UNMSM–FISI–EAPIS – PROBABILIDADES PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA- SEM. 2016-2 DISTRIBUCIONES IMPORTANTES
DE
PROBABILIDAD
DE
VARIABLE
DISCRETA
MÁS
Existe un gran número de modelos para estudiar la distribución de grupos de datos que provienen de una variable aleatoria. Disponiendo de la distribución de probabilidad , a partir de ella se puede obtener toda la información que se requiera acerca de la variable aleatoria en estudio, incluyendo sus características numéricas. El alumno podrá, frente a un fenómeno aleatorio, decidir si le corresponde como modelo alguna de las distribuciones que aquí presentamos. Entre las distribuciones de variable discreta tenemos la distribución: de Bernoulli, binomial, geométrica, hipergeométrica, de Poisson, de Poisson, etc.; y entre los modelos de variable continua tenemos las distribuciones: uniforme, normal, exponencial, Chi-Cuadrado, t de Student, F de Snedecor. de Snedecor.
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI Una prueba o ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio que tiene sólo dos resultados posibles. Comúnmente se suele denominar a uno de ellos como éxito (E) y al otro como fracaso (F).
Ejemplos de ensayos de Bernoulli: -
Lanzar un misil a un objetivo y ver si acierta o no. Probar un artefacto y decidir si su funcionamiento es sat isfactorio o no. Elegir al azar un estudiante del aula y ver si está invicto académicamente o no.
El espacio muestral asociado a una prueba de Bernoulli es: { E , F } , donde los resultados pueden o no ser equiprobables, siendo P(E) = p, donde 0< p < 1. Si en este experimento definimos la variable aleatoria X tal que X(E)=1 y X(F)=0, la distribución de probabilidad de la variable X es: xi : 0 1 p(xi) : 1-p p La distribución de Bernoulli también se puede representar mediante la siguiente fórmula: x 1 x para para x 0, 1. p( x) p (1 p) El parámetro de este modelo es p, donde o
Características Características Numéricas: La esperanza y la varianza de una variable aleatoria discreta X que sigue la distribución de Bernoulli, con parámetro p son: E(X) = p
Y
V(X) = p(1-p)
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Si un ensayo de Bernoulli se repite n veces de manera independiente (quiere decir que la probabilidad de que aparezca E en cada repetición es igual a p), habremos realizado un experimento binomial. La variable aleatoria X que indica el número de veces que aparece E, en las n repeticiones del experimento, toma los valores 0, 1, 2, 2, ...,n. La La distribución de la variable X es binomial, binomial, con parámetros n y p.
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UNMSM–FISI–EAPIS – PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA- SEM. 2016-2 La ley de probabilidad binomial se denota del modo siguiente: p (k )
P X
k
C k n p k (1
p) n k para k = 0, 1, 2, ...., n; 0 < p < 1. ;
n y p son los parámetros del modelo. Notación: Si X sigue la distribución binomial con parámetros n y p, se escribe X
b(n, p).
Observación: Cuando n=1, la distribución binomial corresponde a la distribución de Bernoulli con parámetro p.
EJEMPLOS: 1) Si se lanza una moneda correcta 10 veces, entonces la v.a. X que cuenta el número de caras que aparecen en los 10 lanzamientos tiene distribución binomial (ya que cada lanzamiento es un ensayo de Bernoullí que se ha repetido 10 veces) con parámetros n = 10 y p = 1/2, siendo p la probabilidad de que aparezca cara en cada lanzamiento.
2) Se considera que la proporción de odontólogos que atienden en provincias es sólo el 5%. Si se eligen 10 odontólogos al azar del registro de todos los odontólogos del país, a) ¿cuál es la probabilidad de que 4 de ellos atiendan en provincias? b) ¿cuál es la probabilidad de que el número de odontólogos que atienden en provincias sea mayor o igual que 3 y menor o igual que 5?
SOLUCION: Considerando que la población de odontólogos es muy grande, la elección de cada uno de los 10 odontólogos de la muestra es un ensayo de Bernoulli, que se repite 10 veces, con probabilidad de éxito (que atienda en provincia) igual a 0.05, la misma para cada elección. Si X representa el número de odontólogos que atienden en provincias, de los 10 elegidos, se supone que X tiene distribución binomial b(10, 0.05). Luego se tiene que a) P[X = 4] = C 410 0.054 0 .956 0.00096 b) P (3 X 5) = P(X=3) + P(X=4) +P(X=5) = 0.01150.
