BAB
V
SUKUBANYAK
Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan mampu: 1. men menjel jelask askan an alg algori oritma tma pem pembag bagian ian suk sukuba ubanya nyak, k, 2. mene menentuk ntukan an deraja derajatt suku suku banyak banyak hasilb hasilbagi agi dan dan sisa sisa pembag pembagian ian dalam dalam algo algoritm ritmaa pembagian, 3. mene menentuk ntukan an hasi hasilbag lbagii dan dan sisa sisa pemb pembagia agian n sukuba sukubanyak nyak oleh bent bentuk uk linea linearr dan dan bentuk kuadrat, 4. men menentu entukan kan sisi sisi pemb pembagia agian n sukuban sukubanyak yak oleh oleh bentu bentuk k linear linear dan dan bentuk bentuk kuad kuadrat rat dengan teorema sisa, 5. men menentu entukan kan fakt faktor or linea linearr dari dari sukub sukubany anyak ak denga dengan n teorem teoremaa faktor faktor,, 6. meny menyeles elesaik aikan an persam persamaan aan sukub sukubany anyak ak denga dengan n menent menentukan ukan fakt faktor or linea linear, r, 7. me membu mbukti ktikan kan teo teorem remaa sisa sisa dan teo teorem remaa fakt faktor or..
BAB V ~ Sukubanyak
161
Pengantar
Gambar 1.1 Seorang anak sedang membuat kotak dari d ari kayu
Herman bermaksud membuat suatu kotak yang volumenya 270 dm 3 , dengan ketentuan bahwa lebar kotak 3 dm lebih pendek dari panjangnya, dan tingginya 1 dm lebih pendek dari lebarnya. Berapa ukuran kotak yang dapat dibuat oleh Herman? Untuk meyelesaikan kotaknya Herman mempunyai alur pemikiran berikut ini. Misal lebar kotak adalah x x dm, dm, maka panjang kotak adalah (x ( x ++ 3) dm, dan tingginya adalah x ++ 3) x x ((x x 1) dm3. Karena Herman membatasi ( x − 1) dm, sehingga volume kotak adalah ( x bahwa volume kotak adalah 270 dm 3 , maka ia mempunyai (x 2x 2 3x 3x 270 = 0. x ++ 3) x x ((x x 1) = 270 atau x 3 + 2x Dengan demikian untuk menentukan ukuran kotak itu, Herman harus mencari x x sehingga sehingga memenuhi persamaan sukubanyak itu. Terdapat cara yang mendasar yang dapat dilakukan oleh Herman, yaitu dengan subtitusi x x yang yang dipilih atau dengan memfaktorkan sukubanyak itu lebih dahulu. Tetapi Herman kebingungan dengan besarnya pangkat x dan besarnya konstanta persamaan di atas. Untuk membantu menyelesaikan masalah Herman di atas, kita lebih dahulu perlu mengingat kembali konsep-konsep tentang operasi hitung bilangan real, pangkat, koefisien, algoritma pembagian bilangan bulat, peubah atau variabel pada bentuk aljabar, dan sistem persamaan linear. Dengan menguasai konsep-konsep tersebut secara tuntas, kita dapat membantu menyelesaikan masalah Herman di atas.
162
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
5. 1 Me Mengh nghit itun ung g Ni Nila laii Su Suat atu u Su Suku kuba bany nyak ak Bentuk aljabar x 2 + 3 x − 7 dan 3 x 5 + x 3 − 8 x + 1 disebut suku banyak (polinom) dalam peubah (variabel) x x yang yang masing masing berderajat dua dan lima. Derajat suatu sukubanyak dalam x dimaksudkan adalah pangkat tertinggi dari x dalam sukubanyak x dimaksudkan x dalam itu. Secara umum, sukubanyak atau polinom dalam x berderajat n dapat dituliskan dalam bentuk berikut ini. an x
n
+ an−1 x n−1 + an− 2 x n −2 +
K
+ a2 x 2 + a1 x + a0
dengan: -
an , an −1 , K , a0 adalah konstanta-konstanta bilangan real dan an
≠ 0 . Konstanta
ak
k
disebut koefisien dari suku x dan a0 disebut suku tetap. - n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat sukubanyak. Sebagai contoh, jika kita mempunyai sukubanyak berderajat 3, 2 x
3
− 5x2 + 3
maka koefisien dari x 3 adalah 2, koefisien dari x 2 adalah 5 , koefisien dari x x adalah adalah 0, dan suku tetap adalah 3. Suatu sukubanyak dalam x dapat kita tuliskan sebagai fungsi dari x . Misalkan sukubanyak dalam bentuk umum di depan dapat dituliskan sebagai fungsi F ( x ) sebagai berikut. F ( x ) = an x
n
+ an−1 x n −1 + an− 2 x n− 2 + + a2 x 2 + a1 x + a0 K
Dengan menyatakan sukubanyak sebagai fungsi, maka nilai sukubanyak itu dengan mudah dapat ditentukan. Secara umum, nilai suku banyak F ( x ) untuk x = h adalah nilai yang diperoleh dengan mengganti x x dengan dengan h , yaitu F ( h) . Sebagai contoh, untuk F ( x ) = −2 x maka nilai sukubanyak untuk x x == 2 adalah
3
+ 5x − 8
F ( 2) = −2 ⋅ 2 + 5 ⋅ 2 − 8 = −14 Cara subtitusi untuk menghitung nilai sukubanyak seperti di atas merupakan cara yang panjang, kecuali dalam keadaan yang sederhana. Adakah cara yang lebih efektif dan mudah menghitung nilai sembarang sukubanyak? 3
Misalkan kita menghitung F ( x) = a3 x subtitusi kita peroleh a3 h
3
+ a2 h 2 + a1h + a0 a3 h
3
F (h) = a3 h
3
3
+ a2 x 2 + a1 x + a0
+ a2 h 2 + a1h + a0 .
untuk x x == h . Dengan cara Kita dapat menuliskan
ke dalam bentuk:
+ a2 h 2 + a1h + a0 = ⎡⎣ a3 h 2 + a2 h + a1 ⎤⎦ h + a0 = [(a3h + a2 )h + a1 ] h + a0 .
BAB V ~ Sukubanyak
163
Dengan membalik proses itu, kita dapat membentuk a3 h3 + a2 h 2 + a1h + a0 dengan 3 langkah berikut. 1) Langkah pertama Kalikan a3 dengan h dan jumlahkan hasilnya dengan a2 , maka diperoleh h dan a3 h + a2
2) Langkah kedua Kalikan a3 h + a2 dengan h h dan dan jumlahkan hasilnya dengan a1 , maka diperoleh a3 h
2
+ a2 h + a1
3) Langkah ketiga Kalikan a3 h 2 + a2 h + a1 dengan h dan jumlahkan hasilnya dengan a0 , maka diperoleh a3 h + a2 h + a1h + a0 Proses mengalikan dan menjumlahkan pada langkah-langkah di atas, dapat kita susun dalam skema berikut ini. 3
a 3
h
a 2
a 1 a3 h
a3 h a3
Tanda
2
a3h + a2
a 3h
2
2
a 0
+ a2h
+ a2h + a1
a 3h a 3h
3
3
+ a 2h 2 + a1h + a 2h 2 + a1h + a 0 = F (h )
menyatakan kalikan dengan h . .
