Prima classificazione fondazioni Una struttura trasferisce al terreno attraverso le fondazioni il proprio peso, il peso di ciò che contiene oltre a tutte le forze verticali e laterali che agiscono su di essa. Considerando il meccanismo del trasferimento del carico della fondazione al terreno d’appoggio si denominano: — fondazioni superficiali o semi interrate quelle per le quali il carico è interamente trasmesso al terreno con la pressione sotto il piano di appoggio senza intervento di attrito laterale (o quando questo intervento è trascurabile); — fondazioni profonde quelle per le quali il carico è trasmesso al terreno con la pressione sotto il piano di appoggio e per attrito lungo il fusto.
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Considerando invece il rapporto tra le dimensioni D e B, caratteristiche della fondazione, seguendo il Terzaghi, in una diversa classificazione fra i vari tipi di fondazione potrebbe distinguersi tra: — fondazione diretta (fondazione su plinto, trave continua, platea) per D B < 4 — fondazione semi-profonda per 4 ≤ D B ≤ 10 (pile e cassoni) — fondazione profonda per D B > 10 > (pali).
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Fondazioni dirette In figura sono schematizzati alcuni tipi di fondazione diretta. Fondazioni puntuali a) fondazione su plinto quando ogni fondazione sopporta un singolo pilastro; Fondazioni continue a sviluppo lineare (larghezza costante B e di lunghezza idealmente indefinita). Una fondazione rettangolare è certamente trattabile alla stregua di fondazione continua quando il rapporto L/B raggiunge o supera il valore 10 (in prima approssimazione quando L/B>5). b) fondazione continua a sviluppo lineare sottostante pareti o setti (suola di fondazione) c) fondazione continua a sviluppo lineare sottostante un allineamento di pilastri (trave di fondazione); Fondazioni la cui superficie di appoggio al terreno presenta due dimensioni di valore simile d) fondazione a platea quando tutta la struttura e le altre forze agenti vengono sopportate da una soletta che ricopre l’intera area occupata dall’edificio.
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Carico limite o di rottura. Capacità portante Nella progettazione della fondazione un primo calcolo è costituito dalla verifica di stabilità del complesso terreno-fondazione; cioè si procede alla determinazione del carico di rottura o capacità portante, rappresentati dal carico massimo per cui il terreno entra in una fase plastica nella quale il cedimento è accompagnato da una rottura del terreno per taglio. Il carico di rottura non è una caratteristica intrinseca del terreno, ma è funzione delle sue caratteristiche meccaniche, della profondità del piano di fondazione, della forma e delle dimensioni della superficie di carico. Il carico di rottura viene indicato in generale con la notazione Q lim o q lim , seconda che si tratti di carico totale o unitario (per unità di lunghezza o di superficie).
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Fondazioni superficiali Le fondazioni superficiali sono quelle per le quali il carico è interamente trasmesso al terreno con la pressione sotto il piano di appoggio, senza intervento di attrito laterale (o quando questo intervento è trascurabile) Potremmo dire che il comportamento del terreno sotto la fondazione sulla quale il carico aumenta progressivamente fino a produrre rottura può essere suddiviso in tre fasi: a) una fase pseudo elastica, nel corso della quale la sollecitazione aumenta dando luogo a un cedimento minimo b) una fase plastica nella quale il cedimento è accompagnato da una rottura del terreno per taglio e da un rigonfiamento da una parte e dall’altra della fondazione; c) una fase di rottura, nel corso della quale, in seguito alle differenze nella natura del suolo la rottura fina avviene generalmente per rovesciamento.
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Se si considera il problema esaminando il cedimento in funzione del carico si ha: O-A – campo di deformazione semplice A-C – campo di fessurazione locale C o D – rottura per taglio Curva 1- valida per terreno compatto e resistente: il carico di rottura dà luogo a “crisi generale”. Il punto D dà il valore di q lim Curva 2- valida per terreno molle o sciolto; il carico di rottura dà luogo a “crisi locale”. Il punto B dà il valore di q lim , in questo caso molto approssimativamente in quanto l’andamento di q non tende asintoticamente al valore limite con l’aumentare del cedimento.
Gli studi teorici sulla capacità portante (Prandtl, Terzaghi, Meyerhof, Hansen) che saranno descritti nel seguito analizzano il comportamento del terreno nelle fase intermedia di scorrimento (fase plastica b nella figura di pagina precedente)
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Formula di Prandtl La prima analisi del meccanismo di rottura è quella di Prandtl (1921), che prende in considerazione lo stato di equilibrio plastico sotto una fondazione continua con base liscia.
