Números Complejos
Sea n cualquier número real, y si r y son, respectivamente, el módulo y el argumento de cualquier número complejo, entonces n
r cos i sin r cos n i sin n n
Es decir, si n es un número real, el módulo de la enésima potencia de un número complejo es igual a la enésima potencia del módulo de ese número, y la amplitud de la enésima potencia, es igual a n veces la amplitud del número. Nota 1: Antes de demostrar el teorema, debemos tener en cuenta que si n es un número racional de la forma p/q , el teorema también es válido. Esto último nos servirá para hallar las raíces de una ecuación de la forma x
n
1
0 y expresarlos en la forma exponencial. exponencial. Por cuestiones cuestiones de
elegancia.
Demostración
Para esta demostración, tomaremos como verdadera la fórmula de Euler; sin embargo, esta será demostrada en otro post.
e
i
cos
i sin
Es decir, podemos establecer la siguiente igualdad. n
n
r cos i sin r e r n ein r n cos n i sin n i
Esto demuestra el Teorema. ||
Nota: Existen otros modos de demostrar el Teorema de Moivre si no se está familiarizado con la fórmula de Euler. Recordemos que este post es un artículo y el autor lo intentó de hacer lo más breve y amablemente posible:v Como ejemplos ilustrativos del Teorema de Moivre, tenemos los siguientes: 3
r cos i sin r 3 cos 3 i sin 3 r cos i sin
1 2
r
1 2
cos 2 i sin 2
Para finalizar, recordemos algunos conceptos de Trigonometría. Si tenemos un ángulo cualquiera θ, podemos establecer la siguiente igualdad: θ= θ+2πk Nótese que estamos hablando de radianes, donde 2π=360° y k nos dice el “número de vueltas” que da nuestro ángulo. Podemos imaginar el plano cartesiano y deducir que por cada 360° el ángulo dará una vuelta y quedará exactamente en su posición original, pero sumado en 2π k . Esto último sugiere que podemos darle una generalización al Teorema de Moivre, como sigue: n
r cos 2 k i sin 2 k
r n cos n 2 nk i sin n 2 nk
Ocupamos esta forma para hallar las diferentes raíces que puede tener un número complejo en su forma polar, dándole valores a k=0,1,2,3,… De modo que cada valor de k nos indica cuántas vueltas va a dar nuestro ángulo.
Tomemos 1/n en vez de n , es decir:
1 n
2 k i sin 2 k
r cos
2 k 2 k i sin r n cos n n 1
Para ilustrar, usaremos el siguiente ejemplo: Hallaremos las cuatro raíces cuartas de z
8 8
3i
Para solucionarlo, le daremos a k los siguientes valores: k= 0,1,2,3 (Nótese que son cuatro valores, cada uno representando a una raíz)
Daremos a z su forma polar, para ello
(8)
Notamos que el módulo está dado por: Y su argumento está dado por: arg( z )
2
3
2
( 8 3)
2
16
(¿Puede el lector ver por
qué?) De modo que, según el Teorema de Moivre, las cuatro raíces cuartas están dadas por: 1 4
2 2 16 cos 2 k i sin 2 k 3 3 Si k=0:
1 4
2 2 16 cos i sin 3 3
3i
2 2 3 2 k 3 2 k 2 cos i sin 4 4
1 1 2 cos i sin 6 6
Si k=1: 1 4
2 2 16 cos 2 i sin 2 3 3 1
2 2 2 cos i sin 3 3
3i
Si k=2 1 4
2 2 16 cos 4 i sin 4 3 3 3
7 7 2 cos i sin 6 6
i
Si k=3 1 4
2 2 16 cos 6 i sin 6 3 3
1
5 5 2 cos i sin 3 3
3i
Nuestro último ejemplo consistirá en hallar las raíces de la ecuación x
n
1
0
Primero algebráicamente y después, utilizando el Teorema de Moivre Tomemos un valor particular para n , por ejemplo, n =3. Si n =3, entonces x
3
1 ( x 1)( x 2 x 1) 0
De modo que x tomará los siguientes valores: x
1
x
1
1 2
2
3
1 x
3
2
2 3
2
Pero, ¿podemos hallar las raíces utilizando el teorema de Moivre? Desde luego que sí. La ventaja en realidad es que podemos expresar esos valores de x en términos del Seno y el Coseno de nuestro argumento, y como extra, podemos utilizar la fórmula de Euler para expresar las soluciones de una manera más “elegante”. Siendo así: x1
cos 0 i sin(0) e0 1
x2
2 2 3 cos i sin e 3 3
x3
4 4 3 cos i sin e 3 3
2
4
i
i