UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA
Escuela profesional de Ingeniería de Minas
“Año de la promoción de la industria responsable y compromiso climático”
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA CURSO: Mecánica CURSO: Mecánica de Rocas I DOCENTE: ING. Marcos Quispe Pre! INTEGRANTES: Alan INTEGRANTES: Alan Pino "la#itea $ladimir $ilca %icona &a#id 'scobar "(o)ue Marco $as)ue! *e#in Puma Quispe TRABAJO: %ensiones TRABAJO: %ensiones y &e+ormaciones en las Rocas CARRERA: In,enier-a de Minas FECHA: /0102/ FECHA: /0102/
Moquegua - Per !"#$
Mecánica de rocas I
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TENSIONES Y DEFORMACIONES EN LAS ROCAS ROC AS I. FUERZAS Y TENSIONES
La mecánica de solidos asume un comportamiento ideal de los materiales; homogéneos, continuo, continuo, isótropo, isótropo, lineal y elástico. Las rocas, a diferencia de los materiales artificial artificiales es como el acero o el hormigón, presentan defectos estructurales debido a la variación de la composición mineralógica, orientación de minerales, porosidad y mico fisura, grado de alteración. Los macizos rocosos también contienen discontinuidades de diverso tipo y zonas meteorizadas y tectonizadas. En ambos casos estas características se reflean en unas propiedades mecánicas y físicas, !ue gobiernan la respuesta mecánica del medio rocoso frente a la actuación de las fuerzas. La aplicación de nuevas fuerzas o la modificación de la magnitud o distribución de las pree"i pree"iste stente ntes, s, da lugar lugar al cambio cambio en el estado estado mecáni mecánico co de los sistem sistemas as rocoso rocosos, s, produc producien iendo do una serie serie de efecto efectoss intern internos, os, como como despla desplazam zamien iento, to, deform deformaci acione ones, s, y modificación del estado tensional o de esfuerzos. En los ensayos de laboratorio se aplican fuerzas para producir la rotura del material y conocer así sus propiedades de resistencia. El estado mecánico de un sistema está caracterizado por# La composición de cada una de sus partes, definida por sus coordenadas Las fuerzas !ue act$an entre y sobre las partes del sistema La velocidad con !ue las partes cambian de posición La dife difere renc ncia ia entr entre e dos dos esta estado doss mecá mecáni nico cos, s, por por tant tanto o !ueda !uedara ra defi defini nida da por por los los desplazamientos, las deformaciones y los cambios en el estado tensional o de esfuerzos
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TENSIONES Y DEFORMACIONES EN LAS ROCAS ROC AS I. FUERZAS Y TENSIONES
La mecánica de solidos asume un comportamiento ideal de los materiales; homogéneos, continuo, continuo, isótropo, isótropo, lineal y elástico. Las rocas, a diferencia de los materiales artificial artificiales es como el acero o el hormigón, presentan defectos estructurales debido a la variación de la composición mineralógica, orientación de minerales, porosidad y mico fisura, grado de alteración. Los macizos rocosos también contienen discontinuidades de diverso tipo y zonas meteorizadas y tectonizadas. En ambos casos estas características se reflean en unas propiedades mecánicas y físicas, !ue gobiernan la respuesta mecánica del medio rocoso frente a la actuación de las fuerzas. La aplicación de nuevas fuerzas o la modificación de la magnitud o distribución de las pree"i pree"iste stente ntes, s, da lugar lugar al cambio cambio en el estado estado mecáni mecánico co de los sistem sistemas as rocoso rocosos, s, produc producien iendo do una serie serie de efecto efectoss intern internos, os, como como despla desplazam zamien iento, to, deform deformaci acione ones, s, y modificación del estado tensional o de esfuerzos. En los ensayos de laboratorio se aplican fuerzas para producir la rotura del material y conocer así sus propiedades de resistencia. El estado mecánico de un sistema está caracterizado por# La composición de cada una de sus partes, definida por sus coordenadas Las fuerzas !ue act$an entre y sobre las partes del sistema La velocidad con !ue las partes cambian de posición La dife difere renc ncia ia entr entre e dos dos esta estado doss mecá mecáni nico cos, s, por por tant tanto o !ueda !uedara ra defi defini nida da por por los los desplazamientos, las deformaciones y los cambios en el estado tensional o de esfuerzos
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El despla desplazam zamien iento, to,
u , es el camb cambio io de posi posici ción ón de una una part partíc ícul ula a
