CONTEO
HECTOR MAURICIO DÍAZ RESTREPO
LILIANA INÉS PÉREZ VELASCO
ARMENIA, AGOSTO 19 DE 2011 UNIVERSIDAD DEL QUINDIO LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
TALLER No. 1 CONTEO 6. Con el fin de juntar fondos para una alberca municipal, la cámara de comercio de cierta ciudad patrocina una carrera. Cada participante paga una cuota de inscripción de $5 y tiene la probabilidad de ganar uno de los trofeos de distinto tamaño que se entregarán a los primeros 8 corredores que lleguen a la meta. a. Si 30 personas entran a la carrera, ¿de cuántas formas será posible entregar los trofeos? b. Si Roberta y Clara son dos de los participantes en la carrera, ¿de cuántas formas se pueden otorgar los trofeos de modo que ellas queden entre los tres primeros lugares? Se tienen los siguientes datos: 8 = Trofeos 8 = Número de ganadores. 30 = Número de participantes que ingresan a la carrera. n = Número de participantes r = Número de ganadores G = Ganador Respuesta: a. Se puede realizar por la regla del producto, teniendo en cuenta las 8 primeras posiciones finales. 30 * 29 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24 * 23 = 235.989.936.000 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 O por permutaciones, tenemos 30 corredores y 8 posiciones (las 8 primeras posiciones finales). Por lo tanto, se pueden entregar los trofeos de 235.989.936.000 maneras diferentes. P(n,r)= P(30,8)=
(
) 235.989.936.000
b. Se tiene: Roberta 30 participantes
30-2=28 Clara
Trofeos
Primer lugar Segundo lugar Tercer lugar
8
Por permutación, n=28, r=6 6=2 participantes (Roberta y Clara)*3 primeros lugares 6P(n,r)=6P(28,6)=6(
(
)
)
6(
)
1.627.516.800
Hay 1.627.516.800 formas posibles de que Roberta y Clara puedan terminar entre los 3 primeros lugares. 8. Matías trabaja como operador de computador en una pequeña universidad. Una tarde, él ve que durante el día se han enviado 12 programas para su procesamiento por lotes. ¿De cuántas formas puede ordenar Matías el procesamiento de estos programas si: (a) ¿No existen restricciones? (b) ¿El considera que 4 de los programas tienen prioridad sobre los otros 8 y desea procesarlos antes? (c) ¿Primero separa los programas en los 4 de máxima prioridad, 5 de menor prioridad y 3 de mínima prioridad, y desea procesar los 12 programas de modo que los de máxima prioridad se procesen primero y los 3 programas de mínima prioridad se procesen al final? Se tienen los siguientes datos: 12 = Número de programas 4 = Número de programas de máxima prioridad 5 = Número de programas de menor prioridad 3 = Número de programas de mínima prioridad Respuesta: a) Por la regla del producto hay programas si no hay restricciones,
12! formas
de
procesar
los
12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 12! = 479.001.600 b)
4 de máxima prioridad 12 programas 8 programas restantes (4 * 3 * 2 * 1)*(8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)= (4!*8!) = 24*40320 = 967.680
Por la regla del producto hay 967.680 formas de procesar los programas de manera que los 4 programas de mayor prioridad se procesen en primer lugar. c) 12 programas
4 de máxima prioridad 5 de menor prioridad 3 de mínima prioridad
(4 * 3 * 2 * 1)*(5 * 4 * 3 * 2 * 1)*( 3 * 2 * 1) = (4!*5!3!) = 24*120*6 = 17.280