In queste condizioni il terreno caricato giunge a rottura per scorrimento plastico nella zona di terreno situata sopra la linea f − e − d − e1 − f1 La parte di terreno coinvolta nella rottura può essere suddivisa in cinque zone. La zona I rappresenta la zona attiva di Rankine, la zona III la zona passiva, poiché le curve di scorrimento nelle due zone sono le stesse di quelle degli stati attivi e passivi di Rankine.
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I limiti della zona attiva fanno con l’orizzontale un angolo di 45° + ϕ 2 mentre quelli della zona passiva un angolo di 45° − ϕ 2 .
Le zone II sono dette zone di scorrimento radiale perché uno dei complessi di curve che costituiscono la rete di scorrimento in queste zone s’irradia dai bordi inferiori della fondazione. In generale queste curve cono pressoché rettilinee, mentre l’altro insieme di curve ha un andamento curvilineo centrato sui bordi della fondazione. La deformazione del terreno nell’ipotesi di base di fondazione liscia avviene come indicato in figura, cioè il terreno della zona I si espande orizzontalmente, il terreno della zona III è compresso lateralmente e la superficie del terreno ai lati della fondazione si alza. Se si trascura il peso del terreno situato nella zona di equilibrio plastico (cioè si fa l’ipotesi di γ = 0 ) le curve radiali sono rette e le curve concentriche sono spirali logaritmiche.
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Se invece si tiene conto del peso del terreno ( γ > 0 ) e si fa invece l’ipotesi di ϕ = 0 (terreno puramente coesivo) le curve radiali sono ancora delle rette e le curve concentriche sono archi di cerchio.
In questo caso poi si può dimostrare che la capacità portante della fondazione è data da: q lim = ( 2 + π ) c = 5.14 c = 2.57q u essendo c la coesione o meglio la resistenza a taglio senza drenaggio e q u = 2c la resistenza a compressione con espansione libera o compressione semplice non drenata.
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Formula di Terzaghi In realtà la base della fondazione è ruvida ed il fenomeno avviene diversamente da quanto descritto dalla teoria di Prandtl. La soluzione pratica approssimata del problema che viene più usata è quella proposta dal Terzaghi nel 1943. L’attrito e l’adesione del terreno al di sotto della fondazione ne impediscono l’espansione laterale: perciò il terreno entro la regione adb rimane in uno stato elastico, agisce come se fosse una parte della fondazione e penetra nel terreno sottostante come un cuneo. Terzaghi considera che le due facce del cuneo formino un angolo ϕ con l’orizzontale invece di 45° − ϕ 2 della soluzione di Prandtl e che i contributi alla capacità portante della fondazione dovuti dal peso del terreno, al sovraccarico e alla coesione possano essere valutate separatamente l’una dall’altra.
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Il cuneo abd non può penetrare nel terreno finché la pressione sui suoi lati inclinati non è uguale alla spinta passiva sviluppata dal terreno adiacente. È dunque possibile valutare il carico limite imponendo l’equilibrio statico del cuneo abd. Alla rottura la pressione su ognuna delle due superfici ad e bd è uguale alla risultante della spinta passiva Pp e della forza di coesione Ca . Poiché lo slittamento avviene lungo queste due facce, la reazione risultante della spinta della terra su ciascuna di esse agisce formando un angolo ϕ con la normale su ogni faccia, cioè in direzione verticale. Trascurando il peso del terreno entro abd, per l’equilibrio della fondazione deve valere:
Qlim = 2 Pp + 2Ca sen ϕ = 2 Pp + B c tg ϕ
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La spinta passiva Pp richiesta per produrre uno slittamento lungo def può essere divisa in due parti P 'p e P ''p . La forza Pp' rappresenta la resistenza dovuta al peso della massa adef. Il suo punto di applicazione è situato nel terzo inferiore di ad.
La seconda parte P ''p della pressione passiva può a sua volta essere divisa in due parti: una, Pc , dovuta alla coesione e l’altra Pq dovuta al sovraccarico q 0 = γ D . Poiché entrambe sono uniformemente distribuite, il loro punto di applicazione cade a metà della faccia ad. Il valore della capacità portante si può calcolare allora ponendo Pp = P 'p + Pc + Pq e applicando alla determinazione di questi termini analisi di vario tipo.
