Introdu¸c˜ cao a˜o ao Processamento Digital de Sinais Solu¸c˜ coes ˜ oes dos Exerc Exe rc´ ´ıcios ıcio s Propo Pro posto stoss — Cap´ Cap´ıtulo ıtul o 1 Jos´ e Alexand Alex andre re Nalo Nalon n
Dados os sinais x sinais x c (t) a seguir, encontre as amostras, a representa¸c˜ cao a˜o em somat´ orios orios de impulsos impulsos deslocados, e trace os gr´aficos aficos de x de x[[n] = x c (nT a ) para T para T a = 0, 5, 1 e 2: a) x a) x c (t) = cos πt
1.
Solu¸ c˜ a o:
•
T a = 0, 5s x[n]
•
. . . + δ + δ[[n + 4]
− δ[n + 2] + δ + δ[[n] − −δ[n − 2] + δ + δ[[n − 4] + . + . . .
T a = 1s x[n]
•
=
=
...
− δ[n + 3] + δ + δ[[n + 2] − δ[n + 1] + δ + δ[[n] − −δ[n − 1] + δ + δ[[n − 2] − δ[n − 3] + . + . . .
=
. . . + δ + δ[[n + 3] + δ + δ[[n + 2] + δ + δ[[n + 1] + δ + δ[[n] +
T a = 2s x[n]
+δ[n
c) x c) x c (t) = 2
t
−
− 1] + δ + δ[[n − 2] + δ + δ[[n − 3] + . + . . .
u(t)
Solu¸ c˜ a o:
•
T a = 0, 5s x[n]
=
δ[n] + 0, 0 , 707107δ 707107δ[n +0, +0, 5δ[n
•
− 1] + − 2] + 0,0, 353553δ 353553δ[n − 3] + . + . . .
T a = 1s x[n]
=
δ[n] + 0, 0 , 5δ[n +0, +0, 125δ 125δ[n
•
− 1] + 0,0, 25δ 25δ[n − 2] +
− 3] + . + . . .
T a = 2s x[n]
=
δ[n] + 0, 0 , 25δ 25δ[n
− 1] + 0,0, 0625δ 0625δ[n − 2] + +0, +0, 015625δ 015625δ[n − 3] + . + . . .
1
2
π π d) x (t) = cos t + c
8
4
Solu¸ c˜ ao:
•
T a = 0, 5s x[n]
=
. . . + 0, 980785δ[n + 3] + 0, 923880δ[n + 2] + +0, 831470δ[n + 1] + 0, 707107δ[n] + +0, 555570δ[n
− 1] + 0, 382683δ[n − 2] + +0, 195090δ[n − 3] + . . . •
T a = 1s x[n]
=
. . . + 0, 923880δ[n + 3] + δ[n + 2] + +0, 923880δ[n + 1] + 0, 707107δ[n] + +0.382683δ[n
•
− 1] − 0, 382683δ[n − 3] + . . .
T a = 2s x[n]
=
...
− 0, 707107δ[n + 4] + 0.707107δ[n + 2] +
+δ[n + 1] + 0, 707107δ[n]
−0, 707107δ[n − 2] − δ[n − 3] + . . . 2.
Decomponha as sequˆencias a seguir em somat´orios de impulsos deslocados:
a) Sequˆencia x[n] dada em gr´afico: Solu¸ c˜ ao:
x[n]
=
δ[n + 4] + 2δ[n + 3] + 3δ[n + 2] + 2δ[n + 1] + +δ[n] + 2δ[n
− 1] + 3δ[n − 2] + 3δ[n − 3] + δ[n − 4]
b) Sequˆencia x[n] dada em gr´afico: Solu¸ c˜ ao:
x[n]
c) x[n] = cos
=
−δ[n + 6] − 0, 8333δ[n + 5] − 0, 667δ[n + 4] − 0, 5δ[n + 3] − −0, 333δ[n + 2] − 0, 167δ[n + 1] + 0, 167δ[n − 1] + 0, 333δ[n − 2] + +0, 5δ[n − 3] + 0, 667δ[n − 4] + 0, 8333δ[n − 5] + δ[n − 6]
π n , 0 ≤ n < 8 4
Solu¸ c˜ ao:
x[n]
=
δ[n] + 0, 7071δ[n
− 1] − 0, 7071δ[n − 3] − δ[n − 4] − −0.7071δ[n − 5] + 0.7071δ[n − 7]
d) x[n] = n mod5, 0 ≤ n < 8 Solu¸ c˜ ao:
x[n]
3.
