TEORI PELUANG
1.
PERCOBAAN
Dalam hal membicarakan kejadian dan peluang, kita tidak dapat melepaskan diri dari pengertian percobaan (eksperimen) yang menghasilkan hasil ya yang tidak pasti . Artinya Artinya apabil apabilaa kita kita melakuk melakukan an percoba percobaan an yang yang sama sama dengan dengan cara cara diulan diulang-u g-ulang lang belum belum tentu tentu mendapatkan hasil yang yang sama, tetapi kita dapat menarik kesimpulan yang cukup baik dari hasil percobaan percobaan tersebut. Dalam hal ini melakukan suatu percobaan, kita akan menjumpai
beberapa istilah yang dipakai dipak ai antara lain, ruang sampel, titik sampel, kejadian dan frekuensi relatif. Untuk itu kita mempunyai mempun yai definisi-definisi berikut :
Definisi 1.
adalah himpuna himpunan n yang yang unsurunsur-uns unsurny urnyaa merupa merupakan kan hasil hasil yang yang Ruang Ruang sampel sampel adalah mungkin dari suatu percobaan. Unsur-unsur dari suatu ruang sampel dinamakan titik sampel.
Definisi 2. Kejaian adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel.
C!n"!#
.
.
!ercobaan
: "ata uang dilempar
#asil
: $ambar atau angka
%uang sampel
: &$ambar , Angka'
ejadian A
: "uncul gambar &gambar' atau muncul angka &angka'
!ercobaan
: Dadu dilempar
#asil
: "a "ata dadu yang tampak di atas
%uang sampel
: &,,*,+,,'
ejadian A
: An Angka genap tampak & , + , '
*.
!ercobaan
: ep epuluh kartu dengan nomor sampai / dikocok, lalu diambil sebuah.
#asil
: , , * , + , , , 0 , 1 , 2 at a tau / terambil
%uang sampel
: & , , * , + , , , 0 , 1 , 2 , / '
ejadian A
: artu dengan nomor lebih kecil dari terambil. & , ,* ,+ '
ejadian 3
: artu dengan nomor yang habis dibagi * terambil. &* ,,2 '
$REKUEN%I RELATI$
Andaikan Andaikan kita melemparkan melemparkan mata uang sebanyak sebanyak sepuluh sepuluh kali, dan misalkan misalkan pula bah4a hasil yang diperoleh adalah + gambar, ini berarti bah4a gambar muncul sebanyak + kali kali dari dari sepu sepulu luh h kali kali pelem pelempa paran ran.. #asi #asill bagi bagi antar antaraa keja kejadi dian an yang yang munc muncul ul deng dengan an banyaknya percobaan selanjutnya disebut frekuensi relatif. ecara lebih umum frekuensi relatif dapat didefinisikan sebagai berikut. Definisi &
5rekuensi relatif dari suatu kejadian A adalah f rel
=
banyaknya kejadian A muncul banyaknya percobaan
6atatan : adang-kadang frekuensi relatif dinyatakan terhadap prosen
C!n"!#
.
Dari Dari / kal kalii pele pelemp mpar aran an mat mataa uang uang ter terny nyata ata didap didapat at bah bah4a 4a + + kali kali munc muncul ul gam gamba barr. 7entukan 7entukan : a. 5rekuensi relatif dari munculnya gambar. gambar. b. 5rekuensi relatif dari munculnya angka 'a(a) *
a. arena arena gambar gambar muncul muncul + kali kali dari dari / kali pelemparan pelemparan maka f rel rel 8 +9/ 8 /,+1 atau f rel rel 8 +1 b. ;elas bah4a angka yang muncul adalah kali, jadi f rel 8 9/ 8 /, atau f rel rel 8 . 5rekuensi relatif dari angka yang muncul dapat juga ditentukan dari < /,+1 8 /,
*.
!ercobaan
: ep epuluh kartu dengan nomor sampai / dikocok, lalu diambil sebuah.
#asil
: , , * , + , , , 0 , 1 , 2 at a tau / terambil
%uang sampel
: & , , * , + , , , 0 , 1 , 2 , / '
ejadian A
: artu dengan nomor lebih kecil dari terambil. & , ,* ,+ '
ejadian 3
: artu dengan nomor yang habis dibagi * terambil. &* ,,2 '
$REKUEN%I RELATI$
Andaikan Andaikan kita melemparkan melemparkan mata uang sebanyak sebanyak sepuluh sepuluh kali, dan misalkan misalkan pula bah4a hasil yang diperoleh adalah + gambar, ini berarti bah4a gambar muncul sebanyak + kali kali dari dari sepu sepulu luh h kali kali pelem pelempa paran ran.. #asi #asill bagi bagi antar antaraa keja kejadi dian an yang yang munc muncul ul deng dengan an banyaknya percobaan selanjutnya disebut frekuensi relatif. ecara lebih umum frekuensi relatif dapat didefinisikan sebagai berikut. Definisi &
5rekuensi relatif dari suatu kejadian A adalah f rel
=
banyaknya kejadian A muncul banyaknya percobaan
6atatan : adang-kadang frekuensi relatif dinyatakan terhadap prosen
C!n"!#
.
Dari Dari / kal kalii pele pelemp mpar aran an mat mataa uang uang ter terny nyata ata didap didapat at bah bah4a 4a + + kali kali munc muncul ul gam gamba barr. 7entukan 7entukan : a. 5rekuensi relatif dari munculnya gambar. gambar. b. 5rekuensi relatif dari munculnya angka 'a(a) *
a. arena arena gambar gambar muncul muncul + kali kali dari dari / kali pelemparan pelemparan maka f rel rel 8 +9/ 8 /,+1 atau f rel rel 8 +1 b. ;elas bah4a angka yang muncul adalah kali, jadi f rel 8 9/ 8 /, atau f rel rel 8 . 5rekuensi relatif dari angka yang muncul dapat juga ditentukan dari < /,+1 8 /,
* .
ebua ebuah h dadu dadu dile dilemp mpar arkan kan // // kali kali,, kemu kemudia dian n has hasil ilny nyaa didap didapat at seba sebaga gaii ber berik ikut ut "ata dadu f rel rel
/ , +
/,1
* /,1
+ /,
/,
/, 2
7entukan 7entukan : a. 5rekuensi relatif munculnya = mata dadu genap = b. 5rekuensi relatif munculnya = mata dadu lebih kecil dari + = c. 5rekuensi relatif munculnya = mata dadu lebih kecil dari * = 'a(a)
a. = "ata "ata dadu dadu genap genap = adal adalah ah & ', atau atau & + ', atau atau & ' ;adi frekuensi relatifnya adalah f rel rel 8 /,1 > /, > /,2 8 /,* b. = "ata dadu lebih kecil dari + = adalah & ', atau & ', atau & * ' ;adi frekuensi relatifnya adalah f rel rel 8 /,+ > /,1 > /,1 8 /,/ c. = "ata "ata dadu dadu lebih lebih kecil kecil dari dari * adala adalah h & ' atau atau & ' ;adi frekuensi relatifnya adalah f rel rel 8 /,+ > /,1 8 /,*
2.
PELUANG +P +PROBABILITA%,
Apabila percobaan yang dilakukan cukup banyak maka frekuensi relatifnya akan mendekati mendekati suatu bilangan bilangan tertentu, bilangan tertentu tertentu tersebut tersebut disebut peluang dari suatu kejadian. Definisi yang lebih sederhana dari suatu peluang adalah sebagai berikut : Definisi -
!eluang dari suatu kejadian A adalah
P ( A)
=
banyaknya kejadian A yang terjadi
=
N ( A)
banyaknya kejadian yang muncul N ( S )
ejadian A berpeluang sama dengan kejadian lainnya.
!ada definisi di atas yang dimaksud dengan tidak lain sebenarnya adalah ruang sampel. elanjutnya kita telah mengetahui bah4a A ⊂ , akibatnya kita dapatkan harga dari !(A) memenuhi sifat / ≤ !(A) ≤ . Apabila !(A) 8 / ini berarti kejadian A tidak pernah terjadi (kemustahilan), dan apabila !(A) 8 ini berarti kejadian A past pastii terjadi (kepastian).
+ C!n"!# 1.
"isalkan A 8 kejadian bah4a setiap orang akan mati. 3 8 kejadian bah4a setiap orang tidak akan mati. "aka !(A) 8 dan !(3) 8 /
2.
ebuah mata uang dilempar. A adalah kejadian gambar muncul 3 adalah kejadian gambar tidak muncul 7entukan 7entukan : a. !(A)
?
b. !(3)
'a(a)
a.
%uang sampel 8 hal yang mungkin kin terjadi 8 & gambar , angka ' 8 A 8 kejadian gambar muncul 8 & gambar ' N ( A) ;adi !(A) 8 N ( S )
b.
@(A) 8
=
3 8 kejadian gambar tidak muncul 8 kejadian angka muncul 8 & angka '
N ( B ) ;adi !(3) 8 N ( S ) &.
@(3) 8
=
ebuah dadu dilempar A 8 ejadian dadu mata 3 8 ejadian dadu mata genap 6 8 ejadian dadu mata lebih kecil dari D 8 ajadian dadu mata lebih besar dari + 7entukan 7entukan : a. !(A) ? b. !(3) ? c. !(6) ? d. !(D) 'a(a)
8 ruang sampel 8 kejadian yang mungkin 8 & , , * ,+ , , '
@() 8
a. A 8 kejadian dadu mata 8 & ' ;adi !(A) 8 9
@(A) 8
@() 8
b. 3 8 kejadian dadu mata genap 8&,+,'
@(3) 8 *
;adi !(3) 8 *9 8 c. 6 8 kejadian dadu dengan mata lebih kecil dari 8&,,*,+'
@(6) 8 +
;adi !(6) 8 +9 8 9* d. D 8 kejadian dadu mata lebih besar dari + 8&,'
@(D) 8
;adi !(D) 8 9 8 9*
Dari contoh * di atas apabila Ac adalah kejadian yang bukan A, maka kejadian bukan A dapat ditulis & , , * , + , ', @(Ac) jadi !(Ac) 8 9. 3erarti kita dapat bah4a !(Ac) 8 < !(A) 8 < 9 8 9, sehingga kita akan mempunyai dalil berikut.
Dalil 1
Apabila A adalah suatu kejadian yang terjadi dan Ac adalah suatu kejadian dimana A tidak terjadi, maka !(A) > !(Ac) 8 atau !(Ac) 8 < !(A)
C!n"!#
Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama, berapa besar peluang mata dadu yang muncul tidak berjumlah /. 'a(a)
8 ruang sampel 8 & (,),(,),(,*),(,+),(,),(,), BBBBBBB., (,) ' adalah * buah titik titik sampel, @() 8 *. "isalkan A 8 kejadian mata dadu yang muncul berjumlah / 8 & (+,) , (,) , (,+) '
@(A) 8 *
!(A) 8 *9* 8 9 Akibatnya peluang mata dadu yang muncul tidak berjumlah / adalah : !(Ac) 8 < !(A) 8 < 9 8 9
&.
$REKUEN%I ARAPAN
7elah diketahui bah4a apabila sebuah mata uang dilemparkan, maka peluang dari gambar yang tampak . ;adi apabila kita melakukan pelemparan sebanyak / kali kita mengharapkan bah4a gambar yang tampak pada pelemparan tersebut sebanyak kali. Demikian seterusnya apabila kita melakukan pelemparan sebanyak / kali, kita mengharapkan bah4a gambar yang tampak ada kali. 3anyaknya gambar yang diharapkan muncul pada persoalan di atas dinamakan frekuensi harapan. ecara umum kita mempunyai definisi berikut. Definisi /
5rekuensi harapan dari suatu kejadian adalah hasil kali dari peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan. ;adi f # 0 .P+A, dimana k banyaknya percobaan
C!n"!# 1.
ebuah dadu dilempar sebanyak *// kali. a. 7entukan frekuensi harapan bah4a mata dadu yang muncul adalah b. 7entukan frekuensi harapan bah4a mata dadu yang muncul lebih kecil dari +.
