07
58
j
CAMPO MAGNÉTICO
Sigue practicando
b) Determina el valor de dicha fuerza por unidad de longitud si I 1 = I 2 = 2 A y d = 1 m.
1. Un protón inicialmente en reposo se acelera bajo una diferencia de potencial de 10 5 voltios. A continuación entra en un campo magnético uniforme, perpendicular a la velocidad, y describe una trayectoria circular de 0,3 m de radio. Calcular el valor de la intensidad del campo magnético. Si se duplica el valor de esta intensidad, ¿cuál será el radio de la trayectoria? Datos: Carga del protón: 1,6 · 10–19 C; Masa del protón:
1,67 · 10–27 kg
El protón se acelera, perdiendo energía energía potencial eléctrica y ganando energía cinética, de tal manera que la energía mecánica permanece constante. La velocidad que adquiere es: 1 ∆E p = ∆E ⇒ q ∆V = m v 2 ⇒ 2
⇒v=
2q ∆V m
⇒ v =
2 ⋅ 1, 6 ⋅ 10−19 ⋅ 105 1,6 ,677 ⋅ 10−27
Fm
=
4, 38 38 ⋅ 106 m/s
mv 1 v = Fc ⇒ qvB = m ⇒ B = ⇒ 2 r 2qr
Si despejamos r en función del campo inicial B0 , obtenemos
=
mv
De igual manera, se puede hacer el estudio sobre el conductor 1, que se encuentra e ncuentra inmerso en el campo magnético creado por el conductor 2. El resultado es similar, y las fuerzas en todo caso son atrayentes (cuando las intensidades tienen el mismo sentido). Sustituyendo, se obtiene la relación:
µ I F µ I I = 2 (I2 × B1 ) ⇒ F2 = 2I2B1 ⇒ F2 = 2I 2 0 1 ⇒ 2 = 0 1 2 2 2πd 2πd
Se puede trabajar de la misma forma para el otro conductor, conductor, y se obtiene el mismo resultado. Por lo tanto: F1 F µ I I = 2 = 012 1 2 2πd Sustituyendo los valores del enunciado: e nunciado:
2qB0
Al sustituir el campo inicial B0 por otro de intensidad doble, B’
Pero por el conductor 2 pasa una intensidad de corriente I 2 , y por lo tanto se ejerce una fuerza sobre él, cuyo valor viene dado por la segunda ley de Laplace (ley de Ampere) F2 = 2 ( I2 × B1 )
F2
2
1, 67 ⋅ 10−27 kg ⋅ 4, 38 ⋅ 106 m/s ⇒ B= = 7, 62 ⋅ 10−2 T 2 ⋅ 1, 6 ⋅ 10−19 C ⋅ 0, 3m
r 0
Una intensidad de corriente I 1 genera un campo magnético a una distancia d dada dada por la relación: µ I B1 = 0 1 2πd La dirección y sentido vienen dados por la regla de la mano derecha. En este caso el campo creado por el conductor 1 sobre el conductor 2, sería entrante al papel.
Por lo tanto el sentido de la fuerza sobre el conductor 2 señala hacia la izquierda.
Cuando una carga se mueve en el interior de un campo magnético, está sometida a una fuerza magnética, que viene dada por la ley de Lorentz, Fm = q (v × B). Esta fuerza magnética es perpendicular a la velocidad, y por lo tanto actúa como fuerza centrípeta. Así, igualando, podemos despejar el campo magnético:
Dato: μ0 = 4π · 10−7 T · m/A
= 2B0 , obtenemos r ’ =
mv
F1 1
=
F 2 2
=
4π ⋅ 10−7 ⋅ 2A ⋅ 2A = 8 ⋅ 10−7 N/m 2π ⋅ 1m
2q 2B0
Dividiendo una expresión entre la otra para eliminar las consj Actividades propuestas tantes, tenemos que: r 0 1 1. Razona las respuestas a las siguientes siguientes cuestiones: = 2 ⇒ r ’ = r 0 r ’ 2 Las líneas del campo magnético, B, creado por una bobina Por lo tanto al duplicar la intensidad del campo magnético, se ideal: reduce a la mitad el radio de la trayectoria. a) Nacen en la cara norte y mueren en la cara sur de la bo-
2. a) Explica detalladamente por qué se atraen los dos conductores paralelos de la figura, por los que circulan en sentido ascendente dos corrientes eléctricas, I 1 e I 2.
bina. b) Son líneas cerradas sobre sí mismas que atraviesan la
sección de la bobina. cerradas alrededor de la bobina y que nunca la c ) Son líneas cerradas atraviesan.
