12.3-6Considere el ejemplo de PE de dos variables de la sección 12.5, ilustrado en la figura 12.3
a) Use una representación binaria binaria de variables para reformular este modelo como un problema de PEB. Maximizar=x+2y+ Maximizar=x+2y+5z+10w 5z+10w Sujeto a: x+2y+10z+20w<=20 x+2y<=2 yij binaria
b) Utilice la computadora para resolver este problema de PEB. Después use la solución óptima para identificar identificar una solución óptima para el modelo original de de PE.
12.3-7La compañía aérea Fly-Right construye jets pequeños que vende a corporaciones para uso
ejecutivo. Para cumplir con sus necesidades, en ocasiones los clientes ordenan aviones con diseño especial. Cuando es así, se incurre en un costo de preparación para iniciar la producción de las aeronaves. Fly-Right acaba de recibir pedidos de tres clientes con fechas de entrega cercanas. Debido a que las instalaciones de producción están comprometidas para cumplir contratos anteriores, no podrán aceptar los tres pedidos. En consecuencia, debe decidirse el número de aviones que producirán (si lo hacen) para cada uno de los tres clientes. Los datos relevantes se presentan en la siguiente tabla. El primer renglón contiene los costos fijos para iniciar la producción de aviones de cada cliente. Con la producción en marcha, el ingreso neto marginal (precio de compra menos costo marginal de producción) de cada avión se presenta en el segundo renglón. El tercero contiene los porcentajes de capacidad de producción disponibles para cada avión. El último renglón indica el número máximo de aviones pedidos por cada cliente (pero aceptarían menos).
Fly-Right desea determinar cuántos aviones debe producir para cada cliente (si lo hace) de modo que se maximice su ganancia total (ingresos netos menos costos fijos). a) Formule un modelo con variables enteras y variables binarias para este problema. Donde xi es el número de productos producidos Yi= 1 si el producto es producido 0 en otro caso Maximizar Z = 2x1+3x2+0.8x3-3y1-2y2 0.2x1+0.4x2+0.2x3<=1 x1<=My1 x2<=My2 x1<=3 x2<=2 x3<=5 x1, x2, x3>= 0 Enteras y1, y2 binarias
b) Use la computadora para resolver este modelo.
12.4-1Reconsidere en problema 12.3-7 de Fly-Right. Un análisis más detallado de los factores de
costo e ingreso indica que l ganancia potencial de producir los aviones de cada cliente no se puede expresar solo en términos del costo fijo y un ingreso neto marginal por avión producido. Más bien las ganancias se dan en la siguiente tabla.
a) Formule un modelo de PEB para este problema que incluya restricciones para las alternativas mutuamente excluyentes. Maximizar Z=-y11+2y12+4y13+y21+5y22+y31+3y32+5y33+6y34+7y35 y11+y12+y13<=1 y21+y22<=1 y31+y32+y33+y34+y35<=1 y11+2y12+3y13+2y21+4y22+1y31+2y32+3y33+4y34+5y35<=5 yij binarias
b) Use la computadora para resolver el modelo formulado en el inciso a. Después use esta solución óptima para identificar el número óptimo de aviones que se deben fabricar para cada cliente.
c) Repita el inciso b para el modelo formulario en el inciso c.
12.4-2Reconsidere el problema de Wyndor Glass Co. Presentado en la sección 3.1. La gerencia ha
decidido que solo debe fabricarse uno de los dos nuevos productos y la elección debe hacerse para maximizar la ganancia. Introduzca variables binarias auxiliares para formular un modelo de PEM para esta nueva versión del problema.
12.4-3Reconsidere el problema 3.1-11, donde la administración de Omega estudia la
posibilidad de dedicar el exceso de capacidad a uno o más de tres productos. Ahora agregue la restricción de la gerencia de que no deben introducirse más de dos de los tres nuevos productos. a) Introduzca variables binarias auxiliares para formular un modelo de PEM para esta nueva versión del problema. Se introducen variables binarias y1, y2, y3 para representar productos de niveles. Maximizar Z=50x1+20x2+25x3 Sa. 9x1+3x2+5x3<=500 5x1+4x2<=350 3x1+2x3<=150 x3 <=20 x1 <=M*y1 x2 <=M*y2 x3 <=M*y3 y1+y2+y3<=2 x1, x2, x3>=0 y1, y2, 23 binarios
b) Use la computadora para resolver el modelo
Interpretación: Del producto 1 (x1) se producirán 45 semanalmente, del producto 2 (x2) se producirán 31 semanalmente, del producto 3 (x3) no se producirá nada. El costo por unidad del producto 1 es de 50, del producto 2 es de 20 y del producto 3 es de 25; por lo que nuestro total queda como 50*45+20*31+0*25=2870.
