Tema N°5

TEMA 05: ESTIMACION ESTADISTICA DE PARÁMETROS I.- Estimación puntual (sta!"stica !sc#ipti$a% Parámetro

Estimadores

µ: media poblacional poblacional

=

: Varianza poblacional

, media muestral =

P: proporción poblacional poblacional

; varianza muestral

= , proporción muestral

PROPIEDADES DE &OS 'ENOS ESTIMADORES. a). inss)umint*: inss)umint*: E () = ! b). +icincia Estimador con varianza m"nima:

E=

=#

c). C*nsistncia. $ medida medida %ue el tama&o t ama&o de la muestra aumenta los estimadores tienden a acercarse al valor del parámetro. '  ! Su+icincia.loss esti d). Su+icincia.lo estima mado dore ress son son sui suici cien ente tess si util utiliz izan an la mao maorr cant cantid idad ad de observaciones observaciones para calentarse. *d = *e =

= +a media es más suiciente %ue los demás indicadores. II.- Int#$al*s ! c*n+ian,a. = P (-

)=-

1emplazando  =

2enemos enem os P

//// ////// ////.. /.. 0 en 0

=-

P (- -

)=-

P ( 3

)=-

P ( -

)=-

Int#$al* ! c*n+ian,a al ( -

%

-



%. Int#$al* ! c*n+ian,a pa#a la m!ia:

c*n*ci!a.

/%. Int#$al* ! c*n+ian,a pa#a la m!ia:

!sc*n*ci!a.

a%.P*laci*ns )#an!s (1n2 s ma3*#  i)ual 4u 0%. %.P*laci*ns p4u6as (1n2 s mn*# 4u 0%. =

, n-

t - student.

%. Int#$al* ! c*n+ian,a pa#a la $a#ian,a.

7%. Int#$al* ! c*n+ian,a pa#a la !i+#ncia nt# !*s m!ias. 

supuestos conocidos -

4 -

3

4 -

=# 5%. Int#$al* ! c*n+ian,a pa#a la !i+#ncia nt# !*s m!ias.



supuestos desconocidos

a%.P*laci*ns )#an!s. %.P*laci*ns p4u6as. .%. $a#ian,as supust*s i)uals

=

=

:

: varianza con5unta

to= t(-678, n3n8-8)

./%. $a#ian,as supust*s !istintas

:

=

=

8%. Int#$al* ! c*n+ian,a pa#a la p#*p*#ción. -

9P9 3

9%. Int#$al* ! c*n+ian,a pa#a la !i+#ncia ! !*s p#*p*#ci*ns. (

)

#

E#cici*s: . na muestra aleatoria de << o>ares de una vecindad indica %ue el promedio de los in>resos mensuales es de ?<<. Encuentre un intervalo de conianza del @? A para la media poblacional de los in>resos de todos los o>ares de la vecindad. Bupon>a 4 = C <<. Bolución: D: in>reso mensual : promedio de los in>resos mensuales C ?<< 4: C<< n: << = C ?<< ( - ) = <.@? =

=

= .@ =

= <

@. = FG<.F

remplazando ?<<

.@ (<)

?@.

Hnterpretación: El @? A de los ciudadanos tienen un in>reso promedio de C FG<.F  ?@.

8. n análisis de investi>ación de mercado esco>e una muestra aleatoria de << clientes de un con5unto de ?<< clientes de una >ran tienda %ue declara maor in>reso a C ?<<<. +a encuesta de los clientes de la muestra >astaron en la tienda en promedio C 8?<<. Bi con este valor de la muestra se estima %ue el >asto promedio de la población inita suma de 8FF a 8??F IJuK nivel de conianza se utilizaL Bupon>a %ue la desviación estándar es 4 = M<<. Bolución: N: in>reso D: >asto : >asto promedio n = << = C 8?<< ' = población inita 4 = C << ( - ) = IL

