Taller Preparcial Examen Final

Taller Preparcial Examen Final Universidad de la Sabana Facultad Facult ad de d e Inge I ngenie nierr´ıa ´ Area de Matem´ aticas aticas

Probabil idad y E stad´ ıstica I ıstica

Estad´ Estad ´ıstica Descrip Descriptiva tiva y Probabili Probabilidad dad 1. El Higher Education Research Institute cuenta con estad estad´´ısticas sobre las ´areas areas que son m´as as elegidas por los estud estudiant iantes es de nuev nuevoo ingreso. Las cinco m´as as elegidas son arte y humanidades (A), administraci´on on 1 de negocios (B), ingenier ingenier´´ıa (E), pol pol´´ıtica (P) y ciencias sociales (S). Otras ´areas areas (O), entre las que se encuentran biolog´ıa, ıa, f´ısica, ciencias de la computa computaci´ ci´on on y educaci´on on se agruparon todas en una sola categor´ıa. ıa. Las siguientes si guientes fueron f ueron las l as ´areas areas elegidas por 64 estudiantes de reci´ en ingreso: en S O B A

P E A E

P E S B

O B O E

B S E A

E O A A

O B B P

E O O O

P A S O

O O S E

O E O O

B O O B

O E E B

O O B O

O B O P

A P B B

a) Iden Identifique tifique muestra muestra y poblaci´ on. on. b) Iden Identifique tifique la variable variable medida sobre la muestra e indique si es de tipo cuantitativo cuantitativo o cualitativo. cualitativo. c) Realice Realice la distribuci´ distribuci´on on de frecuencias y elabore un diagrama de barras para frecuencias relativas y otro para frecuencias acumuladas. d) ¿Qu´e porcentaje porcenta je de los estudiantes nuevos elige una de las cinco areas a´reas m´as as elegidas? e) ¿Cu´al al es el ´area area m´as as elegida por los estudiantes de nuevo ingreso? Utilice el software EXCEL, para elaborar una distribuci´on on (tabla) de frecuencias para datos agrupados el punto 2 y 3. 2. Un art art´´ıculo publicado en   Technometrics   Technometrics   presenta los datos siguientes sobre el octanaje de varias mezclas de gasolina 88.5 94.7 84.3 90.1 89.0 89.8 91.6 90.3 90.0 90 .0

87.7 91.1 86.7 93.4 96.1 89.6 90.4 91.6 90.7 90 .7

83.4 91.0 88.2 88.5 93.3 87.4 91.1 90.5

86. 7 94. 2 90. 8 90. 1 91. 8 88. 4 92. 6 93. 7

87. 5 87. 8 88. 3 89. 2 92. 3 88. 9 89. 8 92. 7

91.5 89.9 98.8 88.3 90.4 91.2 90.6 92.2

a) Reali Realice ce un diagrama de tallos tallos y hojas para los datos. 1

The New York Times Almanac, 2006.

1

88.6 88.3 94.2 85.3 90.1 89.3 91.1 92.2

100.3 87.6 92.7 87.9 93.0 94.4 90.4 91.2

96. 5 84. 3 93. 2 88. 6 88. 7 92. 7 89. 3 91. 0

93.3 86.7 91.0 90.9 89.9 91.8 89.7 92.2

b) ¿Qu´e conclusiones puede obtener sobre los datos? c) Descr Describa iba la forma de la distribuci´ distribuci´ on, ¿es sim´etrica? on, etri ca? d) Calcu Calcule le Media, Moda y Mediana Mediana e) Calcu Calcule le Cuartiles Cuartiles Q  Q 1 ,  Q 2 y  Q 3 . f) Calcu Calcule le varianza varianza y desviaci´ desviaci´on on est´ andar. andar. g) Elabore un diagrama diagrama de cajas y bigotes bigotes

3. Los estudiantes estudiantes de derecho de la Univ Universid ersidad ad de la Sabana se clasi clasifican fican como estudiantes estudiantes de primer a˜ no, segundo a˜ no, no, pen´ no, ultimo a˜ ultimo no o de ultimo no u ´ ltimo a˜ no, y tambi´en no, en de acuerdo con su g´enero enero (hombre o mujer). muj er). Calcule el n´umero umero total de clasificaciones posibles para los estudiantes de la universidad. 4. Cuatro parejas compran 8 lugares en la misma fila para el concierto. ¿De cu´antas maneras diferentes se pueden sentar a) Sin restriccione restricciones? s? b) si cada pareja se sienta sienta junta? c) Si todos los hom hombres bres se sientan sientan juntos a la derec derecha ha de las mujeres? mujeres? 5. Suponga que se descubre que, en un grupo de 500 estudiantes universitarios, 210 fuman, 258 consumen bebidas alcoh´olicas, olicas, 216 comen entre comidas, 122 fuman y consumen bebidas alcoh´olicas, olicas, 83 comen entre comidas comid as y consu consumen men bebida b ebidass alcoh alcoh´olicas, o´licas, 97 fuman y comen entre comidas y 52 tienen esos tres h´abitos. abitos. Si se selecciona al azar a un miembro de este grupo, calcule la probabilidad de que el estudiante a) fume pero no consuma bebidas bebidas alcoh´ olicas olicas b) coma entre entre comidas y consuma bebidas alcoh´ alcoholicas o´licas pero no fume c) no fume ni coma entre entre comidas comidas 6. Un pedido de 20 computadores port´atiles atiles similares para la una tienda electr´onica onica contiene 3 que est´an an defect def ectuos uosos. os. Si una la univers universida idad d de la Sab Sabana ana compra compra al aza azarr 2 de estas computa computador doras. as. Cal Calcul culee la probabilidad de a) no adquirir ninguna computadora computadora defectuosa defectuosa b) adquir adquirir ir una compu computador tadoraa defec defectuosa tuosa c) Que las dos computadoras est´en en defectuosas. 7. En un juego de t´ombola ombola de diez balotas, se le dice a un apostador que ya se han vendido 9 balotas de estas 10 y que como es l´ogico ogico le queda una sola por vender para empezar el juego. El valor de la apuesta de la bal balota ota es de $1 y si gana su pre premio mio ser´ ser´ıa de $10 $100. 0. El jugador jugador decide decide apos apostar tar.. Aho Ahora ra suponga suponga que previamente se le dice al jugador que las otras 9 balotas las compro la misma persona, es decir el  jugar´´ıa contra alguien que compro 9 de las 10 balotas del juego. ¿Aun as  jugar as´´ı usted apostar apostar´´ıa? Justifique su respuesta. 2

