4 LOS NÚME NÚMEROS ROS FRACC FRACCION IONARI ARIOS OS
P A R A
1
¿Qué fracción representa la parte coloreada en cada una de las figuras?
1 Cuadrado: ᎏᎏ 4 2
3 Círculo: ᎏᎏ 8
3 de 24 horas 4
ᎏᎏ
ϭ
7 de 24 horas 8
18 horas
ᎏᎏ
ϭ
21 horas
Ana, Luis y Miguel se reparten los 80 caramelos de una bolsa. Si Ana se queda con tres octavos y Luis con dos quintos, ¿cuántos caramelos le han tocado a Miguel? 3 de 80 caramelos ϭ 30 caramelos para Ana 8 A Miguel le quedan 80 Ϫ 30 Ϫ 32 ϭ 18 caramelos. ᎏᎏ
4
4 Rectángulo: ᎏᎏ 6
¿Cuántas horas tiene un octavo de día? ¿Y los tres cuartos? ¿Y los siete octavos? Un día tiene 24 horas. 1 ᎏᎏ de 24 horas ϭ 3 horas 8
3
E M P E Z A R
2 de 80 caramelos 5
ᎏᎏ
ϭ
32 caramelos para Luis
Escribe cinco fracciones que representen distintas fases de la Luna. 0 Luna nueva 1 4 1 ᎏᎏ 2 3 ᎏᎏ 4 4 ᎏᎏ 4 ᎏᎏ
Cuarto Creciente Media Luna Cuarto Menguante Luna llena
Fracciones equivalentes. Comparación P A R A
P R A C T I C A R
24 , escribe tres fracciones equivalentes a ella que tengan el denominador más peque36 ño y otras tres en las que el denominador sea más grande.
4.1 Dada la fracción
——
12 6 2 Con denominador más pequeño: ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ 18 9 3
48 96 192 Con denominador más grande: ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ 72 144 288
4.2 En cada caso, copia y completa las siguientes fracciones para que sean equivalentes entre sí.
a)
5 20 y 12
——
b)
— —
a) 48
15 45 , y 8 56
——
— —
— —
b) 105, 24
4.3 Halla la fracción irreducible de las fracciones.
a)
1 44
——
1 a) ᎏᎏ 44
80 b) —— 240 b)
1 3
ᎏᎏ
c)
4 72
——
1 c) ᎏᎏ 18
72 d) —— 360 d)
1 5
ᎏᎏ
4.4 Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones.
a)
3 9 y 4 12
——
2 4 y 5 9
b)
——
——
6 21 y 14 49
c)
——
——
d)
——
7 40 y —— 20 100
——
Se utiliza la regla de los productos cruzados. a) 3
и
12
b) 2
и
9
c) 6
и
49
d) 7
и
100
ϭ
ϭ
36
y
4
и
9
ϭ
36, son iguales.
y
5
и
4
ϭ
20, no son iguales.
y
14
и
21
ϭ
294, son iguales.
700 y
20
и
40
ϭ
800, no son iguales.
18
ϭ
294
ϭ
4.5 Halla fracciones equivalentes a
7 que tengan: 11
——
a) De numerador 77
b) De denominador 99.
7 a) Se amplía multiplicando por 11: ᎏᎏ 11
ϭ
77 121
7 b) Se amplía multiplicando por 9: ᎏᎏ 11
ᎏᎏ.
63 99
ϭ ᎏᎏ.
4.6 Halla el valor de x para que las facciones de cada pareja sean equivalentes. 2 2 4 20 x x a) b) c) x 5 15 24 3 7 ——
——
——
——
——
Para calcular x se utiliza la regla de los productos cruzados. a) x ϭ 6 b) x ϭ 16
c)
——
x ϭ
35
Ejercicio resuelto
4.7 Reduce a común denominador las fracciones
2 5 , y 3 8
——
7 . 12
——
——
El nuevo común denominador va a ser el mínimo común múltiplo de los denominadores: m.c.m.(3,8 y 12) ϭ 24 Para calcular los nuevos numeradores dividimos el nuevo denominador entre el antiguo y el resultado lo multiplicamos por el antiguo numerador: 2 24 Ϻ 3 и 2 16 5 (24 Ϻ 8 и 5) 15 7 (24 Ϻ 12 и 7) 14 ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫᎏᎏ ϭ ϭ ᎏᎏ 3 24 24 8 24 24 12 24 24
ᎏᎏ
ᎏᎏ
ᎏᎏ
4.8 Reduce los siguientes grupos de fracciones a mínimo común denominador.
a)
2 7 11 , y 3 6 9
——
——
b)
——
a) Mínimo común denominador: m.c.m.(3, 2 12 7 21 ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ 3 18 6 18
7 3 13 , y 8 10 28
——
——
——
6, 9) ϭ 18 11 22 ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 9 18
b) Mínimo común denominador: m.c.m.(8, 10, 28) ϭ 280 7 245 3 84 13 130 ᎏᎏ ϭ ᎏ ᎏ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 8 280 10 280 28 280 4.9 Reduce los siguientes grupos de fracciones a mínimo común denominador y ordénalas en orden cre-
ciente. 1 3 5 a) , , 2 4 6 ——
——
——
b)
a) Mínimo común denominador: 12
1 1 1 , , 29 23 57
——
——
——
c)
7 3 4 , , 3 6 18
——
——
——
6 9 10 Fracciones amplificadas: ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ 12 12 12
d)
4 1 3 7 , , , 15 3 5 30
——
——
——
Ordenación de menor a mayor:
b) Como tienen el mismo numerador, el valor de la fracción es mayor si tiene menor denominador. 1 1 1 Ordenación de menor a mayor: ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ 57 29 23 42 9 4 4 9 42 c) Mínimo común denominador: 18 Fracciones amplificadas: ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ Ordenación: ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ 18 18 18 18 18 18 8 10 18 7 7 d) Mínimo común denominador: 30 Fracciones amplificadas: ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ Ordenación de menor a mayor: ᎏᎏ 30 30 30 30 30
——
1 2
3 4
5 6
ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ
4 15
1 3
3 5
Ͻ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ
P A R A
A P L I C A R
4.10 Expresa en horas las siguientes fracciones de día: 2 de 24 horas 3 5 ᎏᎏ de 24 horas 6 ᎏᎏ
ϭ
2
и
8
ϭ
16 h
ϭ
5
и
4
ϭ
20 h
2 3 5 3 , , y . 3 4 6 8
——
——
——
——
3 de 24 horas 4 3 ᎏᎏ de 24 horas 8 ᎏᎏ
ϭ
3
и
6
ϭ
18 h
ϭ
3
и
3
ϭ
9h
3 11 de los alumnos estudian inglés, mientras que en otro lo hacen ᎏ ᎏ . ¿Dónde estudian más 4 13 alumnos inglés?
4.11 En un centro
ᎏᎏ
Denominador común: 52 39 44 Fracciones equivalentes: ᎏᎏ, ᎏᎏ 52 52 Estudian más alumnos inglés en el segundo centro. 4.12 Un motorista recorre por la mañana los siete novenos del trayecto. Si le faltan 72 kilómetros, ¿cuántos
kilómetros mide el total del recorrido? Si ha recorrido Luego los
7 2 1 72 le quedan por recorrer ᎏᎏ, que corresponden a 72 km. Por tanto, ᎏᎏ del trayecto es ᎏᎏ km 9 9 9 2
ᎏᎏ,
9 equivalen a: 36 и 9 9
ᎏᎏ
ϭ
ϭ
36 km.