defini definida da por un vector vector
, s , y !ueda
u= p ´ − p . El campo de desplazamiento en un sistema será
homogéneo si los vectores de cada desplazamiento de cada partícula son iguales en magnitud y dirección La deformación deformación ɛ, indica indica la variación variación de longitud o espacio entre dos partícula partículass en dos estados mecánicos distinto, y se puede e"presar como la relación entre la variación de
longitud y la longitud inicial entre las partículas
ɛ
=
ii−i f ii
= ∆ l / ii . Este parámetro es
dimensional y compara situaciones en dos estados mecánicos diferentes. El estado tensional de un sistema es consecuencia de las fuerzas actuando sobre él. %l vari variar ar las las fuer fuerza zass por por tant tanto o varí varía a el esta estado do de tens tensio ione ness asoc asociad iados os a los los plan planos os considerados. Las fuerzas son las responsables primeras del estado y comportamiento mecánico de un sistema. &obre un cuerpo rocoso act$an dos tipos de fuerzas, la fuerza gravitatoria y volumétrica F =m . g y las fuerzas superficiales !ue son eercidas sobre el cuerpo por los materiales !ue los rodean y act$an sobre las superficies de contacto entre partes adyacentes del sistema rocos, y se transmiten a cual!uier punto del interior del cuerpo# un eemplo de estas $ltimas son las fuerzas tectónicas !ue se eercen sobre las rocas. %mbas fuerzas volumétricas y superficiales, están íntimamente relacionados entre si, estand estando o las segund segundas as condic condicion ionada adass por la distri distribuc bución ión y variac variación ión espaci espacial al de las primeras. Las fuerza fuerzass superf superfici iciale aless se clasif clasifica ican n en compre compresiv sivas as 'posit 'positiva ivas( s( y disten distensiv sivas as o traccionale traccionaless 'negativas( 'negativas(,, representad representada a respectiva respectivamente mente por vectores vectores apuntando apuntando hacia dentro o fuera del punto de aplicación. &i se considera un plano sobre el !ue act$a un a fuerza, esta puede tener cual!uier dirección con respecto al plano; si es perpendicular al mismo recibe el nombre de fuerza norma, y si es paralela fuerza tangencia de corte o cizalla. La primera puede ser Mecánica de rocas I
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comprensiva o distensiva, mientras !ue la segunda no. )ara las fuerzas tangenciales es necesario definir un convenio de signos# positivo si el vector de la fuerza y su vector asociado sobre la otra cara del plano tienen el sentido contrario a las aguas del relo, y negativas en caso contrario. El efecto de una fuerza depende del área total sobre la !ue se aplica por lo !ue trabaar con fuerzas no es adecuado para conocer su influencia sobre el comportamiento de la roca. &i la fuerza total es referida al área % del plano sobre el !ue act$a, se e"presa como tensión o esfuerzo, parámetro independiente del área de aplicación La fuerza se mide en unidades del sistema &*+&, como -ilopondio
σ = F / A
NEWTON ( N ) , dina,
(kp ) , tonelada fuerza 't(; las unidades del esfuerzo son el
kp / cm 2, kN /m 2, okPa,MN / m 2 oMpa.
El esfuerzo se define como la reacción interna de un cuerpo a la aplicación de una fuerza o conunto de fuerzas, y es una cantidad !ue no se puede medir directamente, ya !ue el parámetro físico !ue se mide es la fuerza. &i la fuerza act$a uniformemente en una superficie, el esfuerzo o tensión indica la intensidad de las fuerzas !ue act$an sobre el plano. )or tanto, a diferencia de las fuerzas, carece de sentido hablar de esfuerzo actuando sobre un punto. El esfuerzo no varía en función del área considerada !ue siempre las fuerzas se distribuyan uniformemente sobre la superficie. &i las fuerzas no se distribuyen uniformemente, el esfuerzo variara para diferentes áreas del plano. &i se considera un área infinitesimal en el interior de un cuerpo rocoso en e!uilibrio, la magnitud del esfuerzo resultante sobre el área será; σ = lim ∆ A→0
∆ F dF = ∆ A dA
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+omo la fuerza es una cantidad vector, la e"presión anterior se puede escribir la ecuación de un vector →
σ = lim ∆A →0
∆ F dF = ∆ A dA
Los esfuerzos es también una cantidad vector, al ser producto de un vector escalar
1/ ∆ A
. La notación
∆ F , por un
representa la dirección y magnitud del vector. Las
notación representa solo la magnitud, es el escalar de
. Los vectores de esfuerzos se
pueden sumar vectorialmente si están referidos al mismo plano.