I1
I2
d
Las líneas del campo magnético creadas por una espira son líneas cerradas, que atraviesan la sección de la misma. Por tanto lo mismo ocurre para una bobina. La solución correcta es la b).
07
CAMPO MAGNÉTICO
2. a) ¿Qué demostró el experimento de Oersted? b) Enuncia la ley de Ampère. c ) Utiliza la ley de Ampère para calcular el campo magnético
creado por un hilo conductor rectilíneo infinito por el que circula una corriente de 10 A a una distancia de 10 cm. a) En 1820 Öersted demostró que una corriente eléctrica posee
propiedades similares a las de un imán. Dicho de otro modo, que una corriente eléctrica crea un campo magnético. Las líneas del campo magnético creado por una corriente de intensidad I son circunferencias concéntricas, centradas en la recta que contiene al hilo conductor, y su sentido viene dado por la regla de la mano derecha. b) Según la ley de Ampère
∫ B · d = µ I
Total
59
4. Explique, con la ayuda de los correspondientes diagramas, la repulsión entre dos hilos conductores rectilíneos paralelos por los que circulan corrientes en sentidos opuestos.
Cada hilo conductor crea un campo magnético, cuyas líneas de campo son circunferencias concéntricas, centradas en el propio hilo conductor. El campo magnético sigue el sentido dado por la regla de la mano derecha. El campo magnético creado por un hilo conductor a una distancia a del mismo viene dado por la 2K ’ I expresión B = a
Si colocamos otro hilo conductor en las proximidades del primero, tendremos la situación expuesta en la figura siguiente:
, donde I Total es la
C
I1
suma de todas las intensidades que atraviesan la superficie limitada por la curva C, tomando como positiva la intensidad de corriente que atraviesa C en el sentido de avance de un tornillo girado según la circulación escogida, d .
I2
F 2
B1
c ) Se puede utilizar la ley de Ampère para calcular el campo
creado por un hilo conductor rectilíneo infinito por el que circula una corriente I a una distancia d. Escogemos la curva C como una circunferencia con centro en un punto del hilo conductor y situada en un plano perpendicular al hilo rectilíneo. De esta manera, el campo magnético en cada punto de la circunferencia tiene el mismo módulo y sentido tangente a la curva. Por tanto, el ángulo que forman el vector B y el vector d es cero, y los cálculos se simplifican de la siguiente forma:
∫
B·d
C
La fuerza sobreel conductor 2 viene dada por la Segunda ley de Laplace, F = I × B . Por tanto, es de repulsión. De igual manera podemos hacer el estudio sobre el conductor 1, que se encuentra en el interior del campo creado por el conductor 2, obteniendo resultados similares. La fuerza será también de repulsión, según la figura:
= ∫ B d c os 0º = µ I C
µ I 2πr Sustituyendo los datos del enunciado: 2πr B = µI ⇒ B =
B
=
I1
El valor de un campo magnético creado por un hilo conductor rectilíneo e indefinido, por el que pasa una corriente eléctrica I µ I a una distancia r, viene dado por la expresión B = 2πr
F2
µ I µ 2 I y B2 = . 2πR 2π ⋅ 2R Observamos que al simplificar los módulos son iguales:
2
= B2
F 2
= 2I 2B1 ⇒
F2 2
2K ’ I = I2 1 a
Se obtiene de igual manera para el conductor 1 entonces: F2
B1
B1
Si queremos obtener el valor de la fuerza por unidad de longitud bastará con sustituir la expresión del campo magnético creado por un hilo conductor en la Segunda ley de Laplace:
Sustituimos en cada caso:
=
B2
F 1
µ I 4π ⋅ 10−7 T ⋅ m/A ⋅ 10A ⇒B= = 2 ⋅ 10−5 T 2πr 2π ⋅ 0,1m
3. ¿Qué campo magnético es mayor en módulo: el que existe en un punto situado a una distancia R de una corriente rectilínea de intensidad I , o el que hay a una distancia de 2 R de otra corriente rectilínea de intensidad 2 I ? Justifica la respuesta.
