Solucionario Fluidos i

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA FACU

LTAD D

DIAZ MEZA, R

E I NG ENI ERI A D E M I NAS GE INGENIERIA CIVIL

OLOG

I A Y CI

VI L

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FLUI DOS I VI SCOSI DAD DE LOS FUI DOS 1) En la figura semuestra un viscosímetro quecontiene liquido viscoso deespesor e = 2cm, esta rota con una velocidad angular w = 6rad/s y genera una potencia de 0.015H p.Calcular el valor de la viscosidad dinámicam del líquido viscoso.

15cm

30cm

e

10cm

Solución: Para el casquete esférico calculamos R. 15cm

RSen

f

RSen 30cm

Rdf

f R

b

R R-10

R

15 10cm

fd q

q

df

dA

dq

R

e

R 2 = ( R - 10) 2 + 15 2 R = 16.25cm b = 67.38º dA = R d f . R sen f d q

Pero t

=

m r e

=

dF dA

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- 1-


LTAD D

DIAZ MEZA, R

mr

=

dF


OLOG

I A Y CI

VI L

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dA

e

mr

dF

=

dT L

=

* R 2 sen f d f d q e dTL = rdF Pero r = Rsenf R 4 mw

sen 3f d f d q

I ntegrandoe

ò

TL

0

=

dTL

TL

=-

TL

=

R 4 mw e

R 4 mw e

2p

67.38

0

0

ò ò 2p

ò ò 0

sen 3f df dq

67 .38

0

(1 - cos 2 f ) d (cos f ) d q

4

R mw

0 . 301

e

( 2p )

correccion

TL 1 = 1 .65 m Para la parte cilíndrica.

t

=

mR

dF

=

e

dA

dA

= m Re = 2 p Rdh

dF

=

dF

mR

=R

e mR

dA

* 2 p Rdh

* 2pRdh e TL h 2pmwR 3 dTL = * dh 0 0 e 2pmwR 3 TL = h e 2pm * 6 * (0.15) 3 TCILINDRO = 0 .3 0.02 TCILINDRO = 1.91m dTL

ò

ò

R

Base del cilindro dF

=

dA

=

dT

b

=

m .r e 2 p . rdr 2 pm e

dr r

dA

3

r dr

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- 2-


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OLOG

I A Y CI

VI L

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I ntegrando setiene

ò

T

dT

0

T

b

b

2 pm

=

pmw 2e

=

ò

e

.R

R

0

r 3 dr

4

figura la potencia consumida por ef, ve ecto dela angul viscosidad en el s y siste ma,lasab iendoencontrar que la holgura e=1pulg. , R=4pulg. locidad arω=6rad/ 2) De µ=0.05 poise R

70º

70º h

R

e

Solución: m . dv m Se sabe: t = = dy

.v e

=

m .r w e

R

q

q dx

x

h

dy

dl

a

dT L

=

x .dF

.x ²

= t . dA L . x = m

e

.dA L

Por semej anza detriángulos dy

h

=

dx

(R

-

a)

Donde: a

=

dT

R

L

=

-

h Tan q º

2 mwp e

.x ³

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1

+

(

h R

-

a

)² dx

- 3-


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OLOG

I A Y CI

VI L

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I ntegrando

ò

T

L

dT

0

TL TL

L

2 mwp

=

1

e

=

2 mwp

=

mwp

+

1

e

+

1

R

-

h

-

R

Para la semiesfera

(

h

(

(

2e

+ a

h

-

R

x

)² .

4

|

4

)² .( R

4

)²

a

-

ò

R a

x ³ dx

R a

a4)

a

f

RSen

RSen

f dq

R df

f R

df dq

q

R

=

dA

mr

=

t

e

dT

e

dF

=

e

dF dT

R d f . R .( Sen f ).( d q )

=

mr

=

r . dF

=

mw R

dA dA

e

=

r.

mr

dA

e

4

Sen

e

3

f . d f .d q

I ntegrando

ò

T

e

T

e

e

mw R 4

= -

T

4

mw R

=

dT

0

e

2p

ò ò 0

2p

ò ò 0

p /4

0

p /4 0

(1

-

3

Sen f . d f . d q 2

Cos f ). d ( Cos f ) .d q

4

=

4 pmw R 3e R

Basehueca dF

dA

=

=

m .r e 2 p . rdr

a

dA

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dr

r

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b

2 pm

=

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VI L

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dT

OLOG

r 3 dr

e

I ntegrando setiene

ò T

T

dT

0

b

=

Pot

b

ò

e

pm .( R 4 2e = w .T total

=

Pot

2 pm

=

w * (T L

+

R

3

r dr

a

-

a

Te

+

4

)

Tb )

3)

Para la siguientef igura determinar µ sabiendoque: R=30cm, h=H =30cm, r=15cm, velocidad angular ω=5rad/s, e=3cm y potencia de0.011H P. r

e

H

R

h

Solución:

=

t

m .r

=

e

dF dA

L

= t . dA L Similar al problema anterior dF

r

dl

x

dy

H

dx

R

dT

L

=

x . dF

=

t . dA

L

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.x

=

m

.x ² e

. dA

L

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=

=

2 .p . x .dL

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VI L

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dA L

OLOG

+ ( dy )² =

2 .p . x ( dx )²

2 .p . x 1 +

æ dy ö ç ÷ è dx ø

2

dx

Por semej anza de

triángulos dy

H

=

dx

-

(R

r)

Donde: dT

2 mwp

=

L1

.x ³

e

+ çæ è

1

H

-

R

r

ö2 ÷ dx ø

I ntegrando

ò

T

L1

0

dT

=

L1

T L1

=

2 mwp

T L1

=

mwp 2e

2 mwp

e

1

+

1

e 1

+

+

(

(

H

(

R

-

-

r

x4

)² .

r

H R

H R

4

)² .( R

4

r

|

)²

ò

R a

x ³ dx

R r

-

r4)

Análogamentepara la parte inferior cónico R dx x

dy

dl

h

=

dT L 2

ò

TL

0

TL2

2

dT

2 mwp

.x ³ 1 + (

e

=

L 2

2 mwp

2 mwp

=

e

1

e

1

mwp

+

h R

(

h R

+

)² .

h

1 + ( R )² . R = 2e Basemenor del tronco decono TL2

dF

=

dA

=

dT

b

=

m .r w e 2 p . rdr 2 pmw e

dA

)² dx (

x4

4

h R

|

)²

ò

R

0

x ³ dx

R

0

4

R

dr r

r 3 dr

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OLOG

I A Y CI

VI L

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I ntegrando setiene T

ò

dT

0

T

b

=

pot

=

b

pm 2e

=

2 pm

ò

e

.R

R

r 3 dr

0

4

w * (T L 1

+

+

TL2

Tb )

Rpta

4) En el sistema de la figura determinar µ, sabiendo que e=2cm, R=20cm, h=50cm, ω

=4rad/s y potencia de 0.015H P.

R

e h

Solución: Para la semiesfera.

RSen

f

RSen

f dq

R df

f R

q

df dq

R

dA

t

=

dF

=

R d f . R .( Sen f ).( d q )

m rw e

=

=

mrw e

dF dA dA

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e

dT

e

=

=

r . dF

VI L

dA

e

4

mw R

=

m rw

r.

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dT

OLOG

3

Sen

e

f .d f .d q

I ntegrando Te

ò

dT

0

T

e

= -

T

e

=

4

mw R

=

e

4

mw R

e

2p

Sen

ò ò ò ò (1 0

2p

e

p / 4

p / 4

0

3

f .d f . d q

0

Cos

0

2

f ). d ( Cos f ) . d q

4

4 pmw R 3e

Para la parte cónica R dx

x

dy

dl

h

dT

ò

TL

0

L

=

dT

L

2 mwp

.x ³ 1

e

=

2 mwp e

1

+

+

(

h

(

R

x4

TL

=

2 mwp

TL

=

mwp h 1 + ( )² . R 4 2e R = w * TT = w * (T e + T L )

pot

pot

e

1+ (

h R

)² .

h

)² dx

R

4

)²

ò

R

0

x ³dx

R

|

0

ESTÁT I CA DE LOS FLUI DOS 5) Para el sistema de la figura determinar la presiónabsoluta en el punto A.

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g3

VI L

Agua

40cm 20cm

A

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Agua

OLOG

Agua

15

cm

4 5º

m 0c 6

m c 0 4

B

G as

m c 0 5

C

g1

g2 g 1 = 0.029lbf Solución:

g2

/ Pu lg ³,

= 0.034lbf

/ Pu lg ³, g 3

= 0.049lbf

/ Pu lg ³

g3

a

40cm 20cm c Agua

A 6

c 0

15

Agua

cm

45 º

h

m

G as

B

m c 0 4

g2

C

m c 0 5

b

Agua

g1

= Patm + g ( a ) + g 1 ( h + 0 .5) - b g + g 2 ( 0 .4 ) - g 3 ( 0 . 2 ) + g (C ) PA = Patm + g ( a + c - b ) + ( 0 . 106 + 0 .5 )g 1 + 0 . 4g 2 - g 3 ( 0 .2 ) Pero dela figura setiene: a + h + 0 . 5 - b + 0 . 4 - 0 . 6 - 0 .2 + c = 0 . 4 a + h - b + c = 0 .3 pero h = 0 .15 Sen 45 º = 0 .106 m PA

\ a + c - b = 0 .194 m Þ PA = Patm + g ( a + c - b ) + ( 0 . 106 + 0 .5 )g 1 + 0 . 4g 2 - g 3 ( 0 .2 )

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Pero 1lbf = 0 .4536 kgf y 1 pu lg = 0 .254 m Þ g 1 = 802 . 731 kgf / m ³ g 2 = 941 . 132 kgf / m ³ g 3 = 1356 . 338 kgf / m ³ a + h - b + c = 0 .3 PA = Patm + 1000 ( 0 .194 ) + ( 0 .106 + 0 .5 )802 .731 + 0 . 4 ( 941 .132 ) - 0 . 2 (1356 .338 ) PA = Patm + 785 .64 kgf / m ² Patm = 101 .325 Pa » 10 .329 kgf / m ² PA = 10 . 329 + 785 . 64 = 795 .969 kgf / m ² Rta

6) Para el sistema determinar las presiones en los puntos A yB, así también calcular el valor de “ h” agua

P=20lbf/Pulg² 10cm

12cm

Gas

12cm

Aceite

14cm

Petroileo

10cm

g5

agua

agua

agua

agua

30cm B

m c 0

h

3

m c 5 1

m c 0 2

g4

g3

g6 A

= 0.82 = 13600 kgf / m ³, Solución: D.R.aceite

g3

= 0.92 = 8.2 grf / cm³,

D.R.Petroleo

g4

g5

= 9500 kgf

Gas Aceite

14cm

Petroileo

10cm

agua

agua

a B

m c 0 31

h

m c 0

b

n m c 5 1

2

2

g6

/ cm ³

g5

m

agua

30cm

= 16.5 grf

10cm

agua

12cm

g6

agua

P=20lbf/Pulg² 12cm

/ m ³,

g3

g4

c

A

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DIAZ MEZA, R

PA PA


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= P + g aceite (0 .12 ) + g petroleo (0 .14 ) + g ( 0 .10 ) + g ( a ) - g 3 ( 0 .2 ) + g (b ) - g 4 ( 0 .15 ) + g (c ) = P + g aceite ( 0 .12 ) + g petroleo (0 .14 ) + g ( 0 .10 + a + b + c ) - g 3 (0 .2 ) - g 4 (0 .15 )

Pero D .R

=

g Sust g H 2O

Þ g Sust = g H 2O * D .R

\ g aceite = 1000 * 8 .2 = 820 kgf / m ³ g Petroleo = 920 kgf / m ³ g 4 = 8200 kgf / m ³ g 5 = 16500 kgf / m ³ P = 20 lbf / Pu lg ² = 14061 . 63 kgf / m ² Así también de la figura : a + b + c = 0 . 85 m Þ PA = 14061.63 + 820 * 0.12 + 920 * 0.14 + 1000(0.1 + 0.85) - 13600 * 0.2 - 8200 * 0.15 PA = 11288.83kgf / m ² CalculandoPresión en B. PB = P + g aceite (0.12) + g Petroleo (0.14) - g ( m) - g 5 (0.1) + g (n ) PB = 14061.63 + 820 * 0.12 + 920 * 0.14 + g ( n - m) - 9500 (0 .1) PB = 13338.83 + 1000 (n - m ) pero n - m = 0.5m Þ PB = 13838.83kgf / m ² Calculemos la altura h De la figura. P1 = P2 P + g aceite (0.12) + g Petroleo ( 0.14) + g (0.4) = Patm + g 6 h 14061 .63 + 820( 0.12) + 920 (0 .14) + 1000 (0.4) = 10.329 + 16500 h 14688 .83 = 10.329 + 16500 h h = 88.96cm

7) Para el sistema dela figura calcular la dif erencia depresiones entre A y B. ( D.R Aceite

= 0.8)

