FÍSICA MODERNA CÓDIGO: 299003 TAREA 5- TRABAJO COLABORATIVO-UNIDAD 3 UNIDAD No 3
Presentado a: Gabriela Inés Leguizamón Tutora
Entregado por: Edwinson Javier Triana Código: 1016039534 Jhon Alexander Urrego Huertas Codigo:1022419584 Jhon Alexander Gonzales Código: XXXXX Andrés Mauricio Muñoz Mesa Código: 1023869875
Grupo: 299003_46
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD UN AD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA MAYO 2018 BOGOTA
INTRODUCCIÓN Por medio de la presente se expone la actividad de la unidad 3 en donde se toma como base los conceptos avanzados de la física moderna, por medio de una serie de ejercicios se pone en práctica p ráctica temas como: modelos atómicos, efecto túnel, La partícula cuántica bajo condiciones de frontera y una serie de ecuaciones que busca llegar a implementar de forma adecuada.
MARCO TEÓRICO
Edwinson Javier Triana:
Jhon Alexander Urrego Auto función de una artícula
Describe la evolución temporal de una partícula
Ecuación de Schrödinger
Unidad 3: Mecánica cuántica y teoría atómica
Efecto túnel
Se dice que es el fenómeno cuántico donde una partícula sobrepasa una barrera de
Cuando la energía de la barrera
potencial.
de potencial es menor que la energía de la partícula
Cuando la energía de la barrera de potencial es mayor que la energía de la partícula
Andrés Mauricio Muñoz Mesa
TRABAJO COLABORATIVO DE LA UNIDAD 2:
ACTIVIDAD 1 Un electrón de E (0,52) encuentra una barrera de U (0,43) de altura. Si el ancho de la barrera es L (0,4) (Figura 1), encuentre: a) La probabilidad de que se filtre a través de la barrera. Exprese los resultados en porcentaje. b) Obtenga los anteriores resultados por medio del simulador de la Tarea 5 dispuesto en entorno de “Aprendizaje Práctico”. En caso de haber diferencia establezca el error relativo porcentual.
Figura 1: Esquema de la barrera de potencial. *Recuerde que los valores de E, U y L se encuentran en la tabla de datos generada . Son 10 ejercicios en total 2 por cada integrante del grupo. En los resultados se debe anexar la imagen correspondiente a cada una de las simulaciones.
Nombre del estudiante: Andrés Mauricio Muñoz Mesa Datos del problema: E= 0.55 eV U= 0.12 eV L= 0.2 nm
Solución: Un electrón de (0.55 y 0.15 eV) encuentra una barrera de (0.12 y 0.67 eV) de altura. Si el ancho de la barrera es (0.2 y 0.8 nm), encuentre: a)
La probabilidad T de que se filtre a través de la barrera. Exprese los resultados en porcentaje
ku = 2 ℎ − T=1 4∗ℎ 1∗ Para: E=0.55eV U=0.12 eV L=0.2 nm
− 1. 6 ∗10 − 2 9 . 1 1∗10 0 . 5 50. 1 2∗ 1 ku = − 1. 0 5 ∗ 10 ku=3.371∗10 − ℎ ∗0.674 − 2.548 − − ℎ 3 . 3 71∗10 ∗0. 2 ∗10 T=1 4∗ 0.0.1525 1 0.0.1525 =1 0.87∗0.78 =1 0.6786 T=10.T=78.210=0.97%7897
Nombre del estudiante: Andrés Mauricio Muñoz Mesa Datos del problema: E= 0.15 eV U= 0.67 eV L= 0.8 nm
Solución: Para: E=0.15eV U=0.67 eV L=0.8 nm
Debido a que la potencia de la barrera es mucho mayor que la energía del electrón, la probabilidad de que se pueda transmitir es nula.