3) Por experiencia se ha determinado que un 2% de las vacunas que se preparan en un laboratorio pierden su efectividad después del décimo día de preparación. Hallar la probabilidad de que más de dos vacunas de una caja de 10 resulten ineficaces después del décimo día de preparadas.
SOLUCION: Si X es el número de vacunas ineficaces en cada una de las cajas de 10, se tiene que X b(10, 0.02).
2
Luego, P(X>2) = 1 – P(X 2) = 1 -
C
10
x
0.02 x 0.9810 x =0.0009.
x 0
4) Se supone que en un proceso de fabricación de botellas de vidrio, es ideal que el porcentaje de defectuosas sea pequeño. Para comprobar si se mantiene con el tiempo esa calidad, se extrae una muestra de tamaño N cada cierto tiempo. Si en una de estas muestras se encuentra por lo menos una ___________________________________________________________________ PROFESORA: LIC. JUSTA CARIDAD HUAROTO SUMARI
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UNMSM–FISI–EAPIS – PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA- SEM. 2016-2 defectuosa, el proceso se detiene. Si el proceso pasara a producir el 5% de defectuosas, el fabricante desearía que este cambio se notara con probabilidad igual a 0.95. ¿cuál debe ser el valor de N para que se cumplan los deseos del fabricante?
Solución: Se desea hallar el valor de N de tal modo que, cuando la proporción de defectuosas en toda la producción sea del 5%, la probabilidad de que se tenga por lo menos una botella defectuosa en la muestra sea 0.95. Sea X el número de botellas defectuosas en cada muestra de tamaño N. Luego, X tiene distribución binomial con parámetros N y p= 0.05, y según la condición 0.95 = P(1 X N) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0.95 N resulta N=59.
Características Numéricas: Si una v.a.X tiene distribución binomial, con parámetros n y p, entonces se cumple que la esperanza y la varianza son: E(X) = np y V(X) = npq, en donde q=1-p.
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA Consideremos una población finita de N elementos, r de los cuales tienen cierta característica de interés y los N-r restantes no la tienen. De esta población, dividida en dos categorías, se eligen al azar y simultáneamente n elementos y se considera la variable aleatoria X que cuenta el número de elementos elegidos que poseen la característica de interés. En este experimento el evento [ X k ] ocurre si y solo si exactamente k elementos elegidos poseen la característica de interés, para 0 k r .
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución hipergeométrica si su distribución hipergeométrica, con parámetros N, r y n si su distr ibución de probabilidad es r C k r C N n k p(k ) P X k C N n
siempre que los valores k de la variable cumplan con máx [0, n – (N-r)]
k min
[n, r]
Notación: Si una v.a. X tiene distribución hipergeométrica, se escribe X H(N,r,n).
El modelo es el mismo si las extracciones se hacen de una en una y sin restitución. A diferencia del experimento binomial, en este caso la v. a. X cuenta el número de éxitos en n ensayos no independientes de Bernoulli, con probabilidad de éxito p = r/N constante en cada ensa yo.
EJEMPLO: Un fabricante ofrece un artículo en lotes de 10 unidades, de los cuales el 80% son buenos. Para comprar un lote, el comprador extrae dos artículos al azar y si los dos están buenos compra el lote; en caso contrario, lo rechaza. El costo de producción y “puesta en tienda” de cada lote es de 800 soles. Cuando se logra vender el lote se obtiene una utilidad de 300 soles. a) Obtener la distribución de probabilidad de la ganancia neta por lote. b) Si cada día el fabricante ofrece 15 de estos lotes, ¿cuál es el número esperado de lotes que vende? ___________________________________________________________________ PROFESORA: LIC. JUSTA CARIDAD HUAROTO SUMARI
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UNMSM–FISI–EAPIS – PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA- SEM. 2016-2 SOLUCION: a) En este caso, la ganancia neta por lote toma los valores 300, cuando se han extraído dos artículos buenos, y – 800 cuando se han extraído menos de dos artículos buenos. Sea la v.a. X: número de artículos buenos extraídos de cada lote. Entonces, X H(10, 8, 2). Si G = ganancia neta por lote, entonces R x = {-800, 300} de modo que
8
P(G = 300) = P(X = 2) =
2
C 2 C 0 10
C 2
= 28/45
y P(G = -800) = P(X< 2) = 17/45. Luego, la distribución de probabilidad de G es: g p(g)
300 28/45
-800 17/45
c) El ofrecer cada lote constituye un ensayo de Bernoulli, con probabilidad de venderlo (éxito) igual a 28/45, constante para cada lote. Sea la v.a. Y el número de lotes vendidos cada día. Así definida, Y tiene distribución binomial b(15,
28 45
) y, por lo tanto, E(Y) = np = 15(28/45) = 9.33; significa
que, el fabricante espera vender un promedio de 9.33 lotes por día si ofrece 15 lotes diarios durante muchos días.