8. La siguiente generaci´on on de c´apsulas apsulas inal´ambricas ambricas miniaturizadas, con locomoci´on on activa, requerir´a dos motores el´ectricos ectricos en miniatura para maniobrar cada capsula. Suponga que se fabricaron 10 motores, pero que, a pesar de las pruebas realizadas en los motores individuales, 2 no funcionaran satisfactoriamente cuandoo se coloquen en una capsula. Par cuand Paraa fabri fabricar car una capsu capsula la nueva, nueva, se sele seleccion ccionaran aran 2 motor motores es al azar. 9. En una mano de p´oquer oquer que consta de 5 cartas encuentre la probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas.

Probabilidad Total y Bayes 10. En un experimento experimento de preferencia preferencia de color, ocho juguetes juguetes se ponen en un recip recipien iente. te. Los juguetes juguetes son id´ enticos excepto por el color, dos son rojos y seis son verdes. Se pide a un ni˜no enticos no que escoja dos juguetes al azar. ¿Cu´al al es la probabilidad de que el ni˜no no escoja los dos juguetes verdes? 11. La probabilidad de que haya un accidente en una f´abrica abrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta s´ı se ha produci producido do alg´ un incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no un ha sucedido ning´ un inciden un incidente te es 0.0 0.02. 2. En el sup supues uesto to de que se ha haya ya activ activado la ala alarma rma ¿Cu´ a l es la al probabilidad de que no haya habido ning´ un incidente? un 12. Se obs observ ervan an que hombres hombres y mu mujer jeres es rea reacci cciona ona de modo diferen diferente te a un con conjun junto to det determ ermina inado do de circunstancias; se sabe que el 70% de la mujeres reaccionan positivamente a estas circunstancias mientras que de este mismo modo reaccio reaccionan nan 40% de los hombre hombres. s. En un gru grupo po de 20 pers persona onas, s, 15 mu mujer jeres es y 5 hombres, se sometieron a estas circunstacias y a los sujetos se les pidio que describieran sus reacciones en un cuestionario cuestionario escrito. escrito. Una respuesta respuesta escogida escogida al azar de la 20 fue negativa negativa.. ¿Cu´ al es la probabilidad al de que haya sido de un hombre?. 13. Un director de personal tiene dos listas de solicitudes para trabajo. la lista 1 contiene los nombres de 5 mujeres y 2 hombres, mientras que la ista 2 contiene los nombre de 2 mujeres y 6 hombres. Un nombre es seleccionad seleccionadoo al azar de la lista 1 y se agrega a la lista 2. A continuaci´ continuaci´ on se selecciona al azar un nombre on de la lista 2 aumentada. dado que el nombre seleccionado es de un hombre. ¿Cu´al es la probabilidad de que un nombre de mujer se halla seleccionado originalmente de la lista 1? 14. En un experimento para estudiar la relaci´on on que existe entre h´abito abito de fumar y la hipertensi´on on arterial se re´ unen los siguientes datos para 180 individuos: unen

H  SH 

No fumado fumadores res 21 48

Fuma umador dores es moder moderado adoss 36 26

Fuma umador dores es e emped mpedern ernido idoss 30 19

donde las letras H  y SH  SH  de  de la tabla representa   Hipertensi´ on y  Sin Hipertensi´ on on, respectivamente. on, Si se selecciona uno de estos individuos al azar, calcula la probabilidad de que la persona a) Sufra hipertensi hipertensi´ o´n, dado que es una fumadora empedernida. on, b) No fume, dado que no padece hipertensi´ hipertensi´ on. on. 15. La proba probabilida bilidad d de que un doctor diagnostique diagnostique de maner maneraa corre correcta cta una enfer enfermedad medad espec´ espec´ıfica es 0.7. Dado que el doctor hace un diagn diagnostico ostico incorrecto incorrecto,, la probabilidad probabilidad de que el pacie paciente nte entable entable una