'a(a)
a. !eluang dadu mata muncul adalah !() 8 9 ;adi frekuensi harapan f h 8 *//. 9 8 / kali. b. !eluang dadu dengan mata lebih kecil + adalah !(,,*) 8 *9 8 ;adi frekuensi harapan adalah f h 8 *//. (9) 8 / kali
.
Apabila peluang seorang bayi terkena penyakit polio adalah /,0. 3erapa bayikah yang diperkirakan terkena penyakit polio diantara // bayiC.
'a(a)
5rekuensi harapan adalah f h 8 // . (/,0) 8 /+ ;adi banyaknya bayi yang diperkirakan terkena penyakit polio adalah /+ orang.
0 &.
PELUANG DARI BEBERAPA KE'ADIAN
!ada bagian ini kita akan melihat bagaimana caranya menentukan suatu peluang dari beberapa kejadian antara lain kejadian-kejadian yang saling lepas dan kejadian-kejadian yang saling bebas.
Definisi
Dua buah kejadian A dengan 3 dikatakan saling lepas, jika A ∩ 3 8 ∅ Dari teori himpunan telah diketahui bah4a ban yak unsur dari A ∪ 3 adalah : @(A ∪ 3) 8 @(A) > @(3) < @(A ∩ 3) dan apabila A dan 3 merupakan himpunan-himpunan lepas, maka A ∩ 3 8
∅ akibatnya
didapat bah4a @(A ∪ 3) 8 @(A) > @(3). elanjutnya dengan melihat definisi suatu peluang maka didapatkan bah4a :
N ( A ∪ B) N ( S )
=
N ( A) N ( S )
+
N ( B) N ( S )
!(A ∪ 3) 8 !(A) > !(3)
;adi sekarang diperoleh dalil berikut
Dalil 2
Apabila A dan 3 adalah kejadian-kejadian yang saling asing, maka P+A a"au B, 0 P+A, 3 P+B,
C!n"!#
.
ebuah dadu dilemparkan, apabila A 8 kejadian dadu mata muncul 3 8 kejadian dadu dengan mata lebih kecil dari * muncul 6 8 kejadian dadu dengan mata bilangan prima 7entukan : a. !eluang dari dadu mata atau lebih kecil dari * muncul b. !eluang dari dadu mata atau bilangan prima muncul
1 'a(a)
a. !eluang dadu mata adalah !(A) 89 !eluang dadu dengan mata lebih kecil dari * adalah : !(3) 8 !(,) 8 9 8 9* Akibatnya peluang dari dadu mata atau lebih kecil dari * adalah !(A atau 3) 8 !(A) >!(3) 8 9 > 9* 8 b. !eluang dari mata dadu bilangan prima adalah !(6) 8 !(,*,) 8 *9 8 ;adi peluang dari mata dadu atau bilangan prima adalah !(A atau 6) 8 !(A) > !(6) 8 9 > 8 9* Dari contoh di atas dapat dilihat bah4a 3 dan 6 tidak saling lepas, karena mempunyai unsur sekutu yaitu . . .
artu bridge dikocok, kemudian diambil secara acak. a. 3erapakah peluang kartu Ace atau ing terambil b. 3erapakah peluang kartu Ace atau ing 4arna merah terambil c. 3erapakah peluang kartu Ace merah atau ing hitam terambil
'a(a)
a.
"isalkan bah4a A 8 kejadian kartu Ace terambil ;adi !(A) 8 +9 8 9* 3 8 kejadian kartu ing terambil ;adi !(3) 8 +9 8 9* Akibatnya peluang kartu Ace atau ing terambil adalah !(A atau 3) 8 !(A) > !(3) 8 9* > 9* 8 9*
b.
"isalkan bah4a
2 6 8 kejadian kartu ing 4arna merah terambil ;adi !(6) 8 9 8 9 Akibatnya peluang kartu Ace atau ing 4arna merah terambil adalah !(A atau 6) 8 !(A) > !(6) 8 9* > 9 8 *9
c.
!(Ace merah atau ing hitam) 8 !(Ace merah) > !(ing hitam) 8 9 > 9 8 *9
*.
KE'ADIAN %ALING BEBA%
ebelum membicarakan kejadian-kejadian yang saling bebas kita perhatikan masalah kejadian berikut. "isalkan dua buah dadu dengan 4arna merah dan putih dilempar, telah kita ketahui bah4a ruang sampel dari pelemparan dadu tersebut mempunyai * unsur yang merupakan pasangan-pasangan dari mata dadu yang disajikan pada tabel berikut : Dadu merah
Dadu putih
* +
(,) (,) (*,) (+,) (,) (,)
(,) (,) (*,) (+,) (,) (,)
* (,*) (,*) (*,*) (+,*) (,*) (,*)
+ (,+) (,+) (*,+) (+,+) (,+) (,+)
(,) (,) (*,) (+,) (,) (,)
(,) (,) (*,) (+,) (,) (,)
elanjutnya apabila A adalah kejadian dadu merah dengan mata + dan 3 adalah kejadian dadu putih dengan mata *, maka kita dapatkan dari tabel tersebut bah4a !(A) 8 !(+ merah) 8 9* 8 9. edangkan !(3) 8 !(* putih) 8 9* 8 9. emudian kita lihat pula bah4a !(A dan 3) adalah !(* putih dan + merah) 8 !(*,+) 8 9*. Dari keadaan di atas kita dapat menyimpulkan bah4a !(A dan 3) 8 !(A).!(3) asalkan kejadian A dan 3 bebas satu dengan yang lain. Dari contoh di atas kita dapat merasakan bah4a peluang munculnya + merah tidak dipengaruhi oleh peluang munculnya * putih.
/
Definisi 4
3ila A dengan 3 kejadian-kejadian yang saling bebas, maka !(A dan 3) 8 !(A).!(3)
C!n"!#
.
Dengan menggunakan daftar hasil pelemparan dua buah dadu merah dan putih, tentukanlah : a. !( putih dan merah) b. !(* putih dan * merah) c. !( putih dan merah) d. !(putih dan dadu merah lebih kecil dari *) 'a(a)
a.
!( putih) 8 9*8 9 !( merah) 8 9* 8 9 ;adi !( putih dan merah) 8 !( putih) . !( merah) 8 9.9 8 9*
b.
!(* putih) 8 9* 8 9 !(* merah) 8 9* 8 9 ;adi !(* putih dan * merah) 8 !(* putih).!(* merah) 8 9.9 8 9*
c.
!( putih) 8 9* 8 9 !( merah) 8 9* 8 9 ;adi !( putih dan merah) 8 !( putih).!( merah) 8 9.9 8 9*
d.
!(dadu merah lebih kecil dari *) 8 !( merah atau merah) 8 !( merah) > !(merah) 8 9* > 9*
8 9* ;adi !( putih dan dadu merah lebih kecil dari *) 8 !( putih). !(dadu merah lebih kecil dari *) 8 (9).(9*) 8 91
.
ebuah mata uang dan sebuah dadu dilemparkan bersamaan. a. b. c. d. e.
3uatlah daftar untuk ruang sampel 7entukan !(angka) 8 !(A) 7entukan !() 7entukan !( dan angka) 8 !(, A) 7entukan !(mata dadu prima dan angka)
;a4ab : a.
Dadu
mata uang
$ A
* + ($,) ($,) ($,*) ($,+) (A,) (A,) (A,*) (A,+) ;adi ruang sampel terdiri dari
b.
!(A) 8 9 8
c.
!( ) 8 9 8 9
d.
!( , A) 8 !() . !(A) 8 9 .
($,) (A,)
($,) (A,)
8 9 e.
!(mata dadu prima) 8 !( atau * atau ) 8 !() > !(*) > !() 8 *9 8 ;adi : !(mata dadu prima dan angka) 8 !(mata dadu prima) . !(angka) 8 . 8
KE'ADIAN TAK BEBA% +BER%5ARAT,
!probabilitas bersyarat pada dasarnya probabilitas tentang kejadian yang bersyarat artinya yang tidak berdiri sendiri akan tetapi ditentukan atau terikat oleh kejadian
sebelumnya misalnya seorang mahasis4a akan berpesta jika ia lulus ujian, hasil penjualan akan meningkat jika kegiatan promosi juga meningkat, prestasi kerja akan meningkat jika gaji juga meningkat dan lain-lain. !robabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat bah4a 3 sudah terjadi atau akan terjadi disebut probabilitas bersyarat (conditional Probability), atau biasa ditulis !(A93).
C!n"!#
.
"isalkan jumlah seluruh mahasis4a suatu UniEersitas ( atau @) sama dengan /./// orang. #impunan A me4akili ./// mahasis4a lama (a). #impunan 3 me4akili *.// mahasis4a putri (b). sedangkan 1// dari *.// mahasis4a putri merupakan mahasis4a lama (c). A dan 3 masing-masing merupakan himpunan bagian dari . ita memilih satu orang mahasis4a secara acak9random, maka kejadian bersyarat (A93) adalah kejadian yang me4akili mahasis4a lama dengan syarat bah4a mereka putri. !(A93) 8 probabilitas bersyarat untuk menja4ab pertanyaan diketahui mahasis4a yang terpilih putri, berapa probabilitasnya bah4a mahasis4a tersebut mahasis4a lama. !(A93) 8 c 9 b 8 1//9*// 8 /,* (merupakan proporsi mahasis4a lama putri dengan seluruh mahasis4a putri). ejadian bersyarat (A93) berarti kejadian yang me4akili mahasis4a putri dengan syarat bah4a mereka mahasis4a lama. !(39A) 8
probabilitas bersyarat untuk menja4ab pertanyaan? diketahui mahasis4a
yang
terpilih
mahasis4a
lama,
berapa
probabilitasnya bah4a mahasis4a tersebut putri, atau !(A93) 8 probabilitas terjadinya 3 dengan syarat A terjadi 8 probabilitas bah4a yang tepilih mahasis4a putri dengan syarat bah4a mahasis4a tersebut mahasis4a lama.
!(39A) 8 ! (mahasis4a putri 9 lama) c9a
8 1//9/// 8 /,+/
* ;ika dinyatakan dalam diagram, bentuknya adalah sebagai berikut :
8/./// seluruh mahasis4a (@) A8/// mahasis4a lama (a)
*//
//
1//
A
0//
3 38*// mahasis4a putri (b)
mahasis4a putri lama c 8 1// A 3
c
Dari diagram tersebut kelihatan bah4a !(A ∩ 3) 8 N 1//
8 //// 8 /,/1 8 1 Apabila dari /./// mahasis4a tersebut dipilih satu secara acak, berapakah probabilitasnya bah4amahasis4a tersebut mahasis4a lama dengan syarat putri. !(A93) 8 !(lama 9 putri)
c P ( A ∩ B) P ( B)
= N = b
c b
N
8 1//
8 *//
= /,*
Dengan argumentasi yang sama, probbilitas bah4a mahasis4a yang terpilih secara acak tersebut mahasis4a putri dengan syarat bah4a harus juga mahasis4a lama, maka !(39A) 8 !(putri 9 lama)
+ c P ( A ∩ B )
= N = a
P ( A)
c a
N
8 1//
8 ///
= /,+/
!ada umumnya probabilitas bersyarat dirumuskan sebagai berikut : P ( A 9 B ) =
P ( A ∩ B) P ( B )
. P ( B 9 A) =
P ( A ∩ B)
. Dengan demikian : P+A
.
