UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)
TAREA No.2
GEOVANI TRUJILLO OSCAR IVAN GARCIA JHON JAIRO PORTILLO BLANCA FANNY ESCOBAR MARIA ALEJANDRA VARGAS
LOGICA MATEMATICA CEAD PALMIRA 2009
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)
TAREA No.2
GEOVANI TRUJILLO OSCAR IVAN GARCIA JHON JAIRO PORTILLO BLANCA FANNY ESCOBAR MARIA ALEJANDRA VARGAS
Trabajo como requisito en el curso de LOGICA MATEMATICA
Tutor: EGDAR MAYOR CARDENAS
LOGICA MATEMATICA CEAD PALMIRA 2009
AUTOEVALUACIÓN No. 3.2 1. Para cada uno de los siguientes argumentos enuncie la regla de
inferencia mediante la cual se sigue la conclusión.
1.1
(P ∧ Q) → R / ∴ (P ∧ Q) → (P ∧ Q) ∧ R
1.2
1. ∼
(P ∧ ∼ Q) → (P → Q)
2. (Q ↔ P) → ∼
(P ∧ ∼ Q)
/ ∴ (Q ↔ P) → (P → Q) 2. Cada una de las siguientes es una prueba formal de validez del
argumento indicado. Enuncie la justificación de cada renglón que no sea una premisa de la prueba. 2.1
1. A ∧ B 2. (A ∨ C) → D
/ ∴ A ∧ D
3. A 4. A ∨ C 5. D 6. A ∧ D 2.2
1. Q → R 2. ∼ S → (T → U) 3. S ∨ (Q ∨ T) 4. ∼ S
/ ∴ R ∨ U
5. T → U 6. (Q → R) ∧ (T → U) 7. Q ∨ T 8. R ∨ U 3. Construir una prueba formal de la validez de cada uno de los siguientes
argumentos:
3.1
1. ∼
(P ∨ ∼ R) ↔ ∼ P ∧ R
2. Q ∨ P 3. R → S 4. (Q ∧ S) → (T ∧ S)
3.2
/ ∴ S ∧ T
1. ∼ T ∨ ∼ S 2. ∼ Q → T 3. Q → ∼ R 4. R / ∴ ∼ S
4. Escribir el siguiente enunciado en lenguaje simbólico y luego construir la
prueba formal 1.
X<3yY>6
2.
Si y ≠ 7 entonces ∼ (x = 2 ∧ y > x)
3.
Si (y > 6 ∧ x < 3), entonces, (y > x ∧ x = 2)
/ ∴ X < 3 ∧ y = 7 5. Probar la invalidez del siguiente argumento utilizando el método de
asignación de valores de verdad. 1.
[(X ∧ Y) ∧ Z] → A
2.
[z → A] → [B → C]
3.
B / ∴ X → C
EJERCICIOS DE PROFUNDIZACIÓN No. 3.2 1. Para cada uno de los siguientes argumentos, construir una prueba formal de validez o probar la invalidez por el método de asignación de valores: 1.1
1. A → ∼ B 2 ∼ (C ∧ ∼ A)
1.2
/ ∴ C → ∼ B
1. S → (T → U) 2. V → (W → X) 3. T → (V ∧ W) 4. ∼
(T ∧ X)
/ ∴ S ↔ U
2. En cada uno de los siguientes argumentos, utilizar un lenguaje simbólico y construir una prueba formal de validez o probar la invalidez por el método de asignar valores. 2.1 Si el papel tornasol se vuelve rojo, entonces la solución es un óxido. Luego,
si el papel se vuelve rojo, entonces o la solución es un óxido o hay algo que anda mal. 2.2 O el ladrón entro por la puerta, o el robo fue cometido desde dentro y uno
de los sirvientes debe estar involucrado en él. El ladrón sólo pudo entrar por la puerta si el cerrojo fue levantado desde dentro; pero uno de los sirvientes seguramente se halla implicado en el robo, si el cerrojo fue levantado desde dentro. Por ende, uno de los sirvientes está involucrado en el robo. 2.3 Si la víctima tenía dinero en sus bolsillos, entonces el robo no fue el motivo
del crimen. Pero el motivo del crimen fue, o bien el robo, o bien la venganza. Luego, el motivo del crimen debe haber sido la venganza.
SOLUCION DE LA AUTOEVALUACION No.3.2
1. 1.1
(P
1. (P ∧ Q) → R
Q)
(P
Q)
R
ABSORCION
__________________ C (P ∧ Q) → (P ∧ Q) ∧ R ( P
Q) P
1.2
1. ∼
(P ∧ ∼ Q) → (P → Q)
2. (Q ↔ P) → ∼
(P ∧ ∼ Q)
Q
R
R
SILOGISMO HIPOTETICO
____________________ _ c. (Q ↔ P) → (P → Q)
2. 2.1
1. A ∧ B 2. (A ∨ C) → D
C.