=
δ[n
− 1] + 2δ[n − 2] + 3δ[n − 3] + 4δ[n − 4] + +δ[n − 6] + 2δ[n − 7] + 3δ[n − 8]
Dados os sinais x[n] abaixo, encontre o gr´afico de x[−n], x[2n], 2x[n], x[n − 3], e x[2n − 3]:
Jos´ e Alexandre Nalon
Processamento Digital de Sinais
3
a) x[n] = u[n]
c) x[n] = n(u[n + 8] − u[n − 8])
Processamento Digital de Sinais
b) x[n] = u[n] − u[n − 8]
d) x[n] = cos
3π 16
n , 0 ≤ n < 8
Jos´ e Alexandre Nalon
4
e) x[n] = 2
n
−
f) x[n] = − 2δ [n+2]+3δ [n+1]+2δ [n]−δ [n−1]+2δ [n−2]
Dados os sinais x1 [n] e x2 [n], encontre e trace os gr´aficos de y1 [n] = x1 [n] + x2 [n], y2 [n] = x1 [n]x2 [n] e y3 [n] = 3x1 [n] − 2x2 [n]: π b) x 1 [n] = cos n 4 a) x 1 [n] = u[n] 3π x2 [n] = − u[−n + 4] x2 [n] = cos n 4 4.
Jos´ e Alexandre Nalon
Processamento Digital de Sinais
5
π c) x [n] = sen n 1
8
x2 [n] = n
5.
A fun¸cao umero n ´e definida como ˜ fatorial para um determinado n´ n(k)
= n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) k−1
=
(n − r)
r =0
em que se define n (0) = 1. Mostre que: ∆n(k) = k(n − 1)(k
1)
−
e ∆k n(k) = k! Solu¸ c˜ ao: A primeira diferen¸ca ´ e dada por
∆n(k) = n (k)
− (n − 1)(k)
Desenvolvemos a segunda parcela obtendo k−1
(n
− 1)(k)
(n − 1 − r)
=
r =0
n
=
−k n
n
=
n n
k−1
(n − r)
− k r=0
− k n(k) n
Portanto, ∆n(k)
= = =
− n −n k n(k) n − k (k) 1− n n(k)
n
k (k) n n
Podemos desenvolver esse resultado atrav´ es do pro duto que define a fun¸ ca ˜o: ∆n(k)
= = =
k n
k−1
(n − r)
r =0
k n(n 1)(n 2) . . . (n k + 1) n k(n 1)(n 2) . . . (n k + 1)
−
−
Processamento Digital de Sinais
−
−
−
−
Jos´ e Alexandre Nalon
6
Esse termo pode ser ajustado somando e subtraindo 1 ao ´ultimo fator do produto: ∆n(k)
= =
k(n
− 1)(n − 2) . . . (n − 1 − k + 1 + 1) k(n − 1)(n − 2) . . . [(n − 1) − (k − 1) + 1]
Comparando esse resultado com a defini¸ca ˜o, temos: ∆n(k) = k(n
− 1)(k
1)
−
Para demonstrar a rela¸ ca ˜o seguinte, calculamos a segunda diferen¸ca: ∆2 n(k)
∆ k(n − 1) ∆ ∆n(k)
=
(k−1)
=
aplicando a rela¸ ca ˜o anterior, temos: ∆2 n(k) = k(k
− 1)(n − 2)(k
2)
−
Por indu¸ca ˜o: ∆r n(k) = k(k
− 1)(k − 2) . . . (k − r + 1)(n − r)(k
r)
−
Fazendo r = k: ∆k n(k)
6.
