1
SOAL BAB 8 DAN 9 1. Suatu Suatu perusa perusahaan haan pembuat pembuatan an perlen perlengkap gkapan an olah olah raga raga membuat membuat tali pancing pancing sintetik sintetik baru dan menuru menurutt pembuatnya rata-rata dapat d apat menahan beban lebih dari 8 kg k g dengan simpangan baku 0.5 kg. Diambil sampel 50 tali kemudian diuji ternyata rata-ratanya 8.1 a. Buatlah Buatlah selang selang kepercayaan kepercayaan 95 95 untuk untuk rata-rata rata-rata daya daya tahan tali tali yang sesunggu sesungguhnya. hnya. b. !jilah apakah pernyataan pembuatnya benar" #gunakan alpha 0 .01$ %. &ata-rata &ata-rata 'aktu yang yang diperlukan diperlukan sis'a untuk untuk menda(tar menda(tar pada permulaan permulaan kuliah di suatu suatu !ni)ersitas !ni)ersitas adalah adalah 50 menit dengan simpangan baku 10 menit. Suatu cara penda(taran baru sedang dicoba ternyata dari 1% mahasis'a yang melakukan pengisian membutuhkan 'aktu rata-rata *% menit dan simpangan baku 11.9 menit. a. Buatlah Buatlah selang selang kepercayaan kepercayaan 90 untuk untuk rata-rata rata-rata 'aktu 'aktu yang dibutuhkan dibutuhkan dengan dengan cara yang yang baru. b. !jilah apakah cara baru lebih baik" +unakan alpha 0.05. ,. Suatu Suatu percoba percobaan an dilaku dilakukan kan untuk membandi membandingka ngkan n keausan keausan karena karena gosokan gosokan dua bahan yang dilapi dilapisi. si. Duabel Duabelas as potong bahan diuji dengan memasukkan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong potong bahan diuji dengan cara yang yang sama. sama. Sampel Sampel memberi memberikan kan nilai nilai rata-r rata-rata ata 85 satuan satuan dengan simpangan baku * sementara sampel memberikan rata-rata 81 satuan dengan simpangan baku 5. a. Buatlah Buatlah con(idence con(idence inter)al inter)al 90 90 untuk selisih selisih rata-r rata-rata ata keausan keausan bahan dan bahan bahan . b. !jilah apakah ada perbedaan keausan bahan dan " +unakan alpha 0.05. *. /ima /ima sampel sampel at yang mengand mengandung ung besi diuji diuji untuk untuk menentuk menentukan an apakah ada perbeda perbedaan an kandungan kandungan besi antara analisa kimia secara secara laboratorium dengan analisa pendar (aour (aour sinar . 2iap sampel sampel dibagi menjadi dua dan kedua jenis tersebut dilakukan masing-masing dengan analisa kimia atau analisa pendar. Data sbb 3 Sampel 4nalisa 1 % , * 5 Sinar %.0 %.0 %., %.1 %.* imia %.% 1.9 %.5 %., %.* a. Buat Buatla lah h esti estima masi si inte inter) r)al al denga dengan n keper kepercay cayaan aan 90 90 untu untuk k perbe perbedaa daan n rata rata-r -rat ataa kedua kedua jeni jeniss anali analisa sa tersebut. b. !jilah apakah ada perbedaan rata-rata dari kedua jenis analisa tersebut" +unakan alpha 0.05 5. Suatu perusahaan perusahaan pembuat pembuat baterai baterai mobil menyatakan menyatakan umur baterainy baterainyaa berdistribusi berdistribusi hampir hampir normal normal dengan simpangan baku sama dengan 0.9. tahun. Sampel acak sebesar 10 baterai mempunyai simpangan baku 1.% tahun. a. Buatlah Buatlah selang selang kepercayaan kepercayaan 90 90 untuk untuk )arians )arians umur batera bateraii yang sesunggu sesungguhnya. hnya. b. !jilah apakah pernyataan pembuat baterai benar" +unakan alpha 0.05. 6. Suatu Suatu pabrik pabrik mengelu mengeluark arkan an suatu pernyataa pernyataan n bah'a bah'a 90 dari dari barang produks produksiny inyaa tidak tidak cacat. cacat. Saat Saat ini sedang dilakukan peningkatan kualitas yang diharapkan dapat menurunkan produksi yang cacat. Sampel random sebesar 100 dipilih setelah diadakan suatu metode baru ternyata terdapat hanya 5 yang cacat. a. Buatlah Buatlah selang selang kepercayaan kepercayaan 95 95 untuk untuk proporsi proporsi yang yang cacat dengan dengan metode metode yang baru. baru. b. !jilah apakah metode yang baru berhasil dapat menurunkan produksi yang cacat" +unakan alpha 0.0 1. 