− − − − ℎ 3 . 3 71∗10 ∗0. 2 ∗10 ℎ ∗0. 6 74 2. 5 48 T=1 =1 =1
0.87∗0.78 4∗ 0.0.1525 1 0.0.1525 T=10.T=78.210=0.97%7897
0.6786
Nombre del estudiante: Jhon Alexander Urrego Datos del problema: E= 0,52 U=0,43 L=0,4 Desarrollo:
a) La probabilidad de que se filtre a través de la barrera. Exprese los resultados en porcentaje. E (0,52ev) - U (0,43ev) - L(0,4nm)
<
Como la energía del potencial es menor que la energía de la partícula, es decir se cumple que , entonces se utilizará la siguiente fórmula:
Donde,
Siendo
− =1 sin
4 1 .1 = 2 .2 ℏ ℏ − =9,−1 10 ℏ= 6,628 210 . =1,0549 10− ℏ
la masa de la partícula y la constante de Planck dividida entre
Ahora, teniendo despejado , se procede a hallar
en la ecuación Ec. 2.
2
.
− 1, 6 10 − 2 ∙ 9, 1 10 0, 5 2 0, 4 3 ( ) 1 = 1,0549 10− . − − 1 , 8 2 10 ∙ 0, 0 9 ∙ 1, 6 10 = 1,0549 10− − √2. 6 208 10 = 1,0549 10− − 1. 6 188 10 = 1,0549 10− =. − − − − s i n 1. 6 189 10 ∙ 0, 4 10 =1 40,0,5423 0,0,5423 1 − s i n 0. 6 4756 =1 41.s2i09 0 . 2 093 − n 0. 6 4756 =1 4.8360,30639.2093− =1 1, 0 121 = 1 0,359− =1,3595− ≈,
Hallando la raíz
Entonces, como ya se conoce el valor de remplazamos:
, ya se puede hallar T, por lo tanto,
De esta forma, la probabilidad de que el electrón cruce la barrera de potencial y se produzca el efecto túnel, es de aproximadamente 73,55% Ahora, se requiere hallar el valor de R, para ello definimos la regla de la probabilidad, que indica que la suma de todas las probabilidades, es igual a 1:
=1
Como tenemos T, despejamos R:
=1 =1, =0,26444
Entonces la probabilidad R es de 26,44%
a) Obtenga los anteriores resultados por medio del simulador de la Tarea 5 dispuesto en entorno de “Aprendizaje Práctico”. En caso de haber diferencia establezca el
error relativo porcentual.
Simulación: Se observa que T es 0,72, equivalente a 72%
Error porcentual:
= 73.572572 100 =2,152
Actividad No. 1 a) Un electrón de 0,38 eV encuentra una barrera de 0,53 eV de altura. Si el ancho de la barrera es 1,0 nm, encuentre:
Dónde,
Sabemos que
− =1 sinh
4 1 .1 = 2 .2 ℏ ℏ − =9,−1 10 ℏ= 6,628 210 . =1,0549 10− ℏ − 1, 6 10 − 2 ∙ 9, 1 10 0, 5 3 0, 3 8 ( ) 1 = 1,0549 10− . − − 1 , 8 2 10 ∙ 0, 1 5 ∙ 1, 6 10 = 1,0549 10− − 4 , 3 68 10 = 1,0549 10− − 2, 0 899 10 = 1,0549 10− =, − − − − s i n h 1 , 9 81 10 ∙ 1, 0 10 =1 40,0,35831 0,0,3583
es la masa de la partícula y la constante de Planck dividida entre
Teniendo despejado , se procede a hallar
2
.
en la ecuación Ec. 2.
Hallando la raíz,
Entonces, como ya se conoce el valor de remplazamos:
, ya se puede hallar T, por lo tanto,
− s i n h 1 , 9 81 =1 40,7s169inh10,1,9817169− =1 40,71690,28301 − s i n h 1 , 9 81 =1 2,86760,28301 − 1, 7 768 =1 2,8676 = 10,619− = 1,61962− ≈,
de esta forma, la probabilidad de que el electrón cruce la barrera de potencial y se produzca el efecto túnel, es de aproximadamente 61,96%. Ahora, se requiere hallar el valor de R, para ello definimos la regla de la probabilidad, que indica que la suma de todas las probabilidades, es igual a 1:
Como tenemos T, despejamos R:
=1 =1 =10, 6 1742 =0,38257
Entonces la probabilidad R es de 38,25%
Nombre del estudiante: Edwinson Javier Triana Datos del problema: Masa de protón: 9.11*10^-31 Kg E (eV)=0.99 U (eV)=0.18 L (nm)=1.0 Desarrollo: Sabiendo que E>U, por lo tanto, aplicamos el segundo caso.
