OPOSICIONES I.N.E
BLOQUE ESTADÍSTICA TEÓRICA BÁSICA: TEMA 4
TEM TEMA 4: DISTR ISTRIB IBUC UCIÓ IÓN N BIN BINOMIA OMIAL: L: PRO PROPIED PIEDAD ADE ES. DIST DISTRI RIBU BUCI CIÓN ÓN DE POIS POISSO SON: N: PROP PROPIE IEDA DADE DES. S. RELA RELACI CIÓN ÓN ENTRE ELLAS. OTRAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS. INTRODUCCIÓN: Para estudiar u !e"#e$ a%eat$ri$ %e asi&a#$s u #$de%$ de distri'u(i" )ue des(ri'a ra*$a'%e#ete 'ie su ($#+$rta#iet$, +ara a ($tiua(i", de(idir %$s -a%$res de %$s +ar#etr$s )ue #e/$r se a/uste a% e0+eri#et$.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: PROPIEDADES. 1. DISTRIBUCIÓN DISTRIBU CIÓN DE BERNOULLI BERNOU LLI 2Ó BINOMIAL BINOMI AL 21, +3 +3 Ó BINOMIAL 2,133 5a#$s a e0+%i(ar e% +r$(es$ de Ber$u%%i. Su+$&a#$s u e0+eri#et$ )ue ($siste e $'ser-ar e%e#et$s de ua +$'%a(i" ($ %as si&uietes (ara(ter6sti(as: La $'ser$'ser-a( a(i" i" se +ue +uede de (%asi! (%asi!i(a i(arr e d$s (ate& (ate&$r6 $r6as as ($#+%e ($#+%e#e #etari tarias as )ue %%a#are#$s: 70it$ E 8 !ra(as$ 9 . La +r$+ +r$+$r $r(i (i" " de E 8 9 e %a +$'%a(i" es ($state 8 $ se #$di!i(a (ua%)uiera )ue sea %a (atidad $'ser-ada 2ie, %$s e%e#et$s se ree#+%a*a ua -e* $'ser-ad$s $'ser-ad$s e %a +$'%a(i" +$'%a(i"3. 3. L%a#are#$s L%a#are#$s + a %a +r$'a'i%idad de 70it$ 8 ) 1 + a %a de !ra(as$. !r a(as$. Las $'ser-a(i$es s$ ide+edietes, es de(ir, %a +r$'a'i%idad de 70it$ es sie#+re %a #is#a 8 $ se #$di!i(a +$r (ua%)uier ($#'ia(i" de e%e#et$s 70it$ " !ra(as$ $'ser-ad$s, +$r tat$, es u +r$(es$ si #e#$ria.
Lue&$ %a distri'u(i" de %a -aria'%e a%eat$ria : 2, A
2, B 3 1, E , 9 %a de$#iare#$s distri'u(i" de Ber$u%%i de +ar#etr$ + sied$ + %a +r$'a'i%idad de 70it$, 8 %a de$tare#$s +$r B,1 " B1, + . , P3
Características B (1,!:
9u(i" de (uat6a: P 4 1 + ) , P 1 + si 0 9u(i" de distri'u(i": 92 0 3 1 + si 0 1 1 si 0 1 Es+era*a: P 1 P 1 1 + 1 + + 5aria*a: ; ; P 1; P 1 1 + 1 + + ; 5 ; + + ; +1 + +) Se da %a -aria*a #6i#a (uad$
5 1 ; + + =< +
9u(.(ara(ter6sti(a: t e it e it 4 P e it P 1 1 + +e it ) +e it
1