Propiedad: Cuando N es suficientemente grande y n es pequeño respecto a N (en la práctica cuando n/N la distribución hipergeométrica H(N, r, n) se aproxima a la distribución b(n, p), en donde p es igual a r/N.
0.1)
Características Numéricas: Para una v.a. X con distribución hipergeométrica H(N, r, n) se cumple: E ( X )
n( r / N )
y
V ( X )
n
r N n 1 . N N N 1 r
N n se N 1
Observamos que, si N es suficientemente grande y n es pequeño respecto de N,
aproxima a 1 y así, la esperanza y la varianza tienen la misma forma que en el caso de la distribución binomial.
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA La variable aleatoria que tiene distribución geométrica se define para un experimento que es muy similar a un experimento binomial. También se refiere a pruebas idénticas e independientes, y cada una puede tener dos resulados, éxito o fracaso. La probabilidad de tener éxito es igual a p y es constante para cada prueba. Sin embargo, la variable aleatoria geométrica X es el número de la prueba en la cual ocurre el primer éxito, en lugar del número de éxitos que ocurren en las n pruebas. Entonces, el experimento consiste en una serie de pruebas que terminan al obtener el primer éxito.
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UNMSM–FISI–EAPIS – PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA- SEM. 2016-2 Por consiguiente, el experimento podría terminar en la primera prueba al obtener un éxito o podría seguir indefinidamente. El espacio muestral para el experimento contiene el siguiente conjunto infinito contable de puntos: = {E, FE, FFE, FFFE,..........} Como la variable aleatoria X es el número de pruebas hasta tener el primer éxito, la distribución de probabilidad de X está dada por: p( x)
p(1 p)
x
1
para x = 1, 2, 3, ......; 0
Características Numéricas: Para una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es la geométrica su esperanza y varianza son: E(X) = 1/p y V(X) = (1-p) / p2 .
DISTRIBUCIÓN DE POISSON Un proceso de Poisson es todo fenómeno que se refiere a un evento el cual está sujeto a observaciones independientes en un intervalo de amplitud t (ya sea de tiempo o de espacio), de modo que se satisfacen las siguientes condiciones: a) Las ocurrencias en intervalos que no se superponen son independientes. b) La probabilidad de una sola ocurrencia, en un intervalo sufi cientemente pequeño, de amplitud t, es proporcional a la amplitud; esto es, igual a t, donde >0 es conocida como parámetro del proceso. c) La probabilidad de dos o más ocurrencias en un intervalo suficientement e pequeño es cero. Si en un proceso de Poisson definimos la variable aleatoria X como “el número de ocurrencias del evento”, en un intervalo de amplitud unitaria, la distribución de probabilidad de X está dada por: p( x )
e
x!
x
para x = 0, 1, 2, ......; 0 es el parámetro.
Ejemplos de fenómenos asociados a un proceso de Poisson: 1. Llamadas de abonados a una central telefónica. 2. El paso de buses por un paradero, en un intervalo de tiempo. 3. Las llegadas de personas a una boletería, en un intervalo de tiempo. 4. El número de fallas de una computadora 5. El número de errores por página de impresión. 6. El número de relatos de accidentes, enviados a una compañía de s eguros, en una semana. 7. El número de perforaciones en una manguera, de determinada longitud. 8. El número de defectos en la puerta de un refri gerados, etc.
