Como dibujar a estima los diagramas de esfuerzos y la deformada de una estructura sencilla
Índice 1. La carga 2. Relaciones entre q, V y M F 3. Tipo de ley de cortante y flector 4. Pendiente del cortante y el flector 5. Saltos debidos a cargas y momentos puntuales 6. Valor de los esfuerzos en los extremos de la estructura 7. Cómo dibujar los diagramas de esfuerzos a estima 8. Cómo dibujar la deformada a estima
Objetivos •
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En este tutorial, aprenderás a dibujar, sin hacer cálculos, de forma estimada, los diagramas de esfuerzos y la deformada de estructuras isostáticas isostáticas sencillas. Ello te servirá para comprender su funcionamiento e identificar los puntos de esfuerzos máximos, que luego puedes calcular por la técnica del corte. La técnica que usarás consiste en aplicar las relaciones existentes entre la carga, el cortante y el flector. Para estimar la deformada utilizarás la relación entre el flector y la curvatura de esta.
1. La carga •
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La carga es en principio el único dato del que disponemos. A partir de la carga dibujarás el cortante, a partir del cortante dibujarás el flector. En edificación hay principalmente dos tipos de carga: P
1. Cargas (o momentos) puntuales
2. Carga uniforme
NOTA: NOTA: en edificación también podemos encontrar cargas triangulares (aunque es menos habitual). Por ejemplo, el empuje del terreno en un muro de contención es una carga triangular
La densidad de carga •
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La densidad de carg cargaa es la carga por unidad de longitud. Se designa por q. Se mide en kN/m. Una densidad de carga de 30 kN/m (habitual en vigas de edificación) implica que sobre cada metro m etro de viga actúa una carga de 30 kN (3 toneladas). En las barras con cargas y momentos puntuales, la densidad de carga es nula.
En las barras con cargas uniforme, la densidad de carga es constante (q = cte).
2. Relaciones entre q, V y MF •
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La densidad de carga es la derivada derivada del del cortante. q = dV/dx. El cortante es la derivada derivada del del flector. V = dMF/dx
Como la derivada de una función es la pendiente de la curva (o recta) que resulta de representar esa función, se puede concluir que: •
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La densidad de carga es la pendiente pendiente del del cortante en cada punto. El cortante es la pendiente pendiente del del flector en cada punto. Si la pendiente es nula, la curva tiene TANGENTE HORIZONTAL. Si la pendiente es negativa, la curva es DECRECIENTE.
Si la pendiente es positiva, la curva es CRECIENTE
3. Tipo de ley de cortante y flector •
De las relaciones entre q, V y M F se puede deducir el tipo de ley de cortante y flector que debe tener la barra en función del tipo de carga. Si la densidad de carga es nula:
Si la densidad de carga es constante: constante:
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El cortante es constante constante en en cada tramo.
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El flector es lineal lineal en en cada tramo.
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El cortante es lineal lineal.. El flector es una curva de 2º grado. q cte
q=0
4. Pendiente del cortante y el flector La pendiente del cortante en cada punto es la densidad de carga. Como consecuencia: •
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Si la densidad de carga es positiva (carga hacia arriba), el cortante es creciente creciente.. Si la densidad de carga es negativa (carga hacia abajo), el cortante es decreciente decreciente.. Si la densidad de carga es nula, el cortante tiene tangente horizontal.. horizontal
V
q < 0 → V decreciente
La pendiente del flector en cada punto es el cortante. Como consecuencia: Si el cortante es positivo, el flector es creciente* creciente*.. Si el cortante es negativo, el flector es decreciente* decreciente*.. Si el cortante es cero, el flector tiene tangente horizontal. horizontal .
V
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MF
tg horizontal
5. Saltos debidos a cargas y momentos puntuales •
Las cargas puntuales dan lugar a saltos en el diagrama de cortante, cortante, y cambios bruscos de pendiente (picos) en el de flector. Salto de valor P
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Los momentos puntuales dan puntuales dan lugar a saltos en el diagrama de flector.
Pico
Salto de valor M
6. Valor de los esfuerzos en los extremos de la estructura •
En los extremos, el cortante cortante es es igual a la reacción o carga puntual que haya aplicada en el extremo Esta regla se demuestra fácilmente haciendo un corte en los dos extremos, A y B, de la viga, y calculando el cortante por equilibrio.
En el otro extremo, el cortante cort ante tiene que equilibrar a la reacción 2P/3. Como la reacción es hacia arriba por la derecha, el cortante será negativo En la rebanada A, el cortante tiene que equilibrar a la reacción P/3
Diagrama de cortante
Valor de los esfuerzos en los extremos de la estructura •
En los extremos, el momento flector es igual al momento puntual que haya aplicado en el extremo (si no hay momento puntual, el flector en el extremo es nulo).
B
A
En el otro extremo, tan sólo actúa en el trozo considerado una carga uniforme sobre una longitud x que tiende a cero al aproximarse al extremo. En el extremo, el flector (al no haber otras fuerzas) es cero
En el extremo A, flector tiene que equilibrar al momento en el empotramiento (de 160 mkN). El flector es en este caso, negativo.