324 km.
Trayecto total: 324 km 4.13 En una guardería se recogen perros y gatos callejeros. Los perros representan siete quinceavos del to-
tal. Si el número de animales es 120, ¿cuántos hay de cada clase? 7 Número de perros: ᎏᎏ de 120 15 Número de gatos: 120
Ϫ
56
ϭ
ϭ
7
1 de 120 15
и ᎏᎏ
ϭ
7
и
8
ϭ
56
64
4.14 Carmen acierta 70 preguntas de un test sobre matemáticas. Si los aciertos suponen
tas preguntas tiene el test?
7 del total, ¿cuán12
——
Se indica por N el número de preguntas. 7 de N 12
1 70. Por tanto, ᎏᎏ de N ϭ 10 12 12 Luego los ᎏᎏ de N son 12 и 10 ϭ 120 preguntas. 12 ᎏᎏ
ϭ
4.15 El precio de un televisor en una tienda son 360 euros. Si se hace un 25% de descuento, calcula el valor
del televisor utilizando la expresión fraccionaria del descuento. Descuento en forma fraccionaria: 25% Se paga:
3 de 360 4
ᎏᎏ
ϭ
3
и
360 4
ᎏᎏ
ϭ
3
и
ϭ
90
25 100
ᎏᎏ ϭ
1 4
ϭ ᎏᎏ
270
€.
4.16 Se sabe que el agua al helarse aumenta su volumen en una décima parte. Si se tienen un metro cúbico
de agua, ¿cuántos dm3 aumenta su volumen al congelarse? ¿Cuánto ocupa el nuevo volumen respecto del inicial? (Utiliza fracciones.) 1 metro cúbico
ϭ
1000 dm3
1 Aumento de volumen: ᎏᎏ de 1000 dm3 ϭ 100 dm3 10 11 Volumen del agua helada: ᎏᎏ de 1000 ϭ 1100 dm 3 10
4.17 En un teatro se llenan los
3 de su aforo. Si quedan 90 butacas sin ocupar, ¿cuál es el aforo del teatro? 4
ᎏᎏ
1 del aforo 4
90 butacas
ϭ ᎏᎏ
Número de butacas del teatro: 90
и
4
ϭ
360 butacas
Suma y resta de fracciones P A R A
P R A C T I C A R
4.18 Resuelve estas operaciones y simplifica.
a) a)
8 7
97
8 7
97 57
——
ᎏᎏ ϩ
5 7
——
b)
——
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ
8 7
4 7
12 7
7 11
7 b) ᎏᎏ 11
ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
131
——
——
131
Ϫ
2 11
——
2 11
7 11
5 11
2 11
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4.19 Resuelve estas operaciones y simplifica.
2 7 5 b) 8 a)
——
——
a)
2 7
4 7
3 4 5 d) 6 c)
——
38 ——
4 7
2 6
——
——
34
——
6 7
——
c) Denominador común: 12
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
3 4
2 6
9 12
4 12
13 12
ᎏ ᎏ ϩ ᎏ ᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
b)
5 8
3 8
8 8
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ
1
d) Denominador común: 12 5 6
3 4
10 12
9 12
1 12
ᎏ ᎏ Ϫ ᎏ ᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4.20 Resuelve y simplifica.
a) 2 b)
4 7
c)
5
d) 4
——
7 4
——
a) Denominador común: 7 4 7
14 7
4 7
3 3 8
——
c) Denominador común: 5
Se amplifican al denominador común 7 y se opera. 2
12 5
——
Se amplifican al denominador común 5 y se opera.
18 7
12 5
ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
ᎏᎏ ϩ
b) Denominador común: 4
3
12 5
15 5
27 5
ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
d) Denominador común: 8
Se amplifican al denominador común 4 y se opera.
Se amplifican al denominador común 8 y se opera.
7 4
4
ᎏᎏ Ϫ
5
7 4
20 4
13 4
ϭ ᎏ ᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ Ϫ ᎏᎏ
Ejercicio resuelto
4.21 Calcula y simplifica 2
3 5
——
7 . 20
——
El común denominador es: m.c.m.(1, 5, 20) Por tanto: 2
3 5
7 20
40 20
12 20
ϭ
7 20
20 35 20
7 4
Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
3 8
32 8
3 8
29 8
Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4.22 Resuelve estas operaciones y simplifica.
4 3 7 b) 4 a)
7 8 3 8
5 6 13 16
1 3 2 d) 5 c)
——
——
——
——
——
——
13 27 5 17 10 15
5
——
——
a) Denominador común: m.c.m.(3, 8, 6) ϭ 24 Se amplifican al denominador común 24 y se opera. 4 7 5 32 21 20 31 ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 3 8 6 24 24 24 24 b) Denominador común: m.c.m.(4, 8, 16) ϭ 16 Se amplifican al denominador común 16 y se opera. 7 3 13 28 6 13 21 ᎏ ᎏ ϩ ᎏ ᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 4 8 16 16 16 16 16
——
——
——
c) Denominador común: m.c.m.(3, 1, 27) ϭ 27 Se amplifican al denominador común 27 y se opera. 1 13 9 135 13 Ϫ113 ᎏᎏ Ϫ 5 ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 3 27 27 27 27 27 b) Denominador común: m.c.m.(5, 10, 15) ϭ 30 Se amplifican al denominador común 30 y se opera. 2 5 17 12 15 34 7 ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ 5 10 15 30 30 30 30
4.23 Escribe las fracciones opuestas a las siguientes.
a) a)
2 5
——
2 5
Ϫᎏᎏ
4 b) —— ( 11)
c)
4 b) ᎏᎏ 11
c)
3 7
6 d) —— ( 10)
——
3 7
6 d) ᎏᎏ 10
ᎏᎏ
4.24 Calcula y simplifica el resultado de las siguientes operaciones.
a)
9 10
25
——
b) 7
5 6 7 10
——
c) 3
——
45
——
d) 3
——
98
——
5 8
——
5 4
——
7 12
——
a) Denominador común: m.c.m.(10, 5, 6) ϭ 30 9 2 5 27 12 25 40 4 ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 10 5 6 30 30 30 30 3 b) Denominador común: m.c.m.(1, 5, 10) ϭ 10. Se amplifican al denominador común 10 y se opera. 4 7 70 8 7 71 7 ϩ ᎏ ᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 5 10 10 10 10 10 c) Denominador común: m.c.m.(1, 8, 4) ϭ 8 9 5 24 9 10 25 3 Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 8 4 8 8 8 8 d) Denominador común: m.c.m.(1, 8, 12) ϭ 24. Se amplifican al denominador común 24 y se opera. 72 15 14 71 ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 24 24 24 24
P A R A
A P L I C A R
4.25 Los alumnos de segundo de Secundaria han elegido como segunda lengua, después del inglés,
cés,
3 1 alemán y italiano. ¿Es esto posible? 15 20
——
9 fran12
——
——
La suma de las tres fracciones debe ser 1. 9 3 1 ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ 12 15 20 Denominador común: m.c.m.(12, 15, 20) ϭ 60 Se amplifican al denominador común 60 y se opera. 45 12 3 60 ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 1 60 60 60 60 Sí, es posible. 4.26 Un depósito de gasóleo de un edificio tiene una capacidad de 4200 litros. Si se han consumido
a) ¿Cuántos litros se han gastado?
b) ¿Qué fracción de gasóleo queda?
a) Gasóleo consumido: 7 ᎏᎏ de 4200 ϭ 7 и (4200 9
b) Fracción que queda: 9 7 2 ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 9 9 9
Ϻ
9)
ϭ
3266,66 m3.
