WAJ3105 LITERASI NOMBOR
TAJUK 4
RUANG
SINOPSIS
Kesedaran ruang adalah intuisi individu terhadap bentuk, dan perkaitan yang ujud antara pelbagai jenis bentuk. Individu yang mempunyai kesedaran ruang tahu tentang aspek geometri yang ada, dan pelbagai bentuk yang terhasil daripada objek-objek yang terdapat di persekitarannya.
Selain itu individu yang mempunyai kesedaran ruang mempunyai keupayaan untuk membuat gambaran mental tentang hubungan antara sesuatu objek, dan ruang yang berkaitan. Mereka selesa apabila memberi penerangan tentang konsep geometri sesuatu objek, dan menghargai bentuk geometri yang terdapat dalam lukisan, senibina, atau alam semulajadi.
Sebagai guru matematik, kita perlu menerapkan kesedaran tentang ruang dalam kalangan murid. Contoh bentuk geometri yang ada di persekitaran kita perlu dikaitkan apabila menjelaskan tentang konsep geometri.
HASIL PEMBELAJARAN
Pada akhir tajuk ini, anda anda dijangka akan dapat: Mengenal pasti bentuk dua matra seperti poligon, segitiga, dan sisi empat; dalam satah geometri. Mengenal pasti pepejal tiga matra seperti kubus, kuboid, silinder, kon, piramid, dan prisma. Menggunakan bahasa dan perbendaharaan kata yang ada kaitan dengan geometri. Menggunakan bahan manipulatif untuk menyiasat ciri-ciri pepejal tiga matra.
61
WAJ3105 LITERASI NOMBOR Membina objek dua matra dan tiga matra menggunakan bahan-bahan mudah atau alat konvensional. Menggunakan konsep geometri dalam kehidupan seharian. KERANGKA TAJUK-TAJUK
Ruang
Pepejal Tiga Matra dan Bentuk Dua Matra
4.1
Konsep Ruang dan Hubungannya Dengan Aktiviti Harian
Membina Bentuk Dua Matra dan Pepejal Tiga Matra
PEPEJAL TIGA MATRA DAN BENTUK DUA MATRA
Rajah 1
Rajah 2
Rajah 3
Aktiviti 1 Perhatikan kesemua grafik di atas. Rajah 1 menunjukkan sebuah khemah. Rajah 2 ialah Menara Kuala Lumpur, dan Rajah 3 ialah Louvre, di Perancis.
Berdasarkan pemerhatian anda, senaraikan semua bentuk geometri yang dapat anda perhatikan. 62
WAJ3105 LITERASI NOMBOR Bentuk geometri yang telah anda kenalpasti daripada aktiviti 1 dapat dikelompokkan kepada dua kumpulan utama, iaitu objek dua matra dan tiga matra. Objek dua matra disebut juga sebagai 2-D, dan tiga matra sebagai 3-D. Antara bentuk geometri yang dapat dikelompokkan adalah seperti berikut.
Rajah 4
Rajah 5 Apakah ciri-ciri yang ada pada objek dalam Rajah 4 dan Rajah 5?
4.1.1 Bentuk Dua Matra
Objek seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 4 dikenali sebagai bentuk dua matra atau 2-D. Ia hanya mempunyai dua dimensi, iaitu panjang dan lebar. Kesemua objek ini berada dalam satu satah, dan tidak mempunyai ketebalan. Beberapa lagi contoh bagi bentuk dua matra ditunjukkan dalam Rajah 6.
63
WAJ3105 LITERASI NOMBOR
bulatan
segiempat
segitiga tak sama
segiempat sama
segitiga sama
trapezium
segiempat selari
segitiga kaki sama
rombus
lelayang
Rajah 6 Setiap poligon segitiga yang terdapat dalam Rajah 6 mempunyai ciri-cirinya yang tertentu. Berpandukan bahan manipulatif yang sesuai, perihalkan setiap segitiga berdasarkan ciri-ciri yang telah disenaraikan dalam Jadual 1. Jadual 1 Jenis Segitiga
Bilangan sisi sama panjang
Bilangan garis simetri
Saiz sudut
Segitiga sama sisi Segitiga kaki sama Segitiga tak sama kaki
Segiempat tepat, segiempat sama, segiempat selari, trapezium, rombus, lelayang adalah contoh bagi bentuk sisi empat. Apakah perbezaan antara setiap bentuk ini? Lakukan aktiviti 2 seterusnya untuk mengenali pelbagai bentuk sisi empat dengan lebih dekat. 64
WAJ3105 LITERASI NOMBOR
Aktiviti 2
Berpandukan bahan manipulatif yang sesuai, senaraikan ciri-ciri setiap bentuk sisi empat yang dinyatakan berdasarkan aspek berikut; sisi, sudut, e en uru, dan simetri.
