1. Hallar el estimador máximo verosímil de υ (tasa promedio) de una población que distribuye Poisson. Considere el procedimiento descrito en los contenidos de la semana. e valorará el proceso en detalle. !nterprete su resultado.
La Distribución de Poisson es una distribución de variable discreta, que se aplica principalmente en situaciones que buscan medir el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo supues supuestos tos de aleato aleatorie riedad dad y cierta ciertas s restri restricc ccion iones, es, especi especiali alizán zándos dose e en la probabilidad probabilidad de ocurrencia de sucesos con posibilidades muy pequeñas . La unción de probabilidad probabilidad se representa como! −v
x
e ∗v P ( X = x )= x !
Donde " es la tasa de incidencia media del evento, o tasa promedio, es decir un parámetro que representa el número de veces que ocurra un enómeno en un determinado per#odo de tiempo. Por su parte $ es el número de ocurrencias del evento, por lo que esta unción nos entre%a la probabilidad de que un acontecimiento suceda precisamente $ veces. &l ejercicio planteado pide encontrar el &stimador de 'á$ima (erosimilitud de la tasa tasa prom promed edio io v, por por lo que que se debe debe util utiliz izar ar el ')to ')todo do de 'á$i 'á$ima ma (erosimilitud. &n este sentido cabe recordar que la *unción de (erosimilitud para una muestra de tamaño n de variables aleatorias $, que de+nen a una población con parámetro , a trav)s de una unción de probabilidad
f ( ( x ; θ ) ,
se estructura como! n
f ( x ;θ ) ∏ =
L ( x 1 , x2 , ⋯ , x n ; θ )=
i
i
1
Por lo que para encontrar el &stimador de 'á$ima (erosimilitud, lo primero es tomar esta *unción de (erosimilitud y transormarla en una unción monótona
a trav)s de lo%aritmo natural, para lue%o derivar y lue%o i%ualando a -. Por lo tanto se tiene! n
∏ =
L ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; v )=
i
1
−v
xi
e ∗v x i !
−v
x 1
e ∗v ∗e−v∗v x x 1 ! ∗⋯∗e−v ∗v x x 2 ! 3
n
L ( x 1 , x2 , ⋯ , x n ; v )=
xn !
∗v ∑ x
− nv
L ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; v )=
e
i
∏ x ! i
Donde
∏ x ! i
es una constante que se puede denotar por , por lo que al
aplicar lo%aritmo natural a la unción queda de la si%uiente orma!
∗v∑ x )
−nv
ln ( L ( x ;υ ))=
ln ( e
i
∏ x ! i
Dado que por propiedades de los lo%aritmos se tiene que ln ( a∗ b)= ln
que
n
ln ( a
(a )+ ln ( b ), y en paralelo que
ln ( a / b )= ln
(a )− ln (b ) , y además
)=n∗ln ( a) y ln ( e )=1 , la e$presión queda! n
ln
( L ( x ; υ ))=−nv + ∑ x i ln ( v )− ln (k ) i =1
/ue es la órmula que hay que ma$imizar a trav)s de la derivada del parámetro, lo que resulta en lo si%uiente!
∑x ∂ ln ( L ( x ; υ )) =−n + i ∂υ v
/ue es lo que hay que i%ualar a -, por lo tanto!
−n + ∑ xi v ∑ xi n
∑ xi v
=0
=n =υ
Lue%o el &stimador de 'á$imo (erosimilitud de la 0asa Promedio " es la media de la muestra! v = x 1 ̂
&sto es correcto ya que, la tasa promedio es i%ual a la media en la distribución de Poisson.
". i x es una variable aleatoria con la si#uiente distribución de probabilidad$
{
a ( a + 1 )∗ x ; f ( x )=
0;
0 < x < 1
en cualquier otro caso
%ncontrar el estimador máximo verosímil de
& basado en una
muestra de tama'o n.
2upon%a una muestra aleatoria
X 1 , X 2 ,…, X n con X Bernoulli ( a ) :
L ( X 1 , X 2 ,… , X n ; a ) =a ( X 1= X 1 , X 2 ,… , X n ; a ) Por independencia! n
n
a ( X = X )=∏ ( a + 1 )∗ x ∏ = = i
i
1
i
i
1
a
n
¿( a + 1) ∗∏ x a n
i =1
¿( a + 1)n∗n !a
2e aplica lo%aritmo! ln L
( X , X ,… , X n ; a ) =ln [( a +1 )n∗n ! a ] 1
2
2e aplican propiedades de los lo%aritmos!
¿ ln ( a +1)n + ln n! a
¿ n∗ln ( a + 1 ) + a∗ln n ! n
¿ n∗ln ( a + 1 ) + a∗∑ ln x i =1
2e deriva respecto del parámetro a! n
∂ n ln L ( X 1 , X 2 ,…, X n ; a )= + ln x ∂a a + 1 i =1
∑
2e i%uala a cero para hallar el má$imo! n a +1
n
+ ∑ ln x =0 i =1
−n
a+1=
n
ln x ∑ = i
1
−n
a=
n
ln x ∑ = i
1
−1