3

demandaa legal demand legal es 0.9. ¿Cu ¿Cu´´al al es la probabilidad de que el doctor haga un diagn´ostico ostico incorrecto y el paciente lo demande? 16. Una empresa de consultor´ıa ıa presenta una oferta para un gran proyecto de investigac investigaci´ i´on. on. El director de la firma piensa inicialmente que tiene 50% de posibilidades de obtener el proyecto. Sin embargo, mas tarde, el organismo al que se le hizo la oferta pide m´as as informaci´on on sobre la oferta. Por experienci experienciaa se sabe que en 75% de las ofertas aceptadas y en 40% de las ofertas no aceptadas,este organismo solicita m´as informaci´ on. Calcule la probabilidad de que la oferta sea aceptada dado que se solicit´o m´ on. as informaci´on. as on. 17. En cierta regi´on on del pa pa´´ıs se sabe por p or experiencia que la probabilidad de seleccionar un adulto mayor de 40 a˜ nos de edad con c´ancer nos ancer es 0.05. Si la probabilidad de que un doctor diagnostique de forma correcta que una persona con c´ancer ancer tiene la enfermedad es 0.78, y la probabilidad de que diagnostique de forma incorrecta que una persona sin c´ancer ancer tiene la enfermedad es 0.06. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que un adulto mayor de 40 a˜nos al nos se le diagnostique c´ancer? ancer? b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que una persona a la que se le diagnostica c´ancer al ancer realmente tenga la enfermedad? 18. Las probabilidad probabilidades es de los eve eventos ntos A1 , A2 y A3 son P  P ((A1 ) = 0.20, P  P ((A2 ) = 0.50 y P  P ((A3 ) = 0.30. Las probabilidades condicionales del evento B   dados los eventos A1 , A2 y A3 son P  P ((B |A1 ) = 0.50, P ((B |A2 ) = 0.40 y  P  P   P ((B |A3 ) = 0.30. a) Calcu Calcule le P   P ((B ∩ A1 ), ), P   P ((B ∩ A2 ) y  P   P ((B ∩ A3 ). b) Calcule P  Calcule  P ((A1 |B ), ), P   P ((A2 |B ) y  P   P ((A3 |B ). 19. Se supone supone que 25 de cad cadaa 100 hombres hombres y 600 de cada 1000 mujer mujeres es usan gafas. gafas. Si el n´umero umero de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, Calcule la probabilidad de encontrar a) Con una persona persona sin gafas. b) Con una mujer con gafas. c) Con una hombre dado que tiene gafas.

Variables Aleatoria y Distribuciones de Probabilidad 20. Un embarque for´aneo aneo de 5 autom´oviles oviles extranjeros contiene 2 que tienen ligeras manchas de pintura. Suponga que una agencia recibe 3 de estos autom´ovil o viles es al aza azar. r. Si X  X    que representa el n´umero umero de autom´ oviles con manchas de pintura que compr´o la agencia, entonces describa la funci´on oviles on de probabilidad correspondiente. 21. Deter Determine mine el valor valor c   de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribuci´on on de probabilidad de la variable aleatoria discreta  X   X :: a) f  f ((x) = c  c((x2 + 4) para x para  x =  = 0, 1, 2, 3 4

b) f  f ((x) =  c

2

3 3−x

   x

 para 0, 0, 1, 2

Nota:  Recuerde que en

2

3 3−x

   x

 y

 se utiliza la definici´on on de combinatoria.

22. Una variable variable aleat aleatoria oria continua continua X , que puede tomar valores entre x  = 1 y  x  = 3, tiene una funci´ on on de densidad dada por f  por  f ((x) = 1/2. a) Muest Muestre re que f  que f ((x) as a s´ı definida, de finida, es una u na distrubu di strubuci´ ci´on on de probabilidad continua. b) Calcu Calcule le P   P (2 (2 <  < X <  2  2..5) c) Calcu Calcule le P   P ((X  ≤ 1.6) d) Calcu Calcule le la funci´ funcion o´n acumulativa F  acumulativa  F ((x) 23. La tabla siguiente siguiente es una distribuci´ distribucion o´n parcial de probabilidades para las ganancias proyectadas de MRA Company (x (x ganancias en miles de d´olares) olares) durante el primer a˜no no de operaci´on on (los valores negativos indican ind ican p´erdida) erdi da).. x -110 0 50 100 150 200

f (x) 0.10 0.20 0.30 0.25 0.10

a) ¿Cu´ al es el valor adecuado para  f  al  f (200)? (200)? ¿Qu´e interpreta interpretaci´ ci´on on le da a este valor? b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que la empresa sea rentable? al c) ¿Cu´al al es la probabilidad de que la empresa gane por lo menos $100 000?

24. Un productor de cereales cereales est´ a consciente de que el peso p eso del producto var var´´ıa ligeramente entre una y otra caja. De hecho, cuenta cuenta con sufici suficiente entess datos hist´ oricos para determinar la funci´on oricos on de densidad que describe descr ibe la estruc estructura tura de probabilidad probabilidad para el peso (en onzas). Si X  X  es  es el peso, en onzas, de la variable aleatoria, la funci´on on de densidad se describe como f ((x) = f 



2 , 5

0,

23.75 ≤ x ≤ 26 23. 26..25 en otro caso

a) Muest Muestre re que f  que f ((x) as a s´ı definida, de finida, es una u na distrubu di strubuci´ ci´on on de probabilidad continua. b) Deter Determine mine la probabilidad probabilidad de que el peso sea menor que 24 onzas c) La empresa dice que un peso mayor mayor que 26 onzas es un caso extraordinariam extraordinariamente ente raro. raro. ¿Cu´ al ser´a al la probabilidad de que en verdad ocurra este caso extraordinariamente raro?

