1. AGREGAT: KRUPNOA ZRNA, FRAKCIJE I GRANULOMETRIJSKI GRANULOMETRIJSKI SASTAV
agregatu (frakcija (frakcija 1.) za beton beton ima ima 12% zrna krupnoe do 0,125 mm, dok je za 1.17 U sitnom agregatu d ≥ 0,25 mm granulometrijska kriva tog agregata (u kome nema nadmerenih zrna), definisana funkcijom Y=100 ⋅(d/D)0,55. Krupan agregat, pak, definisan je na sledei na#in: - frakcija 2. (4/8 mm): - frakcija 3. (8/16 mm): - frakcija 4. (16/31,5 mm):
podmerena zrna 10%, nadmerenih zrna nema; podmerenih podmerenih zrna nema, nadmerenih zrna nema; podmerena zrna 10%, nadmerenih zrna nema.
a) Sastaviti granulometrijsku granulometrijs ku kompoziciju agregata za beton tako da ona zadovolji slede e uslove: - u mešavini ima 40% agregata sa zrnima krupnoe do 4 mm; - u mešavini ima 10% zrna sa s a krupnoom 4-8 mm; - u mešavini ima 20% zrna sa s a krupnoom 8-16 mm. Sve granulometrijske granulometrijske krive k rive (linije prosejavanja) koje figurišu u okviru zadataka prikazati na istom dijagramu. dijagramu. b)
Ako su zapreminske zapreminske mase mase predmetnih predmetnih frakcija agregata slede sledee: - frakcija 1. - 1520 kg/m 3, - frakcija 2. - 1515 kg/m 3, - frakcija 3. - 1505 kg/m 3, - frakcija 4. - 1485 kg/m 3,
kolika e biti procentualna u #eša pojedinih frakcija u mešavini x i , pod uslovom da se njihovo doziranje ne vrši prema masi, ve prema zapremini?
REŠENJE: Za frakciju 0/4 mm, tj. za 0,25 ≤ d ≤ 4 je 0, 55 d Y = 100⋅ 4
a)
d (mm) 0,25 0,5 1,0 2,0 4,0
Y (%) 21,8 31,9 46,6 68,3 100 100
100 Kriva 1
80
Kriva 2 Kriva 3
) 60 % ( Y
70
68
Kriva 4 Kriva M 47
50
40
40
32 26
22
20
18
12 5
0 0.125
9
0.25 0.
10
12
0.5
1
2
4
10
8
16
d (mm)
Y4 = 40 % Y8 = 50 % Y16 = 70 %
100⋅x1 + 10⋅x2 100⋅x1 + 100 ⋅x2 100⋅x1 + 100⋅x2 + 100⋅x3 + 10⋅x4 x1 + x2 + x3 + x4 50 + 100⋅x3 + 10⋅x4 = 70 0,5 + x3 + x4 = 1,0 ⇒ 100⋅x3 + 5 - 10⋅x3 = 20 ⇒ x1 + 4 - 10⋅x1
= 0,5 ⇒
= 40 = 50 = 70 = 1
⇒ x2 = 4 - 10⋅x1 ⇒ x1 + x2 = 0,5
x4 = 0,5 - x3 x3 = 0,167 (16,7%) x 4 = 0,333 (33,3%) x1 = 0,389 (38,9%) x 2 = 0,111 (11,1%)
31.5
Frakcija 0/4 4/8 8/16 16/31,5 0,389×(1.) 0,111×(2.) 0,167×(3.) 0,333×(4.) Y(%)
b)
d (mm) 2 68 0
4 100 10
0,125 12
0,25 22
0,5 32
1 47
4,7
8,6
12,4
18,3
26,4 0
38,9 1,1
4,7
8,6
12,4
18,3
26,4
40,0
V1 =
8 100 100 0 0 38,9 11,1 0 0 50,0
16 100 100 100 10 38,9 11,1 16,7 3,3 70,0
31,5 100 100 100 100 38,9 11,1 16,7 33,3 100
389 111 167 333 , V2 = , V3 = , V4 = 1520 1515 1505 1485
∑ V = 0,256 + 0,073 + 0,111 + 0,224 = 0,664 xi =
Vi V
∑
x 1 = 0,386 (38,6%) , x 2 = 0,110 (11,0%) , x 3 = 0,167 (16,7%) , x 4 = 0,337 (33,7%) Zaklju #ak: vrednosti procentualnih u #eša sra#unatih prema zapremini ( x i ) se prakti#no poklapaju sa vrednostima istih tih u#eša prema masama (x i).
