TALLER N°2 CADENAS DE MARKOV
2012 INGENIERIA INGENIER IA INDUSTRIAL UNIVERSIDAD UNIVERSIDA D DEL MAGDALENA
TALLER N°2 DE INVESTIGACION DE OPERACIONES OPERACIONES II “CADENAS DE MARKOV”
KAREN MARGARITA ALVAREZ ESPINOZA VICTORIA MILENA BARROS FERREIRA HECTOR JUNIOR MARTINEZ ARAQUE
ING. NESTOR CAICEDO Docente INVESTIGACION DE OPERACIONES II
UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SANTA MARTA 2012 –II
TALLER DE INVESTIGACION DE OPERACIONES II CADENAS DE MARKOV
1.
Un inversionista extranjero desea invertir su capital en el mercado accionario nacional. De acuerdo a un estudio que realizó, el comportamiento mensual de este mercado puede clasificarse en 3 categorías: En alza (A), estable (E) y en baja (B). Además, este comportamiento mensual es una variable aleatoria que depende únicamente del comportamiento en el mes anterior. La siguiente matriz representa las probabilidades de transición en el mercado accionario:
A
E
B
A
0,2
0,7
0,1
E
0,3
0,2
0,5
B
0,5
0,1
0,4
El inversionista tiene la posibilidad de ubicar su capital en otro país, por lo que ha decidido observar el mercado nacional. La política de inversión que seguirá es tal que si durante 3 meses consecutivos observa al mercado nacional en alza, invierte sin retirar su dinero, sin embargo, si durante 2 meses consecutivos observa que el mercado está en baja invierte en el extranjero sin la posibilidad de reconsiderar su decisión. Si invierte en el mercado accionario nacional obtendrá un ingreso esperado mensual de MA [$], ME [$] o MB [$], si el comportamiento es en alza, estable o baja respectivamente. Si inicialmente el mercado accionario nacional se encuentra estable: a) Explique por qué este problema de inversión puede formularse como una
cadena de Markov. Represéntelo con un grafo, identifique y clasifique sus estados. b) ¿Existen probabilidades estacionarias?. c)
Suponga que el inversionista finalmente invierte en el mercado nacional, ¿Cómo cambia su respuesta de la parte anterior?, ¿Cuál es el ingreso promedio mensual que espera obtener el inversionista en esta situación?.
Solución Estados: 3
A= alza,
E= estable,
B= baja
a) 0,2
0,2 0,3
A
E
0,7 0,5
0,1
0,1
0,5
B 0,4 Este problema se puede representar como un modelo de cadena de Markov porque se esta presentando un comportamiento mensual con una variable aleatoria que depende únicamente del comportamiento en el mes anterior.
b) Si existen probabilidades estacionarias, las cuales son:
Reduciendo términos tenemos:
De la ecuación (1) y (2) eliminamos
De la ecuación (5) y (6) tenemos:
(⁄)
Sumamos términos semejantes:
De la ecuación (2) y (3) eliminamos
⁄
De la ecuación (6) y (8) tenemos:
(–)
Sumamos términos semejantes:
De la ecuación (9) y (7) podemos deducir que:
De la ecuación (4) despejamos
En la ecuación (2) remplazamos la ecuación (10) y tenemos:
Como
, entonces:
Remplazo en la ecuación (10) el valor de
c)
∑
Remplazamos los valores de las probabilidades de un estado a otro y tenemos:
Hallando el valor de cada m, tenemos para
Despejamos
Remplazamos
y
de la ecuación:
en la ecuación de
Remplazo el resultado de
en la ecuación despejada anteriormente de
Hallando el valor de cada m, tenemos para
Despejamos
Remplazamos
de la ecuación:
en la ecuación de
y
Remplazo el resultado de
en la ecuación despejada anteriormente de
Hallando el valor de cada m, tenemos para
Despejamos
Remplazamos
y
de la ecuación:
en la ecuación de
Remplazo el resultado de
en la ecuación despejada anteriormente de
Resumiendo los resultados de la m en una tabla tenemos:
Resultado 3
3
3
Los ingresos generados durante el transcurso del tiempo son:
2. Un hotel opera en un paraje montañoso de elevado atractivo turístico. Cada tarde puede llegar un nuevo cliente solicitando una habitación, lo cual ocurre con probabilidad p, o bien puede no llegar ninguno (con probabilidad q = 1 − p. Una fracción α de los clientes se queda en el hotel sólo una noche (llegan una tarde y se van en la mañana siguiente), mientras que una fracción β = 1 − α , decide quedarse una noche más disfrutando del hermoso paisaje (i.e. llegan una tarde y se van en la mañana del día subsiguiente). Nadie pasa más de 2 noches en el hotel. a) ¿Cuál es el máximo número de habitaciones que pueden estar ocupadas
simultáneamente?. b)
Modele el estado de ocupación del hotel para cada noche (cuántas habitaciones están ocupadas) como una cadena de Markov. Defina adecuadamente los estados, e indique las probabilidades de transición entre ellos. Justifique la existencia de probabilidades estacionarias y calcúlelas.