Donde
=1 4 1 = 2 ℎ − 1. 6 ∗10 − 2 9. 1 1∗10 0. 9 90. 1 8( ) 1 = 1.055∗10− =4.61∗10− − − 4. 6 1∗10 1∗10 =1 4 0.0.9198 0.0.9198 1 =0. 9 9 ≈99%
Entonces calculando
se tiene que:
Ahora procedemos reemplazar el valor obtenido en la ecuación para T
Simulación:
Nombre del estudiante: Edwinson Javier Triana Datos del problema: Masa de Electrón: 9.11*10^-31 Kg E (eV)=0.23 U (eV)=0.88 L (nm)=0.8 Desarrollo: Por ende, la ecuación nos indica que U>E; por lo tanto, se debe aplicar el caso 1.
Donde
Entonces calculando
ℎ =1 4 1 = 2 ℎ
se tiene que:
− 1. 6 ∗10 − 2 9. 1 1∗10 0. 8 80. 2 3( ) 1 = 1.055∗10− =4.13∗10− − − ℎ 4. 1 3∗10 8∗10 =1 4 0.0.2838 1 0.0.2838 =4∗10^3
Ahora procedemos reemplazar el valor obtenido en la ecuación para T
Lo que indica T es que es 0% y por lo tanto ninguna partícula traspaso la barrera.
Simulación:
Nombre del estudiante: John Alexander González Lozano Datos del problema: E= 0.58 eV U= 0.19 eV L= 0.2 nm m= 9.11x10-31 kg
Desarrollo:
− =1 sin
Para este ejercicio usaremos las ecuaciones donde U
4 1 = 2ℎ − 1. 6 10 − 2 ∗9. 1 110 0 . 5 80. 1 9 ∗( ) 1 = 1.05510− − =3196053360.15 − − − ∗0.2(101) si n 3196053360. 1 5 =1 4 0.0.5189 0.0.5189 1 =0.99≈99%
Procedemos a hallar k para sustituirla en T y hallar la probabilidad que tiene de cruzar la barrera.
La probabilidad es
Simulación:
Nombre del estudiante: John Alexander González Lozano Datos del problema: E= 0.29 eV U= 0.57 eV L= 0.4 nm m= 9.11x10-31 kg
Desarrollo:
− =1 sinh
Para este ejercicio usaremos las ecuaciones donde U>E
4 1 = 2ℎ
Procedemos a hallar k para sustituirla en T y hallar la probabilidad que tiene de cruzar la barrera.
− 1. 6 10 − 2 ∗9. 1 110 0 . 5 70. 2 9 ∗( ) 1 = 1.05510−
=2708075285.22 − − − −0.4(101) si n h2708075285 = 1 4 0.0.2597 1 0.0.2597 [ ] =0.368≈36.8%
La probabilidad es
Simulación:
ACTIVIDAD 2 Cada uno de los integrantes seleccione una de las series espectrales del átomo de hidrógeno y apoyado en la imagen que se muestra a continuación encuentre lo siguiente:
Serie espectral Lyman balmer Paschen Brackett Pfund
Estudiante Andres Mauricio Muñoz Edwinson Javier Triana Jhon Alexander Urrego John Alexander González Miguel Angel Piñeros
Ejercicio No 1. Nombre del estudiante: Andrés Mauricio Muñoz Mesa Datos del problema: Serie espectral Lyman Nombre de quien revisa: Miguel Ángel Piñeros Desarrollo del paso a paso y explicación: Encuentre:
a) La longitud de onda del fotón emitido para la línea . (Respuesta en nm)
β
Longitud de onda serie Lyman con salto de energía de 4 a 1= 1025.18 nm
b) La frecuencia del fotón emitido para la línea notación científica)
. (Respuesta en Hz y con
3∗10 = λ = 1.025∗10/− =2.93∗10ℎ 1 =6.26∗10− ∗∗2.93∗10− 1=1.832∗10− = 1.1471