Pada proses perhitungan ini kita perhatikan bahwa: 1) Baris pertama sebelah kanan garis tegak adalah koefisien sukubanyak yang disusun disusun dari koefisien pangkat tertinggi sampai koefisien dengan pangkat terrendah. Dalam hal salah satu suku muncul, koefisiennya diambil sama dengan nol. 2) Seti Setiap ap panah panah menu menunjuk njukkan kan perk perkali alian an denga dengan n h yang kemudian diikuti dengan penjumlahan. Cara menghitung nilai F ( h) dengan proses ini lebih dikenal dengan skema Horner. Kita dapat menunjukkan bahwa cara ini benar untuk sembarang suku banyak. Contoh 5.1.1
Hitunglah nilai sukubanyak F ( x ) = 2 x 3 + 7 x 2 − 5 untuk x = 2. = 2. Penyelesaian: Sukubanyak F ( x ) = 2 x3 + 7 x 2 − 5 mempunyai koefisien-koefisien a3 a1
=0
dan a0
a2
= 7 ,
= −5 . Dengan skema Horner, kita peroleh 2
2
2 Tan anda da
= 2 ,
7
0
5
4
22
44
11
22
39 = F(2)
meny me nyat ataka akan n kal kalika ikan n denga dengan n 2. 2. Jadi, Jadi, nila nilaii suku sukuban banya yak k adala adalah h F ( 2) = 39 . W
164
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
Latihan 5.1 1.
Sebutkan nam Sebutkan namaa peubah, peubah, dera derajat, jat, dan koefi koefisien sien-koe -koefisi fisien en dari dari setiap setiap suku sukubanya banyak k berikut. a. x 2 + 3x 3x ++ 1 c. 5 t 2 4t 4t 4 b. 3 y 3 6 y y 4 d. x 6 4x 4x 3 + 8x 8x 2 6x 6x 2. Tent ntuk ukaan ko koefi fissien : 2 a. x dalam (3x (3x ++ 4) (1 2x 2 x ) c. x 3 dalam (2x (2x 9) (3x (3x 2 + 2) b. x x dalam dalam (x ( x ++ 2) (2x (2x 1) d. x x dalam dalam (x ( x ++ 1) (x (x 2 + x x ++ 3) 3. Tul ulis isla lah h fak fakto torr yan yang g lai lain n pad padaa : a. 2x 2 5x 5x 7 = (x (x ++ 1) ( ) b. 4x 2 20x 7 = (2x (2 x 1) ( ) 4.
Hitunglah F ( a ) untuk nilai a yang diberikan dari setia sukubanyak yang diberikan: a. b.
a == 2 − 2 x 2 + x − 1 ; a 3 F ( x ) = x + 3x + 8 ; a a == 3 3
c.
F ( x) = x
4
a == − 2 x 2 + 1 ; a
4
5.
Hitungla Hitun glah h nilai nilai setia setiap p sukuba sukubanya nyak k yan yang g diberi diberikan kan untu untuk k x yang ditentukan. x yang 3 2 4 2 a. x + 5x 5x 4x 4x +7 +7 untuk x c. 2x + 9x 9x 3 x x == 1 x ++ 2 untuk x x == 1 2 4 2 b. 5x 3x 3x 8 untuk x x == 1/2 d. 4x 8x 8x + 15x 15x ++ 2 untuk x x == 2
6.
Gunaka Guna kan n skem skemaa Horn Horner er unt untuk uk men mengh ghit itun ung g F ( a ) untuk nilai a a yang yang ditentukan, dari setiap sukubanyak yang diberikan. a. F ( x ) = 2 x 2 + 6 x + 8 ; a a == 3, d. 2x 3 3x 3x 2 + 9x 9x ++ 12 ; a = 0, 0,5 5 , b. c.
5.2
F ( x) = x
3 2 a == 1, F ( x ) = x + 4 x + 1 ; a 4 2 2x + 3x 3x + 5x 5x ;; a a == 2,
e. f.
5x 4 + 2x 2x 3 4x 4x 2 + 1 ; a = 0,6, 0,5x 2 + 3 ; a = 0,5. x 5 0,5x
Pem emba bagi gian an Su Suku kuba bany nyak ak Kita ingat kembali cara pembagian bilangan bulat dalam bentuk panjang ketika di Sekolah Dasar dulu. Untuk mengingat kembali algoritma itu, kita ikuti contoh berikut ini. Contoh 5.2.1 Hitunglah 183 : 15 dalam bentuk panjang. Penyelesaian: Pembagian itu menunjukkan: 183 = (15 × 10) + 33 12 = (15 × 10) + (15 × 2) + 3 183 = (15 × 12) + 3 150 Pembagian berhenti di sini karena sisanya 3 kurang dari 15. 33 Jadi 183 = (15 × 12) + 3. 30 Pada pembagian di atas: 183 disebut terbagi , 15 disebut pembagi , , 12 disebut hasilbagi, 3 disebut sisa. 3 Algoritma pembagian bentuk panjang itu dapat pula kita lakukan dalam pembagian sukubanyak. W
BAB V ~ Sukubanyak
165
Contoh 5.2.2 Bagilah 2x 2 x 3 + 7x 7x 2 5 dengan x x 2. Penyelesaian: 2 x + 11x + 22 3 2 2 x + 7 x − 5 2
2 x
3
Pembagian itu menunjukkan: 2x 3 + 7x 7x 2 5 = (x 2)2x 2 + 11x 11x 2 5 x 2)2x
− 4 x2
= (x (x 2) 2x 2x 2 + (x (x 2)11x 2)11x + 22x 5
−5 2 11 x − 22 x
= (x (x 2)2x 2)2x 2 + (x (x 2)11x 2)11x + (x (x 2)22 + 39
11 x
2
= (x (x 2)(2x 2)(2x 2 + 11x 11x + 22) + 39 Pembagian berakhir di sini karena sisanya 39 berderajat lebih rendah daripada x x 2. 2 Jadi hasilbaginya 2x 2x + 11x 11 x + 22 dan sisanya 39. Bandingkan sisa pembagian pada contoh 5.2.2 di atas dengan hasil pada contoh 5.1.1. Apa yang dapat kita simpulkan? Benar bahwa dalam kedua contoh itu, sisa pembagian sama dengan nilai F (2) .
22 x − 5 22 x − 44 39
W
Hasil ini tetap benar untuk F ( x ) = a3 x3
+ a2 x 2 + a1 x + a0 .
