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Placas rectangulares Amor Kirchhoff-
Flexión de una placa rectangular bajo la acción de una fuerza distribuida por unidad de área.
Para placas rectangulares, Navier en 1820 introdujo un método sencillo para encontrar el desplazamiento y el estrés cuando una placa está simplemente apoyada. La idea era expresar la carga aplicada en términos de componentes de Fourier, encontrar la solución para una carga sinusoidal (un componente de Fourier individual), y luego superponer las componentes de Fourier para obtener la solución para una carga arbitraria.
carga sinusoidal Supongamos que la carga es de la forma
Aquí es la amplitud, es la anchura de la placa en la la placa en la dirección y.
dirección-, y
es la anchura de
Puesto que la placa está simplemente apoyada, el desplazamiento bordes de la placa es cero, el momento de flexión es cero en y .
es cero en
a lo largo de los y
,y
Si aplicamos estas condiciones de frontera y resolver la e cuación de la placa, se obtiene la solución
Podemos calcular las tensiones y deformaciones en la placa una vez que sabemos el desplazamiento. Para una carga más general de la forma
donde
y
son números enteros, obtenemos la solución
Navier solución Consideremos ahora una carga más general . Podemos romper esta carga hasta en una suma de componentes de Fourier de tal manera que
donde
es una amplitud. Podemos usar la ortogonalidad de los componentes de Fourier,
para encontrar las amplitudes
. Así tenemos, por la integración de más ,
Si repetimos el proceso por la integración de más
, tenemos
Por lo tanto,
Ahora que sabemos , sólo podemos superponer las soluciones de la forma dada en la ecuación (1) para obtener el desplazamiento, es decir,
Uniforme de carga
Consideremos la situación en la que se aplica una carga uniforme sobre la placa, es decir, . Entonces
Ahora
Podemos utilizar estas relaciones para obtener una expresión más simple para
Desde
[que
:
] cuando
y ya
son aún, podemos obtener una expresión aún más simple para son impares:
cuando ambos
Al conectar esta expresión en la ecuación (2) y teniendo en cuenta que sólo los términos impares contribuyen al desplazamiento, tenemos
Los momentos correspondientes se dan por
Las tensiones en la placa son
Desplazamiento (
El estrés (
)
)
El estrés (
)
Desplazamiento y destaca a lo largo mm,
mm,
de una placa rectangular con GPa, y
mm,
bajo una carga
kPa. La línea roja representa la parte inferior de la placa, la línea v erde del medio, y la línea azul de la parte superior de la placa.
Levy solución Otro enfoque fue propuesto por Levy en 1899. En este caso partimos de una forma asumida de los desplazamientos y tratar de ajustarse a los p arámetros de modo que la ecuación de gobierno y las condiciones de contorno se satisfacen. Supongamos que
Para una placa que está apoyada simplemente en y , las condiciones de contorno son y . La condición de frontera momento es equivalente a (verificar). El objetivo es encontrar de manera que satisfaga las condiciones de contorno en y y, por supuesto, la ecuación que rige .
Momentos en los bordes
Consideremos el caso de la carga de momento puro. En ese caso
y
tiene que
satisfacer . Dado que estamos trabajando en coordenadas cartesianas rectangulares, la ecuación que gobierna puede ampliarse
Conexión de la expresión de
la ecuación que rige nos da
o
Esta es una ecuación diferencial ordinaria que tiene la solución general
donde son constantes que pueden ser determinados a partir de las condiciones de contorno. Por lo tanto la solución de desplazamiento tiene la forma
Vamos a elegir el sistema de coordenadas de tal manera que los límites de la placa están en y
(igual que antes) y en
las condiciones de contorno momento en el
(y no
y límites son
). A continuación,
donde son funciones conocidas. La solución puede encontrarse mediante la aplicación de estas condiciones de contorno. Podemos demostrar que para la simétrica caso de que
y
tenemos
donde
Análogamente, para la antisimétrica caso donde
tenemos
Podemos superponer las soluciones simétricas y antisimétricas para obtener soluciones más generales. Uniforme y del momento de carga simétrica
Para el caso especial en que la carga es simétrica y el momento es uniforme, tenemos a ,
Desplazamiento (
La flexión (
)
)
La tensión de corte transversal (
)
Los desplazamientos y las tensiones de una placa rectangular en momentos de flexión uniforme a lo largo de los bordes
y
. El esfuerzo de flexión
superficie inferior de la placa. El esfuerzo cortante transversal media de la placa.
es a lo largo de la
es a lo largo de la superficie