Stabilnost konstrukcija, predavanja – predavanja – dr Ratko Salati ć ć
1
5. INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK
Razmatrajući problem štapa po teoriji drugog reda, u slučaju da je štap promenljivog poprečnog preseka, ili da je štap opterećen podužnim opterećenjem, dobija se integro-diferencijalna jednačina pravog štapa po teoriji drugog reda:
1 1 Δ
gde su:
ćenjem Slika 5.1: Štap sa proizvoljnim podužnim i popre č nim optere ć
Nepoznata veličina, ugib ose štapa nalazi se pod integralom i u diferencijalu, pa je dobijena jednačina integro-diferencijalna. Da bi se jednačina ovog tipa rešila, primeniće se numerički postupak primenom matematičke diskretizacije problema. Štap će se podeliti na delova dužine i uočiće se tačka, u kojima će se za nepoznate usvojiti vertikalna pomeranja ose štapa u diskretnim tačkama .
1 0, 0,1,2,…
,
Slika 5.2: Diskretizacija problema
1. Diferencijali se zamenjuju konačnim razilikama:
2
2
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć
2. Podeljeno opterećenje u i pravcu se zamenjuje ekvivalentnim sistemom koncentrisanih sila. Veličine sistema koncentrisanih sila određuju se iz uslova da su momenti savijanja u izabranim tačkama usled zadatog podeljenog opterećenja jednaki momentima usled koncentrisanih sila:
6 2, , 6 2, , 6, 4, , 6, 4, , 6 , 2, 6 , 2, 2 1 1 0, 1 , 2 , … 0, 1 , 2 , … 1 5 5 3 , , , , … , 3. Integrali se zamenjuju sumama:
Dobija se integro-diferencna jednačina pravog štapa po teoriji drugog reda:
Ovakva linearna jednačina može se napisati u svakoj tački usvojene podele , dakle ukupno jednačina. Na raspolaganju su još dva granična uslova na svakom kraju štapa, tako da je ukupno linearnih jednačina. Broj nepoznatih je takođe , jer ima nepoznatih ugiba i dve statičke napoznate i . Sila najčešće se može direktno odrediti iz uslova ravnoteže. U suprotnom, može se usvojiti da je , odnosno da je približno jednaka vrednosti po teoriji prvog reda, pa se dalji proračun odnosi na linearizovanu teoriju drugog reda. Kod primene integro-diferencnog postupka potrebno je razmotriti granične uslove na levom i desnom kraju štapa. Razlikuju se tri karakteristična granična uslova: slobodan, slobodno oslonjen i uklješten kraj štapa. a) Slobodan kraj
2
Sa i , odnosno na krajevima štapa.
i
2
označene su zadate brojne vrednosti momenata odnosno poprečnih sila
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć
3
b) Slobodno oslonjen kraj
0
c) Uklješten kraj
0 2 0
0 0 2 0
5.1 Problem stabilnosti
Pri razmatranju problema stabilnosti poprečno opterećenje i temperaturni uticaji su jednaki nuli, pa je:
∆0 0 0 0 22 1 1 0,1,2,… 0 1 0 5
tako da integro-diferencna jednačina sada glasi:
Kod problema stabilnosti granični uslovi su homogeni pa je: i Novodobijeni sistem on jednačina zajedno sa četiri homogena granična uslova predstavljaju homogen sistem od jednačina sa istim brojem nepozantih. Do kritičnog opterećenja za koji ovaj homogen sistem ma rešenja zazličita od trivijalnog, ili drugim rečima parametar kritičnog opterećenja se određuje iz uslova da je detereminanta sistema jednačina jednaka nuli. Primer 5.1
Primenom integro-diferencnog postupka i deleći gredu na tri dela odrediti kritičnu vrednost parametra opterećenja .
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć
4
Rešenje: Granični uslovi za : •
za
•
0
:
00 2 0 00 2 0
Koncentrisane sile
0. 6679012. 2 53.185 21790149 0.67901 6 4 1855 4 1694 19 0.80247 6 4 5118 9 9 00.24691 6 2 18 9 00.03086 0.01852 2.1.55 22 0 2 0 0· 2 3 0 0 0 2.1.55 22 0 2 0 3 0 31 3 0.80247 0.24691 1.50. 6383 2.30.50.0076790 0152 0 50.000495 50.06383 30. 0 7679 2 . 5 0. 0 0152 1 . 5 0. 0 0495 0 0.00491 0.5653511.250
Uvodi se oznaka i 3:
i postavlja jednačina integro diferencnog postupka u tačkama 1, 2
Ako se iskoriste veze koje slede iz grani čnih uslova: dobijaju se jednačine:
Iz treće jednačine izraziće se nepoznata
preko ostalih nepoznatih:
i dobiće se homogen sistem od dve jedna čine sa dve nepoznate:
Iz uslova da je determinanta sistema jednaka nuli: sledi jednačina:
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć
čija su rešenja:
pa je kritično opterećenje
89.25.5558948/ 25.58362
5
.
Primer 5.2
0.8
10/
Koristeći integro-diferencni postupak odrediti najmanju vrednost kritičnog opterećenja. Ako je i ako deluje jednakopodeljeno opterećenje , odrediti moment u sredini grede po teoriji drugog reda. ,
18
Moment inercije grede je definisan izrazom: Rešenje: Kritično opterećenje: Problem je simetričan, pa će se razmatrati samo polovina grede. •
0 00 0 /2 1.2.85752 2 0 0 2.3.8075 2 2 0 0 0 12 1.2.8575 2 2 0 0 34 2.3.8075·22 0 0
Granični uslovi: za za
Uvodi se oznaka
Ako se iskoristi da je
(iz uslova ravnoteže) (iz simetrije)
i postavlja jednačina integro diferencnog postupka u tačkama 1, 2, 3 i 4:
, sistem bi izgledao:
Dobijen je sistem od četiri jednačine sa četiri nepoznate:
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć
6
Kritično opterećenje određuje se iz uslova da je determinanta sistema jednaka nuli. Kako bi se izbeglo razvijanje determinante četvrtog reda, sistem od četiri nepoznate treba svesti na sistem od dve nepoznate i .