Kita perhatikan dua
perhitungan berikut ini. Pertama, menentukan nilai a3 x 3 + a2 x 2 skema Horner, h
a 3
a 2
a3h + a2
a3 h a 3h
2
2
a 0 3
+ a2 h
a 3h
+ a2h + a1
Kedua, pembagian sukubanyak a3 x3 + a2 x 2 pembagian, a3 x
2
+
( a3h + a2 ) x
+ a2 x 2 3 2 a3 x − a3hx a3 x
jika x x diganti diganti dengan h h dengan dengan
a 1
a3 h a3
+ a1 x + a0
+ a1 x
3
(a3 h + a2 ) x
+
(a3h
2
3
a 3h
+ a 2h 2 + a1h + a 2h 2 + a1h + a 0 = F (h )
+ a1 x + a0
oleh x − h dengan algoritma
+ a2h + a1 ) + a0
+ a1 x 2 2 (a3 h + a2 )x − (a3h + a 2 h ) x 2
+ a2h + a1 ) x + a0 2 3 2 (a3 h + a2 h + a1 ) x − (a3h + a2 h + a1h ) (a3 h
2
a3 h
166
3
+ a2 h 2 + a1h + a0 = sisa
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
Dengan membandingkan kedua perhitungan tersebut, maka kita dapat menyimpulkan bahwa jika F ( x) = a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0 dibagi dengan x − h : 1. Si Sisa sa pem pemba bagi gian an ada adala lah h F (h) = a3 h3
+ a2 h 2 + a1h + a0 2 2 a3 x + ( a3 h + a2 ) x + (a3 h + a2 h + a1 )
2. Koef Koefis isie ien n hasi hasilb lbag agii tepat sama dengan bilangan-bilangan yang terletak pada baris terbawah pada perhitungan pertama, tanpa F (h ). ). 3. Jumlah derajat pembagi dan derajat hasilbagi sama dengan derajat terbagi. Derajat sisa paling besar satu lebih kecil dari derajat pembagi. Ternyata perhitungan pertama merupakan cara yang sangat singkat dan skematik untuk menunjukkan pembagian F (x ) oleh x − h . Pembagian skema Horner ini dikenal sebagai pembagian sintetik. Contoh 5.2.3
Tentukan hasil bagi dan sisanya dari pembagian x + x − 16 oleh x 2 + 3 x + 2 dengan algoritma pembagian. Penyelesaian: Karena pembagi berderajat 2, maka hasil bagi berderajat 2 dan sisa paling besar berderajat 1. 2 x − 6 x + 17 4
+ x 2 − 16 4 3 2 x + 6x + 2x − 6 x 3 − x 2 − 16 −6 x3 − 18 x 2 + 12 x 2 17 x − 12 x − 16 2 17 x + 51x + 34 − 63 x − 50
x
2
4
Jadi, hasil bagi pembagian 2 4 2 x + x − 16 oleh x + 3 x + 2
− 6x + −63 x − 50 .
adalah x sisanya
2
17 da n
W
Contoh 5.2.4 Bagilah sukubanyak F (x ) = x 3 + 3x 3x 2 4x 4x ++ 1 dengan x x ++ 3. Tulislah sukubanyak itu dalam
bentuk F ( x) = ( x + 3) H ( x ) + S , dengan H (x ) adalah hasil bagi dan S S adalah adalah sisa. Penyelesaian: Pembaginya adalah x + 3 = x − (−3) , –3
1
3
-4
1
-3
0
12
1
0
-4
13
sedang hasilbagi adalah x 2 4 dan sisanya 13. Lebih lanjut, sukubanyak dapat kita tuliskan sebagai bentuk F ( x ) = ( x + 3) H ( x ) + S , H (x ) = x 2 4 dan S S == 13.
dengan W
Jika sukubanyak F (x ) dibagi dengan (x ( x h ) memberikan sisa sama dengan 0, maka kita katakan bahwa F (x ) habis dibagi dengan (x (x h ) atau (x (x h ) merupakan faktor dari F (x ). ). Hal ini akan kita diskusikan pada sub-bab 5.4. BAB V ~ Sukubanyak
167
Latihan 5.2 1.
2.
3.
4.
5. 6. 7. 8.
5.3
Kerjakan Kerjaka n setiap setiap pemba pembagia gian n berikut berikut denga dengan n algorit algoritma ma pemba pembagian gian dan dan sajika sajikan n hasilnya dalam bentuk : terbagi = (pembagi × hasilbagi) + sisa, seperti pada contoh 5.2.1. a. 46 : 7 c. 3543 : 28 b. 100 : 13 d. 8041 : 36. Kerjaka Kerj akan n setiap setiap pemba pembagia gian n berikut berikut denga dengan n algorit algoritma ma pemba pembagia gian n dan sajika sajikan n hasilnya dalam bentuk : terbagi = (pembagi × hasilbagi) + sisa. a. 6x x ++ 8 dibagi x x 3 b. x 2 + 5x + 4 dibagi x x ++ 2 3 2 c. 8x + x 4x 4x ++ 11) dibagi x x ++ 5 d. 2 x 3 4x 4x 2 5x 5x ++ 9 dibagi x 2 + 5x 5x ++ 1 Tentu entukan kan sisa sisa pada pemb pembagia agian n berikut berikut,, dan bandi bandingka ngkan n hasilny hasilnyaa dengan dengan F (a ) untuk F (x ) dan a a yang yang diberikan. 2 a. x + 3 x x ++ 7 dibagi oleh x x 1; F (x ) = x 2 + 3 x x ++ 7 , a a == 1. 2 2 b. x 8 x x 13 dibagi oleh x x ++ 2; F (x ) = x 8 x x 13 , a a == 2. 3 2 2 c. 2x + 3x 3x 5x 5x ++ 21 dibagi oleh x x ++ 3; F (x ) = x 8 x x 13, a a == 3. Kerjakan Kerja kan pemba pembagian gian beri berikut kut denga dengan n pembagi pembagian an sintet sintetik ik untuk untuk menen menentuka tukan n hasil hasil bagi dan sisanya. a. 2x 2 + 3x 3x + 4 dibagi x x 1 c. x 3 + 2x 2x 2 3x 3x ++ 4 dibagi x x 3 2 3 2 b. 3x 5x 5x ++ 7 dibagi x x ++ 2 d. 5x 5 x 7x 7x + 5x 5x ++ 4 dibagi x x ++ 3 Jika P (x ) = x 3 + 2x 2x 2 x x 2, buktikan bahwa x x ++ 2 adalah faktor dari P (x ). ). Nyatakan P (x ) dalam faktor tersebut. Dari Da ri fa fakt ktor or-f -fak akto torr li line near ar x x 1, 1, x x ++ 2 dan x x 3 manakah (jika ada) yang merupakan faktor dari x 3 6x 6x 2 + 11x 11x 6. Buktikan bahwa x 3 5x 5x 2 + 7x 7x 2 habis dibagi oleh x x 2. Jika persamaan x 3 x 2 32x 32x ++ a dan akar-akar a == 0 mempunyai akar 2. Tentukan a a dan yang lain.