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;. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: La -aria'%e a%eat$ria ($ distri'u(i" 'i$#ia% se de!ie e u +r$(es$ de Ber$u%%i +$r: >#er$ de 70it$s a% rea%i*ar +rue'as, es de(ir, re+eti(i$es ide+edietes e u +r$(es$ de Ber$u%%i sied$ e t$das e%%as %a +r$'a'i%idad de 70it$ %a #is#a + . E% es+a(i$ #uestra% de 2+$si'%es resu%tad$s3 ser t$d$s %$s -a%$res etre 8 . Para (a%(u%ar %a +r$'a'i%idad de u -a%$r +arti(u%ar r ($sidera#$s e% su(es$ ? r 70it$s, se&uid$s de r !ra(as$s@ EE r 3 E9 r 3 9 P$r %a i+"tesis de ide+ede(ia %a +r$'a'i%idad de este su(es$ es: ⋯
r 3
r 3
⋯
⋯
⋯
1 + + r 1 + r + +1 + Per$ ($#$ %$s r 70it$s +uede a+are(er e (ua%)uier $rde, e% >#er$ de su(es$s se $'tiee +er#utad$ %as %etras E 8 9 de t$das %as !$r#as +$si'%es:
r r r Lue&$, %a !u(i" de (uat6a de ser: P r r + r 1 + r , Pr , r
r ,1,
,
5e#$s )ue es !u(i" de (uat6a:
P r
r 4
r 4
P r r + r 1 + r + 1 + 1 1
Esta distri'u(i$es de$ta +$r B, + Bi$#ia% de +ar#etr$s 8 + . La !u(i" de distri'u(i" de B, + es: 92 0 3 r + r ) r , es dis(reta. r 0 Para + -aria'%e de&eerada e + 1 -aria'%e de&eerada e 1 B1, + , Ber$u%%i
Pr""sici#$: B2 , +3 $ # P C P ! C , ! B2 ,1 +3"
C ,1,
,
Pr"ie%a%es:
La distri'u(i" de Ber$u%%i es ua 'i$#ia% de +ar#etr$s 1, + . P$r tat$ t$das %as +r$+iedades )ue -ere#$s se tras%ada a B1, + a(ied$ 1 . La B, + es %a su#a de distri'u(i$es B1, + ide+edietes. B , + ,
i ($ i B1, + i 1
9u(i" (ara(ter6sti(a: t ) +e it
;
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Es+era*a: +
5aria*a: 5 +)
Des-ia(i" t6+i(a: %
+)
Pr$'a'i%idad #0i#a " -a%$r #$da%: Ser a)ue% -a%$r de %a distri'u(i" )ue -eri!i)ue %a desi&ua%dad + ) M$ + + . Pr$+iedad aditi-a " re+r$du(ti-a: La su#a de -aria'%es ide+edietes i B i , + ta#'i7 es 'i$#ia%, es de(ir: ! 1 B 1 , + B , + ($ 1 ⋯
e
tr r r
r 4
⋯
9u(i" &eeratri* de #$#et$s: &t
⋯
r +
)
t ) r ) +e t r +e r
r 4
B t % 2 t 3 % ) +e it
9u(i" &eeratri* de (u#u%ates:
La asi#etr6a de %a distri'u(i" au#eta ($ %a di!ere(ia ) + 8 %a distri'u(i" es si#7tri(a +ara + ) 4=<
