Cas(a)+Sen(a)Co6(t) y luego aplicamos la

F(s) = LjSen(t)Cos(a)+Sen(a)CQs(t)¡ =

P(.)-

+l]‘-^¡7}


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m =Ì

c) L{ Cce(ar)Senfat)}=

*L( a-a) -+ a= (a+ a >

ar t l i aji+Sas + Ba’-i+aie-Ìs f) F S'l _ H[ a f - ^ a + 2a ’ sf +ias+£af j ^ " 7+ Ì 7 Traro fariria nriDS laftjndfin:f( tJ = Sen(atJOoefat) ------^— 3=

I)

Golcular L ^Senh(i) Ga s(a t) J

Ladefinidfin: Senli(at)=------------ luegct

d> L-j a*[ *)a»
TransformamoB lafunción: (t f ) =(¡ìCoe )Cc» ( bì:) =Coa1(at) = 1-|' C™( 3a*) fl-f Coa( aat) | l [l luesii F (a) = LJ-

a

] 3%s‘ +4a*

Mediante[raslEcL ón:

a* + Sa* ^

e} L{Senti(flt)Sen(at>}

= 2(e’ -¿slé+é)

^Safl + a’ + i }

rfcì ^ - a)(EVSae^ ,+a,)-(a^ ) ( 5,- BaE+a^ ag) U

lafuncitìn: f(tj = Senti(at)Coa( at)-— Sen(at) -------

f(s) =

e{j;’ -ESs-i- Ea=)(s’ + 2S 5-I- !a !)

a‘ - s*+2as - Sa“) -a(a° -i- Eaa+Ba*+3° - Baa+S31) 2(s*-2as+2a" ) (s1+ 2®+ 2n")

1 kJ „r U . nJ Ì

MATEM ATICOIV

,jj 1

a fr- g} ____j £ - = £ ) 2ÌS■+&!? 1 4 -ii ì S1-Hi1

SQLUCIONARIOANALISIS matematico n


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O

Hallar latransformadade Laplacede F(t)s fc

- 2^ } ^

' »■ {; : :

F(s)=2L{te-Cos(2t)} = 2(-1 )¿ L(e>CaB(2t)}=

[

Por definición

£ J* £ F(s)=J * te-‘ dt+limjW 'd t

[(s-,

, ‘ + 4j j [ ( 9-,)+

=•

4j

F(s)= r-f (t y* = te-d t+ 2e-*dt

Integramospor paites: F(e)=-Í^j^-J(

«'«.{7 ; * u = t= »d u = dt ; v = Jf *d t=

i,^d l+ L im -^| = Lim-p + 0+- ^| -

Por definición

r(-) Lim ~1 i £"* 1i ae~"' **'~1ia

2

dfSen(l)l b) F(t)=te —-------— J

F(s)=j;’e-Sen(t)d.=^.i[sSen(t»-CQs(t)^ F( B)= | ^ [SSen<2I)-Cos( 2T ) ] - ^ [ aSen( 0>-Coa(0 )] = i^ l

«0 F(t)=

Arreglando lafunción F(t) =te' d[ ^ 2t)j _ te’(2)Cos(2t) = 2te'Ccs(2t) Transformam os con transformad a de laderivada:


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3e-"-1 €*• e-“ 3C* -1 e~ + F ( s>— ?— 7 -r= —rF(B)=£ ;'’ coe(t)e-d t= ^ - i[a CûS(t)+ sen(t ) f ;

F e“ j ‘tCos4trit f) (t)=

’«■Siw^n-^nTr

du=dt

v = JCo6't
F(t )=e -[Ìs en 4 ^- Jji ;sen4rt] e) F(t) = 0

-3t 2sts3 4 34

F(t ) = 2 _! Sen4t +-1 e^Cos4t F( s) = L|^Se n4t+^ Cos4 tj

F(s)=j ;t^ d t+i;(8- 3t)^ d t+i;(«-4)e-dt u=t

v=Je-*dt u=8-3t du = dt v=—

v=JV*dt

du =- 3dt v= —

u=t-4 du = dt

v=Je'*dt

^^¿[

t TîôL

+î^ « L

v=— F(s)" * [ (a+3) ’+ 16]+16[ (B+3)’+ l6]

p^nj _ gg~u

I 1^ 2e-*t 3e-* |e »

I SOLU CJOM ARIOANA LISIS MATEM ATICOIV


F(t) =— (T'Coeat = -e-Cos3t -3e-*Sen3t

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D F(s)= L{-e--Cos3t-3e-*Sen3t}

r< ) ~Ji (s- 3T ^ H (5- 3)%1 > - 3),l 4(s - -3) - [ T s -3)'-1 2

0 [

Wf) -

G

:C ^d u = d t

L{t*Senbt) =

■

Kd

> sL{ c>,Sen( t)}4 (-1 >|L{ c 'c“ (t ) } ©

^-itraL^fcpyL-îâbrâL M*|_(s— 3¡-1 -»-sb Í— ' 2-1\ 5 )*+lj5ds[(s_3)*+,J -*(s-3 )

l (*'+*)'

. tg“Cost

F(t)=t’e"Sent-S ^ ( ‘)}-|H

-2*

> '- bî

F(t)= te, ^tE*Î5ent-— (2Sent-Cost)j

,.=d

JÍ -

V = J— (e**Sent) = e*$en(t)