Rajah 7 Poligon boleh mempunyai lebih daripada empat sisi. Perhatikan bentuk dalam Rajah 7, dan tentukan bilangan sisi bagi setiap satunya. Poligon dinamakan berdasarkan bilangan sisinya. Buat rujukan dan lengkapkan Jadual 2 di bawah. Jadual 2 Jenis Poligon Pentagon
Bilangan sisi poligon 5 6 7
Octagon
8 9 10 11
Dodecagon
12
65
WAJ3105 LITERASI NOMBOR 4.1.2 Pepejal Tiga Matra
Objek seperti yang terdapat dalam Rajah 5 di kenali sebagai pepejal tiga matra atau 3-D. Kesemua objek ini mempunyai tiga dimensi iaitu panjang (atau ketinggian), lebar, dan ketebalan (atau kedalaman). Rajah 8 berikut menunjukkan beberapa lagi contoh pepejal tiga matra.
Rajah 8
Aktiviti 3
Buat rujukan dan kumpulkan grafik pepejal tiga matra yang terdapat dalam kehidupan seharian. Kongsi dengan rakan kelas anda dan simpan dalam folio. Kenal pasti kategori pepejal tersebut. Beberapa contoh ditunjukkan di sebelah.
4.1.3 Ciri Pepejal Tiga Matra
kubus
sfera prisma segitiga
silinder kuboid
prisma heksagon
kon
piramid
Rajah 9 66
WAJ3105 LITERASI NOMBOR Rajah 9 menunjukkan pelbagai jenis pepejal tiga matra iaitu kubus, sfera, prisma, kon dan lain-lain. Setiap pepejal ini mempunyai ciri-cirinya yang tertentu seperti berpermukaan mendatar atau berpermukaan melengkung, atau gabungan kedua-duanya. Ada
pepejal mempunyai tapak berbentuk segiempat sama,
segiempat tepat, bulatan, heksagon dan lain-lain. Bilangan tepi dan bucu juga berbeza mengikut objek.
tepi
bucu Permukaan mendatar berbentuk segiempat tepat
Permukaan mendatar berbentuk segitiga
Rajah 10 Prisma bertapak segitiga dalam Rajah 10 mempunyai enam bucu dan sembilan tepi. Pepejal ini juga mempunyai tiga permukaan berbentuk segiempat tepat dan dua permukaan berbentuk segitiga.
Aktiviti 4
Bagi setiap objek dalam Rajah 9, tentukan ciri-ciri yang ada pada setiap objek tersebut. Jelaskan pemerhatian anda dalam bentuk jadual, bagi menyatakan bilangan tepi, bilangan bucu, jenis permukaan, bilangan permukaan mendatar, dan bentuk permukaan yang dipunyai setiap objek. Gunakan bahan manipulatif bagi membantu anda untuk mendapatkan gambaran sebenar setiap objek.
67
WAJ3105 LITERASI NOMBOR 4.2
MEMBINA BENTUK DUA MATRA DAN PEPEJAL TIGA MATRA
Rajah 11 Pelbagai bentuk dua matra boleh dibina dengan menggunakan geobod (Rajah 11). Bina beberapa bentuk lagi bagi mengukuhkan pemahaman anda tentang ciri-ciri bentuk dua matra. Seterusnya bina bentuk dua matra seperti yang terdapat dalam Rajah 6, dengan menggunakan alat geometri seperti jangka lukis, sesiku dan pembaris.
Aktiviti 5
Bentuk dua matra boleh dibina dengan menggunakan bahan-bahan yang mudah. i.
Bina bulatan dengan menggunakan tali dan paku tekan.
ii.
Bina elips dengan menggunakan tali dan dua paku tekan.
Sudah selesai aktiviti 4 dan 5? Berehat sebentar sebelum ke topik seterusnya.
