Solusi Latihan Bab 2
Solusi Latihan Bab 2
1. Buktikan Buktikanlah lah rumus rumus – rumus penyed penyederha erhanaa naan n dan teorema teorema Konsens Konsensus us ?
Penyelesaian : xy+x y =x
1. Teorema eorema penyede penyederha rhanaa naan n:
2. Teorema konsensus :
….. 1)
x + xy = x
….. 2)
(x + y )y = xy
….. 3)
(x + y) (x + y ) = x
….. 4)
x (x + y ) = x
….. 5)
x y + y = x + y xy + yz + x z = xy + x z
….. 6) …..a)
(x + y) (y + z) ( x + z) = (x + y) ( x + z)
…..b)
(x + y) ( x + z) = xz + x y
…..)
!ada "eorema penyederhanaan 1) xy + x y = x# d$pero%eh dar$ xy + x y = x(y + y ) karena y + y = 1 maka x(y + y ) = x ("erbuk"$). 2) x + xy = x# d$pe d$pero% ro%eh eh dar$ dar$ x + xy = x(1 + y) karena 1 + y = 1 (berdasarkan hukum dasar a%&abar boo%e)# maka x(1 + y) = x ("erbuk"$). 3) (x + y )y = xy# d$pero%eh dar$ (x + y )y = xy + y y karena y y = ' (berdasarkan hukum dasar a%&abar boo%e)# maka xy + y y = xy
("erbuk"$). ("erbuk"$).
4) (x + y) (x + y ) = x# d$pero%eh dar$ (x + y) (x + y ) = xx + x y + xy + y y arena xx = x# dan x y + xy = x# y y = '# dan x + x = x (berdasarkan hukum dasar a%&abar boo%e) maka xx + x y + xy + y y = xx = x ("erbuk"$). 5) x(x + y) = x# d$p d$per ero%e o%eh h dar$ dar$ x(x x(x + y ) = xx + x y = x + x y = x(1 + y ) kare karena na 1 + y = 1 (berdasa (berdasarka rkan n hukum hukum dasar a%&abar a%&abar boo%e)# boo%e)# maka x(1 + y ) = x . 1 = x ("erbuk"$). 6) x y + y = x + y# d$pero%eh dar$ x y + y = (x + y) (y + y ) (berdasarkan hukum dasar a%&abar boo%e)# maka (x + y) ( y + y) = x y + xy + y y + yy karena x y + xy = x# y y = '# y y = '# yy = y (berdasarkan hukum dasar a%&abar boo%e)# maka x
y + xy + y y + yy = xy ("erbuk"$).
!ada "eorema konsensus
1
Solusi Latihan Bab 2
1) xy
+ yz + x z = xy + x z# d$pero%eh dar$
xy yz x z x x x y x z
d$mana
x x x z x x z #seh$na &$ka x x z x y x x xy x z x yz k$"a &ua sudah mene"ahu$ bah*a &ua "e%ah mene"ahu$ bah*a
x x x z x yz xy 0 x z 1 y xy dan
1 y
k$"a
1 (berdasarkan hukum dasar a%&abar boo%e)#seh$na
x z 1 y xy x z xy ("erbuk"$).
2)
x y y z x z x y x z d$pero%eh d$mana
x y y z x z
dar$
=
x y y z x z
x y y z y xz seh$na y xz x z x y yz xz dan
x y yz xz =
x z x y . ("erbuk"$) 3)
x y x z
xz x y
x y x z x x
x x y x z
d$pero%eh
x x y x z
x y x z x x
dar$ #
k$"a
0 xz x y x yz xz x y 1 z
&ua (berdasarkan
d$mana
mene"ahu$
bah*a
hokum
oo%e).
dasar
xz x y 1 z xz x y ("erbuk"$)
2. Suatu sistem dengan tiga peubah masukan membutuhkan hubungan logika seperti yang ditunjukkan pada tabel kebenaran. Tabel kebenaran S2.1 p 1 1 1 1
q 1 1 1 1
r 1 1 1 1
f 1 1 1 1 1
a. Tentukanlah pernyatan logika fungsi keluaran f dalam bentuk sukumin dan sukuma!. b. Tentukanlah realisasi fungsi f yang paling murah. ". #ambarkanlah rangkaian logikanya bentuk $%& '() *$% diikuti '()+ dan '()& $% *'() diikuti $% +.
!enye%esa$an :
!ernya"aan %o$ka ,uns$ ke%uaran f da%am ben"uk sukum$n : f
m 0,2,3,4,7
m 0 m 2 m3 m 4 m7 p q r pq r pqr p q r pqr
!ernya"aan %o$ka ,uns$ ke%uaran f da%am ben"uk sukumax :
2
Solusi Latihan Bab 2
f M 1,5,6 M 1 M 5 M 6
p q r p q r p q r
b).