P ( A) B, 0 P+A,.P+B6A, 0 P+B,.P+A6B,
"asih pelemparan dua dadu merah dan putih. 7entukan probabilitas bah4a " 8 , jia " > ! F + 'a(a)
" 8 mata dadu merah yang muncul pada sisi atas, ! 8 mata dadu putih yang muncul pada sisi atas. #asil pelemparan dua dadu yang menghasilkan " 8 adalah : A 8 & (,) , (,) , (,*) , (,+) , (,) , (,) ' #asil lemparan dua dadu yang menghasilkan " > ! F + adalah : 3 8 & (,) , (,) , (,) ' Gleh karena kita ingin mengetahui probabilitas bah4a kejadian A terjadi dengan syarat jika 3 terjadi. "aka A ∩ 3 8 & (,) , (,) ' ;adi
!(A) 8 9* 8 9 !(3) 8 *9* 8 9 !(A ∩ 3) 8 9* 8 91 P ( A 9 B ) =
P ( A ∩ B ) P ( B)
1
=
*
8
-.
PE7AKAIAN PER7UTA%I DAN KO7BINA%I -.1
PER7UTA%I
!ersoalan permutasi merupakan persoalan pengaturan untuk menyusun suatu himpunan objek. "isalnya ada berapa cara (urutan) jika ada / orang antri dimuka loket untuk membeli karcis bioskop, berapa nomor mobil dapat dibuat jika nomor tersebut merupakan kombinasi huruf dan angka, katakan huruf diikuti * angka. !ertanyaan ini sangat sering terjadi untuk memecahkan persoalan probabilitas. ita ingin mencari suatu prinsip umum yang memungkinkan kita untuk dapat menja4ab pertanyaan tentang pengaturan suatu himpunan objek menurut urutan tertentu. 6ontoh : Ada berapa cara kita bisa menyusun * buku dengan tanda A, 3 dan 6 dalam suatu rak buku. emungkinan urutan buku tersebut adalah : A36, A63, 3A6, 36A, 6A3, 63A. ;adi ada cara atau merupakan hasil perkalian dari * H H !rinsip perkalian memberikan metode umum untuk mencari banyaknya permutasi dari himpunan suatu objek. Untuk suatu tipe persoalan penting metode ini dapat disingkat dengan mempergunakan simbol dan rumus seperti : %im)!l $a"!8ial
(i)
* orang dapat diatur dalam antrian sebanyak * H H cara 8 cara
(ii)
/ buku dapat diatur dalam suatu rak buku sebanyak / H 2 H 1 H BB H cara
(iii)
!ada umumnya n objek dapat disusun sebanyak n (n < )(n < )BBB () cara
Definisi tentang faktorial . asil ali dari seluruh bilangan s9d n disebut faktorial
dan ditulis n9 ( dibaca n faktorial) ;adi n I 8 n(n < )(n < ) BB.. () 8 n(n < )I
6atatan :
/I 8 I 8 , nol faktorial sama denga satu faktorial I 8 . 8
*I 8 *.. 8 +I 8 +.*.. 8 + I 8 .+.*.. 8 / , dan seterusnya ;adi
nI
8 n(n < )I
/I 8 /(2)I //I 8 //(22)I atau (n > )I 8 (n > ).nI
;umlah permutasi dari n objek yang berbeda diambil seluruhnya sekaligus diberi simbol
P nn
n
P n
;adi
8 nI
n
Definisi tentang P r adalah banyaknya atau jumlah permutasi dari n objek diambil r objek setiap kali tanpa pengulangan adalah : P r n
=
nI ( n − r ) I
C!n"!#
.
3erapa cara anda bisa menyusun huruf yang diambil dari kata JKUA7LG@ ;a4ab Dari kata JKUA7LG@ terdiri dari 2 huruf yang berbeda ;adi ada n 8 2 dan r 8 P r n
=
P 2
=
nI ( n − r ) I 2I (2 − ) I 2I
8
+I
=
2.1.0.-..+.*.. +.*..
8 2.1.0.. 8 ./
.
3erapakah banyak bilangan yang terdiri atas tiga angka yang disusun dari himpunan A8&,,*,+ ,' ;a4ab :
0 3anyak bilangan merupakan permutasi unsur yang disusun * per *. P r n
=
P *
=
nI ( n − r ) I I ( − *) I
=
.+.*.. .
8 /.
-.2.
Pe8mu"asi a8i unsu8 :ang sama
;ika dalam permutasi n unsur yang disusun r per r terdapat k buah unsur yang sama maka banyak permutasi yang berlainan dapat ditentukan dengan rumus : P =
P r n k I
=
nI ( n − r ) I k I
%umus ini dapat diperluas, misalnya jika dalam permutasi itu terdapat k buah unsur yang sama, l unsur yang sama, m unsur yang sama, dan seterusnya, sehingga banyak permutasi dapat ditentukan dengan rumus : P =
P r n k I l I mI
=
nI (n − r ) I k I l I mI
6ontoh .
3erapakah
banyaknya
permutasi
yang
disusun
*-*
dari
kata
;G$MAA%7A C ;a4ab 3anyak unsur dalam kata ;AA%7A adalah n 8 / 3anyak unsur yang sama adalah k 8 *, yaitu huruf A 3anyak permutasi yang disusun *-* berarti r 8 * adalah P =
P r n k I l I mI P =
8
=
nI (n − r ) I k I l I mI
/ I (/ − *) I*I
=
/.2.1.0.-..+.*.. 0.-..+.*...*..
8 / .
3erapakah banyaknya permutasi yang disusun +-+ dari kata 7A7L7LA C ;a4ab 3anyak unsur dalam kata 7A7L7LA adalah n 8 /
1 3anyak unsur yang sama adalah k 8 , yaitu huruf , l 8 * yaitu huruf 7, m 8 , yaitu huruf L, N 8 , yaitu huruf A. 3anyak permutasi yang disusun +-+ berarti r 8 + adalah P =
P r n k I l I mI
=
nI (n − r ) I k I l I mI
/ I
8
( n − +) I I *I I I
=
/.2.1.0.-..+.*.. -..+.*.....*......
8 /
-.&
KO7BINA%I
7elah kita ketahui bah4a banaknya cara untuk menyusun huruf dari hurufhuruf A, 3, dan 6 adalah permutasi dari *, yaitu cara. ita perhatikan susunan huruf-huruf tersebut adalah : A3 , A6 , 3A , 36 , 6A , 63. Dari urutan diatas dapat dilihat bah4a A3, A6, dan 36 tidak sama dengan 3A, 6A dan 63. 7etapi apabila A3 8 3a, A6 8 6A dan 36 8 63, maka banyaknya susunan sekarang menjadi * buah. Dengan kata lain banyaknya cara untuk menyusun huruf dari * huruf A, 3, dan 6 dengan urutan tidak diperhatikan ada * cara. 6ara menyusun kejadian demikian dinamakan sebuah kombinasi . ecara umum kita mempunyai definisi berikut :
Definisi ;
3anyaknya cara untuk menyusun r buah unsur dari n buah unsur yang berbeda urutan tanpa diperhatikan dinamakan kombinasi r dari n unsur ditulis dengan
C r n , dimana : C r n
=
nI (n − r )I r I
? k ≤ n
6ontoh .
Ada berapa cara untuk menyusun * buah huruf dari huruf-huruf A, 3, 6, D dan J dengan urutan tidak diperhatikan.
2 ;a4ab n8?r8* C r n
=
C *
=
nI (n − r )I r I I ( − *)I *I
? k ≤ n
=
.+.*.. ..*..
8 /
.
ebuah kotak berisi 0 buah bola yang diberi nomor dari sampai 0. 3erapakah peluang + bola yang diambil secara acak mempunyai nomor , *, dan . ;a4ab arena urutan bola tidak diperhatikan, maka persoalan ini merupakan kombinasi + dari 0, jadi : C +0
=
0I (0 − +)I +I
=
0I *I +I
0.-.
8 *.. 8 * arena banyaknya cara yang mungkin ada * cara, berarti peluang bola yang diambl bernomr , *, dan adalah 9*.
*.
uatu kotak berisi 1 bola merah (1 "), * putih (* !), dan 2 biru (2 3). Apabila * bola dipilih secara acak hitung probabilitas bah4a : a.
etiga-tiganya merah ("""*)
b.
etiga-tiganya putih (!!!*)
c.
Dua merah satu putih
d.
!aling sedikit satu putih
e.
"asing-masing 4arna di4akili
f.
#asilnya mempunyai urutan : merah, putih, biru ("!3*)
;a4ab a.
6ara pertama :
/ ",","* 8 pengambilan pertama, kedua, ketiga mendapatkan bola merah !("""*) 8 !(").!("9").!("*9"") 1
.
0
.
-
8 / 2 1 +
8 1 6ara kedua : banyaknya kombinasi * dari 1 merah banyaknya kombinasi * dari / bola
!("""*) 8
C *1 / C * 8
+
8 1
b.
6ara pertama : !(!!!*) 8 !(!).!(!9!).!(!*9!!) *
.
.
8 / 2 1
8 +/ 6ara kedua : banyaknya kombinasi * dari * putih !(!!!*) 8
banyaknya kombinasi * dari / bola C ** / *
8 C
8 +/
C 1 .C * c.
/ C * !( merah dan putih) 8
0 8 2
C *0 d.
/ !(tak ada yang putih) 8 C *
*+
8 0 *+
!(paling sedikit putih) 8 - 0 *
8 0 C 1 . C * . C 2 e.
C */
!(setiap 4arna di4akili) 8
1 . *. 2
8
/ .2 .1
* 8 2 f.
#asilnya sama dengan e !("!3*) 8 !(").!(!9").!(3*9"!) 1
.
*
.
2
8 / 2 1 * 8 2
/.
Untuk menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik secara lebih sederhana, kita menggunakan apa yang disebut sebagai Eariabel acak. Oariabel acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan. @ilai-nilai numerik tersebut bersifat diskrit (hasil hitungan) dan bersifat kontinu (hasil pengukuran), maka Eariabel acak dapat dikelompokan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu.
/.2
Oariabel acak diskrit hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu yang terpisah, yang umumnya dihasilkan dari penghitungan suatu objek. 7abel berikut ini memperlihatkan beberapa contoh Eariabel diskrit.
!enjualan mobil
;enis kelamin pembeli
!enelitian terhadap / produk baru !encatatan pengunjung restoran pada suatu hari
;umlah produk yang rusak
emungkinan @ilai Oariabel Acak jika laki-laki jika perempuan /, , , BBB , /
;umlah pengunjung
/, , , *, BBB
!ercobaan
Oariabel Acak
"isalkan percobaan melempar sebuah mata uang, maka kita dapatkan !($) 8 dan !(A) 8 . ;ika kita hitung banyak muka $ yang nampak (nampak Angka) 8 / $ dan nampak $ 8 $, kemudian kita misalkan banyak nampak $ diberi simbol P, maka nampak Angka P 8 / dan nampak $ambar P 8 , sehingga !(P 8 /) 8 dan !(P 8 ) 8 , dan !(P 8 /) > !(P 8 ) 8 . eterusnya untuk percobaan pelemparan tiga buah uang logam dan banyak $ yang muncul P 8 /, , , * maka distribusi peluangnya dapat diperlihatkan pada tabel berikut :
P !(P)
/ 91
*91
*91
* 91
;umlah
imbol P di atas, yang memiliki peluang bersifat Eariabel dan hanya memiliki hargaharga /, , , *, BB Oariabel berharga demikian, di mana untuk tiap harga Eariabel terdapat nilai peluangnya disebut =a8ia)el a>a is8i". Dari kedua contoh di atas jumlah peluang selalu sama dengan satu. ;adi Eariabel acak diskrit P menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai-nilai P 8 H, H, H*, BB , Hn terdapat peluang p(Hi) 8 !(P 8 H i) sehingga n
∑ p( x ) = i
i =
p(H) disebut fungsi peluang untuk Eariabel acak P pada harga P 8 H.
