Tajuk 5: MATRIKS 1.
Penentu Matriks a c
Jika A matriks
b , maka penentu A, I AI = ad - bc d
Contoh:
Latihan:
2 1
5 3
1)
3 2
4 3
2 4
−3 5
1)
Penentu = 2x3 – 5 x1 =6−5 =1 1 3
2)
−2 4
2)
Penentu = 1 x 4 – (−2) x 3 =4+6 = 10
1 − 3
2 4
3)
2 − 4
3)
3 5
Penentu = 1 x 4 – 2x (−3) =4+6 = 10
1 3
4)
2 −4
2 4
4)
Penentu = 1 x (−4) – 2 x 3 =−4−6 = −10
Latihan 1 1
3 −5
Cari penentu bagi setiap matriks berikut: Latihan: 3 5
1)
4 6
3 5
−4 6
3 5
4 −6
4 2
3 1
2)
3 − 5
4 6
4)
− 3 − 5
4 6
6)
4 2
−3 1
8)
4 2
3 −1
10)
3)
5)
7)
9)
4 − 2
− 4 − 2
2
3 1
3 1
2.
MATRIKS SONGSANG a c
i) Tukar kedudukan dari
b d kepada − c d
Contoh:
Latihan:
2 3
7 5
1)
5 − 3
−7 2
2 − 3
7 5
5 3
−7 2
=
2) =
2 3
3)
5 − 3
4 − 6
2)
4 6
3)
10 2
10 2
−10 2
7 2
− 2 3
7 −5
− 5 − 3
−7 −2
− 2 3
−7 −5
− 5 − 3
7 −2
=
5)
4 6
1)
−7 5
=
4)
−b . a
=
− 4 6
10 −2
− 4 − 6
−10 2
4)
5)
Latihan 2 3
a c
Tukar kedudukan dari
4 6
5 7
1)
4 − 6
2 8
− 7 − 6
−5 8
7 −1
5 4
−2 3
4)
3 − 6
−2 −1
6)
− 6 − 2
3 1
8)
5)
7)
−b . a
2)
5 −1
3)
ii)
b d kepada − c d
7 2
−3 −5
Mencari Matriks Songsang dengan Kaedah rumus. 1.
Matriks songsang bagi M=M -1 Misalnya jika matriks
a c
b d
a c
b d
M=
maka matriks songsang M -1 =
4
-1
a c
Bagi matriks M =
2.
-1 M =
b , yang mempunyai matriks songsang d
-1 a c
b d
-1 −1
a b 1 = c d ad − bc −b d −c a Cari matriks songsang bagi setiap matriks berikut:
Contoh: 5 6
a)
5 6
Latihan:
3 4
a)
-1
3 4 4 −3 − 6 5
=
1 (5)( 4) −(3)( 6)
=
1 20 −18
=
1 2
6 2
3 2
4 − 3 − 6 5
4 − 6
−3 5
Atau
=
3 2 − 2 5 − 3 2
Contoh: b)
5 − 6
Latihan: −3 4
b)
5
7 − 2
−5 2
-1
5 −3 − 6 4 4 3 6 5
=
=
1 (5)( 4) −( −3)( −6)
1 2
−3 5
4 − 6
atau
=
c)
1 − 2
2 − 3
−3 2 5 2
4 3
(c)
-1
1 4 − 2 3 3 − 4 2 1
1 − 2
3 7
1
= (1)( 3) −( 4)( −2)
=
1 11
3 2
−4 1
atau
=
3 11 2 11
−4 11 1 11
Contoh: (d)
1 2
Latihan: −4 −3
d) 6
2 4
−1 −8
-1
1 − 4 2 − 3 −3 4 − 2 1
=
1 (1)( −3) −( −4)( 2)
=
1 −3 +8
=
1 5
−3 − 2
−3 − 2
4 1 4 1
atau
=
−3 5 −2 5
4 5 1 5
Latihan 3: 1.