F(t)=t e’ [te“Sen«-J e“Sentdt]

n“)=H )’¿ M

[(.-=)•.,]•

,(■).,»[<-^1 , H - 5,

.4-1 3(5+1) _ -2(a+1) (s+l)*+9 (s+l)'+9 (s+1)!+9

4(a-3)

;‘ *[(e-3)’+l]*"5[(B-3)Vl]"

(3~3)' + l-2(s-3)*

l |!^WJ= Ar as i

Divisiónpor t

*

w -fÆ

F(s) = Aragi^ = Arc«s(»)- Arctg (a) F(s) =i- Ar ct8 ( s )

[( a_ 3)- +l]'


=>

A^(a)=I-F(a)

3Í*'] [(-a)’.,]■

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J Sen£ CosF(s) -SenF(s) Cosi 1

7 C o«£ Ct rf ( « ) + S e n £ S e nF ( s)

ei O

Calcitar L{F(t)3f}c

F(s)=Aids(w)- Arag(s+3) a)

F(t)=cJlJ^tScn2üdt u= t

du=dt

F( 8)=£ -Aras( s+ 3) = A « ii l^ ] v=fSen2trit J

=> v= — Cos2t 2

F(t)=e'"j^-*Cos2t+ *JCos2tdtj

© 4 ^} *

................_

F(t )=—Ì e-"Coe2t+J e-“Sen2t

F(B )=J*I ?7i=A rrt si L f(8)=4 tH

F( s) =Ar ct(«)-Ara8(

_

F(s)=i ( r w f)

F(S)=2[(S+3)*+4]+^ [ F ^ ] (« ♦3) , -4-2(«+ 3)'

f* H r /x

© iptìj-Lp^j-tpo-c-t)}

# +3),+4I

i________(»*ay-4 2[(s+3), +4] 2[(s+3), +4]'

^ j =£_Are lÄi±2

4 (s1+6s+13]f

F(B)= JL {S en(t )-S en(t)CcS(2t)}


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F(")“aL{Sen(t)-iSBn<3t)+2S en(t)} F(s)=i L{lSen(t)4 Sen(3t>} Luego dividimos por t

w-rtíA-Ah F(b)= | Arcts(u)—I Arog||

F( S)=_3 g]._jA rag(a).^ £ ]+i Ar as(-;)

f(a)=l{e**-aeM

© • Lv

' +€*“} 3

1

1 3

I

1

i ( a-i) r+i 4(9_I)-+«+*{3-i]r+, Luego dividimos port

ü-* w-lfci- dbrZb h

i r— ^ ___- r , ¿ r , W 2 (u-1) +1 (s-1 ) +9 4 (u-l)*+1

f ( s)=

F(s) = Ln(s-a)-2Ln(s-a-b)+Ln(s-2b)


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F(b)= | atc( b( u - 1J”- | ArctB ^^J +-j Aras(u-lJ* ,. F( B)=l Ard8 ^ -l fJ-lAr ct8 -L

0

©

L [Senkt.CosktJ = ^ {SenSkt}

16-(s-3 )’ [( b- 3)’+16J

s-3 l6[( a-3)*+1ó ]

Halla L{F(t) } a) F( t) = t£e _*Sen2tdt

f^ S)=^[s*+(2»c>’] ='S7T4 Í? Q

F(t)=^-[2Cos2t+3Scn8t]

•«■5=[l5L * S U

Hallar L = {F(t)} F( t) = e 1*J tCcs4tdt u = t;du =d t . v=JCos4tdt =|sen4t

1 d[2(s+3)+6] 1 d [ 2S+12 1 1 1 l3ds[(s+3)*+4j 13dB[(B+3)'+4j F( s|- 1h -3 )V 8 -(2 S+ 12) (2)(5+ 3) l

F(t)=eu[1 S en4t~ jsen’tdt

w F(t)

r W _ 1 71 s (7 Íü )_,_s( P(l) ,

H

Se n4t -¿ Cos4t

-es’-*»-46 13[(s+3)*+4j

b)

? jü I_

[(s- 3)* + 16j

F(t)=tJ^te"MSen2tdt

S_3

d (S~3) 1 *(3-3?+16 16(8-3/+16

(s— 3)*+16—2(3—3)*

k-m

Ahora latransfo rmadade laintegral

a-3 16[(a-3)* + 16]

_____


w-ró

J

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5t)C’ “7 — j (Sen(t)+Cos(t))+C F(s> ^ -¡ (Sent+CQ — (Sent-sCost c) F(t)= e-£ S^ 2tdt

L{ ^ } -

Fw =r^=^s|

= w

0

HallaL{F(t)}á

Uies°trasladamos as-) s+ 3

d ) F (t)=j;i-^

Cost

.I

P(s)=A^

t< — 2

lcost+Sent t > —

ü íd t

Calculamos L{e'-Cos2t} =- l j F(“) = j r i*c"*Costdt +J * ,e"“( Cost +Sent)dt Luesoc

