UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL INGENIERÍA AGRÍCOLA
TEOREMA DE GREEN CURSO: MA-242 DOCENTE:……. ALUMN0
: VALENZUELA BERROCAL, !"#"$
G.
FECHA DE ENTREGA
: 20 !% &'()*$% !%+ 204
AACUCHO-PERU 204
TEOREMA DE GREEN. El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de teoremas nos resulta muy til porque! dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual "ay que integrar. #odemos elegir la posibilidad m$s simple entre integral el campo directamente sobre la curva o bien integrar la di%erencia de sus derivadas parciales cru&adas sobre en recinto que delimita la curva. #or otro lado la relaci'n así establecida entre la integral de línea sobre una curva y la integral doble sobre la regi'n interior a esta permite a veces obtener in%ormaci'n sobre una %unci'n o su integral en un recinto a partir del comportamiento de la %unci'n sobre la %rontera de dic"o recinto. (ntroducci'n. En este capítulo trataremos el %ascinante teorema de GREEN quien relaciono la regi'n )D* con su borde al que delimita. El teorema de Green relaciona la integral de línea .
∮ P dx + Qdx ∂D
+on la doble integral .
∬ ( ∂∂Qx − ∂∂ Py ) dxdy D
DONDE, a- a regi'n D es un con/unto compacto0cerrado y acotadob-
∂ D , es el borde o %rontera de la regi'n D.
El borde de la regi'n D es la yu1taposici'n de )n* caminos regulares o es la uni'n de un numero 2nito de curvas cerradas! cada camino o curva tiene OR(ENTA+(ON #O3(T(4A RE3#E+TO A A REG(ON D. 5na curva tiene orientaci'n positiva respecto a la regi'n D! cuando el sentido de la curva es tal! que la regi'n D siempre este a su i&quierda.
El teorema de Green +onsideremos las %unciones abierto
P ( x , y ) y Q ( x , y ) de clase c 6 en un
2 U ⊂ R . 3ea D ⊂ U un subcon/unto compacto con
%rontera 0el borde ∂ D - seccionalmente regular de clase c 6. 3upongamos que el borde de la regi'n D est$ constituido por )n* curvas regulares de clase c6 que contiene orientaci'n positiva que contiene orientaci'n positiva respecto a la regi'n D! entonces. .
P dx + Qdx =¿ ∬ D
(
)
∂Q ∂ P − dxdy ∂x ∂ y
.
∮¿ ∂D
Aclaraciones, a- a e1presi'n P dx + Qdx se llama %unci'n 67%orma.
( x , y ) → P ( x , y )
2
b-
P=U ⊂ R → R
( x , y ) → Q ( x , y )
2
c-
Q : U ⊂ R → R
# 8 9 son %unciones reales con dos variables un subcon/unto abierto contenido en
R
( x , y ) ∈ U ! donde 5 es
2
.
3e dice que las %unciones # y 9 son de clase c 6 en el abierto de 5 cuando #! 9 y sus derivadas parciales
∂ P ∂ P ∂ Q ∂ Q , , , ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y son
continuas en el abierto 5.
6.6. TEOREMA DE GREEN #ARA +ON:5NTO3 (M(TADO3 #OR +5R4A3 +ERRADA3 3(M#E3 03(M#EMENTE +ONE;O3-. P ( x, y )
3ea
Q( x, y)
y S ⊂ ¡
abierto
%unciones reales de clase 2
£1
sobre un con/unto
C . sea
una curva cerrada simple seccionalmente
ℜ regular! que constituye la %rontera de la regi'n C reuni'n de
∫
Ñ Pdx + Qdy = c
con la regi'n cerrada por ella-
⊂
0que es la
3 entonces.
∂Q ∂P ∫∫ ℜ ∂ x − ∂y÷ dxdy <<<<..6.6
3iempre que la integral de línea se considere en sentido anti"orario. NOTA. a identidad anterior es equivalente a las dos %'rmulas.