8FF

8??F

-

M. En un estudio socioeconómico se orma una muestra aleatoria de << comerciantes inormales  se encontró entre otros datos los si>uientes: un in>reso medio de s7. ?<,<<  solo en M< A tiene in>resos superiores a s7. G<,<<.

a. Estimar la proporción de todos los comentarios con in>resos superiores a s7. G<<,<< mediante un intervalo de conianza de @G A. b. Bi la proporción de todos los comerciales con in>resos superiores a s7. G<<,<< se estima entre 8<,< A  M@,@F A IJuK >rado de conianza se utilizoL. D: numero de comerciantes con in>resos superiores a s7. G<<,<<. = <,M<, n = << 

 - = <,@G =

= <.<8 =

=

= <,<

 - = <,@@

= 8,MM

=

= <,
En la ormula <.M< 8.MM (<.resos superiores a G<<,<< var"a entre el @ A a F A. 

Be estima entre 8<,< A <,8<<

M@,@F A

<,M@@F

-

3

H>ualemos ( ) 3

= <,M@@F

<,M< 3 3 =

(<,
( - ) = P ( =P(

) )

= = = 8 (<, @GF) Q  = <, @@8 <, @O = @O A. F. Be %uiere estimar la dierencia entre dos promedios de tiempo (en minutos) %ue utilizan dos operarios para realizar determinada tarea. Bupon>a %ue las poblaciones de los dos tiempos se distribuen normalmente con varianza comRn. Estime la dierencia entre los dos promedios poblacionales mediante un

intervalo de conianza de @? A si el re>istro de  tiempos en cada operario an dado: = ; 8 = M?; = F  = MG; = -

= IL Sesconocidas. ///////////////.0

= <,@?

-

- <,@O?

=

=

= 8,
= MG Q M? = M

=

=

=

= 8

= ,G<8G 1emplazando en 0 tenemos: M,G Be>Rn el @? A  aventa5a al operario 8 entre <,G  ,G minutos. ?.

na irma distribue dos marcas de cerveza en una reciente encuesta se encontró %ue < de 8< la marca $  ?< de G< preieren la marca T. use un intervalo de conianza del @@ A sea la dierencia de proporciones con el in de determinar si son dierentes las proporciones de dierencias poblacionales. *arca U$

= 8<;

*arca UT

= G<;

( -

= <



8

= ?<



=

= <,?<<

=

= <,8?

///////////////.0 ) = <,@@

-

=

= <,@@?

=

= 8,?G

=

<,
8,?G (<,
uando el intervalo de conianza inclue a

. Be esco>e una muestra de M tiendas  se encuentra %ue las ventas de la semana de un determinado producto de consumo popular tiene una deviación estándar i>ual a C  se supone %ue las ventas del producto tienen distribución normal. Estimar  +a varianza  +a desviación estándar poblacional mediante un intervalo de conianza del @? A Dat*s. W = C ; n = M

= 1emplazando

= 8M,MF

=

= F,F<

PRE'A DE ;IPOTESIS. XHPY2EBHB: solución anticipada al problema %ue necesita ser demostrada es una airmación o con5etura sobre el problema. ;ipótsis sta!"stica: es una airmación o con5etura sobre los parámetros de la población o sobre el comportamiento de una variable aleatoria. Por e5m. Tip*s !
:!

;

:!

:! ; :! Em: D: in>reso mensual de encuestados. c)

:µ=

G<<,<<;

:µ

G<<,<<

:µ

G<<,<<;

:µ

G<<,<<

:µ

G<<,<<;

:µ

G<<,<<

Em: D: numero de personas %ue preieren un producto [. : p = <, F? ; :p :p

;

:p

:p

;

:p

P#ua ! una
verdadero Error tipo H

also Secisión correcta

$ceptar

Probabilidad :

Probabilidad:

Secisión correcta Probabilidad:

Error tipo HH Probabilidad :

= p (recazo

7

= p (acepto

7

es verdadero) es also)

= nivel de si>niicancia. R)i*ns c#"ticas 3 ! acptación. (2ipo de colas de las pruebas) a)

:!= :! Prueba de dos colas ( ) 1$: re>ión de aceptación 1: re>ión critica o de recazo.