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In questo modo si perviene alla relazione generale del carico limite per unità di lunghezza di una fondazione continua con larghezza B e per un terreno dotato di peso, coesione e attrito: 1 ⎛ ⎞ Qlim = B ⎜ c N c + q 0 N q + γ B N γ ⎟ 2 ⎝ ⎠ dove: Nc =
2Pc + tg ϕ Bc
Nq =
2Pq γDB
Nγ =
2P 'p γ B2
Per la capacità portante unitaria (per unità di superficie di appoggio di una fondazione continua di larghezza B): 1 q lim = c N c + q 0 N q + γ B N γ 2 Con questa impostazione ogni termine è stato valutato separatamente al variare dell’angolo di attrito ϕ con le seguenti ipotesi: - per c N c : che il terreno abbia coesione e angolo di attrito, ma peso nullo - per q 0 N q : che il terreno abbia solo attrito e sia soggetto al sovraccarico q 0 = γ D - per 1 2 γ B N γ : che il terreno abbia attrito e peso ma coesione nulla
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I coefficienti N c , N q e N γ sono adimensionali, funzioni dell’angolo di attrito del terreno ϕ e similari ai coefficienti di spinta K a e K p . Originariamente sono stati calcolati dal Terzaghi e messi in forma di diagramma, come in figura.
Le curve a tratto pieno rappresentano la relazione fra i fattori di capacità portante e i valori di ϕ .
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Per ϕ = 0 (terreno puramente coesivo) dal diagramma risulta N c = 5.70 , N q = 1 e N γ = 0 . In questo caso la capacità portante unitaria vale: q lim = 5.70 c + γ D
Si osserva cioè che in caso di terreno puramente coesivo la capacità portante per unità di superficie di appoggio è indipendente dalle dimensioni della fondazione (non così evidentemente la capacità portante per unità di lunghezza della fondazione continua: Qlim = B q lim ). Se poi, sempre nell’ipotesi di terreno puramente coesivo ( ϕ = 0 ), si ipotizza D=0 si ottiene: q lim = 5.70c = 2.85q u
(essendo c = q u 2 ) ovvero per un terreno argilloso puramente coesivo, se D=0, q lim vale quasi tre volte q u , tensione principale massima a rottura nel caso di prova rapida non drenata a compressione semplice con espansione laterale libera. I fattori crescono molto rapidamente con l’angolo ϕ , specialmente oltre i 30°. In generale, evidentemente, q lim = q lim (c, ϕ, γ, D, B, L, forma)
vedremo in seguito alcuni casi specifici, trattati con approcci diversi.
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Eventuale presenza di falda Nel termine di attrito della relazione generale γ rappresenta il peso di volume del terreno sottostante la fondazione. Se la falda freatica si alza fino al piano campagna o ad una profondità minore di B dal piano di fondazione bisogna fare riferimento al peso di volume del terreno immerso: quindi nel caso di sabbia, ad esempio, la capacità portante è ridotta di circa il 50%.
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Terreni molto compressibili Quando ci si trova in presenza di terreni molto compressibili, come argille molli, limi molto sciolti, ecc., si può osservare che già prima di arrivare ad uno stato di equilibrio plastico diffuso nel terreno di fondazione si hanno fenomeni di rottura vicino alla fondazione e cedimenti considerevoli (rotture locali).
Quando ci si trova in presenza di terreni molto compressibili, come argille molli, limi molto sciolti,etc. si può osservare che già prima di arrivare a uno stato di equilibrio plastico diffuso del terreno di fondazione si hanno fenomeni di rottura vicino alla fondazione e cedimenti considerevoli (“rotture locali”). Per tener conto di questo fatto rottura generalizzata rottura locale ° Nc Nq Nγ N'c N'q N'γ Terzaghi ha proposto di assumere valori ridotti 5.7 1.0 0.0 5.7 1.0 0.0 della coesione e dell’angolo di attrito e 0° 5° 7.3 1.6 0.5 6.7 1.4 0.2 precisamente: 10° 9.6 2.7 1.2 8.0 1.9 0.5 c' = 2 3 c
e
tg ϕ ' = 2 3 tg ϕ
Se l’angolo di attrito è ϕ ' invece di ϕ i fattori di capacità portante assumono i valori ridotti N 'c , N 'q e N 'γ . La capacità portante è quindi data da: 1 q 'lim = c N 'c + q o N 'q + γ B N 'γ 2
15° 20°
12.9 17.7
4.4 7.4
2.5 5.0
9.7 11.8
2.7 3.9
0.9 1.7
25° 30° 34° 35°
25.1 37.2 52.6 57.8
12.7 22.5 36.5 41.4
9.7 19.7 35.0 42.4
14.8 19.0 23.7 25.2
5.6 8.3 11.7 12.6
3.2 5.7 9.0 10.1
40° 45° 48° 50°
95.7 172.3 258.3 347.5
81.3 173.3 287.9 415.1
100.4 297.5 780.1 1153.2
34.9 51.2 66.8 81.3
20.5 35.1 50.5 65.6
18.8 37.7 60.4 87.1
La tabella riporta i valori di N c , N q , N γ e di N 'c , N 'q , N 'γ
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L’uso dei valori ridotti N 'c , N 'q e N 'γ è però discutibile. È più rispondente al vero, per terreni molli e compressibili la teoria di Hansen che sarà trattata in seguito.