Dengan menggunakan rumus, cari matriks songsang bagi setiap matriks yang berikut: 1 1
a)
1 0
2 1
b)
7
3 1
4 6
c)
− 2 3
1 2
d)
1 1 e) 2 − 6 − 4
1 3 f) − 1 4
8
2 −5
8 6
4. Menukarkan Persamaan Matriks Dalam Bentuk
Contoh 1:
Latihan:
1 3
1)
2 4
x 5 y = 6 x 1 y = 3
2 4
-1
2 4
−2 4
x 5 y = 6
2 4
2) -1
−2 4
x 5 y = 6
2 − 4
3) -1
2 4
3 x = 5 y
7 8
3 x = −5 y
7 8
5 6
Contoh 4: 2 −4
7 8
Latihan:
x 1 y = − 3
1 3
−3 x = 5 y
5 6
Contoh 3: 2 4
7 8
Latihan:
x 1 y = 3
1 − 3
3 x = 5 y
5 6
Contoh 2: 1 3
x -1 y = A
Latihan: x 5 y = 6 x 1 y = 3
2 4
3) -1
2 −4
5 6
Latihan 4
9
a b
x
a
2 6
−4 8
x 5 y = 6
4 2
−3 1
x 7 y = 8
−1 Tuliskan persamaan matriks berikut dalam bentuk y = A b
2 6
4 8
x 5 y = 6
2)
4 2
3 1
x 7 y = 8
4)
1)
3)
2 − 6
4 8
x 5 y = 6
6)
2 6
4 −8
x 5 y = 6
8)
1 3
2 4
5)
7)
9)
x 5 y = 6
4 − 2
4 2
1 3
10)
3 1
x 7 y = 8
3 −1
x 7 y = 8
− 2 4
x 5 y = 6
5. Penyelesaian Persamaan Matriks i) Mengunakan kaedah matriks untuk mencari nilai x dan y Contoh 1:
Latihan : 10
1 3
2 4
x 5 y = 6
x 1 y = 3
2 4
2 4 −1
5 6
1 (1 ×4) − ( 2 ×3)
=
4 −3
−2 1
5 6 4 ×5 − 3 ×5
=
1 4 −6
=
1 −2
20 −15
=
1 −2
8 −9
=
+ +
− 2 ×6 1×6
−12 +6
1 ×8 −2 1 × − 9 −2
− 4
= 9
2
x = − 4, y= 4
1 2
11
3 x = 5 y
6 7
Contoh 2: 1 3
−2 4
Latihan 2: x 5 y = 5 x y =
=
1 3
1 1 − 2-1 4
1 (1)( 4) −( −2)( 3) 4 x5
1 = − 3 x5 4 +6
+ +
=
1 10
20 + 10 −15 + 5
=
1 10
30 − 10
5 5
4 −3
2 5 1 5
2 x5 1x5
1 × 30 = 10 1 × − 10 10 x y =
3 −1
x = 3, y = −1
12
−3 x = 2 y
1 1
Latihan 5 Selesaikan persamaan matriks berikut dengan kaedah matriks. 1 − 3
1)
1 3
3)
2 4
x 5 y = 5
2)
1 −1
2 −4
x 5 y = 5
4)
1 1
13
3 2
x 2 y = 3
3 −2
x 1 y = 1
4 1
2 1
4 1
−2 1
x 1 y = 1
8)
2 0
x 2 y = 4
10)
5)
7)
1 −1
9)
x 1 y = 1
1 4
1 2
1 4
−1 2
6)
2 1
14
x 1 y = 2
x 2 y = 2
0 −1
x 2 y = 1
6. Menukar Persamaan Serentak Kepada Persamaan Matriks Contoh 1:
Latihan:
x + 2y = 5 3x + 4y = 6
1) 2x + 3y = 7 4x + 5y = 8
1x+2y= 5 3x+4y= 6 Persamaan matriks 1 3
2 4
x y =
5 6
Contoh 2:
Latihan:
x − 2y = 5 3x − 4y = 6
2) 2x − 3y = 7 4x + 5y = 8
1x − 2y = 5 3x + 4y = 6 Persamaan matriks 1 3
− 2 4
x y =
5 6
Contoh 3:
Latihan:
x + 2y = 5 −3x + 4y = 6
3) 2x + 3y = 7 −4x + 5y = 8
1x + 2y = 5 −3x + 4y = 6 Persamaan matriks 1 − 3
2 4
x y =
5 6