A&'ste %e '$a %istri'ci#$ i$")ia* a '$a %istri'ci#$ %e +rec'e$cias. De u ($%e(ti-$ se e0trae ua #uestra $'tei7d$se %a distri'u(i" de !re(ue(ias: 0i i 1 1 D$de i desi&a %as ... ... !re(ue(ias $'ser-adas . N Quere#$s a-eri&uar si %a #uestra +r$(ede de u ($%e(ti-$ )ue se distri'u8e 'i$#ia%#ete 2+ara es$ a/ustare#$s %a 'i$#ia% a ua distri'u(i" de !re(ue(ias3. C$#$ $ ($$(e#$s & 2-a%$r te"ri($ #edi$3 %$ esti#a#$s +$r %a #edia #uestra%: '0 &D 0 i i 2a(e#$s & + 3 N
C$#$ e ua B#, + se -eri!i(a )ue & # + # + 0 +
0 #
) 1 + 1
0 #
Ca%(u%are#$s %as +r$'a'i%idades de B#, + ($ %$s +ar#etr$s esti#ad$s: + 0 1 + 0 , 0 ,1, , # P 0 # 0
Desi&a#$s +$r it %as !re(ue(ias te"ri(as )ue se $'tiee #u%ti+%i(ad$ %a !re(ue(ia t$ta% N +$r %as res+e(ti-as +r$'a'i%idades. 9ia%#ete se ($#+ara %as !re(ue(ias $'ser-adas i ($ %as te"ri(as it 8 si %as di!ere(ias $ s$ &rades, a!ir#are#$s )ue %a #uestra +r$(ede de u ($%e(ti-$ )ue se distri'u8e 'i$#ia%#ete, e&ad$ e (as$ ($trari$ 2+ara ($#+r$'ar%$ se rea%i*ar
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ua +rue'a de '$dad de a/uste3. Para ($#+r$'ar )ue $ e0iste err$r e %$s (%(u%$s de'e (u#+%irse: ' P 0 1 ' i it
Te"re)a %e Ber$"'**i: Sea B, + 8 ($sidere#$s %a -aria'%e a%eat$ria ( ($:
(
+
5(
+
5 ;
+) ;
+)
C$sidera#$s %a desi&ua%dad de Mar$-: P&( C
&(
Fa(ied$ &( ( + ; 8 P ( + ;
)ue (uad$
&( )
C
C )
C * ; tee#$s )ue:
+)
+)
* ; ( + 5( +) P ( + * ; * *; *; * ; * ; ;
+ tee#$s )ue P ( + * %i# P + . +
E% te$re#a de Ber$u%%i $s di(e )ue +$de#$s e#+%ear +ara esti#ar %a +r$'a'i%idad + + (uad$ . E %a +r(ti(a es !iit$, %ue&$ de'e deter#iarse ta% >#er$ +ara )ue est7 ($#+redida etre + * 8 + * ($ +r$'a'i%idad &rade.
Si des($$(e#$s +, ($#$ e(esita#$s (a%(u%ar
+) * ;
+ + ; * ;
+ + ; 1 ; + 1 $ + 1 1 ; + * ; * ; +) ; ; ; # ; ; + + * ; * ; + ; * ; * ; M0i#$ "
E% te$re#a de Ber$u%%i %$ +$de#$s e0+resar: P ( + *
, e% #0i#$ a+are(er e:
1 4 * ;
+) * ;
1 4 * ;
DISTRIBUCIÓN DE POISSON: PROPIEDADES: Ua -aria'%e a%eat$ria se di(e )ue tiee distri'u(i" de P$iss$ (uad$ +uede t$#ar t$d$s %$s -a%$res eter$s 8 +$siti-$s ,1,;, ... ($ +r$'a'i%idad: 4
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P 0
e ,
,0
0
, 0
,1,;,
29u(i" de (uat6a3.