L|_[ í- ^2Íí dt|=Í Arct s|

F(s) =-| — |(Sent-sCoatj^'* 1 ~ (Sent-aCQst)-t—|— j (sSent-rCostJ^^ i

Sen(í) t4jr

0 HallaL {F(t )}a

F(s)= J*' e-*Seradt+J”e"- (Scnt+Cost)dt


ítCosiu(t-u) t>a =t O t <0

"T

-T

^l+c~j

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F(s)=L{tC0a«,(t-a)} F(s )= LjtCosolCosö+tSertotCosa} c-«)'

cfeL S+û> 5+û>J

F ( « ) =- i r Ca i a -ri-

î +^

l

solucion

j ___d j'sCostr +niSeni/ JJnx*"'= 1+2x +3x* +

+nx”'’

^ <1

(s*+(u')Cosu-(sCœu+wS«iv/)(2s)

=l+2x+3x,+...+n>r, , , 2s'Cos«r +2s«Sen» - (s*+ry *ICosa

x=-é“*

- = 1-2 e- +3c-" -4e-*....

'0 -----------(-W)

* s'Cosu+2/ue Sen
pw-------- -------------

W-

L{l- 2r" + 3 r“ -4e r1*._}A

(UeJ)

L{Senu}=ÂrctsQ^

0

Hallan L{e”Cos3tCo1} s4

. fr« Senu . 1 1.

L|^-[C oef7t+ Cost]j = jj (e“Cos7t +e3'Cost}

F^ =ï [ * * + 4 9 + ? 7 i]^ 1


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0

Calculan L je W t ) F(,). F( sH -,) ’i

-1

9s*-s>-1Ss-9

F? " M-.
2ds>[s-3 (s-3)‘+4j

+*-*[•-*} J

fm—ìj; 8[ (,-3)* _ 3_ U '(B-3)‘

0

[( 18S-3S- - 15 )[~( a- 3) 1+ ^ -6 (,- 3 )(* - J +5s) l [

[(** 3)* +
J

rf(i)=J[i-cos(a»)]

Hallar L^t+a)4 } Aplicamos latransformada L{.-Cos(2b*)}=|-—

F(s)= qf+irf-'a+n(n-1)t*-*a!....a*}

Mediantelapropiedad de traslac ión

F(s)

dsziL1 I SOLUO ONAR IOANALIS ISMATE MÁTICOW


=í

]

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donde F(t) nene periodo 4. a) HacerlagraficadeF(t) b) Hallar L{F (t)[

1 [3

0

Hallar L{F(t)} donde F(t)= {*

3e"" 6er“]

3-3e""-6e

y F(t+2 )=F( t)

F(s )=L {F( t)¡= -^ ü g ?

Paranuestro caso: T =2

F (»)= -p p :[j> (t )d t+ |;e-( 0)f k] Integram os porpaites: u=3t=»

du = 3dt

v= Je ~d t= -—

F(s) = L{F(t)} F(g)= L{F(t)|=

^ ^ <>t Paranuestrocaso: T = 4

F (» )= ^ [j > ' ( *> * ♦ fa ' ( *) <*] Intesramos por partes: u= 3t =>

du = 3dt

v=Je' *dt=-5 —

^

Demostrarque latra nsformadade Lap lace de lafunció n F(t) que esmuestraenla figura dientedesiena es :

] SOLUCtONARIOANALISISMATEMATICOIV

SOLUCIONARIQANALISISMATEMATICOIV (


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K ) »)

\M¿A Latransfo rmada de lafunción periódica

la transformadadelafunciónperiódica

■W-ÍÍ3S Integramos por partes: u= t =>

du =dt

v= Je "' dt = ——

•w-rK-^-H S'jponga que Fl(t) es larectificación de semionda Senfkt), que se muestraenla figura.


T= St r

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JEH U nr

*> '■- fe i ■» 1Ì ? b v '} « "W 1(S+2)J


0

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,+7T

W^)ì

■1^ ) 1 •

^

« -

_*. B 5- T *^

■ «-i * t ï

a_AÌ9

—

a< -

Para s=-a: =» -a-a =A (0)+ B(-a )

=»

Para s=0 : =» 0—a= A(0+a)+B(0|

=»

f(t) = 2Cos(3t)+Sen(3t)

B= 2 A = -l

e) F(b)= L- ’ ;

Tabte: L{c*f(t)} =F(s-a ) L{t*-'J= ¿^ 1 *


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* iM

Aplicamos fracciones parciales: 2e’ -h5s-4 2s" + 5a- 4 s3+h“-2 s a(s" + a-2 ) a(s +i) (s-l} e 3-hS e-1 Eí -h5s- 4 = A(s+ 2) (a -1 ) -t-Hs( a-l ) -nQ -h2) j(a

■j = a (ü)-hb( s) > Paras = 0 :

=>

-4 = A ( - 2 )+ B(0 ) - nC (0 )

=»

A =2

Paraa= 1: Paras =- 2:

=»

3 = A (0) +B( 0) + C(3) => C=1 =f -6=a ( o)+B(6) +0(0)=fB=-l

= B=-a

- S = A( -B ) +B ( Q)

=>

A =4

Completamo s cuadradas en el denominador 5s-E

■H—+-[ 3 =I c

3 aj

Completamos cuadrados: (a+lf-7

Í,* 2Í .‘ {

c

ì

- t]

V

3 f

H ) 1 16 Í s +2 T + B

.1 V

V.