=
k(k
=
k!
− 1)(k − 2) . . . 1(n − k)(0)
Mostre a regra da multiplica¸c˜ao para a primeira diferen¸ca, ou seja, ∆(u[n]v[n])
= v[n]∆u[n] + u[n − 1]∆v[n] = u[n]∆v[n] + v[n − 1]∆u[n]
Solu¸ c˜ ao: Temos a rela¸ ca ˜o
∆ (u[n]v[n]) = u[n]v[n]
− u[n − 1]v[n − 1]
Subtraindo e somando u[n
− 1]v[n], obtemos ∆ (u[n]v[n]) = u[n]v[n] − u[n − 1]v[n] + u[n − 1]v[n] − u[n − 1]v[n − 1]
Dessa rela¸ca ˜o, segue diretamente ∆ (u[n]v[n]) = v[n]∆u[n + u[n
− 1]∆v[n]
A demonstra¸ca ˜o para a outra rela¸ca ˜o ´e idˆ entica, apenas trocando de lugar u[n] e v [n]
Dados os sinais x[n] abaixo, determine a paridade do sinal. Se o sinal n˜ao for par nem ´ımpar, encontre suas partes par e ´ımpar (ou conjugado sim´etrico e anti-sim´etrico, caso o sinal seja complexo): 7.
a) x[n] = 2
n
−
Solu¸ c˜ ao:
1 2 2 1 xo [n] = 2 2 xe [n] =
b) x[n] = ( −2)
n
+ 2n
n
n
−
−
−2
n
−
Solu¸ c˜ ao:
1 ( 2) 2 1 xo [n] = ( 2) 2 xe [n] =
c) x[n] = cos
3π
− −
π n + 8 4
Jos´ e Alexandre Nalon
n
+ ( 2)n
n
n
−
−
− (−2) −
Processamento Digital de Sinais
7
Solu¸ c˜ ao:
xe [n] =
√ 12 cos
3π n 8 3π
xo [n] =
− √ 12 sen
8
n
N
a n d) x[n] = k
k
k=0
Solu¸ c˜ ao: N
a n , k par x [n] = e
k
k
k=0 N
xo [n] =
a n , k ´ımpar k
k
k=0
e) x[n] = e jωn Solu¸ c˜ ao:
xe [n] = cos(ωn) xo [n] = j sen(ωn)
f) x[n] = e j(ωn+φ) Solu¸ c˜ ao:
xe [n] = e jφ cos(ωn) xo [n] = j ejφ sen(ωn)
g) x[n] = n 2 mod3 Solu¸ c˜ ao: O sinal ´ e par. Isso pode ser demonstrado pelo fato que ( n)2 = n 2 , portanto ( n)2 mod 3 = n 2 mod3.
−
8.
−
Demonstre que, se x[n] ´e um sinal par, ent˜ ao N
N
x[n] = x[0] + 2 x[n] n=1
n=−N
Solu¸ c˜ ao: Seja x[n] um sinal par. Ent˜ ao podemos separa o somat´ orio em 1
N
N
−
x[n] =
n=−N
x[n] + x[0] +
x[n]
n=1
n=−N
Os dois somat´ orios do lado direito na express˜ ao acima s˜ ao idˆ enticos, pois, por hip´ otese, x[ n] = x[n]. Assim,
−
N
N
x[n] =
N
x[n] + x[0] + x[n]
n=1
n=−N
n=1
E portanto N
N
x[n] = x[0] + 2
n=−N
9.