El esfuerzo de un plano !ueda completamente representado por el vector de esfuerzo, con magnitud igual a la relación entre la fuerza y el área y dirección paralela a la dirección de la fuerza !ue act$a sobre el plan, al igual !ue las fuerzas, los esfuerzos comprensivos son positivas, y los traccionales son negativos. El esfuerzo como cual!uier otro vector, pueden ser descompuestos en sus componentes normal y tangencial, referidas a cual!uier plano, dependiendo estas componentes de la Mecánica de rocas I
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orientación del plano elegido. e igual modo el esfuerzo puede ser descompuesto en dos componentes paralelas a los ees de un sistema de coordenadas ortogonales
y , x .
II. TENSIONES SOBRE UN PLANO
El estado de esfuerzos o tensiones en un punto !ueda definido por las fuerzas por unidad de área referida a dos planos perpendiculares x , y atreves del punto. &i se asume un material continuo y homogéneo sometido a un campo de fuerzas uniformes y se considera un cuadrado de área infinitesimal en reposo.
Los esfuerzos resultantes sobre las caras del cuadrado, o lo !ue es lo mismo, las fuerzas por unidad de área eercidas por el material circundante sobre las caras del cuadrado, deben estar en e!uilibrio. En cada cara act$a una componente normal y otra tangencial. /efiriendo el cuadrado a un sistema bidimensional las componentes del esfuerzo sobre un plano x , y sobre el plano y son
σ y y τ yx
)ara el e!uilibrio la resultante de las fuerzas actuando en las direcciones " e y deben ser igual a cero. %demás el e!uilibrio rotacional !ue los momentos sean igual a cero. Mecánica de rocas I
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0E1&*21E& )/*1+*)%LE& En cual!uier punto sometido a esfuerzos, se pueden encontrar tres planos ortogonales, entre si o entre los esfuerzos tangenciales son nulos; estos planos se denominan planos principales de esfuerzos, y los esfuerzos normales !ue act$an sobre ellos son las tensiones principales. La mayor de las tres tensiones
σ 1
la intermedia es
σ 2
y la
menor es σ 3 : σ 1 > σ 2> σ 3 suponiendo !ue solo e"istieran esfuerzos debido a las fuerzas gravitatorias sobre un punto, el plano horizontal y todos los planos verticales !ue pasan por ese punto serian planos principales de esfuerzos si
σ 1= σ 2=σ 3
el estado de
tensiones se denomina isótropo o hidrastico, como el !ue presentan los fluidos. 0odas las paredes de e"cavaciones superficiales y subterráneas !ue se autosoportan son planos principales de tensiones, sobres los !ue no act$an esfuerzos tangenciales. +ontrariamente a lo !ue ocurre con los esfuerzos tangenciales, no e"iste ninguna orientación en el espacio para !ue los esfuerzos normales sean nulos. icho de otra forma, la suma de las tensiones principales tiene el mismo valor
σ 1 + σ 2+ σ 3=cos!a!"
III. TENSIONES EN TRES DIMENSIONES
&i en lugar de un plano, en cuyo caso esfuerzo !ueda definido por un vector, se considera un punto situado en el interior de un cuerpo rocoso, por el mismo pasan infinitos planos de Mecánica de rocas I
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diferente orientación. &i se determina los vectores esfuerzo para cada uno de los planos !uedara definido el estado de esfuerzo o estado tensional en el punto, !ue !ueda representado por un tensor de segundo orden. icho de otro modo, la cuantificación del estado de esfuerzos de un punto se lleva a cabo definiendo su estado de esfuerzos, esto es, definiendo las fuerzas por unidad de área !ue act$a sobre tres planos ortogonales a través del punto. Estado de esfuerzos no se ve alterado por la elección del sistema de ees de referencia, pero si sus componentes.