7. emungu emungutan tan suara diambil diambil dari suatu suatu kotama kotamadya dya dan kabupat kabupaten en diseki disekitar tarnya nya untuk menentuka menentukan n apakah apakah suatu rencana pembangunan pabrik kimia boleh diteruskan atau tidak. Diambil sampel secara acak sebanyak %00 orang dari kotamadya ternyata sebanyak 1%0 penduduk setuju dan sebanyak 500 orang dari kabupaten ternyata %*0 menyetujui. a. Buatla Buatlah h selang selang keperc kepercaya ayaan an 90 untuk untuk menyatak menyatakan an propors proporsii perbedaa perbedaan n pendapat pendapat antara antara pendudu penduduk k kotamadya dan kabupaten. b. !jilah apakah ada proporsi perbedaan pendapat antara keduanya. +unak an alpha 0.05. 8. Dua buah mesin mesin potong menghasi menghasilkan lkan produksi produksi potongan potongan batangan batangan besi dengan dengan rata-rata rata-rata yang yang sama. arena arena mesin sudah berumur lebih dari 5 tahun maka dilakukan pengamatan mengenai simpangan baku hasil produksinya. Dari sampel sebanyak 1% dari mesin diukur ternyata simpangan bakunya %., dan 10 dari mesin diukur ternyata simpangan bakunya 1.5. a. Buatlah Buatlah selang selang kepercayaan kepercayaan 90 90 untuk untuk rasio simpangan simpangan baku yang sesungguhny sesungguhnya. a. !jilah apakah simpangan baku dari mesin lebih besar dari
%
SOLUSI SOAL BAB 8 DAN 9
1. Diketahui kekuatan tali pancing menurut pembuatnya : 80 kg dan ; :05 kg sampel EEE X = 8-1 n :50 endekatan yang dipakai adalah pendekatan distribusi normal #<$ karena jumlah sampel yang cukup besar yaitu lebih dari ,0. a. =on(idence nter)al 95 untuk rata-rata kekuatan tali pancing adalah &umus 3 EEE
X ± Z α σ
n
%
8-1 ± Z 0-0%5 0-5 8-1 ± 1-96 x0-5
50 50
8-1 ± 0-1,9
Batas bawah = 7,961 Batas atas = 8,239 4rtinya rata-rata kekuatan tali pancing tersebut antara 7961 sampai 8%,9 dengan probabilitas 095. >adi kemungkinan rata-rata kekuatan tali pancing kurang dari 7961 sangat kecil yaitu 00%5.
b. !ji pernyataan pembuat tali pancing dengan ?:001 • arameter yang menjadi masalah adalah rata-rata • @ipotesis H o 3 µ ≤ 80
H 1 3 µ > 80 •
Statistik uji
Z =
X − µ o
σ n
81 − 80 = 1*1* 05 50 ?:001 riteria enolakan
Z = • •
@ipotesa Aol #@o$ @o 3 µ:µo
@ipotesa alternati( #@1$ @1 3 µµo
Daerah kritis #Daerah penolakan @o$ < - <α
H1 : !
" "
@1 3 µ≠µo
< - <αC% atau < <αC% @ipotesa yang dipakai pada soal ini adalah @1 3 µµo sehingga daerah kristisnya mengikuti aturan < <α Z 0 - 01 = %-,, Z = 1-*1* < Z 0- 01
=
%-,,
,
%.,,
2ermasuk daerah bukan penolakan @o. • esimpulan tidak tolak @o • 4rtinya pernyataan bah'a rata-rata tali pancing dapat menahan beban lebih dari 80 kg tidak benar. %. Diketahui parameter a'al 'aktu yang dibutuhkan untuk menda(tar : 50 menit dan ; : 10 menit sampel EEE X = *% s : 119 menit n :1% endekatan yang dipakai adalah pendekatan distribusi normal t- student #t$ karena jumlah sampel kecil #kurang dari ,0$ dan simpangan )arians populasi tidak diketahui #; : 10 menit adalah simpangan baku populasi sebelum ada cara baru sedangkan s : 119 menit adalah simpangan baku cara baru tetapi bukan dari populasi$ a. =on(idence nter)al 90 untuk rata-rata 'aktu yang dibutuhkan menda(tar kuliah adalah &umus 3 EEE
X ± t α
s
%
n
# n −1$
*% ± t 0- 05 #1%−1$ 11-9 *% ± 1-796 x11-9
1% 1%
*% ± 6-17
Batas bawah = 3#,83 Batas atas = $8,17 4rtinya rata-rata 'aktu yang dibutuhkan untuk penda(taran matakuliah antara ,58, sampai *817 dengan probabilitas 090. >adi kemungkinan rata-rata 'aktu yang dibutuhkan untuk penda(taran matakuliah lebih dari *817 kecil yaitu 005. b. !ji apakah rata-rata 'aktu yang dibutuhkan untuk • arameter yang menjadi masalah adalah rata-rata • @ipotesis H o 3 µ ≥ 50
H 1 3 µ < 50 •
Statistik uji
t =
X − µ o s n
t =
•
*% − 50 119 1% ?:005
= −%,%
*
•
riteria enolakan
@ipotesa Aol #@o$
@ipotesa alternati( #@1$
Daerah kritis #Daerah penolakan @o$
@o 3 µ:µo
H1 : % !