A∧D
3. A
SIMPLIFICA
A
B
(A
C)
D
A
4. (A ∨ C) 3.DISYUNCION
A
C
ADJUNCION P Q
5. D 2, 4 MPP
A
C
D
A D
6. A ∧ D 3,5 CONJUNCION
2.2
1. Q → R 2. ∼ S → (T → U) 3. S ∨ (Q ∨ T) 4. ∼ S c. R ∨ U
C
Q
5. T → U
2,4 MPP
S
(T
U)
S T
U
6. (Q → R) ∧ (T → U) 1,5 CONJUNCION Q
R
T
U
(Q
R)
(T
U)
7. Q ∨ T 3,4 DISYUNCION
8. R ∨ U 6,7 DILEMA CONSTRUCTIVO (Q
3.1
1. ∼
(P ∨ ∼ R) ↔ ∼ P ∧ R
R)
(Q
T)
R
U
(T
U)
LEY DE MORGAN
2. Q ∨ P 3. R → S 4. (Q ∧ S) → (T ∧ S) C. S ∧ T 5. ∼
P ∧ R MPP
6. R 7. S 3,5 MPP
R P R S
S
8. ∼ P 1. SIMPLIFICACION DISYUNTIVA 9. ∼ Q → P 2. DEFINICION PREMISA 2 Q 10. Q 9,8 MTT
Q P
P
(P P
R)
P
R
Q 11. Q ∧ S 10,7 ADICION Q S Q 12. T ∧ S 4,11 MPP (Q
3.2
S
S)
Q
S
(T
S)
1. ∼ T ∨ ∼ S
(T
S)
IMPLICACION T
S
2. ∼ Q → T 3. Q → ∼ R 4. R C. ∼ S 5.
∼ Q → ∼ S 2,1 SH
Q
T
T S Q
6. ∼ Q 3,4 MPP Q
S
R
R Q 7. ∼ S
Q
MPP Q S
4. LENGUAJE SIMBOLICO 1.
P: X < 3 Q: Y> 6
S
R: Y # 2 S: X = 2 T: Y > X
1. (P ∧ Q) 2. R → ∼ (S ∧ T) 3. (P ∧ Q) → (T ∧ S) c. P ∧ ∼ R 4. (P ∧ Q) → (S ∧ T) CONMUTATIVA
5. S ∧ T 3, 1 MPP (Q ∧ P) → (T ∧ S)
(P ∧ Q) T∧S 6.
(S
∧ T) → ∼ R
RECIPROCO R → 2
(S
∧ T)
CONTRADICCION 7. ∼ R 6, 1 MPP 8. P ∧ Q →P 1, SIMPLIFICACION, CONJUNCION 9. P ∧ ∼ R 8 Y 7 CONJUNCION
LENGUAJE FORMAL P: Pedro •
Q: Luis
R: armando
S: maría
T: juan
Pedro y Luis fueron de paseo. Luego armando no dejo ir a maría y juan, pero luis y Pedro si son amigos de juan y maría. Por ende Pedro no se la lleva bien con armando.
5. INVALIDEZ 1.
[(X ∧ Y) ∧ 2] → A
2.
[2 → A] → [B → C]
3.
B
C.
X→C
CONCLUSI ON
PREMISAS X Y Z A B C
X→C
V F V F V F
F
SOLUCION DE PROFUNDIZACION No. 3.2
1 1.1
1. A → ∼ B 2 ∼ (C ∧ ∼ A)
↔
(∼ C ∧
A)
C→∼ B (C→ ∼ B
)
↔
(∼ C ∨ ∼
B)
C
C
BC B C V V F F
3.
V F V F
F F V V
F V F V
B
(
F V V V
C
↔
B F V V V
P: papel tornasol se vuelve rojo. O: la solución es un oxido.
B)
B) V V V V
(
C
H: hay algo que anda mal. ARGUMENTO VALIDO
P→O P→ (O ∨ H) O→ (O ∨ H)
P O HO
4.
H
O
(O
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
1. (L ∨ C) ∧ S 2. R→L
H)
ARGUMENTO VALIDO
3. R→S C. S 4. S 1 SIMPLIFICACION L: el ladrón entro por la puerta C: el robo fue cometido desde dentro S: uno de los sirvientes debe estar involucrado en el. R: cerrojo fue levantado desde dentro.
5.
D: la victima tenía dinero en sus bolsillos R: el robo
ARGUMENTO INVÁLIDO
M: el motivo del crimen E: la venganza 1. D → ( ∼ R→M) 2. (M ∨ R) ∨ E C. (M→ E)
D R M
E
V V V V V V V V F F F F F F F F
V F V F V F V F V F V F V F V F
V V V V F F F F V V V V F F F F
V V F F V V F F V V F F V V F F
M E V F V V V F V V V F V V V F V V