* C!n"!#
ebuah hasil pengamatan dari penjualan mobil selama *// hari pada !7 Lndah 6araka "otor, ;akarta tercatat bah4a jumlah mobil yang terjual dalam sehari adalah sebagai berikut :
Distribusi !robabilitas ;umlah "obil 7erjual dalam ehari ;umlah mobil terjual dalam sehari (H) / * + 7otal
;umlah hari + 0 0 + * *//
Distribusi probabilitas p(H) /,1 /,*2 /,+ /,+ /,/+ /,/ ,//
;ika P menyatakan jumlah mobil yang terjual dalam sehari, maka p(/) menyatakan probabilitas / mobil terjual perhari, p() menyatakan probabilitas mobil terjual perhari dan seterusnya. Dari tabel tersebut terlihat bah4a kemungkinan terbesar jumlah mobil terjual dalam sehari adalah mobil dengan probabilitas /,*2. ;ika kita ingin menghitung probabilitas bah4a * atau lebih mobil terjual dalam sehari, maka kita hitung p(*) > p(+) > p() 8 /,+ > /,/+ > /,/ 8 /,2. yarat yang harus dipenuhi untuk fungsi probabilitas diskrit : (i)
p(H) ≥ / atau / ≤ p(H) ≤ n
∑ p( x ) = i
(ii)
/.&
i =
NILAI ARAPAN +EK%PEKTA%I, DARI
@ilai harapan (eHpected Ealue) Eariabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang seluruh kemungkinan hasil di mana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil (outcome).
+ Untuk sebuah Eariabel acak kita dapat menentukan, jika ada ekspektasinya, rumusnya adalah : E ( X ) = µ x
n
= ∑ p( xi ) i =
= x p ( x ) + x p( x ) + ......... + x n p( xn ) di mana :
Hi 8 nilai ke < i dari Eariabel acak P p(Hi) 8 probabilitas terjadinya Hi
C!n"!#
.
3anyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk selama minggu. !(P) 8 probabilita terjadinya P 8 H. #itung rata-rata banyaknya pesanan atau pesanan yang diharapkan. P p(H) !enyelesaian : E ( X ) = µ x
/ /,
/,*0
/,*0
* /,
n
= ∑ p( xi ) i =
= (/) p(/) + () p() + () p() + (*) p(*) 8 /(/,) > (/,*0) > (/,*0) > *(/,) 8 , ;adi secara rata-rata dapat diharapkan bah4a pesanan yang masuk selama minggu adalah sebanyak , satuan. 7entukan : J(P), J(P > ), J(P < ), J(P), QJ(P)R dan J(P < ) J(P) 8 ./(/,) > .(/,*0) > .(/,*0) > .*(/,) 8 / > /,0 > , > /,0 8 *,/ J(P) 8 J(P)
J(P > ) 8 (/,) > (/,*0) > *(/,*0) > +(/,) 8 /, > /,0 > , > /, 8 , J(P > ) 8 J(P) > J(P < ) 8 -(/,) < (/,*0) > /(/,*0) > (/,)
8 -/, < /,*0 > / > /, 8 - /, J(P < ) 8 J(P) <
J(P)
8 /(/,) > (/,*0) > +(/,*0) > 2(/,) 8 / > /,*0 > , > , 8*
J(P)
≠ QJ(P)R
J(P < ,) 8 ,(/,) > /,(/,*0) > /,(/,*0) > ,(/,) 8 /,1 > /,/2*0 > /,/2*0 > /,1 8 /,0 J(P < ,) 8 J(P) < (,) 8 * < , 8 /,0 JQ(P < ,)R 8 J(P) < (,) 8 J(P) < QJ(P)R
J(aP > b) 8 a.J(P) > b JQP < J(P)R 8 J&P < P J(P) > QJ(P)R' 8 J(P) < J(P).J(P) > QJ(P)R 8 J(P) < QJ(P)R
J(P < ) 8 +(/,) > (/,*0) > /(/,*0) > (/,) 8 /, > /,*0 > / > /, 8 J(P < ) 8 J(P) - +J(P) > () 8*<>+ 8
J(P < *) 8 2(/,) > +(/,*0) > (/,*0) > /(/,) 8 , > , > /,*0 > /
8* J(P < *) 8 J(P) < J(P) > (*) 8 * < (,) > 2 8*
.
!engamatan memperlihatkan bah4a banyak kendaraan yang melalui sebuah tingkungan setiap menit mengikuti distribusi peluang sebagai berikut : 3anyak kendaraa n !eluang p(H)
/
*
+
0
1
/,/
/,/
/,
/,
/,
/,
/,/
/,/
/,/
/
1
1
1
*
"udah dilihat bah4a peluang dalam satu menit paling sedikit ada * kendaraan yang melalui tingkungan itu adalah 8 < Q/,/ > /,/ > /,/R 8 /,1+. Dan rata-rata tiap menit terdapat kendaraan yang melalui tingkungan itu sebanyak : E ( X ) = µ x
n
= ∑ p( xi ) i =
8 (/)(/,/) > ()(/,/) > ()(/,/) >(*)(/,1) >(+)(/,) > ()(/,1) > ()(/,/1) > (0)(/,/) >(1)(/,/*) 8 *,2+. Artinya terdapat *2+ kendaraan setiap // menit.
*.
ebuah dadu dilempar, P banyaknya mata dadu yang pada sisi sebelah atas. #itunglah nilai harapan P. ;a4ab. %uang sampel P 8 &, , *, +, , ' !(P 8 Hi) 8 f(Hi) 8 9. E ( X ) = µ x
n
= ∑ p( xi ) i =
8 .9 > .9 > *.9 > +.9 > .9 > .9 8 9 8 *,
0
/.&.1
Ie a8i paa ?Run@
ata =runS bukan berarti lari, akan tetapi mempunyai arti bah4a dalam suatu percobaan yang dilakukan berulang-ulang terdapat urutan dari suatu kejadian yang sama, kemudian berubah dengan kejadian yang lain dan seterusnya bisa saling bergantian. "isalnya sebuah koin dengan dua sisi yaitu "uka (") dan belakang (3) dilempar sebanyak 0 kali dan hasilnya adalah : ""33"33, maka diketahui dari urutan itu terdapat empat run. Dari contoh ini terdapat run pertama dengan panjang dua, run kedua dengan panjang dua, run ketiga dengan panjang satu dan run keempat dengan panjang dua. ;adi run adalah suatu urutan (huruf) yang tak terputus 4alaupun urutan itu hanya terdiri dari satu huruf.
C!n"!#
Di sebuah ruang tunggu keberangkatan pesa4at udara terdapat sebuah tempat duduk yang hanya memuat orang, * tempat duduk telah diduduki. 7empat yang diduduki diberi simbol G (occupied) dan yang masih kosong diberi simbol J (empty). Dengan anggapan bah4a pengaturan duduk * orang berpeluang sama. 6ari fungsi probabilitas tentang banyaknya run dan Jkspektasinya dari tempat yang didduduki G dan yang kosong J. "isalnya urutan GGJJG mempunyai tiga run (run pertama GG, kedua JJ dan ketiga G). ;a4ab : Ta)el pe8!le#an 8un
@o.
!engaturan Duduk
* +
GGGJJ GGJGJ GGJJG GJGGJ GJGJG
3anyaknya %un + * +
@o.
!engaturan Dududk
0 1 2 /
GJJGG JGGGJ JGGJG JGJGG JJGGG
$ungsi p8!)a)ili"as )an:an:a 8un
P p(H)
/,
* /,*
+ /,+
/,
3anyaknya %un * * + +
1
J(H) 8 (/,) > * (/,*) > + (/,+) > (/,) 8 /,+ > /,2 > , > /, 8 *,+
/.&.2
Ie "en"ang ?Tu8ning P!in"@
Apabila di antara tiga urutan hasil pengukuran secara numerik, angka yang berada di tengah mempunyai nilai terbesar, maka angka tersebut dinamakan =turning of pointS dari urutan yang bersangkutan. "isalnya urutan : * , , + , 0 Angka terbesar dari urutan * , , + dan angka + terkecil dari urutan , + , 0. Dalam hal ini dan + merupakan turning of point.
6ontoh !ermutasi dari + hasil pengukuran berpeluang sama. 7entukan fungsi probabilitas Eariabel P, jika P menunjukkan banyaknya turning point. Ta)el pe8mu"asi empa" #asil penguu8an N!.
Pe8mu"asi
* + 0 1 2 /
*+ +* *+ *+ +* +* *+ +* *+ *+ +* +*
Tu8ning P!in" /
N!.
Pe8mu"asi
* + 0 1 2 / * +
*+ *+ *+ *+ *+ *+ +* +* +* +* +* +*
P 8 / terjadi kali, p(/) 8 9+ 8 /,/1* P 8 terjadi kali, p() 8 9+ 8 /, P 8 terjadi / kali, p() 8 /9+ 8 /,+0 P !(P)
/ /,/1*
/,
/,+0
Tu8ning P!in" /
2
/.-
;ika kita mengukur sesuatu seperti lebar ruangan, tinggi badan, atau berat badan seseorang, maka Eariabel yang dihasilkan, adalah Eariabel acak kontinu. #asil pengukuran tersebut mungkin akan berbeda-beda tergantung pada siapa yang melakukan pengukuran dan tingkat ketelitian yang digunakan. arena hasil pengukuran tidak bisa setepat hasil perhitungan, maka nilai hasil pengukuran bisa berEariasi dalam suatu selang
nilai tertentu. "isalnya jarak antara "edan dan
!ematang iantar dapat 0 km, 0, km, 1 km dan seterusnya tergantung pada ketelitian alat ukur atau si pengukur. 7abel di ba4ah ini memberikan beberapa contoh Eariabel kontinu dari suatu percobaan.
6ontoh Oariabel ontinu !ercobaan "embangun proyek perkantoran baru setelah bulan Lsi botol minuman jadi (maHimum 8 // ml) !enimbangan / paket kemasan (maHimum 8 kg)
/./
emungkinan @ilainilai Eariabel acak
Oariabel Acak !ersentase proyek diselesaikan
yang
/ ≤ H ≤ //
;umlah mililiter 3erat sebuah kemasan (kg)
/ ≤ H ≤ //
paket
/ ≤ H ≤
DI%TRIBU%I PROBABILIA%
Distribusi probabilitas Eariabel acak kontinu dinyatakan dengan fungsi f(H) dan sering disebut fungsi kepadatan (density function) atau fungsi kepadatan probabilitas. @ilai f(H) bisa lebihbesar dari . yarat yang harus dipenuhi oleh 5ungsi epadatan !robabilitas : (i)
f(H) ≥ /
*/ ∞
∫ f ( x) dx =
−∞
(ii)
≤
di mana f(H) dH 8 !QH
≤ (H > dH)R, yaitu probabilitas bah4a nilai P
P
terletak pada interEal H dan H > dH
5ungsi !robabilitas umulatif Oariabel Acak ontinu : ∞
( x) = P ( X ≤ x) =
∫ f ( x) dx
−∞
@ilai-nilai H dalam rumus ini harus kontinu atau dalam suatu interEal. Jkspektasi untuk Eariabel acak kontinu P ditentukan dengan rumus : ∞
∫
E ( x) = x. f ( x) dx −∞
C!n"!#
.
"asa pakai dinyatakan dengan P, untuk semacam alat dapat dilukiskan oleh fungsi densitas eksponensial dengan persaman : f(H) 8 e < H , H dalam bulan dan e 8 ,01*. 7entukan peluang sebuah alat demikian yang dapat dipakai selama : a. antara * dan * bulan. b. lebih dari * bulan. c. tentukan pula rata-rata masa pakainya. Pen:elesaian : b
∫
P ( a < X < b) = f ( x) dx a.
a
*
∫
P (* < X < * ) =
e
− x
dx = − e
− x
*
x =*
x =*
8 - e < ,0 > e < , 8 - /,0*1 > /,* 8 /,/+2*
P (* < X < ∞) = b.
∞
∫ e
*
− x
dx = − e
− x
x =∞ x =*
* 8 - / > e < , 8 /,*
∞
E ( x) = c.