5

25. Las mediciones en los sistemas cient´ cient´ıficos siempre est´ an sujetas a variaci´on, an on, algunas veces m´as as que otras. otr as. Ha Hay y mu much chas as est estruc ructur turas as par paraa los errores errores de med medici ici´´on on y los estad estad´´ıstico ısticoss pasan muc mucho ho tiempo model´andolo andolos. s. Supo Suponga nga que el error de medici´ medici´ on X  on X    de ciert ciertaa cant cantidad idad f´ısica es deter determinad minadoo por la siguiente funci´on on de densidad: f ((x) = f 



k (3 − x2 ), −1 ≤ x ≤ 1 0, en otro caso

a) Deter Determine mine el valor valor de la constante constante k  k,, que hace a f  a  f ((x) una funci´ on de densidad valida on b) Deter Determine mine la probabilidad probabilidad de que un error aleatorio aleatorio en la medici´ on sea menor que 1/2 on

Espera Esp eranza nza Mat Matem´ em´ ati ca atica 26. Si la utilidad para un distribuidor de un autom´ovil ovil nuevo, en unidades de $ 5000, se puede ver como una variable aleatoria X  aleatoria  X  que  que tiene la siguiente funci´on on de densidad f ((x) = f 



2(1 − x), 0 ≤ x ≤ 1 0, en otro caso

Calcule la utilidad promedio por autom´ovil. ovil. 27. Sea X  Sea  X  una  una variable aleatoria con la siguiente distribuci´on on de probabilidad x f ((x) f 

-3 1/6

6 1/2

9 1/3

Calcule E  Calcule  E [[g (X )], )], donde g donde  g (X ) = (2X  (2X  +  + 1)2 28. Consi Considere dere la informaci´ informaci´on on del problema 24, que tiene que ver con el peso en onzas que contiene una caja de cereal 2 , 23 23..75 ≤ x ≤ 26 26..25 f ((x) = 5 f  0, en otro caso



a) Calcu Calcule le el valor valor esperado o peso medio en onzas b) Calci Calcile le el vaor de la desviaci´ desviaci´ on est´ on andar andar 29. La distribu distribuci´ ci´ on de probabilidad de X , el n´ on umero de imperfecciones que se encuentran en cada 10 umero metros de una tela sint´ etica que viene en rollos continuos de ancho uniforme, est´a dada por etica x f ((x) f 

0 0.41

1 0. 3 7

2 0. 16

a) Gr´afique afique la funci´on on de probabilidad 6

3 0.05

4 0.01

b) Cal Calcul culee el n´ umero esperado de imperfecciones  E  umero  E [[X ] 30. Los datos datos siguien siguientes tes son el n´umero umero de rec´amaras amaras en casas rentadas y en casas propias en ciudades centrales de Estados Unidos (www.census.gov, 31 de marzo de 2003).

Rec´ amaras 0 1 2 3 4

N´ umero de casas (en miles) umero Rentadas 547 5012 6100 2644 557

Propias 23 54 1 3832 8690 3783

a) Defina la v.a X  v.a X  : N´  umero de rec´  amaras en casas rentadas.  Elabore una distribuci´on on de probabilidad para esta variable. b) Calcu Calcule le el valor valor esperado para la v.a X  v.a  X  c) Defina la v.a Y  v.a Y  :  N´  umero de rec´  amaras en casas propias .  Elabore una distribuci´on on de probabilidad para esta variable. b) Calcu Calcule le el valor valor esperado para la v.a Y  v.a  Y  31. La demanda de un producto de una empresa var var´ıa enormemente enormemente de mes a mes. La distribuci´ distribucion o´n de probabilidad que se presenta en la tabla siguiente, basada en los datos de los dos ´ultimos a˜ nos, muestra nos, la demanda mensual de la empresa. Demand Dem andaa Uni Unitar taria ia 30 0 40 0 50 0 60 0

Probab Pro babili ilidad dad 0 . 20 0 . 30 0 . 35 0 . 15

a) Si la empresa empresa basa basa las ´ordenes ordenes mensuales en el valor esperado de la demanda mensual, ¿cu´al ser´a la cantidad ordenada mensualmente por la empresa para este producto? b) Suponga que cada unidad demandada demandada genera $70 de ganan ganancia cia y que cada unidad ordenada ordenada cuesta $50. ¿Cu´anto anto ganar´ a o perder´a la empresa en un mes si coloca una orden con base en su respuesta al inciso (a) y la demanda real de este art´ art´ıculo es de 300 unidades?

Var aria ianz nza a Ma Mate tem´ m´ atica atic a 32. Calcule la desviaci´on on est´ andar para los ejercicios (25) y (26). andar 33. Sea X  Sea  X  una  una variable aleatoria con la siguiente distribuci´on on de probabilidad x f ((x) f 

-2 0. 3

3 0. 2 7

5 0. 5

Calcule la desviaci´on on est´ andar de X  andar de  X .. 34. La utilidad que obtiene un distribuidor, en unidades de $ 5000, al vender un autom´ovil nuevo es una variable varia ble aleatoria aleatoria X   X  que  que tiene la funci´on on de densi densidad dad que se prese presenta nta en el ejerc ejercicio icio 9. Calcu Calcule le la varian arianza za de X  de  X .. 35. Sea X  Sea  X  una  una variable aleatoria con la siguiente distribuci´on on de probabilidad x f ((x) f 