B1
I2
=
F1 1
=
2K ’ I1I2 a
Como hemos visto, estas fuerzas son de repulsión en el caso de que las dos intensidades vayan en sentido contrario. 5. Por dos conductores rectilíneos y de gran longitud, dispuestos paralelamente, circulan corrientes eléctricas de la misma intensidad y sentido:
07
60
CAMPO MAGNÉTICO
a) Dibuja un esquema, indicando la dirección y el sentido
del campo magnético debido a cada corriente y del campo magnético total en el punto medio de un segmento que une a los dos conductores y coméntalo. b) Razona cómo cambiaría la situación al duplicar una de
las intensidades y cambiar su sentido. a) Una intensidad de corriente eléctrica crea un campo magnético a su alrededor, de tal manera que sus líneas de campo son circunferencias concéntricas, con centro en el hilo conductor. Su sentido viene dado por la regla de la mano derecha.
El campo magnético total en el punto medio será la suma de los campos magnéticos creados por cada uno de los conductores. En la parte intermedia, los campos magnéticos creados por cada intensidad de corriente tienen sentido opuesto. Si estudiamos el campo en un punto medio entre los conductores, la situación es como se indica en la figura: I1
I2
B1
+ B2 =
2K ’ I1 2K ’ 2 I1 12K ’ I1 + = d / 2 d /2 d
Si queremos expresar el resultado en función de la permeabi3 µ I lidad magnética: B1 + B2 = 0 1 π d
La dirección es perpendicular al plano formado por los dos conductores, y el sentido entrante en la hoja, según se aprecia en la figura anterior. 6. Supón dos hilos largos, rectilíneos y paralelos, perpendiculares al plano del papel y separados 60 mm, por los que circulan corrientes de 9 y 15 A, respectivamente, en el mismo sentido: a) Dibuja en un esquema el campo magnético resultante en
el punto medio de la línea que une ambos conductores y calcula su valor. b) En la región entre los conductores, ¿a qué distancia del
hilo por el que circula la corriente de 9 A será nulo el campo magnético? Dato: μ0 = 4π · 10–7 N · m2 · A–2 a) Con un razonamiento similar al utilizado en la actividad 5,
P
Si las corrientes eléctricas tienen las mismas intensidades, y el punto P está a la misma distancia a los hilos conductores, los campos magnéticos serán del mismo módulo, B1 = B2 , y al ser opuestos el campo total será cero.
Btotal
podemos representar gráficamente la situación según la figura: 60 mm I1
I2
= B1 + B2 = 0
B
b) Al cambiar el sentido de una de las intensidades, en ese
caso el campo magnético entre los conductores tiene el mismo sentido. Por tanto, el campo magnético total tendrá de módulo la suma de los módulos de los campos magnéticos creados por cada intensidad, según la figura: I2 = 2I1
I1
Así, el módulo del campo magnético resultante será: Btotal
= B1 − B2 =
2K ’ I1 d1
−
2K ’ I2 d 2
I1 I 2 d1 − d 2
Btotal = 2K ’
Sustituyendo los valores con unidades del S.I., obtenemos: B1
d/2
d/2 B2
9 − 15 = − 4 ⋅ 10−5 T 3 ⋅ 10−2 3 ⋅ 10−2
Btotal = 2 ⋅ 10−7
Por otra parte, el valor del campo magnético creado por una corriente rectilínea e indefinida, en un punto situado a una distancia a del conductor, viene dado por la expresión 2K ’ I . B= a
Por tanto, los campos magnéticos creados por cada conductor en el punto medio serán, respectivamente: 2K ’ I 2 2K ’ I 1 y B2 = B1 = d / 2 d / 2 Como en este caso tienen el mismo sentido, si sumamos sus módulos y tenemos en cuenta que I2 = 2 I 1 , obtenemos la expresión siguiente:
El vector campo magnético total Btotal tiene de módulo Btotal = − 4 ⋅ 10−5 T . Su dirección es perpendicular a los dos conductores, y su sentido es hacia abajo, según la figura. b) El punto donde el campo magnético total sea cero tiene
que estar en el plano formado por los conductores. Además, tiene que estar situado entre los conductores, ya que esa es la zona en la que los vectores campo magnético B1 y B2 tienen la misma dirección, pero sentido opuesto. Así, podemos plantear la situación mediante la figura siguiente: x
0,06 – x
B
07