x[n]
n=1
Demonstre que, se x[n] ´e um sinal ´ımpar, ent˜ao N
x[n] = 0
n=−N
Processamento Digital de Sinais
Jos´ e Alexandre Nalon
8
Solu¸ c˜ ao: Seja x[n] um sinal ´ımpar. Ent˜ ao podemos separa o somat´ orio em 1
N
N
−
x[n] =
n=−N
x[n] + x[0] +
x[n]
n=1
n=−N
Os dois somat´ orios do lado direito na express˜ ao acima s˜ ao idˆ enticos, por´em, com sinais inversos, pois, por hip´ otese, x[ n] = x[n]. Assim,
−
−
N
N
x[n] =
n=−N
−
N
x[n] + x[0] + x[n]
n=1
n=1
E portanto N
x[n] = x[0]
n=−N
No entanto, para que o sinal seja ´ımpar, ´e necess´ ario que x[0] =
−x[0], portanto, x[0] = 0. Assim:
N
x[n] = 0
n=−N
Demonstre que, se x1 [n] e x2 [n] s˜ao ambos sinais pares, ent˜ao y [n] = x 1 [n]x2 [n] ´e um sinal par. Demonstre que, se x 1 [n] e x 2 [n] s˜ao ambos sinais ´ımpares, ent˜ao y[n] = x 1 [n]x2 [n] ´e um sinal par. Demonstre que, se x1 [n] ´e um sinal ´ımpar e x2 [n] ´e um sinal ´ımpar ou vice-versa, ent˜ao y [n] = x 1 [n]x2 [n] ´e um sinal ´ımpar. 10.
Solu¸ c˜ ao:
• Sejam x 1[n] e x 2[n] dois sinais pares, ent˜ao y[−n] = x 1 [−n]x2 [−n] = (x1 [n])(x2 [n]) = x 1 [n]x2 [n] = y[n] Portanto, o sinal ´e par.
• Sejam x 1[n] e x 2[n] dois sinais ´ımpares, ent˜ao y[−n] = x 1 [−n]x2 [−n] = (−x1 [n])(−x2 [n]) = x 1 [n]x2 [n] = y[n] Portanto, o sinal ´e par.
• Seja x 1[n] um sinal ´ımpar e x 2 [n] um sinal par, ent˜ao y[−n] = x 1 [−n]x2 [−n] = (−x1 [n])(x2 [n]) = −x1 [n]x2 [n] = −y[n] Portanto, o sinal ´e ´ımpar. O mesmo racioc´ınio pode ser feito invertendo os lugares de x 1 [n] e x 2 [n].
11.
Se um sinal x[n] tem parte par x e [n] e parte ´ımpar x o [n], demonstre que ∞
∞
x [n] = (x [n] + x [n]) 2
2
2
e
n=−∞
o
n=−∞
Solu¸ ca ˜o: Seja
x[n] = x e [n] + xo [n] ent˜ ao ∞
∞
x2 [n]
=
n=−∞
2
(x [n] + x [n]) e
o
n=−∞ ∞
=
x2e [n] + 2xe [n]xo [n] + x2o [n]
n=−∞ ∞
=
∞
x2e [n] + 2
n=−∞
∞
xe [n]xo [n] +
n=−∞
x2o [n]
n=−∞
Como vimos no Exerc´ıcio 10, o produto de um sinal ´ımpar por um sinal par ´e um sinal ´ımpar. Portanto, o sinal x e [n]xo [n] no segundo somat´ orio ´e um sinal ´ımpar. E, como vimos no Exerc´ıcio 9, o somat´ orio infinito de um si nal ´ımpar ´e nulo, portanto: ∞
∞
x2 [n]
=
n=−∞
n=−∞
∞
x2e [n] +
x2o [n]
n=−∞
∞
=
x2e [n] + x2o [n]
n=−∞
Jos´ e Alexandre Nalon
Processamento Digital de Sinais
9
Note tamb´ em que tanto x2e [n] quanto x2o [n] s˜ ao sinais pares (novamente, pelos r esultados do Exerc´ıcio 10) e, p elos resultados do Exerc´ıcio 8, poder´ıamos simplificar ainda mais essa express˜ao, escrevendo: ∞
∞
x2 [n] = x 2e [0] + x2o [0] + 2
n=−∞
12.