&i se considera un área infinitesimal 3% alrededor de un punto 2 en el interior de un macizo rocoso en e!uilibrio, y 34 es la fuerza resultante !ue act$a sobre el plano, la magnitud de esfuerzo resultante sobre el punto 2, o del vector de esfuerzo, se define#
&us componentes normal y tangencial sobre plano !ue contiene al punto !uedan definidas por#
&i la normal a la superficie 3% esta orientada paralela a uno de los ees, por eemplo el ee ", las componentes de esfuerzo !ue act$an sobre esta superficie puede ser referida a los Mecánica de rocas I
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ees ", y, z. 5ientras !ue el esfuerzo normal !ueda definido de una forma evidente, el esfuerzo tangencial no, al no coincidir por lo general con la dirección de ninguno de los ees, siendo necesario referirlo a dos componentes. %sí, el esfuerzo sobre el plano considerado viene dado por tres componentes#
*ndicando el primer subíndice de la normal al plano 'o al plano sobre el !ue act$a la componente(, y el segundo la dirección de actuación de la componente de esfuerzo. &imilarmente, paralelas otras dos direcciones , y, z, las componentes del esfuerzo actuando sobre los planos normales a las mismas son#
La matriz de esfuerzo con las nueve componentes !ueda definida por#
El estado de esfuerzos en un punto !ueda definido por nueve componentes de esfuerzo independientes, 6 normales y 7 tangenciales. &i se considera el e!uilibrio del cubo debe cumplirse !ue#
)or lo !ue $nicamente son necesarias seis componentes de esfuerzo para conocer el estado de esfuerzo en un punto#
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El tensor de esfuerzos correspondiente a los esfuerzos principales es#
&i e"iste presión de fluidos, u, el tensor !ueda modificado $nicamente en sus componentes normales, ya !ue la presión hidrostática no act$a sobre las componentes tangenciales; los tensores de esfuerzos para los casos de e"istencia de componentes tangenciales o esfuerzos principales serán#
El estado tridimensional de tensiones en un punto !ueda representado por un elipsoide. e igual forma !ue se han deducido anteriormente las ecuaciones de la elipse de esfuerzos para las dimensiones, si se consideran los esfuerzos para dos dimensiones, si se considerarlos esfuerzos principales
paralelos a los ees ", y, z se puede
escribir#
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8 como se obtiene#
&e obtiene#
Los tres planos !ue aparecen cortados en el elipsoide son los planos !ue contiene a los esfuerzos. &i se consideran los planos contiene a los esfuerzos 9 y : y a los esfuerzos 9 y 6 respectivamente se tienen las dos elipses !ue representan el estado de esfuerzos en cual!uier plano perpendicular a la elipse considerada. Los diferentes estados de esfuerzos pueden definirse por la forma de elipsoide o por los valores relativos de los esfuerzos actuando sobre un punto en el centro del mismo.
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El esfuerzo hidrostático !uedara representado por una esfera. )ues esta representa estos estados de esfuerzo en probetas de laboratorio. IV. RESISTENCIA Y ROTURA
Las tensiones o esfuerzos generados por la aplicación de las fuerzas pueden producir deformaciones y roturas en las rocas dependiendo de la resistencia de las mismas y de otras condiciones e"trínsecas al propio material rocoso. La deformación indica el cambio en la forma o configuración de un cuerpo, correspondiéndose con los desplazamientos !ue sufre la roca al soportar la carga. %nte la dificultad de medir desplazamientos muy pe!ueos, la deformación se e"presa comparando el estado deformado con respecto al inicial, y por tanto no tiene unidades.
l i−l f li
=∆ l / l i
La deformación volumétrica o dilatación de la relación entre el cambio de volumen de un cuerpo y su volumen inicial ∆ =($i −$ f )/ $i −∆ $ / $i
5ientras !ue el esfuerzo indica una condición de la roca en un instante y depende de las fuerzas aplicadas, la deformación compara condiciones, en dos instantes, y concierne $nicamente a la deformación
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La resistencia se define como el esfuerzo !ue la roca puede soportar para una cierta condición de deformación la resistencia de pico
σ p ,
es el esfuerzo má"imo !ue se
puede alcanzar, se produce para una cierta deformación a la !ue se denomina deformación de pico. La resistencia residual
σ % ,
es el valor al !ue cae la resistencia de
