DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN QUE REPRESENTA LA ENTRADA DE AGUA EN EL YACIMIENTO Como ya hemos visto, una de las ecuaciones que nos representa la entrada de agua al yacimiento está dada por Schilthuis, la figura 77 nos representa la integral del área bajo la curva que está dada por la ecuación
El área a un tiempo t puede ser determinada numéricamente con el uso de la regla trapezoidal (o cualquier otro método de integración numérica), como:
La ecuación (5-9) puede ser escrita como:
PRUEBA DE LA ECUACIÓN DE SCHILTHUIS: Con la presión en la frontera a cualquier tiempo. En las columnas 1, 2, 3 y 4 de la tabla 4, se muestran los valores obtenidos de estas relaciones de un yacimiento que se tomó como ejemplo, para establecer la ecuación que representa el comportamiento de su acuífero. En este caso se consideran períodos de explotación de 6 meses.
La ecuación (5-7) en forma diferencial es representada como:
Despejando C y expresando esta ecuación ecuación en diferencias finitas: finitas:
Aplicando la ecuación (5-12), se obtuvieron los valores de C para los seis periodos en que se dividió la historia de explotación del yacimiento. Los resultados obtenidos en los cálculos son mostrados en las columnas (5), (6), (7) y (8) de la tabla 4.La columna (5) indica los valores de los volúmenes de agua que entraron al yacimiento en cada periodo. La columna (6) representa los valores obtenidos al restar, la presión inicial, de la presión en la frontera existente a la mitad del periodo de explotación considerado. En la columna (7) se muestran los valores del denominador de la ecuación (5-12) donde Δt = 182 días. Los valores de la columna (8), son los valores de K , que indican que el comportamiento de la entrada de agua ag ua no queda representado, en este caso, por la ecuación de Schilthuis. ECUACIÓN SIMPLIFICADA DE HURST: La ecuación simplificada de Hurst está dada por la expresión que considera en cierta forma el incremento gradual del radio de drene del acuífero, esto se logró mediante la introducción del logaritmo de una constante por el tiempo en el denominador de la ecuación(5-7), quedando dicha ecuación de la forma:
En forma diferencial se tiene:
PRUEBA DE LA ECUACIÓN SIMPLIFICADA SIMPLIFICADA DE HURST: Como no se obtuvieron valores de las constantes, al probar la ecuación (5-7), es por eso que se usarán los datos de la tabla 4 en la ecuación (5-13): Para probar la ecuación (5-13) se determinarán los valores de las constantes C y a. La ecuación (511) de Schilthuis se compara con la ecuación (5-14) y se establece la igualdad. Nota: Para Par a evitar confusión la literal C de la ecuación de Schilthuis en este caso será cambiada por la literal K , por lo que:
por lo tanto:
de esta manera:
En esta ecuación log a y C son constantes, K según se muestra en la tabla (con la literal C), var ía. Paran periodos de explotación se tiene la suma:
Para obtener otra expresión con a y C, se multiplica m ultiplica la ecuación (5-17) por t, quedando la ecuación:
Resolviendo simultáneamente simultáneamente las ecuaciones (5-18) y (5-20) se obtienen a y C. Los cálculos necesarios para obtener los coeficientes de las ecuaciones (5-18) y (5-20), son mostrados en la tabla 5:
Sustituyendo los valores de estos coeficientes en las ecuaciones anteriores, se tiene:
Resolviendo se tiene que: C = 325.42 y a= 0324.0 Sustituyendo ambos valores en la ecuación (5-13), nos queda:
Para comprobar la precisión de esta ecuación, se aplicará a fin de determinar la entrada de agua al yacimiento, comparando los valores obtenidos con los que se calcularon en la ecuación de balance de materia en la columna (4) de la tabla 4. Los cálculos correspondientes a esta comprobación se muestran en la tabla 6, observando que los resultados coinciden, con aproximación aceptable, con los que se obtuvieron de la ecuación de balance de materia:
MÉTODO DE VAN EVERDINGEN Y HURST: Los estudios del mecanismo de la entrada de agua a un yacimiento, y acimiento, han mostrado que en general se efectúa en régimen de flujo transitorio (no estabilizado o no continuo). Sin embargo, cuando la actividad del acuífero es poca, la tasa de flujo que entra al yacimiento es pequeña y su efecto sobre la declinación de presión del yacimiento es mínimo y se puede considerar que la entrada de agua es en régimen permanente y sigue la ecuación de estado estacionario de Schilthuis. Para los yacimientos de gas con un empuje activo de agua, el uso de la ecuación de Schilthuis no arroja resultados confiables que permitan predecir el comportamiento del yacimiento y es necesario considerar flujo transitorio, ya que cuando ocurre una caída de presión, el agua que se ha expandido no se mueve dentro del yacimiento a la misma velocidad de flujo que el gas. Van Everdingen y Hurst, resolvieron la ecuación de difusión para variar las condiciones en la frontera y combinaron los resultados con la ecuación de Darcy, formularon una expresión analítica que representa el comportamiento de acuíferos con flujo de régimen variable o transitorio. En sus desarrollos supusieron que: 1. Las fuerzas gravitacionales gr avitacionales tienen un efecto despreciable despreciable en el flujo. 2. La formación es homogénea y simétrica radialmente. 3. El flujo es radial y horizontal. A pesar de estas limitaciones se ha observado que el método proporciona buenos resultados al determinar el volumen de agua que invade al yacimiento por lo tanto la ecuación propuesta por Everdingen y Hurst es:
Por lo que:
Q es la entrada de agua adimensional, que es función del tiempo adimensional, td, el cual está relacionado con el tiempo real por:
Las unidades que se utilizan para las literales que se encuentran en la ecuación son: k (md); t (días); μ (cp); φ (vol/vol); RW (pies) y Ce (lb/pg2) -1 Los valores de Q (t) pueden obtenerse, obtenerse, a partir de td, mediante tablas o figuras elaboradas elaboradas al respecto. Estrictamente la ecuación de Van Everdingen y Hurst aplica solamente a yacimientos circulares rodeados por un acuífero horizontal, como se observa en la figura 78, yacimiento circular finito o infinito de espesor constante, porosidad, permeabilidad y compresibilidad efectiva constante.