x [n] + x [n] 2 e
2
o
n=0
Determine se os sinais x[n] abaixo s˜ao peri´odicos ou n˜ao e, caso positivo, determine seu per´ıodo
a) x[n] = cos n Solu¸ c˜ ao: O sinal n˜ ao ´e peri´ odico.
b) x[n] = cos πn Solu¸ c˜ ao: O sinal ´ e peri´odico com N = 2 amostras.
c) x[n] = n mod3 Solu¸ c˜ ao: O sinal ´ e peri´odico com N = 3 amostras.
d) x[n] = cos
3π
π n + 4 8
Solu¸ c˜ ao: O sinal ´ e peri´odico com N = 8 amostras.
e) x[n] = (−1)n Solu¸ c˜ ao: O sinal ´ e peri´odico com N = 2 amostras.
π f) x[n] = cos n 2
8
Solu¸ c˜ ao: O sinal ´ e peri´odico com N = 16 amostras.
g) x[n] = cos
π n + sen π n 3
5
Solu¸ c˜ ao: O sinal ´ e peri´odico com N = 30 amostras.
13.
Seja x c (t) = cos(2πt). Encontre e trace o gr´afico da seq¨ uˆencia x[n] obtida a partir da amostragem de x c (t) com
a) T a = 0.25s b) T a = 0.5s c) T a = 0.75s d) T a = 1s H´ a algo a ser notado a respeito desses gr´aficos? Explique os seus resultados.
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10
Solu¸ c˜ ao: O gr´ afico est´ a ao lado. A frequˆencia do sinal
parece aumentar conforme o intervalo de amostragem aumenta, embora o sinal seja o mesmo. Isso acontece devido as caracter´ısticas dos sinais senoidais, que p odem ter sua ` frequˆ encia modificada conforme o intervalo de amostragem se modifica.
Considere x c (t) = cos ωt. Qual deve ser o intervalo de amostragem T a para que o sinal amostrado seja peri´odico com per´ıodo N = 2, 4, 8 e 16 amostras? 14.
Solu¸ c˜ ao: O crit´ erio para que o sinal seja peri´ odico, j´ a que se trata de um cosseno, pode ser tirado da express˜ao:
cos(ωnT a ) = cos(ω(n + N )T a ) Ou seja, exige-se que ω NT a = 2πr, com r inteiro. Portanto: 2πr ωN Assim, para N = 2, T a = πr/ω, para N = 4, T a = πr/2ω, para N = 8, T a = πr/4ω, e para N = 16, T a = πr/8ω. T a =
Se x1 [n] ´e peri´odico com per´ıodo N 1 e x2 [n] ´e peri´odico com per´ıodo N 2 , sob qual condi¸c˜oes o sinal y1 [n] = x1 [n] + x2 [n] ´e peri´odico, e qual o seu per´ıodo? Repita o problema para y 2 [n] = x 1 [n]x2 [n]. 15.