-3 1/6

6 1/2

9 1/3

Calcule la desviaci´on on est´ andar  σ[[g (X )], andar σ )], donde g donde  g (X ) = (2X  (2X  +  + 1) 36. En una tarea de laborato laboratorio rio,, si el equipo est´ a funcionando, la funci´on on de densidad del resultado observado X  observado  X  es 2(1 − x), 0 ≤ x ≤ 2 f ((x) = f  0, en otro caso



Calcule la varianza y la desviaci´on on est´ andar de X . andar

Distribuciones Distribuci ones de Proba Probabilida bilidad d Discr Discretas etas Conocid Conocidas as (Bino (Binomial mial,, Poisson, Binomial Negativa e Hipe Hipergeom´ rgeom´ etrica) etrica) 37. El director director de control de calidad calidad de una f´abrica abrica est´a realizando su inspecci´on on mensual de las transmisiones autom´ aticas en la planta. En este procedimiento, aticas procedimiento, 10 trans transmisio misiones nes se sacan del grupo de componentes y se verifica si no tienen defectos de fabricaci´on. on. En general general,, el 98% de las transmi transmisio siones nes no presentan ning´ un defecto. un a) ¿Cu´ al es la probabilidad al probabilidad de que la mues muestra tra seleccionada seleccionada contenga contenga m´as as de 2 transmisores con defectos? b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que ninguna de las transmisiones seleccionadas tenga alg´un defecto de al fabricaci´on? on? 38. Se supone que el n´umero umero de clientes que llegan por hora a ciertas instalaciones de servicio automotriz sigue una distribuci´on on de Poisson con media λ media  λ  = 7. a)  Calcule la probabilidad de que lleguen m´as as de 10 clientes en un periodo de dos horas. b)   ¿Cu´al al es el n´ umero medio de llegadas durante un periodo de 2 horas? umero 39. De acuerdo con Chemical con  Chemical Engineering Progress (noviembre de 1990) , aproximadamente 30% de todas las fallas de operaci´on on en las tuber tuber´´ıas de plantas qu´ımicas ımicas son ocasionadas por errores del operador. a) ¿Cu´ al es la probabilidad al probabilidad de que de las siguientes siguientes 20 fallas en las tuber tuber´´ıas al menos 10 se deban a un error del operador? 8

b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que no m´as al as de 4 de 20 fallas se deban a un error del operador? 40. Un des destac tacado ado m´edico edico afirma que el 70% de las personas personas con c´ ancer de pulm´on ancer on son fumadores empedernido empede rnidos. s. Si su asev aseverac eraci´ i´on on es correcta, a) calcule calcule la proba probabilida bilidad d de que de 10 de estos pacientes pacientes,, que ingre ingresaron saron reciente recientement mentee a un hospital, menos de la mitad sean fumadores empedernidos b) calcule calcule la proba probabilida bilidad d de que de 20 de estos pacientes pacientes,, que ingre ingresaron saron reciente recientement mentee a un hospital, menos de la mitad sean fumadores empedernidos 41. Un ingenier ingenieroo de contro controll de tr´ afico reporta que 75% de los veh´ afico veh´ıculo ıculoss que pasan por el peaje de los Andes son de Bogot´a. a. ¿Cu´al al es la proba probabilida bilidad d de que menos de 4 de los sigui siguiente entess 9 veh veh´´ıculo ıculoss sean de otro estado?. 42. Se sabe que 60% de los ratones inoculados inoculados con un suero quedan quedan protegidos protegidos contra cierta enfermedad enfermedad.. Si se inoculan 5 ratones, calcule la probabilidad de que a) ningun ningunoo contraiga contraiga la enfer enfermedad medad;; b) menos de 2 con contraiga traigan n la enfer enfermedad medad c) m´ as de 3 contraigan la enfermedad as 43. Pa Para ra evitar evitar la detecc detecci´ i´ on en la adu on aduana ana,, un viajero coloca coloca 6 com compri primid midos os con nar narc´ c´ oticos en una oticos botella que con contiene tiene 9 p´ıldor ıldoras as de vitami vitamina na que aparentemen aparentemente te son similares. similares. Si el ofi cial de la aduana selecciona 3 de las tabletas al azar para su an´alisis, alisis, ¿cu´al al es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesi´on on ilegal de narc´oticos? oticos? 44. De los 150 emp emplea leados dos la Uni Unive versi rsidad dad de la sab sabana ana,, s´ olo 30 son mu olo mujer jeres. es. Supo Suponga nga que se eli eligen gen al azar 10 de los empleados para que proporcionen asesor asesor´´ıa gratuita sobre declaraciones de impuestos a los empleados de esta ciudad; calcule la probabilidad de que se seleccionen al menos 3 mujeres. 45. Un estudio de un inventario inventario determina determina que, en promedio, promedio, el n´ umero de veces al d´ıa que se solicita umero un art art´´ıculo espec´ıfico ıfico en un almac´en en es 5. ¿Cu´al al es la probabilidad de que en un d´ıa determinado este art´ıculo ıcu lo se pid pidaa m´ m as a´s de 5 veces? 46. En cierto cruce ocurren, ocurren, en promedio, promedio, 3 accid accident entes es de tr´ansito ansito al mes. ¿Cu ¿Cu´ a´l es la probabilidad de al que en cualquier determinado mes en este cruce a) ocurran exactament exactamentee 5 accidentes? accidentes? b) ocurran menos menos de 3 accid accidente entes? s? c) ocurran al menos 2 accidente accidentes? s? 47. Un fabrica fabricant ntee de aut autom´ om´ oviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo oviles espec´´ıfico. En rara espec rarass ocasio ocasiones nes la falla puede causa causarr una cat´astrof astrofee al manejarl manejarloo a alt altaa ve veloci locidad dad.. La distribuci´ on del n´ on umero de autom´ umero oviles por a˜ oviles no que experimentar´a la cat´astrofe no astrofe es una variable aleatoria de Poisson con λ con  λ  = 5 9