t%&t
@1 3 µµo @1 3 µ≠µo
t tα t - tαC% atau t tαC% @ipotesa yang dipakai pada soal ini adalah @1 3 µµo sehingga daerah kristisnya mengikuti aturan t -t α t 0- 05#11$ t =
= 1-796
−%-,% < −t 0 - 05 = −1-796
-1796
2ermasuk dalam daerah penolakan @o. • esimpulan tolak @o • 4rtinya cara baru dapat menurunkan rata-rata 'aktu yang dibutuhkan untuk melakukan penda(taran dengan ?:005 ,. Diketahui pengukuran keausan dari dua bahan adalah sbb 3 EEE
Bahan 1 3 X EEE
Bahan % 3 X
= 85
satuan s : * satuan
n :1%
= 81
satuan s : 5 satuan
n :10
a. Selang kepercayaan 90 untuk selisih rata-rata bahan 1 dan bahan % menggunakan pendekatan distribusi t karena )arians populasi tidak diketahui dan sampelnya kurang dari ,0. &!F!S EE
EE
# X 1 − X % $ ± t α %# n1 +n% −%$ S p 1 n1 + 1 n% #85 − 81$ ± t 0- 05#1%
+10− % $
S p
S p =
S p =
#1% − 1$# *$ %
1 1% + 1 10
#n1 − 1$ S 1%
+ #n % − 1$ S %% n1 + n % − %
+ #10 − 1$#5$
%
1% + 10 − %
#85 − 81$ ± 1-7%5 x *-*8 1 1% + 1 10
* ± ,-,1
/ : 069 ! : 7,1
=
*-*8
5
Artinya selisih rata-rata keausan antara bahan 1 an ! aalah "#$9 sa%pai &#'1# %un(kin sa)a selisihnya lebih ari &#'1 tetapi probabilitasnya *ukup ke*il yaitu "#"+ ,+. b. !jilah apakah ada perbedaan rata-rata keausan bahan 1 dan bahan %" • •
•
arameter yang menjadi masalah adalah rata-rata @ipotesis H o 3 µ 1 − µ %
=0
H 1 3 µ 1 − µ %
≠0
Statistik uji
X 1 − X % t =
1
S p
t =
•
1 1%
+
o
+
( 85 − 81) − 0 **8
•
n1
−
1
1 n%
= %086,
10
?:005 riteria enolakan
@ipotesa Aol #@o$
@ipotesa alternati( #@1$ @1 3 µ1-µ% o @1 3 µ1-µ% o
@o 3 µ1-µ%:µo
H1 : 1& 2
d !
Daerah kritis #Daerah penolakan @o$ t - tα t tα
t %& t '2 (a) t t '2
@ipotesa yang dipakai pada soal ini adalah @1 3 µ1-µ%≠ o sehingga daerah kristisnya mengikuti aturan t tαC% dan t tαC% t 0 - 0%5# %0 $
=
%-086
t = %-086, > t 0- 0%5
-%086
=
%-086
%.086
2idak termasuk dalam daerah penolakan @o.