Teorema Sisa Apakah benar jika F (x ) sembarang sukubanyak dibagi dengan ( x − h) sisanya pasti F ( h )? ) ? Pembahasan pada sub-bab 5.2 menunjukkan bahwa hal itu benar untuk sembarang sukubanyak berderajat lebih kecil atau sama dengan tiga. Lebih lanjut, pembagian sintetik menunjukkan bahwa menentukan sisa pembagian oleh ( x − h) adalah proses yang sama seperti menghitung F (h ). ). Ternyata hasil ini benar untuk sembarang sukubanyak. Jika suatu sukubanyak F (x ) dibagi dengan ( x − h) maka hasilbaginya adalah suatu sukubanyak yang lain yang dapat dinyatakan dengan H (x ). ) . Dengan algoritma pembagian kita memperoleh hubungan
F (x ) = ( x − h )H (x ) + S dengan S S sisa sisa yang berupa suatu konstanta yaitu tidak memuat x . Karena, jika sisa S masih memuat x maka pembagian itu masih dapat dilakukan satu langkah lagi. x maka 168
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
Teorema 5.1 (Teorema Sisa)
Jika sukubanyak F (x ) dibagi dengan (x ( x h ) , , maka sisanya adalah F (h ). ). Bukti: Misalkan hasilbaginya H (x ) dan sisanya S . Derajat S S lebih lebih rendah satu daripada derajat ( x − h) . Oleh karena itu, S S adalah adalah konstanta. Padahal F (x ) = ( x − h )H (x ) + S untuk semua x . Jika x x diganti diganti dengan h , maka diperoleh :
F (h ) = ( h − h )H (h ) + S = 0 · H (h ) + S =0+S Jadi, F (h ) = S . W
Contoh 5.3.1 Tentukan sisa jika 3 x 5 +5 +5x x 6 dibagi ( x x 2). Penyelesaian: Jika F (x ) = 3x 3x 5 +5 +5x x 6, maka (2) = 3.25 + 5.2 6 = 100 F (2) Jadi, menurut Teorema Sisa, sisanya adalah 100. W
Contoh 5.3.2 Buktikan bahwa 4x 7 9x 9x 2 +5 habis dibagi oleh ( x x 1). Bukti: Untuk membuktikan F (x ) = 4x 7 9x 2 +5 habis dibagi oleh (x ( x 1), cukup dibuktikan bahwa sisa pembagian itu sama dengan 0. Perhatikan bahwa
F (1) (1) = 4.17 9.12 + 5 = 0. Karena sisanya F (1) (1) = 0, maka maka sukubanyak sukubanyak 4 x 7 9x 9x 2 +5 habis habis dibagi dibagi oleh oleh ( x x 1). W
(
)
(
)
b b Karena ax − b = a x − a , maka pada pembagian F ( x ) oleh x − a sisanya
( )
b adalah F a , dan hasil baginya adalah H (x ). ). Dalam hal ini,
(
)
( ) ⇔ F ( x) = ( ax − b ) H a( x) + F ( ba )
b F ( x) = x − b a H ( x) + F a
Hal ini membuktikan teorema berikut ini.
Teorema 5.2
( )
b Jika sukubanyak F (x ) dibagi dengan (ax ( ax b ), ), maka sisanya F a .
Contoh 5.3.3 Tentukan hasil bagi dan sisanya jika F (x ) = 2x 2x 4 + x 3 x 2 + 6x 6x 1 dibagi (2x (2 x 1).
BAB V ~ Sukubanyak
169
Penyelesaian:
Pembaginya adalah 2 x − 1 = 2( x − 12 ) , 1 2
2
1
1
1
1
2 F ( x ) = (x − 12 )( 2 x
2 3
6
1
0 0
3 6
2
+ 2 x 2 + 6) + 2 = (2 x − 1)( x3 + x 2 + 3) + 2 .
Jadi, hasil bagi pembagian 22x x 4 + x 3 x 2 + 6x x 1 oleh (2x (2 x 1) adalah x sisanya 2.
3
+ x2 + 3
dan W
Dengan memperhatikan Teorema 5.1 dan 5.2, secara umum kita peroleh bahwa sisa merupakan sukubanyak yang berderajat satu lebih kecil dari derajat pembaginya. Oleh karena itu, Teorema Sisa dapat kita terapkan pula apabila pembaginya suatu sukubanyak yang dapat difaktorkan menjadi sukubanyak berderajat satu. Contoh 5. 3.4
Sukubanyak F (x ) dibagi ( x + 2 ) sisanya 14, dan jika dibagi ( x − 4 ) sisanya 4. Tentukan sisanya jika F (x ) dibagi x 2 2x 2x ++ 8. Penyelesaian: Misalkan hasilbaginya adalah H (x ) dan sisanya adalah ax + b , F (x ) = (x 2 2x x ++ 8) H (x ) + (ax + b ) = (x x 4)(x 4)(x ++ 2) H (x ) + (ax + b ) Dengan Teorema Sisa, F (2) (2) = 14 dan F (4) (4) = 4 Di pihak lain, (2) = (2 4)(2 + 2) H (2) (2) 2a 2a + b F (2) b == 2a + b F (4) (4) = (4 4)(4 + 2) H (4) (4) + 4a 4a + b b == 4a 4a + b Kita peroleh sistem persamaan linear 2aa + b 2 b == 14 dan 4a + b b == 4, yang mempunyai penyelesaian a = 3 dan b = 8. Jadi, jika F (x ) dibagi x 2 2x + 8 memberikan sisa (8 3x 3 x ). ). W
Contoh 5.3.6 Misalkan sukubanyak x 5 + ax 3 + b dibagi (x (x 2 1) sisanya adalah (2x (2x ++ 1). Tentukan b dibagi a dan b . Penyelesaian: Misalkan hasilbaginya hádala H (x ). ). Dari Teorema Sisa (x 2 1). H (x ) + 2x + 1 x 5 + ax 3 + b b == (x + 1 = (x (x 1)(x 1)(x ++ 1) H (x ) + 2x + 1 + 1 Untuk x x == 1 ⇒ 15 + a .1 .13 + b = (1 1)(1 + 1). H (1) (1) + 2.1 + 1
a + b b == 3 170
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
Untuk x x == 1
.(1)3 + b b == ( 1 1)( 1 + 1). H (1) (1) + 2.(1) + 1 ⇒ (1)5 + a .(1)
a + b = b = 0 Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear a + b b == 3 dan a + b = b = 0 kita peroleh a a == b b == 3/2. Jadi, nilai yang memenuhi adalah a a == b b == 3/2. W
Latihan 5.3 1.
2.
3.
4.
5. 6. 7.
8. 9.
10.. 10
Tent entuka ukan n sisa sisa dari dari set setiap iap pem pembag bagian ian ber berik ikut. ut. 3 2 a. x 3x 3x + 5x 5x 9 dibagi (x ( x ++ 2) 4 3 2 b. x 2x 2x 3x 3x 4x 4x 2 dibagi (x ( x 2) 3 2 c. 5x + 21x 21x + 9x 9x 1 dibagi (5 (5x x ++ 1) 4 3 2 d. 6x + 5x 5x 11x 11x + 6x 6x 10 dibagi (3x (3 x ++ 2) Tentu entukan kan hasi hasilbag lbagii dan dan sisa, sisa, dari dari setia setiap p pembagi pembagian an yang yang dibe diberika rikan. n. a. 2x 3 + 5x 5x 2 11x 11x ++ 8 dibagi (2 (2x x 1) 3 2 b. 2x x 1 dibagi (2x (2 x ++ 3) c. 4x 4 5x 5x 2 + 6x 6x 12 dibagi (2x (2 x ++ 1) 4 3 2 d. 3x + 5x 5x 11x 11x + 6x 6x 10 dibagi (3x (3 x 1) Tentukan a a dan dan atau b b sehingga: sehingga: 3 2 a. 6x x 9x 9x ++ a habis dibagi (2x (2 x ++ 3) a habis b. 4x 4 12x 12x 3 + 13x 13x 2 8x 8x ++ a habis dibagi (2 (2x x 1) 3 2 2 c. x 4x 4x + ax ax ++ b b habis habis dibagi ( x 3x 3x +2 +2 ) d. x 4 2x 2x 3 + ax 2 + 2x 2x ++ b habis dibagi (x (x 2 2x 2x 3) 3) Tent entuka ukan n sisa sisa dari dari setiap setiap pem pembag bagia ian n yang yang diber diberik ikan. an. 3 2 2 a. 2x 5x 5x x x ++ 4 dibagi (x ( x 4x 4x 5) 4 3 2 b. x 3 3x x 5x 5x + x x 6 dibagi (x ( x 2 x x 2) 7 4 3 c. x 4x 4x + 3x 3x dibagi dibagi (x (x 4x 4x ) 9 2 3 d. x + 5x 5x 4 dibagi (x ( x x ) Sukubanyak F (x ) jika dibagi (x ( x + 1) sisanya adalah 3, dan jika dibagi ( x 1) sisanya adalah 5. Tentukan sisanya jika F (x) x) dibagi dibagi (x (x 2 1). Sukubanyak F (x ) jika dibagi (x ( x 1) sisanya adalah 4, dan jika dibagi (x ( x 2) sisanya adalah 5. Tentukan sisanya jika F (x) x) dibagi dibagi x 2 3x 3 x ++ 2. Sukubanyak F (x ) jika dibagi (x ( x 1) 1) sisanya adalah 24, jika dibagi ( x x ++ 1) sisanya adalah 8, dan jika dibagi (x ( x 3) sisanya 32. Tentukan sisanya jika F (x) dibagi x) dibagi (x 2 1)(x 1)(x 3). Sukubanyak F (x ) jika dibagi (x (x 2 x ) sisanya adalah (5x (5 x ++ 1), jika dibagi (x ( x 2 + x ) sisanya adalah (3x (3 x ++ 1). Tentukan sisanya jika F (x) x) dibagi dibagi (x (x 2 1). Tentukan a dan atau b jika: a dan b jika: 4 3 2 a. 2x + ax + 2x 2x 3x 3x ++ b dibagi (x ( x 2 1) sisanya adalah (6x (6 x ++ 5) b dibagi 4 3 2 b. 2x + ax + x x ++ b b dibagi dibagi (x (x x x 2) sisanya adalah (8 (8x x ++ 5) 7 5 2 c. x + ax + b b dibagi dibagi (x (x 1) sisanya adalah (4 (4x x ++ 1) Sukub ubaanyak F (x ) jika dibagi (x ( x 2 4) 4) sisanya adalah (3x (3 x 2), tentukan sisanya jika F (x ) dibagi (x ( x ++ 2).