algunas rocas para deformaciones elevadas. &e produce después de sobrepasar la resistencia de pico, en los problemas !ue se plantean en ingeniería geológica, conocer si la roca se va a deformar sin alcanzar la resistencia de pico o va a superar este umbral, y por lo tanto se va a alcanzar la resistencia residual, es un aspecto difícil de analizar y de importantes consecuencias práctica. En condiciones naturales, la resistencia depende de las propiedades intrínsecas de la roca, cohesión y ángulo de fricción, y de otros factores internos como la magnitud de los esfuerzos !ue se eercen, los ciclos de carga y descarga o la presencia de agua, por ese motivo la resistencia no es un valor $nico intrínseco de la roca. La resistencia compresiva es la propiedad más característica, y frecuentemente medida en la matriz rocosa, por la facilidad de obtención de testigos y de su ensayo en laboratorio. )or el contrario, en los macizos rocosos su determinación no es directa. ebiéndose realzarme por medio de criterios empíricos. La rotura es un fenómeno !ue se produce cuando la roca no puede soportar las fuerzas aplicadas, alcanzando el esfuerzo un valor má"imo correspondiendo a la resistencia de pico del material. %un!ue generalmente se supone !ue la rotura ocurre o se inicia al alcanzar la resistencia de pico, esto es una simplificación !ue no siempre ocurre. Mecánica de rocas I
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0ampoco la rotura de la roca tiene por!ue coincidir con el inicio de la generación de los planos de fractura. La fractura es la deformación de planos de separación en la roca, rompiéndose los enlaces de las partículas para crear nuevas superficies. En función de la resistencia de la roca y de las relaciones entre los esfuerzos aplicados y las deformaciones producidas, la rotura puede responder a diferentes modelos; rotura frágil o rotura d$ctil. El fenómeno de la rotura va acompaado de la generación de planos de fractura través de la roca, cuya dirección depende de La dirección de aplicación de las fuerzas Las anisotropías presentes en el material rocoso a nivel microscópico o macroscópico. % escala del macizo rocoso fracturado 5E+%1*&52 E /20=/%. El proceso de rotura de las rocas es muy variado y compleo englobando varios tipos de fenómenos de manera conunta. El análisis de rotura en rocas es más compleo !ue en suelos 5E+%1*&52& E /20=/% /otura por esfuerzo cortante# se produce cuando una determinada superficie de la roca está sometida a esfuerzos de corte suficientemente altos como para !ue una cara de la superficie deslice con respecto a la otra. &on eemplos de rotura a favor de discontinuidades en taludes de macizo rocoso o en los techos de galerías sobre hastiales rígidos. /otura de compresión# tiene lugar cuando la roca sufre esfuerzos a compresión. 5icroscópicamente se producen grietas de tracción y planos de corte !ue progresan en el interior de la roca. La situación de compresión simple no es frecuente en la naturaleza o en las obras de ingeniería. &on eemplos pró"imos los pilares de soporte en una e"cavación minera o los pilares de sostenimiento de desmonte en voladizo. /otura por fle"ión# se produce cuando una sección de la roca está sometida a momentos flectores. En realidad la sección está sometida a unas tensiones
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1ormales variables, rompiéndose por la zona donde se acumula las tracciones rotura por tracción# ese tipo de rotura se produce cuando la disposición y la estructura del macizo rocoso hace !ue una cierta sección de la roca está sometida a una tracción pura o casi pura. =n eemplo puede ser el estado traccional !ue se genera en algunos tramos de la superficie de rotura de un talud /otura por colapso# se produce bao condiciones de compresión isotrópica, es decir, cuando el material recibe compresiones en todas las direcciones del espacio. Es un caso particular de la rotura por compresión. &e produce en rocas muy porosas, tales como rocas volcánicas de baa densidad o areniscas cementadas tipo creta. Las rocas densas bao compresión pueden colapsar también bao compresiones muy elevadas por cambios en su estructura interna V. RELACION TENSION-DEFORMACION EN LAS ROCAS
El comportamiento esfuerzo deformación de un cuerpo viene definido por la relación entre los esfuerzos aplicados y las deformaciones producidas, y hace referencia a como se va deformando y como va variando el comportamiento del material rocoso a lo largo de la aplicación de la carga, o dicho de otro modo, como varia la resistencia del material para determinados niveles de deformación# Mecánica de rocas I