a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que, a lo sumo, 3 autom´oviles al oviles por a˜ no de ese modelo espec no espec´´ıfico sufran una cat´ astrofe? astrofe? b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que m´as al as de un autom´ ovil por a˜ ovil no experimente una cat´astrofe? no astrofe? 48. Se supone que el n´umero umero de clientes que llegan por hora a ciertas instalaciones de servicio automotriz es en promedio 7 a) Calcu Calcule le la proba probabilid bilidad ad de que llegu lleguen en m´as as de 10 clientes en un periodo de dos horas. b) ¿Cu´ al es el n´ al umero medio de llegadas durante un periodo de 2 horas? umero 49. Una empresa de electr´onica onica afirma que la proporci´on on de unidades defectuosas de cierto proceso es de 5%. Un comprador comprador sigue el procedimiento procedimiento est´andar andar de inspeccionar 15 unidades elegidas al azar de un lote grande. En una ocasi´on on espec espec´´ıfica el comprador encuentra 5 unidades defectuosas. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que esto ocurra, si es correcta la afirmaci´on de que el 5% de los productos al son defectuosos? b) ¿C´ omo reaccionar omo reaccionar´´ıa usted si fuera el comprador? 50. Nueve por ciento de los estudiantes tienen un balance en su tarjeta de cr´edito edito mayor a $7000 (Reader’s Digest, julio de 2002). Suponga que selecciona aleatoriamente 10 estudiantes para entrevistarlos respecto del uso de su tarjeta de cr´ edito edito a) ¿Cu´ al es la proba al probabilid bilidad ad de que dos de los estudiantes estudiantes tengan un balan balance ce en su tarjet tarjetaa de cr´ edito edito superior a $7000? b) ¿De que ninguno tenga un balance en su tarjeta t arjeta de cr´edito edito superior a $7000? c) ¿De que por lo menos tres tengan un balanc balancee en su tarjet tarjetaa de cr´edito edito superior a $7000 $7000?? 51. En Estados Estados Unidos Unidos,, cada a˜no, no, m´ as de 50 millo as millones nes de hu hu´´espedes espedes se alojan en un un Bread  Bread and break fast  (B &B ). El sitio Web Web ded dedica icado do a los alojamien alojamientos tos tipo Bre Bread ad and Bre Breakf akfast ast en Est Estado adoss Uni Unidos dos (www.bestinns.net), que tiene un promedio aproximado de siete visitantes por minuto, permite a muchos esped es (Time, (Ti me, septiembre se ptiembre de 2001). 200 1). B &B   obtener hu´espedes a) Calcu Calcule le la proba probabilida bilidad d de que no haya ning´ un visitante al sitio Web en un lapso de un minuto. un b) De que haya haya dos dos o m´ as visitantes al sitio Web en un lapso de un minuto. as c) De que haya haya uno uno o m´ as visitantes al sitio Web en un lapso de 30 segundos. as d) De que haya haya cinco cinco o m´ as visitantes al sitio Web en un lapso de un minuto. as 52. El National Safety Safety Council de Estado Estadoss Unidos estima que los accidentes accidentes fuera del trabajo tienen para las empresas un costo de casi $200 mil millones anuales en p´erdida erdida de productividad. pro ductividad. Con base en estos datos,, las empresas datos empresas que tienen 50 emple empleados ados esperan tener por lo menos tres accid accidente entess fuera del trabajo por a˜ no. Para estas empresas con 50 empleados, conteste las preguntas siguientes. no.

10

a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que haya a menos de 3 accidentes fuera del trabajo en un a˜no? al no? b) ¿Cu´ al es el n´ al umero esperado de accidentes fuera del trabajo en un lapso de seis meses? umero c) ¿Cu´al al es la probabilidad de que no haya ning´ un accidente fuera del trabajo en los pr´oximos un oximos seis meses? 53. En una encuesta encuesta realizad realizadaa por Gal Gallup lup Organiza Organizatio tion, n, se les pregunt pregunt´´o a los interrogados, “Cu´  interrogados,  “Cu´  al es  el deporte que prefieres ver”. ver”. Futb utbol ol y b´ asquetbol ocuparon el primero y segundo lugar de preferencia asquetbol (www.g (ww w.gall allup. up.com com,, 3 de enero de 200 2004). 4). Si en un grupo de 10 individu individuos, os, siete prefiere prefieren n fut futbol bol y tre tress prefieren b´asquetbol. asquetbol. Se toma una muestra aleatoria de tres de estas personas. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que exactamente dos prefieren el futbol? al b) ¿De que la mayor´ mayor´ıa (ya sean dos o tres) prefiere el futbol? fut bol? 54. La probabil probabilida idad d de que una persona persona que vive en cierta cierta ciudad ciudad ten tenga ga un perr perroo es de 0.3. Cal Calcul culee la proba probabilid bilidad ad de que la d´ ecima persona entrevistada ecima entrevistada al azar en esa ciudad sea la quin quinta ta que tiene un perro. 55. Los registros de una compa˜n´ıa constructora de pozos, p ozos, indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos nuevos,, requiera de reparaciones en el t´ermino ermino de un a˜ a ˜no no es de 0.20. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el sexto pozo construido por esta compa˜n´ıa en un a˜no al no dado sea el segundo en requerir reparaciones en un a˜no? no? b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el octavo pozo construido por esta compa˜n´ıa al ıa en un a˜no no dado sea el tercero en requerir reparaciones en un a˜no? no? 56. Si la pro probab babili ilidad dad de que un ni˜ no expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0.40, ¿Cu´al no es la probabilidad de que el d´ecimo ecimo ni˜ ni no n ˜ o expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla?