Ejemplo 1: El número medio de automóviles que llegan a una estación de suministro de gasolina es de 240 por hora. Si dicha estación puede atender a un máximo de 8 automóviles por minuto, determine la probabilidad de que, en un minuto dado, lleguen a la estación más automóviles de los que puede atender. ___________________________________________________________________ PROFESORA: LIC. JUSTA CARIDAD HUAROTO SUMARI
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UNMSM–FISI–EAPIS – PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA- SEM. 2016-2 Solución: Sea X la variable aleatoria que denota el número de automóviles que llegan a la estación de servicio, en un minuto dado. Si el número medio de automóviles que llegan a la estación de suministro es 240 por hora, entonces = 240/60 = 4. Luego, X ~ P (4). Se pide P(X>8)= 0.021344
Ejemplo 2: El número X de tanques de aceite que llegan a una refinería, cada día se comporta como una variable de Poisson con parámetro 2. Las facilidades de puerto de la refinería pueden servir tres tanques por día. Si llegan más de tres tanques en un día, los tanques en exceso deben ser puestos en otro puerto. En un día especificado, cuál es la probabilidad de te ner que enviar tanques a otro lugar?
Solución: Sea la v.a. X: Número de llegadas de tanques por día. Entonces X ~ P (2). Se pide P(X>3) = 0.1428, probabilidad que se interpreta del modo siguiente: el 14.28% de los días en que lleguen tanques a la refinería será necesario enviarlos a otro puerto.
Características Numéricas: Si X tiene distribución de Poisson, con parámetro , entonces la esperanza y la varianza de X son: E(X) =
y
V(X) =
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LISTA DE EJERCICIOS No. 7 TEMA: D I S TR I B UC I O NE S E SP E C I A L E S D E
V A R I A B L E S D I S C R E T AS
1) Un sistema de alarma para detectar rápidamente aviones consta de 4 unidades de radar idénticas que trabajan independientemente. Suponga que cada una tiene una probabilidad de 0,95 de detectar un avión que se interna en el área del sistema. Cuando un avión aparece, la v. a. de interés es X, el número de unidades de radar que no detectan el avión. ¿Qué distribución tiene X?. Justifique plenamente. 2) Un alumno responde al azar un examen de 10 preguntas de selección múltiple, teniendo cada pregunta 5 alternativas donde sólo una es la correcta. Para aprobar el examen debe responder correctamente por lo menos 8 preguntas. a) Describa el experimento aleatorio. b) ¿Qué forma tiene cada punto muestral? c) ¿Cuántos puntos muestrales tiene ? ¿Son equiprobables? d) Describa el espacio muestral asociado, con algunos elementos. e) Identifique el experimento aleatorio y defina la variable aleatoria X. f) ¿Cuál es el recorrido de X? ¿Qué distribución tiene? g) Calcular las probabilidades de los siguientes eventos: A: El alumno respondió bien todas las preguntas B: El alumno respondió bien exactamente siete preguntas ___________________________________________________________________ PROFESORA: LIC. JUSTA CARIDAD HUAROTO SUMARI
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UNMSM–FISI–EAPIS – PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA- SEM. 2016-2 C: El alumno respondió bien por lo menos dos preguntas D: El alumno aprobó el examen. 3) Se lanza una moneda 10 veces. Cuál es la probabilidad de que se obtengan 3 caras si la probabilidad de que aparezca cara en cualquier lanzamiento es igual a 0,45? 4) Se lanzan simultáneamente 5 monedas. En cada moneda la probabilidad de obtener cara es 0,30. Se repiten los lanzamientos 10 veces, de manera independiente, y en cada lance se observa si todas las monedas muestran cara o todas muestran sello (éxito). Sea X la v. a. que cuenta el número de éxitos obtenidos. Calcular: P[X 1], P[X = 10], P[X > 8], P[ 1 X 3 ], P[X = 5], P[X<3 / X 1].