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El comportamiento antes de llegar a la deformación La forma en la !ue se produce la rotura +omportamiento después de la rotura &u estudio se lleva a cabo a partir de ensayos de aplicación de fuerzas compresiva, en donde se registran las curvas de esfuerzo>deformación a lo largo de las diferentes etapas del proceso. Las rocas presentan relaciones no lineales entre las fuerzas aplicadas y las deformaciones producidas a partir de un determinado nivel de esfuerzo, obteniendo diferentes niveles de esfuerzo para los distintos tipos de rocas. &i debió a la aplicación de una carga sobre un cuerpo rocoso !ue supera su resistencia de pico, puede ocurrir# La resistencia de la roca disminuye drásticamente incluso hasta alcanzar un valor má"imo de cero. El comportamiento es típico de rocas duras con alta resistencia. La fractura frágil implica una perdida casi instantánea de la resistencia de la roca atreves de un plano sin ninguna o muy poca deformación plástica La resistencia de la roca decrece hasta un cierto valor después de haber alcanzado deformaciones importantes. La deformación sigue aumentando sin !ue se pierda la resistencia. Es el caso de un comportamiento d$ctil, !ue presentan determinados tipos de materiales blandos como las sales. En el comportamiento d$ctil la resistencia de pico y la residual son iguales. La deformación !ue se produce, sin pérdida de resistencia, se llama deformación d$ctil. El comportamiento frágil se caracteriza por presentar diferencias importantes en la resistencia de pico y la residual, y al ser la de resistencia brusca, apenas e"iste diferencia en la deformación correspondiente a la resistencia residual. &i se ensaya en el laboratorio una probeta de roca sin confinar mediante la aplicación gradual de una fuerza a"ial, se va produciendo una deformación a"ial !ue puede ser medida mediante la instalación de comparadores en la probeta
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La rama ascendente, antes de alcanzar la resistencia de pico, presenta un comportamiento lineal o elástico para la mayor parte de la roca. En el campo elástico, la deformación es proporcional al esfuerzo, y se cumple la relación# E= σ / # ax
onde E es la constante de proporcinalidad conocida como el modulo de 82=1 o modulo de elasticidad,
σ es el esfuerzo y
# ax
dirección de la fuerza aplicada
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es la deformación a"ial 'en la misma
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VI. ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES INFINITESIMALES
El análisis de ambas características infinitesimal es fundamental para todo trabao de mecánica de rocas por cuanto un estudio e"perimental implica necesariamente un análisis de las cargas !ue act$an sobre las estructuras en rocas y su comportamiento &e llama estructura de rocas a todo tipo de construcciones con roca es decir galerías chimeneas taludes pilares etc. Este punto se ha tratado en muchos trabaos sobre teoría de elasticidad siendo importante las de 0*52&
El análisis de deformaciones es fundamental para el movimiento de cual!uier material si el movimiento es muy grande se re!uiere de análisis sofisticados sin embargo si las deformaciones son infinitesimales en la teoría de elasticidad encontraremos los elementos necesarios para su estudio. %1@L*&*& E E&4=E/A2& '0E1&*21E& &0/E&&( a( Esfuerzos en un punto# la tensión media sobre una superficie se
obtiene
dividiendo la fuerza sobre el área en la !ue act$ala cual se denomina uniforme si la tensión media es constante sobre toda la superficie, si no es uniforme es conveniente definir la tensión en un punto
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→
Normal:
OP
o =¿ lim dA
dF dA
La tensión en un punto se obtiene considerando la fuerza !ue act$a sobre un elemento de área alrededor de un punto y haciendo !ue este elemento superficial sea cada vez menor tendiendo a cero El límite del valor dado por la relación esfuerzo total sobre el punto
df / dA cuando da tiende a cero se denomina
O ubicado en un plano cuya normal esta dado por el
segmento 2). En otras palabras la tensión en un punto define la tensión media uniformemente distribuida sobre un diferencial de área
dA
Es necesario introducir la convención de signos par a los esfuerzos en mecánica de rocas la cual es opuesta a la convención adoptada en trabaos de tensión y elasticidad, resistencia de materiales. En mecánica de rocas es más conveniente asumir el esfuerzo de compresión positiva por los siguientes motivos;
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os es!"er#os de cam$o % en el medio am&ien'e son casi siem$re de com$resi(n la $resi(n de con)namien'os en a$ara'os % la $resi(n de *"idos en $oros son
-s'a con+enci(n es'á o)cialmen'e reconocida en los c,rc"los cien',)cos
Las componentes de esfuerzo sobre el punto
a ma%or,a de $ro&lemas en mecánica de rocas es'án relacionados con es!"er#os normales so&re
O estarán definidas por la siguiente
tensión
! x ! xy ! x&
! ! !