12.4-4Considere el siguiente problema de programación entera no lineal. 2
3
2
4
Maximizar Z= 4X1 -x1 +10x2 -x2 , Sujeta a X1+X2<=3 y X1>=0, X2>=0. X1 y X2 son enteros.
Este problema se puede reformular de dos maneras como un problema de PEB equivalente (con una función objetivo lineal) y seis variables binarias (y1j y y2j para j=1,2,3), según la interpretación que se dé a las variables binarias. a) Formule un modelo de PEB para este problema donde las variables binarias tienen la siguiente interpretación. Yij= 1 si xi=j
0 de otra manera.
Maximizar Z= 3y11+8y12+9y13+9y21+24y22+9y23 y11+y12+y13<=1 y11+y23<=1 y12+y23<=1 y12+y22<=1 y21+y22+y23<=1 y13+y21<=1 y13+y22<=1 y13+y21<=1 yij binarios
b) Utilice la computadora para resolver el modelo formulado en el inciso a, y después identifique una solución óptima para (x1, x2) para el problema original.
c) Formule un modelo de PEB para este problema donde las variables binarias tienen la siguiente interpretación. Yij= 1 si xi>=j 0 de otra manera.
Maximizar Z= 3y11+5y12+2y13+9y21+15y22-15y23 y12<=y21 y13<=y12 y22<=y21 y23<=y22 y11+y23<=1 y12+y22<=1
y13+y21<=1 yij binarios
d) Use la computadora para resolver el modelos formulado en el inciso c, y después identifique una solución óptima para( x1, x2) para el problema original.
12.4-5Considere el siguiente problema de programación no lineal discreta.
Maximizas Z=2x1-x12+3x2-3x2 2, Sujeta a X1+x2<=0.75 Y cada variable está restringida a los valores
a) Reformule este problema como un problema de programación lineal entera binaria pura.
Maximizar Z=(3/4)y11+(5/9)y12+(7/16)y13+(9/25)y14+(3/4)y21+(2/3)y22+(9/ 16)y23+(12/25)y24 y11+y12+y13+y14<=1 y21+y22+y23+y24<=1 y11+y21<=1 y11+y22<=1 y12+y21<=1
yij binarias
b) Use la computadora para resolver el modelo formulado en el inciso a y después identifique una solución óptima para (x1, x2) para el problema original.
12.4-6Considere el siguiente tipo especial de problema de la ruta más corta en el que los
nodos están en una columna y las únicas trayectorias posibles se mueven siempre hacia adelante, una columna a la vez. Los números colocados junto a las ligaduras son distancias y el objetivo es encontrar la ruta más corta del origen al destino.
Este problema también se puede formular como un modelo PEB que abarca tanto alternativas mutuamente excluyentes como decisiones contingentes. a) Formule este modelo. Identifique las restricciones de las alternativas mutuamente excluyentes y las decisiones contingentes. Minimizar Z=3x12+6x13+6x24+5x25+4x34+3x35+3x46+2x56 x12+x13=1 x24+x25+x34+x35=1 x46+x56=1 x24+x25<=x12 x34+x35<=x13 x46<=x24+x34 x56<=x25+x35
xij binarias
b) Use la computadora para resolver este problema.