Por la regla del producto hay 17.280 formas en que los 4 programas de máxima prioridad se procesan primero y los 3 programas de mínima prioridad se procesan de último. 10. Pamela tiene 15 libros. ¿De cuántas formas puede colocar sus libros en dos repisas de modo que haya al menos un libro en cada una? (Tenga en cuenta que los libros, en cualquier disposición, están ordenados uno junto a otro, y el primer libro de cada repisa queda en el lado izquierdo de la misma? Se tienen los siguientes datos: 15 = Número de libros R = Repisa
2 L
= Número de repisas = Libro
Respuesta: R1= L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 L11 L12 L13 L14 L15 15* 14* 13* 12* 11* 10* 9* 8* 7* 6* 5* 4* 3* 2* 1 R2= L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 L11 L12 L13 L14 14* 13* 12*11*10* 9* 8* 7* 6* 5* 4* 3* 2* 1
R 1 * R 2 = (15!)(14!)= 114.000.816.800.000.000.000.000
Por la regla del producto Pamela puede distribuir los libro en las repisas en cualquier disposición, y ordenarlos uno junto al otro, teniendo en cuenta que le primer libro debe quedar al lado izquierdo de cada repisa, de (15!)(14!) formas diferentes. 13. a) ¿Cuántas permutaciones existen para las 8 letras a, c, f, g, i, t, w, x? b) ¿Cuántas de las permutaciones de la parte (a) comienzan con la letra t? c) ¿Cuántas de las permutaciones de la parte (a) comienzan con la letra t y terminan con la letra c? Se tienen los siguientes datos: 8 = Número de letras Letras a, c, f, g, i, t, w, x Respuesta: a) a c f g i t w x 8* 7* 6* 5* 4* 3* 2* 1 = 8! = 40.320 b)
letra t 8 letras
8-1=7 letras restantes (a, c, f, g, i, w, x)
t letra t
a c f g i w x letras restantes
7* 6* 5* 4* 3* 2* 1 = 7! = 5.040 c)
letra t y c 8 letras
8-2=6 letras restantes (a, f, g, i, w, x)
t letra t
a f g i w x letras restantes
c letra t
6* 5* 4* 3* 2* 1 = 6! = 720 Por la regla del producto hay (a) 40.320 permutaciones utilizando las 8 letras; (b) 5.040 permutaciones que comienzan con la letra t y, (c) 720 permutaciones que comienzan con la letra t y terminan con la c.
15. ¿De cuántas formas es posible ordenar los símbolos a, b, c, d, e, e, e, e, e, de modo que ninguna e quede junto a otra? Se tienen los siguientes datos: Símbolos: a, b, c, d, e, e, e, e, e Respuesta: e e e e
aebeced deaebec cedeaeb becedea
e e e e
esto es igual a (4*3*2*1)=4!=24
Por la regla del producto hay 24 maneras de ordenar los símbolos de forma que ninguna e quede junto a otra. 17. En una implementación del lenguaje de programación Pascal, un identificador consta de una sola letra, o de una sola letra seguida de hasta 7 símbolos, que pueden ser letras o dígitos. (Supongamos que el computador no distingue entre las letras mayúsculas y minúsculas; hay 26 letras y 10 dígitos). Sin embargo, ciertas palabras claves están reservadas para los comandos; en consecuencia, estas palabras claves no pueden usarse como identificadores. Si esta implementación tiene 36 palabras reservadas, ¿Cuántos identificadores diferentes son posibles en esta versión de Pascal?. Se tienen los siguientes datos: L = Letras S = Símbolos 7 = Número de símbolos entre letras y dígitos 26 = Número de letras 10 = Número de dígitos 36 = Número de dígitos y letras 36 = Número de palabras claves (comandos) Respuesta: Identificador 26 letras
26
36 36 36 36 36 36 36
letra
letras y dígitos
36 palabras claves