Y

1..

b)

1..

:!

:! Prueba de la cola iz%uierda.

! \ 1

 (2, D8, ])

< 1$

c)

:! :! Prueba de cola dereca.

! \ < 1 1$ R)la ! !cisión. Bi el estad"stico de prueba (

) cae en la re>ión de aceptación, entonces

aceptamos ; si cae en la re>ión critica recazamos Esta!"stic* ! p#ua: =

 aceptamos

.

.

P#*c!imint* ! P#ua ! ;ipótsis.  ]ormulación de la ipótesis :!= ! ! :!    



!

!

Especiicar el tama&o del nivel de si>niicación ( ) Seinir las re>iones de aceptación  recazo (1$  1) alcular en estad"stico de prueba despuKs de seleccionarlo apropiadamente. Secisión estad"stica. $ceptar o recaza , se>Rn comparación del estad"stico de prueba  re>iones (1$  1). Secisión estad"stica en tKrminos del problema planteado (interpretación de resultados).

PRE'A DE ;IP=TESIS ACERCA DE NA MEDIA. A. Supust*: si la varianza es conocida. P#*a# la
1EX$$ BH:

ola dereca Sos colas

=

1$

estad"stico de prueba.

1$ =

;^

Em: un proceso automatico llena latas de palmito. Bi el peso medio de las lata llenas es de F<<>r. Be airma %ue el proceso esta controlado, en caso contrario el proceso no esta controlado. En el proceso de estado se a determinado %ue los pesos de las latas llenas tiene una desviación estándar de 8<>r. Bi una muestra aleatoria de << latas llenas de palmito a dado el peso medio de M@?>r, a la interro>ación se podr"a concluir %ue el proceso esta uera de control al nivel de si>niicación del ? A. S*lución: : µ =F<<>r. (proceso controlado) :µ

F<<>r. (proceso descontrolado)

= ? A = <,
=

=

=

=

.@

= - 8,? en >raico se ubica en la re>ión critica.

= - 8,?

-

= - ,@

cae en la re>ión critica.

1ecazamos = F<<>r. El proceso esta descontrolado. '. Supust*: si la varianza P#*a# la
es desconocida. :

=

2H+H$ P1ET$ SE:

1EX$$ BH:

ola iz%uierda ola dereca Sos colas

=


1$

1$ =

;

^

N*ta: la población es normal. Em: las ca5as de cierto tipo de cereal procesado por una ábrica deben tener un contenido promedio de <>r. Por una %ue5a ante en deensor del consumidor de %ue tales ca5as de cereal tienen menos contenido, un inspector tomo una muestra aleatoria de < ca5as encontrando los si>uientes pesos de cereal en >ramos ?O; ?O; M; G?; ; ?@; 8; ?@; ?G; ?. IEs razonable %ue el inspector multe al abricante utilicen un nivel del ? A  supon>an %ue los contenidos tienen distribución normalL Se los datos podemos sacar :µ

<>r (no lo multe al abricante)

:µ

<>r (multe al abricante)

= ? A = <,
=

= =

=

= -,GMM.

= - ,M en >raico se ubica en la re>ión aceptación.

= - ,M

= - ,GMM

cae en la re>ión aceptación.

$ceptamos : u = <>r. 'o se multa al abricante. PRE'A DE ;IP=TESIS ACERCA DE &A >ARIAN?A. Supust*: si lo parámetros son desconocida. P#*a# la
:

=

2H+H$ P1ET$ SE:

1EX$$ BH:


=


1$

1$ =

;

N*ta: la población es normal. Em: una muestra de  sobres de cierto producto cuos pesos se distribuen normalmente a dado una desviación estándar de <, >ramos. tilizando un nivel de si>niicación del ? A, es valido inerir %ue la varianza de los pesos de tales sobres es maor de <, 8? :

= <, 8?

:

<, 8?

= <,
=

=

=

= 8,

= = 8?