El estado de esfuerzos el cual!uier punto puede estudiarse y representarse en función de sus componentes de esfuerzos !ue act$an en dirección de los 6 ees cartesianos
%1%L*&*& E E&4=E/A2& E1 EL )L%12 E&0%2 )L%12 B**5E1&*21%L E1 EL )L%12
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El análisis de esfuerzos en el plano se simplifica considerando solamente los componentes de tensión !ue sea independiente de
' o sea
Tx, Txy ,Ty ,Tyx
La tensión plano implica una deformación tria"ial es decir !ue puede e"istir deformación en la dirección normal al plano xy recíprocamente una deformación plana re!uiere de un sistema de acción tria"ial cuando se analiza un problema es conveniente reducirlo a tensión plana o deformación plana Las tensiones tangenciales sobre las tensiones 2 y del elemento planteado para un problema bidimensional de tensiones son de magnitud similar demuestra a continuación; haciendo momento en % se tiene#
∑ MA= 0 σ x dy
dy dx dy dx + σ y dx + τ yx dxdy −σ x dy −τ xy dydx −σ y dx = 0 2 2 2 2
τ dxdy = τ xy dydx ∴ τ yx= τ xy
⟹ yx
d"igualmodo : τ x& =τ &x
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Txy =Tyx como se
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Escuela profesional de Ingeniería de Minas τ &y =τ y&
Las tensiones o esfuerzo en un punto !uedan definidos por las componentes rectangulares de tensión !ue act$an sobre las caras de un elemento diferencial de volumen !ue tomamos en el entorno de dicho punto Las tensiones varían en función de la orientación de los planos !ue pasan por un punto, es decir !ue las tensiones en las caras del elemento diferencial varían cuando la hace la posición angular de este elemento )ero el análisis de la variación de las tensiones seg$n la orientación de los problemas en un problema bidimensional lo analizaremos en el siguiente diagrama de elemento triangular !ue posee un plano inclinado cuya normal forma un ángulo de teta grados en el ee (
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g
∑ F= 0 −σ ) A + σ x A cos2 ) + τ xy A sin ) cos ) + σ y A sin2 ) + τ yx A sin ) cos ) =0 2
2
σ ) =σ x cos ) + σ y sin ) + 2 τ xy sin ) cos )= 0
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σ ) =σ x
⟹
(
) (
)
1 + cos2 ) 1−cos2 ) + σ y + τ xy 2sin ) cos )= 0 2 2
σ )=
σ x + σ y σ x − σ y 2
+
2
cos2 ) + τ xy sin2)
∑ ´ =0 2
2
τ ) A = σ y A sin) cos ) + τ xy A cos ) −τ yx A sin )− σ x A sin ) cos )
2
2
τ ) =σ y sin ) cos ) + τ xy cos )− τ yx sin ) −σ x sin) cos )
τ ) =
σ y 2
sin2) −
τ =
⟹ )
(
σ x
σ y − σ x 2
2
)
sin2) + τ xy ( cos ) −sin ) ) 2
2
sin2) + τ xy cos 2)
Estas relaciones sirven para determinar las relaciones de los planos en !ue se producen las tensiones normales, se puede hallar los valores de la tensión normal y mínima y sus planos de aplicación definidos por los ángulos !ue se encuentran *allado"l σ max :
⟹
d d)
d σ ) d)
(( ) (
)
)
σ x + σ y σ − σ σ −σ + x y cos2) + τ xy sin2 ) = x y (−sin2 ) ) ( 2 )+ τ xy cos2 ) ( 2 )=0 2 2 2
τ cos2 ) =( σ x −σ y ) sin2 ) ⟹
⟹ xy
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2 τ xy σ x −σ y
=
2 τ xy sin2 ) ⟹ tan2 ) p = cos2 ) σ x − σ y
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2) p=arctan
2 τ xy σ x −σ y
∴ ) p
1 2
= arctan
d!o / do =0
La derivada de
2 τ xy σ x −σ y
nos da el valor de
op
ó
2 op , !ue seala la
orientación de los planos en los !ue se produce los valores má"imos y mínimos de
¿ Los ángulos 2 op son función de !x,!y,!xy !ue act$an sobre el elemento
! 3
+uando se trabaa en el espacio se hace con un esfuerzo normal intermedio En cual!uier estado de tensión en un punto e"istirán siempre tensiones principales en el mismo En los planos de aplicación del esfuerzo má"imo y mínimo la tensión cortante