Za atheziono prednapregnut nosa # sa popre#nim presekom i detaljima armature 1.20 prikazanim na priloženoj skici, odrediti sledee: a) Veli#inu nominalno najkrupnijeg zrna agregata D u sastavu betona za izvo %enje predmetnog nosa#a. Ovaj deo zadatka rešiti na bazi odgovaraju ih odredaba BAB-a 87. Pretpostavljajui da na raspolaganju stoje standardne frakcije agregata 0/4, 4/8, itd., na osnovu izra#unate veli#ine D usvojiti broj frakcija za spravljanje predmetnog betona. 18 5.5
7
5.5
3x3Ø3mm 6mm 6 4
3.5 3 1
1 3
3Ø3mm
Ø6/20
8 r
14.5 3.5
0 2
2Ø6
6
6
6
6
1 3
0 4
5
lg=59.5cm
Ø6/20 4
3.5
6
3.5
r
14.5
2.5
8
6mm
5x3Ø3mm 4x3.25
1 m 3 c 8 9 = g l
1 3
6 3
1 3
3 1
3Ø3mm
5 . 2
6 6
lg=59.5cm
Ø6/20
r= 2. 5
r=2.5
5 . 2
2.5
18
b) Veli#inu zrna Dmax polazei od uslova koji proisti#u iz efekta rešetke i efekta zida, ako se radi o re#nom agregatu. c) Sastav mešavine agregata za predmetni beton polaze i od uslova da u toj mešavini bude 50% sitnog agregata i da ordinata granulometrijske krive te mešavine za d=8 mm ima vrednost koja odgovara EMPA krivoj. Pri rešavanju ovog dela zadatka uzeti u obzir da su frakcije 0/4 mm i 4/8 mm definisane putem priložene tabele, dok ostale frakcije koje dolaze u obzir za primenu nemaju podmerenih zrna, a koli#ine nadmerenih zrna u njima iznose 2%. Frakcija 0/4 -Y (%) 4/8 -Y (%)
0,25 18 0
0,5 52 0
1 72 0
d (mm) 2 92 3
4 96 12
8 100 94
16 100 100
d) Nacrtati granulometrijske krive svih frakcija koje se primenjuju, kao i granulometrijsku krivu dobijene mešavine. Da li dobijena mešavina agregata ispunjava uslov koji se odnosi na veli#inu Dmax prema ta#ki b)?
REŠENJE: a) e1 = 7 − 4⋅0,6 = 7 − 2,4 = 4,6 cm e2 = 3,25 − 0,6 = 2,65 cm = e min D ≤ 1,25⋅emin ⇒ D ≤ 1,25⋅2,65 = 3,3cm 6,0 D≤ = 2,0cm 3 7,0 D≤ = 1,75cm 4 b)
Efekat rešetke:
Usvojeno: D = 16 mm Beton treba spravljati na bazi
⇒
trofrakcijskog agregata 0/4, 4/8 i 8/16 mm!
a = 2,65 cm b = 20,0 cm ρ
=
2,65 ⋅ (20 − 0,6) = 1,166 ≅ 1,17 2 ⋅ (2,65 + 20 − 0,6)
Dmax ≤ Er ⋅ρ
(Er = 1,4)
Dmax ≤ 1,4⋅1,17 = 1,64 cm Efekat zida: 18 + 7 0,6 2 ⋅ 3,14 V = 2 ⋅ (18 ⋅ 6 + ⋅ 4) + 20 ⋅ 7 ⋅ 100 − 5 ⋅ 2 ⋅ 59,5 ⋅ 2 4 0,6 2 ⋅ 3,14 0,6 2 ⋅ 3,14 0,3 2 ⋅ 3,14 − 5 ⋅ 98 ⋅ − 2 ⋅ 100 ⋅ − 8 ⋅ 3 ⋅100 ⋅ 4
4
4
V = 45600 − 168 − 138 − 56 − 170 = 45 068 cm3 S = 18 ⋅100 + 4⋅6⋅100 + 4⋅6,8⋅100 + 2⋅20⋅100 + 5⋅2⋅59,5⋅0,6⋅3,14 + + 5⋅98⋅0,6⋅3,14 + 2 ⋅100⋅0,6⋅3,14 + 8 ⋅3⋅100⋅0,3⋅3,14 S = 1800 + 2400 + 2720 + 4000 + 1121 + 923 + 377 + 2261 S = 15 602 cm2
Dmax ≤ Ez⋅R = Ez ⋅ Dmax ≤ 0,9⋅
c)
V S
(Ez = 0,9)
45068 = 2,60 cm 6238
Uslovi:
Y(4) = 50,0 % 8 8 Y(8) = 50 ⋅ ( + ) = 60,35 % 16 16 96⋅x1 + 12⋅x2 = 50,00 100⋅x1 + 94⋅x2 = 60,35 x1 + x2 + x3 = 1,00
(1) (2)
/:12 /:94
_________________________________
8⋅x1 + x2 = 4,167 1,064⋅x1 + x2 = 0,642
_________________________________
6,936⋅x1 = 3,525
⇒
x1 = 0,508 (50,8 %)
x2 = 4,167 - 8⋅0,508
⇒
x2 = 0,103 (10,3 %)
x3 = 1 - 0,508 - 0,103
⇒
x3 = 0,389 (38,9 %)
d (mm) Yi,1 (%) Yi,2 (%) Yi,3 (%) x1⋅Yi,1 x2⋅Yi,2 x3⋅Yi,3 YM (%) Zaokr.