∫
xe
− x
dx = Q − xe
− x
− e − x R
x =∞
/
x =/
8 ;adi rata-rata masa pakainya adalah bulan. *,
∫
P (/,* < X < *,) =
e
− x
dx = − e
− x
/,*
=
d.
e
/ ,
−
x =*, x =/ , *
e
, -
8 /,1/0 - /,/12 8 /,11
.
Oariabel P mempunyai fungsi kepadatan probabilitas f(H) 8 e < H untuk H T /. 7entukan !( F P F +) , !( F P F ) dan !(/,* F P F *,) !enyelesaian : b
∫
P ( a < X < b) = f ( x) dx a
+
∫
P ( < X < +) = e − x dx a.
8
− e − x R +
8 - Q e < 1 - e < + R 8e
+
−
e1
8 /,/1* < /,///* 8 /,/1
∫
P ( < X < ) = e − x dx b.
8
− e − x R
8 e
−
e/
* 8 /,*** < /,//// 8 /,*1
*,
P (/,* < X < *,) =
∫ e
− x
dx
/,*
c.
8
− e − x R*/,,*
/, 8 e
−
e -, +
8 /,+11- /,// 8 /,+0
− e x + , tentukan !( F P F )
e x *.
.
Diketahui f(H) 8
BEBERAPA KE7UNGKINAN DI%TRIBU%I DI%KRIT .1
DI%TRIBU%I UNI$OR7
Distribusi kemungkinan diskrit yang paling sederhana adalah distribusi yang seluruh Eariabel randomnya diasumsikan mempunyai nilai probabilitas yang sama. Distribusi tersebut dinamakan distribusi uniform. Definisi :
;ika Eariabel random P dengan harga-harga H, H , ....... , Hk mempunyai nilai kemungkinan yang sama, maka distribusi uniform diskritnya adalah :
f(H , k) 8 k , H 8 H, H, ....... , Hk @otasi f (H , k) digunakan karena distribusi ini bergantung pada parameter k. #arga rata-rata (mean) dan Earians distribusi uniform f(H ? k) adalah : k
µ =
∑ x i =
k
k
i
∑ ( x − µ )
i
,
dan
σ
=
i =
k
6ontoh 6arilah mean dan Earians dari data tunggal , 1, , 2, +, 0
**
.2
DI%TRIBU%I BINO7IAL DAN 7ULTINO7IAL
uatu eksperimen sering terdiri atas percobaan yang berulang, yang setiap percobaannya dapat menghasilkan dua outcome yang dinyatakan sebagai sukses dan gagal! 6ontoh pada pemeriksaan hasil produk asembing, maka produk dapat dinyatakan baik atau rusak. Dalam hal ini kita bebas mendefinisikan outcome mana yang akan dinyatakan sukses atau gagal. "isalkan pada pengambilan buah kartu dari setumpuk kartu remi. !endefinisian kartu merak sebagai sukses atau gagal dapat dipilih sesuai selera kita. Apabila setiap kartu dikembalikan pada tumpukannya sebelum diambil kartu yang berikutnya, maka pengulangan percobaan (pengambilan kartu) tersebut memiliki sifat-sifat yang sama dan bersifat independent, di mana besar kemungkinan terjadinya sukses berharga tetap dari suatu percobaan ke percobaan lain. Jksperimen yang bersifat seperti ini dikenal sebagai eksperimen binomial . Dengan demikian, sifat eksperimen binomial adalah sebagai berikut :
a
Jksperimennya terdiri atas n percobaan yang berulang.
b.
etiap percobaan menghasilkan satu outcome yang dapat dinyatakan sebagai sukses, dan outcome lain yang dinyatakan sebagai gagal.
c.
emungkinan terjadinya sukses, yaitu p berharga konstan dari satu percobaan ke percobaan lainnya.
d.
Definisi :
!ercobaan yang berulang bersifat independen.
;umlah sukses yang terjadi dalam n percobaan dari eksperimen binomial disebut Eariabel random binomial.
Distribusi kemungkinan dari Eariabel random binomial H disebut distribusi binomial dan dinotasikan sebagai b (H ? n ? p) karena nilai-nilainya bergantung pada jumlah percobaan dan kemungkinan terjadinya sukses dari percobaan tersebut. Apabila dari eksperimen binomial setiap percobaannya memberikan hasil sukses dengan kemungkinan
p dan gagal dengan kemungkinan N 8 < p, maka distribusi
kemungkinan dari Eariabel random binimial H yang menyatakan jumlah sukses yang terjadi dalam n percobaan yang independen adalah :
*+ b ( x ? n? p )
n = ÷ x
p x " n − x , x = /,, , ....... , n
"ean dan Earians dari distribusi binomial b(H ? n ? p) adalah :
µ 8 np ? σ 8 npN.
C!n"!#
;ika paku jamur dilemparkan, hasilnya bisa runcing (%) atau tumpul (7). "isalnya ada * paku jamur dengan 4arna merah, putih, dan biru dilempar. ita ingin mengetahui fungsi probabilitas untuk Eariabel acak P yang menunjukkan bagian yang runcing di atas. Dengan perkataan lain P 8 banyaknya %. 7abel berikut ini menunjukkan hasil eksperimen yang secara keseluruhan merupakan titik sampel, nilai P dan fungsi probabilitas.
7itik ampel, @ilai P dan !robabilitas 7erjadinya P 7itik ampel 7 77 7 7 % 7%7 %77 7 % % % 7 % %%7 % % %
P 8 3anyaknya % / *
!robabilitas N* p N p N p N p N p N p N p*
"isalkan !(%) 8 p dan !(7) 8 N 8 ( < p) p > N 8 p > ( < p) 8 #asil lemparan dari masing-masing paku jamur bebas (independent) satu sama lain, dengan demikian :
!(% % %) 8 !(%).!(%).!(%) 8 p.p.p 8 p* !(7 7 %) 8 !(7).!(7).!(%) 8 N.N.p 8 pN !(% % 7) 8 !(%).!(%).!(7) 8 p.p.N 8 pN
ita pergunakan simbol b (H ? * ? p), untuk menunjukkan probabilitas untuk memperoleh % sebanyak H, sebanyak * lemparan (banyaknya eksperimen) dan probabilitas sukses sebesar p. #asil diatas bisa ditulis dalam bentuk tabel probabilitas sebagai berikut : b (H ? * ? p) @ilai H
N* /
*p
*pN
p* *
Gleh karena koefisien , * , * , yang mendahului N * , pN , pN , p* merupakan koefisien 3inomial, maka dapat ditulis seperti rumus berikut :
*
* x *− x b( x ? * ? p ) = p ." x di mana
, H 8 /,,,*
....(a)
* *I = x xI (* − x) I
%umus (a) di bagian kanan tanda persamaan terdiri dari dua bagian yaitu :
* x yang menunjukkan banyaknya H sukses dan (* < H) gagal dalam () oefisien 3inomial * eksperimen. () 5aktor pH . N* < H yang memberi probabilitas di dalam memperoleh H sukses dan (* < H) gagal. Apabila probabilitas dari rumus di atas dijumlahkan untuk H 8 /,,,* akan kita peroleh : N* > * N p > * Np > p* ;umlah ini merupakan eksperimen 3inomial (N > p)*, sebab (N > p)* 8 N* > * N p > * Np > p*
....(b)
Lnilah sebabnya mengapa suatu himpunan probabilitas dari rumus (a) disebut distribusi 3inomial. Gleh karena (N > p) 8 ( < p) > p 8 dan ()* 8 , maka dari (b) jumlah dari + probabilitas masing-masing untuk memperoleh / , , , * sukses sebesar . Untuk p 8 /,* dan N 8 < /,* 8 /,0, setelah dimasukkan ke dalam rumus (a) akan kita peroleh probabilitas untuk mendapatkan / , , dan * sukses sebagai berikut :
b (H ? * ? /,*) @ilai H
/,*+* /
/,++
/,12
/,/0 *
!(P ≥ ) 8 !() > !(*) 8 /,12 > /,/0 8 /, Maitu probabilitas untuk mendapatkan paling sedikit sukses. !(P ≤ ) 8 !(/) > !() 8 /,*+* > /,++ 8 /,01+ Maitu probabilitas untuk mendapatkan tidak lebih dari sukses.
Apabila setiap percobaan dalam eksperimen binomial dapat menghasilkan lebih dari dua outcome, maka eksperimennya disebut eksperimen multinomial .
* 6ontoh : ;ika hasil suatu proses, produknya diklasifikasikan sebagai baik, cukup, dan sedang. !engambilan kartu dengan pengembalian juga merupakan eksperimen multinomial apabila + tipe 4arna9gambar dipandang sebagai hasil outcome-n ya. ecara umum apabila setiap percobaan dapat menghasilkan sejumlah k outcome, yaitu J, J, ....... , Jk dengan besar kemungkinan p, p, ......... , pk , makadistribusi multinomial akan menghasilkan besar kemungkinan terjadinya J sebanyak H kali, J sebanyak H kali, ....... Jk sebanyak Hk kali dalam percobaan yang independen, dimana H > H > ......... > Hk 8 n. Distribusi kemungkinan gabungan ini dapat dituliskan sebagai beriut : f(H, H, ..., Hk ? p, p, p, .... , pk ? n) di mana p > p > ...... > pk 8 Untuk mendapat rumus umum, cara dalam kasus binomial perlu diulang. arena antarpercobaan bersifat independen, maka suatu urutan tertentu mengkasilkan H outcome untuk J, H outcome untuk J dan seterusnya Hk outcome untuk Jk denga x
kemungkinan masing-masing
x
besar
x
p , p , ........ , p k k
. ;umlah urutan yang mungkin terjadi
dalam n percobaan adalah :
x , x , ... n,
x k =
nI x I x I ...... xk I
Distribusi multinomial diperoleh dengan mengalikan besar kemungkinan dari suatu urutan tertentu dengan jumlah urutan yang mungkin terjadi dalam n percobaan.
f(H, H, ..., Hk ? p, p, p, .... , pk ? n) 8 k
di mana :
∑ x
i
=n
i =
k
dan
∑p
i
x , x , ... n,
x x p . p
x k .
x
....... p k k
=
i =
6ontoh .
!roses pembuatan pensil dalam sebuah pabrik melibatkan banyak buruh dan proses tersebut terjadi berulang-ulang. !ada suatu pemeriksaan terakhir yang dilakukan telah memperlihatkan bah4a 1 produksinya adalah =baikS, / ternyata =tidak baik tetapi masih bisa diperbaikiS dan produksinya =rusak dan harus dibuangS. ;ika sebuah sampel acak dengan / unit dipilih, berapa peluang jumlah unit =baikS sebanyak 1, unit =tidak baik tetapi bisa diperbaikiS sebanyak dan unit =rusakS tidak ada.
*0 !enyelesaian : !roses tersebut merupakan proses dari distribusi multinomial karena suatu percobaan menghasilkan lebih dari kejadian (dalam hal ini * kejadian). ita misalkan, H 8 banyaknya unit =baikS. H 8 banyaknya unit yan =tidak aik tetapi bisa diperbaikS. H* 8 banyaknya unit yang =rusak dan harus dibuangS. Dari soal diketahui bah4a H 8 1, H 8 dan H* 8 / (syarat H > H > H* 8 /) dan p 8 /,1, p 8 /, dan p* 8 /,/, maka :
/ I 1 / ( ) ( ) ( ) . / , 1 . / , . / , / 1I. I. / I p(1 ? ? /) 8 8 2/ (/,1)1.(/,/). 8 /,/ ;adi peluangnya sebesar /,/.
.
ima () mata uang logam %p. //,- dilempar atau satu () uang dilempar kali. !robabilitas untuk memperoleh gambar (sukses) sebesar p 8 . a.
3erapa probabilitas untuk memperoleh $.
b.
3erapa probabilitas untuk memperoleh lebih dari $.
!enyelesaian : ;ika H 8 banyaknya gambar ($)
a.
p(H 8 ) 8 b( ? ? ) 8 8
b.