Latihan 6 15
Tukarkan persamaan serentak berikut kepada bentuk Matriks 1)
x + 2y = 5 3x – 4y = 6
2)
2x + 4y = 5 6x + 8y = 6
3)
4x + 3y = 7 2x + y = 8
4)
2x - 4y = 5 6x + 8y = 6
5)
2 x + 4y = 5 -6x + 8y = 6
6)
2x + 4y = 5 6x – 8y = 6
7)
4x - 3y = 7 2x + y = 8
8)
4x + 3y = 7 -2x + y = 8
9)
4x + 3y = 7 2x –y = 8
10) 2x + 3y = 6 4x + 5y = 7
Penyelesaian Soalan Berformat SPM 16
Contoh : 1. a) Carikan matrik songsang bagi 1 3
−2 −2
b) Seterusnya dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai m dan n yang memuaskan kedua-dua persamaan berikut: m – 2n = 2 3m – 2n =10 Penyelesaian 1 3
a) Matriks sonsang bagi 1 3
−2 −2
−2 −2
b) 1 3
−1
=
1 (1 ×−2 ) −(−2 ×3)
=
1 4
− 2 −3
− 2 −3
−2 −2
m 2 n = 10
m 1 n = 3
2 1
1 × ( −2) = 4 1 × ( −3) 4 −1 = 2 − 3 4
2 1
m – 2n = 2 3m – 2n = 10
m n − 2 −3
1 × 2 4 1 ×1 4
=
−1
−2 −2
2 10
1 ( 1×−2) −( −2 ×3)
2 2 1 10 − 2 −3
m 1 n = 4
1 2 1 4
2 1
=
1 4
− 2 ×2 + −3 ×2 +
=
1 4
− 4 + 20 − 6 + 10
= m n =
1 4
16 4 4 1
maka m=4 dan n=1
Latihan Kendiri: 17
2 10 2 ×10 1 ×10
1.
2 1
6 4
i)
Carikan matriks songsang bagi
ii)
Seterusnya, hitungkan nilai k dan nilai m yang memuaskan 2 1
persamaan matriks berikut: Penyelesaian i)
6 4
k 1 m = 0 .
ii)
Contoh: 2 i)
5 2
Diberi bahawa matriks F =
6 1 , G= 3 m
18
−2 1 dan FG = 0 n
0 . Cari 1
nilai m dan n. ii)
Seterusnya dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai u dan v yang memuaskan persamaan matriks berikut: 5 3
1 2
u − 6 v = 2
Penyelesaian i)
1 0
Jika FG =
-1 maka G = F
ii)
0 1
5 2
6 3
u 3 v = 9
Penyelesaian 5 = 2 5 = 2
6 3 -1 6 3 1 = (5)( 3) −(6)( 2)
F -1 F
3 − 2
u v
=
−6 5
F
1 3
3 − 2
1 = −2 3
−6 5
− 2 5 3
1
−2 = − 2 n
3 −2 5 m= , n= 3 3
− 2 5 3
u v
3 9
−6 5
=
1 3
9 − 54 − 6 +45
=
1 3
− 45 39
−15 13
=
u = − 15, v = 13
Latihan Kendiri: a)
3 − 2
−1
1 3 3 ×3 + − 6 ×9 − 2 ×3 + 5 ×9
-1 Bandingkan G dan F 1 m
1 3
6 3
=
= −1
5 = 2
Diberi bahawa matriks
19
3 9
5 D= 6
3 2 , E= 4
m
1 0
dan DE =
−3 2 n
0 1
Cari nilai m dan n. b)
Seterusnya dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai u dn w yang memuaskan persamaan. 5 6
3 4
u 2 w = 3
Penyelesaian a)
b)
20
1 k
3. Diberi bahawa
3 r
−1 . 3
1 1 ialah matriks songsang bagi 2 1
i)
Carikan nilai r dan nilai k.
