Tarea Aproximaciones de Taylor

UMSA FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES CARRERA DE INFORMATICA MAT 156 Nombre: Dávalos Gutiérrez Adylson C. I.: 9207532 1. La seri serie e inni inni!a !a:: 2

 x

e

= 1 + x +

 x

2

+

 x

3

3!

+

 x

4

4!

+ …+

 x

n

n!

Se "!i#i$a %ara a%ro&imar e&. a' M"es!re ("e #a e&%ansi)n en #a serie *e Ma+La"rin Ma+La"rin es "n +aso es%e+ia# *e #a serie *e Ta,#or- +on &/ , 0 &. R/ Evidentemente: f  ( x  x i )

(3 )

' ' 

' 

f  ( ( x i+1 ) =f  ( ( x  x i ) + f  ( x  x i ) h +

2

2

h+

 f  ( x  x i ) 3!

(n )

3

h + …+

f  ( x  x i )

(k  ) )

n!

comof  ( ( x )=e , x =0 , h= x y f  ( x )= e  x

0

0

2

 x

e

= 1 + x +

 x

2

+

 x

2

3

3!

+

 e

0

⟹

⟹

0

 e n f  ( ( x i+1 ) =e + e  x +  x +  x + … +  x ⟹ 2 3! n! 0

e

 x

n

h

 x

3

4

4!

+ …+

 x

n

n!

omo sa!emos" #ual$uier derivada de la e%&onen#ial es la misma e%&onen#ial" el e%&onen#ial de 0 es ' y ()%i*'+ es e %, b' Use #a serie *e Ta,#or Ta,#or %ara %ara es!imar 2&'  e3& en &i411 %ara &i  /.5. Em%#ee ersiones *e +ero- %rimerse7"n*o , !er+er or*en , +a#+"#e t  %ara +a*a +aso. El valor valor verdadero verdadero de e-' es 0"3.779''7', Or* en 0 ' 2

Termino a F2&1' s"mar '"2025'..7 '".0503'77059 7 . 0"32'00.35'7' '"003'5.77 9 30 0".2'3502.'5 3. 0"'7977023..'

error

er%

0"9'.'59 755

29"03 1

0".57 953 0"3'2590 .'

'7"25 91 5"2 1

3

37 0"2.'.'7953 0"'30.'7'99 99 '

0"'037'79 .22

2"'93 1

ara al#anzar un valor #on 0,00005 de toleran#ia en el error se de!en a#er  itera#iones,

. La e&%ansi)n en serie *e Ma+#a"rin %ara +os & es:  x =¿ 1−

 x

2

2

+

 x

4

4!

−

 x

6

6!

+

 x

8

8!

 …

cos ¿

Ini+ian*o +on e# %rimer !ermino +os & 1- a7re7"e #os !8rminos "no a "no %ara es!imar +os29;'. Des%"es *e ("e a7re7"e +a*a "no *e #os !8rminos- +a#+"#e #os errores re#a!ios %or+en!"a#es e&a+!os , a%ro&ima*os. Use "na +a#+"#a*ora %ara *e!erminar e# a#or e&a+!o. A7re7"e !8rminos 0as!a ("e e# a#or abso#"!o *e# error a%ro&ima*o se en+"en!re *en!ro *e +ier!o +ri!erio *e error- +onsi*eran*o  +iras si7ni+a!ias. 4i #os %  ' 6 %  0 el valor e%a#to de +os29;' es 0"707'0.7''.55, Or* en 0 ' 2 3  5 .

F2&1' '"00000000000 000 '"00000000000 000 0".9'57.2. 59. 0".9'57.2. 59. 0"7072920.70 977 0"7072920.70 977 0"707'032'2 25

Termino a S"mar 0"000000000000 00 0"3025'3753 0 0"000000000000 00 0"0'55323 2 0"000000000000 00 0"00032599'. 93 0"000000000000 00

error er% 0"292932' '"2'  1 0"292932' '"2'  1 0"0'553'9' 2"'97 7 1 0"0'553'9' 2"'97 7 1 0"00032225 0"0. 5 1 0"00032225 5 0"0000035.. 

0"0. 1 0"000 1

omo &odemos ver" al .to término ya tenemos un valor !astante #er#ano,

<. Re%i!a #os +=#+"#os *e# %rob#ema - %ero a0ora "san*o #a e&%ansi)n *e #a serie *e Ma+#a"rin %ara sen &:  x =¿ x −

 x

3

3!

+

 x

5

5!

−

 x

7

7!

+

 x

9

9!

 …

sen ¿

Para ea#"ar sen29;'. sen)0+  0  sen)8/+  0"707'0.7''.55, rde n 0 ' 2 3  5 . 7

)%'+ ;ermino a 4umar error er& 0"00000000000 0"7539'.3397 0"707'0.7' '00"00 000 5 2 1 0"7539'.339 0"000000000000 0"0729'32 75 00 2 ''"071 0"7539'.339 0"00755'2' 0"0729'32 75 2 2 ''"071 0"70.52.5'20 0"000000000000 0"0025'30 9'7 00 0 0"31 0"70.52.5'20 0"0029039570 0"0025'30 9'7 '9 0 0"31 0"707'30577 0"000000000000 0"00003.2. 93. 00 . 0"0051 0"707'30577 0"00003.57.20 0"00003.2. 93. ' . 0"001 0"707'0..957 0"000000000000 0"0000003'' 5' 00 . 0"001

omo &odemos ver" al 7mo término ya tenemos un valor !astante #er#ano,

;. Em%#ee #a e&%ansi)n *e #a serie *e Ta,#or *es*e +ero 0as!a !er+er or*en %ara %re*e+ir 2' si: 2&'  5&<36&4>&3?? "san*o +omo base &  1. Ca#+"#e e# error re#a!io %or+en!"a# t %ara +a*a a%ro&ima+i)n. ()'+  -.2  ()2+  '03    ', rde n

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0

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3

'02"00

0"00

1 0"01

5. Use #a e&%ansi)n *e #a serie *e Ta,#or %ara es!imar 2<' si 2&'  #n& "!i#i$an*o &1@ +omo %"n!o base- Ca#+"#e e# error re#a!io %or+en!"a# t  %ara +a*a a%ro&ima+i)n. Ana#i+e #os res"#!a*os. ln)'+  0  ln)3+  '"09.'23    2, rde n 0 ' 2 3 

()%'+ ;ermino a sumar 0"000000000000 2"000000000000 00 00 2"000000000000 2"000000000000 00 00 0"000000000000 2"............ 00 .7 2"............ "000000000000 .7 00 '"333333333333 ."00000000000 33 00

error '"09.'22 7

er& '00"00 1

0"90'377' '3 '"09.'22 7

2"0 1 '00"00 1

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'2"73 1

2"3'95.2 20

22'"3. 1

Este resultado se de!e a $ue la (ormula solamente #al#ula a&ro%ima#iones &ara valores entre -' y '" lue