C .( ) .( ) /. + . 1
*
= -
p(H ≥ ) 8 < p(H ≤ ) 8 < p(H 8 /) < p(H 8 ) 8 < b(/ ? ? ) < b( ? ? ) 8 < () < () 8
.&
*
= -*
DI%TRIBU%I 5PERGEO7ETRIK
*1 Distribusi hipergeometrik sangat erat kaitannya dengan distribusi 3inomial. !erbedaan antara distribusi hipergeometrik dengan distribusi 3inomial adalah bah4a pada distribusi hipergeometrik, percobaan tidak bersifat independen (bebas). Artinya antara percobaan yang satu dengan yang lainnya saling berkait. elain itu probabilitas =suksesS berubah (tidak sama) dari percobaan yang satu ke percobaan lainnya. @otasi-notasi yang biasanya digunakan dalam distribusi hipergeometrik adalah sebagai berikut : r:
menyatakan jumlah unit9elemen dalam populasi berukuran @ yang dikategorikan atau diberi lebel SsuksesS.
@ < r : menyatakan jumlah unit9elemen dalam populasi yang diberi lebel =gagal=. n:
ukuran sampel yang diambil dari populasi secara acak tanpa pengembalian (#ithout replacement ).
H:
jumlah unit9elemen berlebel =gagalS di antara n unit9elemen.
Untuk mencari probabilitas H sukses dalam ukuran sampel n, kita harus memperoleh H sukses dari r sukses dalam populasi, dan n < H gagal dari @ < r gagal. ehingga fungsi probabilitas hipergeometrik dapat dituliskan sebagai berikut : f ( x ? N ? n ? r ) = p ( x ) =
−r C xr .C N n − x
C N n
, / ≤ x ≤ r
di mana p(H) 8 probabilitas H sukses (atau jumlah sukses sebanyak H) dalam n. n
8 jumlah percobaan.
@
8 jumlah elemen dalam populasi.
r
8 jumlah elemen dalam populasi berlabel =suksesS "ean dan Earians dari distribusi hipergeometrik adalah :
µ =
nr N
dan σ
=
N − n N −
. n.
r r − N N
Apabila n cukup kecil dibandingkan dengan @, maka besar kemungkinan terjadinya sukses pada setiap pengambilan akan berubah dengan sangat kecil, sehingga eksperimen 3inomial dapat merupakan pendekatan dari eksperimen hipergeometrik di mana
p = N r .
#arga rata-rata (mean) dan Eariansnya pun dapat didekati sebagai berikut :
*2
µ = np =
nr
= np" =
dan σ
N
nr r − N N
C!n"!#
.
;ika buah kartu dari setumpuk kartu remi diambil secara random tanpa pengembalian, dan kita ingin mendapatkan * kartu merah dan kartu hitam. 7entukan probabilitasnya. !enyelesaian : ;umlah cara untuk mendapat * kartu merah dan kartu hitam dalam pengambilan
- - . * sebanyak buah kartu adalah : . ;umlah cara untuk mendapat buah kartu dari buah kartu adalah : - I p ( x) =
C *- .C
C
=
.
- I
*I *I I + I I I +0 I
-..+
.
-.
*.. . ../.+2.+1 8
.+.*..
p(H) 8 /,*.
.
ebuah anggota komite terdiri dari orang, di mana * adalah 4anita dan laki-laki. "isalkan orang dari anggota komite tersebut dipilih untuk me4akili delegasi dalam sebuah konEensi9pertemuan. (i)
3erapa probabilitas bah4a dari pemilihan secara acak didapat orang 4anita.
(ii)
3erapa probabilitas dari orang yang terpilih adalah laki-laki dan 4anita.
!enyelesaian : ita dapat menggunakan distribusi hipergeometrik dalam kasus ini, dengan n 8 , @ 8 , r 8 * dan H 8 , H jumlah 4anita yang terpilih.
+/ p ( ) = (i)
C * .C / C
( )( ) = ( ) *I I I
I / I I
I I *I
8 /,*. ;adi probabilitas orang 4anita terpilih adalah /,*. p () = (ii)
C * .C C
( )( ) = ( ) 8 /, *I I I
I I I
I I *I
;adi probabilitas terpilih orang 4anita dan laki-laki ada lah /,.
*
uatu kotak yang berisi // buah bola, terdiri dari n 8 / bola merah dan n 8 +/ putih. Ada r 8 / bola diambil dari kotak secara acak. 3erapakah probabilitasnya bah4a ada H 8 + yang merah. ;a4ab : p () = !(H8+ merah) 8
.-
C +-/ .C -+/ // C /
=
(
-/ I +I- I
(
)(
+/ I - I *+ I
// I / I 2/ I
)
)
= /,*++
DI%TRIBU%I POI%%ON
uatu eksperimen yang menghasilkan jumlah sukses yang terjadi pada interEal 4aktu ataupun pada daerah yang spesifik dikenal sebagai eksperimen Poisson. LnterEal 4aktu tersebut dapat merupakan menit, hari, minggu, bulan, maupun tahun, sedangkan daerah yang spesifik dapat berupa garis, luas, sisi, maupun sebuah material. "isalnya Eariabel random !oisson H yang berhubungan dengan interEal 4aktu, antara lain adalah jumlah hari kerja yang terganggu karena bencana alam, dan sebagainnya. edangkan yang berhubungan dengan daerah yang spesifik dapat berupa jumlah tikus per ha sa4ah, jumlah kesalahan tik per lembar, dan lain-lain. ifat suatu eksperimen !oisson adalah sebagai berikut : .
;umlah sukses yang terjadi pada interEal 4aktu atau daerah yang tertentu bersifat independen terhadap yang terjadi pada interEal 4aktu atau daerah tertentu yang lain.
+ .
3esar kemungkinan terjadinya sukses pada interEal 4aktu atau daerah tertentu yang sempit, proposional dengan panjang 4aktu ataupun ukuran daerah terjadinya sukses tersebut.
*.
3esar kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses pada interEal 4aktu yang singkat ataupun daerah yang sempit, diabaikan.
Distribusi !oisson adalah distribusi kemungkinan dari Eariabel random !oisson H, yang mempresentasikan jumlah sukses yang terjadi pada interEal 4aktu tertentu ataupun daerah yang spesifik. Dinotasikan sebagai : p ( x, µ ) = di mana
e − µ . µ x x I
, x
= /,, , ........
µ
8 jumlah rata-rata sukses terjadi.
e
8 bilangan natural 8 ,011.....
#arga rata-rata (mean) dan Earians distribusi !oisso p(H ? µ) adalah µ.
6ontoh .
!eluang seorang akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik besarnya /,//. Dari /// orang yang disuntik, tentukan probabilitas bah4a yang mendapat reaksi buruk : a. tidak ada. b. ada orang. c. lebih dari orang dan d. tentukan ada berapa orang diharapkan yang akan mendapatkan reaksi buruk. !enyelesaian : a.
Dengan menggunakan pendekatan distribusi !oisson kepada distribusi 3inomial, maka µ 8 @p 8 /// H (/,//) 8 . ;ika H banyak orang yang mendapat reaksi buruk akibat suntikan itu, maka : p (/) =
e − . / /I
8 /,**
b.
Dalam hal ini H 8 , sehingga :
+ e − .
p () =
I
8 /,0/ c.
Mang menderita reaksi buruk lebih dari ini berarti H 8 *, +, , ........, 7etapi p(/) > p() > p() > ........ 8 , maka p(*) > p(+) > p() > ....... 8 < p(/) < p() < p(). p () =
e − . I
= /,0/-
;adi p(H T ) 8 < /,** < /,0/ < /,0/ 8 /,** d.
Lni artinya mencari rata-rata µ
µ 8 @p 8 . .
eorang pemilik pabrik rokok akan melakukan promosi penjualan rokok merk A dengan iklan khusus. Diantara /// batang rokok terdapat batang yang diberi tulisan =berhadiahS dan dicampur secara acak dengan rokok lainnya. etiap pembeli rokok merk A yang memperoleh batang rokok dengan tulisan =berhadiahS akan mendapat hadiah yang menarik. Apabila H banyaknya batang rokok yang terdapat tulisan =berhadiahS dari satu bungkus rokok merk A yang setiap bungkusnya berisi / batang, berapakah p(H 8 /), p(H 8 ), p(H 8 ), p(H 8 *) dan p(H 8 +). !enyelesaian : Dengan menggunakan rumus distribusi !oisson p ( x, µ ) =
e − µ . µ x x I
, x
= /,, , ........
3anyaknya batang rokok per bungkus n 8 /. p (batang rokok SberhadiahS) 8 p(sukses) 8 p (/ ? /,) = a.
e −/, .(/,) / /I
8 /,2/+1 p ( ? /,) = b.
e −/, .(/,) I
///
= /,//
,
µ 8 / (/,//) 8 /,
+* 8 /,/2/ p ( ? /,) =
e −/, .(/,) I
c.
8 /,//+ p (* ? /,) =
e −/, .(/,) * *I
d.
8 /,/// p ( + ? /,) =
e −/, .(/,) + +I
e.
8 /,////
*
Ada /// orang mahasis4a mengikuti perlombaan mengucapkan kata secara benar. 7 8 jumlah kata yang diucapkan salah dan @H 8 banyaknya mahasis4a dengan H kata yang salah cara mengucapkannya. #asilnya terlihat di dalam tabel berikut : H / @H / @ 8 ///
/
/
* */
+ 0/
//
/
0 /
1 /
3erapa probabilitasnya bah4a seorang mahasis4a mengucapkan salah sebanyak H kata. ;a4ab : V 8 21/9/// 8 ,21 , 7 8 Σ H.@H p ( x ? ,21) =
e −,21 .(,21) x x I
#asilnya dapat dilihat dalam tabel berikut : H / * + 0 1 2
@H / / / */ 0/ // / / / /
H.@H / / ++/ 2/ 1/ // *// +/ 1/ /
!(H?,21) /,// /,+2 /,+ /,+ /,1 /,/ /,// /,/ /,//1 /,//*
@, p(H?,21) / +2 + + 1 / / 1 *
2 /
++ Gleh karena dalam tabel !oisson tidak terdapat λ 8 ,21, maka kita pergunakan λ 8 *,/ sebagai pendekatan. !robabilitas seorang mahasis4a mengucapkan salah sebanyak 0 kata sebesar /,/
./
DI%TRIBU%I BINO7IAL NEGATI$ DAN GEO7ETRI%
Ada suatu eksperimen yang sifatnya sama dengan eksperimen 3inomial, tetapi percobaannya dilakukan hingga memperoleh sejumlah sukses terjadi. Dalam hal ini kita tidak mencari probabilitas terjadinya H sukses dalam n percobaan, tetapi probabilitas bah4a sukses yang ke-k terjadi pada percobaan yang ke-H. Jksperimen yang demikian dikenal sebagai Eksperimen Binomial Negatif.
Definisi *
3ilangan H yang menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mendapatkan k sukses dalam suatu eksperimen binomial disebut $ariabel binomial negaif! Distribusi kemungkinan dari Eariabel binomial negatif H disebut sebagai distribusi binomial negatif, dan dinotasikan sebagai : bW(H ? k ? p) karena nilainya bergantung pada jumlah sukses yang dikehendaki dan probabilitas sukses pada percobaan yang dilakukan. ;ika sejumlah percobaan yang bersifat independen dapat menghasilkan sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas N 8 < p, maka distribusi kemungkinan dari Eariabel random H , yang menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan sehingga diperoleh k sukses, adalah : b W ( x ? k ? p ) = C k x−− . p k . " x− k
di mana H 8 k, k > , k > , .........
Ada suatu kasus khusus dari distribusi 3inomial negatif ini, yaitu jika k 8 . Artinya kita mempunyai suatu distribusi kemungkinan dari banyaknya percobaan yang harus dilakukan untuk memperoleh satu kali sukses. Dengan demikian, distribusi 3inomial negatif seperti itu berbentuk menjadi : bW (H ? ? p) 8 p.NH < , H 8 , , *, ......