¿
cuando varía el ángulo o , derivamos la e"presión con respecto a o e igualamos a cero d τ ) d = 0 ⟹ d) d)
((
)
)
σ y −σ x sin2) + τ xy cos2 ) =( σ y − σ x ) cos2 )−2 τ xy sin2) =0 2
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2) c =¿
σ y − σ x
, 2 )c =arctan
2 τ xy
⟹
σ y −σ x 2 τ xy
∴)c
1 2
= arctan
σ y − σ x 2 τ xy
σ y − σ x sin2) = ⟹ tan ¿ 2 τ xy cos2 )
‖σ max‖=‖σ mi‖ Los esfuerzos definidos por las dos soluciones de esta ecuación son las de má"ima y mínima tensión cortante 2 τ xy
sin2) =
( 4 τ +( σ + σ ) )
2 2
2 xy
(
σ 1,3 =
σ x −σ y 2
σ Max, Mi =+
, cos2) p= 1
x
)
+
y
σ x − σ y 1 2 2
( 4 τ +( σ + σ ) ) 2 xy
x
y
1 2 2 4 τ xy + ( σ x + σ y ) √ 2
1 2 2 4 τ xy + ( σ x + σ y ) √ 2
d"mos!%acio :
((
) ((
)
)
σ Max =
σ 1−σ 3 σ − σ σ − σ 2 = x y + 1 √ 4 τ xy2 + ( σ x + σ y ) 2 − x y − 1 √ 4 τ xy + ( σ x + σ y )2 2 2 2 2 2
σ Max =
1 2 2 4 τ xy + ( σ x + σ y ) √ 2
o!"m"mos σ ) y τ ) cooci"do σ 1 , σ 3 :
σ ) =
σ 1+ σ 3 σ 1 −σ 3 2
+
2
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cos 2)
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)
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τ ) =
σ 1−σ 3 2
sin2 )
&i tomamos como ee de coordenadas las direcciones de las tensiones principales podemos e"presar las tensiones ¿ y
¿ en función de los esfuerzos principales y
el ángulo o !ue define la orientación del plano respecto a los planos principales. PROBLEMA
En un punto de la caa techo de una veta se ha determinado una tensión normal en la 500 - / /M 2 una tension normal en la direccion
dirección y de 250 -. / /M 2
y un esfuerzo cortante en el cuadrilatero de
(
de
200 - / /M 2
se
pide# 0
•
eterminar la tensión normal ma"
min y la
•
orientacion de los planos en !ue se produce La magnitud de la tensión cortante ma" 0 min y la
•
orientación de los planos en !ue se produce La tensión normal y cortante en un plano cuya normal esta inclinada 6D grados con el ee (
a ¿ σ 1 , σ 2 ,) p=1
) } rsub {p} =+122° 2 τ xy 200 !g 2 ) p= =2 =2 ) p=−57.99 2 3 2 ¿ 250−500 σ x − σ y
) } rsub {p} , para hallar la {} rsub {ma!} l"#t ${} rsub {1} ri%ht & ' {} rsub {min} l"#t ${} rsub {3} %""mpl a&ado 2 ) p y 2 ¿
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250 + 500 250−500 + cos =(−57.99 )+ 200sin (−57.99 )=139.15 σ ¿ 2 2
σ 1,3 =
250 + 500 250−500 + cos ( 122 ) +250sin ( 122 )=(10.)5 σ 1=(10.)5 2 2
las!"sio"s o%mal"smaximas y miimas y laso%i"!acio"s po% : 3=¿ 139.15 kg / cm2 (10.)5 kg σ 1= σ ¿ cm2
) } rsub {p} =*57.99 2 ) p=122.002 ¿ ¿ τ max =1
) } rsub {c} =212 σ y −σ x 500 −250 !g 2 )c = = =2 ) c =32 3 2 ¿ 2 τ xy 2 ( 200)
) } rsub {c} para hallar {+} rsub {ma! {' }} {+} rsub {min} t"n"mos: %""mpla&ado 2) c y 2 ¿
τ ) =
τ ) =
500 −250 sin 32+ 200cos32 = 235.)5 =τ max=235.)5 kg / cm2 2
500
−250 2
sin 212
+ 200 cos 212 =−235.)5 =τ max =−235.)5 kg / cm 2
po% !a!o :
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comp%oado : τ max=
σ 1 −σ 3 2
=
(10.)5
−139.15 2
= τ max=
235.)5 kp
cm 2
c ¿ σ ) , τ ) pa%a ) =30
τ ) =
250 + 500 250−500 + cos(0 + 200 sin (0 2 2
τ ) =4)5.7 kg / cm2
eterminar las tensiones normal y cortante en un plano cuya normal forma un ángulo
de FG con el ee " siendo
σ x =0, σ y =
)40 kg , τ =2)0 kg / cm2. eterminar las cm2 xy
fuerzas principales, orientadas de sus planos de aplicación y tensión cortante má"imo. &olución# )= 45 τ x =0
σ y =
τ xy=
)40 kg cm2
2)0 kg
cm 2
2) } rsub {p} =14(1.05 2 τ xy !g 2 ) p= = 2∗2)0 =2 ) p=−33.5 3 ¿ σ x − σ y −)40
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