Esto es igual a, (26)+(26)( )-(36) = 2.037.468.267.000 Por la regla del producto se pueden obtener 2.037.468.267.000 identificadores diferentes para esta versión de Pascal. 18. La producción de una pieza de una máquina consta de 4 etapas. Hay 6 líneas de ensamble disponibles para la primera etapa, 4 líneas para la segunda etapa, 5 para la tercera y 5 para la última. Determine la cantidad de formas diferentes en que dicha pieza puede quedar totalmente ensamblada en este proceso de producción. Se tienen los siguientes datos: 4 = Número de etapas 20 = Número de líneas de ensamble E1 = Etapa 1 E1 = 6 líneas E2 = Etapa 2 E2 = 4 líneas E3 = Etapa 3 E3 = 5 líneas E4 = Etapa 4 E4 = 5 líneas Respuesta: E1
de de de de
ensamble ensamble ensamble ensamble
Pieza de una máquina E2
E3
E4
Esto es, E1*E2*E3*E4 = 6*4*5*5 = 600
Por la regla del producto hay 600 formas diferentes para que la pieza de la máquina quede totalmente ensamblada. 23. a) ¿Cuántas disposiciones hay de todas las letras de la palabra SOCIOLOGICAL? b) ¿En cuántas de las disposiciones de la parte (a) están juntas la A y la G? c) ¿En cuántas de las disposiciones de la parte (a) están juntas todas las vocales? Se tienen los siguientes datos: La palabra SOCIOLOGICAL formada por 12 Letras
Respuesta: a )
S O C I O L O G I C A L Hay 12 letras así: 1 de tipo S 3 de tipo O 2 de tipo C 1 de tipo A
2 de tipo I 2 de tipo L 1 de tipo G
Hay 7 tipos de letras (S, O, C, I, L, G, A)
13.305.600 b) Para AG (se toman como un solo tipo) 12 – 1 = 11 Hay 11 letras así: 1 de tipo S 1 de tipo AG 3 de tipo O 2 de tipo I 2 de tipo C 2 de tipo L Hay 6 tipos de letras (S, O, C, I, L, AG) 1.108.800 Para GA (se toman como un solo tipo) 12 – 1 = 11 Hay 11 letras así: 1 de tipo S 1 de tipo GA 3 de tipo O 2 de tipo I 2 de tipo C 2 de tipo L Hay 6 tipos de letras (S, O, C, I, L, GA) 1.108.800
hay [ c) Vocales solas 3 de tipo O
]
2 de tipo I
Hay 6 tipos (O, I, A),
2.217.600
1 de tipo A
60 y, Considerando el caso en el que todas las vocales son adyacentes, Hay 11 letras así: 1 de tipo S 1 de tipo G 2 de tipo C 1 de tipo OIOOIA 2 de tipo L Hay 5 tipos de letras (S, C, L, G, OIOOIA) 2520
Luego, [
][
]
60*2520 = 151.200
hay 13.305.600 disposiciones para la palabra SOCIOLOGICAL, (b) hay 2.217.600 disposiciones de la parte (a) en donde las letras A y G están juntas y, (c) hay 151.200 disposiciones de la parte (a) en donde están juntas todas las vocales. 25. Doce platillos (con forma idéntica) se ordenan en 4 columnas verticales, como se muestra en la figura 1.5. Hay 4 de color rojo en la primera columna, 3 de color azul en la segunda columna, 2 grises en la tercera columna y 3 blancos en la cuarta. Para entrar al equipo de tiro de su universidad, Dora debe romper los 12 platillos (con su pistola y sólo 12 balas) y, para esto, siempre debe romper el platillo que queda en la parte inferior de la columna. En estas condiciones, ¿de cuántas formas puede disparar (y romper) los 12 platillos?
Se tienen los siguientes datos: 12 = Número de platillos 12 = Número de balas 4 = Número de platillos rojos (R) 3 = Número de azules (A) 2 = Número de platillos grises (G) 3 = Número de platillos blancos (B) Figura 1.5
Respuesta: Hay 12 platillos, 4 del primer tipo 3 del segundo tipo
2 del tercer tipo 3 del cuarto tipo
Hay 4 tipos de platillos (R, A, G, B) 277.200
Dora puede disparar y romper los 12 platillos de 277.200 formas. 27. Determine el valor (o los valores) de n en cada uno de los siguientes casos: a) P(n,2)=90; b) P(n,3)=3 P(n,2); c) 2P(n,2)+50= P(2n,2); Respuesta: a) P(n,2)=90
( (
) ) (
( ( ( (
) ) )
) )(
)
b) P(n,3) = 3P(n,2)
(
)
(
(
)
)
(
) ( ( (
)( ) )(
)
(
)(
( )
( (
(
)
)
) )
)
) (
c) 2P(n,2) + 50 = P(2n,2)
( (
(
) (
(
) )
(
) (
)
)
(
)( )
(
√
( (
) ) ( (
) )
)
)