Fondazioni con forma diversa della superficie di appoggio
Quanto detto per la fondazione continua, relativa alla stabilità sul piano trasversale può essere esteso a fondazioni con diverse forme della superficie di appoggio con le seguenti espressioni semiempiriche: a) fondazione circolare di diametro B q lim,c = 1.3 c N c + q o N q + 0.6 γ B N γ b) fondazione quadrata di lato B q lim,q = 1.3 c N c + q o N q + 0.8 γ B N γ
c) fondazione rettangolare di larghezza B e lunghezza L > B B⎞ B⎞ B ⎛ ⎛ q lim,r = ⎜ 1 + 0.20 ⎟ c N c + q o N q + ⎜1 − 0.20 ⎟ γ N γ L⎠ L⎠ 2 ⎝ ⎝ Si osservi che nel caso di c = 0,
ϕ = 0 e D = 0 si ottiene: 19
q lim,c = q lim,q = 7.4 c = 3.7 q u
ovvero considerevolmente maggiore del caso della fondazione continua. Caso di carico inclinato
Supponiamo ora che il carico risulti inclinato con angolo delta rispetto alla verticale; in tal caso, per una fondazione continua, si ha (Meyerhof): q lim = ψ 2 ( c N c + q o N q ) + ψ 3 ⎛ 2δ ⎞ dove: ψ 2 = ⎜ 1 − ⎟ π ⎠ ⎝
1 γ B Nγ 2
2
e
⎛ δ⎞ ψ 3 = ⎜1 − ⎟ ⎝ ϕ⎠
2
si osservi che per δ = 0 si ottiene nuovamente la q lim per carico verticale e fondazione continua
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Caso di fondazione continua con carico eccentrico (secondo Meyerhof)
Per le fondazioni con carico eccentrico Meyerhoff ha proposto nel 1953 di attribuire alla fondazione una larghezza fittizia centrata sul carico pari a B' = ( B − 2e ) , considerando quindi che la parte di fondazione più lontana dal carico non contribuisca alla capacità portante. Posto ⎛B ⎞ B' = 2 ⎜ − e ⎟ = ( B − 2e ) : ⎝2 ⎠ si ha quindi: q lim = c N c + q o N q +
1 γ ( B − 2e ) N γ 2
1 ⎡ ⎤ Qlim = ( B − 2e ) q lim = ( B − 2e ) ⎢c N c + q o N q + γ ( B − 2e ) N γ ⎥ 2 ⎣ ⎦
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Caso di fondazione rettangolare con carico eccentrico con doppia eccentricità
La sezione reagente da considerare è il rettangolo ridotto di lati ⎛L ⎞ L ' = 2 ⎜ − e1 ⎟ = ( L − 2e1 ) ⎝2 ⎠ ⎛B ⎞ B' = 2 ⎜ − e 2 ⎟ = ( B − 2e 2 ) ⎝2 ⎠ ⎛ ⎛ B − 2e 2 ⎞ B − 2e 2 ⎞ B − 2e 2 + + − q lim,r = ⎜ 1 + 0.20 c N q N 1 0.20 Nγ ⎟ ⎜ ⎟ γ c o q − − L 2e L 2e 2 ⎝ ⎝ 1 ⎠ 1 ⎠ Nel caso generale di carico eccentrico e inclinato si potranno ancora usare i coefficienti di riduzione ψ 2 e ψ 3 già menzionati.
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Formula di Hansen Hansen (1970) propose una formula per la capacità portante nel caso generale, assieme alle espressioni dei fattori N.