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- 11 -


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DIAZ MEZA, R

Aire Aceite

CO Gas A

m 0 3 . 0

15cm

Hg

D.R=0.8 Agua

0.3m

m 5 .2 0

m 0 4 . 0

Hg

CO

m c 0 2

N2

CO2

I A Y CI

Agua Gas B

m 2 . 0

m 2 . 0 m .1 0

0.2m

Hg

Hg Hg

Hg

Solución: PB = PA + 0.4g Hg - 0.25g Hg - 0.3g Hg + 0 .45g aceite + 0.2g Hg - 0.5g H 2O + 0.2g Hg + 0.3g H 2O - 0.2g Hg PB = PA + 0.4 * 13600 - 0.25 * 13600 - 0.3 * 13600 + 0.45 * 800 + 0 .2 * 13600 - 0.5 * 1000 + 0.2 * 13600 + 0.3 *1000 - 0.2 * 13600 PB - PA = 840 kgf / m ²

rotacion 8) Los cilindros concéntricos de 0.4m dediámetro interior, 1.20m dediámetro exterior y

1.5m dealtura. Si el cilindro interior es hueco y el espacio entre los cilindros concéntricos está lleno deagua y herméticamente cerrado, determinela fuerza que seproduceen la tapa, en el f ondo y en las superficies medias cilíndricas interior y exterior cuando estoa giran a 60rpm al rededor desu eje vertical.

w 0.6m

h=1.5m

0.2m

Solución:

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- 12 -


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OLOG

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VI L

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DIAZ MEZA, R

x

H

Hr Zr Zo

h

Ro R

=

Z

2

w

2

X

2g

Para Z = Z0 ; X = R 0 Z

w

=

0

2

R0

2

;Z

2g

r

w

=

2

2

X

2g

a) La fuerza que produceen la tapa es: d

F

d

F

=

pd

=

g Hr . 2 p Xdx

A

Donde Hr = Z

d

=

F

g (Z

-

r

æw 2X çç 2 g è I ntegrando: d

ò

=

F

F 0

F

d

=

-

r

Z 2

g

=

g

pgw

2

F

ò

R r0

é ê ë

g

(

X

w

2

4

2

F

=

pgw 4g

F

=

p ( 100

F

=

323 . 66 kgf

2

-

-

x

) 2 p Xdx 2

w

-

2

R0

2g 2

X

dx Ro

0

r2X

ö ÷÷ 2 p Xdx ø 2

w

-

2g

4

(R

0

R

Z

R 02

2g 2

2

) 2 p XdX

R

ù ú ûR

0

2 2 R0 )

)( 2 p ) 4 g

2

[0

. 60

2

-

0 .2

2

]

2

b) Fuerza que seproduceen el fondo. Visite mi página:

- 13 -


LTAD D

=

FF

FF

+

323 . 66

g . hA

OLOG

I A Y CI

VI L

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DIAZ MEZA, R

FF


base

= 323.66 + 1001.5p (0.62 - 0.22 ) = 1831.63kgf

c) Fuerza que seproduceen la pared lateral exterior. F

=

F F

= 1000 ( 0 . 75 = 1413 . 72 kgf

g HgA

L

) 2 p ( 0 . 2 )1 . 5

d) Fuerza queseproduce en la pared lateral exterior. H

=

Zr

- Z0

2

w 0 .6

w 0 .2

H

=

H

=

F

= gH G AL

F F

= 100 ( 0 . 75 + = 7860 . 28 kgf

2g 0 . 64 m

-

Z r Para X 2

2

= 0.6

Comow = 2p rad / s

2g

Þ La f uerza en la pared lateral exterior será: 0 . 64 ) 2 p * 0 . 6 * 1 . 5

Un tanquede sección transversal rectangular ( 6x1m) está lleno de agua hasta os l 9) 4.0m dealtura y está unido a un peso Q = 60000kg, por medio de una cuerda flexible e inextensible que pasa por una polea. El coef iciente de rozamiento entre el tanquey la superf icie horizontal es: f = 0.6 y todos los demás rozamie ntosson despreciables. H allar la presión en un punto del tanquesituado 1.0m sobre el punto A dela figura. 6m

4m

Q 6m

T a

Solución:

T

a Q

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W N

4m f=m.N

- 14 -


LTAD D


T

-T =

=

Þ

f

Q g

* a .......... .......... .......( 1)

W

=

* a .......... .......... .....( 2 ) g g * V = 1000 * 4 * 6 * 1 = 24000 kgf

f

W

VI L

= ma

V

Q

I A Y CI

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DIAZ MEZA, R

åF

OLOG

=

m*N

= m *W

( 1) + ( 2) Q

-

f

æ Q +W = çç è g

æ Q +W ö ÷÷ a - 0 .6 ( 6 * 4 * 1 * 1000 ) = çç è g ø 60000 + 24000 - 0 . 6 ( 24000 ) = ( )a

60000 60000

a

ö ÷÷ a ø

9 . 81

= 5 .32 m / s 2 6m 2 h 4m

Z

a=5.32

1

g=-9.81

P 1m A

Aplicando ecuación deEuler. aX d X

+ aY d Y + a Z d Z =

5 . 32 d X

- 9 . 81 d Z =

X2

5 . 32 òX

dX

1

5 . 32 x |

6 0

-

r

- 9 . 81 òZ

5 . 32 x 6 - 9 . 81 xZ

=

r

dP Z2

9 . 81 Z

dP

dZ

=

| =

z

1

0

r

1

1

r

( P2

ComoP2 = P1 atmosféricas Þ 5.32 x 6 – 9.81 x Z = 0 Z = 3.254m Visite mi página:

1

r

|

P

ò

P2

P1

dp

p2 p1

- P1 )

- 15 -


LTAD D

DIAZ MEZA, R


OLOG

Z

2

=

Z

2

VI L

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Para el líquido seeleva respecto a la superficie libre inicial h

I A Y CI

o sea que:

= 1 . 627 m

La presión a 1m sobre el punto A será entonces: 2

P

= 1000 ( 4 + 1 . 627 - 1) =

4627 kg / m

Rpta

10)

En el sistema dela figura setiene un cilindro cerrado de1.20m dediámetro y 0.30m de altura. Contiene líquido de0.10m dealtura, sehace girar alrededor de un eje vertical hasta queel líquido tome la forma aproximada deun cilindro hueco con una dif erencia de 1% entre los diámetros d1 y d2 (d1 = 1.01d2). Calcular la velocidad angular.

d1

d2

Solución: w D=1.2m d1 D=1.2m

H=0.30m H=0.30m

h=0.10m

h=0.10m

Z0 d2

Antes del giro

Con giro w

Se sabe: Z

=

w2X

2

2g

Para Z = Z 0

X

= d2 / 2

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- 16 -


LTAD D

=

Para Z0

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Z0


w 2 d 22

.......... .......... .......... .......... ...(*) 8g Z = Z0 + H X = d1 / 2

+

=

H

w 2 d 12

.......... .......... .......... ..(**)

8g

( *) En ( **) w 2 d 22 8g d

2 1

w 2 d 12

+H =

-d = 2 2

pD 2 (H 4

8g

8 gH

p d 12 (Z 0 2*4

- h) =

Z0

- h) =

D 2 (H

.......... .......... .......... .......(* * *)

w2

2

(d 1

+ H)-

- d 22 ) +

2

d1 H

2

( *) y (* *) en ( a ) D 2 (H

- h) =

D 2 (H

w 2 d 22

*

8 gH 2

+

p d 22 * Z0 2*4 .......... .......... .....( a )

d12 H

2 * 8g w 2 H h) = ( d 12 + d 22 ) 2

-

Por dato d 1 = 1 . 01 d 2 D 2 (H 2 D (H

-

h)

=

- h) =

H

2 H

[(1 . 01 d

2

)2

+

d 22

]

( 2 . 02 d 22 ) 2 h ) = 1 .01 * H * d 22

Reemplazando datos. H = 0.30m h = 0.01m D = 1.20m Þ 1 .20 2 ( 0 .30 - 0 .10 ) = 1 .01 * 0 .30 * d 22 D 2 (H

= 0 .975 m = 0 .985 m En la ecuación ( ***) d2 d1

w

=

w

=

8 gH 2

d1

- d 22

34 . 66 rad / s

Rpta

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11)

Se tiene una tubería circular por donde f luye petróleo con un peso específico de la distribución de velocidades en una sección es 2 2 V r = N (1 - 4 r / d ) donde: d = diámetro, r = radio variable d 1 = 10 " y d 2 = 6" , N = número de letras del apellido paterno: a) Calcular la variación demasa respecto al tiempo entre las secciones 1 y 2. b) Calcular la fuerza total queej erce la pared AB. 950 kg / m 3 .Si

0.20m Fuga

2 d2

0.15m

A

1

2

d1 B

1

Solución:

0.20m

Fuga

2 r

0.15m

A

1 d1

=

N (1 -

4r d

2

B

1

Vr1

d2

FH

r

F1

F2

2

2 1

)

Vr 2

=

N (1 -

4r 2 d 22

)

a) Variación demasa respecto al tiempo. D Mt = rQ1 - r Q 2 H allemos caudales. dQ 1 = Vr1 dA = N (1 -

ò

Q1

0

Q1

dQ 1

=

=

2p N

ò

d1 / 2

0

4r 2 d 12

(1 -

) * 2p rdr

4r 2 2

d1

) rdr

pNd 12 8

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Análogamente: p Nd 22

=

Q2

8

Þ D Mt = r (Q1 - Q 2 ) D Mt =

rp N

- d 22 )

( d 12

8

N = R AM OS = 5

= 10 || = 10 * 0 .0254

d1

= 0.254m = 6 || = 6 * 0 .0254 d 2 = 0 . 1524 m

d1

d2

r

=

950 kg / m 3 9 .81

D Mt = 7 . 851 kg / seg .

b) Cálculo de f uerza ej ercida. * Calculamos las presiones en el ej e de la tubería. d 2 P1 = g ( 0 . 15 + 1 ) = 263 . 15 kg / m P2

= g

( 0 . 20

+

Þ

F1

=

P1 A1

=

F2

=

P2 A 2

=

2 d

2

2

)

=

262 . 39 kg / m

263 . 15 * p * 262 . 39 * p *

d 22

4

d 12

4

=

=

2

13 . 334 kg

4 . 786 kg

Por la ecuación dela cantidad de movimiento. å Fex = r (Q 2V 2 - Q1V1 ) F1 - F2 - F H = r ( Q 2V 2 - Q1V1 ) ComoQQ 2 = V 2 A2 V1 = 2 V2 = A2

FH

=

F1

FH

=

28 . 177 kg

Q1 A1

- F2 - r (

Q 22 A2

-

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Q12 A1

)

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12)

En la figura semuestra una esfera de 2m dediámetro quecontiene agua bajo presión. Está construido por dos secciones semiesféricas unidas mediante 50 pernos¿Cuál es la f uerza total en cada perno para mantener unida la sección? Gas

P=2000kgf/m²

Agua 2.5m 0.25m

D.R=13.6

Agua

1m R=

Agua

Solución: = g (a + b + 1) + 13600* 0.25 + P = 1000 ( a + b + 1) + 13600 * 0 .25 + 2000 a + b + 0 .25 = 2 .5 a + b = 2 .25 m PM = 1000 ( 3 . 25 ) + 13600 * 0 . 25 + PM = 8650 kgf / m ² F = PM * A F = 8650 p . 1 2 = 27174 . 776

P=2000kgf/m² Gas

PM PM

=g

W FT

= 2094 .395 = F + W = 2926 . 17

* V OL

= 1000

4

W

*

3

p *

Agua 2.5m 0.25m

2000

b D.R=13.6

1m R=

Agua M

(1) 2 Agua

2

F en cada perno =F = F + W = T

a

29269 . 17

W

= 585 .38 kg Rpta

50 13) Setieneun plano inclinado quef orma un ánguloa y b con la horizontal como se

muestra en la figura, por donde sedesliza un depósito que contiene agua y cuyo peso total es w1 . El descensode dicho depósito produceel ascensode otro igual pero cuyo peso total es w 2 . Calcular el valor del ángulo quehace la superf icie libre del primer depósito con el plano horizontal. Visite mi página:

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m1 W1

W2

b

a

m2

Solución: z'

z'

T

N

f= m

N 1.

x'

T

a

x' N

a W1

.s e

n

a

a

-T -

f

=

Donde f = m .N ; f

W2

W1 g N

W

C 2.

sb

o

b

W2

b

.se

nb f'= m2. N

a

= W1 cos a

= m 1W1 cos a

W1 sen a T

sa Co

W1

a

W1 sen a

W1

- T - m1W1 cos a =

- W 2 sen b - m 2W 2 cos b =

W1 g W2 g

a.......... .......... .......... .....( a ) a .......... .......... .......... ....( b )

Sumandoa + b W1 sen a a

=

- W 2 sen b - m1W1 cos a - m 2W 2 cos b = (

W1

+ W2 g

)a

[W1 ( sen a - m 1 cos a ) - W 2 ( sen b + m 2 cos b ) ]g W1 + W 2

= - a cos a = g - asen a Por ecuación de Euler. Para

aX aZ

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z -x -z q

1

x

2

a dP

= axdx + a Z d Z

r

ò

dP

P2

0 Z X

-Z

(g

- asen a ) d Z

= + a cos a X - ( g - asen a ) Z

=

tan q

q

-x

= ò0 - a cos a dX + ò0

r

P1

=

a cos a g

=

tan

=

- asen a

tan q

a cos a g -1

(

- asen a a cos a g

- asen a

)

14)

En el sistema de la figura N º 02 setiene una compuerta OA de 8m. De longitud ( perpendicular a OA) , y pesa 4200kgf, puede pivotear en el ej e O, R = 6m ( radio de curvatura de OA) y a = 20º. Calcular “ h” para quela compuerta inicie a levantarse. Campana cilindrico