9

,

1 ís +2 ) \ 2 [ 3) ?.

) SQLU CIONAR IOANA LISISMATE MATICOl \


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D

» fw-Li r S } 1 _A _B C a*(s+1) a + s*+ s+l

As(a+1)+B(s-t-l)-t-Ca’

i = 0 =>

1 = A ( 0) +B ( 1 ) +C (0 )

=-1 «

1= A(0)+B(0)+C

s=1 =»

1=2A+2B+C

=>

B=1

=» =»

C= 1 A= -1

0 '«■‘•{«Tib) 7— S*3 .. =— +— =» s+3 = A(a-3)+B( a+1) ( s + l) ( a - 3 ) s+t s - 3 1 ' ’

S=3 =» 6= A( 0) +B( 4)= »B =| s=-l *8=A(-«)+B(0)Â=-2

f(t) =L"

H H

~2(¡V l)}= jf ~T


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I

=» 3=C (3 )= »C = I

=- 2 =>

d) f (t )= ir*

B=—2

»
gs'-t-i a i e i c s(s+1)“ s s+1 (s+1)*

2s*+1 = A(s+l)+Bs(s+1)+Cs

s= -l =s 3=C(-l) =» C=-3

-= -+ b-2- 3-6 -^s+2

=*

3s+ 1 6v= Ai s— / “3V) + B(/s+ 2 )

5- 3

=*

25= A ( 0 ) + B( S )

s=-2

=>

10= A( -5) +B( 0)

=> =»

B=5 A=—2

s '» B = 2

s
f ^ “i( i^ ií T )" T +iri +í=is> í*- ,“ A( ,,- 1)+ a, (1- 1)+c *(*+i )

SOLUCJOMA RIOANALISIS MATEMA TICOIV


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2

ff t ) =L~* |3 ■ 1 1,1 -Sr f ^ U Is 2
$•-3 A i B Cs+D (s-2)(s-3)(s*+2s+5) s-1 s-3 s’ +2s+5

h)

s’ -3 =A (s -3 )(a*+2s+5) +B(s-2)( s"s +5)+C +2 S(S-2 )(s-3)+D(B-2)( sPuntos crföcos: s=2 =» A = — ; s=3 =» B=— ; c = 295+25

f(t )=L"'{; +^ ’+«}=L'’i s*+4)(I* +16)Í

I

f(t)-3t " «y*»1)*85I 1.»-».. ,-■ [ ”(,+ 1)~4J *-»

I s»+ 16a-24 _As+B ,a+D

10

I

|l30[ ( »+1) ’-1 +5 j | 13 F(t)=2e*

(s*+4)( s*+16) s*+4 s’ + 16

10

» ' »-{T

130

O }

B = -2 ; C = 0; D = 2

f(t)=L {(s-2)(s-3)(a*+2s +5)} Plintoscríticos: s = -I => A = - ;


10

|l30[ ( t +1) ’+ 4j j 13

- ^ e^Cos(2t) J- +e- Se n( 2 t) - - l C“

+4) s' + 16S-24 = A(s’ +16s)+B(s!+16)+C(s’ +s)+D(s*

0

11

,3°

13

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B=^

* 1 i= -e "* —í Cos(t)+-Sen(t) C = 2 -í(‘) = L - ’ í(,1s +"l )- 2( a *l ) j 2 2 v / 2 v'

C> 1 {s’-6s '+ 1ls -6j

Factorizando el denominador, s' -6s s+ 1 1s -6 =( s- l)( s- 2) (s -3 )

LÍ( ^ b )}

Definimos P(s)=2s,- 6s+ 5; Q(a )=( a-1 )(s- 2)(a -3) Para Q(s) = O tenemos:

«, = 1. e, = 2. a, = 3

Q(s)=s’ -6s! +11s-6 <* Q'( s)=3 b’ -1 2b+11 . [ 2a1-6a+5 1 P(1) ts’ -b s '+ ll s -ó / 'o ti )

P(8)=ai-1l; Q(a)=(S+2)(S-3)

P(2) Q1^

P(3) Qp)

_I 2

ParaQ (a )= 0 tenemos: o, =2 a,=3 =>Q(a)=s*- s-6 =* Q rJ

*- 11

L PH ) ^ + P( 3)e * -Z^ e- + 25 e* - e-

t( a+ 2) (S -3)j -Q^B )

,í

195+37

Q (3 1

' -S

5

]

I(njp7i]p73j) Medianteel teoremade convolución:

Definimos P(s)=19s+37

t* {f (a>8(»^=J^F(u)G(t-u)«fc.=F*G

Q(a )=(a -2)(s +1)( a+3 )

ParaQ (s) =O tenemos: a, = 2;

Dondef(s)=L{F(t)}yg(s)=L{G(t)}

« ,= - 1 ; a, =-3

Q(a)=s1+2s*-5s-6 => Q'(s)=3s*+4s-5 J

19«+37 U*- i )(*+1)(*+3)J «'(*)

«'(-« )

<*(-*)

15

-6

-s

{(a+1)(a*+.)f Us+.As’+lJJ

f(t) = 5e“ -3e-* -eJ'