Solu¸ c˜ ao: Se x 1 [n] ´ e peri´ odico com per´ıodo N 1 , ent˜ ao
x1 [n] = x 1 [n + k1 N 1 ] Da mesma forma, se x 2 [n] ´e peri´ odico com per´ıodo N 2 , ent˜ ao x2 [n] = x 2 [n + k2 N 2 ] Os fatores inteiros k1 e k2 aparecem nessas equa¸co ˜es porque to do sinal que ´e peri´ odico em um certo n´ umero de amostras, ´e peri´ odico tamb´ em em um m´ ultiplo inteiro desse valor. Para que a soma y [n] desses dois sinais seja peri´odica, ´e necess´ario que y[n + kN ] = x 1 [n + k1 N 1 ] + x2 [n + k2 N 2 ] A condi¸ca ˜o, portanto, ´e que o per´ıodo da soma englobe um certo n´ umero inteiro de per´ıodos de cada um dos sinais sobre os quais se faz a opera¸ca ˜o. Portanto, kN = k 1 N 1 = k 2 N 2 Assim, ´e f´acil ver que a condi¸ca ˜o ´e que kN seja o m´ınimo m´ ultiplo comum de N 1 e N 2 . O racio c´ınio ´ e exatamente o mesmo para o produto.
16.
Demonstre que, se ω 0 = 2π/N , com N inteiro e maior que 0, ent˜ao N
sen(ω n) = 0 0
n=−N
e N
cos(ω n) = 1, N ≥ 2 0
n=−N
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11
Solu¸ c˜ ao: O seno ´e um sinal ´ ımpar. Pelos resultados do Exerc´ıcio 9, sabemos que o somat´ orio de um sinal ´ımpar em um
intervalo sim´etrico em rela¸ca ˜o a origem ´ e 0. Portanto, a primeira equivalˆencia fica demonstrada. Para a segunda equivalˆencia, note que N ´e o p er´ıodo do cosseno. O somat´orio, portanto, ´e feito em um per´ıodo. Por identidades trigonom´ etricas, pode-se mostr ar que N cos ω0 n + ω0 = 2
− cos(ω0 n) Note que isso s´o ´e v´alido para N ≥ 2, e para N par. Se N for ´ımpar, um racioc´ınio semelhante pode ser feito, e um resultado equivalente encontrado. Assim, o somat´ orio pode ser dividido em trˆes partes: N −1
1
N −1
−
cos(ω0 n) =
n=−N
cos(ω0 n) +
cos(ω n) + cos(ω N ) 0
0
n=0
n=−N
e pela propriedade acima, esses dois somat´ orios s˜ ao iguais. Como cos(ω0 N ) = 1: N −1
N −1
cos(ω0 n) =
n=−N
17.
−
N −1
cos(ω n) + cos(ω n) + 1 = 1 0
n=0
0
n=0
Mostre que, se x[n] ´e peri´odico com per´ıodo N , ent˜ ao N −1
N +k−1
x[n] =
n=0
x[n]
n=k
Solu¸ c˜ ao: O somat´ orio pode ser decomposto em duas partes, conforme express˜ao abaixo: N −1
k−1
N −1
x[n] = x[n] + x[n]
n=0
n=0
n=k
Analisemos a primeira parcela dessa decomposi¸ca ˜o. Como x[n] ´e, por hip´otese, peri´ odico com per´ıodo N , ent˜ ao x[n] = x[n +N ], assim k−1
k−1
x[n] = x[n + N ]
n=0
n=0
Fa¸camos m = n + N . Assim, quando n = 0, m = N , e quando n = k k−1
− 1, m = N + k − 1. O somat´orio pode ser reescrito como
N +k−1
x[n] =
n=0
x[m]
m=N
Voltando com esse resultado na decomposi¸c˜ ao original, e retornando a vari´ avel do somat´ orio para n para unificar os resultados, temos N −1
N +k−1
x[n] =
n=0
N −1
x[n] +
n=N
x[n]
n=k
´ f´ E acil notar que esses somat´orios podem ser coletados em apenas um, conforme a express˜ ao: N −1
N +k−1
x[n] =
n=0
18.
x[n]
n=k
Determine se os seguintes sinais s˜ ao sinais de energia, sinais de potˆencia ou nenhum dos dois:
a) x[n] = 2
n
−
Solu¸ c˜ ao: O sinal n˜ ao ´e de ener gia nem de potˆ encia. Isso acontece porque tanto a energia quanto a potˆencia tendem a infinito
na soma total.
b) x[n] = 2
n
−
u[n]
Solu¸ c˜ ao: O sinal ´ e de energia.