BAB V ~ Sukubanyak
171
5 . 4 Te o re m a Fa Fa k t o r Jika kita mempunyai bilangan 27, maka kita dapat menyatakan bilangan itu sebagai perkalian, 27 = 3 · 9 Dalam hal ini kita mengatakan bahwa 3 dan 9 adalah faktor dari 27. Demikian juga, jika kita mempunyai sukubanyak F (x ) = x 3 2x 2 x 2 x x ++ 2, maka kita dapat menguraikan menjadi faktor-faktor linear x 3 2x 2x 2 x x ++ 2 = (x ( x ++ 1)(x 1)(x 1)(x 1)(x 2). Dengan fakta ini kita dapat membaca bahwa: ( x x ++ 1), (x (x 1) dan (x ( x 2) adalah faktor linear, sukubanyak x 3 2x 2 x 2 x x ++ 2 jika dan hanya jika pembagian sukubanyak itu oleh faktor-faktor faktor-f aktor linear tersebut memberikan sisa 0. Lihat kembali Contoh 5.2.7 di depan. Hal ini dibenarkan oleh teorema berikut ini. Teorema 5.3 (Teorema Faktor)
Misalkan F (x ) sukubanyak, maka F (h ) = 0 jika dan hanya jika ( jika (x x h ) merupakan faktor dari F (x ). ). Bukti: Menurut Teorema Sisa,
F (x ) = (x x h )·H )·H (x ) + F (h ) Jika F (h ) = 0 maka F (x ) = (x (x h ).H ).H (x ), ), yaitu yaitu bahwa ( x ). x h ) merupakan faktor dari F (x ). Sebaliknya, jika (x ( x h ) merupakan faktor dari F (x ), ), maka F (x ) = (x h )·H )·H (x ) untuk suatu sukubanyak H (x ). ). Oleh karena itu, )·H (h ) = 0·H 0·H (h ) = 0 F (h ) = (h h )·H Contoh 5.4.1 Tentukan faktor-faktor dari 2x 2 x 3 3x 3 x 2 11x 11x ++ 6. Penyelesaian: Misalkan F (x ) = 2x 3 3x 2 11 11x x + 6. Dengan Teorema Faktor 5.3, ( x h ) faktor dari sukubanyak F (x ) jika dan hanya jika F (h ) = 0. Dalam hal ini, (x ( x h ) merupakan faktor sukubanyak F (x ) apabila h h merupakan merupakan pembagi dari 6, yaitu ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Kita mencoba dengan nilai-nilai itu. Jelaslah F (1) (1) ≠ 0, F (1) (1) ≠ 0, F (2) (2) ≠ 0. Mengapa? Kita coba mengihitung F (3), (3),
3
2
2
-3
-11
6
6
9
6
3
-2
0 = F (3) (3)
Karena F (3) (3) = 0, maka (x ( x 3) merupakan faktor sukubanyak 2x 2 x 3 3x 3 x 2 11x 11 x ++ 6. Faktor 2 yang lain adalah 2 x + 3x 3 x 2. Lebih lanjut, 2x 3 3x 3x 2 11x 11x ++ 6 = (x ( x 3) (2x (2x 2 + 3x 3x 2). = (x (x 3 ) (2x (2x 1) (x (x ++ 2). 3 2 Jadi, faktor-faktor dari 2x 2 x 3x 3x 11x 11x ++ 6 adalah (x ( x 3), (2x (2x 1), dan (x ( x ++ 2). W
172
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
Catatan: Dalam buku ini kita memfokuskan hanya faktor rasional , yaitu faktor yang koefisien-koefisiennya merupakan bilangan rasional, misalnya ( x (2x 1). x 2) dan (2x
Faktor ( x 3 − 2) bukan faktor rasional, karena
3 bukan bilangan rasional.
Latihan 5.4 1.
2.
3.
4. 5.
6.
5.5
Dengan Deng an mengg mengguna unaka kan n Teor Teorem emaa Faktor Faktor bukt buktik ikan an bahw bahwa: a: 2 a. (x x 1) dan (x x ++ 6) adalah faktor-faktor dari x + 5x 5x 6. b. (x x 4) adalah faktor dari 2 x 4 9x 9x 3 + 5x 5x 2 3x 3x 4. 3 2 c. (2x x ++ 1) adalah faktor dari 2 x + 11x 11x + 3x 3x 1. d. (x x 1) adalah faktor dari x 3 (2a (2a ++ 1)x 1)x 2 + (a (a 2 + 2a 2a )x x a 2. Fakto Fa ktorka rkan n se setia tiap p su sukub kubany anyak ak yan yang g dib diberi erika kan. n. 3 3 a. x 7x 7x ++ 6 c. y 39 y 2 + 70 b. 2x 3 + 7x 7x 2 + 2x 2x 3 d. 2z 3 5z 5z 2 + 4z 4z 21 Tentukan a a dan dan atau b b sehingga: sehingga: 4 3 2 a. x + 4x 4x + ax + 4x 4x ++ 1 mempunyai faktor ( x x ++ 1). 3 2 2 b. x ax + 5x 5x ++ b mempunyai faktor x 2x 2x 3. b mempunyai 4 2 2 4 c. x 2ap 2ap x + 9 p mempunyai faktor x x 3 p . 4 3 2 d. x + 2x 2x 7x 7x + ax ax ++ b b mempunyai mempunyai faktor x 2 + 2x 2x 3. Kemudian faktorkan! Hitunglah a, b dan b dan c c apabila apabila x y y ++ 1 adalah faktor dari ax 2 + bxy bxy ++ cy 2 + 3x 3x y y ++ 2. Buktikan bahwa: a. (x + y )( )( y )(z + x ) adalah faktor dari (x ( x + y + z )3 x 3 y 3 z 3. y + z )(z b. (x + y + z ) adalah faktor dari x 3 + y 3 + z 3 3 yx z . z . Sukubanyak F (x ) berderajat dua mempunyai faktor (x ( x ++ 2). Jika F (x ) dibagi dengan (x x 1) sisanya adalah 6 dan jika F (x ) dibagi dengan ( x x 2) sisanya adalah 12. Tentukan sukubanyak F (x ) tersebut.