Distribuci´ on Normal, t–student, Chi–Cuadrado y Aplicaciones on 57. Una m´ aquina expendedora de bebidas gaseosas se regula para que sirva un promedio de 200 mililitros aquina por vaso. Si la can cantidad tidad de bebida se distr distribuy ibuyee normalmente, normalmente, con una desviaci´ on est´ on andar igual a 15 andar mililitros, a)  ¿  ¿Qu´ Qu´e fra f racci cci´´on on de los vasos contendr´a m´ as de 224 mililitros? as b)   ¿Cu´al al es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros? c)   ¿Cu´antos antos vasos probablemente se derramar´an an si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas? d) ¿Por debajo deba jo de qu´ e valor obtendremos el 25% m´as as bajo en el llenado de las bebidas? 58. Dada una distribuci´on on normal est´andar, andar, calcule el ´area area bajo la curva que est´a 11

a)  A la izquierda de  z  = −1.39. b)   Entre z Entre  z  = −2.16 y  z  = −0.65. c)  A la derecha de z de  z  = −0.89 d)   Entre z Entre  z  = −0.48 y  z  = 1.74 59. Calcule el valor de  z α  si el ´area area bajo una curva normal est´andar: andar: a)  A la derecha de z de  z es 0.3622. b)  A la izquierda de z es 0.1131. c)  Entre 0 y z y  z , con z con  z >  0, es 0. 0 .4838. Entre  −zz y  z , con z con  z > 0, es 0. 0.9800. d)   Entre − 60. Dada una distribuci´on on normal est´andar, andar, calcule el valor de k  tal que a) P  P ((Z > k) k ) = 0.2946 b) P ( P (Z < k) k ) = 0.0427 c) P  P ((−0.93 93 <  < Z < k) k ) = 0.7235 61. Sea X  Sea  X  una  una variable aleatoria normalmente distribuida con una media de 18 y una desviaci´on on est´ andar andar de 2.5, calcule a) P  P ((X <  15) b)  El valor de k de  k  tal que P  P ((X < k ) = 0.2236 c)  El valor de k de  k  tal que P  P ((X > k )=0.1814 62. Un investigador informa que unos ratones a los que primero se les restringe dr´asticamente sus dietas y despu´ d espu´es es se s e les l es enriquec enriquecen en con co n vitamin v itaminas as y prote´ p rote´ınas ınas vivir´an an un pro promed medio io de 40 meses. meses. Si suponemos suponemos que la vida de tales ratones se distribuye normalmente, con una desviaci´on est´ andar de 6. andar 6.3 meses, calcule la probabilidad de que un rat´on on determinado viva a) M´as as de 32 meses b)  Entre 37 y 49 meses. 63. Si Si X  (10,, σ 2 ), determine el valor de la varianza si  P  0.025.  X  ∼ N  N (10  P ((X < 9) = 0. 64. Si un conjunto de observ observaciones aciones se distribuye de manera normal, ¿qu´e porcentaje p orcentaje de ´estas estas difi eren de la media en a) m´ as de 1.3σ as 1.3σ ? 12

b) men menos os de 0.52 0.52σ ? 65. Una persona con una buena historia crediticia tiene una deuda promedio de $15 015 (Business-Week, 20 de marzo de 2006). Suponga que la desviaci´ desviaci´ on est´ on andar es de $3 540 y que los montos de las deudas andar est´ an distribuidos normalmente. an a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que la deuda de una persona con buena historia crediticia sea mayor a al $18 000? b) ¿De que la deuda de una persona con buena historia historia crediticia crediticia sea de menos de $10 000? c) ¿De que la deuda de una persona con buena historia crediticia crediticia est´e entre $12 000 y $18 000? d) ¿De que la deuda de una persona con buena historia historia crediticia crediticia sea mayor a $14 000? 66. El precio precio pro promed medio io de las accione accioness que pertenec pertenecen en a S&P500 S&P500 es de $30 y la desviaci desviaci´´on on est´ andares andares $8.20 (BusinessWeek, Special Annual Issue, primavera de 2003). Suponga que los precios de las acciones est´ an distribuidos normalmente. an a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el precio de las acciones de una empresa sea por lo menos de $40? al b) ¿De que el precio de las acciones acciones de una empresa no sea mayor mayor a $20? c) ¿De cu´ anto deben ser los precios de las acciones de una empresa para que est´e entre las 10% mejores? anto 67. Encuentre el valor de  χ 2ν   que acumule la probabilidad indicada: a) P  P ((X  ≤ xα,11 ) = 0. 0 .98 b) P  P ((X  ≤ xα,40 ) = 0. 0 .70 c) P  P ((X  ≤ xα,28 ) = 0. 0 .025 68. Determin Determinee el valor cr´ıtico ıtico  t  que capturar´a el ´area area deseada de la curva t curva  t-- Student en cada caso: ´ a) Area central=0.95,  ν  = 35 central=0.95, ν  ´ b) Area central=0.95,  ν  = 15 central=0.95, ν  ´ c) Area central=0.975,  ν  = central=0.975, ν   = 20 ´ d) Area central=0.90,  ν  = 20 central=0.90, ν  69. Para una distribuci´on on chi cuadrada calcule calcule χ  χ 2α , tal que a) P  P ((X 2 > χ2α ) = 0. 0 .99 cuando ν  = 4 b) P  P ((X 2 > χ2α ) = 0. 0 .99 cuando ν  = 20 c) P  P (37 (37..652 652 <  < X 2 < χ 2α ) = 0.045 cuand cuandoo  ν  = 25 13

