TANQUES INTERCONECTADOS.doc

EL PROBLEMA DE TANQUES INTERCONECTADOS Objetivo. El alumno modelará mediante un sistema de ecuaciones diferenciales el fenómeno de dilución de una sustancia en un conjunto de tanques interconectados y lo resolverá mediante el uso de la transformada de Laplace, graficará la solución del sistema mediante el uso de un programa de computadora y obtendrá conclusiones del problema. Introducción Una solución es una mezcla de un soluto (que puede ser líquido, sólido o gaseoso), en un solvente que puede ser líquido o gaseoso. Tipos de mezclas o soluciones: i) Soluciones líquidas cuando disolvemos un sólido o un líquido en un líquido. ii) Soluciones gaseosas cuando se disuelve un gas en un gas. Ecuación de Continuidad: Una ecuación de continuidad es una ecuación de la física matemática que expresa la ley conservación ya sea de forma integral o bien de forma diferencial; con ella se construyen modelos de fenómenos en diferentes áreas del conocimiento que dependen del tiempo, dando como resultado una o varias Ecuaciones Diferenciales. La ecuación de continuidad nos dice que la tasa de acumulación de una variable x en un recipiente (el cual puede ser un tanque, un órgano humano, una ciudad, un banco, un sistema ecológico, etc.) es igual a su tasa de entrada menos su tasa de salida; tanto la tasa de entrada como la tasa de salida pueden ser constantes o variables. Si la variable es x y la tasa de entrada es E (t ) y la tasa de salida es S (t ) entonces la tasa de acumulación es Tasa de acumulación = Tasa de entrada − Tasa de salida dx  E ( t )  S (t ) dt

Una Salmuera (solución de sal en agua), entra en un tanque a una velocidad v1 litros de salmuera/minuto y con una concentración de c1 gramos de sal por litro de salmuera (gr sal/ l de salmuera). Inicialmente un tanque tiene Q litros de salmuera con P gr de sal disuelta. La mezcla bien homogenizada abandona el tanque a una velocidad de v2 litros de salmuera/min.

t0

 v1   c1

t0

 v1   c1

P : gr sal disueltos Q: litros de salmuera x(t ) : gr sal

Q  (v1 - v2 )t: litros de salmuera

 v2   c2

Figura 1. Dilución de una salmuera

 v2   c2

Sean x (t ) los gramos de sal disueltos en el tanque en cualquier instante t. Entonces dx  tasa de acumulación = Tasa de entrada de soluto - Tasa de salida de soluto dt dx l de sol. g de  soluto  l de sol.  g de soluto     v1   c1   v2  c 2  dt l de sol min l de sol  min      x  v1c1  v2 Q   v1  v2  t

Para obtener la ED de la forma

dx x  v2  v1c1 dt Q   v1  v2  t Si un proceso considera dos tanques A y B, el primero con x(t ) g de una sustancia X y un flujo de entrada v1 y el segundo con y (t ) g de la sustancia X y un flujo de salida v4 y además del tanque A se bombea un flujo v2 hacia el tanque B y de este se regresa v3 al tanque A (Ver figura 2) entonces mediante un análisis similar al de un solo tanque se tiene que:

Figura 2. La rapidez de cambio de x(t ) en el tanque A estará dada por dx  tasa de acumulación = Tasa de entrada de soluto - Tasa de salida de soluto dt dx  v1c1  v3c3  v2c2 dt

De manera similar, para el tanque B, la rapidez de cambio

y (t )

es:

dy  v2 c2  v3c3  v4 c3 dt

Donde la concentración

ci (t ) 

g de sustancia X l de solución en el tanque j

Dos tanques A y B, cada uno de los cuales tiene una capacidad de 24 litros, están conectados entre sí mediante unos tubos, como se muestra en la figura 3. El tanque A recibe agua pura a razón de 6 litros/minuto y el líquido sale del tanque B con la misma razón; además, se bombean 8 litros/minuto de líquido del tanque A al tanque B y 2 litros/minuto del tanque B al tanque A. Los líquidos dentro de cada tanque se mantienen bien revueltos, de modo que cada mezcla es homogénea. A. Inicialmente ambos depósitos contienen 24 litros de fluido, en el tanque B hay una sustancia tóxica disuelta en agua (polifenol); contiene 10 gramos de polifenol en 24 litros de solución. El tanque A únicamente contiene agua.

Figura 3. Dilución de una sustancia tóxica a) Formula el sistema de ecuaciones diferenciales que modela el problema y resuélvelo mediante la transformada de Laplace.

Qué tiempo debe transcurrir desde que las válvulas son b)

abiertas para que el líquido que sale de este sistema de tanques se considere libre de toxina? Esto es, hasta que la concentración del líquido de salida esté por debajo de los 0.0001 gramos por litro Representa en una gráfica (Construida con Derive) las funciones

c) x (t ) y y (t ) donde emplees la función escalón unitario para no graficar la parte negativa del tiempo t.

Estima el tiempo que le tomará al tanque B en limpiarse por d)

completo del polifenol. Explica

B. Inicialmente ambos depósitos contienen 24 litros de fluido, en el tanque B hay una sustancia tóxica disuelta en agua (polifenol); contiene 10 gramos de polifenol en 24 litros de solución. El tanque A contiene ahora 5 gramos de polifenol en 24 litros de solución. La Recirculación ahora es de 4 L/ min en ambas direcciones. a) Formula de nuevo el sistema de ecuaciones diferenciales que modela el problema y resuélvelo mediante la transformada de Laplace.

b) Qué tiempo debe transcurrir desde que las válvulas son abiertas para que el líquido que sale de este sistema de tanques se considere libre de toxina? Esto es, hasta que la concentración del líquido de salida esté por debajo de los 0.0001 gramos por litro c) Representa en una gráfica (Construida con Derive) las funciones x (t ) y y (t ) donde emplees la función escalón unitario para no graficar la parte negativa del tiempo t. d) ¿Cuánto tiempo le tomará al proceso en alcanzar la misma concentración en ambos tanques? ¿Qué concentración es?