Control de Calidad
CAPITULO 3 INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
1.- Señale que es una variable aleatoria y dé un par de ejemplos ejemplos de variables aleatorias aleatorias discretas y otro par de continuas. Una variable aleatoria asocia un número a cada resultado de un experimento aleatorio. Experimento aleatorio.- es aquel que puede proporcionar diferentes resultados aún cuando se repita siempre de la misma manera. Variable aleatoria Discreta.- es una variable con un rango finito(o infinito numerable) Ejemplo: 1.-El número de tornillos defectuosos en una muestra aleatoria de tamaño tamaño 15 2.- El número de errores de un Operador Industrial. Industrial. Variable aleatoria aleatoria Continua.Continua.- Si rango de una variable aleatoria X contiene un intervalo ( finito o infinito) infinito) de números reales ,entonces X es una variable aleatoria Continua .Ejemplos: Pesos, volúmenes, longitudes, Voltaje,Resistencia,etc Voltaje,Resistencia,etc
2. ¿Qué es una distribución de probabilidad? Es la descripción del conjunto de valores que puede tomar la variable aleatoria X junto a la probabilidad asociada a cada uno de estos valores.
3.- ¿Qué es una función de densidad de probabilidades y qué requisitos debe cumplir? La densidad de probabilidades se usa en el caso de una variable continua .Sus requisitos son: Si f(x) es una función función de densidad de probabilidades probabilidades de la variable variable aleatoria continua continua X, entonces para cualquier intervalo de números reales [x1, x2], se cumple. 1.- f(x) ≥ 0 +∞
2. ∫−∞
f(x) dx =1 (área bajo la curva es 1) 2
3.- P(x1 ≤ X ≥ x2) = ∫1 (u) du (la probabilidad probabilidad es igual al área bajo la curva entre entre x1 y x2)
4. Explique en cada caso qué tipo de variables siguen distribución binomial, de Poisson e hipergeométrica. Mencione ejemplos de cada una Una distribución binomial proporciona la probabilidad de observar x éxitos en una secuencia de n experimentos Bernoulli independientes con una probabilidad constante de éxito, p. Con x = 0,1,2,…,n. CARLOS MAURICIO NINA VILLARROEL
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Esto quiere decir que se utiliza cuando las variables son del tipo “pasa o no pasa” y cumple con 1. Los ensayos son independientes 2. La probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por p, permanece constante Algunos ejemplos : Un proceso se produce 5% de piezas defectuosas. Sea X el numero de piezas defectuosas en las siguientes 20 piezas producidas. En una zona marítima se ha determinado que el porcentaje de incidencia de bitrio cholerae es del 20%, se aX las muestras positivas en los siguientes 15 muestreos Una distribución de Poisson proporciona el número de eventos que ocurren por unidad (por unidad de área, por unidad de volúmen, por unidad de tiempo, etcétera). Algunos ejemplos La llegada de un cliente al negocio durante una hora Las llamadas telefónicas que se reciben en un dia Los defectos de manufactura de papel por cada metro producido Los envases llenados fuera de los limites por cada 100 galones de producto terminado Una distribución de hipergeométrica proporciona la probabilidad de obtener X éxitos en n experimentos Bernoulli donde no se mantiene la probabilidad de éxito constante. Ejemplo Si en una urna con 5 bolas blancas y 3 negras en el primer ensayo se saco una bola blanca, en el segundo ensayo hay una bola blanca menos por lo que estas probabilidades son diferentes(hay dependencia de ensayos)
5.- ¿Cuál es la relación entre la distribución normal y la distribución ji-cuadrada? La distribución ji-cuadrada para hacer inferencias sobre la desviación estándar de una distribución normal si se tiene una muestra de tamaño n, entonces el estadístico:
X
(n 1)S 2
2
6. ¿Cómo se relaciona la distribución T de Student y la Ji-cuadrada? Estas distribuciones se relacionan porque ambas utilizan números de muestra pequeños (menores iguales a 30) y las dos utilizan las variables aleatorias continuas.