Per erssam amaa aan n Su Suku kuba ban nya yak k Perasamaan sukubanyak kita maksudkan adalah persamaan yang berbentuk an x
n
+ an −1 xn −1 + + a1 x + a0 = 0 K
dengan an , an −1 , K , a0 adalah konstanta, an
≠0
dan n n bilangan bilangan asli. Harga x = h yang
jika kita subtitusikan ke sukubanyak memenuhi persamaan (5.1), maka h h disebut disebut akar dari persamaan itu. Sebagai contoh, persamaan
x 3 3x 3 x 2 + x x 3 = 0 mempunyai akar 3, karena untuk x x == 3,
33 3.32 + 3 3 = 0 Secara geometri, jika x = h akar dari persamaan sukubanyak F (x ) = 0, maka grafik dari sumbu- x di di h . Sebagai contoh, jika F (x ) = x 3 3x 3x 2 + x y == F (x ) memotong sumbu-x y x 3, maka grafik dari y sumbu-x di 3, lihat gambar 5.2. y == F (x ) memotong sumbux di
BAB V ~ Sukubanyak
173
y
10 8 6 4 2 x
-2
-1
-2
1
2
3
4
-4
Gambar 5.1
Pada sub-bab 5.4 telah kita pahami bahwa jika F (x ) sukubanyak, maka Teorema Faktor menyatakan bahwa F (h ) = 0 jika dan hanya jika ( x − h) merupakan faktor dari ). Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa: F (x ). h akar h akar persamaan F (x ) = 0 jika dan hanya jika F (h ) = 0. Jika F (x ) sukubanyak berderajat n , maka F (x ) mempunyai faktor linear paling banyak , maka persamaan n . Oleh karena itu, jika F (x ) = 0 persamaan sukubanyak berderajat n itu paling banyak mempunyai n akar. n akar. Contoh 5.5.1 Buktikan bahwa 2 adalah akar persamaan x 3 2x 2 x x ++ 2 = 0 dan tentukan akar-akar yang lain. Penyelesaian: Misalkan F (x ) = x 3 2x 2x 2 x x ++ 2. Karena F (x ) berderajat tiga, maka F (x ) = 0 paling banyak mempunyai 3 akar. Untuk membuktikan bahwa 2 adalah akar dari persamaan F (x ) = 0, cukup dibuktikan F (2) (2) = 0,
2
1
1
-2
-1
2
2
0
-2
0
-1
0
Pembagian sintetik menghasilkan F (2) (2) = 0. Jadi, 2 adalah akar persamaan x 3 2x 2x 2 x x ++ 2 = 0. Lebih lanjut, pada pembagian tersebut hasil baginya adalah ( x 2 1), sehingga 2x 2 x (x 2 1) x 3 2x x ++ 2 = (x x 2 ) (x = (x (x 2) (x (x 1) (x (x ++ 1) 3 2 Jadi, akar-akar dari x 2x 2x x x ++ 2 = 0 adalah 2, 1, dan 1. W
174
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
Pada akhir bab ini kita akan membantu permasalahan Herman yang diberikan pada ilustrasi awal bab. Contoh 5.5.2 Herman bermaksud membuat suatu kotak yang volumenya 270 dm 3 , dengan ketentuan bahwa lebar kotak 3 dm lebih pendek dari panjangnya, dan tingginya 1 dm lebih pendek dari lebarnya. Berapa dimensi kotak yang dapat dibuat oleh Herman? Penyelesaian: Misal lebar kotak adalah x dm, maka panjang kotak adalah (x (x ++ 3) dm, dan tingginya x dm,
adalah ( x − 1) dm, sehingga volume kotak adalah V (x ) = (x x ++ 3) x x ((x x 1) dm3 Karena disyaratkan bahwa volume kotak adalah 270 dm 3 , maka haruslah (x x ++ 3) x x ((x x 1) = 270 atau x 3 + 2x 2x 2 3x 3x 270 = 0 Permasalahannya sekarang adalah mencari akar real dari persamaan sukubanyak ini. Dengan Teorema Faktor, karena F (x ) = x 3 + 2x 2 3x x 270 berderajat 3, maka F (x ) = 0 paling banyak mempunyai 3 akar akar real. Pembagi Pembagi bulat yang mungkin mungkin dari 270, diantaranya adalah 6, dan kita lakukan pembagian sintetik 6
1
1
2
-3
-270
6
48
270
8
45
0
Pembagian sintetik menghasilkan bahwa x 3 + 2x 2x 2 3x 3x 270 = (x ( x 6) (x (x 2 + 8x 8x ++ 45). Akan tetapi persamaan kuadrat x 2 + 8x 8 x ++ 45 = 0 tidak mempunyai akar real. Mengapa? Dengan demikian, nilai x yang mungkin hanyalah 6. Jadi, kotak yang dibuat Herman x yang dengan volume 270 dm 3 berukuran: lebar 6 dm, panjang 9 dm dan tinggi 5 dm. W
Tugas Kelompok Diskusikan penyelesaian dari soal-soal berikut dengan kelompok Anda. 1. Dik Diketah etahui ui kerucut kerucut lingkar lingkaran an tegak tegak berjari-j berjari-jari ari 5 cm dan dan tinggi tinggi 12 cm, kemudi kemudian an di dalam kerucut tersebut dibuat suatu tabung. Jika jari-jari tabung adalah r cm, dan r cm, tingginya adalah h h cm. cm. a. Nyatakan volume tabung sebagai sukubanyak dalam peubah r . π cm3 , berapakah jari-jari tabung ini? b.Jika volume tabung adalah 400 9 2. Jika sebuah sebuah tangki tangki menampung menampung 5000 5000 liter liter air, air, yang yang mengalir mengalir keluar keluar dari dari alas tangki dalam 40 menit, maka Hukum Torricelli memberikan isi V V dari dari air yang tersisa di tangki setelah t t menit menit adalah 2
⎛ t ⎞ 0 ≤ t ≤ 40 V = 5000 ⎜ 1 − ⎟ , ⎝ 40 ⎠ a. Tentukan sisa sisa air dalam dalam tangki setelah 5 menit, 10 menit, dan dan 30 menit. menit. b. Kapa Kapan n air dalam dalam tangki tangki tersi tersisa sa hanya hanya 1250 1250 liter? liter?
BAB V ~ Sukubanyak
175
Latihan 5.5 1.
Buktik Bukt ikan an bah bahwa wa 1 ada adala lah h akar akar per persa sama maan an x 3 9x 9 x 2 + 20x 20 x 12 = 0, dan tentukan akar-akar yang lain.
2.