Es ua distri'u(i" de +r$'a'i%idad de ti+$ dis(ret$: P 0
+
P 0 1
0 4
La !u(i" de distri'u(i" es: 92 0 3 P 0
0
e
,
C 4
,C
C
Pr"ie%a%es:
9u(i" (ara(ter6sti(a: t e , e
it
Es+era*a: ,
5aria*a: 5 ,
5a%$r #$da%: , 1 M$ ,
9"r#u%a re(ursi-a de P$iss$:
9u(i" &eeratri* de #$#et$s:
1
P 2 0 3
, P 2 0 13 ,
& + t
t e , e 1
9u(i" &eeratri* de (u#u%ates: + t % t % e , e Pr$+iedad aditi-a " re+r$du(ti-a -, : Sea 1 , ide+edietes, ($ i -, i , et$(es: ! 1 - , , i i
it
1 , e it
1
, -aria'%es
a%eat$rias
⋯
Distri'u(i$es ($di(i$adas: Sea 1 , ; -aria'%es a%eat$rias ide+edietes ($ i -, i , i 1,; . La distri'u(i" de %a -aria'%e a%eat$ria 1 ($di(i$ada +$r %a -aria'%e su#a 1 ; es ua distri'u(i" 'i$#ia% ,1 1 B 8, 1 ; 8 ,1 , ;
A*icaci"$es:
Se a+%i(a !uda#eta%#ete (uad$ se trata de u su(es$ ($ +r$'a'i%idad #u8 +e)ueGa e (ada $'ser-a(i" 8 trata#$s de $'teer +r$'a'i%idades de )ue $(urra e% su(es$ u (iert$ H de -e(es e u >#er$ #u8 &rade de $'ser-a(i$es. <
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La distri'u(i" de P$iss$ +uede t$#ar (ua%)uier -a%$r atura% +er$ %as +r$'a'i%idades de )ue %a -aria'%e t$#e -a%$res (ada -e* #a8$res de(re(e de !$r#a #u8 a(e%erada 8 %a #a8$r6a de %a +r$'a'i%idad se a(u#u%a e #u8 +$($s de+edied$ de , . Se ($$(e ta#'i7 ($#$ distri'u(i" de %$s su(es$s rar$s. E 1J se a+%i(" +ara estudiar e% >#er$ de s$%dad$s #uert$s de% e/7r(it$ +rusia$ +$r ua ($*. Se a+%i(" t'. a %a #$de%i*a(i" de +art$s #>%ti+%es e L$dres 2%a +r$'a'i%idad de $'teer #e%%i*$s, tri%%i*$s,K dis#iu8e a u rit#$ ($sidera'%e3. A(tua%#ete se usa e %a Te$r6a de C$%as +ara #$de%i*ar %a distri'u(i" de %%e&adas a u +ut$ deter#iad$ d$de se ir !$r#ad$ ($%as. Se usa +ara #$de%i*ar (ua%)uier su(es$ rar$: a-er6as de #)uias e e% tie#+$, >#er$ de erratas +$r +&ia de% %i'r$...
Distri'ci#$ %e P"iss"$ c")" *í)ite %e '$a i$")ia* Su+$&a#$s )ue e ua B , + , + es #u8 +e)ueGa, &rade 8 ade#s )ue + , (te, et$(es +$de#$s a+r$0i#ar ua distri'u(i" 'i$#ia% +$r %a de P$iss$: Cuad$ e %a 'i$#ia% + =1 se +uede sustituir +$r %a de P$iss$ Otr$s aut$res di(e )ue %a a+r$0i#a(i" es 'uea si + =1 , + <
O'ser-a(i": P$de#$s ($siderar e% +r$(es$ de P$iss$ ($#$ a)ue% e )ue $'ser-a#$s su(es$s +utua%es s$'re u s$+$rte ($tiu$, es de(ir, &eera%i*a(i" de% +r$(es$ de Ber$u%%i. C$se(ue(ia: E% (%(u%$ de% +ar#etr$ , +uede $'teerse: 1. A +artir de 8 + ($$(id$s , + ;. C$#$ -a%$r t7r#i$ #edi$ de %a -aria'%e , . Esti#ad$ a +artir de %a #edia de ua #uestra de -a%$res $'ser-ad$s: +D
0 #
Re*aci#$ c"$ *a %istri'ci#$ a))a: 1. E% tie#+$ tras(urrid$ etre %a +rese(ia de% a($te(i#iet$ 2i13 8 e% a($te(i#iet$ i si&ue %a distri'u(i" e0+$e(ia% de +ar#etr$ , . ! 2 t 3 ,e ,t t) s$ tie#+$s ide+edietes. ;. La distri'u(i" de% tie#+$ T 2tie#+$ tras(urrid$ asta %a +rese(ia de a($te(i#iet$s3 es 2 , ,3. ,C ,t C 1 ! T e t si t C 2C 13 . E% >#er$ de a($te(i#iet$s )ue se +uede +resetar e e% iter-a%$ de tie#+$ T si&ue ua -2,T3 e ,T 2,T3 C ,1,;.... P2 C O T3 C
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Distri'ci"$es %e P"iss"$ c")'estas: Ua -aria'%e a%eat$ria (u8a distri'u(i" de+ede de u +ar#etr$ tiee distri'u(i" ($#+uesta si a su -e* es -aria'%e a%eat$ria. Si ! 0 , es %a !u(i" de desidad de dad$ , & es %a !u(i" de desidad de 2" de (uat6a si s$ dis(retas3. Et$(es: ! 0
+
.+ ! 0,
& d
es %a !u(i" de desidad de si es -aria'%e a%eat$ria ($tiua 2 sustitui#$s . +$r si es dis(reta3.