7. El departamento de compras inspecciona un pedido de 500 piezas eléctricas para ello toma una muestra aleatoria de 20 de ellas y se prueban. El vendedor asegura que el porcentaje de piezas defectuosas es solo de 5%, así, suponiendo el peor d e los casos según el vendedor, p = 0.05, responda: a) ¿Cuál e la probabilidad de que el porcentaje de defectuosos muestral sea mayor a 10%? el 10% de 20 muestras es 2 asi que la probabilidad de que sea mayor que 2 es P(X˃2)=1-P(X≤2) P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) CARLOS MAURICIO NINA VILLARROEL
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DATOS P=0,05 n=20 X=2
P ( X
2)
20! 2!(20 2)!
(0.05) 2 (1 0.05) 20 2
0,92451633
La probabilidad de obtener 2 o menos piezas defectuosas es de 92,45% por lo tanto la probabilidad de obtener más de 2 piezas defectuosas es = 100 - 92,45 = 7.55%
b) ¿Cuál e la probabilidad de obtener una o menos piezas defectuosas?
P ( X 1)
20! 1!(20 1)!
(0.05)1 (1 0.05) 201
0,73583952
De acuerdo a lo calculado la probabilidad de obtener 1 o menos piezas defectuosas es de 73,58%
8. Un proceso de producción de partes trabaja con un porcentaje promedio de defectos de 5%. Cada hora se toma una muestra aleatoria de 18 artículos y se prueban. Si la muestra contiene más de un defecto el proceso deberá detenerse. a) Calcule la probabilidad de que el proceso se detenga debid o al esquema de muestreo. Se utiliza la distribución binomial para calcular la probabilidad:
p 5% 0.05 n 18 x 1 artículo defectuoso
n 18 n- x 18-1 f(x, n, p) p x 1 - p 0.05 1 1 - 0.05 0.7735 77.35% x 1 Probabilidad que exista menor o igual a 1 defecto = 77,35% Probabilidad que exista mayor a 1 defecto = 100 - 77,35 = 22,65%
La probabilidad de que se presente 1 artículo defectuoso es de 77.35%, por lo tanto, la probabilidad de que aparezca más de 1 artículo defectuoso, y que se detenga el proceso, es de 22.65%.
b) ¿Con lo contestado en a el esquema de muestreo es adecuado o generará demasiadas interrupciones?
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Basándose en los resultados anteriores, se estima que de cada 100 artículos que se tomen, 23 serán defectuosos, lo cual generará demasiadas interrupciones.
9. Un fabricante de calculadoras electrónicas desea estimar la proporción de un idades defectuosas producidas, para ello toma una muestra aleatoria de 250 y encuentra 25 defectuosas. Con base en esto el fabricante afirma que el porcentaje de calculadoras defectuosas que se p roduce es de 10%, ¿es verdad esta afirmación? Argumente. Datos: n = 250 u. (tamaño de muestra) x = 25 u. (numero de éxitos del que se quiere obtener la probabilidad) p = 0.10 (proporción de artículos defectuosos) Distribución Binomial P ( X
x)
n! x!(n x)!
x
p (1 p)
n x
Reemplazando: P ( X
25)
250! 25!(250 25)!