CAMPO MAGNÉTICO
Y como el campo total es cero, podemos plantear: Btotal
= B1 − B2 =
2K ’ I1 d1
−
2K ’ I2 d2
I I = 2K ’ 1 − 2 d1 d2
15 9 ⇒ 0 = 2K ’ − −2 x 6 ⋅ 10 − x 9 15 ⇒ = ⇒ 9(6 ⋅ 10−2 − x ) = 15 x ⇒ −2 x 6 ⋅ 10 − x 54 ⇒ 54 ⋅ 10−2 − 9 x = 15x ⇒ x = ⋅ 10−2 = 2,25 ⋅ 10−2 m 24 El punto donde el campo magnético es cero se encuentra a 0,0225 m del conductor 1. 7. Un electrón de masa me y carga q e entra con una velocidad un campo magnév en una región del espacio donde existe tico uniforme, B. Sabiendo que v y B son perpendiculares, describe el movimiento de la carga ayudándote de un gráfico en el que aparezcan ambos vectores y la fuerza magnética. Además, obtén el radio de la órbita del electrón.
Consultar el epígrafe 7.6 A de la página 178 de la Unidad 7. 8. Compara las direcciones de las fuerzas eléctricas y magnéticas entre dos cargas positivas que se mueven a lo largo de trayectorias paralelas.
Las velocidades de las dos cargas tienen la misma dirección, y además suponemos que tienen el mismo sentido. El campo magnético creado por cada carga, según la regla de la mano derecha, se indica en la figura siguiente. La fuerza magnética viene dada por la ley de Lorentz, cuya expresión es Fm = q v × B . La dirección de la fuerza magnética sobre la carga 2 es perpendicular a su velocidad y al campo magnético creado por la carga 1, y lo mismo ocurre con la fuerza sobre la carga 2.
1 cm. Calcula el vector aceleración instantánea que experimentaría dicho electrón si…: a) Se encuentra en reposo. b) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje Y. c ) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje Z. d ) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección negativa del eje X. Datos: Permeabilidad magnética en el vacío: μ0 = 4 π · 10–7 N · A–2; Masa del electrón: me = 9,1 · 10–31 kg; Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1,6 · 10–19 C. El hilo conductor se encuentra sobre el eje Z y el sentido de la intensidad es en el sentido positivo del eje Z. El campo magnético creado por la intensidad de corriente en el punto P se obtiene 2K ’ I mediante la expresión B = a
Sustituyendo obtenemos: B
=
2 ⋅ 10−7 T·m·A −1·12A = 2,4 ⋅ 10−4 T 10−2 m
La dirección es perpendicular al plano YZ y el sentido es entrante, según la regla de la mano derecha.
La fuerza sobre una carga en movimiento viene dada por la ley de Lorentz Fm = qv × B . a) Si el electrón está en reposo, su velocidad es cero. Por tanto la F m también es cero, y su aceleración será a = 0 m/s2 .
b) Si su velocidad es de v
= 1 j m/s , la fuerza magnética so-
bre el electrón es:
F m
La aceleración será a =
F m
, y sustituyendo:
a
=
− −3,84 ⋅ 10 23 k N
9,1 ⋅ 10−31 kg
= −4,22 ⋅ 107 k
F e
Como la fuerza eléctrica entre cargas de igual signo es de repulsión, podemos comparar las direcciones de las fuerzas eléctrica y magnética indicando que su dirección es la misma, pero que sus sentidos son contrarios (siempre en el caso de que las dos cargas se muevan con velocidades en el mismo sentido). Si hacemos el estudio de forma similar para el caso de velocidades paralelas de sentido contrario, la dirección de la fuerza magnética coincide con la de la fuerza eléctrica, y además ahora también tienen el mismo sentido (de repulsión). 9. Por un hilo conductor rectilíneo y de gran longitud circula una corriente de 12 A. El hilo define el eje Z de coordenadas y la corriente fluye en el sentido positivo. Un electrón se encuentra situado en el eje Y a una distancia del hilo de
= (−1,6 ⋅ 10−19 j ) × ( − 2,4 ⋅ 10−4 i ) = − 3,84 ⋅ 10−23 k N
E
v
En el punto P, el campo magnético vale B = 2,4 ⋅ 10−4 (−i )T
Fm
B
61
c ) Si su velocidad es de v
m/s2
= 1 k m/s , la fuerza magnética sobre
el electrón es:
Fm
= (−1,6 ⋅ 10−19 k ) × (−2,4 ⋅ 10−4 i ) = 3,84 ⋅ 10−23 j N
Y la aceleración:
a
=
F m
3,84 ⋅ 10−23 j N 7 = = 4,22 ⋅ 10 j m/s2 9,1 ⋅ 10−31 kg
d ) Si su velocidad es de v
= 1 i m/s , la fuerza magnética sobre
el electrón es.