0,25 18
0,5 52
9,14
26,42
9,14 9
26,42 26
1 72 0
2 92 3
4 96 12
36,58 0
46,74 0,31
48,77 1,24
36,58 37
47,05 47
50,01 50
8 100 94 0 50,80 9,68 0 60,48 60
16 100 100 98 50,80 10,30 38,12 99,22 99
31,5 100 100 100 50,80 10,30 38,90 100 100
d) 99
100 96
90
94
100
98
92
80
) % ( Y
Kriva I
72
70
Kriva II
60 50
37
30
10
Kriva M
50
47
40
20
Kriva III
60
52
26 18
12
9
3
0 0.25
0.5
1
2
4
8
16
31.5
d (mm)
∆D 100
1
100
90 99
) 80 % ( Y 70
1 ∆D = 16 − 8 39
39
60
∆D = 0,205 mm
50 8
16
31.5
d (mm)
Dmax = 16 + 0,205 = 16,205 mm ≈ 16,2 mm < 16,4 mm Prema tome, usvojeno zrno D=16 mm, odnosno data mešavina agregata, u potpunosti zadovoljava uslove propisane BAB-om 87, kao i uslove koji proisti#u na osnovu efekta rešetke i efekta zida.
2. PROJEKTOVANJE SASTAVA BETONSKIH MEŠAVINA Montažni (prefabrikovani) stubovi jedne otvorene hale-nadstrešnice izvode se od betona 2.3 MB 45, koji se spravlja sa cementom klase 45. Broj stubova (videti priloženu skicu) u okviru objekta je 14 komada. Beton o kome je re#, spravlja se uz dodatak aeranata u koli #ini od 0,4% koji, osim obezbe%enja potrebne poroznosti betona (p), proizvodi i efekat plastifikatora. Na priloženom dijagramu mogu se sagledati ukupni efekti ovog dodatka betonu.
a) Sastaviti recepturu za sprovo%enje prethodnih ispitivanja predmetog betona koriste i formulu Skramtajeva (za normalan kvalitet materijala), pretpostavljaju i da se radi o betonu koji u svežem ugra%enom stanju ima zapreminsku masu od 2330 kg/m 3, pri #emu su specifi#ne mase agregata i cementa 2680 kg/m3 i 2970 kg/m3. S obzirom na primenu aeranta, kojoj ekvivalentnoj koli#ini vode u odnosu na konzistenciju mešavine odgovara dobijena ra #unska vrednost m v?
b) Pod pretpostavkom da se pri betoniranju predmetnih stubova koristi mešalica za beton sa koeficijentom izlaza betonske mešavine k i = 0,7 sra#unati koliko iznose ukupne koli#ine pojedinih komponentnih materijala (u kg) i koji je odnos zapremine upotrebljenog agregata prema ukupno potrebnoj zapremini betona ? Prilikom rešavanja ovog dela zadatka uzeti u obzir da je zapreminska masa cementa 1650 kg/m3, a zapreminska masa mešavine agregata (u zbijenim stanju) 1450 kg/m 3.
REŠENJE: a)
Osnovni ulazni podaci:
MB 45 , PC 45, D = 31,5 mm
f k,28= 45 + 8 = 53 MPa Prema formuli Skramtajeva: 1 - za ω ≥ 0,4: 53 = 0,60⋅ 45⋅ − 0,5 ⇒ ω = 0,406 → Ovaj rezultat ω je merodavan 1 - za ω ≤ 0,4: 53 = 0,40⋅ 45⋅ + 0,5 ⇒ ω = 0,409
ω
maer = 0,4% ⇒ redukcija vode iznosi 8%
ω =
mV = 0,406 ⇒ mv = 0,406⋅mc mC
mv mv ma + + = 1 - 0,04 1000 0,406 × 2970 2680 mv mv + + m a = 2330 0,406 1,829⋅10-3 ⋅mv + 0,373⋅10-3 ⋅ma = 0,96 3,463⋅mv + ma = 2330 ⇒ ma = 2330 - 3,463⋅mv 1,829⋅10-3 ⋅mv + 0,373⋅10-3 ⋅ (2330 - 3,463⋅mv) = 0,96 1,829⋅10-3 ⋅mv - 1,292⋅10-3 ⋅mv = 0,96 - 0,8691 0,537⋅10-3 ⋅mv = 0,0909 mv ≅ 169 kg/m3
S obzirom na primenu aeranta, dobijena koli #ina vode u odnosu na konzistenciju ekvivalentna je koli#ini vode: mv,ekv = 169/0,92 = 183,7 ≅ 184 kg/m3 mc = 169/0,406 ≅ 416 kg/m3 ma = 2330 - 416 - 169 = 1745 kg/m3 ma/mc = 1745/416 = 4,195
b)
Zapremina betona u jednom stubu: VS1 = 0,2 ⋅ 0,2 ⋅ 2,00 + 0,2 ⋅ 0,4 ⋅ 4,00 + 0,2 ⋅ 0,2 ⋅ 0,3 = 0,412 m3 VS = 14⋅ 0,412 = 5,768 m3
Za 14 stubova:
k i = 0,7 Mc
γ c
+
4,195M c
γ a
=
5,768 0,7
Mc ≅ 2355 kg
⇒
M c 4,195M c + = 8,24 1650 1450
⇒
Ma = 4,195⋅2355 ≅ 9879 kg
Mv = 0,406⋅2355 = 956 kg Maer = 0,004⋅2355 = 9,42 kg Va = 9879/1450 = 6,813 m3 Va/Vs = 6,813/5,768 ≅ 1,18
⇒
potrebno je ≈ 18 % više agregata po zapremini, nego što je potrebno betona !