Bloque

w Aire 1.5m

Petroleo D.R=0.95

Aire

h

Agua

1m

Aceite D.R=0.8

1m

A

e

O

a

Agua

R

Agua

Agua 0.5m

R

4m

Agua Hg D.R=

Solución:

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Bloque

Campana cilindrico

w Aire 1.5m

Aire

e Agua a

Agua

4m

0.5m b

M

Hg D.R=

PM = 1000 * 1 . 5 + 1000 Pero de la figura. a + b = 3.5 Þ PM = 11800 kgf / m 2

+ b ) + 13600

(a

* 0 .5

Petroleo

Petroleo

h

D.R=0.95

h'

b a

1m

FV1 FH1

N

O

a

A

A' 2m

D.R=0.8

FV2 d

1m

R.Sena =2.05m

b

g

Pet

O

Aceite 6 20 6 5.64m

M

O'

10.1875m

0.62m A1

R

FIG. 1

Aceite 4.43m

A2

2m A

R Agua

Agua

h

1.21m

Aceite

c

FH2

Agua

H

b

q

2.05m O'

FIG. 2

+ 1) = g H 0 ( H + 1) + 1) = H + 1 = 0 . 95 h - 0 . 05 (h

2

0 . 95 ( h H

De la FI G. 2 æ q = cos - 1 ç è b = 22 .45 º A1

=

4 . 05 6

ö = ÷ ø

p * 6 2 * 22 . 45 360

-

47 . 55 º

1 2

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* 6 2 sen 22 . 45 º

- 23 -


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= 0 .18 m 2 2 A2 = 1 . 21 m Area del triangulo ( AA’O) Distancia de O’ a CG de1 (FI A G. 2) A1

=

d CG

2 * 6 3 sen

3

( 22 . 45 / 2 )

3 * 0 . 18

= 5 .90 m

d CG

x = 0 . 62 m F H 1 = g hGA Pr oy

FH 1

= 1000 ( H + 1 ) 2 * 8 = 16000 ( H + 1)

Y P1

=

FH 1

H

+1+

8 * 2 3 / 12 (H

+ 1) 2

*8

=

+1+

H

1

+ 1)

3( H

a = Y P1 - H 3H + 4 a= 3 ( H + 1) FV 1 = g L ( A2 - A1 + 1 . 21 H ) FV 1 = 1000 x 8 (1 . 21 - 0 .18 + 1 .21 H ) FV 1 = 8000 (1 . 03 + 1 .21 H ) 2

+ 1 . 21 H ) b = 1 . 21 2 x 23 0 . 86 + 0 . 73 H ) b = ( 1 . 03 + 1 . 21 H De la figura 1 PN = PM - 2 . 05 x 1000 - 800 PN = 11800 - 2050 - 1600 PN = 8150 kg / m 2 g Aceite h ' = 8150 h ' = 10 . 1875 m FH 2 = 1000(10.1875 + 1).2 * 8 FH 2 = 179000kgf (1 . 03

YP2

= 11.1875 +

8 * 2 3 / 12

11.1875 * 8 * 2 - 10.1875m

0 . 18 x 0 . 62

+

1 . 21 2

H

x2

= 11.22m

= YP 2 = 1.03m FV2 = 1000 * 8(1.21 - 0.18 + 1.21 *10.1875) FV2 = 106855kgf

C C

13 .36 d d

2

1 . 21 2

3

2

= 1 . 21 2 * - 0 . 18 * 0 . 62 +

= 0.62m Visite mi página:

* 10 . 1875

- 24 -


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Centro de aplicación del peso. WAO=4200kgf 0.67m

O

4.43m

dl R A

dq R

b

q

O'

RCosq Lc=2p*b*R/360 Lc=2.35m 42 . 45

= R ò20 cos qd q X = 5 .098 » 5 .10 c = 0.67m 2

X

0

M

= FH a + FV b + W X = FH c + FV d å Falta verif icar 0

1

1

2

2

= 8.06m Pero H = 0.95h - 0.05 Þ h = 8.54m 15) Dada la función delínea equipotencial f = c sonvalores constantes. a) Comprobar queel f lujo es irrotacional b) H allar la función de la línea decorriente c) H allar la aceleración d) H allar el gradientede presiones Solución Según gauchy riman H

a .x

2

+

bxy

-

ay

2

, donde a, b y

a) Para el fque: lujo sea irrotacional sedebe cumplir w = 0 Pero se que sabe

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- 25 -


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1

=

V

= -Ñ

2

¶f = ¶x

Ñ

OLOG

é ¶f = -ê ë ¶x

.f

+

2 ax

i

+

¶f ¶y

+

¶f ¶z

2 ay

j

j

k

ù ú û

by

æ ¶w æ ¶u ¶u ö ¶w ö ¶m æ ¶m Ñ .V = çç ÷÷ i - èç ¶ z - ¶ x ø÷ j - çç ¶ x - ¶ y ¶ y ¶ z è ø è Ñ .V = 0 i + 0 j + ( - b + b ) k = 0 =

1 2

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.V

¶ f = bx - 2 ay ¶y ¶f = 0 ¶z ( i - )bx V = - (2 ax + )by m = - ( 2 ax + by ) u = - ( bx - 2 ay ) w = 0 éi j k ù ê¶ ¶ ¶ ú ú ÑV = ê ê ¶x ¶y ¶z ú ê ú u wû ëm

w

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w


Ñ

=

.V

ö ÷÷ k ø

0

\ El f lujo es irrotacional

b) Según Las ecuaciones de

¶f ¶y = ¶x ¶y ¶f ¶y u = = ¶y ¶x Entonces: ¶f = 2 ax + by ¶x ¶y = 2 ax + by I ntegrando ¶y m

=

y

=

2 axy

+

1 2

by

2

+

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f (x)

-----------------(*) - 26 -


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Derivando respecto a x ¶y = 2 ay + f ' ( x ) ……………………………( a) ¶x Pero: ¶y ¶f = = bx - 2 ay ¶x ¶y ¶y Þ ¶x = 2ay - bx ………………………………………( b) ( b) en (a) 2 ay - bx = 2 ay + f ' ( x ) f ' ( x) = -bx integrando re specto a x se tiene f (x)

= -

1 2

bx

2

………………………………………..(g)

( g) en ( *)

=

y

+

2 axy

1 2

by

2

-

1 2

bx

2

Rta

c) Calculandola aceleración ¶V ¶V ¶V ¶V a = +m +u +w t x y z a = 0 ¶- ( 2 ax + ¶by )( - 2 a )¶ - ( bx - 2¶ay )( - 2 a ) + 0 a = 4a² x + 2aby + 2abx - 4a ² y 16) Si la función equipotencial f = axy para un flujo plano. a) Verif icar la ecuación dela continuidad b) H allar la función de la línea decorriente c) ¿Qué f lujo representa? d) Si a=20 seg. Calcular las componentes dela velocidad en el punto decoordenadas x=8cm; y=2cm. Solución: a) la ecuación dela continuidad obliga : 2

2

2

¶¶ xf2 + ¶¶ y f2 + ¶¶ z f2 = f = axy

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0

- 27 -


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¶ 2f = 0 ¶x 2 ¶ 2f = 0 ¶y2 ¶ 2f = 0 ¶z2 \ La f unción es continua b) f unción dela línea de corriente: f = axy Sabemos ¶y ¶f = = ay ¶y ¶x y

1

=

ay ²

2

+

f (x)

¶y = f '( x ) ¶x Pero ¶y ¶f = = ax ¶x ¶y f ' ( x ) = ax I ntegrando 1 f (x) = ax 2 2

1

\y =

2

ay ²

+

1 2

Rta.

2

ax

c) Para saber el tipo deflujo sedebe determinarw = entonces el f lujo es irrotacional si no es rotacional: 1

w

=

V

= -Ñ

2

¶¶ fx = ¶f = ¶y

Ñ

1 2

Ñ .V =

0

si esto secumple

.V .f

é ¶f = -ê ë ¶x

i

+

¶f ¶y

j

+

¶f ¶z

k

ù ú û

ay ax

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- 28 -


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w

=

1 2

[0 +

0

-

a

+

ö ÷÷ i - çæ ¶ m - ¶ w ÷ö ¶x ø è ¶z ø a

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¶f = 0 ¶z V = - ay i - ax j m = - ay u = - ax w = 0 j k ù éêi ú ¶ ¶ ¶ ú ÑV = ê ê ¶x ¶y ¶z ú ê ú u wû ëm æ ¶w ¶u Ñ .V = çç ¶ y ¶z è


]=

j

æ ¶u ¶m - çç ¶ x ¶y è

ö ÷÷ k ø

0

\ Es un flujo irrotacional: d) Si a=20 seg. Calcular las componentes dela velocidad en el punto decoordenadas x=8cm; y=2cm. m u w

ay 20 * 0 . 08 1 .6 m == -- ax == --20 * 0 . 02 == 0 . 4 m = 0

/s /s

17) En el sistema dela figura semuestra a tres reservorios y una bomba de153H.P. de potencia con una eficiencia del 100%, el sistema detuberías transporta agua, al presión en el punto p es 36.5mde agua, la válvula V origina una pérdida de3.05m deagua y el coef iciente de H azem y Williams es 120pie/ s. Calcular los caudales en cada tubo y la cota “B”. Cota=??

B V

30.5m

A D

D L =3

00

= 24 ' 0m

'

=2

' 4'

50 24

m

L=

Bomba

P

Q

11.6m

D=24'' L=1220m

3.05m

D=12''

C

L=620m

Solución: Visite mi página:

- 29 -


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Cota=??

B 30.5m

V

A (4) Q4 (1)

Q1

(2)

P

Q

11.6m

M (3)

Q2

C

Q3

3.05m

La cota piezométrica P es 3.05+36.5=39.55m. y 30.5 cota del reservorio A, entonces el f lujo va deP hacia A, cuyo caudal lo hallaremos: Sabemos que: Q=0.000426CD

2 . 63

Q=0.000426CD

2 . 63

S

=

h

æ hf çç è L

ö ÷÷ ø

0 . 54

0 . 54

S

m/ K m.

f

L

1 .85

Qö = L æç 2347 .242 ÷ è CD .63 ø Donde: Q=l ts./ s; L=K m.; D=Pulg. y C = Proseguiendo con nuestro calculus 39 . 55 - 30 . 5 S1 = = 3 . 02 hf

Q1

3 =0.000426*120

2 . 63

* 24

S

pie

/ seg

.

m Km

0 . 54

Q 1 = 396 lts / s La bomba tiene una potencia:

hB

g Qh

=

Pot

=

36 . 5

E

-

Þ

B

76 n P

-

E

hB

=

76 n . pot

gQ

pero

Q

76 * 1 * 153 100 * 0 . 396 7 . 14 m EQ

=

EQ = También Q1 = Q 2 = Calculemos h f

396 lts / s 2

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- 30 -


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1 . 85

2347 . 42 * 396 ö = 1 . 22 æç ÷ è 120 * 24 2 .63 ø h f 2 = 3 . 68 m Cota piezométrica en Q =3.05+7.14 =10.19m. Cota piezométrica en M=10.19 + 3.68 = 13.87m. El f lujo va de M hacia C, ya que la cota piezométrica de M es mayor que l a del hf 2

reservorio C, cuyo caudal es: 13 . 87 - 11 . 6 S2 = = 3 . 66 0 . 62

Q

3

Q

3

Q

4

m Km

= 0.000426*120 * 12 2.63 S 0.54 = 71 lts / s = Q 2 + Q 3 = 467 lts /

s

1 .85

2347 .42 * 467 ö = 2 . 45 æç ÷ è 120 * 24 2 .63 ø h f 4 = 10 m Cota Reservorio B = Cota piezométrica de M + Pc.Válvula + h Cota Reservorio B = 13.87 + 3.05 + 10 Cota Reservorio B = 26.95m hf 4

f 4

18) En el sistema de la figura, se tiene una presa de concreto cuyo peso específico es 2400kgf/ m³ y una longitud de4m. Si el valor deC=0.25m 1 , Calcular: a) Determinar el valor de h para quela presa inicie su volteo. b) determinar la posiciónde la resultantede las fuerzas para h=10m. c) Determinar la máxima y mínima tensión de compresión en la base ( h=10m), despreciando la fuerza ascensional hidrostático. 3m

Agua

y=cx²

4m

h

Solución:

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- 31 -


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n 3m

4m

FV W2

FH W1

m

h

W3

A2

A1

A3 O

a

a) 1º) para w 1 Donde g c : Peso específico de concreto. V: Volumen A1

=

1

ah

3

4 * ah ö = 2400 æç ÷ = 3200 * ah è 13 ø x1 = 7 + a Centro degravedad con respecto a “o”

w1

4

2º) para w 2 A2 = 3h w 2 = 2400 * 4 * 3 h = 28800 * h x 2 = 5 . 5 Centro degravedad con respecto a “o” 3º) para w 3 A3 = 2 h w3 = 2400 * 4 * 2 h = 19200 x

3

8

=

3

*h

Centro degravedad con respecto a “o”