7 del mismo: 9 ——
4.27 En una actividad extraescolar de un grupo de 90 alumnos de secundaria
el resto al circo. a) ¿Qué fracción de alumnos va al circo? 4 10 Mínimo común denominador: m.c.m.(1, 10, 15) 30 12 14 4 2 ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 30 30 30 30 15 2 Van al circo ᎏᎏ. 15
a) Fracción de alumnos que va al circo: 1
4 7 van al cine, al teatro y 10 15
——
——
b) ¿Cuántos alumnos van al cine, al teatro y al circo? 7 15 ϭ 30
4 b) Al cine van ᎏᎏ de 90 ϭ 36 alumnos. 10 7 Al teatro van ᎏ de 90 ϭ 42 alumnos. 15 2 Al circo van ᎏ de 90 ϭ 12 alumnos. 15
Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ
2 3 4 en alquiler, en comida, en vestir 9 12 15 2 y en ocio. ¿Pueden ahorrar algo durante el mes para otras necesidades? Si es así, ¿qué cantidad? 20
4.28 Los ingresos mensuales de una familia son 3600 euros. Gasta
——
——
——
——
2 3 9 12 Mínimo común denominador: m.c.m.(1, 9, 12, 15, 20)
4 2 15 20 ϭ 180 180 40 45 48 Se amplifican al denominador común 180 y se opera: ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ 180 180 180 180 29 29 Puede ahorrar: ᎏᎏ. Número de €: ᎏᎏ de 3600 ϭ 29 и (3600 Ϻ 180) ϭ 580 € 180 180 Fracción de euros que puede ahorrar: 1
4.29
Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ
Ϫ
18 180
ᎏᎏ
ϭ
29 180
ᎏᎏ
Al preguntarle Sandra la edad a su amigo Sergio, este le contestó: «La mitad más la tercera parte de la edad que tengo suman 15». ¿Cuál es la edad de Sergio? Sea x la edad de Sergio. 1 1 5 1 Ecuación: ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ de x ϭ 15, luego ᎏᎏ de x ϭ 15. Por tanto, ᎏᎏ de x es 3. 2 3 6 6 1 6 Si ᎏᎏ vale 3, ᎏᎏ valdrá 18. La edad de Sergio es 18 años. 6 6
4.30 Pablo compra un ordenador y la impresora. Paga como primer plazo la cuarta parte del precio y como
segundo plazo la sexta parte. ¿Cuánto vale el equipo si en el tercer plazo paga 70 euros? Suma de los dos primeros plazos: Tercer plazo: 1
5 12
1 4
1 6
2 12
5 12
7 12
Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
7 el precio del equipo: ᎏᎏ de P ϭ 70 12 Precio del equipo: 12 и 10 ϭ 120 € Si
3 12
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ.
P es
€.
1 Por tanto, ᎏᎏ de 12
P ϭ
10
€
4.31 El depósito de agua de una casa de campo está lleno hasta los
tros se llena hasta la mitad. ¿Cuál es su capacidad? Diferencia de capacidades:
1 2
2 7
7 14
4 14
2 de su capacidad. Si se añaden 275 li7
——
3 14
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
3 Capacidad de la diferencia: ᎏᎏ del depósito son 275 L. 14 1 275 Capacidad de ᎏᎏ del bidón: ᎏᎏ ϭ 91,66 14 3 Capacidad total del depósito: 91,66 и 14 ϭ 1283,3 L
Multiplicación y división de fracciones P A R A
P R A C T I C A R
4.32 Resuelve estas operaciones y simplifica.
a) 8 a) 8
3 7
b)
——
3 7
24 7
и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
b)
5 8
6
5 8
6
——
ᎏᎏ и
3 5
c) 15 30 8
15 4
ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
c) 15
35
d)
——
и
Ϫᎏᎏ
45 5
ϭ Ϫᎏᎏ ϭ Ϫ9
d)
8
7 12
——
7 12
56 12
14 3
Ϫ8 и ᎏᎏ ϭ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4.33 Resuelve estas operaciones y simplifica.
a) a)
7 5
4 12
——
7 5
3 4
b)
——
4 12
28 60
7 15
c)
——
3 4
b)
ᎏ ᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
6 9
——
6 9
18 36
1 2
Ϫᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ
8 11
11 8
——
8 c) ᎏᎏ 11
11 8
5 12
d)
——
88 88
и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ
1
d)
——
5 12
Ϫᎏᎏ и
190 190 ——
Ϫᎏᎏ
ϭ
45 120
ᎏᎏ
3 8
ϭ ᎏᎏ
Ejercicio resuelto
2 3
4.34 Opera y simplifica:
5 8
——
6 . 7
——
——
Aunque multipliquemos varias fracciones, la regla para hacerlo no cambia: debemos multiplicar por separado todos los numeradores y todos los denominadores. 2 5 6 2и5и6 2и5и2и3 ᎏᎏ и ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 3 8 7 3и8и7 3 и 24 и 7 5 5 Y simplificando los factores comunes del numerador y del denominador llegamos a ᎏ 2 ᎏ ϭ ᎏᎏ. 2 и7 28
ᎏᎏ
4.35 Realiza los siguientes cálculos y simplifica.
a) a)
3 8
12 5
——
15 16
——
3 8
12 5
15 16
ᎏ ᎏ и ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ
9 6
b) 2
——
540 640
ᎏᎏ
27 32
b) 2
ϭ ᎏᎏ
——
9 6
120 120
5 3
——
и ᎏᎏ и
——
5 3
180 180
и ᎏᎏ ϭ Ϫ ᎏᎏ ϭ Ϫ1
Ϫᎏᎏ
4.36 Calcula y simplifica las siguientes operaciones.
a) a)
5 6 de 6 11
——
b)
——
5 6 de ᎏᎏ 6 11
ᎏᎏ
5 6
6 11
5 11
b)
ϭ ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
3 5 4 de de 5 4 27
——
——
——
3 5 4 de ᎏᎏ de ᎏᎏ 5 4 7
ᎏᎏ
3 5
5 4
4 7
3 7
ϭ ᎏᎏ и ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4.37 Escribe como producto y calcula.
a) Un tercio de 243. b) Un tercio de un tercio de 243. c) Un tercio de un tercio de un tercio de 243. 1 de 243 ϭ 81 3 1 1 1 b) ᎏᎏ de ᎏᎏ de 243 ϭ ᎏᎏ de 3 3 9 1 1 1 c) ᎏᎏ de ᎏᎏ de ᎏᎏ de 243 ϭ 3 3 3 a)
ᎏᎏ
243
ϭ
27
1 de 243 27
ϭ
ᎏᎏ
9
4.38 Calcula y simplifica las siguientes operaciones.
a) a)
5 8
——
5 8
:
3 6 3 6
12 7
b)
——
30 24
5 24
b)
ᎏᎏ Ϻ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
——
12 7
:
3 4
4 5
c)
——
3 4
48 21
16 7
Ϫᎏᎏ Ϻ ᎏᎏ ϭ Ϫ ᎏᎏ ϭ Ϫ ᎏᎏ
c)
——
4 5
:
8 10 8 10
5 8
ᎏᎏ Ϻ
20
5 8
20 1
ϭ ᎏ ᎏ Ϻ ᎏᎏ ϭ
5 160
ᎏᎏ
4.40 ¿Por qué número hay que dividir 7 El número será: ᎏᎏ 11
9 15
Ϻ ᎏᎏ ϭ
105 99
ᎏᎏ
35 33
ϭ ᎏᎏ
1 32
ϭ ᎏᎏ.
