qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq Curso de Econometría wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjlzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcv bnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh jklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbnm qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Prof. Master Emilio Ramón Ortiz Trepowski Soluciones de los ejercicios del Capítulo 3 de Pindyck Abril 30 de 2010
1
3.1. Para el ejercicio 1.1. construya intervalos de confianza del 95% para los parámetros. ¿Puede rechazar la hipótesis nula de que β = 0 ? ¿ β = 1? Solución. Reproducimos la solución del ejercicio 1.1. Ejercicio 1.1.
a) M vs. vs. Y 5.5 5.0 4.5 4.0 M 3.5
3.0 2.5 2.0 1.5 4
5
6
7
8
9
10 10
11
Y
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 09/01/09 Time: 11:20 Sample: 1981 1990 Included observations: 10
Variable
Coefficient
S Sttd. Error
t-Statistic
Prob.
2
C
1.168145
0 . 4 8 34 19
2 . 4 16 4 20
0.0421
M
1.715553
0.126008
13.61458
0.0000
R-squared
0.958626
Mean dependent var
7.550000
Adjusted R-squared
0.953454
S.D. dependent var
1.732211
S.E. of regression
0.373717
Akaike info criterion
1.046218
Sum squared resid
1.117312
Schwarz criterion
1.106735
F-statistic
185.3568
Prob(F-statistic)
0.000001
Log likelihood
-3.231091
Durbin-Watson stat
1.775444
b) El intercepto en YN i = a + bM i + ε i
( i = 1, 2,..., n )
es el ingreso nacional
(YN ) que
es
independiente de la variable explicativa que es la cantidad de dinero ( M ) . La pendiente (1.71553) es el incremento en el ingreso nacional cuando la cantidad de dinero se incrementa en una unidad.
c) Conforme al dato, YN = 12 en 1991 por lo que 12 = 1, 6181 618145 45 + 1, 7155 715553 53 M . Por lo tanto, M =
12 − 1,16814 ,168145 5 1, 715553
=
6.313914522. Es decir, la cantidad de dinero deberá ser 6.31 millones
de dólares para que el ingreso nacional sea 12 millones de dólares en el año 1991.
Solución específica par el ejercicio 3.1.
1) Intervalo de confianza del 95% para β , que en este caso es el coeficiente del dinero (M), siendo la variable explicada el ingreso (Y).
Pr
( β− t s
c
β
<
β0 < β+ t c sβ
) = 0.95
(1.1)
En este caso, β = 1.715553 y s β = 0.126008 . El valor de t c lo obtenemos de la
distribución teórica contenida en la Tabla 3, que en este caso, para n − 2 = 10 − 2 = 8 grados de libertad y para el 5% es 2.306.
Por lo tanto, 3
Pr
( β− t s
c
β
<
β0 < β+ t c sβ
) = 0.95
Pr (1.7 1.7155 15553 − 2.30 2.306 6 ⋅ 0.1 0.12600 26008 8 < β 0 < 1.715 .71555 553 3 + 2.306 .306 ⋅ 0.126 .12600 008 8 ) = 0.95 .95 Pr (1.425 < β 0 < 2.006 ) = 0.95
Lo cual significa que este intervalo contendrá al verdadero parámetro en el 95% de los casos, si es que las muestras se repitieran un gran número de veces. Test de hipótesis para β 0 = 0. En este caso, la estadística t será:
β
− β 0
t N − 2 =
=
1.71 1.7155 5553 53 − 0 0.126008
s
β
= 13.61
(1.2)
Como éste valor de la estadística t es más grande que t c , cae en la zona de rechazo de la hipótesis nula. Por lo tanto, rechazamos la hipótesis nula de que el verdadero parámetro poblaciones es 0.
Test de hipótesis para β 0 = 1 En este caso, la estadísica t será:
β
t N − 2 =
− β 0
=
s
β
1.71 1.7155 5553 53 − 1 0.126008
= 5.68
(1.3)
Dado que este t es mayor que t c = 2.306 , se rechaza la hipótesis nula de que β 0 = 1. 2) Intervalo de confianza de 95% para el parámetro α de la regresión estimada entre el ingreso nacional (variable explicada) y el dinero (variable explicativa). El mismo método que el anterior.
Pr
( β− t s
c
β
<
β0 < β+ t c sβ
) = 0.95
Pr (1.16 .168145 145 − 2.30 .306 ⋅ 0.4 0.483419 3419 < β 0 < 1.168 .16814 145 5 + 2.30 .306 ⋅ 0.4 0.483419 3419 ) = 0.9 0.95
(1.4)
0.0533 3380 8078 786 6 < β 0 < 2.28 2.2829 2909 0921 214 4 ) = 0.95 Pr ( 0.05
Test de hipótesis para β 0 = 0
4
β
t N −2 =
− β 0
=
s
1.16814 .168145 5−0
=
0.483419
β
2.42
(1.5)
Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula de que el parámetro poblacional es cero.
Test de hipótesis para β 0 = 1
β
t N −2 =
− β 0
s
β
=
1.168145 .168145 − 1 0.483419
=
0.348
(1.6)
En este caso, no se puede rechazar la hipótesis nula de que el verdadero parámetro poblacional es 1.
5
