UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA QUÍMICA CÁTEDRA: CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS
Ing. Jean Ortiz
Criterio de estabilidad: “Para que un sistema de control sea estable, todas las raíces de la ecuación característica deben ser números reales negativos o números complejos con parte real negativa”, tal que: jω
El objetivo de desempeño es que la salida y(t) debe seguir una forma pre-especificada de referencia r(t), a pesar de las perturbaciones d(t) y variaciones en la planta P(s).
Zona de estabilidad
R
Lazo bien planteado: Un lazo de control está bien planteado, si todas las funciones de transferencia asociadas con el lazo son físicamente realizables. U(s)
X(s)
R(s) +
+
C(s)
d(s) P(s)
+
-
Y (s)
+ F(s)
η(s)
+
Estabilidad interna: Un sistema de control realimentado es internamente estable si y solo si las raíces de la ecuación característica: NP(s)NC(s) NF(s)+DP(s)DC(s) DF(s), se encuentran en el semiplano izquierdo del plano de Laplace, dónde: P ( s )
N P ( s ) DP ( s )
, C ( s )
N C ( s ) DC ( s )
, F ( s )
N F ( s )
, son fracciones coprimas, es decir, no DF ( s ) existen términos comunes entre los polinomios del numerador (N) y del
Análisis de estabilidad de los sistemas de control
Métodos analíticos: i. Routh – Hurwitz: permite determinar el número de raíces con parte real positiva en la ecuación característica. ii. Sustitución directa: utiliza la transformada de Fourier para encontrar el punto en el que el lazo de control se vuelve inestable b. Métodos gráficos: i. Lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica (LGREC): consiste en graficar las raíces de la ecuación, cuando algún parámetro cambia en el gráfica se puede observar si algún polo pasa al semiplano derecho indicando que el sistema podría ser inestable. ii. Repuesta en frecuencia: se basa en la respuesta del sistema realimentado ante señales de entrada sinusoidales. a.
Criterio de estabilidad de Routh – Hurwirz: Establece un procedimiento para determinar el número de raíces con parte real positiva e un polinomio, sin necesidad de encontrar realmente las raíces por métodos iterativos. Este procedimiento se aplica solo a los polinomios con una cantidad finita de términos.
Procedimiento i. Ordenar el polinomio de forma decreciente an s ii.
n
an 1s
n 1
an 2 s
n 2
a1s a0 0
Se prepara la matriz apropiada: n
s : s
n 1
s
n 2
s
3
:
an : :
an 1 b1 c 1
an 2
an 4
an 3
an 5
b2 c 2
b3 c 3
s:
0
0
s :
0
0
a1 a0 0
0
b1
0
b2
0
c 1 c 2
an 1 * an
2
an an 1 * an
3
an * an
1
an 1 * b2
b1 b1 * an
5
b1
3
1
4
an b1 * an
an * an
an 1 * b3
5
iii. iv.
El proceso continua hasta que todos los términos de la fila sean cero. Una vez conformado el arreglo, se puede determinar el número de raíces con parte real positiva, mediante el conteo de la cantidad de “cambios de signos” en la primera columna de la matriz
Casos especiales de Routh – Hurwitz a.
Se anula el primer término de una fila, pero no todos:
Procedimiento i. Se sustituye dicho coeficiente por una variable auxiliar ( ε) y se sigue evaluando los restante hasta completar la matriz. ii. Se toma el límite cuando ε tiende a infinito en aquellos términos que la contengan. iii. Se aplica el criterio de cambio de signo. b.
Se anula una fila completa antes de terminar el arreglo:
Procedimiento i. Se obtiene una ecuación auxiliar con la fila anterior. ii. Se deriva la ecuación auxiliar. iii. Se sustituyen los coeficientes de la ecuación derivada en la nula. iv. Se continua aplicando el criterio de Routh – Hurwitz
c.
Estabilidad condicional :
Procedimiento i. Se completa el arreglo de Routh, manteniendo los términos expresados en función de la ganancia. ii. Por cada término que depende de K, aparece una inecuación que expresa la condición necesaria para que el sistema sea estable. iii. Se despeja el valor que debe tener K en cada inecuación. iv. La ganancia del sistema estará comprendida en el rango donde se satisfagan todas inecuaciones planteadas.
Método de sustitución directa: se basa en el hecho de que la ecuación característica varia continuamente con los parámetros del circuito. Para que las raíces se muevan del plano izquierdo al derecho, debe cruzar el eje imaginario, en ese punto el circuito “es marginalmente inestable ”
Procedimiento Dada la ecuación característica : 1 G( s )H ( s ) 0 i.
la frecuencia última de oscilación; mayor frecuencia con la que puede oscilar la respuesta de un sistema de control realimentado sin que se vuelva inestable. Se sustituye la variable compleja “s” por “ j ωu”, siendo
u
ii.