7 9 para obtener ? 11 15
——
——
40 40
Ϫᎏᎏ Ϻ ᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ ϭ Ϫ1
4.39 ¿Qué fracción se ha de multiplicar por 20 para que se obtengan La fracción es:
d)
——
5 ? 8
——
d)
6 8
——
6 8
:
Ϫᎏᎏ Ϻ
94 94 ——
Ϫᎏᎏ
24 72
1 3
ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
P A R A
A P L I C A R
4.41 Pedro vende en una feria de ganado una pareja de vacas lecheras. La venta de las vacas se indica así:
57 “Precio de una vaca —— de 2169 euros”. ¿Cuál es el precio de la pareja de vacas? 114 57 Las dos vacas valen: 2 и ᎏᎏ de 2169 114
ϭ
2169
€.
4.42 En un mercado un señor pide cuarto de mitad de kilo de jamón, ¿A cuántos gramos equivale? ¿Sería lo
mismo que mitad de cuarto? ¿Y que un octavo? ¿Son iguales estas expresiones fraccionarias? 1 1 1 de ᎏᎏ de 1000 g ϭ ᎏᎏ de 1000 ϭ 125 g 4 2 8 Las tres expresiones faccionarias son iguales.
1 1 de ᎏᎏ de 1000 g 2 4
ᎏᎏ
ᎏᎏ
1 de 1000 8
ϭ ᎏᎏ
ϭ
125 g
1 de 1000 g 8
ᎏᎏ
ϭ
125 g
4.43 Una plaza rectangular de una ciudad tiene un área de 12000 metros cuadrados. En el centro hay un es-
4 6 tanque cuyos lados paralelos a los de la plaza miden, respectivamente, del largo y del ancho. 1 5 2 0 ¿Cuántos metros cuadrados tiene el estaque? ——
——
4 6 24 2 Fracción de la plaza que ocupa el estanque: ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 15 20 300 25 2 2 Metros cuadrados del estanque: ᎏᎏ de 12000 ϭ ᎏᎏ и 12000 ϭ 960 m2 25 25 4.44 Un bote de refresco contiene un tercio de litro. Si un grupo de amigos ha comprado 250 botes para una
fiesta de cumpleaños, ¿cuántos litros de refresco han comprado? Litros: 250 и
1 3
ᎏᎏ ϭ
83,33 L
4.45 Marga le propone a Luis el siguiente acertijo para que adivine el número del portal de su casa: «La ter-
cera parte de su mitad es 20». Halla el número del portal de Marga. 1 1 Relación: ᎏᎏ de ᎏᎏ ϭ 20. 3 2 El número del portal es 120.
Se opera:
1 6
ᎏᎏ ϭ
20
Por lo tanto,
4.46 En un silo hay 1500 toneladas de trigo. En una semana se han vendido
to. ¿Cuánto trigo queda? 1
2 5
3 toneladas quedan la primera semana 5
Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
5 de 1500 15
ᎏᎏ
ϭ
·5
ϭ
3 5
4 15
6 valdrán: 20 и 6 6
ᎏᎏ
ϭ
120
2 4 , y en la siguiente, del res5 15
——
——
5 toneladas quedan la siguiente 15
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
500 toneladas quedan.
4.47 Un bidón de agua de 120 litros se vacía en botellas de 9 doceavos de litro. ¿Cuántas botellas se necesitan? 120
9 12
Ϻ ᎏᎏ ϭ
160 botellas
Jerarquía de las operaciones P A R A
P R A C T I C A R
4.48 En las siguientes operaciones ¿se obtiene el mismo resultado operando de dos formas? ¿Qué regla se
cumple? 2 3 3 a) y 3 4 4 ——
a)
——
——
2 3
——
2 3 17 3 4 12 3 2 17 ᎏ ᎏ ϩ ᎏ ᎏ ϭ ᎏᎏ 4 3 12 Luego se obtienen resultados iguales. Se verifica la propiedad conmutativa. ᎏ ᎏ ϩ ᎏ ᎏ ϭ ᎏᎏ
b) b)
2 3
——
3 3 y 4 4
——
——
2 3
——
2 3 1 3 4 12 3 2 1 ᎏ ᎏ Ϫ ᎏ ᎏ ϭ ᎏᎏ 4 3 12 Luego se obtienen resultados distintos. No se verifica la propiedad conmutativa. ᎏ ᎏ Ϫ ᎏ ᎏ ϭ Ϫ ᎏᎏ
4.49 ¿Son iguales los resultados de a y b, y los resultados de c y d ?
6 5
a) 7 a) 7
9 2
——
b) 7
——
6 5
9 2
103 10
Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ
b) 7
ᎏᎏ
65 92 65 92 ——
Ϫ
c)
——
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ
13 10
c)
ϭ ᎏᎏ
5 3
1 6
——
3 4
——
5 3
1 6
5 3
d)
——
3 4
9 12
3 4
——
Luego son distintos los resultados de a y b.
——
5 3
d)
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
16 34 16 34 192
ᎏᎏ Ϫ
——
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ
3 4
ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
Luego son iguales los resultados de c y d .
4.50 Realiza las siguientes operaciones. ¿Se obtiene el mismo resultado?
a) a)
3 2
——
34 6 34 6
b)
——
3 2
ᎏᎏ Ϫ
ᎏᎏ ϩ
21 4
b)
ϭ Ϫᎏᎏ
Luego son distintos los resultados de
a
3 2
3 4
——
6
——
3 2
3 4
6
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϩ
27 4
ϭ ᎏᎏ
y b.
