Soluciones Evaluacion Matematicas Tema 10 - 4 Eso

Evaluación unidad 10 

Introducción al concepto de

límite CRITERIOS DE EVALUACIÓN 3. Calcular límites finitos e infinitos de una función en un punto o en el infinito para estimar las tendencias. (**) 4. Conocer el concepto de continuidad y estudiar la continuidad en un punto en funciones polinómicas, racionales, logarítmicas y exponenciales. (**)

ESTÁNDARES 3.1. Calcula límites finitos e infinitos de una función en un punto o en el infinito para estimar las tendencias de una función. (**) 4.1. Examina, analiza y determina la continuidad de la función en un punto para extraer conclusiones en situaciones reales. (**)

Descriptores/ Indicadores Calcula el límite de una función en un punto.

ACTIVIDADES

1

3

4



5 

Calcula límites infinitos.





Calcula límites en el infinito.





Resuelve indeterminaciones del 0 tipo . 0



Resuelve indeterminaciones del ∞ tipo . ∞

   s    e    n    o     i    c    n    u     F  .     4  .     B

2





Estudia la continuidad de una función y clasifica sus discontinuidades.



Determina los valores de un parámetro para que una función sea continua.





Halla el límite de sucesiones y funciones



∞

del tipo 1 .

Puntuación

Unidad 10

| Introducción al concepto de límite

2

2

1,5 1,5

3

Matemáticas 4.º ESO

Evaluación unidad 10 

Introducción al concepto de

límite SOLUCIONES

 x → 4

b)

e

 x 

=

e

2

= −e2 −1 4  x + 3 x  + 3 = ⇒ lim− 2 =− ∞ lim− 2  x →1  x x →1 x  − 1 ↑ −1 0 +

1. a) lim

 x  − 5

−

5 x 0 = ⇒ lim c) lim 3  x → 0  x x →0 − 2x 0 d)

2. a) b)

 x

lim

2

+

 x

 x → −1

4x + 3

3

+

0

=

1

⇒

0

5x  x ⋅ ( x 

2

lim

x → −1

− 2)

=−

5 2

( x + 1) ⋅ (x  + 3) ( x + 1) ⋅ ( x

2

−

=

x  + 1)

2 3

lim −  x 5 + 4x3 − 6x  + 1 = +∞

 x →−∞

lim

 x

2

→−∞

− 5 x  + 1 = +∞

 x 

c) d)

lim

 x

2

+ 7x  + 15

=−

1

10 x − 3 x  3 2 3  3 x − x  4 1 + = lim  3 →+∞ x   5  4 − 5 x 2

 x →+∞

 x 

3.

 3n − 1  lim   →+∞ 3n + 4  

n

5n

 3n + 4 − 4 − 1 = lim   →+∞ 3n + 4  

5n

n

   1 = lim   1+ →+∞ n +4 3   −5   n

−5   = lim  1 +  →+∞ 3n + 4  

5n

n

    

 3n + 4  −  5  

     

   1  = lim  1 +  →+∞ 3n + 4     −5 

5   3n + 4   ⋅  −  5   3n + 4  

5n ⋅ −

n

5     3n + 4 

5n ⋅ −

=e

−

25 3

4. a) El único punto donde no es continua es donde se anula el denominador, que es x  = –1. 2  x − 1 ( x + 1) ⋅ ( x  − 1) = lim = − 1 , se trata de una discontinuidad evitable. Como lim →−1 2 x + 2 →−1 2 ⋅ ( x  + 1) b) Los dos trozos de la función son continuos en los dominios donde se han definido. Hay que analizar el caso x  = 0. lim− f (x ) = 1 = lim+ f ( x) = f (0)   . Luego es continua en  x  = 0, con lo que f  es continua en .  x

 x → 0

x 

x →0

c) En la zona  x   < –1 no hay problema de continuidad. En la otra zona hay un problema en  x   = 0, donde se produce una discontinuidad de salto infinito. Se analiza lo que ocurre en x  = –1. lim− f ( x ) = e ≠ lim+ f ( x) = −1 = f (− 1) , luego no es continua en  x  = –1 y por lo tanto f  es continua en  − {−1,0}  x →−1

x →−1

5. a) C b)

c) I. II.

lim− f ( x ) = − 1

 x →1

lim+ f ( x ) = 3

 x →1

III. lim f (x ) = 19  x → 3

IV: lim f ( x ) = +∞  x →−∞

Unidad 10

| Introducción al concepto de límite

Matemáticas 4.º ESO