c) La energía del fotón emitido para la línea
. (Respuesta en eV)
Ejercicio No 2. Nombre del estudiante: Edwinson Javier Triana Datos del problema: Serie espectral Balmer Nombre de quien revisa: John Alexander González Desarrollo del paso a paso y explicación:
a) La longitud de onda del fotón emitido para la línea . (Respuesta en nm) Sabiendo la que línea
es:
=4→=2 1 =ℎ(1 1) 1 =1.097∗10− ∗(21 41) 1 =1.097∗10− ∗(14 161 ) 1 =1.097∗10− ∗ 0.250.0625 1 =2.056∗10−− = 2.056∗101 − =4.862∗10−=4.862∗10 v=cv=(14 161 )cRH
Por ende, hallamos la longitud de onda de la siguiente forma despejando:
Despejamos
B) La frecuencia del fotón emitido para la línea científica)
Sabiendo la Longitud de onda podemos decir que:
. (Respuesta en Hz y con notación
v=cv=(15)cRH 15 ∗2.998∗10m/s∗109677.5856 cm− ∗ 100cm1m =.∗ =ℎ∗ 2. 9 98∗10 − =6.63∗10 ∗ 4.862∗10m/s− =4.088∗10− =4.088∗10− ∗ 6.2415∗101 =3
Cancelamos y despejamos y queda:
C) La energía del fotón emitido para la línea . (Respuesta en eV) Energía seria:
Despejamos y queda:
Ejercicio No 3. Nombre del estudiante: Jhon Alexander Urrego Huertas Datos del problema: PASCHEN Nombre de quien revisa: Desarrollo del paso a paso y explicación:
1 =(1 1), <
a) La longitud de onda del fotón emitido para la línea . (Respuesta en nm). Inicialmente, para poder definir la longitud de onda del fotón, definimos la fórmula de Rydberg:
Siendo que,
==1,097 10− =
longitud de onda. es la constante de Rydberg. niveles de energía.
=5 1 =1,097 10− (31 51) 1 =1,097 10− (19 251 ) 1 =1,097 10−0,11110,04 1 =1,097 10−0,0711 1 =780088,889− = 780088,1889− = 1,2819 10− = , = 3 10 = 1,2819 10− =,
, =3
Ahora, la serie a desarrollar corresponde a la serie de Paschen para la línea donde esta línea presenta un salto desde el nivel de energía hasta un nivel , remplazamos valores y despejamos la longitud de onda:
Despejando ,
De esta forma, la longitud de onda del fotón con cambio del nivel de energía 5 al nivel 3, tendrá una longitud de onda de b) La frecuencia del fotón emitido para la línea . (Respuesta en Hz y con notación científica). Para hallar la frecuencia, se define que esta es
,
, donde c es la velocidad de la luz:
De esta forma, la frecuencia del fotón emitido en la línea .
es de
=
=ℎ=ℎ ℎ ℎ=6,63 10− . =6,63 10− . ∙ 2,3403 10 1= 2 , 3 403 10 − =6,63 10 . ∙ = 6,63 10− ∙ 2−,3403 10 =1, 5 516 10 − 1 =1,602177 10 − 1 1,6∙02177 1,5516 10 10− = 1 1,6∙02177 1,5516 10 10−− =.
c) La energía del fotón emitido para la línea . (Respuesta en eV). La energía del fotón está definida por la siguiente fórmula:
Donde es la constante de Planck, la cual corresponde a Remplazando valores:
.