-uns$ d$a"as dapa" d$rea%$sas$kan da%am ben"uk yan pa%$n sederhana sbb: f
m 0,2,3,4,7
p q r pq r pqr p q r pqr
p p q r p p qr pq r q r qr pq r
).
anka$an %o$ka da%am ben"uk / 0 :
f p q r p q r p q r
anka$an %o$ka da%a ben"uk 0 / : f p q r pq r pqr p q r pqr
3
Solusi Latihan Bab 2
,. Sederhanakanlah ke dalam bentuk ekspansi sukumin dan ekspansi sukuma! dan gambarkan rangkaian untuk fungsi berikut a.
! * ' B / C / ) E + * ' B / C +
b. y * 0) / A / B + * 0) / A / B +
!enye%esa$an : a. kspans$ ukum$n ( B +
C
+ E ) ( B +
anap B +
C
C
)
ada%ah x dan E sebaa$ y.
(x+y)(x) x + xy B +
C
+
C
E + B E
n"uk mendapa"kan ekspans$ sukumax# perha"$kan "abe% 7
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 1
' ' ' ' ' ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1 '
8 ' ' ' ' 1 1 1 1 ' ' ' ' 1 1 1 1 '
' ' 1 1 ' ' 1 1 ' ' 1 1 ' ' 1 1 '
' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 '
, 1 1 1 1 ' ' ' ' 1 1 1 1 ' ' ' ' 1 4
Solusi Latihan Bab 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
' ' ' ' ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1
' ' ' 1 1 1 1 ' ' ' ' 1 1 1 1
' 1 1 ' ' 1 1 ' ' 1 1 ' ' 1 1
1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' ' ' '
9aka d$pero%eh%ah ekspans$ sukumax yakn$ : ( + + C ) ( + B + C ) ( A + B + C ) b. kspans$ sukum$n ( 8 + A + B ) ( 8 + A + ) 8 + A + 8 + B 8 + A + A B n"uk mendapa"kan ekspans$ sukumax# perha"$kan "abe% 7
' ' ' ' ' ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1
' ' ' ' 1 1 1 1 ' ' ' ' 1 1 1 1
8 ' ' 1 1 ' ' 1 1 ' ' 1 1 ' ' 1 1
' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1
, 1 1 1 1 1 1 1 1 ' ' ' 1 ' ' ' 1
9aka ekspans$ sukumax yakn$ : ( + B ) ( + )
. Sederhanakanlah ke dalam ekspansi sukumin dan ekspansi sukuma! dan gambarkan rangkaian untuk fungsi berikut a. x
= ( A B C D E )( A B + = = = =
C
)
( A B. A B ) A BC A BC C . C + E . B + C E A B A BC C
A B D E C D E
A B(1 C DE ) C (1 D E )
A B C
5
Solusi Latihan Bab 2
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B ' ' ' ' ' ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1 ' ' ' ' ' ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1
0 ' ' ' ' 1 1 1 1 ' ' ' ' 1 1 1 1 ' ' ' ' 1 1 1 1 ' ' ' ' 1 1 1 1
) ' ' 1 1 ' ' 1 1 ' ' 1 1 ' ' 1 1 ' ' 1 1 ' ' 1 1 ' ' 1 1 ' ' 1 1
' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 '
f 1 1 1 1 ' ' ' ' 1 1 1 1 ' ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' ' ' '
kspans$ sukum$n , = m ( '#1#2#3#;#<#1'#11#16#1#1;#1<#2'#21#22#23#24#25#26#2 ) kspans$ sukumax - = > 9 ( 4#5#6##12#13#14#15#2;#2<#3'#31 ) anka$an ?o$ka :
b.
6
Solusi Latihan Bab 2
X (CD A B )(CD A B ) X CD.CD ACD BCD ACD A. A A B BCD AB B B X CD AC (1 B CD ) BCD X CD A BCD X CD (1 B ) A X CD A
' ' ' ' ' ' ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1
B ' ' ' ' 1 1 1 1 ' ' ' ' 1 1 1 1
0 ' ' 1 1 ' ' 1 1 ' ' 1 1 ' ' 1 1
) ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1
3 1 1 1 1 1 1 1 1 ' ' ' 1 ' ' ' 1
kspans$ sukum$n : , = m ( '#1#2#3#4#5#6##11#15 ) kspans$ sukumax : - = > 9 ( ;#<#1'#12#13#14 ) anka$an ?o$ka :
7
Solusi Latihan Bab 2
4. #ambarkan rangkaian untuk soal (o. , diatas dengan hanya menggunakan #erbang –gerbang a. ('() sembarangan "a"ah masukan
b. NOR sembarangan cacah mas!an p ' ' ' ' 1 1 1 1
@ ' ' 1 1 ' ' 1 1
r ' 1 ' 1 ' 1 ' 1
, 1 ' 1 1 1 ' ' 1
!enye%esa$an : ,(p#@#r) = m ('#2#3#4#) = p q r pq r pqr p q r pqr ,(p#@#r) = 9 (1#5#6) = p q r p q r p q r a. sembaranan aah masukan
"
Solusi Latihan Bab 2
b. / sembaran aah masukan
5. f *a6b6"+ .