4.51 Calcula los resultados teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones.
8 5
a) a)
——
45 65 45 65 ——
8 25
Ϫᎏᎏ Ϫ
b)
——
Ϫᎏᎏ ϩ ᎏᎏ
8 5
2 5
10 5
ϭ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ Ϫ ᎏᎏ
7 2
——
7 2
b)
ᎏᎏ ϩ
b)
1
b)
Ϫ1 Ϫ
11 5
9 2
——
——
11 5
9 2
Ϫᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ
32 10
16 5
ϭ Ϫ ᎏᎏ ϭ Ϫ ᎏᎏ
4.52 Calcula y simplifica las siguientes operaciones.
3 4
a) 3 a) 3 3
12 13 12 13 Denominador común: 12 12 13 3162 192 162 142 2152
——
3 4 3 ᎏᎏ 4
——
Ϫ ᎏᎏ Ϫ Ϫ
——
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ
Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ
56 56
5 12
——
3 4
10 12
——
5 12
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ
12 12
ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
3 4
——
9 12
Denominador común: 12
5 12
12 12
14 12
26 12
13 6
Ϫᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ
4.53 Utiliza la jerarquía de las operaciones para los siguientes cálculos.
a)
15 4
5 6
——
:
——
3 4
b)
——
2 3
——
3 4
:
——
4 5
c)
——
15 5 3 75 3 25 a) ᎏᎏ и ᎏᎏ Ϻ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϻ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 4 6 4 24 4 6 2 3 4 1 4 5 b) ᎏᎏ и ᎏᎏ Ϻ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϻ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 3 4 5 2 5 8
30 5
——
:
2 5
4 7
——
d)
——
30 2 4 15 c) ᎏᎏ Ϻ ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 5 5 7 1 4 2 2 d) ᎏᎏ Ϻ 4 и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 7 3 21
4 7
4 7
——
:
2 3
4
——
60 7
и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4.54 Realiza las siguientes operaciones.
a) a)
3 2
7 2
——
3 2
21 7
4
——
b) 6
——
7 21 25 4 Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 2 7 2 48 ᎏᎏ Ϫ 45 ϭ 48 Ϫ 45 6
48 6
——
45
c)
и
ϭ
4
36 9
d)
——
24 32
——
:
6 8
——
6 36 4 Ϫ ᎏᎏ ϭ 4 3 9 24 6 d) ᎏᎏ Ϻ ᎏᎏ ϭ 1 32 8 c)
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ и
b) 6
6 3
——
3
ᎏᎏ и
4.55 Calcula las siguientes operaciones utilizando las propiedades de las potencias.
2 a) 5
2
3
2 5
2 2 2 a) 5 5 5 ——
——
2
ᎏᎏ
3
и
ᎏᎏ
5
ϭ
ᎏᎏ
3 b) 8
5
3 8
3
3 3 3 b) 8 8 8 :
——
——
5
ᎏᎏ
3
Ϻ
ᎏᎏ
P A R A
c)
2
ϭ
ᎏᎏ
c)
2 3
2 3
2 ᎏᎏ 3
2 3
΄ ΅ ΄ ΅ ——
ϭ
2 ᎏᎏ 3
6
A P L I C A R
4.56 Rubén se bebió en la merienda un tercio de una botella de batido de 1 litro. Después de cenar se be-
bió la mitad de lo que quedaba. ¿Cuánto batido tomó en total?
1 2 1 1 2 En la merienda bebió ᎏᎏ de un litro, por lo que quedaban ᎏᎏ. En la cena, se bebió ᎏᎏ de lo que quedaba: ᎏᎏи ᎏᎏ 3 3 2 2 3 2 En total tomó: ᎏᎏ de un litro de batido. 3
2 6
1 3
ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4.57 Noelia está compitiendo en una carrera de bicicletas. Cuando ha recorrido 5 y la mitad de tres cuartos
de kilómetro tiene que parar para reparar un pinchazo. Si en total la carrera era de 8 kilómetros, ¿cuántos kilómetros le faltan para terminar? 1 3 1 3 de ᎏᎏ de un kilómetro: 5 ϩ ᎏᎏ и ᎏᎏ 2 4 2 4 43 21 Si la carrera en total tiene 8 km, le quedan: 8 Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ km. 8 8 Noelia ha recorrido 5 km y
ᎏᎏ
40 8
3 8
43 8
ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏ ᎏ ϭ ᎏᎏ
4.58 En un colegio, dos quintas partes de los alumnos son niños, y el resto son niñas. Para participar en un
concurso de dibujo se elige a la décima parte de los niños y a la novena parte de las niñas. ¿Qué fracción de los alumnos del colegio va a tomar parte en el concurso? 2 3 1 2 1 3 son niños y ᎏᎏ son niñas. En el concurso de dibujo van a participar: ᎏᎏ и ᎏᎏ niños y ᎏᎏ и ᎏᎏ niñas. 5 5 10 5 9 5 1 2 1 3 2 3 1 1 3 5 8 En total: ᎏᎏ и ᎏᎏϩ ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ de los alumnos van a participar. 10 5 9 5 50 45 25 15 75 75 75 ᎏᎏ
4.59 De una clase aprueban, primero, la mitad, y en la repesca, un tercio de los suspendidos.
Sin hacer cálculos, escribe la expresión fraccionaria de los que no han aprobado. Expresión fraccionaria:
12
1 3
1 2
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ и ᎏᎏ
2 10 15 5 5 6 4 3 Sara dice que es verdadera, y Jesús, que es falsa. ¿Quién
4.60 En la pizarra aparece esta igualdad:
Operamos cada lado de la igualdad: 5 3
3 2
10 6
9 6
1 6
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ.
2 10 5 6
——
——
15 4
ᎏ ᎏ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ
——
25 2102
——
45 12
ϭ ᎏᎏ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ
3 . 2 de los dos tiene razón?
——
25 2152 ϭ ᎏᎏ Ϫᎏᎏ
50 60
5 6
ϭ Ϫᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ
Jesús tiene razón puesto que son diferentes.
4.61 A un equipo de fútbol escolar le regalan 36 camisetas. Un cuarto son azules, y el resto, amarillas. Si la
mitad de las azules y un tercio de las amarillas no sirven por ser demasiado pequeñas, ¿qué fracción de las camisetas resulta útil para el equipo? ¿Cuántas son en total y cuántas de cada color? 1 3 1 1 1 1 1 3 1 3 9 de camisetas son azules y ᎏᎏ amarillas. ᎏᎏ de las azules y ᎏᎏ de las amarillas no sirven: ᎏᎏ и ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ. 4 4 2 3 2 4 3 4 8 12 24 15 Por lo que la fracción de camisetas útiles para el equipo son ᎏᎏ. En total son 22, 5 camisetas, como no puede ser media cami24 seta las camisetas realmente útiles son 22. 1 1 36 Camisetas azules que sirven son: ᎏᎏ и ᎏᎏ de 36 ϭ ᎏᎏ ϭ 4,5 camisetas. 2 4 8 2 3 216 Camisetas amarillas que sirven son: ᎏᎏ и ᎏᎏ de 36 ϭ ᎏᎏ ϭ 18 camisetas amarillas. 3 4 12 Para que ambos colores de camisetas sumen 22, sirven 4 camisetas azules y 18 amarillas. ᎏᎏ
4.62 Al salir un sábado por la tarde con sus amigos, Miguel gasta la cuarta parte de su paga en la entrada
del cine y un tercio en merendar. Si del resto usa la mitad para comprarse un tebeo, ¿qué fracción de la paga ha gastado en el tebeo? ¿Qué fracción le quedará cuando vuelva a casa? 7 5 5 1 5 Le queda ᎏᎏ. Gasto en tebeo ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 12 12 12 2 24 7 5 24 19 Fracción de paga que le queda cuando vuelva a casa 1 Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ 12 24 24 24 Gasto antes del tebeo:
1 4
1 3
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ.