+ Distribusi yang demikian dikenal sebagai distribusi geometris yang dinotasikan sebagai g(H ? p). 6ontoh : "isalkan paku jamur dilemparkan, hasilnya bisa runcing (%) atau tumpul (7). Andaikan ada * paku jamur dengan 4arna merah, putih dan biru dilempar. ita ingin mengetahui fungsi probabilitas untuk Eariabel P yang menunjukkan bagian yang runcing muncul di atas. Dengan kata lain P 8 banyaknya %. 7abel di ba4ah ini menunjukkan hasil eksperimen yang secara keseluruhan merupakan titik sampel, nilai P dan fungsi probabilitas. 7itik sampel 777 77% 7%7 %77 7%% %7% %%7 %%%
P 8 3anyaknya % / *
!robabilitas N* pN pN pN pN pN pN !*
"isalkan !(%) 8 p dan !(7) 8 N 8 < p ita pergunakan simbol b (H ? * , p) , untuk menunjukkan probabilitas untuk memperoleh % sebanyak H, sebanyak * lemparan (banyaknya eksperimen dan probabilitas sukses sebesar p. #asil di atas bisa ditulis dalam bentuk tabel probabilitas sebagai berikut : 3 (H ? * , p) @ilai H
N* /
* pN
* pN
!* *
Gleh karena koefisien , * , * , yang mendahului N* , pN , pN , p* merupakan koefisien binomial, maka dapat ditulis seperti rumus
4.
b W ( x ? k ? p) = C k x−− . p k . " x− k
, H 8 /, , , *.
BEBERAPA DI%TRIBU%I KE7UNGKINAN KONTINU 4.1
DI%TRIBU%I NOR7AL +DI%TRIBU%I GAU%%,
Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang paling penting dalam bidang statistik karena dapat me4akili kumpulan data obserEasi yang terjadi d alam alam semesta, industri, maupun penelitian. Distribusi normal sering dikenal sebagai distribusi Gauss.
+ Oariabel random H yang mempresentasikan distribusi normal disebut Eariabel random normal, yang distribusinya bergantung pada dua parameter, yaitu mean (µ) dan deEiasi standar (σ). 5ungsinya dinotasikan sebagai @(H ? µ ? σ). Definisi : 5ungsi kepadatan (density function) dari Eariabel random H dengan rata-rata µ dan Earians σ adalah :
N ( x ? µ ? σ ) = f ( x) = di mana
σ π
x − µ − .e σ
,
− ∞ x ∞
π 8 *,+2...... e 8 ,011......
σ 8 simpangan baku 8
σ
µ 8 rata-rata H H 8 peubah kontinu
urEa normal mempunyai bentuk simetris terhadap rata-rata dipengaruhi oleh besar kecilnya rata-rata
µ
µ.
3entuk normal sangat
dan simpangan baku σ. "akin kecil σ bentuk
kurEa semakin runcing dan sebagian besar nilai H mengumpul mendekati rata-rata µ, dan sebaliknya, bila
σ makin
besar maka bentuknya makin tumpul dan nilai-nilai H makin
menjauhi rata-rata µ. 3eberapa karakteristik distribusi normal adalah sebagai berikut : . Distribusi normal memiliki dua parameter yaitu
µ
dan
σ
yang masing-masing
menentukan lokasi dan bentuk distribusi. . 7itik tertinggi kurEa normal berada pada rata-rata. *. Distribusi normal adalah distribusi yang simetris. +. impangan aku (standar deEiasi) σ, menentukan lebarnya kurEa. . 7otal luas darah diba4ah kurEa normal adalah . (#al ini berlaku untuk semua distribusi probabilitas kontinu). . ;ika jarak dari masing-masing nilai H diukur dengan simpangan baku σ, maka kira-kira 1 berjarak σ, 2 berjarak σ dan 22 berjarak *σ, atau ditulis sebagai berikut : !(µ - σ ≤ H ≤ µ > σ) 8 ± 1 (1,)
+0 !(µ - σ ≤ H ≤ µ > σ) 8 ± 2 (2,+) !(µ - *σ ≤ H ≤ µ > *σ) 8 ± 22 (22,0+)
6ontoh : eseorang yang nglaju (commuter) dari 3ogor ke ;akarta. alau kedatangannya di ;akarta diukur dalam menit setelah jam 1, merupakan Eariabel yang mengikuti fungsi normal dengan rata-rata / dan deEiasi standar ,. 3erapakah probabilitasnya bah4a orang tersebut akan sampai di ;akarta antara jam 1,/ sampai 2,//.
;a4ab : Xaktu sampai di ;akarta dapat disamakan dengan M 8 - sampai M 8 (menit). ;adi probabilitas bah4a M terletak antara 1,/ sampai 2,// dengan M terletak antara - sampai . "isalkan : !(- Y M Y ) 8 P
(
5
−
0
−
2,5
)
≤
Y
0
−
2,5
8 P ( 2 ≤ X ≤ 2 ) ; X −
≤
=
( ) 5
0
−
2,5
Y
−
0
2,5
arena M normal dengan rata-rata / dan deEiasi standar atau simpangan baku , maka P Eariabel acak normal baku dengan rata-rata / dan simpangan baku . Dari tabel distribusi normal : !(- Y P Y ) 8 (/,+00) 8 /,2++, sebesar 2
6ontoh : @ilai rata-rata ujian masuk suatu perguruan tinggi 2,0 dengan simpangan baku ,+. ;ika distribusinya normal dan banyak calon /./// orang, tentukanlah : a. b. c. d.
3erapa banyak calon yang nilainya lebih dari 0+C 3erapa orang calon yang nilainya antara 0+ dan 1C 3erapa orang calon yang nilainya lebih besar atau sama dengan 1/C 3erapa orang calon yang nilainya 1/. ;a4ab : P 8 nilai hasil ujian V 8 2,0 dan σ 8 ,+ X − µ % = σ ? P T 0+ a. Dengan rumus 0+ − -2,0 % > = /,-12 -, +
+1 @ilai yang lebih besar dari 0+ berarti luas daerah yang terletak disebelah kanan dari nilai Z 8 /,. Z/, 8 /,++, uas daerah yang lebih besar dari Z/, 8 /,/ < /,++ 8 /,+. ;adi banyak calon yang nilainya lebih besar dari 0+ ada ,+
b. P 8 0+? P 8 1 X − µ % = σ 0+ − -2,0
=
%
= =
-,+ X − µ
σ 1 − -2,0 -,+
= /,--
= ,*-
!ersentase calon terletak antara nilai Z dan Z. uas daerah Z adalah /,++ sedangkan luas daerah Z adalah /,+2/2. "aka luas daerah antara Z dan Z adalah /,+2/2 < /,++ 8 /,+. ;adi banyak calon yang nilainya antara 0+ dan 1 adalah /,+ H /./// 8 .+
c. Pi [ 1/ dalam hal ini nilai 1/ sendiri termasuk. Untuk masalah ini diingat tentang nilai batas ba4ah. 3atas ba4ah dari 1/ adalah 02,. Agar nilai 1/ termasuk diperhitungkan, maka batas nilai P yang digunakan menjadi 02,. %
= =
X − µ
σ 02, − -2,0 -,+
= ,
uas daerah Z, 8 /,+**. uas daerah yang dimaksud ialah luas daerah yang terletak di sebelah kanan dari Z 8 , yaitu seluas /,/ < /,+** 8 /,/1. ;adi banyak calon yang nilainya lebih dari atau sama dengan 1/ adalah /,/1 H /./// 8 1 orang.
d. @ilai 1/ terletak antara nilai batas ba4ahnya dan nilai batas atasnya yaitu antara 02, dan 1/,. Dengan demikian untuk mencari persentase yang bernilai 1/ harus dicari persentase yang nilainya P nya terletak di antara nilai P 8 02, dan P 8 1/,.
+2 %
=
X − µ
σ 02, − -2,0 = = , -,+ Z, 8 /,+** X − µ % = σ 1/, − -2,0 = = ,-0 -,+ Z,0 8 /,+ uas daerah antara Z dan Z adalah /,+ < /,+** 8 /,/2*. ;adi banyak calon yang bernilai 1/ adalah : /,/2* H /./// 8 2* /rang.
6ontoh * : "isalkan distribusi tentang tinggi mahasis4a adalah normal dengan tinggi rata-rata +, cm dan simpangan baku *,1. emuanya //./// mahasis4a. 7entukan ada berapa mahasis4a yang tingginya : a. b. c. d. e. f.
lebih dari 0+ cm lebih dari / cm kurang dari 0/ cm kurang dari * cm antara 0 cm dan 0/ cm 0 cm
RINGKA%AN RU7U%
1.
Dis"8i)usi Bin!mial
pr ( x) =
nI x I(n − x) I
J(H) 8 np
dan
p x ." n
− x
Oar 8 npN
6ontoh .
eorang penjual mengatakan bah4a diantara seluruh barang dagangannya yang
dibungkus rapi, ada yang rusak sebanyak / . eorang pembeli, membeli barang tersebut sebanyak 1 buah dan dipilihnya secara acak. ;ika P 8 banyaknya barang tidak rusak (baik) maka
/ a.
#itung semua probabilitas untuk memperoleh P
b.
3uat probabilitas kumulatif
c.
!( ≤ P ≤ )
!enyelesaian : #asil perhitungan untuk menja4ab a dan b langsung dimasukkan dalam tabel P / * + 0 1 c.
n
!r (H) (/,1)/ (/,)1 8 /,//// 1(/,1) (/,)0 8 /,/// 1(/,1) (/,) 8 /,// (/,1)* (/,) 8 /,//2 0/(/,1)+ (/,)+ 8 /,/+2 (/,1) (/,)* 8 /,+1 1(/,1) (/,) 8 /,2* 1(/,1)0 (/,) 8 /,** (/,1)1 (/,)/ 8 /,01
5(H) 8 !(P ≤ H) /,//// /,/// /,// /,//+ /,/* /,/* /,+20 /,1* ,////
!( ≤ P ≤ ) 8 pr () > pr (*) > pr (+) > pr () 8 /,// > /,//2 > /,/+2 > /,+1 8 /,/*/
.
atu mata uang logam %p // di lemparkan ke atas sebanyak + kali, di mana
probabilitas munculnya gambar burung !(3) sama dengan probabilitas munculnya gambar bukan burung 8 . ;ika P banyaknya gambar burung (3) yang muncul, carilah nilai ratarata J(P) dan simpangan bakunya dengan menggunakan cara : a.
!erhitungan secara langsung
b.
Dengan menggunakan rumus.
!enyelesaian a.
E ( X ) =
∑ x. p ( x) r
E ( X ) = (/)( - ) + ()( -+ ) + ( )( -- ) + (*)( -+ ) + ( +)( - ) 8 (/)(/,/) > ()(/,//) > ()(/,*0/) > (+)(/,/) 8 ,2+ ≈
Di dalam + kali lemparan diharapkan secara rata-rata memperoleh 3 Oar(P) 8 σ 8 J(P < )
∑ ( x − ) . p ( x)
8
r
8
(/ − ) ( - ) + ( − ) ( -+ ) + ( − ) ( -- ) + (* − ) ( -+ ) + ( + − ) ( - )
8 (+)(/,/) > ()(/,//) > (/)(/,*0/) > (+)(/,/) 8
σ = =
b.
Dengan rumus J(P) 8 np 8 + (9) 8
σ 8 npN 8 + (9) (9) 8
2.
Dis"8i)usi P!iss!n
p r ( x) =
λ x e − λ x I
J(P) 8 λ dan Oar (P) 8 λ 6ontoh eorang epala 3agian redit dari suatu bank beranggapan bah4a + dari nasabahnya merasa tidak puas dengan pelayanan bank tersebut. emudian / orang nasabah dipilih secara acak. ;ika P 8 banyaknya nasabah yang tidak puas, hitung pr (H) untuk /, , , ...... , 2 dan hitung distribusi kumulatif 5(P) 8 !(P ≤ H).