Anche in questo caso i coefficienti di capacità portante sono stati ricavati considerando separatamente i contributi dovuti a , ϕ ' , c', γ ' .e sommando i suddetti contributi, seguendo la prassi introdotta da Terzaghi (se i contributi agiscono contemporaneamente, non potendosi escludere fenomeni di interazione a rigore non si potrebbe operare con una sovrapposizione degli effetti, anche se nella pratica corrente si ignora tale aspetto) Si tratta in sostanza di un’ulteriore estensione della prima formula di Meyerhof (1951). Le estensioni comprendono un fattore b, che tiene conto dell’eventuale inclinazione del piano di posa della fondazione sull’orizzontale, e un fattore g., per il caso in cui la fondazione poggi su di un terreno in pendenza. Un’ulteriore restrizione è ii ≥ 0 i; infatti un valore ii < 0 corrisponde a una fondazione instabile per la quale si rende necessario un nuovo dimensionamento prima di procedere. Nel caso di fondazioni su argilla con ϕ = 0 , si calcoli utilizzando a seconda dei casi H parallela a B e/o a L osservando che essa compare come costante negativa nella formula modificata della capacità portante. Si noti che, quando la base è inclinata, V e H indicano rispettivamente le componenti del carico parallela e perpendicolare alla base, come nel caso in cui la base è orizzontale.
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Per fondazioni in pendenza, si usano dei fattori g. per ridurre la capacità portante; questi fattori, tuttavia, vanno usati con cautela, in quanto confortati da scarsi dati sperimentali. La formula di Hansen vale per un rapporto D/B qualunque e può pertanto essere usata per fondazioni sia superficiali che profonde (pali e pozzi trivellati). Dall’esame del termine ?lNq si vede che a una profondità elevata corrisponderebbe un forte aumento di Per ridurre tale aumento, Hansen introdusse i seguenti fattori:
In tal modo si ha una discontinuità per D/B = 1; si noti peraltro l’uso di ≤ e > Si può osservare che, usando tan-1 D/B per D/B> 1, si riduce l’aumento di dc e dq; ciò concorda con le osservazioni sperimentali, in base alle quali qlim sembra raggiungere un valore limite per un certo rapporto D/B, corrispondente a un valore di D detto profondità critica.
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Formule di Vesić Il metodo di Vesić (1973, 1974) coincide essenzialmente con quello di Hansen. Le principali differenze tra i due metodi consistono nell’uso di coefficienti N leggermente diversi e in una modifica di alcuni tra i fattori di Hansen i, b, e g•, caratterizzati dall’indice. Si osservi che alcuni dei coefficienti di Vesić sono meno conservativi di quelli di Hansen
L’espressione generale, simile nella forma a quella di Terzaghi introduce tutta una gamma di coefficienti correttivi che tengono conto di vari fattori, discussi nel seguito
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Coefficienti s I coefficienti di capacità portante sono stati ricavati nell’ipotesi di fondazione infinitamente lunga (problema piano nelle deformazioni). Se la fondazione ha dimensioni B e L (con B < L), i risultati andrebbero corretti secondo Meyerhof (1963) tramite dei coefficienti di forma (superiori all’unità perché si passa da un meccanismo piano a uno tridimensionale)
Coefficienti d Se la base della fondazione è posta a una profondità pari a D, volendo tener conto del contributo della resistenza al taglio presente in tale zona andrebbero introdotti i seguenti coefficienti di profondità (Brinch Hansen, 1970; De Beer e Ladanyi, 1961; Vesic, 1973).
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Coefficienti i La presenza di una componente orizzontale H di elevata intensità può produrre rottura per semplice scorrimento. Se si esclude tale eventualità, in ogni caso occorre tener conto, della marcata riduzione della capacità portante rispetto al caso relativo al carico verticale. Vesic (1973) suggerisce di introdurre i seguenti coefficienti correttivi
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Coefficienti b Sempre in presenza di elevata componente orizzontale, si ricorre talora all’adozione di una fondazione inclinata. La soluzione esatta è stata ottenuta per il caso mostrato in figura da Brinch-Hansen (1970), nell’ipotesi di terreno privo di peso, e fornisce il coefficiente
Viene inoltre suggerito di assumere bγ = bq, e di adottare per bc una espressione analoga a quella del coefficiente di profondità:
Coefficienti g Analogamente, nel caso di piano campagna inclinato (vedi figura) Brinch-Hansen (1970) ha ottenuto:
e valgono considerazioni analoghe a quelle svolte nel punto precedente per quanto concerne i coefficienti g, g.
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Caso di carico eccentrico Infine, nel caso di carico eccentrico, il valore della dimensione B della fondazione da introdurre in tutte le precedenti formule dovrebbe corrispondere, secondo Meyerhof (1953), a quello relativo alla minima superficie rispetto alla quale il carico risulta centrato. Nel caso ad esempio di fondazione rettangolare si avrebbe pertanto
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Confronti tra i metodi (cfr. Bowles)
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