5 24
ϭ ᎏᎏ.
Matemáticas cotidianas P A R A
A P L I C A R
4.63 Una estructura metálica dedicada a mantener un laboratorio científico está plantada en el mar de for-
ma que dos terceras partes de su longitud vertical están enterradas; dos quintas partes del resto de dicha longitud están sumergidas en el agua, y 6 metros permanecen en el aire, fuera del agua. a) ¿Cuánto mide la longitud total de la plataforma? c) ¿Cuántos están sumergidos en el agua? b) ¿Cuántos metros están enterrados? a) Para calcular cuántos metros mide la plataforma en total debemos calcular la fracción de la longitud que no está sumergida. 1 2 2 4 1 4 9 6 Superficie enterrada: ᎏᎏ del total Superficie sumergida: ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ. Superficie fuera del agua: 1 Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ 1 Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ. 3 5 3 15 3 15 15 15 6 Por tanto, ᎏᎏ de la longitud total son 6 m. La longitud total de la plataforma es de 15 m. 15 1 4 b) Longitud enterrada: ᎏᎏ de 15 ϭ 5 m c) Longitud sumergida: ᎏᎏ de 15 ϭ 4 m 3 15
Actividades finales C Á L C U L O
M E N T A L
4.64 Calcula las siguientes cantidades.
4 de 15 5
a) Los a)
4 5
15
ᎏᎏ и
b) Los
——
ϭ
12
3 4
b)
ᎏᎏ и
3 de 20 4
20
ϭ
5 de 18 6
c) Los
——
15
c)
5 6
18
ᎏᎏ и
d) Los
——
ϭ
15
d)
3 7
ᎏᎏ и
3 de 35 7
——
35
ϭ
15
4.65 Halla las siguientes cantidades.
9 de 72 8
a) Los a)
9 8
72
ᎏᎏ и
b) Los
——
ϭ
13 b) ᎏᎏ 11
81
и
13 de 44 11
——
44
ϭ
52
3 , y del resto, dedicar la décima parte a 5 construir una casa. ¿Cuántos metros cuadrados de planta tendrá esta?
4.66 De una parcela de 5000 metros cuadrados queremos vender
——
3 de la parcela. 5 2 Nos quedamos con ᎏᎏ. 5 Queremos vender
ᎏᎏ
1 La décima parte de lo que nos quedamos: ᎏᎏ 10 1 ᎏᎏ и 5000 ϭ 200 m2 de planta. 25 P A R A
2 5
2 50
1 de parcela para construir una casa. 25
и ᎏ ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
P R A C T I C A R
Y
A P L I C A R
4.67 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.
2 1 3 4 , , , 3 5 7 15
——
——
——
——
m.c.m.(3,5,7,15)
ϭ
105
70 21 45 28 ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ 105 105 105 105 2 1 4 Orden: Ϫᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ Ͻ ᎏᎏ 3 5 15 Ϫᎏᎏ,
3 7
Ͻ ᎏᎏ
4.68 Simplifica las siguientes fracciones.
192 a) —— 256
b)
3 4
b)
a)
ᎏᎏ
36 54
147 c) —— 24
d)
4 5
c)
7 2
d)
——
Ϫᎏᎏ
ᎏᎏ
45 60
——
3 4
ᎏᎏ
4.69 Realiza las siguientes operaciones y simplifica.
a) 3
3 4
——
2
b)
4 5
——
2 10
——
3 2
——
5 6
——
c)
a) Denominador común: 4 3 12 3 8 1 3 Ϫ ᎏᎏ Ϫ 2 ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 4 4 4 4 4 b) Denominador común: 30 4 2 3 5 24 6 45 25 40 4 ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ Ϫ ᎏᎏ ϭ Ϫ ᎏᎏ 5 10 2 6 30 30 30 30 30 3 c) Denominador común: 30 2 12 3 10 30 36 6 2 1 Ϫᎏᎏ Ϫ 1 ϩ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 5 10 15 30 30 30 30 30 15 d) Denominador común: 24 8 5 1 24 32 15 12 53 Ϫ1 Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ Ϫ ᎏᎏ 6 8 2 24 24 24 24 24
2 5
——
1
12 10
——
3 15
——
d)
1
8 6
——
5 8
——
1 2
——
4.70 Calcula las siguientes operaciones.
3 2
15 13 b) 56 34 152 c) 37 2 3 1 1 60 45 6 10 15 4 19 a) 2 2 5 3 30 30 30 30 30 30 30 5 3 5 10 9 5 14 7 b) 6 4 12 12 12 12 12 6 3 1 3 12 56 14 21 51 c) 2 7 2 4 28 28 28 28 28 d) 1 45 130 26 14 6600 4680 1680 2600 1650 a) 2
——
——
Ϫ ᎏᎏ Ϫ
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ
ᎏᎏ Ϫ
——
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ
Ϫ ᎏᎏ ϭ
Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ
ϩ
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ
Ϫ
——
ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ
——
——
1 2
——
3 14
——
45
d) 1
——
3 10
——
26
——
——
1 4
——
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
ϭ ᎏᎏ Ϫ
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
ϭ ᎏᎏ ϩ
60 60
30 60
5 60
85 60
17 12
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4.71 Haz las siguientes operaciones y simplifica.
a)
10 3
3 4
——
10 a) ᎏᎏ 3
9 2
——
5 3
——
3 4
9 2
——
:
5 3
4 6
b)
——
4 6
61 24
b)
Ϫ ᎏᎏ и ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϻ ᎏᎏ ϭ Ϫ ᎏᎏ
2 3
——
2 3
ᎏᎏ и
5 8
3 10
58
3 4
3 3 10 4
——
:
——
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ
Ϻ
——
1 6
ϭ ᎏᎏ
——
1 6
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ
37 35
4.72 Queremos envasar los 1800 litros de aceite que hemos obtenido de la cosecha de este año en botellas de
1 de litro especiales para restaurantes. ¿Cuántas botellas necesitaremos? 3
——
1800
1 3
и ᎏᎏ ϭ
600 botellas
4.73 Un iceberg tiene aproximadamente un noveno de su altura fuera del agua. Si un barco se encuentra un
iceberg que emerge 5 metros sobre la superficie del mar, ¿a qué profundidad se encontrará su parte inferior? 1 de su altura son 5 m, la longitud total del iceberg son 9 9 profundidad. Si
ᎏᎏ
и
5
ϭ
45 m, por tanto, la parte inferior se encontrará a 40 m de
4.74 En una circunferencia se inscriben polígonos regulares. Halla la fracción del ángulo completo que repre-
sentan los ángulos determinados por el centro de la circunferencia y los vértices del polígono si este es: a) Un triángulo b) Un cuadrado c) Un pentágono d) Un hexágono 120 a) ᎏᎏ 360
1 3
ϭ ᎏᎏ
90 b) ᎏᎏ 360
1 4
72 c) ᎏᎏ 360
ϭ ᎏᎏ
1 5
ϭ ᎏᎏ
60 d) ᎏᎏ 360
1 6
ϭ ᎏᎏ
4.75 Un cubo está formado por cubitos de modo que en cada arista hay 3 cubitos. Se pintan todas las caras
exteriores con un punto rojo. a) ¿Qué fracción representan los cubitos pintados en una sola cara con respecto del total de cubitos empleados? b) ¿Y los pintados en dos o tres caras? Número de cubitos en el cubo: 3 3
ϭ
27. Cubos pintados en una sola cara: 6. Cubos pintados en 2 ó 3 caras: 20.
6 a) ᎏᎏ 27
20 b) ᎏᎏ 27 P A R A
R E F O R Z A R
4.76 Averigua si son o no equivalentes las siguientes parejas de fracciones.
a)
4 8 y 5 10
——
——
b)
5 10 y 9 18
——
c)
——
Se aplica la regla de “producto de extremos”
ϭ
6 4 y 15 10
——
——
d)
12 y 3
——
“producto de medios”.