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iL_l

L" { ( ¡ ^ ^ } = í F(u)G(t-u>lu=i.Vscn(t-u)du = J % - (SentCosu-CostSenu)du=Sent£' "“Cosuduc Cos tJ^ e^Senudu

P(s)=s+1

- gît^-e'^Cosii+e-Senuj 1_rnBt -e~*Senu-e To su j ’

Q(s)=6a’ +7s+2

ParaQl’sJ=0 =» tenemos;

s= -2/ 3

a, =-2/3

s=-1 /2 a, =-1/2

Q'(s) = 12s+7 e"1+ Sent-Cost

f ftl P(~2/3) c * i ■ P(~1/2)c * - 1 /3c * ■1 /2c^= ' c-" Q ' ( - l/ 2 ) - 1 1 2 K , _Q '( - 2 / 3 )

.

27-12b

1«3

I

L-í {f(s)^(s)}= j;F(U )G (t- U)du =F*G P(s) =3s+16 ;Q( s)=8*- s- 6

Donde f(s)=L |F(t)} y S(s) = L(G(t)}

P*ra Q(s)=0 =» (s-3 )(s+ 2)= 0 =» s=3 ; s= -2 Q(s) =s’- s -6

*

Q'( s) = 2s-1

= 5 ^4

e*=

F(‘)= ^* L-'J

;

G(t)-isen(3 t)

^ ^ J = j; Ç s en ( 3 t - 3 U) du

f(t)='Ç[3C“ (3t-3u)+48en(3t-3u)l

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,(t>=-£ (3) - ¿ p Coe3t+4Sen3t] fit)

2G

- — Coe3t —isen3t 2G 25

l( s+®)(s 3)(^ +2s+5) J

f^ =L { 50(5—3) 50(s’ +2s+5) 25(s+2 )} |(s+3)(s’ +2s+2) j

fít> 3 * l" í s+1—36 ] I «

() »

50{(¡ 7 Í7 T 4J 25

Medíanteel teoremade convolucióm LJ {f(S)^(s)}=J> (u)G(t-u )A.=F *G Dondef(S) = L {F (t) }y S(s) = L{G(t) }

{(s +2 )( s -3 )V +2s+5)}

F( t)= e -; G(t) =lsen( 3t)

F(t) =e ’Costi-e'S ent ; G(t)=e*Sent •e"Senu) f(t ) = £ (e’Cosu+ eT'Sen( t- u) du

f (t) =j V * [e^'^Coe (t -u ) -2et*-”)Sen(t -u)]du f (t ) = £ e®'’ [CoeuSen (t - u )+SenuSen (t - u)J du f(t)=J Je-^ Co a(t-u )- 2e-“-‘ Sen( t-u)]du f( t) = £ 6 2 [ Sent+ Sen( t - 2u)+Coa( 2u -1)- Cos( t)] du f(t)=- -----[Sen(t-u)-2Cos(t-u)-2Ccs(t-u)-4Sen(t-u)£ Sent— f( t) = -^ [O -2 -2 -O ]^ [S e n t+ 2Cost+2Cost+4S0r>t]


e‘Cost

Sent+ e~*Cos t

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Encuentralatransform adainvers a de Laplace a) t f f

*

1

r

7-7w^rw^w^)~v^)ì

L'{(H-a)(i+2Ks- ,)ì"LJ{s- 3 Q

l(s«+a«)( s*+^ )| -

l(a*+b *)(^b>)

■*«}

f(t)=2e”-e‘-e-"

f( t) =p r ^ Sen( bt ) “p rE !)Se n( at)

Hallarlatransform adainversade Lap lace,medianteel teo remade œnvoluciûn

(a’ +b,)( +l)J s*

l(s+3){s-1)J

f(B )=7r3: S(s )= ¿

1

W !l(s'+a')(s*+b s *)j1

F(t)=e~;G(t)=e*

-* b* 1 |(a’ +b,)(s , +a1) (a’+b*)( BV b')j

f(t) -] W -du-j ;*~du

f(‘ ) = (a V b j Sef>(at)~ â«_b, )COS^*)

ls(ÿ+ ,)J

3(s+1)

3(ÿ - s+,)J

I( S+1)’ (S-1)J

-M -i-V -V F(t)=le- ; G(t)=e' f(t ) = £ ue"°eM du = £ uè'-“'du u= V =» du = dv ; v=Je*"“1du =-


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1

■ I rü F(t)=t

f(*)=— -4e1 ,(t) =-2— e"*+—e ' 2 4 4

; G(t)=e* 1

f(t)=£üe“Hcfci u=v =»du = dvt v=Jr*~du = e“-* f(t)= ue -|;-J> 1du f(t)=«,-e

c>t ì ■w-râ, F(t ) = Cost ; G(t ) = Sent f (t )= J'CosuScn (t - u)du

,(t)=^J0 ISen(t)+Sen(t-Zu)]du f(t)=|[*fcnt+±Cos(t-2u)|

"j;=t -eü +e -'

f(t)=t-1+e-

*>4 .*.)U} -«W-TÎ F(t)=e-

; G(t)=e“

f(t )= J% ~e '* H'>du=£e“‘-Î“ ,>,dii

fw=- Í tt|.= -¿í+-¿í

f(t)=êent+ic0s(t)-ic°st] f(t)=ÌSen*

•“fei *w-J *
•"tel ’« " A ‘ *>=771 F(t) = Cost ;G (t ) = Cost f( t)= 3j ’CosuCos (t -u jdu


