Tabung Kerucut Dan Bola 9.1 Dari Crayonpedia Langsung ke: navigasi navigasi,, cari Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu: Kompetensi Dasar :
1 Mengidentif Mengidentifikasi ikasi unsur-un unsur-unsur sur tabung, tabung, kerucut kerucut dan bola bola 2 Menghitun Menghitung g luas selimut selimut dan dan volume volume tabung, tabung, kerucut kerucut dan bola bola 3 Memecahkan Memecahkan masala masalah h yang berkaitan berkaitan dengan dengan tabung tabung,, kerucut kerucut dan bola
Daftar isi [sembunyikan sembunyikan]] •
1 Unsur-Unsur Tabung dan Kerucut
•
2 LUAS DAN VOLUME BANGUN RUANG SISI LENGKUNG
•
3 Melukis Jaring-Jaring Tabung dan Kerucut Serta Menentukan Luasnya •
3.1 Jaring-Jaring dan Luas Tabung
•
3.2 Jaring-Jaring dan Luas Kerucut
•
4 Bola
•
5 Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung
•
•
5.1 Volume Tabung
•
5.2 Volume Kerucut
•
5.3 Volume BoIa
6 Referensi Unsur-Unsur Tabun Tabung g dan Kerucut
Pembah Pembahasa asan n sisi sisi bangun bangun ruang ruang kali kali ini hanya hanya dituju ditujukan kan pada pada sisi sisi bangun bangun sebag sebagai ai sekat sekat yang yang membatasi antara bagian dalam dan bagian luar bangun ruang itu. Perhatikan Gambar. Gambar itu menunjukkan sebuah tabung yang terbentuk dar i sebuah segi empat ABCD yang diputar terhadap sumbu AD sejauh 360 0, atau satu putaran penuh. 1 Ada dua sisi, sisi, yaitu sisi sisi alas dan sisi sisi atas yang yang sama bentuk bentuk dan ukuran ukuran serta serta sejajar, sejajar, masingmasing-
masing berbentuk lingkaran yang berpusat di A dan dan D. 2 Jarak alas alas dan tutup disebu disebutt tinggi tabung. tabung. Tinggi Tinggi tabung tabung dinotasi dinotasikan kan dengan dengan t. 3 Jari-jari Jari-jari lingkaran dari dari alas dan tutup adalah adalah AB, sedangka sedangkan n diameter nya nya BB' =2AB. =2AB. Jari jari tabung dinotasikan dengan r, sedangkan diameter tabung dinotasikan dengan d. 4 Selimut tabung tabung merupak merupakan an bidang bidang lengk lengkung. ung. Dengan cara yang sama, dari sebuah ? ABC pada Gambar dapat dibuat sebuah kerucut dengan cara memutar segitiga siku-siku ABC ABC terhadap sumbu AC AC sejauh 360 0 seperti tampak pada Gambar . Unsur-unsur Unsur-unsur kerucut adalah sebagai berikut. ber ikut. 1 2 3 4 5
Sisi alas berbentuk berbentuk lingkar lingkaran an berpusa berpusatt di titik titik A. AC diseb disebut ut tinggi tinggi kerucu kerucut. t. Jari-jari Jari-jari lingkaran lingkaran alas, alas, yaitu AB dan diameternya diameternya BB' BB' = 2AB. 2AB. Sisi miring BC disebut disebut apotema apotema atau garis pelukis. pelukis. Selimut Selimut keru kerucut cut berup berupaa bidang bidang lengku lengkung. ng.
Dari uraian di atas, diperoleh bangun-bangun yang memiliki bidang lengkung dan bidang datar. Bidang Bidang lengku lengkung ng dari dari bangun bangun-ba -bangu ngun n terseb tersebut ut berupa berupa selimu selimutt dan bidang bidang datarny datarnyaa berupa berupa lingkaran.
LUAS DAN VOLUME BANGUN RUANG SISI LENGKUNG 1. TABUNG 1.1. Pengertian Tabung Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi yang kongruen dan sejajar yang berbentuk lingkaran serta sebuah sisi lengkung.
1.2. Unsur-unsur Tabung Tabung memiliki 2 rusuk dan 3 sisi. Berkas:Tbdh.jpeg 1.3. Luas dan volume tabung •Luas permukaan tabung atau luas tabung: L = luas sisi alas + luas sisi tutup + luas selimut tabung = π r 2 + π r 2 + 2 π r t = 2 π r 2 + 2 π r t = 2 π r (r + t) •Luas tabung tanpa tutup : Ltanpa tutup = luas sisi alas + luas selimut = π r 2 + 2 π r t •Volume tabung : V = luas alas x tinggi = π r 2 x t = π r 2 t 2. KERUCUT 2.1. Pengertian Kerucut Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi alas berbentuk lingkaran dan sebuah
sisi lengkung. 2.2. Unsur-unsur Kerucut Kerucut memiliki 1 titik sudut, 1 rusuk dan 2 sisi .