2.10 Za spravljanje betona marke MB 25 koristi se cement klase 45 (γ sc = 3000 kg/m3) i 3 #etvorofrakcijski agregat sa specifi # nom masom γ sa = 2700 kg/m . Predmetni beton se izra%uje sa koli#inom vode koja je definisana putem obrasca
mv = 400/ 5 D (u kg/m3, za D u mm). a) Sastaviti recepturu za predmetni beton polazei od pretpostavke da se radi o betonu kategorije B.I prema pravilniku BAB-87 i da je v p = 0. b) Sastaviti recepturu za isti beton pretpostavljajui da je re# o betonu kategorije B.II prema BAB-87, pri #emu koristiti Fereov obrazac oblika f k,28 = f k,28(mv/mc). Beton se i u ovom slu#aju ugra%uje bez zaostalog vazduha (v p = 0). c) Kolika se razlika – ušteda – u koli#ini cementa (po apsolutnoj vrednosti i u procentima) dobija pri tretiranju predmetnog betona kao betona kategorije B.II u odnosu na slu #aj kada se on tretira kao beton kategorije B.I. d) Koja se marka betona može dobiti sa koli#inom cementa i koli#inom vode pod a), ako se taj slu#aj betona tretira na principima koji važe za beton kategorije B.II?
REŠENJE: a)
MB pr = 25 MPa B.I
400 400 = = 201 kg/m3 0 , 2 5 31,5 31,5 mc = 0,9⋅350 = 315 kg/m3 mv =
ma 315 201 + + =1 2700 3000 1000
ma = 2700 ⋅(1 - 0,105 - 0,201) ma = 1874 kg/m3
γ b,sv = 1874 + 315 + 201 = 2390 kg/m3
b)
B.II
f k,28 = 25 + 8 = 33 MPa mv = 201 kg/m3 33 =
320 2 1 + ω ⋅ 3000 1000
(1 + 3⋅ω)2 = 9,697 1 + 3⋅ω = 3,114
ω = 0,705 ⇒ mc = 285 kg/m3 ma 285 201 + + =1 2700 3000 1000
ma = 2700 ⋅(1 - 0,095 - 0,201) = 1901 kg/m3
γ b,sv = 1901 + 285 + 201 = 2387 kg/m3 c)
Ušteda na koli#ini cementa u odnosu na beton kategorije B.I
∆mc = 315 - 285 = 30 kg/m3 U procentima :
d)
30 ⋅ 100 ≅ 9.5% 315
mc = 315 kg/m3 , mv = 201 kg/m3 201 = 0,638 315 320 f k,28 = (1 + 3 ⋅ 0.638)2
ω=
f k,28 = 37,7 MPa f k,28 = MB pr + 8 37,7 = MB pr + 8 MB pr = 29,7 ≅ 30
3. ISPITIVANJE SVOJSTAVA BETONA Prilikom probnih ispitivanja jednog betona na#injeno je ukupno šest uzoraka oblika kocki 3.5 sa ivicama 20 cm. Tri kocke su negovane u vodi temperature 10 oC i ispitivane pri starosti od sedam dana (ispitivanje 1.), dok su druge tri kocke negovane u vodi temperature 20 oC i ispitivane na 28 dana (ispitivanje 2.). U prvom slu #aju pri ispitivanju su dobijene sile loma uzoraka od 1150 kN, 1270 kN i 1220 kN, dok su u drugom slu#aju sile loma uzoraka bile 1920 kN, 1860 kN i 2070 kN. a) Na osnovu rezultata ispitivanja koji se odnose na starost betona od 28 dana, a polazei od odredaba BAB-a 87 (slu #aj uhodane proizvodnje), utvrditi da li predmetni beton zadovoljava uslove predvi%ene za marku betona MB 40. b) Koristei koncept zrelosti betona, a pretpostavljaju i da važi linearna zavisnost izme %u # vrstoe betona f k i veli #ine ln M, na bazi ispitivanja 1. i 2. definisati zavisnost f k = f k (ln M). c) Ako se pretpostavi da je predmetni beton ugra%en u jedan gredni element, koje vrednosti zrelosti M ovog betona odgovaraju #vrstoama koje su prema BAB-u 87 propisane kao uslovi za: - uklanjanje vertikalnih delova oplate, - prestanak nege betona, - uklanjanje horizontalnih delova oplate. d) Ako se kao funkcija promene temperature ambijenta oko posmatranog elementa kroz vreme usvoji priloženi dijagram, koliko dugo (izraženo u danima) treba da se neguje (da odležava) dati beton, da bi se ostvarili uslovi #vrstoa prema ta#ki c) (dobijene rezultate zaokružiti ″na više″). 12
10
10 8 ) C o ( T
6
6
6
5
4 2
2 0
0 -2 -4
1
3
2
4
5
-1 -3
1
7
8
9
6
10
-1 -2 t (dani)
-3
11 12
13
REŠENJE: a) Ispitivanje
Uslovi nege
1.
T = 10°C t = 7 dana
2.