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..........t.—

lEHWOZAHAMOS f(t)=| 0Ccat+Cœ(t-aj)}ju

f(t) =J > » ^ Sen(t -u)-( t-u)C QS(t- u)Jk.

f(t)=|[CQaCt)u-^SEn(t-Sij)]a f(t)=^CŒt+|sent

^

_U

; Y=JCce(t-ij)Coeudu =>v =ûCoo t+^Sen (2u-t )

f & =1L t3™1âen(*- !au)]du+f - ^1^ ] D^

1 iJW

f (t)

+1 (^(1 - &,)]\c

J tSent+J Cost ■+- Bent— m=i[& f(t j = Cpst

tj; aïi ri jV i Q> ( ita-t ||

Ccat-i-- Cost-- Cost

f (t) = | (Sent+i Cost-^. Cost

; ^t) = L -* | _ J_ J -(T )

Nuevamenteccnvol uatìn en(1)

hW=77î ; rW=77î s (t ) = J^SenuBen (t - u)d u

W J f(t) = Cm (a}

;

a(t) = Oos{2tj

F(t ) = J*Cca(2u)Cos(St -3 u Jdu S (t)

[|s en (Eu -t)vCcü(t)^

— Scnt-tCrat =-5ent-tCast a(t)=-isHt+-ise ■ S0LUCI0N AR10AMALISISMATE MATICOIV

SOLUC IONAR10ANALISIS MATEM ATICOIV


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□ F(t)=|cœ (a ris en (Zt J-i sen(-2t) F(t)=ÌCo6(2t)+isen(2t) O

Hallarlatransform adainversade Lapla cede: f(t); 's*+2S+5J

} (b+1)*+4J

f(t)=e-Cos(2t)-^Sen(2t)

f(t)=e“Cos(2t)+|e*Sen(2t)

f)

r’

(S+2)1J~

1 (-2 )' I

f(t)=LÍ ^ ' ( ¿ ? +(^?] f(t)=e"* ‘ —4 te"“ +21^

d) lr

2S- 1

f(t)=r

. Í 2M

1 ,J

25-1

l(s+2f +25J

- 2H }

1

2

2

, —i f3s—8 4S-341 ,- if3a-8 1 5 1 ls*+4 s -16 j ls’ +4 s+4 S+4J |(s+2]f +25 J |(s+2)!+25 J

f(t)=3Sen(2t)-4Cos(2t)+«,,-5e~"

f (t )= 2e-î js(5t)- e-“Sen(5t )


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!(s+l)[ 1s*+as'+gas+22¡ (s’+6e +10) j I [(s+3) ’ +lj

Mediantetraslación

.t+af-s'-sS-S f(a)= L{F(t )}

s(s) = L{G(t)> L_, Ì s, +6a, + l0a+2s,-t-t23-f22l (s*+6s+10)!

fW=( ^ F(t)=e'^sen(t) G(t)=e"ênt

LJ J 5 I, |s, +6s+ 10J

f(t)=£ F(u)G (t-u)d u = £é‘senu e” sen( t-u) du

[ s’ + òs+ll [(s'+ós+IO)*

L~*í S+3 ~3 I +2L-1 [s'+òs + IO+lì l(s+3]T+ i J [(s*+6s+10)’Ij

f(t)= iif 7 1[c oa(- ,) - coa(t- 20)]du Identidad

J_s+3_1 J _ 9enAsenB=^[Cos(A-B)-Cos(A+B)]

J _

L

[ [ 1 1 [[( s+3)’ +lJj

[cos(t-2u)+sen(t-2u)l

f (t )= e"“ oos(t) -e*sent+17’ • f(t)= — (senc-5cost)+¿ (5cast+sent) Convoiución en el último término

1

I I

. i U ri-\■ .[(-M’J

f(x )= .£ ^J % '-»-
,

1 1[ <~ 3M

SOLUCtONAMOANALISISMATEMATICOIV


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h(t) =

f(t) =2e-“aen(3t)-8c-*'sen{3t)-L-'

h( t) =J^— h( t)= ~

[co a(u) -co a(2t -u)] du

[ccethsaniu] e

h(t)=—

(oo6(2t-u)+9en(2t-0))^

(cast +aè it-«Ss(t)-selft -1+c os2t+sen2t)

(5+2)* + 2J j

h(t) =— (oosSt +sen2t-l)

t+— (cns2t+9en2t-l)

l ( ■’*“ * «)

Q(t) = jV-*sen(3t)e-^*sen(3t-u)du

fi. tÌ2(s,+4s’+13s-2s,-14s-47)l

1

(«■♦<•♦«*

nl-2L-’ [(. ■-<,. I3)J ~

J lUi Ì[

i (5+2-2) 1

) 3)'}

-(costi-!