2.3. Luas dan volume kerucut • Luas permukaan kerucut atau luas kerucut : L = luas sisi alas + luas selimut kerucut = π r 2 + π r s = π r (r + s) •Volume kerucut : V = 1/3 x luas alas x tinggi t inggi = 1/3 x π r 2 x t = 1/3 π r 2t 3. BOLA 3.1. Pengertian Bola Bola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi lengkung/kulit bola.
3.2. Unsur-unsur Bola Bola memiliki satu sisi. 3.3. Luas dan volume Bola •Luas bola : L = 4 x luas lingkaran = 4 x π r 2 = 4 π r 2 •Volume bola : V = 4 x volume kerucut = 4 x 1/3 π r 2 t karena pada bola, t = r maka = 4 x 1/3 π r 2 r = 4 x 1/3π r 3 = 4/3 π r 3
Melukis Jaring-Jaring Tabung Tabung dan Kerucut Serta Menentukan Luasnya Jaring-Jaring dan Luas Tabung Gambar dibawah menunjukkan sebuah tabung dengan panjang jari-jari alas dan tutupnya r dan tinggi t. Untuk mengetahui bentuk jaring-jaring suatu tabung, lakukan kegiartan berikut! 1 Ambil kaleng kaleng susu susu atau benda-bend benda-bendaa lain yang berbentuk berbentuk tabung tabung (ukuranny (ukurannyaa jangan terlalu terlalu
2 3 4 5
besar). Jiplaklah Jiplaklah bentuk bentuk tutupny tutupnyaa pada pada selembar selembar kertas. kertas. Tandai kaleng kaleng tersebut untuk untuk posisi posisi tertentu. Kemudian Kemudian gelindingk gelindingkan an kaleng tersebut tersebut sampai sampai kembali ke tanda yang diberikan sebelumnya. Buatlah Buatlah persegi persegi panjang yang yang terbentuk terbentuk dari kaleng kaleng dengan dengan panjang panjang adalah lintasan lintasan dari A ke- B. yaitu keliling bidang alas dan lebarnya setinggi kaleng tcrsebut. Jiplaklah Jiplaklah bentuk bentuk alas kaleng kaleng tersebut tersebut tepat tepat di bawah bawah persegi persegi panjang. panjang.
Jika gambarmu benar, akan diperoleh bentuk .jaring-jaring seperti Gambar dibawah. Jaring-jaring tersebut terdiri atas 1 selimut selimut tabung yang yang berupa berupa persegi persegi panjang dengan dengan panjang panjang = keliling keliling alas tabung tabung = 2πr dan lebar = tinggi tabung = t: 2 dua buah lingkara lingkaran n berjari-jari r. r. Dengan demikian demikian,, luas selimut selimut tabung tabung dapat ditentukan ditentukan dengan cara berikut. Luas selimut tabung = keliling alas x tinggi tabung = 2πr x tinggi tabung = 2πrt Setelah memperoleh luas selimut tabung, dapat ditentukan pula luas permukaan tabung. Luas permukaan tabung = luas lingkaran alas + selimut tabung + luas lingkaran tutup = πr 2+πrt + r 2 = 2πr 2 +2πrt = 2πr(r+t) Dapatkah kalian menentukan rumus luas tabung tanpa tutup Untuk setiap tabung dengan tinggi tabung t dan jari-jari alas tabung r berlaku rumus berikut. Luas selimut tabung = 2πrt Luas permukaan tabung = 2 πr(r + t) Contoh: Sebuah tabung mempunyai tinggi 13 cm dan jari-jari jar i-jari alasnya 7 cm. Tentukan Tentukan luas permukaan tabung. Jawab : Tinggi tabung = 13 cm dan jari-jari alas = 7 cm. Luas permukaan tabung = 2πr(r + t) = 2 x 22/7 x 7 x (7 + 13) = 44 x 20 = 880
Jadi luas permukaan tabung adalah 880 cm 2
Jaring-Jaring dan Luas Kerucut Gambar diatas menunjukkan sebuah kerucut dengan puncak P, P, tingginya t, jari-jari jar i-jari lingkaran alas r, dan garis pelukis kerucut s. Jaring-jaring kerucut dapat digambarkan dengan cara berikut. 1 Buatla Buatlah h juring juring lingka lingkaran ran denga dengan n sudut sudut 120 120 0 pada suatu kertas, kemudian potong juring tersebut. 2 Buatlah Buatlah suatu suatu kerucut kerucut dengan dengan menghubun menghubungkan gkan garis garis pelukis pelukis PQ ke PQ'. PQ'. 3 Jiplaklah Jiplaklah lingkara lingkaran n alas kerucut kerucut yang yang terbentuk terbentuk pada pada suatu suatu kertas. kertas. 4 Buka kembali kembali kerucut kerucut dan dan jiplakkan jiplakkan tepat tepat di atas atas lingkaran lingkaran alas. alas. Jika gambarmu benar, akan diperoleh suatu jaring-jaring kerucut berikut. 1 lingkaran lingkaran alas alas dengan dengan pusat pusat O dan dan jari-jari jari-jari r; r;