Fm
= (−1,6 ⋅ 10−19 i ) × (−2,4 ⋅ 10−4 i ) = 0N
Y la aceleración será a = 0 m/s2
07
62
CAMPO MAGNÉTICO
10. a) ¿Cuál es la velocidad de un electrón cuando se mueve en presencia de un campo eléctrico de módulo 3,5 · 105 N/C y de un campo magnético de 2 T, ambos mutuamente perpendiculares y, a su vez, perpendiculares a la velocidad del electrón, para que este no se desvíe? b) ¿Cuál es el radio de la órbita descrita por el electrón
Fc
= Fm ⇒
a) En la situación que se indica en el enunciado la suma de las
fuerzas magnética y eléctrica tiene que ser cero, es decir la fuerza magnética y la eléctrica serán de igual módulo y de sentido contrarios.
Fm
+ Fe = 0 ⇒ Fm = Fe ⇒ qvB = qE ⇒ v =
E B
⇒
v 2 r
=
qvB
Despejando el campo magnético B y sustituyendo: B
=
mv rq
=
cuando se suprime el campo eléctrico? Datos: Masa del electrón: me = 9,1 · 10–31 kg; Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1,6 · 10−19 C
m
9,11 ⋅ 10−31 kg ⋅ 1,87 ⋅ 108 m/s = 3,55 ⋅ 10−3 T −19 0,3m ⋅ 1,6 ⋅ 10 C
Si duplicamos la intensidad del campo magnético: B’
= 2 ⋅ 3,55 ⋅ 10−3 T = 7,01 ⋅ 10−3 T
Si de la expresión anterior despejamos el radio r y sustituimos, obtenemos: r =
mv 9,11 ⋅ 10−31 kg ⋅ 1,87 ⋅ 108 m/s = qB’ 1,6 ⋅ 10−19 C ⋅ 7,01 ⋅ 10−3 T
= 1,52 ⋅ 10−1 m
Expresando el resultado en centímetros r = 15,19 cm
3,5 ⋅ 10 = 1,75 ⋅ 105 m/s 2 13. Dos barras rectilíneas de 50 cm de longitud y separadas 1,5 mm, situadas en un plano vertical, transportan corrienb) Al suprimirse el campo eléctrico la fuerza magnética curva la tes de 15 A de intensidad de sentidos opuestos. ¿Qué masa trayectoria, entonces: 5
v =
v2 Fm = Fc ⇒ qvB = m r
⇒
mv ⇒ r = qB
9,1 ⋅ 10−31 ⋅ 1,75 ⋅ 105 ⇒ r = = 4,97 ⋅ 10−7 m 1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 2 Este radio corresponde a una circunferencia muy pequeña. 11. Explica la experiencia de Oersted ayudándote de la representación gráfica que necesites. ¿Cuál fue la principal conclusión de esta experiencia?
Ver epígrafe 7.3.A de la Unidad 7, pág. 170. 12. Un protón inicialmente en reposo se acelera bajo una diferencia de potencial de 10 5 voltios. A continuación entra en un campo magnético uniforme, perpendicular a la velocidad, y describe una trayectoria circular de 0,3 m de radio. Calcular el valor de la intensidad del campo magnético. Si se duplica el valor de esta intensidad, ¿cuál será el radio de la trayectoria?
debe situarse en la barra superior para equilibrar la fuerza magnética de repulsión?