T = 20°C t = 28 dana
Pgr (kN) 1150 1270 1220 1920 1860 2070
f k (MPa)
M (°C⋅dan)
30,33
140
m3 = 48,75 x1 = 46,50
840
48,75 > 40 + 3 = 43 , 46,50 > 40 - 3 = 37 ⇒ zadovoljen je uslov za MB 40. b)
f k = 30,33 +
48,75 − 30,33 ⋅ (ln M − 4,9416) 1,7918
f k = 30,33 + 10,2802⋅lnM - 50,8005 f k = 10,28⋅lnM - 20,47 lnM =
f k + 20,47 10,28
c) - Uslov uklanjanja vertikalnih delova oplate: 0,3MB = 12 MPa = f k ⇒ M = 23,54°C⋅dan - Uslov nege: 0,6MB = 24 MPa = f k ⇒ M = 75,63°C⋅dan - Uslov uklanjanja horizontalnih delova oplate: 0,7MB = 28 MPa = f k ⇒ M = 111,61°C⋅dan d) 12 10 8 6 4 ) C 2 o ( T 0 -2 -4 -6 -8 -10
10 6
6
5 1
0
4 3
2
1
2
1
(15) ( 10)
(11)
10
-1
-2
(9) ( 11)
(7)
9
6
5
-1 -3
(16)
8
7
11
12
-3
(8)
(7)
(9) ( 12) (16)
(20)
t (dani)
160 151
140 120
M =111.61
) 100 n a d 80 o C ( 60 M 40
M =75.63
131
posle cca 11 dana
115 posle cca 7 dana
87
94
103
79 68
57 M =23.54
41
31
48
posle cca 2 dana
20
16
0 0
1
2
3
4
5
6
7
t (dani)
8
9
10
11
12
13
3.13 Moduli elasti #nosti tri betona (1. , 2. i 3.), za slu#aj starosti od 28 dana, ispitivani su saglasno šemi i podacima datim na priloženoj skici. Srednje vrednosti grani #nih sila (sila loma) ovih betona, prethodno dobijene ispitivanjem tri prizme dimenzija 12 ×12×36 cm, kao i veli#ine ∆l u hiljaditim delovima milimetra (srednje vrednosti promene dužine merne baze l o, merene pomou #etiri deformetra postavljena na bo #nim površinama svake prizme), tako%e dobijene sprovo%enjem merenja na tri prizme, date su u priloženoj tabeli.
Vrsta betona 1. 2. 3.
Pgr,28 (kN) 243 381 519
Merenje - prizma 1 2 3 26 28 25 37 39 36 49 50 53
a) Na bazi datih eksperimentalnih veli#ina odrediti module elasti#nosti E betona 1. , 2. i 3. , kao i #vrstoe istih betona svedene na uzorak oblika kocke sa ivicama dužine 20 cm (f k,28). b) Odrediti module elasti#nosti istih betona 1. , 2. i 3. koristei empirijski obrazac dat u BAB-u 87, a izra#unati tako%e i odstupanja dobijenih eksperimentalnih vrednosti modula elasti#nosti u procentima u odnosu na veli#ine prema BAB-u. c) Koristei metodu najmanjih kvadrata, odrediti izraze za prave linije E = E (f k,28) koje najbolje aproksimiraju rezultate eksperimentalnog ispitivanja modula elasti#nosti betona i vrednosti modula elasti #nosti izra#unate prema BAB-u 87. Za koje vrednosti modula elasti#nosti (da li za eksperimentalne ili za one prema BAB-u) prava linija predstavlja bolju aproksimaciju?
REŠENJE: a)
σd = Vrsta betona 1. 2. 3.
10 ⋅ 10 = 0,694 MPa 144 Pgr,28 (kN) 243 381 519
f p,28 (MPa) 16,875 26,458 36,042
∆ε = ∆l lo
Beton 1:
σd
σg = σg
(MPa) (MPa) 0,694 5,625 0,694 8,819 0,694 12,014
f p, 28 (MPa) 3
Merenje - prizma 1 2 3 26 28 25 37 39 36 49 50 53
f k,28 = 1,25⋅f p,28
1 10 −3 = 176⋅10−6 mm/mm ∆ε = ⋅ (26 + 28 + 25) ⋅ 3 150 f k,28 = 21,09 MPa E=
Beton 2:
5,625 − 0,694 6 ⋅10 = 28 017 MPa ≈ 28,02 GPa 176
1 10 −3 ∆ε = ⋅ (37 + 39 + 36) ⋅ = 249⋅10−6 mm/mm 3 150 f k,28 = 33,07 MPa E=
Beton 3:
8,819 − 0,694 6 ⋅ 10 = 32 630 MPa = 32,63 GPa 249
1 10 −3 = 338⋅10−6 mm/mm ∆ε = ⋅ (49 + 50 + 53) ⋅ 3 150 f k,28 = 45,05 MPa E=
12,014 − 0,694 6 ⋅ 10 = 33 491 MPa ≈ 33,49 GPa 338
E=
σg − σd ∆ε
b)
EBAB = 9,25⋅ 3 f k ,28 + 10
Prema BAB-u 87:
Beton 1:
EBAB = 9,25⋅ 3 31,09 = 29,08 GPa
∆ =
28,02 − 29,08 ⋅ 100 = −3,6 % 29,08
Beton 2:
EBAB = 9,25⋅ 3 43,07 = 32,42 GPa
∆=
32,63 − 32,42 ⋅ 100 = 0,6 % 32,42
Beton 3:
EBAB = 9,25⋅ 3 55,05 = 35,19 GPa
∆=
33,49 − 35,19 ⋅ 100 = −4,8 % 35,19
c)
Metoda najmanjih kvadrata - MNK (linearna zavisnost): f k,28 → p E → x Koeficijenti u jedna#inama MNK dati su u okviru naredne tabele.