2 selimut selimut kerucut kerucut yang berupa berupa juring lingkaran lingkaran PQQ' PQQ' dengan jari-jari jari-jari adalah garis garis pelukis pelukis selimut s dan panjang busur = 2πr. Untuk mendapatkan luas juring PQQ', perhatikan uraian berikut. Jari-jari juring PQQ' = t. Lingkaran dengan jari-jari r mempunyai keliling = 2πs dan luas = πs 2 sehingga diperoleh: Jadi, luas selimut kerucut = luas juring PQQ' = πrs Telah diketahui bahwa jaring-jaring jar ing-jaring kerucut terdiri terdir i atas selimut kerucut dan lingkaran alas sehingga luas sisi kerucut dapat dirumuskan sebagai berikut. Luas sisi kerucut = luas selimut kerucut + luas lingkaran alas = πrs + πr2 = πr(s + r) Untuk setiap kerucut dengan panjang garis pelukiss dan jari-jari alas kerucut r berlaku rumus berikut. Luas selimut kerucut = πrs Luas sisi kerucut = πr (r + s) Contoh: Sebuah kerucut mempunyai panjang jari-jari alasnya 6 cm dan tingginya 8 cm. Hitunglah luas sisi kerucut tersebut ( π = 3,14). Jawab : Jari-jari alas = r = 6cm Tinggi kerucut = t = 8 cm s2 = r 2 + t2 s2 = 62+ 82 = 36 + 64 = 100 s =?100 = 10 Luas sisi kerucut = πr(r + s) = 3,14 x 6 x (6 + 10) = 3,14 x 6 x l6 = 301,44
Jadi. luas sisi kerucut adalah 301,44 cm 2
Bola
Untuk menentukan luas sisi bola dapat dilakukan percobaan dengan menggunakan sebuah bola, tabung, dan seutas tali. Perhatikan Gambar. Pada gambar itu terdapat dua jenis bangun ruang sisi lengkung yaitu tabung dan bola. Tinggi tabung dan diameter tabung sama dengan diameter bola. Pada bola dililitkan seutas tali hingga menutup seluruh permukaan bola. kemudian tali tersebut dililitkan pada selimut tabung dan ternyata tali tersebut tepat melilit pada selimut tabung. Dari uraian di atas dapat disirnpulkan bahwa luas sisi bola sama dengan luas selimut tabung. Luas sisi bola = luas selimut tabung = 2πrt = 2πr x 2r = 4πr 2 Contoh: Hitunglah luas sisi sebuah bola jika diketahui jari-jarinya = l0 dm. Jawab:
Luas sisi bola = 4πr 2 = 4 x 3,14 x 10 = 1.256 dm 2 Jadi. luas sisi bola adalah 1.256 dm 2.
Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung Volume adalah isi atau besarnya benda dalam ruang. Volume prisma = luas alas x tinggi Volume limas = 1/3 x luas alas x tinggi
Volume olu me Tabung ab ung
Gambar tersebut (a) menunjukkan prisma segi banyak beraturan, yaitu prisma yang alasnya berbentuk segi banyak dan beraturan. Menghitung volume tabung dapat dipandang dari sebuah prisma segi banyak beraturan yang rusuk-rusuk alasnya diperbanyak sehingga bentuk prisma makin mendekati tabung seperti Gambar tersebut (b). Rumus umum volume tabung sama dengan luas alas dikalikan tinggi. Karena tabung memiliki memili ki alas berupa lingkaran maka volume tabung sama dengan luas alas lingkaran dikalikan tinggi. Untuk setiap tabung berlaku rumus berikut. V = πr 2 t atau V = 1/4 πd2 t dengan V = volume tabung, r = jari-jari alas lingkaran, d = diameter lingkaran, dan t = tinggi Contoh : Diketahui tabung dengan jari-jari 14 cm dan tingginya 20 cm.Tentukan volume tabung ! Jawab: Volume tabung = πr2 t = 22/7 x l42 x 20 = 12.320 Jadi, volume tabung = 12.320 cm 3.