2
T u
ωu
, T u : Tiempo último de oscilación
Se obtienen dos inecuaciones: Parte real =0 Parte imaginaria=0 A través de estas es posible determinar la ganancia última del sistema ( K u: máximo valor que puede tomar la ganancia del controlador sin que el sistema se vuelva inestable) y la frecuencia última de oscilación del sistema.
LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA (LGREC): Técnica desarrollada por W.G. Evans en 1948, que consiste en graficar las raíces de la ecuación característica cuando una ganancia o cualquier otro parámetro de control cambia. En el gráfico se puede apreciar si algún polo cruza el eje imaginario del lado izquierdo al derecho, lo que indica que el sistema podría ser inestable.
Fundamentos Considere:
R(s) +
C(s)
P(s)
Y(s)
F(s)
Donde: G( s )
P ( s )C ( s ) 1 P ( s )C ( s )F ( s )
, Ecuación característica: 1 P ( s )C ( s )F ( s ) 0 1 L( s ) 0
L(s): Función de transferencia a lazo abierto
a. Condición de Magnitud : m
Condiciones necesarias
s z i G( s ) K
i 1 n
s p j
1
b: Condición de angularidad: m
n
i 1
j 1
s z i s p j 2 K
i. ii. iii. iv. v. vi.
CARACTERÍSTICAS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA Es simétrico respecto al eje real. Sobre el eje real el LGREC existe en aquellas zonas donde haya una cantidad impar de polos y ceros a la derecha del punto. Las curvas del LGREC se originan siempre en los polos de L(s) (K=0) y concluyen en los ceros de esta ecuación (K→ ∞). La cantidad de ramas que tienden a infinito es igual al número de polos que tenga L(s). La cantidad de ramas que tienden a infinito viene dada por la diferencia entre el número de polos ( n) y el número de ceros ( m). Las ramas del LGREC que tienden a infinito lo hacen sobre asíntotas, que deben pasar por el centro de gravedad ( Cg ) de los polos y ceros de L(s). m
n
j 1
i 1
p j z i Cg
nm
, Estas asíntotas forman los siguientes ángulos con el eje real positivo: 180 360 K k , K 0,1,2,..., (n - m) - 1 nm
vii.
CARACTERÍSTICAS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA Los puntos en los que las ramas se juntan y separan sobre el eje real, o llegan desde la región compleja del plano de Laplace, se conocen como puntos de ruptura, y se determinan al resolver una de las siguientes ecuaciones: n m
a ) i 1
n
1 s z i
1
sp j 1
b )
j
dK ds
s - p j
0 , con K
j 1 n
s - z i i 1
viii.
En los puntos de ruptura, las ramas se alejan o llegan al eje real con ángulos de 90º Cuando una rama se aleja de un polo complejo pk , el ángulo de alejamiento respecto al eje real viene dado por: m
m
i 1
j 1
s 180 pk z i pk p j , pk : Polo en estudio
ix.
Cuando una rama llega a un cero complejo z k , el ángulo de llegada respecto al eje real viene dado por: n
m
LL 180 z k p j z k z i , z k : Cero en estudio
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR EL LGREC Ubicar los polos y ceros de L(s) en el plano de Laplace. Determinar las zonas del eje real donde hay lugar geométrico. Determinar el número de ramas que tienden a infinito. Calcular el centro de gravedad y los ángulos de las asíntotas, Encontrar los puntos de ruptura. Determinar los ángulos de salida de los polos complejos y ángulos de llegada de los ceros complejos. Encontrar los puntos en los que las ramas cruzan el eje imaginario aplicando sustitución directa. Trazar el LGREC.
CASOS ESPECIALES
a. Realimentación positiva i. ii.
El LGREC existe en las zonas del eje real donde hay una cantidad par de polos y/o ceros a la derecha del punto. Los ángulos de las asíntotas se calculan a través de los siguientes modelos: 360 K
k iii.
n
m
, K 0,1,2,..., (n - m) - 1
Los ángulos de salida y llegada de los ceros y polos complejos se determinan de la siguiente forma: m m
s
LL
pk z i pk p j , pk : Polo en estudio i 1
j 1
n
m
z k p j z k z i , z k : Cero en estudio j 1
i 1
b. La ganancia no aparece en el numerador: Se debe ajustar la ecuación característica
de tal forma que la ganancia se encuentre en el numerador.