c)
Suponga que el hotel le cobra a sus clientes A [$] por la primera noche de estadía y B [$] por noche adicional (B < A). ¿Cuál es el valor esperado del ingreso por noche en el largo plazo?. ¿Cuál es el número promedio de habitaciones ocupadas?.
d)
Suponga que el día que un cliente llega al hotel se realiza un sanitizado de la habitación que ocupará, además se le regala un mapa de la zona y un pequeño objeto de artesanía típica del lugar (con el logo del hotel), y se le ofrece una bebida por cuenta de la casa. Todo lo anterior tiene un costo de C [$]. ¿Qué relación deben cumplir A, B y C para que el hotel pueda financiarse en el largo plazo?.
Solución
De la ecuación (2) obtenemos
De la ecuación (1) tenemos
De la ecuación (4) hallamos
a)
b)
c)
d)
3. Una empresa de transporte cuenta con una flota de 2 camiones destinados para traslados y fletes. La demanda diaria que enfrenta la empresa es aleatoria, con la siguiente ley de probabilidades:
[ = 0] r [D = 1] r [D = 2]
P r D P P
= = =
0,3 0,6 0,1
Al comienzo del día, se reciben los pedidos por fletes de acuerdo a la distribución anterior y se debe tener en cuenta que un camión sólo puede atender un pedido por día. Un camión que durante un día ha realizado un flete tiene una probabilidad 0.5 de requerir mantención después del traslado, en cuyo caso al día siguiente no estar disponible para realizar fletes. Le mantenimiento de un camión demora exactamente un día y tiene un costo de $10. a) Defina Nk como el número de camiones disponibles para realizar fletes al comienzo del día k. Muestre que Nk (k = 1, 2,...) puede modelarse como una
cadena de Markov. Defina los estados y determine las probabilidades de transición de un período. b) Determine las probabilidades estacionarias. c) A partir de la respuesta de la parte anterior, ¿Cuál es el número esperado de
fletes que realizaría esta empresa en estado estacionario?. ¿Cuál es el costo diario promedio por concepto de mantención?. ¿Cuánto es lo mínimo que esta empresa está dispuesta a cobrar por cada flete?.
Solución
| | a)
+0,5 +0,5
De la ecuación (3) despejamos
(5)
De la ecuación (3) tenemos.
)
De la ecuación (1) tenemos que:
+0,5
+0,5
+0,5
+0,5
+0,5
+0,5
b)
Con
⁄⁄
podemos calcular el valor de
Con
Con
podemos calcular
podemos calcular el valor de
Resultado
c)
Hallando los costos tenemos
El costo mínimo seria
4. En un juego participan dos jugadores, A y B. En cada turno, se lanza una moneda al aire. Si sale cara, A le da 1 dólar a B. Si sale cruz, B le da 2 dólares a A. Al principio, A tiene dólares y B tiene 4 dólares. El juego continúa hasta que alguno de los dos se arruine. Calcular: a) La probabilidad de que A termine arruinándose. b) La probabilidad de que B termine arruinándose. c) El número medio de tiradas que tarda en acabar el juego
Solución Jugador A tiene 2 Dolores
[ 0
P=
1
2
3
4
5
6
] 7
Jugador B tiene 4 Dolores
[ 0
P=
1
2
3
4
5
] 6
Ahora procedemos a descomponemos la matriz P y tenemos Jugador A
[
Jugador B
[
]
1
P=
1
P=
2
2
3
3
4
4
5
5
0
0
6
]
7
Matriz R
Matriz I
6
Matriz R
Matriz I
a) La probabilidad de que A termine arruinándose es
I-P=
[
]
-1
I-P =
[
0
-1
(I- P )R=
6
] 7
La ruina de A esta representada por el estado 0, que es el segundo estado absorbente. Como empezamos en el tercer estado transitorio (A empieza con 2 dolares ), debemos consultar la segunda fila, y la primera columna de (I- P-1 )R, la cual nos da una probabilidad de 0.35 de que A empiece con dos dólares y termine en la ruina
b) la probabilidad de que B termine arruinándose. Como es el suceso contrario de A, entonces su probabilidad será
1-0.35= 0.65. C) Promedio de tiradas en que se tarda de acabar el juego. Para halla el promedio de la tiradas en que se tarda de acabar el juego, súmanos los números medios de etapas que se estará en cualquier estado transitorio antes de la absorción, suponiendo que empezamos en el segundo estado transitorio. Dichos números medios son los que toma la segunda fila de la matriz I-P-1.