∂Q ∫∫ℜ ∂ x dxdy =Ñ ∫ c Qdy a-
−∫∫ℜ
∂ P dxdy = Ñ ∫ c Pdy ∂ y
b-
6.6.6.REG(ON DE T(#O (.
5na regi'n de tipo (! es una regi'n de la %orma.
R1
= { ( x, y ) ∈ ¡
: a ≤ x ≤ b, ϕ1 ( x )
≤ y ≤ ϕ 2 ( x ) }
y
ϕ1 ≤ ϕ 2
[ a, b ]
ϕ 2
ϕ 1 Donde
2
son continuas en
tales que
6.6.=.REG(ON DE T(#O (( 5na regi'n de tipo ((! es una regi'n de la %orma.
R2
= { ( x, y ) ∈ ¡
2
: c ≤ x ≤ d , φ1 ( x )
≤ y ≤ φ 2 ( x) }
Donde y son continuas en
3ea
D ⊂ ¡
φ1 ≤ φ 2
[ c, d ]
φ 1
tales que
2
decimos que D es una regi'n simple si D es una regi'n
∂ D tanto de tipo ( como tipo (( 8 adem$s
es una curva li&a a tro&os.
6.=.
AREA DE 5NA REG(ON E;#RE3ADA +OMO (NTEGRA DE (NEA.
ℜ a integral de doble que da el $rea de una regi'n e1presarse como.
area ( ℜ )
puede
∂Q ∂P = ∫∫ 1dxdy = ∫∫ − ÷ dxdy ∂y ℜ ℜ ∂ x P( x, y) = −
1 2
3i tomamos como e/emplo
y , Q ( x, y )
=
1 2
x
ℜ y si la regi'n
C esta encerrada por una curva cerrada simple ! Entonces aplicando el teorema de Green se puede e1presar el $rea como. area ( ℜ )
1
= Ñ ( − ydx + xdy ) 2 ∫ c C : r (t ) = ( x (t ), y (t )), t:a → b
8 si se tiene una parametri&aci'n de
area ( ℜ )
=
1
b
( − y ( t ) x ( t ) + x ( t ) y ( t ) ) dt 2 ∫ ´
´
a
area ( ℜ )
=
4vvvvv
x ( t ) x´ t 2 ∫ ( ) a
1
b
y ( t ) ´
÷ dt
y ( t )
teorema de green para conjuntos limitados por curvas cerradas simples N
P ( x, y ) Q ( x, y ) £1
C S ⊂ ¡
2
ℜ formula de 1.1
∂Q ∂P
Ñ ∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ℜ ∂ x − ∂y÷ dxdy c
......... NOTA........
∂Q dxdy = Ñ ∫ c Qdy ℜ ∂ x ∂ P − ∫∫ℜ dxdy = Ñ ∫ c Pdy ∂ y
∫∫
region de tipo 1
R1
= { ( x, y ) ∈ ¡ 2 : a ≤ x ≤ b, ϕ1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ) }
[ a, b ] ϕ1 ≤ ϕ 2 region de tipo 2
R2
= { ( x, y ) ∈ ¡ 2 : c ≤ x ≤ d , φ1 ( x ) ≤ y ≤ φ 2 ( x ) }
[ c, d ] φ1 ≤ φ 2
D ⊂ ¡
2
D
∂ D area de una region expresada como integral de linea.
ℜ C area ( ℜ )
∂Q ∂P = ∫∫ 1dxdy = ∫∫ − ÷ dxdy ∂y ℜ ℜ ∂ x
P ( x, y ) = − area ( ℜ )
1 2 1
y , Q ( x, y )
=1x 2
= Ñ ( − ydx + xdy ) 2 ∫ c
C : r (t ) = ( x (t ), y (t )), t:a → b area ( ℜ )
=
1
b
( − y ( t ) x ( t ) + x ( t ) y ( t ) ) dt 2 ∫ ´
´