5) Se lanzan simultáneamente 2 dados. Los lanzamientos se repiten 10 veces, de manera independiente, y en cada lance se observa si sale suma 7 o suma 11 (éxito). Sea la v. a. X que cuenta el número de veces que sale suma 7 ó 11. Calcular: P[X 1], P[X = 10], P[X>8], P[ 1 X 3 ], P[X = 5], P[X<3 / X 1]. 6) Un sistema para detectar incendios utiliza tres celdas sensibles a la temperatura que actúan independientemente, tal que una o más pueden activar la alarma. Cada celda tiene una probabilidad p = 0,8 de activar la alarma al alcanzar la temperatura de 100 grados Celsius o más. Sea Y el número de celdas que activan la alarma al alcanzar la temperatura de 100 grados. Obtener la distribución de probabilidad de Y. Hallar la probabilidad de que la alarma funcione cuando la temperatura alcanza los 100 grados. ¿Cuál es el número esperado de celdas que activan la alarma al alcanzar la temperatura de 100 grados? 7) Un sistema de protección contra cohetes está construido con n unidades de radar que funcionan independientemente, cada una con probabilidad igual a 0,9 de detectar un cohete que ingresa en la zona que cubren todas las unidades. a) Si n = 5 y un cohete entra en la zona, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro unidades detecten el cohete? ¿Al menos una unidad? b) ¿Cuál debe ser el valor de n para que la probabilidad de detectar el cohete, al entrar en la zona, sea de 0,999? 8) Un explorador de petróleo perforará una serie de pozos en cierta área para encontrar un pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en una prueba es 0,2. a) Cuál es la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado? b) Cuál es la probabilidad de que el explorador no vaya a encontrar un pozo productivo si solamente puede perforar a lo más 10 pozos?
9) Se estima que el 60% de una población de consumidores prefiere una marca particular de pasta de dientes A. ¿Cuál es la probabilidad, al entrevistar a un grupo de consumidores, de que se tenga que entrevistar a exactamente cinco personas, para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca A? ¿Al menos cinco personas?
10) Se supone que el 30% de los aspirantes para cierto trabajo industrial tiene un entrenamiento avanzado en programación computacional. Los aspirantes son entrevistados, uno tras otro, y son seleccionados al azar del conjunto de aspirantes. Determine la probabilidad de que se ___________________________________________________________________ PROFESORA: LIC. JUSTA CARIDAD HUAROTO SUMARI
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UNMSM–FISI–EAPIS – PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA- SEM. 2016-2 encuentre el primer aspirante con un entrenamiento avanzado en programación en la quinta entrevista. 11) Una compañía petrolera ha sido designada para perforar pozos en cierta área. La probabilidad que tenga éxito en una prueba es 0.3. a) Hallar la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el quinto perfor ado. b) Hallar la probabilidad de no encontrar pozo productivo, si su capital le permite perforar a lo más 7 pozos. 12) Un banco en promedio recibe por día 5 cheques que no tienen fondos. Si se considera que el número de cheques sin fondo que recibe el banco tiene distribución de Poisson, hallar la probabilidad de que en un día determinado reciba: a) 0 cheques sin fondo b) más de dos cheques sin fondo 13) Una central telefónica recibe en promedio 10 llamadas por hora. Si se considera que el número de llamadas que recibe la central tiene distribución de Poisson, hallar: a) la probabilidad de que en una hora reciba 5 llamadas b) La probabilidad de que en dos horas reciba más de 2 llamadas 14) De un mazo de cartas bien barajado se extraen simultáneamente cinco cartas. Sea X la v.a. que cuenta el número de ases extraídos. Obtener la ley de probabilidad de X. ¿Qué tan probable es que se obtenga al menos un as? 15) Un test consta de 20 preguntas tipo verdadero – falso. Un alumno decide responder cada pregunta lanzando una moneda correcta. Hallar la probabilidad de a. obtener cinco respuestas correctas b. tener menos de tres respuestas correctas. c. si el test es desarrollado por un número grande de alumnos, ¿cuál es el número de preguntas que en promedio resolverá correctamente cada alumno con este método? 16) Una urna contiene 10 fichas de las cuales cinco son verdes, dos azules y tres rojas. Sacan tres fichas de la urna, sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de las tres sean verdes? ¿Qué las tres sean azules? ¿Qué salga una ficha de cada color? 17) En un almacén se tienen 10 impresoras, de las cuales 4 son defectuosas. Una compañía selecciona 5 de las máquinas al azar, suponiendo que todas funcionan bien. ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco máquinas sean no defectuosas?
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