¡2( 3' +4s+13)+6s+2] (s*+4a+13)'

j

Sl(2 )y(3 )«n (l) « ■( a ) - * . - —


[ Cc®.»

r f t } - | ( U Ca

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\

h( t)=8L ,ís% l6 -i6 ] U » i s +16 j

SOLUCIÓNDE ECUACIONES DIFERENCIALES

3> í

4

+4 * +4x = 4cJ,-x( °) = - 1-3t'(0) =

Tomando la transformadadeLapla ceseñeñe:

h(t)=8£— -32sen(4t) En (2) 8( t) =jj ;j -u- 32^ . . 8c°;( 4t)

^L(x)-ffl<0)-xt0)+4^x)-4x(0)+4qx} = - ±

Ahora en (1>

( s*+4a+4 Jt{ x}+s —4—4 = ¿ = > (s+2 )'L{ x}=± ± Ii E lf J lW

= 6b^ =>x = lJ Í6b +I6- b11 1 > (s+2? 1 (s+2f J

f( t) =I j ’^ +3§ Sí lt +8 ^ t+¿

^ +^ 9en( 4t) Fracciones parciales:

f(,)= 8 j‘ ^ +ij* ^ + 32^ v¡t.8 c« 4t +£s en(4<)

x= L-’ { — L +— !£ -j +— i - f 1 =-* -“ + 10te"**+2t*e-* 1 a+2 (s +2) (s+2) J

b) ^ + x = 6Cos(2t),x(0)=3,x'(0)=1 j

SOUJCáüHAWüANALISISMATkMAftCOIV

w*v..e*Ajkp«u.aam

wwMadiApcfu.cafn


SOLÜCIÜNARIÜANAUSISMATEMATICuIV

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C)

-y (t ) =5Sen(2t)Jy(0) = 0,y(0) =

Tomando la transfo rmadade Laplacesetie L { g +xJ=L{6 Coe(St)}

Tomando la transfo rmadade Lapla cese

L{$ " yH 5sen(2t)i

Bt{x}-»c(0)-X'(0)+L{x}=-^s

ST( y) -s y (0 )-y {0 )-L {y } = ^ i

(s*+l)L{x}-3s-1=» (í +l) L{x } = -^ ¡ +3S+ 1 x= j

* L",{‘77^

BO08(‘)+ Sen(t)- SCcs(2t)

(a.- 1) Myj-,=_!L^

7 IF ^ F Ó J

c>^Tt -y (« )= 5Sen(2t).v{0)=0,y' (0)=1

(e,-t)qy

} = ^

H - 1*2('+|) s‘W

y = 3íe ~E ) -Sen(2t)=3Sh(t)-Sen(2t)

d )^ -2 / (t )+ 2y( t)= 2Co s{2t)- 4Se n(2 t), y(0 )=0 ,y'(0) =1

Tomando la transfo rmadade Laplacese tiene :

L{ $ +x} =M 6C“ (2t)! s*L{x}

- Bx(0)-^(0)+L{ x}=^-4 Tomando latransform adadeLapla cesetiene

(*■+1)L(x }-3s_1=^ 4

+1)Mx }= -^ 4 +3s+1

L{$ " 2/(t)+2y(t)} =L{2C“ (2t)_4 Sen(2t)} s?L{y}-sy(0)-y'(0)-2sL(y)-2sy(0)-



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□ s«L{ y}-1- 2sL{ y}+2 L{y}

=»L{y}( «*-2.+a )= S ^ +1 rfL{y}-a-2-sL{y}+1+L{y}=J=i.(/-a+l)L{y}=J-fs+1

2s-4+s* As-t-B Cs+D (s,+4)( s*-2b +2) s'+4 ' s*-2s+2 s' +2s—4 = A(«*-2S* +2)+B(s*-2s+2)+C{s1+4s)+D(s’ +4)

|a(a*-s+,)j Dedonde: s :A +C =0 => A= -C S*:-2A +B+D =0 S:-2B+4C=2 Í :2A+2B+4D = -4 =-1 B=0

C=1

D=-l f) ty>(t)-(t+l)/(t)+2y

V +4 5s-2a+2 ;

|S' +4 (S_ > M

(t)=t-l,y(0) =0,^(0) =

Tomando la transformadadeLapla cesetie

y (t )= -Cos (2t)+e1Scn (t) c) y*(t)-y'(t)+y(t)«1fy(0)=1,y'(0)=2 ¿ { 3'y (B)-sy(0)-y'(0)} +^L{sY

(s)-y(0)} - {^ (. )- y 0+2 LY(s) = 1=2-1

¿ { 9-y(s )-l}+| L {8y(s )}-9 y ( s) +2L {y} =1 -1

L{ $ - y'(t)+y (‘)}=M 1} S*L{ y}- ay(0 )-y '(0 )-a L{y }+y (0)+L {y }= J


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-ós-18

9s

.H H H

H

y( t) -C < ^s—í J + —

L{ $ - I +4yw}=L{18r^n<3t)}

(s+1)*+9

J"Cosj^^p j+9e^ Coa(3t) -S e- 1Sen(3t)