6
esimpulan tolak @o • 4rtinya dari data sampel dapat disimpulkan bah'a rata-rata korosi bahan 1 berbeda dengan bahan % dengan ?:005 •
*. Dari keterangan menunjukkan ba'a data tersebut merupakan data berpasangan sbb 3 Analisa Sinar X Kimia Sinar X Kimia
1 2 2,2
2 2 1,9
3 2,3 2,5
4 2,1 2,3
5 2,4 2,4
-0,2
0,1
-0,2
-0,2
0
n:5 EE
D
= −0-1
S D
=
0-1*
a. =on(idence nter)al 90 untuk rata-rata selisih data berpasangan -
D± tα C %# n −1$ s D C n
− 01 ± t 005# *$ 01* C
5
0-1 ± %-1,% x0-1* C
5
−
/ : -0%,, ! : 00,, 4rtinya rata-rata selisih analisa sinar dengan analisa imia adalah antara -0%,, sampai 00,, dengan probabilitas kebenaran 90. b. !ji apakah ada perbedaan rata-rata keausan" • arameter yang menjadi masalah adalah µ D • @ipotesa 3
•
H o 3 µ D
=0
H 1 3 µ D
≠0
Statistik uji E
D − Do t = S D n
t =
− 01− 0 = − 01*
1597
5
?:005 • Daerah ritis @ipotesa Aol #@o$ @ipotesa alternati( •
Daerah kritis
7
#@1$ @1 3 Dµo @1 3 Dµo H1 : D !
@o 3D:µo
#Daerah penolakan @o$ t - tα t tα t %& t '2 atau t t '2 t 0 - 0%5 # * $
=
%-776
t : - 1597 berada didaerah penerimaan @o
-%.776
%.776
esimpulan tidak menolak @o • 4rtinya rata-rata keausan dari kedua analisis tidak berbeda 5. Diketahui umur baterai mobil standar pabrik ; : 09 tahun sedangkan dari sampel sebanyak n:10 diperoleh s : 1% tahun •
a. Selang kepercayaan 90 untuk )arians umur baterai adalah
#n − 1$ S % L = χ % α C %- n −1
#9$#1-%$ % L = χ % 0-05#9$
L =
#9$#1%$ %
169190
= 07660
#n − 1$ S % / = χ % #1−α C %$-n −1 #9$#1-%$ % / = χ % #1− 0-05$-9 / =
#9$#1-%$ % ,-,%511
=
,-8976
4rtinya )arians umur baterai antara 07660 sampai ,8976 dengan probabilitas kebenaran 90 b. 4pakah pernyataan bah'a simpangan baku 09 tahun benar" !jilah dengan ?:005. • arameter yang menjadi masalah adalah ;
8
@ipotesa
•
H o 3 σ %
= #09$ %
%
≠ #09
%$ H 1 3 σ
? :005 Statistik !ji
• •
%
χ
=
#n − 1$ S % %
σ o
χ
%
=
#10 − 1$#1-%$ % #0-9$ %
= 16
Daerah ritis @ipotesa alternati( #@1$ @1 3 σG σGo @1 3 σG σGo H1 : * *!
•
@ipotesa Aol #@o$ @o 3 σG :σGo
χ
%
1−α C % # n −1$
χ χ
%.700,9
%
%
α C % # n −1$
= 16
%
= χ 0- 975# 9 $ =
Daerah kritis #Daerah penolakan @o$ G G#1-α$ G G#α$ +* % +*1& '2- (a) +* +* '2-
%-700,9
%
= χ 0- 0%5# 9 $ = 19-0%%8
tidak masuk daerah penolakan @o
19.0%%8 esimpulan tidak tolak @o 4rtinya standar de)iasi tidak berbeda dengan 09
• •
6. Dari sampel sebanyak n:100 terdapat H:5 yang cacat I
p =
x n
=
5 100
= 0-05
a. Selang kepercayaan 95 untuk proporsi adalah
9
I I
p± 0 C%
I
p #1− p$
α
n 0-05#0-95$
0-05 ± < 0 -0%5
100
0-05#0-95$
0-05 ± 1-96
100
0-05 ± 0-0*%7
/ : 0007, ! : 009%7 b. !ji apakah peningkatan kualitas berhasil" • arameter yang menjadi masalah adalah #proporsi$ • @ipotesis H o 3 p ≤ 09
H 1 3 p > 09 • •
? :001 Statistik uji roporsi yang tidak cacat dari sampel adalah I
p =
x
=
n
95 100
= 0-95
I
Z
p p −
=
o
p 0 C n o o
Z =
•
0-95 − 0-9 0-9#0-1$ C 100
= 1-67
Daerah ritis Dilihat dari hipotesa dan statistik uji maka akan menolak @o apabila <<α. Z α
= Z 0- 01 =
%-,,
%.,,
10
• •
esimpulan 3 karena Z = 167 < Z α = %,, maka tidak tolak @o 4rtinya berdasarkan data sampel peningkatan produk yang baik masih belum tercapai
7. Diketahui dari sampel bah'a yang setuju terhadap membangunan pabrik kimia sbb 3
Kota (P1 Ka"upaten (P2
Setuju 120
Jumlah sampel 200
Proporsi Sampel 0,!