π c) x[n] = cos n 4
Solu¸ c˜ ao: O sinal ´ e de potˆencia.
d) x[n] = cos
π n, para 0 ≤ n < 8 4
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Jos´ e Alexandre Nalon
12
Solu¸ c˜ ao: O sinal ´ e de ener gia.
19.
Para cada um dos sistemas abaixo, determine se ele ´e causal, linear, invariante com o tempo e est´ avel.
a) H {x[n]} = e
n
−
x[n]
Solu¸ c˜ ao: O sistema ´ e linear, causal, variante com o tempo e inst´ avel.
b) H {x[n]} = x[2n] Solu¸ c˜ ao: O sistema ´ e linear, causal, variante com o tempo e est´ avel.
c) H {x[n]} = x[n − 1] Solu¸ c˜ ao: O sistema ´ e li near, causal, invariante com o tempo e est´ avel.
d) H {x[n]} =
1 x[n] n
Solu¸ c˜ ao: O sistema ´ e linear, causal, variante com o tempo e inst´ avel.
e) H {x[n]} =
1 x[n] n2
Solu¸ c˜ ao: O sistema ´ e linear, causal, variante com o tempo e inst´ avel.
f) H {x[n]} = x[n] − 2x[n − 1] + x[n − 2] Solu¸ c˜ ao: O sistema ´ e li near, causal, invariante com o tempo e est´ avel. n
g) H {x[n]} =
x[k]
k=−∞
Solu¸ c˜ ao: O sistema ´ e li near, causal, invariante com o tempo e inst´ avel.
h) H {x[n]} = ax[n] + b Solu¸ c˜ ao: O sistema ´ e n˜ ao-linear, causal, invariante com o tempo e est´ avel.
i) H {x[n]} = − x[−n] Solu¸ c˜ ao: O sistema ´ e linear, causal, variante com o tempo e est´ avel.
j) H {x[n]} = x 2 [n] Solu¸ c˜ ao: O sistema ´ e n˜ ao-linear, causal, invariante com o tempo e est´ avel.
k) H {x[n]} = log x[n] Solu¸ c˜ ao: O sistema ´ e n˜ ao-linear, causal, invariante com o tempo e inst´ avel.
Calcule a convolu¸c˜ao entre as seq¨uˆencias x[n] e h[n] abaixo. Fa¸ca uma representa¸c˜ao gr´afica de cada uma das seq¨ uˆencias e da seq¨ uˆencia resultante da convolu¸ca˜o: 20.
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13
a) x[n] = δ [n + 2] + 2δ [n + 1] + δ [n] + δ [n − 1] h[n] = δ [n] − δ [n − 1] + δ [n − 4] + δ [n − 5] Solu¸ c˜ ao:
b) x[n] = δ [n] + δ [n − 1] − 2δ [n − 2] h[n] = u[n] Solu¸ c˜ ao:
x[n] h[n]
=
∗
=
δ[n + 2] + δ[n + 1]
− δ[n] + 3δ[n − 3] +3δ[n − 4] + 2δ[n − 5] + δ[n − 6]
c) x[n] = u[n] h[n] = δ [n] − δ [n − 1]
x[n]
∗ h[n] = δ[n] + 2δ[n − 1]
d) x[n] = u[n] h[n] = δ [n] − δ [n − 3]
Solu¸ c˜ ao:
Solu¸ c˜ ao:
x[n] h[n] = δ[n]
x[n]
∗
∗ h[n] = δ[n] + δ[n − 1] + δ[n − 2]
f) x[n] = e n u[n] h[n] = e nu[n]
e) x[n] = δ [n] + 2δ [n − 1] h[n] = δ [n − 2]
−
−
Solu¸ c˜ ao:
Solu¸ c˜ ao:
x[n] h[n] = δ[n
∗
− 2] + 2δ[n − 3]
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x[n]
∗ h[n] = (n + 1)e
n
−
u[n]
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π h) x[n] = cos n, para 0 ≤ n < 8 4 h[n] = δ [n] − δ [n − 1] Solu¸ c˜ ao:
g) x[n] = α n u[n] h[n] = β n u[n] com |α| < 1 e |β | < 1.
