Tarea semana 6 “Trabajando las pruebas de hipótesis” Estadística aplicada a la empresa Instituto IACC Cristina Sepúlveda Sandoval 15-11-2016
Desarrollo
Instrucciones: Lea, reflexione, aplique y resuelva paso a paso (identificando el desarrollo) y luego responda las siguientes indicaciones de las problemáticas planteadas con fundamento: 1) Una empresa que recibe envíos de pilas alcalinas comprueba una muestra aleatoria de 9 pilas para aceptar el envío. Desea comprobar que la verdadera duración media de todas las pilas del envío sea, al menos, de 50 horas. Se sabe por experiencia que la distribución poblacional de la duración es normal y tiene una desviación estándar de 3 horas. La duración media de una muestra de 9 pilas de un envío es 48,2 horas. Construya un test de hipótesis con un 10% de significancia, siendo la hipótesis nula que la media poblacional de la duración es al menos 50 horas. X: duración de las pilas x~𝑛(𝑀, 𝑃2 = 32 ) N = 9 𝑥̅ = 48,2 ∝= 0,1
Paso 1: hipótesis → 𝐻𝑜: 𝑀 ≥ 50 𝑣/𝑠 𝐻1: 𝑀 < 50 Paso 2: estadística de prueba → 𝑍𝑐 =
𝑥̅ −𝑀𝑜 𝑃/√𝑀
=
48,2−50 3/√9
= −1,8
Paso 3: región de rechazo → 𝑍0,1/2 = 𝑍 0,05 = 1,64 Paso 4: desición → (|𝑧| = 1,64 < |𝑍𝑐 | = 1,8)
Conclusión: se rechaza Ho, es decir, la media de la población es menor a 50.
2) Una empresa farmacéutica quiere que la concentración de impurezas de sus píldoras no supere el 3%. Se sabe que la concentración de impurezas de un lote sigue una distribución normal que tiene una desviación estándar del 0,4%. Se toma una muestra aleatoria de 64 píldoras de un lote y se observa que la media muestral de la concentración de impurezas es del 3,07%. De acuerdo a la información anterior: a) Construya un test de hipótesis con un 5% de significancia, siendo la hipótesis nula que la media poblacional de concentración de impurezas es del 3% frente a la alternativa que es de más del 3%. X: conclusión de impurezas → 𝑥~𝑁 (𝑀, 𝑃2 = 0, 42 ) N = 64 → 𝑥̅ = 3,07 ∝= 0,05
Paso 1: Ho: M = 0,3 (≤) 𝑣/𝑠 𝐻1: 𝑀 > 3 Paso 2: 𝑍𝑐 =
𝑥̅ −𝑀𝑜 5/√𝑛
3−3,07
= 0,4/√64 = −1,4
Paso 3: Z 0,05/2 = Z 0,025 = 1,96 Paso 4: (|𝑧| = 1,96 > |𝑧𝑐 | = 1,4) Paso 5: no se rechaza Ho, es decir, la concentración media de impurezas es de 3%.
b) Halle la probabilidad que una prueba al 5% de significancia sea rechazada la hipótesis nula cuando la verdadera concentración de impurezas sea del 3,1%. Usamos el valor P nivel de significancia más pequeño que
Zo = 0,02 P = 2[1 − ∅(𝑍𝑜)] 2[1 − ∅(0,02)] = −0,984043 Ho = 3, no se rechaza si cualquier nivel de significancia ∝> 𝑃.
3) Un distribuidor de cerveza sostiene que una nueva presentación, que consiste en una foto de tamaño real de un conocido cantante de rock, aumentará las ventas del producto en los supermercados en una media de 50 cajas en una semana. En una muestra aleatoria de 20 supermercados, las ventas medias aumentaron en 41,3 cajas y la desviación estándar muestral fue de 12,2 cajas. Construya un test de hipótesis al nivel del 5% de significancia en que la hipótesis nula de que la media poblacional del aumento de las ventas es, al menos, 50 cajas. Indique los supuestos necesarios.
X: aumento en las ventas N = 20→ 𝑥̅ = 41,3 S = 12,2 ∝= 0,05
Paso 1: Ho : M ≥ 50 Paso 2: Tc =
𝑥̅ −𝑀𝑜 𝑆/√𝑛
𝑣/𝑠 𝐻1: 𝑀 < 50 41,3−50
= 12,2/√20 = −3,19
Paso 3: T (20-1; 0,05/2) = T (19; 0,025) = 2,09 Paso 4: |𝑇| = 2,09 < |𝑇𝑐 | = 3,19
Paso 5: Se rechaza Ho, es decir, el aumento medio es menor a 50.
Bibliografía (Iacc 2016), Inferencia Estadística, Contenidos semana 6 y Recursos adicionales.