Distri'u(i" 'i$#ia% ($#+uesta ($ ua P$iss$. B, + $ %a distri'u(i" ($#+uesta es ua -, / , + ! -, #"
Distri'u(i" de P$iss$ ($#+uesta ($ ua a##a: -, $ # %a ($#+uesta es ua 'i$#ia% e&ati-a de +ar#etr$s r 8 + , ( , r " 1
Distri'u(i" de P$iss$ ($#+uesta ($ $tra P$iss$ i -,1 id. ! -, ;
i
$ i -,1 Ne8#a Ti+$ A ($ ua %e8 de # "
+r$'a'i%idad ($#+%i(ada +er$ ($ es+era*a ,1, ; 8 -aria*a ,1, ; 1 ,1
Distri'ci#$ %e P"iss"$ Tr'$ca%a:
PR
PR C , R ) R) 1 P R
C
1
1 e ,
e ,
,C
C
Ar"-i)aci"$es %e a*'$as %istri'ci"$es a *a %istri'ci#$ $"r)a*: 1. Distri'u(i" Bi$#ia%: P$r e% te$re#a de De M$i-reLa+%a(e +ara &rade: B , + 0 N +, +) . La a+r$0i#a(i" es su!i(iete si: , + =1 . Si + =1 " E4 %a a+r$0i#a(i" es a(e+ta'%e si + ) < ;. Distri'u(i" de P$iss$: C$#$ %a su#a de -aria'%es a%eat$rias ide+edietes ($ distri'u(i" i -, es ua P$iss$ de +ar#etr$ %a su#a de +ar#etr$s, +$de#$s ($siderar esta distri'u(i" a+r$0i#ada#ete $r#a%, es de(ir: -2,3 0 N2,, ,3 Esta a+r$0i#a(i" se ($sidera a(e+ta'%e si , ) <.
OTRAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS:
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1. Distri'u(i" de&eerada " (ausa% e : T$da %a #asa de +r$'a'i%idad se e(uetra (etrada e u +ut$. ! .d
P C 1 P C 1
90
si 0 C
1 si
0 C
C 5 C ; t e it e itC
;. Distri'u(i" ; +ut$s: Ua -aria'%e a%eat$ria tiee distri'u(i" e d$s +ut$s si s"%$ t$#a %$s -a%$res 01 8 0 ; , 0 1 0 ; ($ +r$'a'i%idades: P 01 1 + $
+ 1
# "
P 0 ; +
90 1 + 1
si 0 01 si 01 0 0 ; si 0 0 ;
01 1 + 0 ; + ; 0 1; 1 + 0 ;; + ;
5 + 1 + 0 ; 0 1 t e it 1 + e it01
+e it0 ;
. Ui!$r#e dis(reta: Ua -aria'%e a%eat$ria si&ue ua distri'u(i" ui!$r#e dis(reta si +uede t$#ar -a%$res distit$s 0 1 , , 0 ($ %a #is#a +r$'a'i%idad (ada u$ de e%%$s. Es de(ir, se re+arte %a #asa t$ta% de +r$'a'i%idad +$r i&ua% $ ui!$r#e#ete. $ 1 P 0 , i 1 , , # i "
C 1 C 90 90 C P 0 C i 1
si 01
0 0;
⋮
C
si 0 C 0 0 C 1
⋮
si 0 0
1
0 i;
0i
;
i 1
i 1
0 i 0
5
si 0 0 1
1
0i
;
i 1
($ 0
i 1
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t e
it
1
it0 i
i 1