ii)
Seterusnya dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan matriks berikut: 1 2
−1 3
x y =
11 2
Penyelesaian −1 −1 1 −1 = 2 3 3 −1 1 −1 = (1)( 3) −( −1)( 2) 3
1 2
(i) Songsang 1 2
3 − 2
ii)
Bandingkan
1 3 +2
=
1 5
1 5
3 − 2
3 − 2
3 − 2
1 5
=
1 1
=
x 1 = 2 y
−1
11 2
1 1
11 2
−1 3
3 − 2
1 5 ( 3 × 11 ) + (1 × 2) ( −2 ×11 ) + (1 × 2)
=
1 1
1 1
1 1 3 1 = 1 k r 1
k = 5, r = -2
=
1 5
33 + − 22 +
=
1 5
35 − 20
2 2
1 35 × = 5 1 × ( −20 ) 5 x 7 = y − 4 x = 7, y = − 4
Latihan Kendiri: 21
1.
Diberi bahawa
1 k
1 −1
p 4 ialah matriks songsang bagi 1 4
−2 1
a)
Carikan nilai k dan p.
b)
Seterusnya, dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan y yang memuaskan persamaan matriks berikut: 4 1
Penyelesaian
−2 1
a)
x − 2 y = 10
b)
Contoh Pemarkahan: 1)
2 6
1 4
i)
Carikan matriks songsang bagi
ii)
Seterusnya, hitungkan nilai k dan nilai m yang memuaskan persamaan matriks berikut: 22
2k + m = 0 6k + 4m = 1 (7 markah) Penyelesaian i)
2 6
-1
*
1 4
=
=
ii)
*
−1 2
4 1 8 −6 − 6 1 4 −1* 2 2 − 6
=
2 6
4 − 6 −1 2
1 ( 2)( 4) −(1)( 6)
*
1 k 0 = 4 m 1 -1 k 2 1 m = 6 4 1 4 = 2 − 6
0 1 * −1 0 2 1
1 (4 × 0 ) + 2 ( −6 ×0 ) + 1 0 −1 = 2 0 + 2 1 −1 = 2 2
=
( −1 × 1) ( 2 ×1 )
1 × − 1 = 2 1 × 2 2 1 k − m = 2 1 *
1 k= − , 2
* m= 1
* mewakili satu markah. Kesalahan umum. Analisis Kesalahan Dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan nilai y yang memuaskan kedua-dua persamaan berikut: 5x+3y=3 -4x + y = -16 SALAH
BETUL 23
1.
Kesilapan dalam menulis serentak 1. dalam bentuk matriks.
5 3
−4 1
x 3 y = −16
5 − 4
2. Kesilapan menghitung nilai penentu.
2.
5 − 4
5 − 4
3 x = 1 y
x = y 3 −16
3 −16
1 (5) ×(1) +(3)( −4)
1 4
−3 5
3 x 3 = 1 y −16
3 x = 1 y
3 −16
1 x y = (5)(1) −(3)( −4) 3 −16
1 − 4
3. Kesilapan dalam mendarab dua matriks. 3. x 1 y = 5 +12
1 ×3 + − 3 ×3 +
( −4 ×3) 3 5 × −16 −16
4.
x 1 1 ×3 + y = 17 − 4 ×3 +
( −4 ×3) 5 × −16
4. -1
x 3 y = −16
5 3
−4 1
x 5 y = 3
−4 3 1 −16
5. Sebagai jawapan akhir
5.
x 3 y = − 4
x = 3, y = -4
24
−3 5
SOALAN – SOALAN SPM 1. SPM 2003 Kertas 2, soalan 11 3 5
M ialah satu matriks 2 x 2 dengan keadaan M
−2 1 = −4 0
0 1
a) Carikan matriks M. b) Tuliskan persamaan linear serentak berikut dalam bentuk persamaan matriks. 3x − 2y = 7 5x − 4y = 9 Seterusnya, dengan mengunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan y [ 6 markah]
2. SPM 2004 Kertas 2, soalan 8 3 5
a) M atriks songsang bagi p.