Buktikan bahwa
− 12
adalah akar persamaan 4x 4 x 3 24 24x 2 + 27 27x x ++ 20 = 0 dan tentukan
akar-akar yang lain. 3. Ji Jika ka 3 ada adala lah h aka akarr per persa sama maan an x 3 37x 37x 2 + a = 0, tentukan a a dan dan akar-akar yang lain. 4. Tentu entukan kan akar akar-aka -akarr bulat bulat dari seti setiap ap persa persamaa maan n yang yang dibe diberika rikan. n. 3 2 a. x + 2x 2x 5x 5x 6 = 0 3 b. x 3x 3x ++ 2 = 0 4 c. x 16 = 0 d. x 4 15x 15x 2 10x 10x ++ 24 = 0 5. Diketahui (x (x ++ 2) merupakan faktor dari F (x ) = 2x 2x 3 + ax 2 + 5x 5x ++ 6. a. Tentukan a . b. Ten entu tuka kan n aka akarr-ak akar ar pe pers rsam amaa aan n F (x ) = 0 untuk nilai a tersebut. a tersebut.
Rangkuman 1.
Sukuba Suku bany nyak ak at atau au po poli lino nom m da dala lam m x berderajat n dapat dituliskan dalam bentuk berikut ini. an x
n
+ an−1 x n−1 + an− 2 x n− 2 + + a2 x 2 + a1x + a0 K
dengan an , an −1 , K , a0 adalah konstanta-konstanta bilangan real dan an
2. 3.
≠0
yang
disebut koefisien dari suku x k dan a0 disebut suku tetap, dan n n adalah adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat sukubanyak. Teo eore rema ma Si Sisa sa:: Jik Jikaa suk sukub uban anya yak k F (x ) dibagi dengan (x (x h ) , , maka sisanya adalah F (h ). ).
( )
b Jika su sukubanyak F (x ) dibagi dengan (ax ( ax b ), ), maka sisanya F a .
4.
Teo eore rema ma Fa Fakt ktor or:: Mi Misa salk lkan an F (x ) sukubanyak, maka F (h ) = 0 jika dan hanya jika (x x h ) merupakan faktor dari F (x ). ).
5.
Pers Pe rsaamaan su suku kuba ban nya yak k an x n
+ an−1 xn −1 + + a1 x + a0 = 0 K
dikatakan mempunyai akar h h jika jika h h memenuhi memenuhi dari persamaan itu.
176
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
Math Info
Pada waktu kita meninjau aliran darah melalui pembuluh darah, seperti urat darah halus atau arteri, kita dapat mengambil bentuk pembuluh darah berupa tabung dengan jari-jari R R dan dan panjang l l seperti seperti diilustrasikan dalam gambar 5.3 berikut. R
r
l Gambar 5.3
Karena gesekan pada dinding tabung, kecepatan darah v v adalah adalah terbesar sepanjang sumbu pusat tabung dan berkurang ketika jarak r r dari dari sumbu bertambah besar samapai v menjadi 0 pada permukaan dinding. Kaitan antara v d an an r diberikan oleh Hukum Aliran Laminar yang ditemukan oleh fisikawan perancis Jean-Louis-Marie Poiseuille pada tahun 1840, berupa sukubanyak berderajat dua v=
dengan
η
P
4η l
(R
2
− r 2 )
adalah viskositas darah, dan P adalah selisih tekanan di antara ujung tabung. P adalah
BAB V ~ Sukubanyak
177
Uji Kompetensi
A. Untuk soal soal nomor nomor 1 sampai sampai dengan nomor nomor 15, 15, pilihlah pilihlah satu satu jawaban jawaban yang yang paling tepat! Kerjakan di buku tugas Anda! 1.
Pecahan
2x
+ px 2 − qx + 3 2 x − 3 x + 2
3
A. 6 B. 5 C. 4 2.
3.
dapat disederhanakan, maka nilai p + q = q = ... D. E.
3 2
J ik a su su ku b a n ya k F ( x) = x 3 + 2ax 2 + 5 x + p dibagi oleh ( x − 2) da dan n ( x + 1) masing-masing memberikan sisa 20 dan 12, maka nilai a + p = p = ... A.
− 18 3
D.
70 3
B.
16 3
E.
91 3
C.
62 3
+ 3x − 4 dan x 2 − 6 x + 5 mempunyai sisa 3 x + 5 dan x + 7 , dan jika dibagi oleh x 2 − x − 20 mempunyai sisa ax + b , maka
Jika su sukubanyak F (x ) dibagi oleh x 2 nilai 9a 9a 3b 3b == ...
4.
178
A.
11 13
D.
4 12
B.
14 23
E.
6 13
C.
8
Salah Sala h satu satu aka akarr pers persam amaa aan n suku sukuba bany nyak ak 2 x 3 − 7 x 2 jumlah dua akar yang lain adalah ...
1 2
A.
−
D.
3
B.
1 2
E.
5
C.
1
− 7 x + 30 = 0
adalah 3, maka
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
5.
Jika su sukubanyak 4 x 4 − 12 x 3 + 13x 2 − 8 x + a dan 6 x 2 faktor yang sama, maka nilai a a == ... A. 4 D. 2 B. 2 E. 4 C. 0
6.
Sukubanyak x 3 − 12 x + k habis dibagi oleh ( x − 2) , maka ia juga habis dibagi oleh ....
7.
A. x + 1
D.
x − 1
B.
x + 2
E.
x − 3
C.
x + 4
Jika x 5
− 4 x 4 + 5 x3 + x 2 − x + 7
A. 4 B. 3 C. 2
1 0
8.
Jika ( x − y + 1) adalah faktor dari px 2 + qxy + ry 2 r == ... r A. 6 D. 3 B. 4 E. 5 C. 1
9.
Jika Ji ka pe pers rsam amaa aan n suk sukub uban anya yak k 2 x 3 − ax 2 saling berkebalikan, maka nilai a a == ... A. 6 D. 4 B. 1 E. 5 C. 3
A. 1 B. 2 C. 3
nilai p + q + 5 x − 2 y + 4 , maka nilai p
1) x − 2 = 0 + (2a + 1)
+ 4 x 4 − 2 x3 + x 2 + x − 2 = 0 D. E.
mempunyai dua akar
adalah ...
4 5
11. Jik Jikaa akar-a akar-aka karr dari dari persa persama maan an x 3 − 7 x 2 nilai p 2
mempunyai satu
dibagi dengan ( x + 1) , maka sisanya adalah ... D. E.
10. Ju Juml mlah ah aka akarr real real dar darii x 5
− 11x + 4
+ 7 x + 15 = 0
adalah p, q, dan r , maka
+ q 2 + r 2 = ...
A. 4 5 B. 3 5 C. 2 8
BAB V ~ Sukubanyak
D. E.
5 1
179
12. Jika H ( x ) = x 2
+ x−6
adalah faktor dari G ( x ) = 2 x3 + ax 2
a = ... . a = A. 3 B. 1 C. 1
D. E.
+ bx + 6
, maka nilai
2 5
13. Su Suat atu u suk sukub uban anya yak k F (x ) jika dibagi ( x − 1) sisanya 6 dan jika dibagi ( x + 3) sisanya 2, maka F (x ) jika dibagi x 2
+ 2x − 3
sisanya adalah ....
A.
4 x + 2
D.
− 12 x − 132
B.
2 x + 4
E.
−2 x + 8
C.
1 x 2
+ 112
14. Su Suat atu u suk sukub uban anya yak k F (x ) jika dibagi ( x + 2) sisanya 2 dan jika dibagi ( x − 1) sisanya 5, sisa pembagian F (x ) oleh x 2 A. x + 4 B.
2 x + 4
C.
