NOMBRE: PASTOR DAVID REYES ALFONSO
DOCENTE Nila Candelaria De la Cruz Tadeo
METERIA Probabilidad y estadística
I T E
GRADO: “3A“
ACTIVIDAD 1 INVESTIGACION
S C O
DESCRIPCION DE LA ACITIVIDAD: REALIZAR INVESTIGACION DE LOS SUBTEMAS CONTEMPLADOS EN LA PRIMERA UNIDAD DEL PROGRAMA DE ESTUDIO , CONSIDERANDO LOS LINEAMIENTOS COMENTADOS EN EL AULA DE CLASE PARA TRABAJOS REALIZADOS EN WORD,QUE SON ENTREGADOS EN LINEA Y PRESENCIAL
INDICE.
1.1….Principio aditivo 1.2…Principio multiplicativo 1.3…Principio factorial 1.4…Permutaciones 1.5…Combinaciones 1.6…Diagrama de árbol 1.7…Teorema de binomio
INTRODUCCION Entendemos que la probabilidad y estadística es
la rama de las
Matemáticas que se va a encargar de Recopilar, Organizar, y Procesar datos con el fin de inferir las características de la población objetivo. La probabilidad tiene muchos usos en la vida cotidiana además de que es un herramienta que ayuda ha facilitar algunas tareas que se nos puede presentar en un trabajo o en casa. Se les llama técnicas de conteo alas combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol debemos tener en cuenta que estas herramientas nos proporciona la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento. Las bases para poder entender las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y aditivo Que a continuación serán explicadas .
1.1 PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Si una operación puede efectuarse de n maneras diferentes y realizada una
cualquiera de ellas, una segunda operación puede efectuarse de p maneras distintas, entonces el número total ( N ) de maneras diferentes, en que pueden realizarse a la vez ambas operaciones es: N = n×p El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. En la temporada final de futbol intercolegial cuatro de los mejores equipos: CARRIZALES (C),BUCANEROS(B),EXTERMINADORES (E), UNIVERSITARIOS (U). Disputan el primer y segundo lugar ¿ de cuantas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares?. Solución: 1 UTILIZANDO EL DIAGRAMA DE ARBOL
F
U
E
EXISTEN 12 MANERAS DIFERENTES QUE ESTOS EQUIPOS PUEDEN UBICARSE EN PRIMERO Y SEGUNDO LUGAR
SOLUCION 2 : UTILIZANDO EL PRINCIPIO DE MULTIPLICACION EXPLICACION: • El primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los 4 equipos. • El segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los 3 equipos.
• Por el principio de multiplicación se observa que el evento del primer lugar se presenta de 4 maneras, y el segundo lugar se presenta de 3 maneras. Entonces el numero de maneras totales es 4*3= 12
1.2 PRINCIPIO ADITIVO Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de, M + N + .........+ W maneras o formas Ejemplos: 1)
Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha
pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora.
1.3 FACTORIAL El factorial de “n” o n factorial se representa por el símbolo n! Y se define por un producto continuado en forma descendente y en el cual el cero factorial es igual a uno. Y se representa por: N! = n(n-1) (n-2) (n-3)... Operaciones fundamentales: a) 4! + 2! = (4 x 3 x 2 x 1) + (2 x 1) = 24 + 2 = 26 b) 4! - 2! = (4 x 3 x 2 x 1) - (2 x 1) = 24 - 2 = 22 c) (4!) (2!) = (4 x 3 x 2 x 1) * (2 x 1) = 24 * 2 = 48 d) 4! / 2! = (4 x 3 x 2 x 1) / (2 x 1) = 24 / 2 = 12
1.4 PERMUTACIONES Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.
El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. En cambio para un solo conjunto de objetos las formulas desarrolladas para permutaciones y combinaciones son mas convenientes para contar el numero de posibles arreglos. Una permutación de un número de objetos es un arreglo de todas o una parte de los objetos en un orden definido.
EJEMPLO DE UNA PERMUTACION:
En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas? Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.
1.5 COMBINACION Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. La formula de combinaciones es
n! nCr= r! (n – r )!
EJEMPLO DE UNA COMBINACION: Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario. b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero). Solución: a)
Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael
para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente). ¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas? Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenido de los mismos. b)
Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel
como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran
a continuación:
CAMBIOS PRESIDENTE: SECRETARIO: TESORERO:
Daniel Arturo Rafael
Arturo Daniel Rafael
Rafael Daniel Arturo
Daniel Rafael Arturo
1.6 DIAGRAMA DE ARBOL El Diagrama de Árbol, o sistemático, es una técnica que permite obtener una visión de conjunto de los medios necesarios para alcanzar una meta o resolver un problema. Un diagrama de árbol es un método gráfico para identificar todas las partes necesarias para alcanzar algún objetivo final. En mejora de la calidad, los diagramas de árbol se utilizan generalmente para identificar todas las tareas necesarias para implantar una solución. A continuación mostraremos unas de las siguientes ventajas de este método de conteo: • obliga a los integrantes del equipo a ampliar su modo de pensar al crear soluciones. • Mantiene a todo el equipo vinculado a las metas y sub-metas generales de una tarea. • Mueve al equipo de planificación de la teoría al mundo real.