Ahora calculemos FH y FV

=

FH

g h G A Pr oy

FH

= 1000

m

=

1 3

*

h

2

*4*h

=

2000 h 2

h

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- 32 -


LTAD D


n

= 1000 =

5

+

7

2

*4*

ah

3

I A Y CI

VI L

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DIAZ MEZA, R

FV

OLOG

= 8000

*

ah

3

a

8

* H aciendo momento con respecto a “o” å Mo = 0 w1 x 1 + w 2 x 2 + w 3 x 3 + FV .n = FH .m 41.67 a 4 - 2466.67 a 2 - 41066.67 a - 209600 = 0

a = 12.88m pero h = ca 2 \ h = 41 . 47 m b) Sabemos a

=

h c

Para h=10m

a = 6.32m. Þ FH = 2000 FV

= 1000 * 4 *

2 3

=

h

20000 kgf

ah = 261540.598kgf

Falta calcular c) 10.95m 3m

4m

FV W2

FH 3.33m

h=10m

W3 W1

A2

A1

A3

6.32m

O

q1 q2

Con las ecuaciones dela parte a) calculemos, Para h=10m y a=6.32m w1 = 3200 * 6 .32 * 10 = 202240 kgf x 1 = 8 . 58 m w 2 = 28800 * 10 = 288000 kgf x 2 = 5 .5 m w3 = 19200 * 10 = 192000 kgf x 3 = 2 . 67 m Visite mi página:

- 33 -


LTAD D

DIAZ MEZA, R

FH


OLOG

I A Y CI

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= 200000 kgf

m = 3 . 33 m FV = 168533 .33kgf n

= 10 .95 m = 0

å Fv w1

+

q + q2 ö = çæ 1 ÷13 . 32 2 è ø a) = 127747 . 74 ----------------------------------------(

w2

+

w3

+

FV

q1 + q 2 Sumatoria demomentos con respecto a “ O” åMo=0 w1 x 1

+

+

w2 x 2

w3 x 3

+

FV .n

=

FH .m

+

q1 *

13 . 32 2 2

+ çæ è

q2

- q 1 ö 13 . 32 2 ÷* 2 3 ø

Remplazando valores y resolviendo, setiene: 2 q1 + q 2 = 169447 .798 ---------------------------------------(b) Resolviendo (a) y ( b) q1 = 41700 .06 kgf / m q 2 = 86047 .68 kgf / m 19) En el sistema de la figura, suponiendo una distribución lineal de tenciones sobre l a base de la presa deconcreto, calcular: a) La posición donde la resultante de dicha fuerza de tensiones corta a la base. b) La máxima y mínima tensión decompresión en la base. Despreciar el empuj e ascensional hidrostático.

20) se tiene un conducto conformado por un ubo t circular de 3pulg de radio y un cilindro macizo concéntrico de 2pulg de radio, entre ell as discurre agua con un caudal de 0.2pie³/s. Calcular la máxima velocidad de la distribución develocidades y el esf uerzo cortante en las paredes. p 2p r dr - ( p + dp ) 2p r dx + t dx - (t + d t ) 2p ( r + dr ) dx = 0 Simplif icando,obtenemos

= - tr - ddrt Sustituyendot = - m du / dr , queda dp dx dp dx

=

= m(

1 du

+

r dr du m d (r ) r dr dr

2

d u dr 2

)

Esto se integra para dar Visite mi página:

- 34 -


LTAD D

DIAZ MEZA, R

r

du

=

dr

1 dp

r2

4 m dx


OLOG

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+A

Una segunda integración produce u (r )

=

1 dp

+ A Ln r + B

2

r

4 m dx

Donde A y B son constantes arbitrarias cuyo valor se determina hacie ndom = 0 en r = r1 y en r = r2 ; es decir 1 dp 2 0= r1 + A Ln r12 + B 4 m dx

0

1 dp

=

4 m dx

+ A Ln r2 + B

r22

La solución se 1 dp

2

r1

A

=

B

= - A Lnr 2 -

- r22

4 m dx Ln ( r2 / r1 ) 2

r2

dp

4 m dx

Entonces 2 2 é 2 2 ù r - r1 r - r2 + 2 Ln ( r / r2 ) ú ê 4 m dx ë Ln ( r1 / r2 ) û Esto ser integra para dar la razón def lujo: Q = ò u ( r ) 2 pr dr r

u (r )

=

1 dp

2

1

=-

p dp é 4 êr2 8m dx ë

- r14 -

- r12 ) ù ú Ln( r2 / r1 ) û ( r22

21) En el sistema de la f igura, se tiene una compuerta AOB de 4m delongitud y un peso de 100kgf/ m² y puede rotar en el ej e O, R=5m( radio de curvatura de OA) ya=20º Calcular h para queOB semantenga H orizontal.

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- 35 -


LTAD D

D.R.=0.8

Agua

OLOG

I A Y CI

VI L

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DIAZ MEZA, R

Aceite


R

h

a petroleo

2m

P=1141.06kgf/m2

D.R.=0.

D.R.=0.8

A Gas 0.8m

0.2m 1.2m Agua

1.2m

Hg

Solución: Figura de solución P=1141.06

g a + g ( 0 .2 ) + g b PM = 1141.06 + (a + b ) * 1000 + 13600 * (0.2) PM

=

PA

+

A

'

Ga s

a

Pero en la figura sepuede observar que: a+b=1 2 PM = 4861 .06kgf / m

0.2m

1.2m

b

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- 36 -


LTAD D

DIAZ MEZA, R

Aceite

OLOG

I A Y CI

VI L

Visite mi página: R=

5m

b

h

Agua

0.8h


1.7m

20 d 2m

Agua FH1 a

FV2 FH1 F3

c

FV1 N

b

F4

0.8m

1.2m

Agua

M

3.35m

FH

1

FH 1 Yp 1

= g h G A proy = g ( 0 . 8 h + 1 )( 2 * 4 ) = 8000 ( 0 . 8 h + 1)

=

( 0 .8 h

+ 1) +

4 * 2 3 / 12 ( 0 .8 h

+ 1) * 2 * 4

=

( 0 .8 h

+ 1) +

1 3 ( 0 .8 h

+ 1)

= 2 + 0.8 h - Yp1 2 .4 h + 2 a= 3( 0 .8h + 1) b = 27 .9 º a

A1

=

pR 2 b 360 º

-

2

R Sen b

2

= 0.24 m 2

Distancia de o’ a CG deA1 Distancia de o’ a CG deA1

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- 37 -


LTAD D


OLOG

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DIAZ MEZA, R

O'

b

b/2

R

q 1.71m

20

A2

R

A1

2m CG

20+b

0.68m

3.35m

1.35m

2 R 3 Sen 3 ( b / 2 )

d CG

=

Fv1

= g ( 0.8h * 1 .35 + A1 + A2 ) * 4 = g (1. 08h + 0. 24 + 1.35) * 4 = 4000 (1. 08h + 1 .59 )

Fv 1

3 A1

= 4.86 m

1.35 (1.08 h + 1.59 )b = 0.8h * 0 .73 h + 0 .77

b

=

FH c

=

Fv 2

2

2

1 .35

+

3

2

+ 0.24 * 0.68

+ 1 . 59 = g 2 (1)( 2 * 4 ) = 900 (8) = 7200 kgf

1 .08 h 2

1 3

2 = 0 . 67 m

= g 2 ( 4 )(0.24 + 1.35) = 5724 kgf

1.59 d

=

1 .35 2 3

+ 0.24(0.68)

d = 0 . 48 m F3 = g 2 ( 4)( 2 * 3.35 ) = 24120 kgf

PN PN

= PM - g (1.2) - g ' (0 .8) = 4861 .06 - 1000 (1.2 ) - 850 (0 .8) Þ PN = 2981 .06 kgf

/ m2

F4 = PN (3 .35 * 4) Þ F4 = 39946 .2 kgf Aplicación del peso OA Figura peso centro

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- 38 -


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OLOG

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DIAZ MEZA, R

O'

q R

20

b

dq

A

R dl

woB

B 0.76m

3.35m

1.35m

lx

'

= ò xdl

2.43x x x

'

'

47.9

= ò20

RCosq Rdq

47.9

= R 2 Senq |20

= 4 .11 Þ x = 4.11 - 3.35 = 0.76 m = 0.76 m

= 2.43 * 4 * 100 = 972 kgf = 3.35 * 4 * 100 = 1340 kgf å Mo = 0 æ 3.35 ö = F æ 3. 35 ö + w (0. 76) + FH (0 .67 ) + Fv (0 .48 ) FH 1 a + Fv 1 b + ( F3 + w OB )ç ÷ 4ç ÷ OA 2 2 è 2 ø è 2 ø w OA w OB

Reemplazando valores y despej ando h obtenemos: h= 2.62m 22) En el sistema dela figura, setiene una compuerta OA de 5m delongitud y un peso de 3150kgf y puede rotar en el ej e O, R=6m (radio decurvatura de OA) ya=25º Calcular h para quela compuerta inicie a levantarse.

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- 39 -


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DIAZ MEZA, R

Gas P=3020kgf/ m²

h

D.R=0.92 Petrolio 2m

OLOG

Aceite D.R=0.8

a

R

Agua

Agua

0.25m 1.40m

R

Agua Hg

Solución: Figura Gas P=3020kgf/ m²

= PA + g a + g ' ( 0 . 25 ) + g b = 3020 + (a + b) *1000 + 13600 * (0.25) Pero en la figura sepuede observar que: a+b=1.15m PM = 7570 kgf / m 2 PM PM

Agua

a

0.25m

1.40m

'

= PM - g ( 2.53) - g ( 2) = 3440 kgf / m ² Þ 3440 = g 1 h1 h1 = 4 .3m ' FH 1 = g h G A proy = g ( h + 1 )( 2 * 5 ) FH 1 = 920 ( h + 1)10 FH 1 = 9200 ( h + 1) PN PN

Yp 1

Yp 1

=

=

(h

(h

+ 1) +

+ 1) +

5 * 2 3 / 12 (h

+ 1) * 2 * 5 1

3(h

b

M

Hg D.R=13.6

D.R=0.92 Petrolio

h

h1

b a

F V1 F H1

2m

O

F H2 F V2

D.R=0.8 d

A

a

+ 1)

= Yp1 - h 3h + 4 a = 3( h + 1) a

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N Aceite

c

R R

Agua

R.Sen a =2.53m

M

- 40 -


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VI L

g1

g'

h1

1.5m 2m

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DIAZ MEZA, R

h

OLOG

3.93m

O

A1 6 A

25

b

6

2.53m O'

= 24.02 º

b

=

pR 2 b

-

R 2 Sen b

= 0.23 m 2 360 º 2 Fv1 = g ' (5)(Area rec tan gulo+ Area triangulo- A1) A1

Fv1 = 920 (5)(1.5 h + 1 .5 - 0 .23) Þ Distancia de o’ a CG deA1

=

d CG

2 R 3 Sen 3 ( b / 2 ) 3 A1

2

(1.5 h + 1 .5 - 0.23)b = 2 h + 1 .12 h + 1 .3 b= 1 .5 h + 1 .27 FH 2 = g 1 ( h 1 + 1 )( 2 * 5 )

c

2

=

=

( h1

3 h1 3( h1

1 .5

2

3 * 2 - 0 .23( 0.57 )

Þ

FH

5 * 2 3 / 12

+ 1) +

( h1

= 4600 (1.5h + 1.27 )

= 5.64 m

1.5

Yp

Fv1

+ 1) * 2 * 5

=

2

=

( h1

8000 ( h 1

+ 1) +

+ 1) 1

3 ( h1

+ 1)

+4 + 1)

= 800 (5 )(1 .5 h1 + 1 .5 - 0 .23 ) Þ Fv 1 = + 1.3 Comoh1 = 4.3m entonces: d = 1 .5h1 + 1 . 27 FH 2 = 42400 kgf y c = 1 . 06 m Fv = 30880 kgf y d = 0 . 79 m 2 Aplicación del peso OA a x deO Figura peso centro Fv 2

4000 (1 . 5 h

+ 1 .27 )

1. 12 h1

WAO 0.82m

O

3.93m

dl R A

Longitud de OA l( ) c

lc

=

2p R b 360

= 2 .52 m

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dq R

q

b O'

- 41 -


LTAD D

DIAZ MEZA, R

lc x

'


OLOG

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= ò xdl

2.52 x

'

49.02

= ò25

RCos q Rd q

49.02

= R 2 Sen q |25

x = 4 .75 Þ x = 4.75 - 3.93 = 0.82 m x = 0 .82 m wOA = 3150 kgf '

M =0 å FH a + Fv b + w o

( 0. 82 ) = FH 2 ( c ) + Fv 2 ( d ) OA 1 1 Reemplazando valores y despej ando h obtenemos: h=0.73m 23) En el sistema dela figura, setiene una compuerta AOB de 8m delongitud y un peso de 120kgf/ m² y puede rotar en el ej e O, R=6m ( radio de curvatura de OA) ya = 25º Calcular h para quela compuerta semantenga en la posición mostrada. D.R H g = 13.6 Solución: De la figura.