m *16,664+ /
d *567+
#abel !ebenaran $ngsi %a! leng!a& a ' ' ' ' 1 1 1 1
b ' ' 1 1 ' ' 1 1
' 1 ' 1 ' 1 ' 1
d ' 1 ' 1 1 1 A A
emunk$nan hara x yan dapa" k$"a p$%$h un"uk sukuBsuku aba$kan sebaa$ ber$ku" $n$ : 1.
emua x k$"a anap no%
9aka , = m1 + m3 + m4 + m5 '
' ' ' ' ' ' = a b c + a b c + a b c + a b c + a b c
' ' ' ' = a c + ( b +b) + a b ( c +c ) ' ' = a c + a b
2. emua k$"a anap 1 9aka , = m1 + m3 + m4 + m5 + m6 + m ' ' ' ' ' ' ' = a b c + a b c +a b c +a b c + a bc ' ' ' = a c + a b + ab ( c +c ) ' ' = a c + a b + ab ' = a c + a
(
Solusi Latihan Bab 2 '
= (a + c)(a+ a ) = a + c 3. n"uk m6 k$"a p$%$h x = 1 dan m k$"a p$%$h x = ' , = m1+m3+m4+m5+m6 ' ' ' ' ' ' ' = a b c + a b c +a b c +a b c + a bc ' ' ' = a c + a (b + bc ) ' ' ' = a c + a b + a bc ' ' ' = a c + a ( b +b) ( b c ) ' ' ' = a c + a b + ac
4. n"uk m6 k$"a p$%$h x = ' dan m k$"a p$%$h x = 1 , = m1+m3+m4+m5+m '
' ' ' ' ' = a b c + a b c + a b c + a b c + a b c '
' = a c + a b + a b c ) ' ' ' = a c + a ( b +b) ( b +c ) '
'
= a c + a b + a c '
=c+ a b '
= a b + c , (a#b#) =
9
('#2) +
d
(6#'
Tabe% kebenaran ,uns$ "ak %enkap
a ' ' ' ' 1 1 1 1
b ' ' 1 1 ' ' 1 1
8 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1
' 1 ' 1 1 1 A A
enan me%$ha" "abe% d$ a"as maka akan d$pero%eh ben"uk yan pa%$n sederhana seara a%&abar oo%e menuru" penyederhanaan sebe%umnya da%am ben"uk ekspans$ sekum$n karena has$% ,uns$ yan sama o"oma"$s ben"uk yan pa%$n sederhana &ua akan sama. emunk$nan hara x yan dapa" k$"a p$%$h un"uk sukuBsuku aba$kan.
1.
emua k$"a anap '
9aka : ,
= 9' 92 96 9 10
Solusi Latihan Bab 2 '
'
'
'
'
'
= (a + b + c) (a + b +c)( a + b +c)( a b c ) '
'
= (a+a b +ac+ab+bc+ac+ b +c) '
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
( a + a b + a c + a b + b + b c + a c+ b c + 0) '
'
= {a+(1+ b +c+b+c)+c(b+ b +1)C '
'
'
'
'
'
'
{( a (1+ b + c + b + c + b (1+ c + c )} '
'
= Da + c} { a + b C '
'
'
= Da b + a + b
2.
emua k$"a anap 1
9aka : , = 9o 92 '
= (a + b + ) (a + b + ) '
'
= (a + a b + a + ab + b + a + b + '
'
= a (1+ b ++b+) + (b + b + 1) =a+
3.
n"uk 96 k$"a anap x = 1 dan 9 k$"a p$%$h x = '
9aka : ,
= 9' 92 9 '
'
'
'
= (a +b+) (a+ b +) ( a + b + c ) '
'
'
'
= a b + a c + a + b '
'
'
= ac + a + ab
4.
n"uk 96 k$"a anap x = ' dan 9 k$"a p$%$h x= 1 .
9aka : ,
= 9' 92 96 '
'
= (a +) ( a + b +) '
'
'
= a b + a+ a + b + '
= ab + es$mpu%an : dar$ penyederhanaan "$ap ben"uk d$ a"as seara a%&abar oo%e ben"uk yan pa%$n sederhana ada%ah : ,=a+
11
Solusi Latihan Bab 2
12