(0.10) x (1 0.10) 250
25
0.0838
Conclusión: Por tanto, se espera que un 8.38% de la muestra tendrá 25 unidades defectuosas y no así, el 10%, como lo afirma el fabricante. 10.-un fabricante de galletas desea que. Con probabilidad de 0.95, cada galleta contenga al menos una pasa. ¿Cuántas pasas en promedio por galleta deberá agregar la masa como minimo? ¿Cuál es la probabilidad de que una galleta contenga mas de seis pasas? P(X≤1)=0,95=λXe-λ/x! Despejando λ o haciendo una aproximación con Excel Se obtiene que λ=0,352 que es la cantidad de pasas promedio por galletas La P(X˃6)=1-P(X≤6) Con Excel nos da estos resultados P(X˃6)=1-0,999=0,001 la probabilidad de tener mas de 6 pasas en una galleta es del 0,1%
11.-en un almacen se inspeccionan todos los lotes de cierta pieza q ue se recibe; para ello se emplean muestras de tamaño 100. Se sabe que el proceso genera 1% de piezas defectuosas y se tiene el criterio de rechazar el lote cuando se encuentran mas de 3 piezas defectuosas en la muestra .¿cual es la probabilidad de aceptar un lote? ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan q ue inspeccionar 10 lotes antes de rechazar el primero del dia? DATOS p=0,01 n=100 CARLOS MAURICIO NINA VILLARROEL
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para aceptar un lote se tiene que tener menos de 3 piezas defectuosas, entonces la probabilidad es P(X≤3)=
usamos la distribución binomial
P(X≤3)=0,9816=98,16% entonces tenemos esta probabilidad de aceptar un lote La probabilidad de rechazar 1 lote es =1-0,9816=0,0184
12.-una caja contiene cuatro artículos defectuosos y 8 en buen estado. Se sacan dos artículos al azar a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea bueno b) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean del mismo tipo(buenos o malos)? c) ¿Cuál es el valor esperado de los artículos buenos
a)P(X=1)= x=1 n=2 K=4 N=12
usando la distribución hipergeometrica
P(X=1)= 0,90909091= 90,9%
13.-un gerente de producción de cierta compañía esta interesado en probar los productos terminados que están disponibles en lote de tamaño 50. Le gustaría retrabajar el lote si puede estar seguro de que 10% de los artículos están defectuosos en la muestra . entonces, decide tomar una muestra de tamaño 10 sin reemplazo y retrabaja el lote si encuentra uno o mas defectuosos en la muestra¿ es este un procedimiento razonable? Argumente su respuesta. DATOS N=50 n=10 es el numero de muestra K=1 que es el 10% de la muestra de defectuosos P(X≥1)= 1-P(X=0) P(X=0)= 0,8 = 80% P(X≥1)=1-0,8=0,2
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Con estos datos nos da un 20% de posibilidades de que se tenga que retrabajar el lote, por esta razón este procedimiento no es razonable ya que es una probabilidad muy alta que se tiene para retrabajar el lote.
14.-una maquina llena cajas de cereal y lo hace siguiendo u na distribución normal con varianza igual a 0,01 onzas¿Qué nivel de contenido deberá fijarse en la maquina si se desea solo 1% de las cajas contengan menos de 20 onzas? DATOS P(X<20)=0,01=P(Z
P(X<20)= P(Z<20-μ/0,01)=0,01 Buscando en la tabla de distribución normal Con p=0,01 me da z=2,31 Reemplazando en la formula 2,3<20-μ/0,01 μ=19,977 Entonces el nivel de contenido debe ser de μ=19,977
15.-en una compañía aérea 40% de las reservaciones q ue se hacen con más de un mes de anticipación son canceladas o modificadas. En una muestra de 20 reservaciones ¿cuál es la probabilidad de que 10,11 o 12 reservaciones no hayan cambiado? a) Conteste usando la distribución binomial b) Resuelva con base en la distribución normal con la media y varianza de la binomial, considerando el rango de 9,5 a 12,5 DATOS P=40% n=20 a) X=10 X=11 X=12 P(X=10)+P(X=11)+P(X=12)=0,1174+0,07+0,035=0,224 La probabilidad es del 22,4% b)μ=np
σ=√npq
μ=20*0,4=8 P(9,5≤X≤12,5)
σ=√20*0,4*0,6=2,19
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17. Una máquina realiza cortes de manera automática de ciertas tiras metálicas con media μ = 40.1 cm y una desviación estándar 0.2 cm. La medida óptima de tales tiras debe ser de 40cm con una tolerancia de ± 0,5 cm. Suponiendo distribución normal, estime el porcentaje de tiras que cumple con las especificaciones.
Datos: =
40.1 cm. = 0.2 cm.