Como el resultado requiere ser expresado en eV, realizamos la siguiente conversión respecto a la frecuencia teniendo en cuenta que :
Como
, entonces:
Entonces la energía emitida por el fotón en la línea
es de
Ejercicio No 4. Nombre del estudiante: John Alexander González Lozano Datos del problema: Brackett n=6 a n=4 Nombre de quien revisa: Edwinson Javier Triana Desarrollo del paso a paso y explicación
a) La longitud de onda del fotón emitido para la línea . (Respuesta en nm) Sabiendo la que línea
es:
=6→=4 1 =ℎ(1 1) 1 =1.097∗10− ∗(41 61) 1 =1.097∗10− ∗(161 361 ) 1 =380902.78 − = 380902.178 − =2.62510−=2625 = 310 = 2.62510−⁄ =1.14210
B) La frecuencia del fotón emitido para la línea científica)
Sabiendo la Longitud de onda podemos decir que:
. (Respuesta en Hz y con notación
= 13.606 = 13.63606 =0.37
C) La energía del fotón emitido para la línea . (Respuesta en eV) Energía seria:
ACTIVIDAD 3 Una partícula en un pozo cuadrado infinitamente profundo tiene una función de onda conocida por:
para
0≤≤ ≤
= 2 sin(2)
; de otro modo es cero.
a) Determine la probabilidad de que la partícula se encuentre en el intervalo De la respuesta en porcentaje. .
≤
*Recuerde que los valores de y los encuentra en la tabla de datos, son 5 ejercicios en total, uno para cada integrante.
Ejercicio No 1. Nombre del estudiante: Andrés Mauricio Muñoz Mesa Datos del problema: A= 0,131 L B= 0,657 L Nombre de quien revisa: Desarrollo del paso a paso y explicación: Una partícula en un pozo cuadrado infinitamente profundo tiene una función de onda conocida por:
≤.
Determine la probabilidad de que la partícula se encuentre en el intervalo De la respuesta en porcentaje .
. 2 P= ∫. ∗ 2 4 . 1 2 P= ∫. 2 dx . . 2 P= ∫. 1/2 1/2∫. 4
.≤
P=1/L∗xevaluadoenlimdeint L/4π∗ 4 P= 1/0.526∗ 0.207244 0.041∗ 40.0.526657 0.041∗ 40.0.526131 P=0.3940.0300=0.364=36.4% Ejercicio No 2. Nombre del estudiante: Edwinson Javier Triana Datos del problema: 0.109 L o.662 L Nombre de quien revisa: Jhon Alexander Gonzales Desarrollo del paso a paso y explicación: Una partícula en un pozo cuadrado infinitamente profundo tiene una función de onda conocida por:
para
0≤≤
= 2 sin(2)
; de otro modo es cero.
a) Determine la probabilidad de que la partícula se encuentre en el intervalo . De la respuesta en porcentaje. *Recuerde que los valores de
:. :. , ∞ = ∫−∞∗ ∙ =1 . =∫, 2 sin (2) . =∫, 2 sin (2) y
≤≤
los encuentra en la tabla de datos,
Inicialmente, se tiene que para determinar la probabilidad, se requiere acudir a la función de densidad de probabilidad de en el intervalo la cual se define de la siguiente manera:
Para facilitar los cálculos, sustituimos de la siguiente manera.
→ 2 2= 2 2 − = 2 , 2 =()(2)∫, sin , 1 = ∫, sin sin = 1cos2 2 , 1 = ∫, 1cos2 2 , , 1 1 1 = ∫, 2 ∫, cos22 , , 1 1 = 2 ∫, 1 2 ∫, cos2 12 ∫,,1 = 2 |00,,616209 → 2
Se utilizan las identidades trigonométricas para solucionar el seno cuadrado, y queda:
Repartimos la integral entre dos integrales:
→ 12 14 ∫,,cos = si4n |00,,616209 = 2 si4n2 |00,,616209 =(2 si4n2)|00,,616209 → 2 2 4 si n = 2 4 4 si n 2 = 2 4 4 si n = 4 4 , si n 2 2 = ∫, sin ( ) = 4 |00,,616209
Se revertimos la sustitución donde dijimos que
Se obtiene el siguiente resultado:
Se Reconstruyendo la sustitución de u:
Tenemos entonces que la solución a la integral es:
Entonces, ahora, a la solución de la integral definida, procedemos a remplazar los valores de x para así poder obtener la probabilidad de que la particular se encuentre en el intervalo definido.