Σ =
xi
pi
(pi)2
21,09 33,07 45,05 99,21
444,79 1093,62 2029,51 3567,92
(Eksperim.)
xi
(BAB 87)
xi,EX× pi
xi,BAB× pi
28,02 32,63 33,49 94,14
29,08 32,42 35,19 96,69
590,94 1079,07 1508,73 3178,74
613,30 1072,13 1585,31 3270,74
Prema rezultatima eksperimentalnog ispitivanja dobija se: 3567,92 ⋅a1 + 99,21⋅a2 = 3178,74 99,21⋅a1 + 3⋅a2 = 94,14 35,96⋅a1 + a2 = 32,04 33,07⋅a1 + a2 = 31,38 2,89⋅a1 = 0,66 a1 = 0,228 a2 = 23,84
1 (3178,74 − ⋅ 99,21 ⋅ 94,14) 2 4294,207 3 = 0,8644 r 2 = = 1 1 287 , 045 17 , 307 ⋅ 2 2 (3567,92 − ⋅ 99,21 ) ⋅ (2971,42 − ⋅ 94,14 ) 3 3 r = 0,9297 Prema BAB-u 87 dobija se: 3567,92 ⋅a1 + 99,21⋅a2 = 3270,74 99,21⋅a1 + 3⋅a2 = 96,69 35,96⋅a1 + a2 = 32,97 33,07⋅a1 + a2 = 32,23 2,89⋅a1 = 0,74 a1 = 0,256 a2 = 23,76 1 (3270,74 − ⋅ 99,21 ⋅ 96,69) 2 5358,489 3 = 0,9972 r 2 = = 1 1 287 , 045 18 , 721 ⋅ 2 2 (3567,92 − ⋅ 99,21 ) ⋅ (3135,04 − ⋅ 96,69 ) 3 3 r = 0,9986
⇒
Dakle, izraz po BAB-u bolje odgovara pravoj liniji nego rezultati eksperimentalnih ispitivanja (s obzirom da je koeficijent regresije r bliži jedinici)
4. PROBLEMI IZ UŽE OBLASTI TEHNOLOGIJE BETONA Na jednom gradilištu u žarkom klimatu na raspolaganju stoje agregat, cement i voda sa 4.5 temperaturama koje imaju slede e vrednosti: T a = 40°C, Tc = 35oC, Tv = 24oC. a) Kolika e biti temperatura betonske mešavine neposredno po spravljanju, ako se koriste komponente betona sa napred datim temperaturama, a pod pretpostavkom da je ma = 1891 kg/m3, mc = 315 kg/m3, mv = 189 kg/m3. b) Kolika treba da bude temperatura vode da bi se sa napred datim koli #inama ma, m c i mv i sa temperaturama T a i Tc dobila po#etna temperatura svežeg betona od 29 °C. c) Pod pretpostavkom da se koristi voda sa temperaturom 10 °C nižom od napred navedene, a da su temperature agregata i cementa iste kao ranije, izra #unati koliko leda treba upotrebiti pri spravljanju predmetnog betona, da bi on neposredno po završetku mešanja, imao temperaturu od 29°C. d) Ako je kapacitet mešalice u kojoj se spravlja predmetni beton 850 litara, izra#unati koliko treba upotrebiti agregata, cementa, vode i leda (bazirano na uslovima iz ta #ke c), da bi se dobila data koli#ina svežeg betona. e) Ako zagrejanost pojedinih komponenata betona odgovara slu #aju pod c), izra#unati koliko u mešalicu navedenu pod d) treba uneti leda (u kg) da bi se temperatura mešavine snizila za 1 °C, odnosno za koliko se snižava temperatura mešavine (u °C), ukoliko se u mešalicu unese koli #ina leda od 1 kg.