S*Y(S) - Sy (0 )- / (0 )- SY(a)+ y(0 )+4y (S) = _ ^ ^Y (s)-3- sY{ b)+«Y( s) = ^L -3Ís’+2s+10) 54-t i Y(s)ía* -a+4 )= -------L _ +3 => y( s) =------------L -------------L [ (o+1 ' ) >9 (s‘- b +4)[(s+ 1)*+9] Transfbrm amoalaecuación dada: 54+3(a»+gs+10) fu *B | Cs+D (a*-s+4)[(a+1)’ +9] s, -a + 4+ a, +2a+10

s^(a)-BV(0)-sy'(0)-y'(0)-s*Y(fl)+sy(0)+yt0)+4¿y(B)-4y(0)-4Y{s) = 3

5’ +&ta= A(B,+2s,+10s)+B(s, +2s+10)+C(B1-s , +4s)+D(a,- s+ 4) Reso lviendopo r identidad es: A = -6 B=-I8

C=9

4

D=0

Y(B):

5s3-17a1+16 s-4 -3s +f i+4 s-4 5sJ - 17a*♦ 17a-2 ( bV 4 )(S-1)‘ b ( -2 ) (s*+4)(s-l)>-2)



i

Ftacbones parciales: 5s’- 17s*+17s-2 As+B C D E («*+4) (.— if t -S ) s’ +4 ' a- l (s-l) T ' s-2

0^+4^+5^+2y=10Cos(t),y(0)=y'(0)=0y'(0)=3

5b1-17s? +17 s-2= As(s -I)* ( s —2)+B(a—1)T(s—2)+C(a—1)(s—2 )( í +♦)+ + D ( s - 2 ) ( s ‘+ 4 ) + E ( a - l ) ,( a - + 4 ) Valores críticos : 5= 1=» D = ^ s=2 A = _S ; f e^;C=

Tomandolatransformadad eLaplace setiene:

E=^

L{ $ +4 $ +5rt+2 y}=L {,0C Os(t ) } S,L( y)- s,y (0)-s y'(0 )-y-(0 )+4 s,L{ y}-4 ay(0 )-4y'(0)+SsL{y}

¿

-M °)+2 LW =p t í Reso lver assiguientes l ecuaciones diferenciales fs, +4s, +5s +2)L fy}-3- 1„°S ^ y s L ^ Í l“B+3s’ s-+t [(B+l]T(s+2)(a*+.)¡

+3 i

a) ^ + 2 0 - ,| ±-1 2y =4,y( o)=y' (° )=y '( O) =0 —

II

T y= L J{ ¿ i ' ^ 7 ^ 7 2 +l ^ } =2e J- 2teJ c~ - Coe(t)+2Sen(t)

Tomando latransfo rmadade laplace seti ene S)

+y=e-**Sen(t),y(0) =y"(0) =0

*\|yJ-íV(0)- sy(0>-y' (0)+SSY(y}-S íy<0 )-2y(0)- mL{y }-ny(0 )-ia.{y }-¿ U- „| LM . i . y..-(i(i^

) ( i ; iK i _ 3 ) )

, í -1 _______ i 1_____¡ 1 __ ^,_ _i - | i „ i y _ (21(8+4) (3s+ 1) ' 2l(s-3) 3sj 2ie 3* ‘"'H *

Tomando la transfo rmadade Lapla cesetiene :

3 a»L {y }- sy (0 )- yt O) +LW =— I — (s+2) +1


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, í BS+ 2s-1 la1 1 1Sa1( k1— 4s+9 J J L_,

Ea-t-3

| 1-äa

L_,

..

[ 13a3— 43s*— 4s+ 341 I

' 1

E(s+E)-1 [ 1-2a 1J ÜL 4 - J Ì 13ÛE-H6S3 jsia "'"^ 1 ù1B(h!-4 ì -i-9)J

y = I e- ‘ [O BW -S ai (t>] + J[Sen (t }- a c« (t )] Reso lver los siguientessistemasde ecuada nas diferenciales

X-L -'J — 4-— 15°f3- aì-|- BB3 jE le^ is1 16s[( h-E)' + s] | ^

f(a--4e+9)J L-1 50 I li I 251(s -3)—511 + 54 [( s- S) “ 'n

j373+ ^

Tomando transform adade Lap lacea cadaeauacitìn:

LfS-a>t+ì } = Li,>

b>í M 1

l

^ 5

=

x(o) =3,3 cj{ o) 0yô) = —3

si £ }- 3L {x} -sL { y}+ W + Ü {y}= ÿ ^

L{ i +ax“?i =L{2t+5}L{S_x+rt+y} =L{_E t“^ eL{x}

Enlaæ£inda ecuación: ^W -40 )-3L {x}+L {y=1 } =*(h -3)L {*}+ L{¥} =1...«

+* { * } «y^y^

o) = j:

*{*}-ge+Sl{.}-

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(s+2)L{x}-sL{y)=2+| +3s+3._(1) Enlasegundaecuac ión: sq x}-^0 )-x{0)+L{ x} -s y( 0) -y 1( 0) +L{y}= -^ J sL(x} -3 .+L{*} +3+4 y} = - 1 -U («-t )L {* } +L {y }1=

..,{6 5 14 13ÛS+623 1 , f 50 14 2Sls- 1013 1 X=L |s ü+ 9sí_ 16( 8 b -4 s+9)J * * }27¡ + 3^ + 54(s>-49+9)J

I SOLUC IOMARIOAN ALISIS MATEMA TICO N


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Solucionario Analisis Matematico IV

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