Para calcular la entrada de agua correspondiente a una declinación continua de presión en el contacto agua-gas es necesario dividir la declinación continua en una serie escalonada de caídas de presión como se observa en la figura 79.
Cada Δp se puede calcular por medio de la ecuación:
y la acumulada a través tr avés de los intervalos de caída de presión, se puede estimar aplicando el principio de superposición en el tiempo. Considerando las presiones en el contacto agua-gas; Pi, P1, P2… Pn a los r espectivos tiempos 0, t1, t2,...tn. Las presiones promedio correspondientes a los
intervalos de tiempo son:
Las caídas de presión que ocurren a los tiempos 0, t1, t2,...tn; son:
De esta manera para calcular el volumen de agua acumulada que entra al yacimiento, We, durante un tiempo tn (correspondiente al final del intervalo n) se aplica el principio de superposición en la siguiente forma:
ECUACIÓN DE L. T. STANLEY Stanley observó que las curvas de Q (t) vs. td, para los casos de entrada de agua radial o lineal, determinadas por Hurst y Van Everdingen, pueden relacionarse mediante las expresiones siguientes:
Esta similitud indica que el comportamiento de los acuíferos aludidos están representados por una simple función exponencial del tiempo adimensional y que los incrementos unitarios de éste pueden seleccionarse en forma arbitraria. Sustituyendo la ecuación (5-37) y la ecuación (5-38) en la ecuación (5-24) se obtiene la ecuación:
El valor del exponente variará entre los límites de 0.5 y 0.8, dependiendo del tipo de flujo; sin embargo, se ha comprobado en la práctica que se obtienen resultados satisfactorios usando uno de estos valores límites. De este modo es suficiente ensayar con α= 0.5 y α =0.8, y seleccionar el
valor del exponente que proporcione mejores resultados. Cuando se presente el caso de acuíferos
limitados, el valor de (t ) α perm anecerá constante a partir de cierto periodo de explotación, a
semejanza del caso presentado por Hurst y Van Everdingen, en que los gastos adimensionales se mantienen constantes a partir de determinado tiempo adimensional. PRUEBA DE LA ECUACIÓN DE STANLEY: En la tabla 7 se muestran los cálculos obtenidos al aplicar el método de Stanley, para determinar la constante de entrada de agua que se determina por medio de la ecuación (5-40), para este caso se uso el valor de α=0.8. Obteniéndose valores de C muy semej antes a partir del segundo periodo, columna (8). El valor promedio de C, para esos periodos, resultó de 6735, quedando la ecuación:
Para el primer periodo se tiene:
Para los siguientes periodos se utiliza la ecuación:
De la misma forma, la caída de presión para el primer periodo se puede obtener con la siguiente ecuación:
La caída de presión para el periodo dos, se obtiene con la ecuación:
Para el tercer periodo, se tiene que la caída de presión es calculada con la expresión:
El cuarto periodo se obtiene con la siguiente expresión:
Así sucesivamente hasta obtener los Δpn
APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN SUPERPOSICIÓN En la determinación de la entrada de agua a los yacimientos se emplea el principio de superposición, considerando considerando que la variación de la presión del yacimiento puede representarse en forma aproximada por una serie de reducciones o abatimientos de presión repentinos alternados, como se indica en la figura 80, Estos abatimientos de presión se transmitirán hacia el acuífero modificado la distribución de sus presiones.
Se ha demostrado que el acuífero responde a cada caída de presión en forma independiente independiente y que el efecto total es igual a la suma de las perturbaciones en la presión provocadas por cada abatimiento considerado en particular. Para ilustrar este fenómeno se supone un yacimiento con presión inicial Pi, al que repentinamente se abate su presión y se mantiene en un valor P1 a un tiempo t=0. Esta perturbación en la presión, se transmitirá hacia el acuífero a un ritmo que dependerá de las propiedades de difusión del acuífero (k/μφCe). Supóngase que a un tiempo t1 se provoque un segundo abatimiento de presión, también repentino, ΔP2 = P1 -P2 (no Pi-P2). En estas condiciones el acuífero continuará respondiendo respondiendo al primer abatimiento, como si el segundo no hubiese ocurrido y además responderá a la segunda caída depresión, como si la primera no hubiese ocurrido
El efecto total en la distribución de presiones en el acuífero, corresponde a la suma de los dos, como se ilustra en la figura 81, donde para simplificar se ha considerado ΔP1=ΔP2 y t2= 2t. La curva superior y la de en medio representan la distribución de presiones en el acuífero en respuesta a la primera y segunda caída de presión, como si actuaran independientemente. La curva inferior corresponde, por lo tanto, a la suma de las otras curvas. En el presente capítulo se han presentado las técnicas que permiten calcular la cantidad de agua que entra a un yacimiento, así como también se han mostrado modelos que se desarrollaron para determinar dicha entrada, se han observado los diferentes tipos de acuíferos que se pueden presentar en un yacimiento, así como se mostró las respuestas r espuestas de los acuíferos, ya sea combinadas con la producción del yacimiento o la historia de presión. El balance de materia y las diferentes ecuaciones de entrada de agua que se presentaron en este capítulo, constituyen soluciones para el pronóstico de la presión futura del yacimiento, la entrada de agua y la producción de hidrocarburos.