70. Para una distribuci´on on chi cuadrada calcule a) χ20.025  cuando  cuando ν   ν  =  = 10 b) χ20.05  cuando  cuando ν   ν  = 7 c) χ20.01  cuando  cuando ν   ν  = 25 71. Para una distribuci´on t on  t–student –student calcule a) t0.025  cuando  cuando ν   ν  =  = 10 b) t0.05  cuando  cuando ν   ν  = 7 c) t0.01  cuando  cuando ν   ν  = 15 72. La desviaci´on on est´ andar de la tensi´on andar on de ruptura de cierto material es de 25lb. ¿Cu´al al debe ser la tensi´on on de ruptura promedio del proceso si, con base en una muestra aleatoria de tama˜no 50, la probabilidad de que la media muestral tenga un valor mayor de 250lb es de 0 .95? 73. El costo medio anual de un seguro para autom´ovil ovil es de $939 (CNBC, 23 de febrero de 2006). Suponga que la desviaci´on on est´ andar es σ   = $245. andar $245. ¿Cu ¿Cu´´al al es la probabilidad de que una muestra aleatoria simple de p´olizas olizas de seguros de autom´ovil ovil la media muestral no difiera m´as as de $25 de la media poblacional si el tama˜ no de la muestra es 30, 50, 100 y 400? no 74. Busine BusinessW ssWeek eek realiz´ realiz´ o una encuesta entre los estudiantes que terminaban sus estudios en los 30 programas de una maestr maestr´´ıa (BusinessWeek, (BusinessWeek, 22 de septiembre de 2003). De acuerdo con esta encuesta el salario medio anual de una mujer y de un hombre 10 a˜nos nos despu´ es de terminar sus estudios es $117 000 es y $168 000, respectivamen respectivamente. te. Suponga que la desvia desviaci´ ci´ on est´ on andar entre los salarios de las mujeres es $25 andar 000 y entre los salarios de los hombres es $40 000. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de 40 hombres la media muestral al no difiera m´as as de $10 000 de la media poblacional de $168 000? b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de 40 mujeres la media muestral al no difiera m´as as de $10 000 de la media poblacional de $117 000? c) ¿En cu´al al de los dos casos, inciso a o inciso b, hay m´as probabilidad de obtener una media muestral que no difiera en m´as as de $10 000 de la media poblacional? p oblacional? ¿Por qu´e? e? 75. En el nor norte te de Ken Kentuc tucky ky (The Cincinna Cincinnati ti Enquirer Enquirer,, 21 de ene enero ro de 200 2006) 6) el pre precio cio promedi promedioo de la gasolina gasolina sin plo plomo mo era $2.34. $2.34. Use este precio precio com comoo med media ia pobl poblaci aciona onall y supo suponga nga que la des desvia viaci´ ci´ on on est´ andar poblacional andar poblacional es $0.20 $0.20.. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el precio medio en una muestra de 30 gasolineras no difiera en m´as al de $0.30 de la media poblacional? b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el precio medio en una muestra de 100 gasolineras no difiera en al m´ as de $0.30 de la media poblacional? as

14

76. Las estaturas estaturas de 1000 estud estudiant iantes es se distri distribuye buyen n aproximadamen aproximadamente te de forma normal normal con una media de 174.5 1 74.5 cent cent´´ımetros y una u na desviaci´ d esviaci´on on est´ andar de 6.9 cent´ andar cent´ımetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tama˜ no 25 de esta poblaci´on no on y las medias se registra registran n al d´ecimo ecimo de cent cent´´ımetro m´as as cercano, determi determine ne ¯. a) la media y la desviaci desviaci´ o´n est´ on andar de la distribuci´on andar on muestral de X  b) el n´ umero de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 cent´ umero cent´ımetros. c) el n´ umero de medias muestrales que caen por debajo de 172.0 cent umero cent´´ımetros 77. La vida media de una m´aquina aquina para elaborar pan es de 7 a˜nos, nos, con una desviaci´on on est´ andar de 1 a˜ andar no. no. Suponga que la vida de estas m´aquinas aquinas sigue aproximadamente una distribuci´on on normal y calcule a) la probabilidad probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria aleatoria de 9 de estas m´aquinas aquinas caiga entre 6.4 y 7.2 a˜ nos; nos; b) el valor valor de x  a la derec derecha ha del cual caer caer´´ıa 15% de las media mediass calc calculadas uladas de mue muestras stras aleatorias aleatorias de tama˜ no 9. no

15