O' A

R

h

D.R=0.6

A Gas

Petroleo D.R=0.8

P= -1546kgf/m²

Agua

Agua

1m

O

B Agua

A D.R=0.75

1m

2.2m 0.3m Agua

0.2m

1.4m

Hg Hg

Solución: a + 0.3 - b + 0.2 + c = 2.2 a - b + c = 1 .7 PM = -1546 + g ( a - b + c ) + g Hg ( 0.3 + 0.2) PM PM

= -1546 + 1000 (1. 7 ) + 13600 (0.5) = 6954 kgf / m 2

Ga s

P= -1546kgf/m² Agua a

2.2m

Agua

0.3m

b 0.2m

c Hg

M

Hg

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- 42 -


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OLOG

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DIAZ MEZA, R

O' A

f b

R

q

h

D.R=0.6

a

A

Petroleo

FH3 D.R=0.8

c FH2

e

O

Agua

1m

FV3

a f

B 1m

d FV2

FV1 A D.R=0.75

FH1

b

Agua

1.4m

M

= 65 º 3 .54 Cos q =

f

6

O'

Þ

= 53.84 º

q

3.54m Þ b = 11 .16 º | a) Para la parte O BO PB = PM - 1000 (1 .4 ) - 750 Þ 4804 = gH = 1000 H H PB = 4804 kgf / m 2 H = 4.8m y h1 = 2.34 m FH 1 = 1000 ( h 1 + 1 . 23 )( 2 . 46 * 8 ) 1m FH1 = 70257.6kgf

q

R

A1

B

a

=

+ 1 . 23 ) + = Yp1 - h1 Þ ( h1

+ 1 . 23 ) * 8 * 2 .46 = 3 . 71 m = 1.37 m

( h1 a

h1=2.34m

O

A2

a

CG

FV1 A D.R=0.75

Agua

8 * 2 . 46 3 / 12 Yp 1

2.3m

R Agua

2.46m

FH1 b

1.4m

M 4.84m

pR 2q R 2 Sen q = 2.38 m 2 360 º 2 2 . 46 * 4 .84 A2 = = 5 .95 m ² 2

A1

=

Distancia de o’ a CG deA1 Visite mi página:

- 43 -


LTAD D


OLOG

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DIAZ MEZA, R

Figura centro 2 R 3 Sen 3 (q / 2 )

d CG

=

Fv 1

= 1000 ( A1 + A 2 + 4 .84 * 2 .34 )( 8 ) = 157244 . 8 kgf

Fv 1

3 A1

19 .66 b

= 5 .61m

2

= 2 .38 * 2 . 3 + 5 .95 *

= 2 .65 m

b

( 4 .84 ) -

4 .84 ² * 2 .34

3

2

b) Para la parte O | AB

FH 2

= 800 (1 . 73 ) * 3 . 46 = 38309.12kgf

Yp 2

= 1 .73 +

FH

2

8 * 346 3 / 12 1. 73 * 8 * 3 .46

*8

65

A|1

pR 2 f R 2 Sen f 360 º 2 = 9 . 41 m ²

=

A|2

R

= 2 .31m

25

= 1 .31m

c

5.44m

O'

A

Petroleo D.R=0.8

= 4.12 m 2

A' 2

3.46m

CG '

O

A '1 1.93m

B

Distancia de o’ a CG deA |1 Figura centro 2 R 3 Sen 3 (f / 2 ) d | CG = = 5 .42 m | 3A 1

Fv 2

Fv 2

= 800 ( A |1 + A | 2 )(8) = 86592 kgf

13 . 53d | d

d

|

= 4.12 * 2.91 + 9.41 *

1 3

(5 .44 )

= 2.15 m con respecto a B = 4.84 - 2.15 Þ d = 2.69 m Respecto a O

c) Para la parte O | AO ( Reemplazando aceite por agua) FH

3

= 1000

(0 .6 h

+

0 . 5 )( 1 * 8 )

8000 ( 0 . 6 h

8000 ( 0 . 6 h + 0 . 5 ) 8 * 1 3 / 12 ( 0 .6 h + 0 .5 ) + ( 0 .6 h + 0 . 5 ) * 8 * 1 e = 0 .6 h + 1 - Yp 3

FH Yp 3

3

=

=

=

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=

+

( 0 .6 h

0 .5 )

+

0 .5)

+

1 12 ( 0 . 6 h

+ 0 .5 )

- 44 -


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OLOG

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3. 6 h + 2

e=

12 ( 0 .6 h + 0 .5)

pR 2 b R 2 Sen b 360 º 2 = 0 .3 m ²

=

A || 1

A || 2

0.6m

= 0.022 m 2

O'

b

Aceite

R

Agua

|

Distancia de o’ a CG deA 1 Figura centro

=

d || CG Fv 3 Fv 3

2 R 3 Sen 3 ( b / 2 ) 3 A ||1

R

A''2 CG A''1

= 1000 ( A ||1 + A || 2 + 0 .6 * 0 . 6 h )( 8 ) = 8000 (0 . 36 h + 0 . 322 )

h

A

25

= 6.02 m

0.6h

1m

O

0.34m

( 0 .36 h + 0 .322 ) f

=

f

= 0 .022 * 0 .34 +

0 . 3 * 0 .6 3

+ 0 . 36 h * 0 .3

+ 0 . 067 0 .36 h + 0 .322

0 .108 h

Aplicación del peso AOB xa deO Figura peso centro O'

Longitud de OA l( ) c

=

lc

lc x

|

2pR f 360

65

= 6 .81m

q

= ò xdl

6. 81x

|

65

= ò0

R

RSen q Rd q

dq

A

WAB

65

= - R 2 Cos q |0

x = 3.05 m Þ x = 4.84 - 3.05 = 1.79 m x = 1.79 m w AOB = 6 .81 * 8 * 120 = 6537 .6 kgf

R

O

|

åM

o

B

dl 1.79m

=0 |

FH 1 ( a ) + Fv1 (b ) = w OA ( x ) + FH 2 ( c ) + Fv 2 ( d ) + FH 3 ( e) + Fv 3 ( f )

Reemplazando valores y despej ando h obtenemos: h=66.26m 24) En el sistema dela figura, setiene una compuerta OA de7m delongitud y un peso de 3420kgf y puede rotar en el ej e O, R=5m ( radio de curvatura de OA) ya=20º Calcular h para quela compuerta inicie a levantarse. D.R H g = 13.6 Visite mi página:

- 45 -


LTAD D

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Petroleo

h

D.R=0.8 O G as

OLOG

O'

R

a

P= 2800kgf/m²

R Aceite

2m

Agua

D.R=0.75 A

1.6m

0.2m 2m

Agua

Hg

Solución: PM = PA + g a + g | ( 0 . 2 ) + g b PM = 2800 + ( a + b) *1000 + 13600 * (0.2) Pero en la figura sepuede observar que: a+b=1.4m 2 PM = 6920 kgf / m PM -kgf g ( 2/ )m-² g ( 2) = 3420 Liberando a una superf icie libre PN PN

Gas P= 2800kgf/m² Agua a

1.6m

0.2m

b

1

M

Hg Hg

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- 46 -


LTAD D


I A Y CI

VI L

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DIAZ MEZA, R

Petroleo

Aceite

h1 =4.56m

D.R=0.8

D.R=0.75 O

O'

R

h

a

N

Aceite

OLOG

R

d

a

FV2

c

FH1

2m

FH2 F V1

b

A

Agua

2m

O'

b M 1.35m

Þ

3420

R

= g 1 h1

= 4.56 m FH 1 = g 1 ( h 1 + 1 )( 2 * 7 ) FH 1 = 750 ( 4 .56 + 1)14 FH 1 = 58380 kgf

h1

Yp 1

=

( h1

Yp 1

=

5 . 56

A2 A1

R

2m

CG

0.67m A

3.35m

1

+ 1) + +

a

O

3 ( h1 1 3 ( 5 . 56 )

+ 1) = 5 . 62

= Yp1 - h1 a = 1 . 06 m b = 27 .9 º a

A1

=

pR 2 b 360 º

-

R 2 Sen b

2

= 0.24 m 2

= g | (5)( Area rec tan gulo + Area triangulo + A1 ) Fv 1 = 750 ( 7 )(1 .35 * 4 . 56 + 1 .35 + 0 . 24 ) Þ Fv 1 = 40666 . 5 kgf Distancia de o’ a CG deA Figura centro Fv1

1

2 R 3 Sen 3 ( b / 2 ) d CG

=

3 A1

= 4.86 m

7.746 b = 0.24 * 0 .67 + 1.35 * b

2 3

(1.35) +

1.35 2 2

* 4.56

= 0 .714 m

FH

2

=

g | (h

+ 1 )( 2 * 7 )

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Þ

FH

2

= 11200

(h

+ 1)

- 47 -


LTAD D

DIAZ MEZA, R

Yp

2

+ 1) +

(h

=

+ 1) * 2 * 7

=

(h

1

+ 1) +

3( h

+ 1)

= 800 ( 7 )(1 . 35 h + 0 . 24 + 1 .35 ) Þ + 1 . 38

Fv 1

= 5600 (1 .35 h + 1 .59 )

0 .91h

1 .35 h + 1 .59 Aplicación del peso OA a Figura peso centro Longitud de OA l( )

x

deO

c

=

lc x

VI L

3( h + 1)

Fv 2

lc

I A Y CI

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7 * 2 3 / 12 (h

OLOG

3h + 4

c=

d

=


'

2p R b

R.Cosq R

= 2.43 m

360

2.43 x

|

47 . 9

= ò20

dq

O

= ò xdl RCos q Rd q

47 . 9

= R 2 Sen q |20

x = 4.11 Þ x = 4.7 - 4.11 = 0.59 m x = 0.59 m w OA = 3420 kgf

a

O'

b

R

WAO

dl

q

|

å

0.59m A

3.35m

+ Fv 1b== FH 2 (c ) + Fv 2 ( d ) + wOA ( x ) Reemplazando valores y despej ando h obtenemos: h=4.503m FH 1 a

M

o

0

25) En el sistema dela figura, setiene una compuerta OA de 6m delongitud y un peso de 3500kgf y puede rotar en el ej e O, R=4m (radio de curvatura de OA) ya=15º, Presión relativa en PQ es 6035kgf/ m². Calcular h para quela compuerta inicie a levantarse.

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- 48 -


LTAD D


OLOG

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DIAZ MEZA, R

Petroleo

h

D.R=0.8

O

Petroleo Agua

1m

A

R

R

a

Solución:

Petroleo

h 1=3.995m

h

D.R=0.8

d

N O

a Agua

R

FV2 F V1

b

F H1

Petroleo

1m

A

R

q

c

F H2

1.04m

b a

P

Q 3.86m

q

=

Cos

-1

æ 2 . 04 ö = ç ÷ è 4 ø

h

59 . 34 º

= 15.66º Pero en la figura sepuede observar que: PQ = 6035 kgf / m 2 PN = PQ - g ( 2 .04 )

0.42m

O

b

A1 CG

R

1m

0.24m A

Visite mi página: R

b a P

3.86m

- 49 -


LTAD D

= 3995 kgf = gh1

PN

3995

h1

= 3 .995 m = g ( h 1 + 0 . 5 )( 1 * 6 ) = 26970 kgf

FH 1

= 9200 ( h + 1)

a a b

1

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/ m²

FH 1

FH

OLOG

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DIAZ MEZA, R

Þ


Þ

FH

2

=

+

6000 ( h 1

0 .5 )

= Yp1 - h1 = 0 .515 m = 15 .66 º

=

pR 2 b

R 2 Sen b

= 0.027 m 2 360 º 2 Fv1 = g (6)( Area rec tan gulo + Area triangulo A1

-

- A1 ) = 1000 ( 6 )( 0 .42 * 3 .995 + 0 .21 - 0 .027 ) Þ Fv 1 = 11165 .4 kgf Distancia de o’ a CG deA Figura centro Fv 1

1

d CG

=

2 R 3 Sen 3 ( b / 2 ) 3 A1

= 3.99 m

X = 0 . 24 m 2 2 0 .42 1.86 b = 0 .21 * ( 0.42 ) - 0.027 * 0.24 + * 3.995 3 2 b = 0. 22 m FH 2 = g 1 ( h + 0 . 5 )( 1 * 6 ) Þ FH 2 = 4800 ( h

Yp

2

=

(h

+

0 .5 )

+

3

6 * 1 / 12 (h

+

0 .5 ) * 1 * 6

=

(h

+

0 .5 )

+

+

0 .5 )

1 12 ( h

+

0 .5 )

+2 c= 6 ( h + 0.5) 3h

0.25m W AO O

dl R A

dq R

b

q

a P R.cos

Fv 2

= 800 ( 6 )( 0 . 42 h + 0 . 21 - 0 .027 ) Þ Visite mi página:

Fv 1

=

4800 ( 0 . 42 h

q

+ 0 . 183 )

- 50 -


LTAD D

=

OLOG

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DIAZ MEZA, R

d


0 .09 h + 0 . 052 0.42 h + 0 .183

Aplicación del peso OA a Figura peso centro Longitud de OA l( )

x

deO

c

=

lc

lc x

'

2p R b 360 º

= 1 .09 m

= ò xdl

1 .09 x

|

30 . 66

= ò15

RCos q Rd q

x = 3. 69 m Þ x x = 0.25 m w OA = 3500 kgf |

å

30.66

= R 2 Sen q |15

= 3.69 - 3 .44 = 0 .25 m

= 0 o + Fv 1b = FH 2 (c ) + Fv 2 ( d ) + wOA ( x ) Reemplazando valores y despej ando h obtenemos: h=4.81m M

FH 1 a

26) En la figura semuestra una compuerta AOB de 2m deancho, OB es parábola donde -1 c = 0 . 25 m Determinar el valor de h para quedicha Compuerta iniciea levantarse desprecie el peso de la compuerta. B Agua h

y=cx² Aire

CO2

Aceite

CO

m c 0 3

m c 2 3

Hg

O Agua

40cm

2.5cm

D.R=0.8

Hg

Agua

A

1.5cm

m c 5 2

Hg

m c 0 3

m c 0 2

N2

Hg

5.71cm D.R=16

Solución: PN

PN

= 0.32 *13600 - 0.25 *13600 - 0.3 *13600 + 800 * 0.04 + 1600 * 0.0571- 1000(0.0721) + 0.2 *13600 - 0.3 *1000