El promedio es: 0.4+1.4+0.8+0.4+0.2= 3.2 tiradas
5.
El Departamento de Marketing Cuantitativo de un prestigioso banco nacional está desarrollando un modelo basado en Cadenas de Markov discretas, para estimar el número de clientes en el estrato ABC1. El planteamiento es el siguiente:
Sea el número de clientes pertenecientes al segmento ABC1 el primer día hábil del mes n. En el banco existen solamente dos segmentos para clasificar a los clientes ABC1 y C2. En total hay N clientes en el banco y que la probabilidad de que un cliente pase de ABC1 a C2 es y de C2 a ABC1 es . Suponga que los clientes no se retiran del banco, ni tampoco ingresan nuevos clientes. Si se sabe que el primer día hábil de un mes hay personas en el segmento ABC1: Cuál es la probabilidad de que en el primer día hábil del mes siguiente hayan clientes en el mismo segmento?
Solución ABC1
P=
ABC1
2
P =
6.
C2
C2
El profesor de este curso ha decidido dedicarse a la música, y junto a unos
amigos formó´ el grupo “Los Markovianos del Son”. Actualmente se limitan a tocar los
fines de semana en algunos sitios siendo uno más de los desconocidos en el medio. Cada mes existe una probabilidad q que un empresario de algún sello musical nacional los escuche y decida apoyarlos para grabar y realizar giras para cantar en todo el país. Si tal cosa ocurre pasarían a ser conocidos a nivel nacional. Un grupo que es conocida a nivel nacional corre el riesgo de perder el apoyo de la disquera nacional que los patrocina, con lo cual volverían a ser desconocidos. Cada mes, la probabilidad que esto ocurra es r . Por otro lado, un grupo conocida a nivel nacional puede llegar a llamar la atención del representante de un sello musical internacional, el cual podría decidir patrocinarlos. De ser así el grupo pasaría a ser conocido a nivel internacional. Cada mes existe una probabilidad s que esto ocurra (s + r < 1). Una orquesta que es conocida internacionalmente nunca dejará de serlo. Sin embargo podemos distinguir dos categorías entre ellas: las que están de moda y las que no. Una orquesta internacionalmente conocida que está de moda en un mes dado seguirá estando de moda al mes siguiente con probabilidad t . Una conocida a nivel internacional que no está de moda en un mes dado pasará a estar de moda al mes siguiente con probabilidad u. El primer mes que una orquesta se hace conocida a nivel
internacional nunca está de moda. Una orquesta sólo percibe utilidades (equivalentes a K [$]) en los meses que es conocida internacionalmente y está de moda (parte de esas utilidades corresponden a una satisfacción de su ego). Suponga 0 < x <1 x {q, r, s, t, u} .
∀∈
a) Construya una cadena de Markov que represente la trayectoria de la orquesta y
que permita predecir si en un mes dado percibirán utilidades o no (defina estados adecuados, dibuje el grafo indicando las probabilidades de transición o bien escriba la matriz de prob. de transición). b) ¿Llegarán “Los Markovianos del son” a tener ´éxito algún día?. c)
¿Admite la cadena una ley de probabilidades estacionarias?.
d) ¿Qué estados tienen necesariamente una probabilidad estacionaria igual a 0?.
Calcule las probabilidades estacionarias. e) ¿Cuál es (aprox.) el valor esperado de las utilidades percibidas por la orquesta
en febrero del año 2027?.
Solución a) 1. 2. 3. 4.
Banda desconocida Banda conocida nacionalmente Banda conocida internacionalmente sin moda Banda conocida internacionalmente con moda
b) si ya que existe la probabilidad de que esta alcance su máximo estado. c)
1. 2. 3. 4. 5.
()
En (2)
En (3)
Igualamos (2) y (3)
()
Entonces asi queda (1)
En (5)
Remplazamos (5) en (1)
Entonces en 1
d) Las probabilidades estacionarias igual a 0, son x y y. puesto que estas siempre buscaran fama y moda internacional.
^
e) En el 2048 la función de utilidad seria esta K ($) – u=Wk ($)