3 x + 2
+ x − 2 adalah .... D. − x − 4 E. − x + 6
15. Su Suat atu u su suku kuba bany nyak ak F (x ) jika dibagi dengan ( x − a ) dan ( x − 2a ) berturut-turut memberikan sisa 10a 10 a dan 20a 20a . Jika F (x ) dibagi dengan x 2 adalah ... . A.
10ax − a
D.
10 x
B.
5ax − 10
E.
5 x
C.
ax
− 3ax + 2a 2 sisanya
B . Untuk soal nomor 16 sampai dengan nomor 20, kerjakan dengan singkat dan jelas!
16. Jika F (x ) dibagi oleh ( x 2
− x)
dan ( x 2
+ x)
masing-masing bersisa (5 x + 1) dan
(3 x + 1) , berapakah sisa pembagian F (x ) oleh ( x
2
− 1) ?
17.. Sukub 17 uban any yak F (x ) dan G (x ) masing-masing jika dibagi dengan ( x − 1) mempunyai sisa 4 dan 10, dan jika dibagi dengan ( x + 5) mempunyai sisa 8 dan 12 . Misalkan diketahui suku-banyak H (x ) = 2F 2F (x ) + 3G 3G (x ). ). Jika H (x ) dibagi dengan x
2
+ 4x − 5
mempunyai sisa ax + b , maka berapakah nilai 3a 3 a 2b ?
180
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
2 2 18. J i ka ( p − 1) 1) x + (q − 2) 2) xy + ry hitunglah nilai p + 2 + 2q + 4r .
− 5x − 2 y + 3
habis dibagi dengan ( x − y + 1) , 2
+ x−2
− ax3 − b habis dibagi oleh x 2 − 1 , dan jika dibagi oleh 20t + 55 , tentukan nilai dari 8t + a + 9b .
( x − 2)
− ax3 − ( a − b) x 2 + (3a + b + 2) x − (3a + b ) dibagi a mempunyai sisa x − 3 , berapa nilai dari log(10b + 2) ?
19. J i k a x 4
dengan x
20.. Ji 20 Jika ka su suku kuba bany nyak ak x8 mempunyai sisa
Soal Analisis 1.
Suatu Suat u pabrik pabrik pemb pembuat uat kotak kotak kale kaleng ng akan akan membu membuat at suatu suatu kotak kotak tanp tanpaa tutup tutup dari dari selembar kaleng berukuran 8 × 15 inci dengan cara memotong keempat bujur sangkar di sudutnya dan melipat bagian sisinya. a. Jik Jikaa panja panjang ng sis sisii bujur bujur sang sangka karr yang yang dipo dipoton tong g adala adalah h x x inci, inci, nyatakan volume kotak sebagai persamaan sukubanyak dalam peubah x . b. Ji Jika ka vo volu lume me ko kota tak k ada adala lah h 44 44 inc incii 3 , bagaimana ukuran kotak seharusnya? 2. Suat Suatu u tanah tanah lapan lapang g berbentu berbentuk k perseg persegii panjang panjang dike dikelili lilingi ngi paga pagarr sepanja sepanjang ng 240 m. a. Jika x meter menyatakan panjang tanah lapang, nyatakan luas tanah x meter lapang tersebut sebagai persamaan sukubanyak dalam peubah x . b. Jik Jikaa luas luas tan tanah ah lap lapang ang ter terse sebut but ad adala alah h 3.200 3.200 m2 , berapakah panjang tanah lapang tersebut? 3. Sua Suatu tu kebun kebun berbent berbentuk uk perse persegi gi panja panjang ng ditemp ditempatk atkan an sehin sehingga gga sala salah h satu sisi sisi rumah merupakan batasnya, dan akan dibuat pagar sepanjang 100 m untuk ketiga sisinya. a. Jika x meter menyatakan panjang sisi kebun yang sejajar rumah, nyatakan luas x meter kebun tersebut sebagai persamaan sukubanyak dalam peubah x . b. Ji Jika ka lu luas as ke kebu bun n ada adala lah h 1.2 1.250 50 m 2 , berapakah lebar kebun tersebut? 4. Suat Suatu u perusah perusahaan aan mulai mulai bero beropera perasi si pada pada 1 Janu Januari ari 2005. 2005. Pend Pendapat apatan an kotor kotor tahunan perusahaan itu setelah t t tahun tahun adalah p adalah p juta juta rupiah, dengan p
= 50.000 + 18.000t + 600t 2
a. b. 5.
Berapakah Berapaka h penda pendapata patan n kotor kotor peru perusaha sahaan an itu pad padaa 1 Janu Januari ari 200 2008? 8? Setelah Setel ah berapa berapa tahu tahun n perusah perusahaan aan itu itu akan akan mempe memperole roleh h pendapa pendapatan tan kotor kotor sebesar 455 milyar rupiah? Gelom Ge lomban bang g udara udara dingi dingin n mendek mendekati ati suat suatu u sekola sekolah h SMA. SMA. Suhu Suhu t t jam jam setelah tengah malam adalah T , dengan
a. b.
2 T = 0, 1( 400 − 40t + t ) , 0 ≤ t ≤ 12 Berap Be rapaa suhu suhu di di sekol sekolah ah ters tersebu ebutt pada pada puk pukul ul 05.3 05.300 pagi? pagi? Padaa pukul Pad pukul berap berapaa suhu suhu di seko sekolah lah ters tersebu ebutt adala adalah h 10° C? C?
BAB V ~ Sukubanyak
181
Aktivitas Proyek
A k ti v i t a s Nama Kelas Kelompok Kegiatan Tuj ujua uan n
: .. Tanggal : . : XI Materi Pokok : Sukubanyak : .. Semester : 2 (dua) : Membuat kotak tertutup. : Me Mene nent ntuk ukaan ukur uran an kot otaak den enga gan n vol olu ume te tert rten entu tu..
A. Alat Alat dan dan bah bahan an yan yang g digun digunaka akan n 1. Selembar karton berukuran: 50 cm × 80 cm 2. Buku catatan 3. Alat tulis
4. Gunting 5. Kertas perekat 6. Penggaris
B. Cara kerja 1. Gam Gambark barkan an ske sketsa tsa jari jaring-j ng-jari aring ng kot kotak ak ter tertutu tutup. p. N
O
50cm
z
80cm
2. Gunting Gunting skets sketsaa tersebu tersebutt dan buan buang g bagian bagian gamba gambarr yang yang diarsi diarsirr. 3. Lipa Lipatt de dengan ngan bantu bantuan an pengga penggaris ris tepa tepatt pada pada garis garis putu putus-put s-putus. us. 4. Reka Rekatkan tkan jaring jaring-jari -jaring ng kotak kotak dengan dengan menggun menggunakan akan kerta kerta perek perekat. at. Kotak Kotak yang yang diperoleh mempunyai lebar z z cm, cm, panjang y panjang y cm, cm, dan tingi x x cm. cm. 5. Tentukan ni nilai x, y , dan z z yang yang mungkin. Jika volume kotak adalah V , lengkapi tabel berikut ini. No.
x
y
z
V
1. 2. 3. 4. 5. C. Analisis 1. Tent entuka ukan n rum rumus us vo volu lume me ko kotak tak da dalam lam x . 2. Tentukan nilai x, y, dan z z sehingga sehingga volume kotak 9.000 cm 3. 3. Tent entuk ukan an volu volume me kot kotak ak yan yang g maks maksim imum um..
182
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA