Studiul pendulului gravitational Scopul acestei lucrari este determinarea acceleratiei gravitationale din masuratori ale perioadei pendulului gravitational. Pendulul gravitational este format dintr-un corp de dimensiuni reduse (PM) si un firinextensibil cu masa neglijabila ,cu un capat fixat iar cu celalalt legat la PM. Conditia pentru ca oscilatiile pendulului gravitational sa fie armonice este ca unghil pe care il formeaza tija sau firul fata de verticala sa fie mai mic sau egal cu 5°. Aceasta proprietate are loc deoarece pentru unghiul α∈(0°, 5°) sin α≅ α. Forta gravitationala care aduce pendulul in statrea de echilibru este alcatuita din 2 componente: greutatea tangentiala(Gt) si greutatea normala(Gn). Greutatea tangentiala este definita dupa expresia Gt = G•sin α, unde G reprezinta greutatea corpului atarnat de fir sau de tija iar α reprezinta ungiul pe care il formeaza firul sau tija cu verticala. G = m•g unde m reprezinta masa corpului iar g reprezinta acceleratia gravitationala. Daca notam distanta pe care se deplaseaza corpul atarnat cu x, iar lungimile tijei sau ale firului cu l, atunci sin α=x/l ⇒ Gt = m•g•x/l. Perioada(T) este o marime fizica scalara ce reprezinta timpul in care se efectueaza n oscilatii complete.Unitatea de masura pentru perioada in sistemul international este de o secunda [T]s.i. = 1s. Perioada este definita de relatia T = 2•∏•√(l/g). Deducerea relatiei utilizate pentru perioada: Fortele care actioneaza asupra corpului atarnat sunt forta elastica(F) si forta gravitationala(G). Cand pendulul este in stare de repaus acestea sunt opuse ca sens si egale i modul F = G. F este definita Ca produsul dintre o constanta k si l(lungimea firului sau a tijei) ⇒ k•l = m•g ⇔ k = m•g/l (1). T = 2•∏•√(m/k) (2). Din relatiile (1) si (2) ⇒ T = 2•∏•√(l/g). Metoda 1 de calcul pentru acceleratia gravitationala: Pentru de 50 de oscilatii ale pendulului se masoara timpul si se calculeaza perioada cu formula T = t/n unde t reprezinta timpul in care s-au efectuat cele 50 de oscilatii iar n reprezinta numarul de oscilatii. Din relatia perioadei se va calcula acceleratia gravitationala g = 4•∏²•l/g. Se va construi un tabel in care vor apare marimile de mai sus si acceleratia medie(ğ), eroarea absoluta(g- ğ/ ğ)si o eroare relativa in procente (│g- ğ│/ ğ). Metoda a doua este metoda grafica. In relatia T² =4•∏²•l/g ,marimea 4•∏²/g este constanta si o vom nota cu a ⇒ T² = a•l⇒ T² este o functie liniara in raport cu l ⇒ graficul este o dreapta care trece prin originea sistemului ortogonal de axe si f = a•x (3). Pe grafic se aleg 2 puncte variabile M1 si M2 de coordonate x1, y1, x2, y2. Se va alege un punct P astfel incat sa se formeze un triunghi dreptunghic cu unghiul drept in M1PM2. In triunghil M1M2P se noteaza cu αunghiul ditre M1M2 si M1P. Se va calcula tgα = M2P/M1P = (y2-y1)/(x2-x1)=(ax2-ax1)/(x2-x1) = a•(x2-x1)/(x2-x1) = a ⇒ tgα = a (4). Din relatiile (3) si (4) ⇒ tgα = 4•∏²/g ⇒ g = 4•∏²/ tgα Cu aceasta relatie se caluleaza acceleratia gravitationala.
Pentru experiment utilizam un pendul gravitational care este format dintr-un suport pe care se sprijina o tija metalica,pe care se afla doi cilindri care se pot fixa pe tija cu doua suruburi.Deasemenea mai avem nevoie de o rigla si de un cronometru. Pentru efectuarea experimentului masuram cu liniarul lungimea tijei si fixam cei doi cilindri pe tija.Ridicam pendulul cu un unghi mai mic de 5° si il lasam sa cada liber.La un moment dat pornim cronometrul si masuram 50 de oscilatii complete pe care le face pendulul.Trecem apoi in tabel datele astfel obtinute. Se va intocmi si un tabel cu ajutorul caruia se va face graficul lui T². Deoarece in grafic s-au obtinut mai multe puncte care nu sunt colineare, graficul se va trasa printre acestea pentru a obtine o valoare medie cat mai buna. Apoi se va determina g cu cea de-a doua metoda descrisa mai sus. Tabelul 1 cu datele numerice. Nr. det 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
l(m)
t(s)
n
T
g(m/s²)
0 0,77 0,73 0,7 0,68 0,65 0,60 0,53
84,97 84,41 81,56 81,97 80,69 78,69 77,5 74,6
50 50 50 50 50 50 50 50
1,6994 1,6882 1,6312 1,6394 1,6138 1,5738 1,55 1,492
10,9359 10,666 10,8309 10,2822 10,3078 10,3603 9,8503 9,399
ğ(m/s²)
10,3302
g-ğ(m/s²)
g-ğ/ ğ( %)
0,6056 0,3358 0,5007 0,048 0,0224 0,0301 0,4709 0,9312
5,86 3,3506 4,8469 0,46 0,2168 0,2913 5,9899 9,0143
Tabelul 2 pentru trasarea graficului. l(m) T²(s²)
0,8 2,88
0,77 2,85
0,73 2,66
0,7 2,68
0,68 2,6
0,65 2,47
0,6 2,4
0,53 2,22
Pentru calculul acceleratiei gravitationale cu metoda grafica am procedat astfel: -am fixat unitatea de masura pe axa ox si anume 1m=100mm iar pe axa oy 1s²=40mm Am calculat lungimea (x2-x1)respectiv (y2-y1) in metri respectiv in s² cu regula de trei simpla: 1m......100mm x1m.......10mm rezulta ca x1=0,1.Analog se calculeaza x2=0,33 1 s².....40mm y1 s²....15mm rezulta ca y1=0,37.Analog se calculeaza y2=1,25 ⇒(x2-x1)=0.23 (y2-y1)=0.88 ⇒ tgα=0.88/0.33=3.8 ⇒g=⇒ g = 4•∏²/ tgα=10.3684 Prin metoda 1 s-a obtinut o acceleratie gravitationala medie de 10,3302 m/s². Prin metoda 2 s-a obtinut o acceleratie gravitationala egala cu 10.3684 (In primul caz s-a obtinut o acceleratie gravitationala medie putin mai mica decat in cel de-al doilea caz) Acceleratiile obtinute cu metodele 1 si 2 sunt mai eronate decat acceleratia gravitationala g=9,8 m/s².
Unghiul format de pendul cu verticala nu a fost tot timpul mai mic de 5°. Masurarea incorecta a lungimii tijei Masurarea incorecta a celor 50 de oscilatii complete