= 8F,@@

8?

= 8,. cae en la 1$

$ceptamos : = <,8? 'o es valido inerir %ue la varianza es maor %ue <,8?. PRE'A DE ;IP=TESIS ACERCA DE &A RA?=N DE DOS >ARIAN?AS. Supust*: población normal. P#*a# la
1EX$$ BH:


1$

Estad"stico de prueba. ;

^

; Em: los tiempos en minutos para realizar cierta tarea observada en < ombres  < mu5eres ueron:

Xombres: ?<; F?; F@; ?<; MG; ?G; ?M; FO; FG; ??

=

*u5eres: ??; ?; ?O; ?; ?G; ?M; ?F; ?@; <; ?O

=

Buponiendo _poblaciones normales Ise podr"a concluir %ue las varianzas poblacionales son dierentesL = ? A. =

=

= ? A = <,
=

=

=

= <,8FG

= F,<8?

=

=

= ,?8 cae en la re>ión critica.

1ecazamos = = +as varianzas poblaciones son dierentes. PRE'A DE ;IP=TESIS ACERCA DE DOS MEDIA. A. Supust*: si la varianza es conocida (población normal) P#*a# la
<

-

<

-

<

= 1$ =

=< 1EX$$ BH:


estad"stico de prueba ;^

1$

N*ta: para poblaciones no normales.

M<

aproZ. Varianza desconocida. Em: una ábrica %uiere comparar dos marcas $  T; para abricar un tipo de art"culo. Ybserva dos muestras aleatorias de < art"culos procesados por $  T respectivamente  encuentra %ue las medias respectivas son 8M<  @< se>undos. Bupon>a se>undos al nivel de si>niicancia del ? A, Ise puede inerir %ue la ma%uina T es mas rápida %ue la ma%uina $L Solución:

-

<

-

<

= <,
= <,@?

= ,F

=

=

= 8,
1

=

=

1ecazamos

= 8,
<

$ceptamos < +a marca T utiliza menos tiempo en el proceso de abricación. '. Supust*: si la $a#ian,as s*n !sc*n*ci!as (p*lación n*#mal% Y'21Y+$ +$ 2H+H$ 1EX$$ P1ET$ SE: $+2E1'$2HV$ BH: ola iz%uierda < -

<

-

<

=

1$ =



1$

Em: se %uiere determinar la dierencia entre los promedios de tiempos (en minutos) %ue utilizan los ombres  las mu5eres para realizar determinada tarea con este in se esco>en < ombres   mu5eres resultado los tiempos promedios respectivos F<  M? minutos  desviaciones estándares respectivas @  G minutos. Bupon>a %ue las poblaciones de ambos tiempos son independientes  se distribuen normalmente con varianzas i>uales. $l nivel de si>niicación del  A. IEste tiempo promedio de ombres maor al tiempo promedio de mu5eresL Bolución: -

=<

-

<

= <,< =

= 8,F

Se varianzas desconocidas i>uales entra a tallar la varianza con5unta.

=

=

=

=

= ,

=

= O8,?

= , 1$ aceptamos =< 'o eZiste dierencia entre ombres  mures para realizar la tarea es decir al  A pero si este porcenta5e aumenta los resultados pueden ser otros. C. Supust*: si la $a#ian,as s*n !sc*n*ci!as (p*lación n*#mal% Y'21Y+$ +$ 2H+H$ 1EX$$ P1ET$ SE: $+2E1'$2HV$ BH: ola iz%uierda <

=

1$ =

-

<

-

<



;

=

1$

Em: una compa&"a debe decidir cual de dos tipos de componente electrónica va ad%uirir $ o T ace una prueba de ? componentes esco>idos al azar para cada marca resultando  = G<<<  = 8?<< oras para $  O<<<  = G<< oras para T. supon>a poblaciones normales con varianzas dierentes. Pruebe la ipótesis nula %ue los rendimientos medios son i>uales contra la alternativa de %ue $ rinde mas %ue T use = ?A. Dat*s: 8 =



= G<<< 

8=

O<<< 

= 8?<<; = G<<;

=?