= 165 .5kgf

/ m²

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- 51 -


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Liberando presión b

B

= g h | = 1000 ( h | )

PN

h | = 0.1655 m | FH = 1000 ( h + 0 .2 )( 0 . 4 * 2 ) FH = 292 . 4 kgf

FV1

d h'

FH1 c

h

y=cx²

3

Yp

= ( 0 . 1655 + 0 . 2 ) +

2 * 0 . 4 / 12 ( 0 .1655 + 0 .2 ) * 2 * 0 .4

N

= 0 .402 m a = Yp - 0.1655 a = 0 . 236 m Para la parte Parabólico: y = cx² Para y = h; x = b Þ h = cb² Yp

a

O 40cm

FH A

Ahora calculemos FH y FV FH 1 = g h G A Pr oy

= 1000

*

h

FH

1

m

=

Fv 1

= 1000 * 2 *

n

=

2

*2*h

= 1000 h 2

1 h 3

5 4

2 3

bh

= 4000

*

bh

3

b

Sumatoria demomentos con respecto a “ O” å Mo = 0 FH ( a ) = Fv 1 .n + FH 1 .m 292 . 4 * 0 . 236

Pero b 2 =

h c

= 1000

h2 *

1 3

h

+

4000 3

bh *

5 4

b

dondec = 0 . 25 m - 1 3

Þ 69 * 3 = 1000 h=101.48mm

h

2

+

20000 h

27) La presión a la salida de la bomba es de 110000kgf/ m² para una potencia de 100HP co una ef iciencia de 70% la carga perdida a través de la válvula “V” es de10m los tubos son de hierro galvanizado con una rugosidad absoluta de 0.00015m., L1=150m., D1=0.3m., L2=300m., D2=0.15m., L3=200m., D3=0.2m., L4==300m. hallar la dirección del f lujo y el caudal en cada tubería, así también la cota del nivel de Visite mi página:

- 52 -


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OLOG

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agua en el reservorio “ R” . La viscosidad cine mática del líquido esn = 10 - 6 m 2

/s

.

100m Cota=??

B

R (1)

N

(4) 10m (3)

30m

(2)

A

Solución: 100m Cota=??

B

R (1)

N

(4) 10m

Q 30m

(3)

(2)

Q

Q

Q

A

S

I

Calculando la rugosidad relativa e D1

=

0 . 00015

=

0 . 00015

e D3

=

0 . 30 0 . 20

e

0 . 0005

=

D2

e

0 . 00075

D4

=

0 . 00015

=

0 . 00015

0 . 15

0 . 25

=

0 . 001

=

0 . 0006

.

Calculandoel número de reynolds VD

=

Re

n

=

QD

Þ

npD 2 / 4

= 1.27 *10 6

Re

Q D

6 = 4.23 *106 Q1 Re 2 = 8.46 *10 Q2 6 Re 3 = 6 .35 *10 Q3 Re 4 = 5 .08 * 10 6 Q4 Calculandoh f Perdida por f ricción

Re1

sabe :

se

hf

=

2

fLQ

0 . 0826

D

5

por Darcy

2

2

h f1 = 5098.76 f1Q1 2 h f 3 = 51625 f 3 Q 3 hB

=

76 n pot

gQ 4

hf 2

.98 f 2Q2 =h 326320 = 25374 .72 f f 4

Þ

hB

=

5 .32 Q4

2

4

Q4

de bomba

BERNOULLI ( S _ B )

P

g

+

Q2

2 g (p 0.25 2 / 4)

+ 10 = 100 + h f 4

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- 53 -


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Þ F = 25374 . 72 f 4 Q 42 - 1 . 038 Q 42 = 20 -----------------( I ) -Asumiendo caudalQ 4 = 0 . 1 m ³ / s Þ R e 4 = 5 . 08 * 10 5 Con R e 4 y e / D 4 del ábaco deM oody Þ f 4 = 0 . 0193 En ( I ) Þ F = 4 . 68 m -Asumiendo caudalQ 4 = 0 . 2 m ³ / s Þ R e 4 = 1 . 01 * 10 6 Con R e 4 y e / D 4 del ábaco deM oody Þ f 4 = 0 . 0179 En ( I ) Þ F = 18 . 405 m -Asumiendo caudalQ 4 = 0 . 25 m ³ / s Þ R e 4 = 1 . 27 * 10 6 Con R e 4 y e / D 4 del ábaco deM oody Þ f 4 = 0 . 0178 En ( I ) Þ F = 28 . 32 m Graficando Q VS F Del gráfico: con F=20m de ( I ) Q 4 = 0 . 21 m ³ / s Rpta. Þ f 4 = 0 . 0179 Pero Q 3 = Q 4 Þ Q 3 = 0 . 21 m ³ / s Þ R e 3 = 1 . 33 * 10 6 Con R e 3 y e / D 3 del ábaco deM oody Þ f 3 = 0 . 0186 Þ h f 3 = 42 . 345 m PS

Q 42

ES

=

Þ

ES

= 110

ES

-

=

g

+

EI

2

+ 10 m = 110.046m

2 g (p 0.25 / 4) . 046 m hB

=

5 . 32 Q4

Þ

EI

=

84 . 716 m

Bernoull i ( A – I ) 30 m = E I + h f 3 + h f 2 = 84 . 716 + 42 . 345 + h f 2 Þ h f 2 = - 97 . 061 m El signonegativo indica queel sentido del f lujo asumido es contrario:Þ h f 2 = 97 . 061 m el flujo entra al reservorio A Pero h f 2 = 326320.98 f 2Q22 Þ f 2Q22 = 0.000297 2 f 2 Q 2 = 0 . 000297 --------------------------------( I I ) -Asumiendo caudalQ 2 = 0 . 1 m ³ / s Þ R e 2 = 8 . 46 * 10 5 Con R e 2 y e / D 2 del ábaco deM oody Þ f 2 = 0 . 02 2

f 2 Q 2 = 0 . 0002 Luego -Asumiendo caudal Q 2 = 0 . 15 m ³ / s Þ R e 2 = 1 . 26 * 10 6 Con R e 2 y e / D 2 del ábaco deM oody Þ f 2 = 0 . 020 Luego f 2 Q 22 = 0 . 00045 -Asumiendo caudalQ 2 = 0 . 05 m ³ / s Þ R e 2 = 0 . 423 * 10 6 Con R e 2 y e / D 2 del ábaco deM oody Þ f 2 = 0 . 02 Luego f 2 Q 22 = 0 . 00005 Visite mi página:

- 54 -


LTAD D


OLOG

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DIAZ MEZA, R

GraficandoQ VS F Del gráfico: con f 2 Q 22 = 0 . 000297 obtenemos: Q 2 = 0 . 12 m ³ / s Rpta. Por continuidad Þ Q 1 = 0 . 33 m ³ / s Rpta Q1 = Q 2 + Q3 Luego R e 1 = 4 . 19 * 10 6 Con R e 1 y e / D 1 del ábaco deM oody Þ Þ h f 1 = 10 .1m Bernoulli ( R – I ) E R = E I + h f1 + h f 3 + hN Cota R = 84 . 716 + 10 . 1 + 42 . 345 + 10 Cota R = 147 . 161 m Rpta

f1

=

0 . 0182

28) En el sistema de la figura las tuberías tiene una rugosidad absoluta de 0.00025m y = 1 . 001 * 10 - 6 m 2 / s . Calcular el diámetro de las tuberías 2 y la perdida de carga total.

n

11 m

A (1 ) L1 =4 0 D1 =0 0m .2 m

4m 00

B

(2 ) L2=5 00 m D2=?

C

Solución: 11m

A (1) 4m

Q

00m

B

(2)

Q

e D1

=

0 . 00025 0 . 20

Re

= 1.27 * 10 6

Q

Re1

= 6.36 * 10

Q1

=

0 . 00125

C

e D2

=

0 . 00025 D2

=

D 6

6

?

Visite mi página:

Re 2

= 1.272 * 10

Q2

D2

- 55 -


LTAD D

sabe :

h f1

= 103250f 1Q12

=

hf

=

11

+ 103250

4

h LA

+

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D

por Darcy

5

Q22

= 41.3 f 2

D5

h LB

+

f 1 Q 12

2

fLQ

0 . 0826

hf 2

Bernoull i ( A – B) E A = EB + h f1 +

OLOG

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DIAZ MEZA, R

se


2 0 . 0826 Q 14 ( K D1

A

+

K

B

)

= 103250 f 1 Q 12 + 77 . 44 Q 12 = 7 --------------------------( a) -Asumiendo caudalQ 1 = 0 . 05 m ³ / s Þ R e 1 = 3 . 18 * 10 5 Con R e 1 y e / D 1 del ábaco deM oody Þ f 1 = 0 . 0215 En ( a) Þ F = 5 . 76 m -Asumiendo caudalQ 1 = 0 . 06 m ³ / s Þ R e 1 = 3 . 816 * 10 5 Con R e 1 y e / D 1 del ábaco deM oody Þ f 1 = 0 . 0214 En ( a) Þ F = 8 . 24 m -Asumiendo caudalQ 1 = 0 . 055 m ³ / s Þ R e 1 = 3 . 498 * 10 5 Con R e 1 y e / D 1 del ábaco deM oody Þ f 1 = 0 . 021468 En ( a) Þ F = 6 . 94 m a *) si al aasumir caudal f , reemplazamos n ( ) esto no satisfacede entonces se procede graficar comoy ecalculado n el problema anterior o inteerpolar con programas calculadora: \ Q 1 = 0 . 055 m ³ / s Rpta F

Bernoulli ( B – C) EB = EC + h f 2 + 4

=

0

+

41 . 3 f 2

Pero Q 1 = Q 2 K B = 0 .5

Þ

4

=

0 . 1249

h LB

Q 22 D

5 2

Þ f2 D 25

+

0 . 0826 * K

Q2

+

=

Q 22 B

5

D2

0 . 055 m ³ / s

0 . 0001249 D 25

=

M

-----------------------( b) e

D 2 = 0 . 25 m -Asumiendo Diámetro Þ D 2 = 0 . 001 ComoQ 2 = 0 . 055 m ³ / s Þ R e 2 = 279840 Con R e 2 y e / D 2 del ábaco deM oody Þ f 2 = 0 . 020667 En ( b) Þ M = 2 . 67 m

-Asumiendo Diámetro D2 = Visite mi página:

0 . 30 m

Þ

e D2

=

0 . 00083

- 56 -


LTAD D


ComoQ 2 = 0 . 055 m ³ / s y D 2 = 0 . 30 m Con R e 2 y e / D 2 del ábaco deM oody Þ En ( b) Þ M = 1 . 05 m ComoQ 2 =

0 . 055 m ³ / s

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DIAZ MEZA, R

-Asumiendo Diámetro D2 =

OLOG

0 . 20 m y

D2

Þ =

e D2

Þ R e 2 = 233200 f 2 = 0 . 02014

=

0 . 00125

Þ

0 . 20 m

Re2

=

349800

Con ábaco deM oody Þ = En ( b) Þ De estos 3 valores sepuede concluir que solo el diámetro de0.25m satisface, ya que es un diámetro comercial de 10Pulg equivalente a 0.25m: D 2 = 0 . 25 m Rpta. Falta perdida de carga total 29) Dos reservorios A y B como muestra la f igura, están conectados por una tubería de 10” de diámetro y 3000pies delongitud, otros dos reservorios C y D están conectados por una tubería de12” de diámetro y 6000pies de longitud. Para incrementar la cantidad de agua que entra a D las dos tuberías seconectan por una tubería MN de 5500pies de longitud. La distancia AM=1000pies y N D=2000pies. Calcular: Re2

e / D 2 del M = 8 .5 m

f2

y

0 . 021468

a) Los caudales queentran a los reservorios B y D Cuandopor la tubería M N discurren 1pie³/s. b) El mínimo tro. que debe tener M N para transportar 1pie³/s. ( Considere solo perdidas por fdiáme ricción) 50'

A

(1)

M

30' (2)

B

40' (5)

C

(3)

0' (4)

N

D

Solución: 50'=15m

A

(1) Q1 40'=12m

C

30'=9m M Q5

(5)

(2) Q2

B

(3) Q3

0' N

(4) Q4

Visite mi página:

D

- 57 -


LTAD D


L2 L3 L4 L5

= 1000 | = 300 m = 2000 | = 600 m = 4000 | = 1200 m = 2000 | = 600 m = 5500 | = 1650 m

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DIAZ MEZA, R

L1

OLOG

= 10 " = 0 . 25 m = 10 " = 0 . 25 m D 3 = 12 " = 0 . 30 m D 4 = 12 " = 0 . 30 m D5 = ?