EJEMPLOS DE DIAGRAMA DE ARBOL
1.7 TEOREMAS DE BINOMIO El teorema del binomio, descubierto hacia 1664 -1665, fue comunicado por primera vez en dos cartas dirigidas en 1676 a Henry Oldenburg (hacia 16151677), secretario de la Royal Society que favorecía los intercambios de correspondencia entre los científicos de su época. En la primera carta, fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a una petición de Leibniz que quería conocer los trabajos de matemáticos ingleses sobre series infinitas, Newton presenta el enunciado de su teorema y un ejemplo que lo ilustra, y menciona ejemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto del mismo año, que está en posesión de un método general que le permite obtener diferentes resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y menciona algunos de sus resultados. Interesado por las investigaciones de Leibniz, Newton le responde también con una carta fechada el 24 de octubre en la que explica en detalle cómo ha descubierto la serie binómica. El descubrimiento de la generalización de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas de la misma manera que
con expresiones polinómicas finitas. El análisis mediante las series infinitas parecía posible, porque ahora resultaban ser una forma equivalente para expresar las funciones que representaban. Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Algebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.
BIBLIOGRAFIA http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htm
http://ppbosch.tripod.com/principmult.htm
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ACTIVIDAD Problemario1 DESCRIPCION DE LA ACTIVIDAD RESOLVER LA RELACION DE EJERCICIOS QUE SE ANEXA EN UN DOCUMENTO EN WORD, CONSIDERANDO PARA SU REVISION Y ACEPTACION, QUE CONTEMPLEN LOS LINEAMIENTOS SOLICITADOS EN WORD, ADEMAS DICHOS PROBLEMAS DEBERAN TENER REDACTADO EL TEXTO, FORMULAS, PROCEDIMIENTOS Y RESULTADOS PERFECTAMENTE CLAROS Y DEFINIDOS.
1.-Cada vendedor en Stilles-Compton se califica como abajo del promedio, promedio o arriba del promedio con respecto a su habilidad para las ventas. Además cada vendedor también se clasifica con respecto a sus habilidades para las ventas. Además cada vendedor también se clasifican con respecto a sus posibilidades de promoción: Regular, buena o excelente.
Habilidad en ventas Por abajo del promedio Promedio Por arriba del promedio
Posibilidades de promoción Regular Buena Excelente 16 12 22 45 60 45 93 72 135
A. ¿Cómo se denomina esta tabla?
Tabla de contingencia B. Utilizando el diagrama de árbol, ¿Cual es la probabilidad de que un vendedor seleccionado al azar tenga habilidad de ventas ´por encima de las promedio y excelentes posibilidades de promoción?
18% C. Traza un diagrama de árbol que muestre todas las posibilidades normales condicionales y conjuntas. 27% 300/500*76/300=.144 300/500 Por arriba del promedio 300/500*136/300=.27 150/500 150/500*45/150=.09 150/500*60/150=.12
76/300
Buena
135/500
Promedio
excelente 45/150
regular
60/150
buena
45/150
excelente
150/500*45/150=.09 50/500*16/50=.032 50/500 50/500*12/50=.024 50/500*22/50=.044
16/50 Por abajo del promedio
12/50 22/50
Regular buena Excelente 1
2.-en un programa de entrenamiento para la gerencia en televisa ,80% de los asistentes son mujeres y 20% hombres; 90% son egresadas de la uv y 78 de los hombres, también
A) Se selecciona al azar una de las personas en entrenamiento ¿Cuál es la probabilidad de que se trate de una mujer que no asistió a la universidad B) trace un arboligrama que muestre todas las probabilidades normales, condicionales y conjuntas
C) ¿las probabilidades conjuntas dan un total de 1.00 ¿por que? .
*.78= .156 20%
78% Hombres
Asistentes egresados UV Asistentes
22%
2*.22=.44
.
UV 90%
80%
no egresados
.2
Asistentes egresados UV
Mujeres
8*.1=.08
10%
.8*.9=.64
Asistente no egresado
.
UV
1
3.- un equipo de beisbol juega 70% de sus partidos por la noche y 30% durante el día el equipo gana 50% de sus juegos nocturnos y 90% de los diurnos de acuerdo con el diario del día de hoy gano ayer. ¿Cual es la probabilidad de que partidos se haya desarrollado por la noche?