Distribución Normal X x P ( Z z )
P ( X x) p
Entonces: P (39.5
X
40.5) P ( X 40.5) P ( X 39.5)
Estandarizando: 40.5 40.1 P ( Z 2) 0.977 0.2 39.5 40.1 P ( X 39.5) P Z P ( Z 3) 1 P ( Z 3) 0.001 0.2 P ( X
40.5) P Z
Entonces: P (39.5
X
40.5) 0.977 0.001 0.976
Conclusión: La probabilidad de que los cortes de las tiras esté dentro de las especificaciones es: (0.977 – 0.001) = 0.976 Por tanto, el 97.6% de los cortes de las tiras metálicas se espera que este dentro de las especificaciones. 18. Verifique si los siguientes datos se ajustan bien a una distribución normal. 2.51 3.73 2.31 2.07 2.69
2.29 2.98 2.00 3.10 2.60
2.31 1.08 2.35 2.32
2.19 2.25 1.76 2.59
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2.09 2.10 2.91 2.42
2.48 3.30 1.84 2.04
2.65 3.15 2.09 2.13
2.50 2.27 2.78 1.98
2.48 2.23 2.32 2.02
2.27 2.61 2.59 2.18
2.26 2.11 1.87 2.26
2.86 5.7 2.59 2.10
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Estadísticos
Media Error típ. de la media Mediana Moda Desv. típ. Varianza Asimetría Error típ. de asimetría Curtosis Error típ. de curtosis Rango Mínimo Máximo
2.4462 0.09034 2.3100 2.59 0.63883 0.40810 2,789 0,337 13,450 0,662 4.62 1.08 5.70
Datos 30
20
10
0 1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
5,50
Según los datos, su análisis y el comportamiento que estos tienen se puede decir que tiene una distribución normal.
De otra manera: Elementos para la obtención de una grafica de probabilidad Normal: Numero (j)
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Datos Ordenados X(j)
Frecuencia Acumulada (j0.5)/n
Puntajes normales estandarizados Z(j)
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1
1.08
0.01
-2.33
2
1.76
0.03
-1.88
3
1.84
0.05
-1.64
4
1.87
0.07
-1.48
5
1.98
0.09
-1.34
6
2
0.11
-1.23
7
2.02
0.13
-1.13
8
2.04
0.15
-1.04
9
2.07
0.17
-0.95
10
2.09
0.19
-0.88
11
2.09
0.21
-0.81
12
2.1
0.23
-0.74
13
2.1
0.25
-0.67
14
2.11
0.27
-0.61
15
2.13
0.29
-0.55
16
2.18
0.31
-0.50
17
2.19
0.33
-0.44
18
2.23
0.35
-0.39
19
2.25
0.37
-0.33
20
2.26
0.39
-0.28
21
2.26
0.41
-0.23
22
2.27
0.43
-0.18
23
2.27
0.45
-0.13
24
2.29
0.47
-0.08
25
2.31
0.49
-0.03
26
2.31
0.51
0.03
27
2.32
0.53
0.08
28 29
2.32 2.35
0.55 0.57
0.13 0.18
30 31
2.42 2.48
0.59 0.61
0.23 0.28
32
2.48
0.63
0.33
33
2.5
0.65
0.39
34
2.51
0.67
0.44
35
2.59
0.69
0.50
36
2.59
0.71
0.55
37
2.59
0.73
0.61
38
2.6
0.75
0.67
39
2.61
0.77
0.74
40
2.65
0.79
0.81
41
2.69
0.81
0.88
42
2.78
0.83
0.95
43
2.86
0.85
1.04
44
2.91
0.87
1.13
45
2.98
0.89
1.23
46 47
3.1 3.15
0.91 0.93
1.34 1.48
48 49
3.3 3.73
0.95 0.97
1.64 1.88
50
5.7
0.99
2.33
Graficando:
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GRAFICA DE PROBABILIDAD NORMAL
5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5
) j ( 1.0 Z
0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5 -3.0 1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
4.25
4.5
4.75
5
5.25
5.5
5.75
X(j)
Conclusión: Como se puede apreciar, los puntos no siguen una línea recta, por lo que la grafica de probabilidad en estos casos estaría detectando que los datos no siguen una distribución normal.
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