REŠENJE : ma = 1891 kg/m3 , Ta = 40°C mc = 315 kg/m3 , Tc = 35°C mv = 189 kg/m3 , Tv = 24°C
a)
T bo =
0,2 ⋅ (40 ⋅ 1891 + 35 ⋅ 315) + 24 ⋅ 189 21869 = 0,2 ⋅ (1891 + 315) + 189 630,2
T bo = 34,7°C b) 0,2 ⋅ (40 ⋅ 1891 + 35 ⋅ 315) + 189 ⋅ Tv 0,2 ⋅ (1891 + 315) + 189 17333 + 189 ⋅ Tv 29 = 630,2 18275,8 = 17333 + 189 ⋅Tv 29 =
T v ≅ 5°C
Tv′ = 14°C
c)
0,2 ⋅ (40 ⋅1891 + 35 ⋅ 315) + (189 − m l ) ⋅ 14 − 80 ⋅ m l 0,2 ⋅ (1891 + 315) + 189 17333 + 2646 − 14 ⋅ m l − 80 ⋅ m l 29 = 630,2 18275,8 = 19979 - 94 ⋅ m l 29 =
m l = 18 kg/m3 d)
Da bi se dobila koli#ina betona od 0,85 m3 (kapacitet mešalice) treba upotrebiti: agregata: 0,85⋅1891 ≅ 1607 kg cementa: 0,85⋅315 ≅ 268 kg vode: 0,85⋅(189-18) ≅ 145,3 kg ≅ 15,3 kg leda: 0,85 ⋅18
e) T bo =
19979 − 94 ⋅ m l 630,2
T bo = 31,703 - 0,149⋅ml dT bo ∆T = −0,149 ⇒ bo = −0,149 dm l ∆m l
∆T bo = −1 ⇒ ∆M l =
0,85 = 5,7 kg 0,149
Zna#i, da bi se temperatura svežeg betona snizila za 1 °C, treba u mešalicu ubaciti 5,7 kg leda. 0,149 ∆M l = 1kg ⇒ ∆T bo = − ≅ −0,18° C 0,85 Zna#i da 1 kg leda unet u mešalicu snižava temperaturu mešavine za cca 0,18 °C.
4.6
Betoni ozna#eni sa ″1″, ″2″ i ″3″ zaparivani su na sledee na#ine:
- ″1″ je posle odležavanja u trajanju od 1h na temperaturi 15 oC zagrevan do 75oC brzinom od 20oC/h, da bi posle odre%ene izotermije bio hla%en do 15°C brzinom od 15oC/h; ukupno vreme trajanja zaparivanja (uklju #ujui i odležavanje) iznosilo je 11h; - za beton ″2″ važi sve isto kao za ″1 ″, s tim što postoji razlika u ukupnom vremenu trajanja procesa, koje u konkretnom slu#aju iznosilo 13h; - za beton ″3″ važi sve isto kao za ″1″, s tim što postoji razlika u ukupnim vremenu trajanja procesa, koje u konkretnom slu#aju iznosilo 15h. a) Definisati zavisnost oblika f k =f k( M), gde je M ″zrelost″ zaparivanog betona definisana u vidu površine izme%u apscisne ose i linije koja se naziva ″režimom zaparivanja ″, i #vrstoe betonske kocke f k koja odgovara završetku procesa zaparivanja; predmetne #vrstoe betona su f k1=16,9 MPa (za ″zrelost″ M1), f k2=20,7 MPa (za ″zrelost″ M2) i f k3=25,4 MPa (za ″zrelost″ M3). Navedena funkcionalna zavisnost treba da je u vidu prave linije definisane metodom najmanjih kvadrata. b) Koristei funkcionalnu zavisnost dobijenu pod a), izra #unati vrednost M koja treba da bude zadovoljena da bi beton po završetku procesa zaparivanja imao manipulativnu #vrstou f k= 22,5 MPa.
c) Koliko treba da bude ukupno vreme trajanja procesa zaparivanja (uklju #ujui i fazu odležavanja) da bi se ostvarila #vrstoa f k= 22,5 MPa, ako se primene iste brzine zagrevanja i hla%enja kao u dosadašnjim slu#ajevima, uz uslov da je temperatura izotermije 90 oC? d) Koliko treba da bude ukupno vreme trajanja procesa zaparivanja (uklju #ujui i fazu odležavanja) da bi se ostvarila #vrstoa f k= 22,5MPa, ako se primene iste brzine zagrevanja i hla%enja kao u dosadašnjim slu#ajevima, uz uslov da je temperatura izotermije 60 oC?
REŠENJE: a)
M1 = 11⋅15 + [(11 - 1) + (7 - 4)]⋅
75 − 15 = 165,0 + 390,0 = 555,0 °Ch 2
M2 = 555 +2⋅60 + 2 ⋅15 = 705,0 °Ch M3 = 705 +2⋅60 + 2 ⋅15 = 855,0 °Ch
f k → x ; M→ p
∑ p2i = 5552 + 705 2 + 8552 = 308025 + 497025 + 731025 = 1.536.075 ∑ pi = 2115 ∑ pi⋅xi = 9379,5 + 14593,5 + 21717 = 45690 ∑xi = 63,0 1536075⋅a1 + 2115⋅a2 = 45690 2115⋅a1 + 3⋅a2 = 63 726,28 ⋅a1 + a2 = 21,602 705,00 ⋅a1 + a2 = 21,000 21,28⋅a1 = 0,602 ⇒ a1 = 0,0283 , a2 = 1,056
b)
f k = 22,5 MPa ⇒ 22,5 = 0,0283⋅M + 1,056 0,0283 ⋅M = 21,444 M ≅ 758 °Ch
c)
za Ti = 90°C