4 si n = 4 |00,,616209 4 0 , 6 62 4 0 , 1 09 si n ( ) si n ( ) 0, 6 62 0, 1 09 = 4 4 12, 5 664 0 , 6 62 12, 5 664 0 , 1 09 si n ( ) si n ( ) 0, 6 62 0, 1 09 = 4 4 8, 3 189 1, 3 697 si n si n 0, 6 62 0, 1 09 = 4 4 =(0,662 0,84938)(0,109 0,94799) =(0,662 0,0711)(0,109 0,0780) =0,59080,03102 =, 0, 1 09 ≤ ≤ 0,662 , %
De esta forma, la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo , es de
Ejercicio No 3. Nombre del estudiante: Jhon Alexander Urrego Datos del problema: A=0.131l B=0.68l Nombre de quien revisa: Desarrollo del paso a paso y explicación:
=0,467, =0,93 , +∞ =∫−∞ ∗ ∙ =1
Datos del problema: Inicialmente, se tiene que para determinar la probabilidad, se requiere acudir a la función de densidad de probabilidad de en el intervalo la cual se define de la siguiente manera:
. =∫, 2 sin (2) . =∫, 2 sin (2)
Dejando la constante fuera de la integral:
Para facilitar los cálculos, sustituimos de la siguiente maner a.
→ 2
E igualmente, se requiere derivar el contenido de u y compensarlo al otro lado de la integral por su inverso para sustituir el valor de dx: De forma que, la derivada de Su inverso será:
Operando,
2= 2 2 − = 2 , 2 =()(2)∫,sin , 1 = ∫,sin sin = 1cos2 2
Entonces, ahora tenemos la siguiente integral por desarrollar, para ello utilizaremos identidades trigonométricas para solucionar el seno cuadrado, donde, la identidad que nos ofrece solución al problema, dice que:
Remplazando la identidad:
, 1 = ∫, 1cos2 2
Repartimos la integral entre dos integrales, dado que contiene signo de operación suma/resta:
, , 1 1 1 = ∫, 2 ∫, cos22 , , 1 1 = 2 ∫,1 2 ∫,cos2
Dejando constantes fuera de la integral:
Ahora resolvemos las integrales, donde la primera integral es una integral directa, entonces nos da como resultado:
12 ∫,,1 = 2 |0,0,16318 → 2 → 12 14 ∫,,cos = si4n |0,0,16318 = 2 si4n2 |0,0,16318 =(2 si4n2)|0,0,16318
Para la segunda integral realizaremos una sustitución donde: Y decimos que
es:
Así, remplazando en la segunda integral y aplicándola, tenemos:
Ahora, revertimos la sustitución donde dijimos que
Entonces, uniendo las soluciones de ambas integrales, tenemos el siguiente resultado:
Ahora, reconstruyendo la sustitución de u:
→ 2 2 4 si n = 2 4 4 si n 2 = 2 4 2 4 si n = 4 4 , si n 2 2 = ∫, sin ( ) = 4 |0,0,16318
Por ley de extremos,
Simplificando
,
Tenemos entonces que la solución a la integral es:
Entonces, ahora, a la solución de la integral definida, procedemos a remplazar los valores de x para así poder obtener la probabilidad de que la particular se encuentre en el intervalo definido.
4 si n = 4 |0,0,16318 4 0 , 6 8 4 0 , 1 31 si n ( ) si n ( ) 0, 6 8 0, 1 31 = 4 4 12, 5 664 0 , 6 8 12, 5 664 0 , 1 31 si n ( ) si n ( ) 0, 6 8 0, 1 31 = 4 4
8, 5 451 1, 6 461 si n si n 0, 6 8 0, 1 31 = 4 4 =(0,68 0,74705)(0,131 0,949715) 0,131 0,07935) =(0,68=0,0,06613)( 1870, 0 5164 =, 0, 1 31 ≤ ≤ 0,68 , %
De esta forma, la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo , es de
CONCLUSIONES
La mayor parte de la electrónica tiene su base en el efecto túnel ya que se permite interrumpir corrientes tan rápidamente que es posible trabajar a frecuencias muy altas.
La altura de la barrera de potencial es la diferencia de potencial para los electrones ligados y libres, por lo cual es la misma energía que se necesita para desprenderlos.