3.75 1 61.875 4 6 3.75 6 3.75 22.5 3.2751.875 6 6 1.6875 0 32.875 1.875 2 6 6 0 0. 5 3333 4.666667. 5 0. 4 16662. 5 1.533335. 75 0.16666 1.958332.875 0.08888 1.82220 11.28333 21.8757.18750 , 0.40944 2.82220 6.49592 10.77245 0.40944 20250 1.5 3684.96 0.8·3684.1.5962947. 9 68 10 0.32755 20250 1.11111· 60.0
Sređivanjem prethodnih izraza, za matricu sistema dobija se:
Iz uslova da je determinanta sistema jednaka nuli (det S = 0), dobija se jednačina četvrtog stepena po : čija su rešenja:
Odakle sledi i kritično opterećenje:
Moment u sredini grede:
Jednakopodeljeno opterećenje sila dobija se da je
zameniće se koncentrisanim silama. Iz uslova ravnoteže vertikalnih
12 1.2.85752 2 0.0.3275532755 78. 7 5 135 34 2.3·287520. 32755 0.32755 180 168. 75 3. 2.422455 4.1.68724575 2.05 00 0.0.00875 0 15 00 2.8075 5.462245 5.2.68724575 0.0.0187502 0.10208 0.18167 0.23145 0.24834
Moment u sredini grede je:
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć
6607. 5 154. 5 31. 5 2947. 9 68· 0 . 2 4834 912.098 , 220. 231450. 20250·3 1.5 24834 912.06
7
ili na drugi način:
Primer 5.3
1) Koristeći integro-diferencni postupak naći kritično opterećenje stuba. 2) Usvajajući da je naći dijagram momenata savijanja po teoriji drugog reda ako postoji horizontalno opterećenje . 3) Dobijeni dijagram uporediti sa dijagramom momenata savijanja po teoriji prvog reda.
0.7
Rešenje: 1) Granični uslovi su: za : za
0
:
00 00 2 0 00
Podeljeno aksijalno opterećenje se zamenjuje ekvivalentnim sistemom koncentrisanih sila:
6 2 66 · 9 0.11111 0.111115454.6111114 4 6 4 6 0 9 9 0.88888
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć
8
6 4 64 66 19 49 1.55556 6 2 6 9 22.44444 0.00018 2 0 0 0 23 22 0 , , 1 2 0 2 4 0 6 0 2 528. 94444 0 10 54.154.11111 11111 528.54.914444 111120.858889 28.94444 0 62.88889 0 11111 1566.25.722842 15787.328.333346 4444390 154.54.11111 18195.03627 818.9999960 86141. 8 6772 0.1515 0.050643 0.009078 50.43333 / 0.7 0.7 ·50.4333335.30333/ . 54.0.818889 11110.54.88889· 11111·35.335.033331. 303331910.38078/ 30237/ 1.2.545556 2. 8 8889· 3 5. 3 0333101. 9 8744/ 4444 2.44444·35.3033386.29687/
Sada pišemo jednačine integro-diferencnog postupka za tačke 1, 2 i 3 uz uvo đenje veličine :
Kada se u jednačine ubace veze koje slede iz graničnih uslova: dobija se:
Zatim se sređivanjem dobija:
Kada se uvede oznaka
dobijaju se jednačine:
pa je sistem linearnih algebarskih jednačina:
Odakle sledi da je kriti čna vrednost parametra opterećenja:
2) Parametar podužnog opterećenja je:
Podužno opterećenje se zamenjuje ekvivalentnim sistemom koncentrisanih podužnih sila:
Jednakopodeljeno poprečno opterećenje se zamenjuje ekvivalentnim sistemom koncentrisanih poprečnih sila:
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć
6 2 66 2 ·101030 6 4 666 1 04· 1 01060 6 4 6 6 1 04·101060 6 2 6 2 ·1010 30 0.00018 22 2 3 2 0.0.6356154385 1.1.9694355615 3.1.650500 180 720 0.34385 0.00565 5.98164 1620 5249. 621352 0. 944493 2318. 2139 0. 1728 574.78845 0.10346 2 1187. 9 7105 2337. 3 1005 3448.74821
Kada se uvede veli čina su:
9
, jednačine integro-diferencnog postupka za tačke 1, 2 i 3
Nakon sređivanja dobija se linearni sistem jednačina po nepoznatim poprečnim pomeranjima:
Veza između momenata savijanja i ugiba, napisana preko kona čnih razlika, glasi: Odakle nalazimo vrednosti momenata savijanja u tačkama 1, 2 i 3:
tačka i 0 1 2 3
momenti savijanja teorija I reda teorija II reda 0.0 0.0 -180 -1187.97105 -720 -2337.31005 -1620 -3448.74821
Literatura
1. Đurić M., Stabilnost i dinamika konstrukcija, Građevinski fakultet, Beograd 1977. 2. Ranković S. i Ćorić B., Stabilnost konstrukcija – Zbirka rešenih zadataka sa kraćim izvodima iz
teorije, Naučna knjiga, Beograd 1983.