a) 4 и 10 ϭ 40 ϭ 8 и 5 Las fracciones son equivalentes.
c) 6 и 10 ϭ 60 ϭ 15 и 4 Por tanto, son equivalentes.
b) 5 и 18 ϭ 90 ϭ 9 и 10 Las fracciones son equivalentes.
d) 12 и 5 ϭ 60 3 и (Ϫ20) ϭ Ϫ 60 Las fracciones no son equivalentes.
20 5
——
4.77 Copia y completa las siguientes fracciones para que sean equivalentes a
a)
b)
——
12
18 a) ᎏᎏ 12
5
c)
——
3 . 2
——
d)
——
18
27 c) ᎏᎏ 18
b) No es posible.
36 — —
36 d) ᎏᎏ 24
4.78 Realiza las siguientes operaciones y simplifica.
1 7
a) 6 a) 6 b)
b)
——
1 7
7 9
——
35
c) 8
——
6 7
7 9
35
21 45
Ϫᎏᎏ
d)
——
4 8 4 9 1 9 5 11 25 d) ᎏᎏ Ϻ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 3 5 33 c) 8
и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
ᎏᎏ и
4 9
:
ϭ Ϫ ᎏᎏ
72 4
Ϻ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϻ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ
5 3
——
:
11 5
——
18
4.79 Realiza las siguientes operaciones.
a)
1 6
1 6 2 b) ᎏᎏ 5 a)
5 3
——
7 12
——
b)
——
5 3 4 ᎏᎏ 10
7 12 3 ϩ ᎏᎏ 15
2 12 12 ϭ ᎏᎏ 30
20 12 12 Ϫ ᎏᎏ 30
2 5
4 10
——
7 12 6 ϩ ᎏᎏ 30
——
15 12 6 ϭ ᎏᎏ 30
3 15
c)
5 4
c)
——
8 3 9 d) ᎏᎏ 7
ᎏ ᎏ ϩ ᎏ ᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏ ᎏ Ϫ
8 3
3 5
ϭ ᎏᎏ
7 12
——
5 6
——
7 12 11 ᎏᎏ 14
d)
——
5 6 17 ᎏᎏ 28
32 12 36 ϭ ᎏᎏ 28
7 12 22 Ϫ ᎏᎏ 28
9 7
11 14
——
10 12 17 ϩ ᎏᎏ 28
17 28
——
——
15 12 31 ϭ ᎏᎏ 28
5 4
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ
ϩ
4.80 Busca las fracciones que elevadas al cuadrado dan los siguientes resultados.
a)
25 81
100 b) —— 400
——
25 a) ᎏᎏ 81
ϭ
2
5 ᎏᎏ 9
c)
100 b) ᎏᎏ 400
ϭ
4.81 ¿Cuál será mayor, el cuadrado de Cuadrado:
2
4 5
ᎏᎏ
16 25
ϭ ᎏᎏ ϭ
2
2
10 ᎏᎏ 20
ϭ
1 ᎏᎏ 2
16 49
121 d) —— 144
——
2
16 c) ᎏᎏ 49
4 ᎏᎏ 7
ϭ
Cubo:
121 d) ᎏᎏ 144
ϭ
2
11 ᎏᎏ 12
4 o su cubo? 5
——
80 125
ᎏᎏ
4 5
3
ᎏᎏ
ϭ
64 125
ᎏᎏ
Resultado: El cuadrado es mayor que el cubo.
75 100
4.82 Escribe la fracción equivalente a —— que tiene por denominador 32. Justifica la respuesta. 75 Fracción irreducible: ᎏᎏ 100
3 4
ϭ ᎏᎏ
Fracción equivalente con 32 como denominador: Valor de x ϭ 24
75 Facción equivalente: ᎏᎏ 100
3 4
x
ᎏ ᎏ ϭ ᎏᎏ
32
24 32
ϭ ᎏᎏ
4.83 Responde a estas preguntas.
a) ¿Qué fracción irreducible de hora representan 15 minutos? b) ¿Y 45 minutos? 15 a) 15 min: ᎏᎏ 60
1 4
45 b) 45 min: ᎏᎏ 60
ϭ ᎏᎏ
P A R A
4.84 Escribe todas las fracciones equivalentes a 32 Fracción irreducible: ᎏᎏ 40
4 5
ϭ ᎏᎏ
3 4
ϭ ᎏᎏ
A M P L I A R
32 cuyo denominador sea menor que 30. Razona la respuesta. 40
— —
4 8 12 16 20 Fracciones equivalentes: ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ 5 10 15 20 25
3 por su fracción inversa. ¿Qué valor obtienes para el producto? Si divides una fracción por 4 su inversa, ¿el cociente es un cuadrado perfecto?
4.85 Multiplica
3 4
4 3
——
12 12
ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ
1
El producto es la unidad. 2 3 4 9 3 ᎏ ᎏ Ϻ ᎏ ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏ ᎏ 4 3 16 4
El producto es el cuadrado de la primera fracción. En general:
a
b
a
2
ᎏᎏ Ϻ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 2 ϭ
b
a
b
2
a
ᎏᎏ
b
4 le sumas 12, ¿qué número habrá que sumar al denominador para que la fracción 5 obtenida sea equivalente a la dada? Razona la respuesta.
4.86 Si al numerador de
De
——
4 sumando 12 al numerador se pasa a 16. 5
ᎏᎏ
Sumar 12 equivale a multiplicar el numerador por 4. Para obtener la fracción equivalente hay que multiplicar al denominador por 4. 4 16 Luego, ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 5 20 Por tanto, el número que hay que sumar es 15. 4.87 María regaló la mitad de los caramelos que lleva a su amiga Sonia y del resto se tomó dos terceras par-
tes. Si al final le han quedado 2 caramelos, ¿cuántos llevaba al principio?