!enyelesaian $unakan tabel !oisson dengan n 8 /, λ 8 np 8 / (/,/+) 8 P / * + 0 1 2
!r (H) /,** /,0/0 /,0/0 /,1/+ /,/2/ /,/* /,// /,//*+ /,///2 /,///
5(P) 8 !(P ≤ H). /,** /,+// /,00 /,10 /,2+0* /,21*+ /,22+ /,2211 /,2220 /,2222
&.
Dis"8i)usi ipe8ge!me"8i
p ( x) =
-.
− r C xr .C N n − x
C N n
Dis"8i)usi 7ul"in!mial
x x x* nI ( p p p* ...... p xk k ) p( x , x , x* ,......, x k ) = x I x I x* I....... xk I /.
Dis"8i)usi N!8mal
f ( x )
=
σ
π
.e
−
(
)
x µ σ −
J(P) 8 µ dan Oar (P) 8 σ
.
Dis"8i)usi N!8mal Bau
% =
X − µ
σ
J(Z) 8 / dan Oar (Z) 8 4.
Dis"8i)usi C#iKua8a" + k
k
χ
= ∑ %
i
,
2
,
% =
X − µ
i =
E ( χ ) = µ = υ dan
χ
σ
&ar ( χ υ )
X i − µ = ∑ σ i = n
n
?
= υ
C!n"!# +&,.
uatu kotak yang berisi // buah bola, terdiri dari n 8 / bola merah dan n 8 +/ bola putih. Ada r 8 / bola yang diambil dari kotak secara acak. 3erapa probabilitasnya bah4a terdapat H 8 + yang merah. !enyelesaian : Gleh karena ada n 8 / merah, maka ada n
C x
cara untuk memilih H 8 + bola merah dari n 8 / bola merah.
Dari / bola yang terpilih, r 8 /, maka ada r < H 8 yang putih. ;adi ada
* n
C r − x
cara untuk memilih (r < H) 8 bola putih dari n 8 +// bola putih.
;adi banyaknya cara untuk memilih / bola di mana ada H 8 + merah dan r < H 8
putih adalah
C xn C r n− x
elain itu ada
.
= C /// cara untuk memilih r 8 / bola putih dari // bola.
C N r
p ( x) =
.
C +-/ .C -+/ // /
C
=
-/.2.1.0 +.*..
.*-.* . +/.*2-..*1.+..*0 *..
//.22.21.20.2-.2.2+.2*.2.2 /.2.1.0.-..+.*..
8 /,//*
C!n"!# +-,.
ebuah kotak berisi + barang yang dihasilkan oleh mesin A, 0 oleh mesin 3 dan 2 oleh mesin 6. ebuah barang diambil secara acak, identitas mesin dilihat, lalu disimpan kembali ke dalam kotak. 7entukan peluang di antara 1 barang yang diambil dengan jalan demikian terdapat mesin A, * mesin 3 dan * mesin 6. !enyelesaian : "asing-masing peluang mesin adalah : p ( A) =
+ /
,
p ( B ) = /0 dan p (C ) =
2 /
x x x* nI p( x , x , x* ,......, x k ) = ( p p p* ...... p xk k ) x I x I x* I....... xk I 1I + 0 * 2 * ( / ) .( / ) .( / ) I * I * I
p(, *, *) =
8 /,/10 C!n"!# +/ an ,.
ebuah penelitian di !uskesmas bah4a berat bayi yang baru lahir rata-rata *0/ gram dengan simpangan baku * gram. ;ika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan ada : a. berapa persen bayi yang beratnya lebih dari +/ gram. b. berapa bayi yang beratnya antara *+// gram dan +/ gram, jika ada /// bayi. c. berapa bayi yang beratnya kecil atau sama dengan +/// gram jika semuanya ada /// bayi. d. berapa bayi yang beratnya +// gram jika semuanya ada /// bayi. !enyelesaian :
+ Dengan pemisalan P 8 berat bayi dalam gram, µ 8 *0/ gram dan σ 8 * gram, maka : a.
P 8 +/ % =
% =
X − µ
σ +/ − *0/ *
= ,*1
uas daerah ini 8 /, < /,+*1/ 8 /,//. ;adi ada ,/ dari bayi yang beratnya lebih dari +/ gram. b.
Dengan P 8 *+// dan P 8 +/ didapat : *+// − *0/ % = = −,/0* dan Z 8 ,*1. uas daerah Z 8 - ,/0 adalah (/, < /,*2/) 8 /,+/. ;adi luas daerah yang perlu 8 /,+/ > /,// 8 /,/*/. Artinya bah4a bayi yang beratnya antara *+// gram dan +/ gram diperkirakan ada (/,/*/).(///) ≈ /*.
c.
3eratnya lebih kecil atau sama dengan +/// gram, maka beratnya harus lebih kecil dari +///, gram. +///, − *0/ % = = /,00 * !eluang bayi lebih kecil atau sama dengan +/// gram 8 /, > /,02+ 8 /,002+. ;adi banyak bayi 8 (/,002+).(///) ≈ 002.
d.
3erat +// gram berarti berat antara +/22, gram dan +//, gram. ;adi untuk P 8 +/22, dan P 8 +//, didapat : +/22, − *0/ % = = ,/0 * +//, − *0/ % = = ,/01 * uas daerah yang perlu 8 /,*2 < /,*11 8 /,///0. 3anyak bayi 8 (/,///0).(///) ≈ UNI
U;LA@ #UU J"J7J% $A@;L9$J@A! 7A#U@ A;A%A@ //9//0 "A7A U;LA@ : 7JG%L !JUA@$ !%G$%A" 7UDM : !%G$%A" DL!G"A < * 9 G"!U7J% #A%L97$. : A"L, + ;U@L //0 XA 7 U : / "J@L7 L 5A7 : 3UA 3UU -----------------------------------------------------------------------------------------
.
7iga buah uang logam dilemparkan sekaligus di atas meja. ;ika permukaan uang logam adalah $ (gambar) dan A (angka), buatlah tabel ruang sampel yang mungkin dan berapa peluang bah4a yang muncul dipermukaan setidaktidaknya satu angka
.
7iga bola diambil secara acak dari suatu kotak yang berisi bola merah, + bola putih, dan bola biru. 3erapa probabilitasnya bah4a : a.
!engambilan pertama merah, kedua putih, ketiga biru, bila bola dikembalikan setelah diambil.
b.
!engambilan pertama merah, kedua putih, ketiga biru, bila bola tidak dikembalikan setelah diambil.
∑ C
0
i
*.
#itunglah
i =/
∑ C
0 i
dan
i =/
, dan 6 adalah kombinasi.
Dari hasil yang diperoleh apa yang dapat anda simpulkan.
+.
3erapa banyak bilangan lebih besar /// yang dapat dibentuk dari angka , , *, +, dan . ;ika diambil sebuah bilangan secara acak, tentukan probabilitas bah4a bilangan yang terambil bilangan ribuan yang dimulai dengan angka + merupakan bilangan ganjil.
------------------------------------fb-----------------------------------------
UNI
7A#U@ A;A%A@ //9// : 7A7L7L : LL 9 !%G$%A" DL!G"A < * 9 G"!U7J% : J@L@, * "A%J7 // 9 +./ XL3 9 1/ < 1/+ : 2/ "J@L7 : 3UA 3UU : Drs. 5. 3u\ul]l], ".i
----------------------------------------------------------------------------------------.
7iga bola diambil secara acak dari suatu kotak yang berisi bola merah, + putih, biru. 3erapa probabilitasnya bah4a : a.
!engambilan pertama merah, kedua putih, ketiga biru, bila bola dikembalikan setelah diambil.
b.
!engambilan pertama merah, kedua putih, ketiga biru, bila bola tidak dikembalikan setelah diambil.
c.
!engambilan setidak-tidaknya satu biru, bila bola tanpa pengembalian.
.
#itunglah
∑ i =/
0
C i
∑ C
0 i
dan
i =/
, dan 6 adalah kombinasi.
Dari hasil yang diperoleh apa yang dapat anda simpulkan. *.
3erapa banyak bilangan lebih besar /// yang dapat dibentuk dari angka , , *, +, , dan . ;ika diambil sebuah bilangan secara acak, tentukan probabilitas bah4a bilangan yang terambil bilangan ribuan yang dimulai dengan angka + merupakan bilangan ganjil.
+.
Diketahui Eariabel acak kontinu P mempunyai fungsi densitas eksponensial adalah f(H) 8 +.e < H
, hitunglah :
a.
!( F P F * )
b.
J( F P F ^ )
--------------------------------------------------------------------
Ca"a"an *
K!m A 0 !8ang K!m B 0 ;/ !8ang
oal . Dua dadu dilempar. "isal H menyatakan jumlah mata kedua mata dadu yang terbuka. ;ika A 8 & H 9 H 8 ' dan 3 8 & H 9 H [ / '. #itunglah n(A), n(3) dan n(A∪3). . uatu kotak berisi + bola merah, dan bola biru. Diambil * bola sekaligus. 3erapa probabilitasnya : a. etiga bola merah
0 b. etidak-tidaknya merah c. 7ak ada bola merah /
∑ C
/ k
*. #itunglah :
i =/
+. Jmpat koin dilempar, H menyatakan banyaknya # yang tampak. usun distribusi probabilitasnya, kemudian hitung harga rata-rata. . 7iga kotak A, 3 dan 6. otak A berisi bola merah, bola biru dan * bola putih. otak 3 berisi bola merah, bola biru dan * bola putih. edangkan kotak 6 berisi * bola merah, + bola biru dan * bola putih. Dari satu kotak diambil bola sekaligus. 7ernyata kedua bola adalah putih. 3erapa probabilitasnya bah4a bo la yang kita ambil dari kotak A. . alau hari tidak hujan maka rata-rata tiap hari penjual es batu dapat mengharapkan keuntungan %p. .///,// dan penjual payung mengharapkan kerugian sebesar %p. .///,//. ebaliknya kalau hari hujan, maka penjual es batu mengharapkan kerugian %p. ///,//, tetapi penjual payung mengharapkan keuntungan sebesar %p. .//,//. "enurut ramalan cuaca, tiap hari rata-rata probabilitas akan turun hujan adalah /,+. #itung keuntungan9kerugian rata-rata yang diharapkan oleh masing-masing penjual es batu dan penjual payung. 0. Dari suatu hasil ujian semester didapat data-data sebagai berikut : eluruh pengikut ujian "atematika Dasar, tatistika Dasar dan 3ahasa Lnggris berjumlah / orang. Mang lulus "atematika Dasar orang, yang lulus tatistika Dasar + orang dan yang lulus 3ahasa Lnggris 1 orang. Mang lulus "atematika Dasar dan tatistika Dasar + orang, yang lulus "atematika Dasar dan 3ahasa Lnggris 2 orang dan yang lulus tatistika Dasar dan 3ahasa Lnggris 0 orang. Mang tidak lulus ketiga mata kuliah tersebut berjumlah / orang. "aka tentukan besar peluang seorang mahasis4a bah4a : a. ulus ketiga mata kuliah b. ulus paling tidak satu mata kuliah 1. Ditentukan A 8 &H 9 H* < 0H > 8 /, H T /'. ;ika 3 himpunan bagian dari A, maka tuliskan anggota 3. 7entukan peluang bah4a jumlah anggota 3 : F 3 Y * 'a(a)an
Ada tempat duduk yang kosong, kemudian * orang datang dan duduk. %uang sampel untuk eksperimen ini adalah suatu daftar semua kemungkinan pengaturan untuk *G dan J, karena * tempat diduduki dan tempat dibiarkan kosong. %uang sampel adalah kombinasi * unsur dari unsur adalah /.