Como la longitud de las barras es muy grande en comparación con la separación que existe entre ellas, podemos utilizar la expresión de la fuerza entre dos conductores rectilíneos e indefinidos: F2 2
=
F1 1
=
2K ’ I1I2 a
Al circular intensidades de sentidos opuestos, la fuerza entre las barras será de repulsión. Se considera que las barras tienen una masa despreciable. Se puede compensar la fuerza magnética colocando una masa sobre la barra de la parte superior, tal como se representa en la figura. F 2 B1
I2
Datos: Carga del protón: 1,6 · 10–19 C; Masa del protón:
P I1
1,67 · 10 kg. –27
El protón pierde energía potencial eléctrica y gana energía cinética, por lo que podemos igualar los valores absolutos de ambas. Por tanto: 1 Ep = Ec ⇒ q ∆V = mv 2 2
2q ∆V m
=
2 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 C ⋅ 105 V 9,11 ⋅ 10−31 kg
2 ⋅ 10−7 T·m·A-1 ⋅ 15A ⋅ 15A = 0,015 N 1,5 ⋅ 10−3 m a Esta fuerza magnética se compensa con el peso de la masa m que coloquemos; por tanto:
=
1, 87 ⋅ 108 m/s
0,5 m
El módulo de la fuerza de repulsión será: F 2
Despejando la velocidad y sustituyendo, obtenemos: v =
l =
F2
= 2
2K ’ I1I 2
= 0,5m ⋅
+ p = 0 ⇒ F2 = p ⇒ F2 = mg
Suponiendo un valor para la gravedad de g = 10 m/s2 , y sustituyendo, 0,015 = m ⋅ 10 ⇒ m = 0,0015 kg
Con esta velocidad, los protones entran en el interior del campo magnético. Allí estarán sometidos a una fuerza magnética perpendicular a la velocidad, y describirán una trayectoria circular. 14. En la figura se representan dos largos conductores rectilíneos, La fuerza centrípeta que provoca el cambio en la dirección del paralelos y separados una distancia d, por los que circumovimiento de los protones es la fuerza magnética, por lo que: lan corrientes I 1 e I 2 en el mismo sentido.
CAMPO MAGNÉTICO
a) Si I 1 = 2A, calcula el valor de I 2 para que se anule el campo magnético total en el punto P, situado entre los dos
conductores como se indica en la figura.
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Sustituyendo, obtenemos: 0=
I I I 2K ’ I1 2K ’ I2 − ⇒ 0 = 1 − 2 ⇒ I 2 = 1 2d / 3 d / 3 2 1 2
Como la intensidad I 1 = 2 A , entonces I 2 = 1 A . b) La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores pa-
P 2d /3
ralelos viene dada por la expresión: d /3
F2 2
d I1
I2
b) Para d = 2 cm, I 1 = 2 A e I 2 = 1 A, determina las fuerzas
de interacción (módulo, dirección y sentido) que actúan sobre una longitud L = 0,5 m de cada conductor.
Dato: μ0 = 4π · 10–7 m · kg · C–2. a) En el punto P, el campo magnético creado por I 1 es de sentido opuesto al creado por I 2. Por tanto, el módulo de la
=
F1 1
2K ’ I1 I2
=
a
Sustituyendo: 2K ’ I1I 2
F 2
= 2
F2
= F 1 =
a
= 0,5m ⋅
10−5 N
15. Razona las respuestas a las siguientes cuestiones: Dos conductores rectos paralelos y muy largos con corrientes I en el mismo sentido...:
resultante lo podemos calcular restando los módulos de los campos creados por cada intensidad.
a) Se atraen.
El campo creado por un hilo conductor a una distancia a 2K ’ I viene dado por la expresión B = .
c ) No interaccionan.
a
De modo que el campo magnético total será:
Btotal
= B1 + B2 ⇒ Btotal = B1 − B2
2 ⋅ 10−7 T·m·A-1 ⋅ 2A ⋅ 1A 2 ⋅ 10−2 m
b) Se repelen.
Dos conductores por los que circulan intensidades de corriente con el mismo sentido están sometidos a una fuerza de atracción entre ellos. La respuesta corresta es, por tanto, la a).