68
WAJ3105 LITERASI NOMBOR
Rajah 12 ICT boleh dimanfaatkan untuk membina bentuk dua matra. Rajah 12 menunjukkan beberapa contoh bentuk yang dibina dengan menggunakan Geometer’s Sketchpad (GSP).
Latihan 1
Bersama rakan anda bina beberapa bentuk dua matra dengan menggunakan perisian seperti GSP, Smart Draw, MSWord, dan lain-lain. Cetak hasil kerja dan simpan dalam folio anda.
Rajah 13
Rangka pepejal tiga matra boleh dibina dengan menggunakan lidi dan plastisin. Rajah 13 menunjukkan contoh bagi kuboid dan prisma. Bina rangka bagi pepejal yang lain bersama rakan dalam kumpulan anda. 69
WAJ3105 LITERASI NOMBOR
Rajah 14 Rajah 14 menunjukkan bentangan bagi kubus.
Aktiviti 6
.
Bina bentangan bagi beberapa bentuk tiga matra seperti silinder, piramid, kuboid, kon mengikut kumpulan. Seterusnya cantumkan tepi yang bersesuaian bagi membentuk model pepejal dalam tiga matra
4.2
KONSEP RUANG DAN HUBUNGANNYA DENGAN AKTIVITI
Tidak semua orang berfikir tentang konsep dan idea ruang dalam cara yang sama. Kajian yang telah dijalankan oleh dua orang penyelidik, Pierre van Hiele dan Dina van Hiele-Geldof pada tahun 1959 telah memberi maklumat kepada kita tentang perbezaan pemikiran geometri dalam kalangan individu.
4.2.1
Peringkat Pemikiran Geometri Model van Hiele
Model van Hiele menjelaskan bahawa terdapat lima peringkat berhirarki bagaimana individu memahami konsep atau idea ruang. Lima peringkat tersebut ialah penggambaran (visualization), analisis, deduksi tak formal, deduksi, dan 70
WAJ3105 LITERASI NOMBOR rapi (rigor ) Setiap lima peringkat menjelaskan proses bagaimana seseorang itu berfikir, dan apakah jenis idea geometri yang dimiliki. Peringk at 0: Penggam baran (Visualization )
Idea pemikiran pada peringkat 0 ialah tentang bentuk dan bagaimana rupa sesuatu bentuk .
Pada peringkat ini, seseorang dapat mengenali dan menamakan bentuk berdasarkan pandangan dan ciri-cirinya yang umum. Hasil daripada pemikiran peringkat 0 ialah seseorang dapat kelompokkan bentuk yang dilihatn ya sebagai ”serupa”.
P e r in g k a t 1 : A n a l i s i s
Idea pemikiran pada peringkat 1 ialah kemampuan melihat bentuk secara berkelompok dan bukannya secara berasingan.
Pada peringkat analisis, seseorang berupaya untuk memikirkan semua bentuk dalam kategori yang sama, dan tidak terhad kepada satu bentuk sahaja. Sebagai contoh, dia bukan sahaja dapat memberi tumpuan kepada hanya satu bentuk segiempat tepat, tetapi beberapa jenis segiempat tepat yang berlainan saiz dan posisi. Justeru dia dapat membuat perbandingan mengapa sesuatu bentuk itu dikatakan segiempat tepat dengan melihat kepada bilangan sisi, sisi bertentangan yang selari dan sama panjang, mempunyai empat sudut tegak, dan lain-lain.
Hasil
daripada
pemikiran
peringkat
1
ialah
seseorang
dapat
memperihalkan ciri-ciri sesuatu bentuk.
P e r in g k a t 2 : D e d u k s i T a k F o r m a l
Idea pemikiran pada peringkat 2 ialah ciri-ciri bentuk .
71
WAJ3105 LITERASI NOMBOR Setelah dapat berfikir tentang ciri-ciri objek geometri, seseorang akan dapat mengembangkan pemikirannya berkaitan dengan hubungan antara ciri-ciri bentuk, dan juga dalam kalangan ciri-ciri bentuk. Dia berupaya untuk membuat penaakulan ”jika ... maka”. Sebagai contoh, ”Jika semua sudut bagi suatu bentuk adalah bersudut tegak,
maka bentuk itu mestilah segiempat tepat. Jika suatu bentuk adalah segiempat sama, maka bentuk itu juga adalah segiempat tepat.”