−4 −6 ialah m −5 −6
p . Carikan nilai m dan 3
b) Dengan mengunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan linear srentak berikut: 3x − 4y = − 1 5x − 6y = 2 [6 markah] 3. SPM 2005 Kertas 2, Soalan 11 2
Diberi bahawa matriks P = 1
keadaan
1 PQ = 0
−5 3 dan matriks Q = k −1 3
h dengan 2
0 . 1
a) Carikan nilai k dan nilai h. b) Dengan mengunakan kaedah matriks, hiutngkan nilai x dan y yang memuaskan persamaan linear serentak berikut: 2x − 5y = − 17 x + 3y = 8
25
[ 7 markah]
4. SPM 2004 Julai, Kertas 2, Soalan 9 2 5
a) Carikan matriks songsang bagi
3 6
b) Dengan mengunakan kaedah matriks, hitunhkan nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan linear serentak berikut. 2x + 3y = 1 5x + 6y = − 2
[6 markah]
5. SPM 2005 Julai, Kertas 2, Soalan 9 1 3
P ialah matriks 2 x 2 dengan keadaan
−2 1 P = 0 4
0 . 1
a) Carikan matriks P. b) Tuliskan persamaan linear serentak berikut dalam bentuk persamaan matriks: x − 2y = 8 3x + 4y = − 6 Seterusnya, dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan nilai y. [ 6markah]
26
JAWAPAN Latihan 1: 1) −2 2) 38 3) 38 4) −38 5) 2 6) −2 7) 10 8) 10 9) −10 10) 2 Latihan 2: 7 −5 4 − 6 8 − 2 2) 6 4 3 2 3) 1 5
1)
8 6
4)
−1 6
5)
4 1
6)
5 −7
2 3
−5 7
Latihan 3: 1 0 1 −1 3 −1 b) 1 −2
a)
−1 1 c) 2 2 − 3 − 5 −1 4 2 d) − 3 − 1 2 4 −1 −1 4 e) 1 1 1 8 2 3 −2 f) 2 1 1 16 12
3 1 2 −6 −5 3 8) − 2 7
7)
27
Latihan 4: x 2 1) y = 6
-1 4
x 4 3) y = 1
5 6
8
3-1 2
7 8
x 2 2) y = 6
x 4 4) y = 2
4 8
−1
5 6
x 4 6) y = − 2
7) y = 6
4 −8
−1
5 6
8) y = 2
x 1 9) y = 3
2 4
x 2 5) y = − 6
x
2
−1
5 6
x
4
x 1 10) y = 3
Latihan 5 1) x = 1, y = 2 3) x = 3, y = 1 1 2
5) x = − , y = 7) x =
1 1 ,y= 2 2
9) x = -4, y = 3
3 2
2) x = -1, y = 1 4) x = 1, y = 0 6) x = 0, y = 1 8) x = 1, y = −1 10) x = 1, y = 0
28
-1 − 4
8
−3 2
5 6
−1
5 6
3 1
−1
7 8
3 −1
−1
7 8
−2 4
−1
5 6
Latihan 6 1 3
2 −4
4 2
3 1
1) 3)
2 − 6
5)
4 2
7)
4 2
9)
x 5 y = 6 x 7 y = 8
2 6
4 8
x 5 y = 6 − 4 x 5 = 6 8 y
2)
2 6
4)
4 8
x 5 y = 6 − 3 x 7 = 8 1 y 3 x 7 = 8 −1 y
2 6
4 −8
6)
x 5 y = 6 3 x 7 = 8 1 y
4 − 2
8)
2 4
3 5
10)
x 6 y = 7
Soalan – soalan SPM 1. a) −
1 2
− 4 −5
2 3
2. a) m =
1 dan p = 4 2
3. a) k =
1 , 11
1 6 4. a) − 3 − 5
3 5
b)
b) x = 7, y =
b) x = −1,
− 2 −3 atau 5 2 3
1 2 − 3
1 5 1 10
y =3
b) x = −4,
1 3
b)
29
x = 5 dan y = 4
11 2
h =5
2 1 4 2 atau 5 5. a) 10 − 3 1 − 3 10 x = 2 , y =3
−2 x 7 = , −4 y 9
y =3
−2 x 8 = 4 y −6