D1

D2

Q 5 = 0 . 027 m ³ / s Calculando la rugosidad relativa

e D1

=

e

=

D2

0 . 0002 0 . 25

=

e

0 . 0008

D3

=

e D4

=

0 . 0002 0 . 30

=

0 . 00067

Calculandoel número de reynolds Re

=

VD

n

=

QD

np D 2 / 4

Þ

Re

= 1 .27 * 10 6

Q D

= 5.08 *106 Q1 Re2 = 5.08 *106 Q2 6 Re 3 = 4.23 *10 Q3 Re 4 = 4.23 *10 6 Q4 Calculandoh f Perdida por f ricción Re1

se hf1

sabe :

hf

= 0 . 0826

= 25374.72 f1Q12

fLQ 2 D5

por Darcy hf 2

= 50749.44 f 2 Q22

h f 4 = 20395.06 f 4 Q42 = 40790.12 f 3Q32 Las tuberías (1) Y ( 2) es la misma entonces. f 1 = f 2 lo mismo Las tuberías (3) y ( 4) Þ f 3 = f 4 Bernoull i ( A – B) E A = E B + h f 1 + h2 15 = 9 + 25374 . 72 f 1 Q 12 + 50749 . 44 f 2 Q 22 6 = 25374 . 72 f 1 Q 12 + 50749 . 44 f 1 Q 22 Pero Q 1 = Q 2 + Q 5 Þ Q 1 = Q 2 + 0 . 027 Þ 6 = 25374 . 72 f 1 ( Q 2 + 0 . 027 ) 2 + 50749 . 44 f 1 Q 22 = F ----------------( a) -Asumiendo caudalQ 2 = 0 . 1 m ³ / s Þ R e 2 = 5 . 08 * 10 5 Con R e 2 y e / D 2 del ábaco deM oody Þ f 2 = 0 . 0193 En ( a) Þ F = 17 . 69 m -Asumiendo caudalQ 2 = 0 . 05 m ³ / s Þ R e 2 = 1 . 27 * 10 4 Con R e 2 y e / D 2 del ábaco deM oody Þ f 2 = 0 . 03036 En ( a) Þ F = 8 . 42 m -Asumiendo caudalQ 2 = 0 . 04 m ³ / s Þ R e 2 = 8128 Con R e 2 y e / D 2 del ábaco deM oody Þ f 2 = 0 . 0337 En ( a) Þ F = 6 . 58 m I nterpolandosetiene: Visite mi página: hf 3

- 58 -


LTAD D

DIAZ MEZA, R


OLOG

I A Y CI

VI L

Visite mi página:

= 0 . 039 m ³ / s Rpta = Q 2 + Q 5 Þ Q 1 = 0 . 066 m ³ / s Bernoulli ( C – D) E C = E D + h f 3 + h4 12 = 0 + 40790 . 12 f 3 Q 32 + 20395 . 06 f 4 Q 42 pero Q 4 = Q 3 + Q 5 Þ Q 4 = Q 3 + 0 . 027 Þ N = 12 = 40790 .12 f 3 Q 32 + 20395 . 06 f 3 ( Q 3 + 0 . 027 ) 2 - - - - - - - - - - - - ( b ) Q2

Q1

1º Asumiendo caudal Þ Re3 Q 3 = 0 . 07 m ³ / s Con R e 3 y e / D 3 del ábaco deM oody Þ f 3 En ( b) Þ N = 10 . 612 m 2º Asumiendo caudal Þ R e3 Q 3 = 0 . 08 m ³ / s Con R e 3 y e / D 3 del ábaco deM oody Þ f 3 En ( b) Þ N = 12 . 705 m

= 20727 = 0 . 027 = 27072 = 0 . 0257

3º Asumiendo caudalQ3 = 0.078 m ³ / s Þ Re 3 = 25735 .32 Con R e 3 y e / D 3 del ábaco deM oody Þ f 3 = 0 . 0259 En ( b) Þ N = 12 . 27 m I nterpolando se obtiene: Q 3 = 0 . 0779 m ³ / s Q 4 = Q3 + Q5 Þ Q 4 = 0 . 105 m ³ / s Calculemos h f 1 y h f 3 Para Q 1 = 0 . 066 m ³ / s Þ R e1 = 22128 . 48 h f 1 = 2 . 98 m Para Q 4 = 0 . 105 m ³ / s Þ R e 4 = 46435 . 75 h f 4 = 5 . 24 m Bernoulli (A – D) E A = E D + h f 1 + h4 + h f 5

y

f1

y

f4

= =

0 . 027 0 . 0233

2

15

=

Þ

f5 5 D5

2 .98

+ 5 . 24 + 0 . 0826

* 1650

f5Q5 D

5 5

= 68 . 24 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (g )

-Asumiendo Diámetro D5 = ComoQ 5 = 0 . 027 Con R e 5 y e /

0 . 20 m

Þ

e D5

Þ R e 5 = 171450 del ábaco deM oody Þ

=

0 . 001

m³/s

D5

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f5

=

0 . 0212

- 59 -


LTAD D


f5 D 55

=

I A Y CI

VI L

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DIAZ MEZA, R

En ( g) Þ

OLOG

66 . 25 m

Un diámetro comercial adecuado es D 5 =

0 . 20 m

=8pulg Rpta.

30) Calcular los diámetros de las tuberías dela red dela figura, si los caudales en E y F son respectivamente 20 y 30L/ s y el agua selibera con igual presión eigual velocidad en / s para toda las tube = 100quepie E y F CserH mayor rias presión, el diámetro del tramoCD deberá los diáme tros DE y DF ( D1=2D2). 20 m 20 m

7 00

D2 0m 80

D1

m

(1 ) 50 0

(2 )

m

(3 ) 500

15 m

m

(4 )

7

00

F

m

(5 )

10 m

E

Solución: 20m 20m

70

Q

D2 0m 80

D1

0m

Q

(2 )

(1 ) 500

P

Q3

m

(3 ) 50

Q

Q4

7

10m

0

0

m

Q

0m

15m

(4 ) F

(5 ) E

= 2D2 Q 5 = 20 L / s Q 4 = 30 L / s VE = VF y PE = PF Q3 = Q4 + Q5 Þ Q 3 = 50 L / s Þ Q 1 + Q 2 = 50 L / s ……………………………………………( Q1 + Q 2 = Q 3 1) Visite mi página: D1

- 60 -


LTAD D

= VF

30

Þ

20

=

( p D 42 / 4 )

OLOG

I A Y CI

VI L

Visite mi página:

DIAZ MEZA, R

VE


Þ

( p D 52 / 4 )

D4

= 1 . 22 D 5 ..........

.......... .......... .(*)

Ecuación dela energía EQ = E F + h f 4 = EE + h f 5 PF

V F2

+

g

2g

+ 15 + h f 4 =

PE

g

+

V E2

+ 10 + h f 5

2g

como PF = PE y VF = VE Þ h f 5 - h f 4 = 5 .......... .......... .......... .......... .......... .........( a ) De la ecuación deH azen y Williams 1 . 85 æ 2347 . 42 Q ö h f = Lç ÷ 2 . 63 è CD ø 1 . 85 1 . 85 æ 2347 . 42 * 20 ö æ 2347 . 42 * 30 ö ÷ ç ÷ De ( a) 0 . 7 çç 0 . 5 = 2 . 63 2 . 63 ÷ ç ÷ è 100 D 4 ø è 100 D 5 ø

61319

-

4 . 86

D5

De (*)

\

92733 . 64

Diametro

y

2

(p D 4 / 4 )

0 .5 ç

EQ

=

EF

EQ

= 15 +

4

D5

=

5 . 81 "

y

D4

=

7 . 09 "

6"

0 . 03

=

æ 2347 è 100 + hf4

=

hf

=

es :

0 . 20 m

Q4

=

V4

D5

adecuado

comercial

= 8" = 8" =

D4

5 .......... .......... .......... .......... ..(**)

Þ

(**)

y

El diámetro

D4

=

4 . 86

D4

5

0 . 95

p * 0 .2 2 / 4 . 42 * 30 * 8 2 . 63 2

2 * 9 . 81 18 . 75 m

ö ÷ ø

=

0 . 95 m / s

=

3 . 74 m

1 . 85

+ 3 . 74 = 18 . 75 m

= = E Q + h f 3 = 18 . 75 m + h f 3 E P = 18 . 75 m + h f 3 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..( 2 ) Pero : E P = 40 - h f 1 = 35 - h f 2 .......... .......... .......... .......... .......... .....( a ) EQ EP

De ( 2 ) y ( a )

+ h f 3 = 21 . 25 m .......... .......... .......... h f 2 + h f 3 = 16 . 25 m .......... .......... .......... Pero : D 3 > D 4 Þ D 3 > 8" Escogiendo diámetro comercial adecuado hf1

Visite mi página:

.......... .......... .......... .......... .( b ) .......... .......... .......... .......... .( q )

- 61 -


LTAD D


OLOG

I A Y CI

VI L

Visite mi página:

DIAZ MEZA, R

= 10 "

D3

hf3

=

= En ( b) hf3

æ è

2347 . 42 * 50

0 .5 ç

2 . 63

100 * 10 3 . 25 m

ö ÷ ø

1 . 85

=

3 . 25 m

= 18 m

hf1

1 . 85

pero :

Þ

8 . 24

=

h f1 Q 11 . 85

0 . 7 æç 2347 . 42 *2 . 63Q 1 è 100 * D 1

÷ö ø

= 18 m

=

y

D1

6"

Rpta.

2D2

= 18 m

4 . 86

D2

= 1 . 52 D 22 . 63 En ( q) h f 2 = 13 m Q1

pero :

Þ

hf

2

=

æ è

0 . 8 çç

1 . 85

274 . 5

Q2

2347 . 42 * Q 2 100 * D

2 . 63 2

ö ÷÷ ø

1 . 85

= 13 m

= 13 m

4 . 86

D2

= 0 . 19 D 22 . 63 Q 1 + Q 2 = 50 L / s 1 . 52 D 22 . 63 + 0 . 19 D 22 . 63 = 50 Þ D 2 = 3 .6 " D1 = 2 D 2 Þ D 2 = 7 .2" \ los diámetros comerciales adecuados son: D 1 = 8 " D 2 = 4 " D 3 = 10 " D 4 = 8 " Q2

D5

=

31) Un oleoducto con una tubería aproximadamente horizontal de 30cmde diámetro, donde la rugosidad absoluta e=0.003cm tiene una estación debombeo de40H P de potencia cada 7 K m. La ef iciencia de los equipos de bombeo es 75% peso específico del líquido es 850Kg/m³ la viscosidad cine mática es4 * 10 - 6 m²/s a) H all ar el caudal b) si el caudal se incrementa en 50%hallar la nueva potencia dela bomba c) si con la nueva potencia la presión en el ingreso de la bomba es de125kg/m² hall ar la presión en la salida de la bomba. B

B

B

B

7km

Solución: Visite mi página:

- 62 -


LTAD D


B

S

I

I

S

B

S

7km

= 850 kg / m ³ = 4 * 10 - 6 m ² /

g n

m

e

= 40 HP 0 . 75 gQ ( E s

pot

=

n

=

pot

-

EI )

s

0 . 00003

D

76 n

VI L

B

7km

= 0 . 30 m = 0 . 00003

D

e

I

S

B

7km

I A Y CI

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DIAZ MEZA, R

I

OLOG

=

=

0 . 30

0 . 0001

.......... .......... .......... .......... .......... ....( 1 )

Ecuaciónde la energía (S – I ) E

-

s

Þ

h

=

Q

E

=

I

=

f

(1 )

Þ

fV

V

2 g

Þ

4

=

2

fL D

f * 7000

=

* V ²

0 . 3 * 2 * 9 . 81

. 4 fV ²

p 0 .3 ² 850

=

40 ³

=

f

1190

V *

en

h

=

Q

0 . 071 V

* 0 . 071 V * 1190

. 4 fV

²

76 * 0 . 75

0 . 032

Asumiendo valores develocidades /s

Con R e y Þ fV ³ =

del ábaco deM oody Þ

e /D

Re

=

4 * 10

-6

=

7 . 5 * 10

f

=

4

0 . 0195

0 . 0195

2º AsumiendoV = 1 . 5 m Con R e y Þ fV ³ =

Þ

1 * 0 .3

1º Asumiendo V = 1m

e /D

Þ

/s

Re

=

1 .5 * 0 .3

del ábaco deM oody Þ

= 1 . 1 * 10 5

-6

4 * 10

=

f

0 . 0185

0 . 062

GraficandoV

fV ³

VS

Del gráfico: V = 1 . 17 a)

Q

b)

Q

= f

m /s 1 . 17 * p * 0 . 3 ²

= 1 .5 Q =

f

=

0 . 124

hf

=

64 . 87 m

=

4

0 . 083 m ³ / s

0 . 124 m ³ / s

= 1 . 74 m / s 0 . 071 1 . 74 * 0 . 3 Re = Þ R e = 1 . 3 * 10 5 4 * 10 - 6 Con R e y e / D del ábaco deM oody V

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Þ

f

=

0 . 018

- 63 -


LTAD D


pot

=

I A Y CI

VI L

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DIAZ MEZA, R

En (1)

OLOG

850 * 0 . 124 * 64 . 87 76 * 0 . 75

= 119 .95 HP Rpta c) E S - E I = h f = 64 . 87 m 2 æP V2 ö PS V + - çç I + ÷÷ = 64.87 m g 2g è g 2g ø pot

PS

g PS

-

125

g

= 64.87 Þ PS = 55694.51kgf

/ m²

= 55694.51kgf / m² Rpta.