70%
30%
50% Partidos nocturnos 50%
ganados
90% Partidos diurnos 10%
Ganados
.3*.9=.27=27%
Perdidos
.3*.1=.03=3%
perdidos
.7*.5=.35=35% .7*.5=.35=35%
1
4.- una profesora ha estado enseñando estadísticas durante muchos años. Sabe que 80% de los estudiantes completan los problemas asignados. Determino que de los alumnos que hacen las tareas, 90%b aprobaran el curso. De aquellos estudiantes que no realizaron la tarea, 60% aprobaran. Miguel Sánchez tomo estadísticas el último semestre con la profesora tuvo calificación aprobatoria ¿Cuál la probabilidad de que si haya hecho la tarea?
90% 80%
Completan problemas Asignados
20%
10% 60%
No completan problemas Asignados 40%
Aprobaron
.8*.9=.72= 72%
no aprobaron
.8*.1=.08=8%
aprobaron
.2*.6= .12=12%
no aprobaron
.2*.40=.08=8%
5.-.El departamento de crédito de una negociación comercial, informo que 30% de sus ventas son en efectivo, 30% se pagan con cheque en el momento de la adquisición y 40% son a créditos tiene que 20% de las compras en efectivo, 90% en cheques y 60% de las compras a crédito son por más de 50.Tina acaba de comprar un vestido nuevo que cuesta $120 Cual es la probabilidad de que haya pagado en efectivo?
20%
6% 30% 3*.8=.24=24% 30%
Pagan en efectivo
Más de $50 80%
90% Pagan con cheque
.3*.2=.06=
Menos de $50
Más de $50 10%
.
.3*.9=.27=27% Menos de $50
.
3*.1=.03=3% 4*.6=.24=24% 40%
60% A crédito
4*.4=.16=16%
40%
Más de $50
.
Menos de $50
. 1
6.-La compañía Geo ha acordado no construir casas totalmente iguales en un nuevo fraccionamiento. Se ofrecen 5 diseños exteriores a los posibles compradores. El
constructor ha estandarizado 3 diseños interiores que pueden incorporarse a cualquiera de los 5 exteriores. ¿De cuantas formas diferentes pueden ofrecerse los diseños interiores y exteriores a los posibles compradores de casa usando el principio multiplicativo queda lo siguinte N1*N2 donde N1= 3 Y N2=5 esto queda lo siguienre 5*3= 15
7.-Se van a utilizar 6 colores básicos para decorar un nuevo condominio. Deben aplicarse a una unidad en grupo de 4 colores. Una unidad podría tener dorado como color principal, Azul como color complementario, rojo como color de contraste y toque de blanco. Otra unidad pedirá tener azul como color principal, blanco como color complementario, dorado como color de contraste y toques de rojo. a) Si no se permiten repeticiones (como dorado, dorado, dorado y blanco)Cuantas unidades pueden decorarse en forma distinta. En este problema la solución se usa la formula de permutación ya que en las permutaciones no se puede haber repeticiones Permutaciones: n= 6 r= 4 nPr= (6)! = 360 (6-4)!
b) Si se permiten repeticiones, (Cuantas unidades pueden decorarse en forma diferente) (Desde luego, este no sería un buen sistema.) Combinaciones: aquí usamos el método de combinaciones ya que permiete hacer combinacione s¡como su mismo nombre lo dice y usamos la siguiente formula donde:
n= 6 r=4 c
c r = (6)!
= 15
(6-4)!(4)!
8.- Una tejedora de alfombras a decido utilizar 7 colores compatibles en su nueva línea de productos. Sin embargo al tejer una alfombra, solo pueden utilizarse 5 usos. En su publicidad desea indicar el número de distintos grupos de colores que están a la venta. ¿Cuántos grupos de colores utilizando los disponibles, tomados cinco cada vez, puede ofrecer? (En esto se considera que cinco colores distintos irán en cada alfombra; es decir, no hay repeticiones de color). En este caso usaremos de nuevo la permutacion ya que no hay repeticiones. La formnula es la siguiente
n= 7 r= 5 Donde nPr= (7)!/(7-5)!= 2520 grupos puede ofrecer
9.-se esta considerando la posibilidad de formar torneo de futbol de los súper, diez, Los diez principales equipos de futbol de Mexico, con base en registros pasados, serian integrantes de la conferencia del súper diez. Cada equipo jugaría con cada uno de los otros en el torneo durante la temporada .El equipo que ganara más partidos seria declarado campeón nacional .Cuantos partidos tendrían que programar cada año el dirigente del torneo? (recuerde que cruz azul contra chivas es lo mismo que chivas contra cruz azul)
COMBINACION :Es
todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. La formula de combinaciones es :
n! nCr= r! (n – r )!
Donde n= 10 r=2 = (10)! (2)!(10-2)!.
= 45
10.-hay cinco lugares vacios para estacionamiento. Cinco automóviles llegan al mismo tiempo. De cuantas formas distintas pueden estacionarse.
En este problema usamos el principio multiplicativo El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. donde n1 x n2….n3: donde n1= 5 donde n2= 5 5*5= 25