240
500
0,4#
a. Selang kepercayaan untuk selisih dua proporsi &!F!S 3
III I
p1 p#1− 1 p$ % p#1− %$ #p1−p%$±0α C% + II
n1 n%
#0-6 − 0-*8$ ± Z 0- 05
#0-6 − 0-*8$ ± 1-6*5
0-6#0-*$ %00
+
0-6#0-*$ %00
0-*8#0-5%$
+
500
0-*8#0-5%$ 500
#0-1%$ ± 0-0678
/ : 005%% ! : 01878
b. !ji apakah ada perbedaan proporsi tentang pendapat 'arga kota dan kabupaten"
I •
arameter yang menjadi masalah adalah selisih dua proporsi
•
@ipotesa 3 H o 3 p1 − p%
=0
H 1 3 p1 − p %
≠0
I
#p1 − p% $
11
•
? :005
•
Statistik uji
I I
p1 − p%−δ o
Z =
II
1 1
p 0 + n1 n% I
p =
I
p =
x1 + x% n1 + n%
1%0 + %*0 ,60 = %00 + 500 700
060 − 0*8 − 0
Z =
,60 ,*0
1
700 700 %00 •
+
1
= %86
500
Daerah ritis 2olak @o apabila <-<αC% dan <<αC%
Z 0-0%5
= 1-96
arena Z = %-86 Z 0- 0%5 = 1-96 maka tolak @o • 4rtinya ada perbedaan proporsi pendapat 'arga kota dan kabupaten dengan ?:005 8. Diketahui dari sampel dua mesin potong sbb 3 •
Fesin 1 Fesin %
s1
=
s%
= 1-5
n1
%-,
= 1%
n% = 10
a. Selang kepercayaan 90 untuk ratio )arians #%-,$ % L = 1 #1−0-05$-#10 −1-1% −1$ %
#1-5$
L =
#%-,$ %
1
#1-5$ 1 #0-05$-#11-9$ %
1%
L =
# %,$ %
1
#15$
#,1,7, + ,07%9$ C %
%
/ =
/
S 1
s%
=
/ =
%
%
= 08,69
1 #α C %$#n −1n −1$ %
# %-,$ %
#1-5$ # %,$ %
#15$
%
1
1 #0-05$-#10−1-1%−1$
%
%896% = 6809,
4rtinya ratio )arian mesin 1 dan mesin % antara 08,69 sampai dengan 6809, dengan tingkat kepercayaan 090. b. !jilah apakah )arian kedua mesin tidak berbeda" %
•
arameter yang menjadi masalah ratio )arians
•
@ipotesa
σ 1
%
σ %
%
H o
3
σ 1
%
=1
σ % %
H 1
3
σ 1
%
>1
σ %
•
?:01
•
S242S2 !> %
1 =
1 =
•
S 1
%
S %
#%-,$ #1-5$
%
%
=
%-,5
Daerah ritis 2olak @o apabila
1 > 1 #0-1$-#10−1-1% −1$ = %-%7,5
%.%7,5
1,
1 #0-1$-#10− 1-1%−1$ = %-%7,5
•
esimpulan tolak @o karena J:%,5 >
•
4rtinya )arians mesin 1 lebih besar dibanding mesin %
Jawaban pernik persoalan bab 10 no. 21 X
$ 100 110 120 130 140 150 1!0 1&0 1#0 190 1%450
45 51 54 !1 !! &0 &4 &# #5 #9 !&3
X2 10%000 12%100 14%400 1!%900 19%!00 22%500 25%!00 2#%900 32%400 3!%100 21#%500
'ata-rata 'ata-rata
X $
145 !&,3
S) S S)) "
* * * *
a
*
39#5 #%250 1932,1 0,4#303 2,&3939
$
*
2,&3939
. 90/ untu "etha * 0,4#303 * 0,4#303
$2 2%025 2%!01 2%91! 3%&21 4%35! 4%900 5%4&! !%0#4 &%225 &%921 4&%225
X$
(X-X 4%500 2%025 5%!10 1%225 !%4#0 !25 &%930 225 9%240 25 10%500 25 11%#40 225 13%2!0 !25 15%300 1%225 1!%910 2%025 101%5&0 #%250
SS+ s
* *
1930,1&5 15,53293
* *
-9,5&5!1 10,541!&
0%4#303X
1,#! 1,#!
5,40&#&2 5,40&#&2