Diagrama de flector
7. Cómo dibujar los diagramas de esfuerzos a estima •
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Aplicando las reglas básicas expuestas en los apartados anteriores, podrás dibujar, dibujar, de forma aproximada, los diagramas de esfuerzos esfuerzos de estructuras isostáticas sencillas. isostáticas sencillas. Para Para ello debes seguir los pasos que se explican explican a continuación:
Ejemplo: dibujar los diagramas de esfuerzos y la deformada de una viga biapoyada con carga uniforme en mitad del vano.
7.1. Dibujar reacciones •
Las reacciones se estiman aplicando las ecuaciones de equilibrio. Resultante de la carga uniforme
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Aplicando equilibrio de momentos respecto a A: como la resultante de la carga hace un momento horario → RB debe empujar hacia arriba para contrarrestarlo contrarrestarlo haciendo un momento antihorario. Aplicando equilibrio de momentos respecto a B: análogamente, obtenemos que RA también empuja hacia arriba. arriba.
7.2. Cortante: tipo de ley Tramo 2 Tramo 1
El tipo de ley de cortante depende de la densidad de carga en cada tramo
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Tramo 1: q = 0 → cortante constante
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Tramo 2: q constante → cortante lineal
7.3. Cortante: valores extremos A
B
RA
RB
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Extremo izquierdo: izquierdo: el cortante en A es igual a la reacción reacción,, RA.
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Extremo derecho: el cortante en B es igual a la reacción reacción,, RB.
7.4. Cortante: pendiente q<0 q=0
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Tramo 1: q = 0 → cortante constante
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Tramo 2: q < 0 → cortante decreciente
7.5. Cortante: saltos •
Como no hay cargas puntuales, no hay saltos en el cortante.
7.6. Dibujar diagrama de cortante •
Con todos los datos recopilados previamente, se dibuja el diagrama de cortante.. cortante cte
RA
V -RB
7.7 Flector: tipo de ley Diagrama de cortante
V
Tramo 1
Tramo 2
El tipo de ley de flector depende del cortante en cada tramo
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Tramo 1: cortante constante → flector lineal
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Tramo 2: cortante lineal → flector curva de 2º grado (parábola)
7.8. Flector: valores extremos A
B
0
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0
Extremo izquierdo: como no hay momento puntual aplicado en el extremo, extremo, el flector en A es nulo nulo.. Extremo derecho: como no hay momento puntual aplicado en el extremo, el flector en B es nulo nulo..
Nota: en general, el flector es nulo en las articulaciones y apoyos (a no ser que haya un momento puntual exterior aplicado, aplicado, lo cual es infrecuente), y no lo es en los empotramientos.
7.9. Flector: pendiente +
b
V Tramo 1
Tramo 2
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Tramo 1: cortante positivo → flector creciente
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Tramo 2: a. Cortante positivo → flector creciente
b. Cortante positivo → flector tangente horizontal c. Cortante negativo → flector de creciente
7.10. Flector: saltos •
Como no hay momentos puntuales, no hay saltos en el flector.
7.11. Dibujar diagrama de flector •
Con todos los datos recopilados previamente, se dibuja el diagrama de flector.. flector
MF
MF =0
MF =0
lineal
tang.horiz 2º grado
8. Como dibujar la deformada a estima Conocido el diagrama de flector, podrás dibujar la deformada deformada a estima basándote en dos principios principios básicos:
a) La curvatura de la deformada depende del signo del flector: Si el flector es positivo, la deformada es cóncava Si el flector es negativo, la deformada es convexa Si el flector es nulo, la deformada es una línea recta (curvatura nula)
b) La deformada debe respetar respetar las coacciones que imponen los enlaces: •
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En los apoyos, está impedido el desplazamiento en el plano perpendicular al apoyo. En las articulaciones, articulaciones, el desplazamiento desplazamiento está impedido. Movimiento permitido
Apoyo
Articulación
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En los empotramientos, el desplazamiento y el giro están impedidos.
Empotramiento
Giro = 0 (tangente horizontal) horizontal)
8.1 Ejemplo Dibujar a estima la deformada de la viga biapoyada con carga uniforme en mitad del vano
MF
Para dibujar la deformada es necesario obtener antes el diagrama de flector
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El flector es positivo en toda la viga → la deformada es cóncava
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En la articulación y el apoyo no puede haber desplazamiento vertical vertical*. *.
Dibujar la deformada En el apoyo, el movimiento vertical está impedido (el horizontal no se produce con esta carga)
En la articulación, el movimiento está impedido
Curvatura cóncava
8.2 Otro ejemplo Dibujar a estima la deformada de la viga biapoyada con un momento puntual en el extremo Como en el ejemplo anterior, para dibujar la deformada es necesario obtener antes el diagrama de flector
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Flector negativo → curvatura convexa
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Desplazamiento nulo en la articulación y el apoyo a poyo DEFORMADA