Hasil
daripada
pemikiran
peringkat
2
ialah
seseorang
dapat
memperihalkan hubungan antara ciri-ciri geometri sesuatu bentuk.
P e r in g k a t 3 : D e d u k s i
Idea pemikiran pada peringkat 3 ialah kemampuan memperihalkan hubungan antara ciri-ciri geometri sesuatu bentuk.
Pada peringkat deduksi, seseorang dapat meneroka lebih daripada ciri-ciri geometri sesuatu bentuk. Individu mula berfikir tentang struktur sistem yang terdiri daripada aksiom, definisi, teorem, dan postulat. Pemikiran begini akan beransur matang menggantikan pemikiran sebelumnya yang hanya konjektur tentang hubungan antara ciri-ciri geometri. Pada peringkat deduksi, individu boleh menggunakan pernyataan yang abstrak tentang ciri-ciri geometri yang berasaskan logik, bukan lagi sekadar intuisi. Sebagai contoh, ia boleh melihat dengan mudah bahawa pepenjurupepenjuru segiempat tepat, membahagi dua sama antaranya, dan dalam masa yang sama menghargai pembuktiaannya melalui hujah-hujah deduksian.
Hasil daripada pemikiran peringkat 3 ialah sistem deduksian aksiom tentang geometri.
72
WAJ3105 LITERASI NOMBOR Peringk at 4: Rapi (Rigor )
Idea pemikiran pada peringkat 4 ialah sistem deduksian aksiom tentang geometri.
Pada peringkat paling tinggi dalam hirarki van Hiele, tumpuan adalah tentang sistem aksiom. Individu boleh membanding dan melihat hubungan antara sistem aksiom yang berbeza. Sebagai contoh, geometri sfera adalah berasaskan garisan yang dibina atas sfera, berbeza dengan geometri satah.
Hasil daripada pemikiran peringkat 4 ialah membanding dan membezakan sistem aksiom yang berbeza tentang geometri.
Berdasarkan teori van Hiele, pemikiran geometri pelajar sekolah rendah perlu dibangunkan sekurang-kurangnya hingga ke peringkat 2. Sebagai guru, pelajar perlu dibantu dengan memberi pengalaman dan aktiviti yang bersesuaian supaya mereka mempunyai kesediaan yang baik apabila belajar tentang geometri di peringkat kolej atau universiti.
Latihan 2
Bersama rakan anda rancang aktiviti pengajaran yang bersesuaian untuk membantu murid supaya pemikiran dan kemahiran geometri bagi setiap peringkat berikut dapat dibangunkan dalam kalangan mereka. i. Peringkat 0: Penggambaran ii. Peringkat 1: Analisis iii. Peringkat 2: Deduksi tak formal
73
WAJ3105 LITERASI NOMBOR 4.2.2
Konsep Geometri dan Kehidupan Seharian
Rajah 15 Kemahiran dalam geometri dapat menghasilkan corak yang menarik. Kefahaman tentang ciri-ciri yang ada bagi sesuatu bentuk, seperti simetri dan transformasi bentuk dapat dimanfaatkan seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 15.
Rajah 16 Kemahiran dalam geometri juga diperlukan dalam mereka bentuk bangunan, dan membina corak yang terdapat pada
bangunan. Bentuk dan corak dapat
menghasilkan suatu yang menarik seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 16.
74
WAJ3105 LITERASI NOMBOR
Rajah 17 Perhatikan alam semula jadi di sekeliling kita. Aspek geometri dapat diperhatikan sebagaimana contoh yang ditunjukkan dalam Rajah 17.
Bina corak yang menarik berasaskan konsep dan ciri-ciri bentuk geometri bagi menghasilkan satu kraftangan yang menarik.
Van de Walle, J.A. (2007). Elementary and middle schools mathematics: teaching developmentally (6th Ed.) . Boston: Pearson Education, Inc. Cheong, Q. L. & Teh, W. L. (2008). Essential mathematics. Form 2 . Petaling Jaya: Pearson Malaysia. Haylock, D. (2006). Mathematics explained for primary teachers. (3rd ed.). London: Sage. Baca isi kandungan topik Bentuk 2-D dan Bentuk 3-D dalam Spesifikasi Kurikulum Matematik KBSR dan KSSR yang boleh diperolehi dari URL Bahagian Pembangunan Kurikulum Kementerian Pelajaran Malaysia di www.moe.gov.my/bpk/ .
75