75 2 752 1 75 75 758 = 15 ⋅ 1 + + + t i + + ⋅ + 75 ⋅ t i 20 15 20 15 2 1 758 = 15 ⋅ t i + 146,25 + (281,25 + 375,0) ⋅ + 75 ⋅ t i 2 90⋅ti = 611,75 - 328,125 ⇒ ti = 3,15h Ukupno vreme zaparivanja i odležavanja: tuk = 1,0 +
d)
75 75 + + 3,15 = 12,9 ≅ 13 h 20 15
za Ti = 60°C
452 452 1 45 45 758 = 15 ⋅ 1 + + + t i + + ⋅ + 45 ⋅ t i 20 15 20 15 2 1 758 = 15 ⋅ t i + 93,75 + (101,25 + 135,0) ⋅ + 45 ⋅ t i 2 60⋅ti = 664,30 - 118,125 ⇒ ti = 9,10h Ukupno vreme zaparivanja i odležavanja: tuk = 1,0 +
45 45 + + 9,1 = 15,35 ≅ 15,5 h 20 15
Jedan pogon za izradu betonskih prefabrikata proizvodi godišnje 5100 komada 4.8 armiranobetonskih plo#a dimenzija 4,75 m × 2,00 m × 0,14 m, kao i jedan broj drugih elemenata koji po koli#ini ugra%enog betona #ine 65% u odnosu na koli#inu betona koja se primenjuje pri proizvodnji navedenih plo#a. U slu#aju pogona o kome je re # postoji fabrika betona koja za sve elemente koji se proizvode u pogonu spravlja jedan isti beton. U sastav ovog betona ulazi koli#ina cementa mc = 350 kg/m3 i ukupna koli#ina agregata (zbir svih frakcija) m a = 1950 kg/m3. Fabrika ima samo jednu mešalicu sa periodi #nim (cikli#nim radom) koju karakterišu koeficijent izlaza betonske mešavine 0,65 i sledea vremena punjenja, mešanja i pražnjenja mešalice: τ p = 1,5 min, τm = 2,5 min, τ pr = 1,0 min. a) Ra#unajui sa 300 radnih dana u godini, sa sedmo #asovnim radnim vremenom fabrike betona, sa koeficijentom neravnomernosti korišenja mešavina 1,4 i sa koeficijentom rezerve 1,2, odrediti potreban kapacitet mešalice V meš u datoj fabrici; rezultat zaokružiti na prakti #no prihvatljivu vrednost. Nakon ovoga izra#unati fakti#ku proizvodnost mešalice, fakti #ku godišnju proizvodnju betona u fabrici, kao i koli#inu betona koju fabrika proizvodi nedeljno. b) Ako su zapreminske mase agregata i cementa koji se koriste za proizvodnju betona u datoj fabrici 1600 kg/m3 i 1100 kg/m3, izra#unati utroške agregata i cementa u t/ned. i m3/ned. koji su neophodni za dimenzionisanje kapaciteta bunkera (silosa) za agregat i cement. Pri ovome pretpostaviti da je agregat razvrstan u frakcije 0/4, 4/8, 8/16 i 16/31,5 mm i da je u#eše pojedinih frakcija u agregatu saglasno izrazu Y = 100 ⋅(d/31,5)0,5.
REŠENJE: a)
- Broj me%uspratnih plo#a: 5100 komada - Koli#ina betona za ove plo #e: 5100⋅0,14⋅2,00⋅4,75 = 6783 m3/god. - Koli#ina betona za ostale elemente konstrukcije: Vostalo 0,65 = ⇒ Vostalo = 0,65 ⋅ 6783 ≅ 4409 m3/god. V ploce 1,00 - Ukupna godišnja proizvodnja fabrike: Q = 6783 + 4409 = 11192 m 3/god. Qusv = 1,2⋅11192 = 13430 m3/god. ≅ 14000 m3/god.
τc = 1,5 + 2,5 + 1,0 = 5,0 min nc = 60 = 12 - broj ciklusa u toku jednog #asa 5
p =
14000 ⋅ 1,4 ⋅ 1,2 = 11,20 m3/h 300 ⋅ 7
p1 = 11,20 m3/h 11,20 = pfakt =
12 ⋅ Vmes ⇒ Vmes = 933 lit ≅ 1000lit = 1 m3 1000
1000 ⋅ 12 = 12 m3/h 1000
Qfakt = 12⋅ Qned =
b)
300 ⋅ 7 = 15000 m3/h 1,4 ⋅1,2
15000 = 288 m3/nedeljno 52
m a 1950 = = 5,57 m c 350 Mc
γ c
+
Ma
γ a
=
288 0,65
288 0,65 Mc = ≅ 100921 kg/ned. ≅ 101 t/ned. 1 + 5,57 ⋅ 1100 1600 1100 ⋅
Ma = 100921⋅5,57 ≅ 562 t/ned.
ν c =
101 ≅ 92 m3/ned. 1,1
ν a =
562 ≅ 351 m3/ned. 1,6
agregat:
4 0/4 ⇒ Y(4) = 100 ⋅ 31,5
8 4/8 ⇒ 100⋅ 31,5 16 8/16 ⇒ 100⋅ 31,5
0 ,5
= 35,63 % ⇒ 125 m3/ned.
0, 5
− 35,63
= 14,76 %
⇒ 52 m3/ned.
= 20,88 %
⇒ 73 m3/ned.
= 28,73 %
⇒ 101 m3/ned.
0 ,5
− 50,39
16/32 ⇒ 100 - 71,27
351 m3/ned.
Za cement treba obezbediti silos za smeštaj cca 100t, odnosno cca 100 m 3 nedeljno. Za agregat - bunkeri koji zadovoljavaju gore navedene potrebe.