1 1 2 2 , y se tomó ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ, por tanto, la fracción de caramelos que le quedan es: 2 2 3 6 1 2 1 ᎏᎏ ϩᎏᎏ ϭ ᎏᎏ, que corresponde a 2 caramelos, por lo que María tenía inicialmente 12 caramelos. 2 6 6
María regaló: 1
Ϫ
ᎏᎏ
4.88 Halla los valores de a y b para que las siguientes igualdades sean ciertas.
a) a)
3 8
——
3 8
a b
——
4 8
7 8
b)
——
7 8
b)
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
3 4
——
3 4
a b
——
5 5
15 20
c)
——
15 20
20 30
——
20 c) ᎏᎏ 30
ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
:
a b
——
5 6
4 5
d)
4 5
7 d) ᎏᎏ 12
——
Ϻ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
7 12
a b
——
1
——
Ϫ
Ϫ5
ᎏᎏ
12
ϭ
1
4.89 En una clase de 35 alumnos sacan sobresaliente la mitad de los que sacan notable, y estos son la cuar-
ta parte de los que sacan suficiente. ¿Cuántos alumnos hay en cada uno de estos grupos de notas? Supongamos que sobresalientes son N alumnos. Sacan notable: 2N. Sacan suficiente: 4N. Por tanto, N ϩ 2N ϩ 4N ϭ 7N ϭ 35; de donde N Alumnos que sacan sobresaliente: 5. Alumnos que sacan notable: 10. Alumnos que sacan suficiente: 20.
ϭ
5
4.90 Escribe dos fracciones equidistantes entre las fracciones de cada una de las siguientes parejas.
a) Entre a)
1 3 y 2 4
——
b) Entre
——
5 8
3 y 2 5
——
13 c) ᎏᎏ 20
ᎏᎏ
4.91 ¿Por qué el cuadrado de una fracción irreducible es una fracción irreducible? Razona tu respuesta con
algún ejemplo. Si
a ᎏᎏ
b
es irreducible
(a
a)
и ᎏ ᎏ es también irreducible ya que son 2 fracciones irreducibles multiplicándose. (b b) и
P A R A
I N T E R P R E T A R
Y
R E S O L V E R
4.92 Ordenanzas municipales
Las ordenanzas municipales de un ayuntamiento determinan que para la construcción de una casa indi3 vidual se deben destinar, al menos, los del terreno 8 al jardín. Estudia si el proyecto correspondiente al croquis siguiente cumple con la reglamentación, y en caso contrario, indica alguna solución. ——
Según el croquis la superficie total de esta casa es de 156 cuadraditos. De jardín tiene 54 cuadraditos, por lo que la fracción de jardín es: 54 ᎏᎏ. Para ver si es mayor o menor que la fracción de terreno que 156 se debe destinar según las ordenanzas municipales, buscamos común denominador de ambas fracciones: m.c.m.(8, 156) ϭ 312. 3 8
ᎏᎏ ϭ
117 312
54 156
ᎏᎏ y ᎏᎏ
ϭ
108 156
ᎏᎏ, por tanto, el proyecto que sigue el croquis no cumple la reglamentación.
4.93 La fotocopiadora
Al pulsar la tecla RED de una fotocopiadora, la máquina genera un documento cuyas dimensiones serán 4 de las del original. 5 Calcula las dimensiones de la copia reducida de un folio de 30 21 centímetros cuando: a) Se pulsa la tecla RED una vez. b) Se pulsa la tecla RED dos veces. ——
4 5 4 4 ᎏᎏ и ᎏᎏ 5 5
a) Se pulsa solo una vez: 30 и b) Se pulsa dos veces 30
и
ᎏᎏ ϭ
24;
ϭ
19,2;
4 5 4 ᎏᎏ 5
21
и ᎏᎏ ϭ
21
и
16,8, las dimensiones son: 24
4 5
и ᎏᎏ ϭ
ϫ
16,8.
13,44 , las dimensiones son 19,2
ϫ
13,44.
A U T O E V A L U A C I Ó N
4.A1 Escribe tres fracciones equivalentes a 5 9
10 18
15 27
5 . 9
——
20 36
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4.A2 Copia y completa las siguientes fracciones para que sean equivalentes.
4 7
——
——
14
4 7
8 14
——
28
16 28
——
49
28 49
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4.A3 Calcula las fracciones irreducibles.
a)
4 8
4 8 30 b) ᎏᎏ 50 a)
c)
——
30 50
——
1 2 3 ϭ ᎏᎏ 5
72 c) ᎏᎏ 360 45 d) ᎏᎏ 120
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4.A4 Reduce las fracciones
72 b) —— 360
45 d) —— 120 ϭ
ϭ
36 4 ϭ ᎏᎏ 180 20 9 3 ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 24 8 ᎏᎏ
1 5
ϭ ᎏᎏ
3 6 11 , , a común denominador y ordénalas de menor a mayor. 5 7 15
——
——
——
Tomamos como numerador común 105. 63 90 77 3 11 6 Las fracciones equivalentes son: ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ. La ordenación es: ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ. 105 105 105 5 15 7
4.A5 Calcula y simplifica las siguientes operaciones.
2 3 4 b) 6 a)
——
——
4 12 8 24
5 6
——
6 15 12 d) 30 c)
——
——
——
2 4 5 8 4 10 3 12 6 12 12 12 4 8 2 1 2 b) ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 6 24 3 3 9 6 7 18 35 17 c) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ 15 9 45 45 45 12 4 96 4 d) ᎏᎏ Ϻ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 30 8 120 5 a)
——
2 12
7 9 4 8
——
:
——
1 6
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4.A6 Realiza las siguientes operaciones y simplifica.
a) 3 b)
5 7
c) 2
3
d)
——
7 8
——
3 5
1 2 2 7
37
——
——
——
——
17 35
——
21 5 26 7 7 7 7 7 24 17 b) ᎏᎏ Ϫ 3 ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ Ϫ ᎏᎏ 8 8 8 8 1 3 28 7 6 27 c) 2 Ϫ ᎏᎏ Ϫ Ϫᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 2 7 14 14 14 14 3 2 17 21 10 17 14 2 d) ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 5 7 35 35 35 35 35 5 a) 3
5 7
ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4.A7 ¿Es lo mismo los
valor. 2 4 de ᎏᎏ de 300 3 5 4 2 ᎏᎏ de ᎏᎏ de 300 5 3 ᎏᎏ
2 3 4 ᎏᎏ 5
2 4 4 2 de los de 300 euros que los de los de 300 euros? Calcula en cada caso su 3 5 5 3
——
——
4 5 2 ᎏᎏ 3
ϭ ᎏᎏ и ᎏᎏ и
300
ϭ
ϭ
300
ϭ
и
и
——
(2 4 300) ᎏ ᎏ 15 (4 2 300) ᎏ ᎏ 15 и
и
и
и
ϭ
160
ϭ
160
——
Por tanto, las fracciones son iguales. 4.A8 Ordena las siguientes fracciones:
3 8 6 , , igualando denominadores. 8 15 20
——
——
——
Denominador común: 120 45 64 36 120 120 120
8 15
ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, de donde, ᎏᎏ
3 8
6 20
Ͼ ᎏ ᎏ Ͼ ᎏᎏ
U N
R I N C Ó N
P A R A
P E N S A R
Coloca estas botellas de forma que en cada estante haya el mismo número de botellas y la misma cantidad de zumo. No es necesario recurrir a las ecuaciones. Si suponemos que cada botella contiene 1 l de zumo, con la ayuda de un dibujo y mediante el método de ensayo-error, tenemos que los tres grupos están formados por 7 botellas y 3 litros y medio de zumo cada uno. N.o de botellas llenas
N.o de botellas por la mitad
N.o de botellas vacías
Grupo 1
3
1
3
Grupo 2
2
3
2
Grupo 3
2
3
2