x[n] h[n]
∗
=
Solu¸ c˜ ao:
x[n] h[n] =
∗
αn+1 α
− βn+1 u[n] −β
=
O gr´ a fico abaixo usa α = 0, 9 e β = 0, 75.
√ 12 δ[n] − δ[n − 8] √ 2 − 1 π 1 π + √ cos n − √ sen n 4 4 2 2 √ 12 δ[n] − δ[n − 8] √ π π + 2 − 2cos n + 4 8
para 0 n 8. Os impulsos aparecem devido `a varia¸ca ˜o existente nos limites de x[n].
≤ ≤
21.
Demonstre que (αn x[n]) ∗ (αn y[n]) = α n (x[n] ∗ y[n]). Solu¸ c˜ ao: Essa convolu¸ ca ˜o ´e dada pela express˜ao desenvolvida a seguir: ∞
(αn x[n]) (αn y[n])
∗
=
αk x[k]αn
k
y[n
− k]
x[k]y[n
− k]
−
k=−∞ ∞
=
αk αn
k
−
k=−∞ ∞
=
αn x[k]y[n
k=−∞
− k]
∞
=
αn
x[k]y[n
k=−∞
=
αn (x[n]
− k]
∗ y[n])
Demonstre que, se x[n] ´e uma fun¸ca˜o peri´odica com per´ıodo N , ent˜ ao a sa´ıda de um sistema linear e invariante com o tempo cuja entrada ´e x[n] tamb´em ser´a peri´odica com per´ıodo N . 22.
Solu¸ c˜ ao: Um sistema linear e invariante com o tempo ´ e completamente descrito pela convolu¸ c˜ ao com sua resposta ao impulso,
opera¸ca ˜o que pode ser escrita como ∞
y[n] =
h[k]x[n
k=−∞
− k]
em que y[n] ´e a resposta do sistema para a entrada x[n], e h[n] ´e a resposta do sistema ao impulso. Para verificar se o sinal de sa´ıda ´e peri´odico, fazemos: ∞
y[n + N ] =
h[k]x[n + N
− k]
k=−∞
Como, por hip´ otese, x[n] ´e peri´ odica, ent˜ ao x[n + N
− k] = x[n − k], portanto:
∞
y[n + N ] =
k=−∞
h[k]x[n
− k] = y[n]
Portanto o sinal de sa´ıda ´e peri´ odico.
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15
23.
Demonstre que se um sistema linear e invariante com o tempo ´e sem mem´oria, ent˜ao h[n] = aδ [n], com a ∈ C . Solu¸ c˜ ao: Um sistema linear e invariante com o deslocamento ´ e completamente definido pela convolu¸ ca ˜o do sinal de entrada
com a resposta ao impulso. Essa opera¸c˜ ao ´e definida por: ∞
y[n] =
k=−∞
h[k]x[n
− k]
Um sistema sem mem´oria n˜ ao pode depender de amostras passadas ou futuras do sinal de entrada. Para que isso aconte¸ ca nesse caso, portanto, ´ e necess´ ario que h[n] = 0 para n = 0. Assim, a resposta ao impulso cont´ em apenas uma amostra de amplitude arbitr´ aria em n = 0. Nenhuma hip´ otese precisa ser feita a respeito dessa constante — por exemplo, ela pode ser um n´ umero complexo qualquer. Portanto, para que o sistema seja sem mem´oria, ´e necess´ario que
h[n] = aδ[n]
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