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4. e$#7tri(a " de Pas(a% Sea u !e"#e$ di($t"#i($ ($ a%terati-as A 8 A ( . Rea%i*a#$s su(esi-$s e0+eri#et$s de Ber$u%%i ide+edietes ($ +r$'a'i%idad ($state PA + . si&ue + si %a +r$'a'i%idad de )ue a+are*(a +$r +ri#era -e* e% su(es$ A tras r +rue'as es %a #is#a )ue: A ( A ( r 3 A ( A ($ P 1 + r + , + 1 . Lue&$: P r ) r + r ,1,;,, ⋯
es e% >#er$ de !ra(as$s ates de% +ri#er 70it$. Es !u(i" de (uat6a, 8a )ue: P r ) r + +
+
r 4
r 4
P r +) r + 1 1 ) + + 1 Tee#$s )ue : 90
t
0
0
r 4
r 4
P r ) + + ) +
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1 ) 0 1
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//t t 4 i;
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;
1 1 e it )
+ 1 e it )
5
1
) + ;
2 +3 $ -eri!i(a %a +r$+iedad aditi-a, +er$ s6 %a !a%ta de #e#$ria.
Se a+%i(a e e0+eri#et$s de re+eti(i" de u !e"#e$ (uad$ i&ua $'ser-a(i" ($di(i$a a $tra +$steri$r. Si ua -.a. t$#a -a%$res eter$s $ e&ati-$s 8 (u#+%e %a +r$+iedad de% $%-id$ es ua -aria'%e a%eat$ria &e$#7tri(a. <. Bi$#ia% e&ati-a: Rea%i*a#$s u e0+eri#et$ ($ d$s a%terati-as: 70it$ 2E3 8 !ra(as$ 293 ($: P E + , P2 93 1 + si&ue ua 'i$#ia% e&ati-a si +r$+$r(i$a %a +r$'a'i%idad de )ue se +r$du*(a !ra(as$s ates de% r7si#$ 70it$: C 3 r 13 $ E99 9E # PE E9 9E + r 1) C + ) C + r EE " C C r 1 !$r#as de $rdear r 1 70it$s 8 !ra(as$s. Fa8 P C C C r 1 ) C + r ($ C ,1,;, Tee#$s )ue: ⋯
⋯
⋯
⋯
J
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si 0 90 P 0 C r 1) C + r
r
t + r 1 )e it /t t 4 ) r i
5
si
$ C 0 C 1# "
+
;
t t 4 i
;
r) +
r r 1) ; + ;
r) + ;
. Fi+er&e$#7tri(a F N, , + : Se a+%i(a a %a e0tra((i" si ree#+%a*a#iet$. Su+$&a#$s ua ura ($ N '$%as 2 N1 '$%as '%a(as 8 N ; e&ras3. E0trae#$s '$%as '%a(as 8 )uere#$s (a%(u%ar %a +r$'a'i%idad de $'teer u >#er$ de '$%as de u deter#iad$ ($%$r. Sea e% ?>#er$ de '$%as '%a(as e0tra6das@. N1 N ; C C P C N
C #i , N1 C #i , N ; #a0, N ; C #i , N1
P2 C 3
E% #uestre$ S.R tiede a% #uestre$ C.R: si N + F2N,,+3 0 B2,+3 N1 N ; 0 C 92 0 3 P 0 C 4 N N + 5 +) N 1 0
Se a+%i(a e e% ($tr$% de (a%idad, e(uestas de $+ii", ... B#, + $ Pr$+iedad: # ! * F# , *, + ! B , + "
1