Interpretación: El camino más corto entre el Origen y Destino está dado por la siguiente ruta Origen – A(x12) – D(x25) – Destino(x56) con costo de 10 12.4-7Considere la red del proyecto para un sistema PERT del problema 11.2-3. Formule un
modelo de PEB para el problema de encontrar una ruta crítica(es decir, la trayectoria más larga) para esta rede de proyecto. Maximizar Z=5*x12+3*x13+4*x24+2*x25+3*x35+1*x46+3*x47+6*x57+2*x58+5*x69+4*x79 +7*x89 Sujeto a
xij binarias
∑ ∑ {
12.4-8Speedy Delivery proporciona un servicio que entrega paquetes grandes en dos días, en
todo Estados Unidos. Cada mañana se cargan los paquetes que llegaron a cada centro de recolección durante la noche en los camiones de reparto para su entrega en el área. En razón de que la competencia en este negocio se basa en la rapidez de la entrega, los paquetes se dividen según sus destinos geográficos de manera que se minimice el tiempo promedio necesario para realizar las entregas. Esta mañana, la despachadora del centro de recolección de Blue River Valley, Sharon Lofton, tiene mucho trabajo. Sus tres choferes llegarán en menos de una hora para el reparto. Hay nueve paquetes que entregar en lugares muy alejados entre sí. Como siempre, Sharon introduce estos lugares en la computadora para usar Dispatcher, el software especial del
sistema de apoyo. El programa usa las ubicaciones para generar un buen número de rutas posibles para cada camión. Estas rutas se muestran en la siguiente tabla (donde los números en cada columna indican el orden de las entregas), junto con los tiempos que se requieren para el recorrido.
Dispatcher es un sistema interactivo que muestra estas rutas para que Sharon las apruebe o modifique. (Quizá la computadora no sepa que una inundación ha hecho que una ruta sea no factible.) Si Sharon aprueba las rutas como posibilidades atractivas con tiempos estimados razonables, el programa formula y resuelve un modelo de PEB para elegir las tres rutas que minimizan el tiempo total e incluye cada lugar de entrega sólo en una ruta. Esta mañana, Sharon aprueba todas las rutas.
a) Use la computadora para resolver el problema.
12.4-10Reconcidere el problema 12.4-9, La gerencia de Sunny Skies desde ahora
que la decisión de ubicación de las estaciones de bomberos se base en los costos. El costo de asignar una estación de bomberos en un sector es $200000 para el sector 1; $250000 para el 2; $400000 para el 3; $300000 para el 4, y $500000 para el 5. El nuevo objetivo de la gerencia es ahora: Determinar qué sectores deben tener una estación para minimizar el costo total de las estaciones asegurando que cada sector tenga al menos una estación lo suficientemente cerca para responder a un incendio en no más de 15 minutos (en promedio). Observe que al contrario del problema original, el número total de estaciones de bombero no es fijo. Lo que es más, si un sector sin estación tiene más de una estación a 15 minutos o menos, ya no es necesario asignar este sector a solo una de las estaciones. a) Formule un modelo de PEB pura con cinco variables binarias, para este problema. Minimizar Z = 200x1+250x2+400x3+300x4+500x5 x1+x3+x5>=1 x1+x2+x4>=1 x2+x3+x5>=1 x2+x3+x4+x5>=1 x1+x3+x4+x5>=1 Xij binarias
b) Use la computadora para resolver el modelo en a.
12.4-12Una profesora estadounidense pasara un periodo sabático corto en la Universidad de Islandia. Ella quiere llevar en el avión todos los artículos necesarios. Después de reunir su material profesional se da cuenta que las reglas de la línea aérea sobre el espacio y el peso de las maletas registradas limitaran la ropa que puede empacar. (Piensa llevar un abrigo caliente y, al llegar, comprar un suéter grueso islandés.) La ropa que quiere llevar incluye 3 faldas, 3 pantalones, 4 blusas y 3 vestidos. La profesora desea maximizar el número de atuendos que podrá usar en Islandia (incluso el de viaje). Cada vestido constituye un atuendo. Otras consisten en una blusa y una falda o un pantalón. Sin embargo, algunos de ellos no se ven bien juntos y no califican como atuendos. En la tabla se marcan los atuendos con una x.
En la siguiente tabla se muestra el peso (en gramos) y el volumen (en centímetros cúbicos) de cada artículo.
Formule un modelo de PEB para elegir las piezas de ropa que debe llevar. (Sugerencia: después de usar variables de decisión binarias para representar las piezas individuales, debe introducir variables binarias auxiliares para representar los atuendos que representan las combinaciones de artículos. Después utilice las restricciones y la función objetivo para asegurar que estas variables auxiliares tienen los valores correctos, dados los valores de las variables de decisión.)
Bonilla Alvarez Luis Fernando Hernandez Gonzalez Marco Antonio