= ?A.

=?

S*lución: -

=<

-

<

= <,
=

=

= 8,<8

=

=

=

= 8,<8

= <, G?

$ceptamos =< 2ienen rendimientos i>uales $  T. PRE'A DE ;IP=TESIS ACERCA DE NA PROPORCION. Be resume en la si>uiente tabla: P#*a# la
1EX$$ BH:


1$

=

estad"stico de prueba

1$ =

;^

Em: una ábrica airma %ue el M
<, M<

=  A = <, < =

=

=8, ?G

=

=

=

= <, 8?

= - 8, G

Be acepta %ue = M< A. +a airmación del abricante es correcta. PRE'A DE ;IP=TESIS ACERCA DE DOS PROPORCIONES. Be resume en la si>uiente tabla: P#*a# la
-

ola dereca

-

Sos colas

-

=

1$ =

1EX$$ BH:


;

^

Población ininita.

1$

Em: una empresa de estudio de mercado %uiere saber si un producto promocionado a nivel nacional lo ad%uieren en maor porcenta5e %ue las mu5eres si en dos muestras aleatorias independientes de @<< ombres  G<< mu5eres se encontró %ue 8O< ombres  8<< mu5eres ad%uieren el producto, Iuál es su decisiónL Dat*s: = <,
= @<<; = G<<



8

= 8O<;

= 8<<

= =

= <,M< = <,8?

S*lución: -

=<

-

<

= <,
= 8,

=

=

=

= 8,M.

Be acepta %ue =< Por tanto ombres  mu5eres ad%uieren la misma cantidad. PRE'A DE INDEPENDENCIA. +as pruebas de ipótesis de independencia implican dos variables cate>óricas (cualitativas)  lo %ue se prueba es la suposición de %ue las dos variables son estad"sticamente independientes para cada recuencia observada en una celda a una recuencia esperada %ue se calcula a partir de sus ipótesis nula especiicada  %ue se supone verdadera.  @*#mulación ! la
Ni$l ! si)ni+icación 3 tip* ! p#ua (R)i*ns% Sado



Calcula# l sta!"stic* ! p#ua. Dat*s *s#$a!*s. >a#ial >a#ial ' A

T*tal

2otal

Dat*s sp#a!*s ( >a#ial A

%

>a#ial '

T*tal

2otal

 Ent*ncs: (Estad"stico de prueba) Sonde: : calcular.  Dcisión sta!"stica.  Dcisión n tB#min* !l p#*lma. Em: en un proceso de producción se re>istro el numero de ob5etos deectuosos clasiicándolos por turnos de producción  por ma%uina de producción. +as recuencias observadas se re>istran en el cuadro dado posteriormente. Veriicar al nivel de si>niicación del ? A si el numero de ob5etos, deectuosos producidos por la ma%uina e independiente de los turnos de producción. 2$T+$ SE Y'2H'`E'H$ M0M Satos Ybservados TRNOS MAINAS A ' *a&ana O? @< 2arde O< G? 'oce @? G? 2otal 8F< 8< $

=

= G8.@

C G? O< O? 8M<

T*tal 8?< 8?? 8?? OM< T

=

= @<.G8

$

=

= OM.@O



=

= OG.OO

$

=

= GM.GF



=

= O<.G@

T

=

= G@.


=

= G<.MF

T

=

= G<.M<

Satos Esperados ( TRNOS *a&ana 2arde 'oce 2otal

%

MAINAS A ' C G8,@ G@.
T*tal

El numero de ob5etos deectuosos población por la ma%uina no dependen de los turnos. : El numero de ob5etos deectuosos población por la ma%uina si dependen de los turnos. = <.
=

= @.F@

= <.@?

=

M.GO Be acepta El numero de ob5etos deectuosos población por la ma%uina no dependen de los turnos. 'o a relación no depende, los ob5etos producidos por la ma%uina.

Tema N°5

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