TEMA: TEOREMA DE GREEN OBJETIVO GENERAL
Investigar cuales son los diferentes casos del teorema, para saber identificarlos y utilizarlos como herramienta para resolver los diferentes ejercicios. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Detallar cuales son métodos de aplicación del teorema de Green. Utilizar los métodos de resolución de Green para apliacar a los diferentes ejercicios
ue se proponga durante las clases. Definir los conceptos de los diferentes casos.
MARCO TEORICO
!n f"sic f"sicaa y matem#ticas matem#ticas,, el teorem teoremaa de Green Green da la relación relación entre entre una integr integral al de l"nea alreded alrededor or de una curva cerrada cerrada simple simple C y una integra integrall doble doble sobre la región región plana plana D limitada por C . !l teorema de Green se llama as" por el cient"fico brit#nico George Green y es un caso especial del m#s general teorema de $to%es. $to%es. !l teorema afirma& $ea C una curva cerrada simple positivamen positivamente te orientada, orientada, diferenciable diferenciable por trozos, trozos, en el plano y sea D la región limitada por C . $i L y M tienen tienen derivadas parciales continuas en una región abierta ue contiene D,
' veces la notación
se utiliza para establecer ue la integral de l"nea est# calculada usando la orientación positiva (antihoraria (antihoraria)) de la curva cerrada C . TEOREMA DE GREEN
$ea * una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea +(-y) (/-0) un campo vectorial cuyas vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta ue contiene a la región D acotada por *. !ntonces& Demostració !e" Teorema Teorema !e Gree 1otase ue el 2eorema 2eorema de Green
uedar#
demostrado
si
se
prueba
ue
y
/ara demostrar la ecuación 3 epresemos D como una región tipo I&
donde y son funciones continuas. !sto permite calcular la doble integral del lado derecho de la ecuación 3 como sigue& donde en el 4ltimo paso se sigue el teorema fundamental del c#lculo. 'hora calculamos el lado izuierdo de la ecuación 3 descomponiendo las cuatro curvas , , y como se muestra en la figura. en el par#metro y escribimos las ecuaciones para5métricas como y
como la unión de tomamos como
. !ntonces&
6bserve ue va de derecha a izuierda, pero va de izuierda a derecha, de modo ue podemos escribir las ecuaciones para5métricas de como y . /or lo tanto&
!n
y
,
es constante, de modo tal ue
y
/or lo tanto,
*omparando esta epresión con la de la ecuación 7, vemos ue,
8a ecuación 9 se puede probar en forma muy semejante al epresar D como una región tipo II. !ntonces sumando las ecuaciones 3 y 9, obtenemos el 2eorema de Green. !l teorema de Green se cumple a4n para regiones ue tengan uno o m#s hoyos, siempre ue cada parte de la frontera esté orientada de modo ue uede siempre a la izuierda cuando se sigue la curva en su dirección positiva. :asta con descomponerla en regiones ordinarias. ANALISIS
!l teorema de Green establece la relación entre una integral de l"nea alrededor de una curva cerrada y simple, y una integral doble sobre la región plana limitada por . !l teorema de Green se llama as" por el cient"fico brit#nico George Green y es un caso especial del m#s general 2eorema de $to%es. !ste tipo de teoremas resulta muy 4til ya ue dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre cual hay ue integrarlo, podemos elegir la posibilidad mas simple entre poder integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto ue este delimitando la curva.
CONCL#SIONES $e investigó y conoció cual es la formula del teorema de green $e conoció como detallar la formula de green $e concluyo ue entre una integral de l"nea alrededor de una curva cerrada simple * y una integral doble sobre la región plana D limitada por C .
RECOMENDACIONES
$aber resolver integrales y todos sus casos para poder aplicarlos con facilidad Utilizar graficas si el ejercicio lo amerita
!studiar cuales son diferentes casos ue se utilizan en integrales.
BIBLIOGRAFIA • • •
http&;;es,
DIFERNCIA ENTRE STO$ERS % GREEN
!l teorema de Green es euivalente a la siguiente analog"a bidimensional del teorema de $to%es&
donde
es el vector normal saliente en la frontera.
/ara ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. *omo es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva * est# orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente ser"a auel ue apunta en >?@ hacia la derecha, el cual podr"a ser /or lo tanto
. !l módulo de este vector es .
2omando los componentes de
ue por medio del teorema de Green resulta&
, el lado derecho se convierte en
.