32) En la figura semuestra un sistema donde seinstala una bomba entre las tuberías 3 y 4 con una potencia de4H P y una eficiencia de70%, la presión en I es 65kgf/ m² ( C=120) Calcular: a) los caudales en cada tubería. b) Las presiones en el punto “ A” y salida dela bomba. 40m R

D= 12 ' L= ' 10 (1) 00 m

20m (2)

D= 10 ''

L=1500m

A

L= D=8 70 '' 0m

B (3)

(4) I

B

S

'' D=10 00m 6 = L

(5) L=2 00

D= 1 2' '

0m

M

10m

Solución: 40m R

Q1

(1)

20m (2) Q2

A

B

Q3 (3)

(4) I

Visite mi página:

B

S

Q4

(5) M

Q5 10m

- 64 -


LTAD D


=

ES

S

gQ3 ( E S

h

=

Q1

- EI )

f

=

76 * 0 . 7 * 76 1000 Q 3 40

Þ =

ES

- EI =

0 . 2128 Q3

76 n * Pot

gQ3

.......... .......... .......... .......... .......... .......... ......( j )

-

20 = 20 m / km 1 2 . 63 0 . 54 0 .000426 * C * D S

L Pero : Q Q1

D1

76 n

- EI =

VI L

= 12 " D 2 = 10 " D 3 = 8" D 4 = 10 " D 5 = 12 "

L1

Pot

I A Y CI

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DIAZ MEZA, R

= 1000 m L 2 = 1500 m L 3 = 700 m L 4 = 600 m L 5 = 2000 m Pot = 4 HP n = 70 % PI = 65 kg / m ²

OLOG

= = 0 .000426 * 120 * 12 2 .63 20 0.54 = 177 .58 L / S Rpta.

De : h f 2la= figura h f 3 + se h f tiene 4 - (ES - E I ) Pero según H azmey Williams 1 . 85 æ 2347 . 42 Q ö h f = Lç ÷ è CD 2 . 63 ø

Þ 5 .008 Q 21 .85 = 6 . 923 Q 31.85 + 2 .003 Q 41.85 -

0 . 2128 Q3

.......... .......... .......... .......... .( r )

Pero por continuidad se tiene: Q 3 = Q 4 y Q1 = Q 2 + Q 3 Þ Q 3 = 177 . 58 - Q 2 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....( l ) ( l ) en ( r ) Q2

(j )

En PS

g

se tiene

= 102 .542 L / S

-

65

g

Q 3 = 75 . 038 L / S æ PI V 2 ö - çè g + 2 g ÷ø = 2.836 m y

2

PS

V

g

+ 2g

= 2.836m Þ PS = 2901kgf

/ m²

PS = 2901kgf / m ² Rpta . Ecuación deenergía entre ( R – A) ER = E A + h f1

Visite mi página:

- 65 -


LTAD D


PA

=

g

I A Y CI

VI L

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DIAZ MEZA, R

40

OLOG

2

VA

+

2g

+

20

+

h f 1 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .........( 1)

1 . 85

2347 . 42 * 177 . 58 ö = 1 æç = 19 . 94 m ÷ 120 * 12 2 . 63 è ø En (1) P A = - 261 . 8 kgf / m ² Rpta h

f 1

33) En la figura setiene dos reservorios A y B están conectados por una tubería de 10” de diámetro y 2500pies delongitud, otros dos reservorios C y D están conectados poruna tubería de12” de diámetro y 4500pies delongitud. Para incrementar la cantidad de agua que entra a D las dostuberías seconectan con una tubería MN de 3000 pies delongitud y 8” de diámetro. Las distancias AM = 1000pies y ND = 2500pies, rugosidad de las tuberías es 0.00015. y viscosidad cinemática m²/seg. Calcular los caudales en 10 - 6 es cada tubería (Considere f lujo completamente turbulento). 80m

A

(1)

50m

M

(2)

B

40m (5)

C

(3)

20m (4)

N

D

Solución: 80m

A

(1) Q5

40m

C

50m

M

Q1

(2) Q2

(5)

B

(3) Q3

20m (4)

N

Q4

D

1pulg=0.025m, 1pie=12pulg. L1 = 1000 | = 300 m D 1 = 10 " = 0 . 25 m L 2 = 1500 | = 450 m D 2 = 10 " = 0 . 25 m |

D 3 = 12 " = 0 .30 m = 2000 | = 600 m D 4 = 12 " = 0 . 30 m = 2500 = 750 m L 5 = 3000 | = 900 m D 5 = 8" = 0 . 20 m Calculando rogusidad relativa L3 L4

e D1

=

e D2

=

0 . 00015 0 . 25

=

0 . 0006

e D3

=

e D4

=

0 . 00015 0 . 30

=

0 . 0005

Por ser el f lujo completamente turbulento cone/ D del ábaco obtenemos los valores: Visite mi página:

- 66 -


LTAD D


se

=

f2

=

sabe :

0 . 01745

f3

= 0 . 0826

hf

I A Y CI

VI L

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DIAZ MEZA, R

f1

OLOG

=

fLQ

f4

=

0 . 01675

f5

=

0 . 01837

2

por Darcy

D5

= 442.789Q12 h f 3 = 341.617Q32

= 664.183Q22 h f 4 = 427.022Q42

hf1

hf 2

2

= 4267.581Q5 Ecuación deenergía entre ( A – B) E A = E B + h f 1 + h2 80 = 50 + 442 . 789 Q 12 + 664 . 183 Q 22 30 = 442 . 789 Q 12 + 664 . 183 Q 22 ..........

.......... .......... .......... .......... .......... .......... (a )

Ecuación deenergía entre ( C – D) E C = E D + h f 3 + h4 2 2 40 = 20 + 341 . 617 Q 3 + 427 . 022 Q 4 2 2 20 = 341 . 617 Q 3 + 427 . 022 Q 4 ..........

.......... .......... .......... .......... .......... .......... ( b )

hf 5

Ecuación de energía entre ( A – D) E A = E D + h f 1 + h4 + h f 5 2 2 80 = 20 + 442 . 789 Q 1 + 427 . 022 Q 4

60

=

Q1

= Q 2 + Q 5 .......... = Q 3 + Q 5 ..........

Q4

442 . 789 Q 12

De las ecuaciones

Q1 = 206.6L / s

Q2

+

427 . 022 Q 42

+

+

2

4267 . 581 Q 5

4267 . 581 Q 52 .......... .......... .......... .......... .........( q )

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......( g ) .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......( f ) ( a ), ( b ), (q ), ( g )

= 129.27L / s

Q3

y

= 113.7 L / s

se obtiene: = 191.03L / S Q5 = 77.3L / s

(f ) Q4

34) A través deuna tubería fluye agua, dos manómetros instalados en la tubería, en cuyo extremo existe un tubo de Pitot, tal como se muestra en la figura, seconocen los siguientes niveles delíquido h 1 = 0 . 01 m y h 2 = 0 . 02 m , la densidad relativa del mercurio es 13.6 calcular: a) El diáme tro demáxi la tube b) La velocidad ma.ría c) La velocidad media d) La velocidad a una distancia del ej e de 0.25m(n = 10 - 6 m 2

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/S)

- 67 -


LTAD D

DIAZ MEZA, R


OLOG

I A Y CI

VI L

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**) Dos reservorios A y B como muestra la figura, están conectados por una tubería de 2500pies delongitud y 0.0174 decoef iciente de f ricción, otros dos reservorios C y D están conectados poruna tubería de 4500 pies delongitud y 0.0167 de coef iciente de f ricción, Para incrementar la cantidad de agua que entra a D las dos tuberías seconectan por una tubería MN de 3000pies delongitud y 0.0183 decoeficiente de f ricción. La distancia AM =1000pie y ND=2500pies, por la urren si el f lujo esrial. turbulento conssuperf icie hidráulicame ntetubería rugosaMy Nlasdisc tube rías 1pie³/s. son del mismo mate Calcular: a) Los diámetros de las tuberías y sugerir que diámetros comerciales se compran. b) Los caudales en cada tubería

PROBLEM A 35: Una turbina Pelton de0.9m dediámetro tangente al ej e del chorro ( diámetro Pelton) posee unas cucharas que de f lectan al chorro deagua un ángulo de160°. El chorro es de 7.6cm. dediámetro. Despreciando la fricción, hallar la potencia desarroll ada por la rueda y la ef iciencia hidráulica cuandow = 300r.p.m. y la presión ante s de la tobera es de 7.05kgf/ cm2. Considerar que no hay perdidas en la tobera.

160°

a)

,

c)

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·

·

· W=300rpm, H=7.05

·

·

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PROBLEM A 36: En la figura N° 3 se tiene dos reservorios ( A y B) y las tuberías (1 y 2) de hierro f undido con una rugosidad absoluta de 0.25 mm. por donde se trasporta agua desde A hasta B y luego descargar en C, el tubo ( 1) de 0.2m. dediámetro tiene una longitud de 400m. y el tubo ( 2) tiene una longitud de 500m.Considerandopérdidas por f ricción y locales hallar el caudal quediscurre por el sistema y el diámetro del tubo( 2). C ota = 20.00 m .

A

(1 ) C ota = 5.00m .

B

C ota = 0.00m .

Figu ra N ° 03 (2 ) C

DATOS:

SOLUCI ÓN : 1. Analizamos el tramo A-B.

La rugosidad relativa: Para considerar pérdidas locales en la tubería 1, la relación entre su longitud y diámetro debeser menor o igual a 1500. , en estecaso la pérdida local seaproxima a cero: De la ecuación de la energía:

.

De la ecuación deDarcy: , despej ando:

Asumiendo valores del caudal, hallamos el N úmero de Reynolds y con la relación , encontramos el valor de f en el diagrama deM oody, con todos los datoshallamos los valores de . Los datos obtenidos seencuentran en la siguiente tabla: Visite mi página:

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Q( m3/ s) 0,075 0,08 0,085 0,09

x105 Re 4,77 5,09 5,41 5,72

f

x10-4 f Q2

0,0205 0,0205 0,0205 0,0205

1,15 1,28 1,5 1,6

El caudal requerido se halla del gráfico f Q2 vs Q:

De la fórmula obtenida hallamos el caudal Q para

.

2. Ahora analizamos el tramo B-C

Como en el tramo A-B debemos saber la relación L/ D2 para considerar o no las pérdidas locales, pero no conocemos el diámetro D2. Observemos la relación para una pérdida local despreciable: Para tuberías largas: Visite mi página:

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El diámetro de la tubería 2 deberá ser menor o igual a 0.333m. Realizaremos los cálculos despreciando la pérdida local, en caso de que el diámetro resulte mayor a 0,33m, realizaremos nuevos cálculos considerando las pérdidas locales. De la ecuación de la energía:

La velocidad la podemos hallar del caudal:

De la ecuación deDarcy:

…(c)

Teniendo lashallamo ecuacione y c, podemo ema asumi ores para el diámetro D, s slaa,b relación , sel resolve númerro es desist Reynolds, conendo estosval dos últimos valores encontramos el valor de f en el Ábaco de M oody, y finalmente hallamos como f unción de f y en la ecuación ( c) y como f unción de la velocidad en la ecuación ( a) . Plasmamos todos los datoshalladosen la siguientetabla:

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D(m) 0,2 0,25 0,3 0,4 0,26

/d 0,00125 0,001 0,00083 0,00063 0,00096

De la tabla, graficamos y valor del diámetro q sebusca:


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Visite mi página: x105 R 5,497 4,398 3,665 2,749 4,229

f 0,02 0,0205 0,0196 0,0188 0,0191

V(m/s) 2,6625 1,704 1,1833 0,6656 1,5754

hf( 1) 19,24 6,463 2,483 0,565 4,95

hf( 2) 4,6387 4,852 4,9286 4,9774 4,8735

vs el diámetro, al intersecar las rectas encontraremos el

I ntersecamos las curvas igualando las ecuaciones y1 y y2:

·

El diámetro hallado 2Des igual a 0.26m<0.33m, entonces el procedimiento f ue correcto al despreciar las pérdidas locales.

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PROB 15.- En el sistema dela figura N ° 2 se muestra a tres reservorios y una bomba de 180 H .P. depotencia con una eficiencia del 80%, el sistema de tuberías tr asporta agua, la presión en el punto P es 35m. deagua, la válvula V origina una pé r dida de2.05m.de agua y el coef iciente de H azem y Williams es 100√pie / seg. Calcular los caudales en cada tuboy la cota de“ B” . 40m. A

cota = ?? V D=

20

18 L=

L= D=24 2,0 " 00 m.

B

" 0

0m

.

Bomba P

Q 5m.

D = 24

L=72

"

0m. D=1 2"

L=2 100m .

10m. C

Figura N° 02

Solución

H all ando l a cota en P:

Entonces asumimos el f lujo de P hacia A Primero vamos quees un flujo turbulento con superf icie hidráulicamente rugosa

Dónde:

……………………………( *)

Simplificando:

Remplazando en (*) :

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Remplazando tenemos: Potencia de la bomba:

Deduciendo Despej ando:del grafico tenemos:

Concluimos que es absurdo OBSERVACI ON ES: Con respecto a Como la cota A y la cota P. nohay presencia del , ni muchomenos existe la bomba como se observa enel ej ercicio, por endeno existe caudal. v

* Bueno si es queexistiera la bomba, es decir un caudalentonces: = 0 lts/ s v

Donde l uego calculamos

mediante l a expresiónya obtenida empericamente.

Por endecota piezométrica en Q=?

* I ndeterminado, ecuaciones absurdas Cota piezométrica en M: N o existe!! Conclusión: Por ende:

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Donde:

Posteriormente hallamos

conocemos por f ormula:

Cota reservorio …. Rpta

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Solucionario Fluidos i

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