Volume Kerucut Berkas:Kerucut 4.jpg Gambar tersebut (a) menunjukkan bangun limas segi banyak beraturan, yaitu limas yang alasnya berbentuk segi banyak dan beraturan. Sebuah kerucut dapat dipandang sebagai limas segi banyak beraturan yang rusuk alasnya diperbanyak sampai membentuk lingkaran seperti Gambar disamping (b). ( b). Volume Volume kerucut sama dengan 1/3 x luas alas x tinggi. Karena alas kerucut berbentuk lingkaran maka luas alasnya adalah luas lingkaran. Dengan demikian, volume kerucut dapat dirumuskan dir umuskan sebagai berikut. V =1/3πr 2 t dengan V = Volume kerucut r = jari-jari lingkaran alas t = tinggi kerucut
Karena r = 1/2 d (d adalah diameter lingkaran) maka bentuk lain rumus volume kerucut adalah sebagai berikut.
Volume kerucut = 1/12πd2t Contoh: Sebuah kerucut mempunyai jari-jari 9 cm dan tinggi 4 cm. Hitunglah volume kerucut tersebut (π = 3,14)l Jawab:
Volume BoIa
Gambar diatas merupakan gambar setengah bola dengan,jari- jari r. dan menunjukkan dua buah kerucut dengan jari-jar jari-jarii r dan tinggi ti nggi r. Jika dilakukan percobaan dengan menuangkan cairan pada kedua kerucut sampai penuh, kemudian cairan dar i kedua kerucut tersebut dituangkan dalam setengah bola maka cairan tersebut tepat tepa t memenuhi bentuk setengah bola. Dari percobaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
Volume bola =4/3πr 3 dengan r = jari-jari bola Karena r = 1/2 d maka bentuk lain rumus volume bola adalah a dalah sebagai berikut.
Pembuktian luas kerucut dengan rumus integral Dengan menggunakan metode integral benda putar, putar, maka kita dapat membuktikan bahwa rumus volume untuk sebuah kerucut adalah sebesar V = 1/3 x Luas Alas x Tinggi
Nah coba lihat deh gambar diatas !! Yang sebelah kiri adalah gambar segitiga, dan apabila diputar mengelilingi sumbu X (coba deh bayangin) maka bentuknya akan menjadi seperti bentuk sebuah kerucut. ( udah bisa bayanginnya belum ?? ) Ok, buat pembuktian bahwa rumus kerucut adalah : V = 1/3 x Luas Alas x Tinggi ; Luas alas = π x r2
Maka, coba ayo kita hitung misal seperti gambar yang diatas itu dengan jari2 sebesar 5 dan Tingginya 12. Berarti hasilnya adalah : V = 1/3 x( π x r2 ) x Tinggi V = 1/3 x π x 5 2 x 12 V = 100 π
Dengan perhitungan biasa kita bisa dapat nilai dari Volume Volume kerucut adalah 100 π. Nah, sekarang coba kalo kita hitung dengan r umus “Integral Benda Putar”
Dengan rumus ini, maka mari kita cari tahu dulu persamaan garis yang membentuk segitiga tersebut.
Kita ketahui bahwa persamaan garisnya adalah 5X + 12 Y = 60 berarti : Y = 5 - 5/12 X lalu jika dijadikan kuadrat (karena pada rumus integral yang dibutuhin Y2), maka : Y2 = 25 - 50/12 X + 25/144 X 2 Lalu kita masukkan ke persamaan integral diatas
V = π 0?12 [ 25 - 50/12 X + 25/144 X 2 ] dx << cara integralinnya di-skip aja yah?? udah bisa kan ??
V = π [ 25 X - 25/12 X2 + 25/432 X3 ]0 12 V = π { [ 25 (12) - 25/12 (12)2 + 25/432 (12)3 ] - [ 25 (0) - 25/12 (0)2 + 25/432 (0)3 ] } V = π { [ 300 - 300 + 100 ] - [ 0 - 0 + 0] } V = π 100 V = 100 πRumus Kerouac [sunting sunting]] Luas permukaan
[sunting sunting]] Volume
RRRRR