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PROBLEMAS DE TEOREMA DE STOKES ENUNCIADO DEL TEOREMA DE STOKES
Sea S una superficie orientada y suave a trozos, acotada por una curva C suave a trozos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta en R 3 que contiene a S . Entonces:
F dr rot F dS F dS C
S
S
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Verificación del Teorema de Stokes . Verificar el teorema de Stokes para el campo 2 2 x; y y; z z ) = 3 yi + 4 z j - 6 xk y la parte de la superficie paraboloidal z = 9 - x - y vectorial F( x ubicada sobre el plano xy y orientada hacia arriba. SOLUCIÓN
z
La curva C es en este caso una circunferencia de radio 3 centrada en el origen sobre el plano xy. Podemos Podemos parametri parametrizarla zarla como: Cálculo como integral de línea:
9 S
x 3 cos y 3 sen , 0 2 z 0
3
Con esta parametrización tenemos: F( ) = 9sen i i
3
k + 0 j 18cos k
x r´( ) = 3sen i i r´( ) = 27sen
C
F dr
2
0
2
+ 3cos j j + 0k
F( ) r ( )d
2
0
2 1 cos 2 27 sen 2 d 27 d 0 2
2
sen 2 272 27 2 0 Cálculo como integral de superficie: Primero evaluamos el rotacional.
C
y
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i rot F
j
x
3 y
y
4 z
k
z
4i 6 j 3k
6 x
Ahora parametrizamos la superficie del paraboloide. Para eso observamos que su proyección sobre el plano xy es un círculo de radio 3 con centro en el origen. Parece lógico usar una parametrización basada en coordenadas cilíndricas: x r cos 0 r 3 r ( r ; ) y r sen , 0 2 z 9 r 2
El producto vectorial fundamental será: i rr r
j
k
cos sen 2r 2r 2 cos i 2r 2 sen j r k r sen r cos 0
Vemos que la componente z de este vector es positiva. Por lo tanto la parametrización describe a una superficie con orientación positiva. Usando entonces esta parametrización, tenemos:
rot F dS rot F (rr r )drd
S
2
0
D
3r 2 2
2 3
0
0 (8r cos 12r sen 3r )drd 2
2
3
27 0
Llegamos al mismo valor que cuando lo hicimos como integral de línea, verificando de esa manera el teorema de Stokes.
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[email protected] eia.unr.edu nr.edu.ar .ar más sencilla usando el Teore2) Transformación de una integral de superficie en otra más ma de Stokes. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral del rotacional del 2 k sobre el dominio S consistente en la x; y; z ) = xyz i + xy j + x yz k campo vectorial F( x unión de la parte superior y de las cuatro caras laterales (pero no el fondo) del cubo con vértices (1; 1; 1), orientado hacia afuera.
SOLUCIÓN La geometría descrita en el enunciado está representada en la figura. Se requiere calcular el flujo de rot F a través de todas las caras del cubo menos la de abajo. Observemos que esa región de integración está limitada por la curva orientada indicada en la figura; llamémosla C . (La orientación dada se corresponde con normales con la componente z mayor o igual que 0, que es lo necesario para que las normales apunten hacia hacia el el exterior exterior del cubo cubo.) .) El teoteorema de Stokes nos asegura que:
z
1 1 1
O
y
x
( F) dS F dr , S
C
lo cual en sí no implica una simplificación demasiado significativa, dado que en lugar de tener que parametrizar cinco superficies para evaluar la integral de flujo deberemos parametrizar cuatro cuatro segmentos de recta para calcular calcular la integral de línea. línea. Sin embargo, notemos que la curva C también delimita la superficie de la base del cubo, a la cual llamaremos S’ . Puesto que el teorema de Stokes nos asegura que la integral del campo vectorial sobre una curva cerrada es igual al flujo de su rotacional sobre cualquier superficie limitada por ella, tenemos que:
( F) dS F dr ' ( F) dS S
C
S
con lo cual podemos integrar el rotor directamente sobre la superficie de la base. Parametrizando esta última tenemos, pues: x; y) = ( x x( x x; y); y( x x; y); z ( x x; y)) = ( x x; y; -1), -1 x 1, -1 y 1 T( x
y su producto vectorial fundamental es: i N T x T y
j
k
1 0 0 k 0 1 0
(1)
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Notemos que esta normal apunta hacia arriba, que es precisamente el sentido en que debe apuntar de acuerdo acuerdo a la regla de la mano derecha. derecha. Por otro lado el rotacional rotacional del campo escalar viene dado por: i
F
x
j
y
k
x 2 z i ( xy 2 xyz ) j ( y xz )k z
reemp. por la param. (1)
x 2 i ( xy ) j ( y x )k
xyz xy x 2 yz
Por lo tanto la integral que buscamos será: 1
2 F dS F NdS ( x i xy j ( y x)k ) k dS S '
S '
S '
1
1 1
( y x)dxdy 0
En este problema vemos vemos que el teorema teorema de Stokes permite no sólo transformar transformar una integral de superficie en una de línea, sino también convertirla en otra integral i ntegral de superficie de cálculo más sencillo. La selección de una u otra de estas opciones dependerá del pro blema particular. particular.
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3) Aplicación al concepto de circulación de un campo. Calcular la circulación del cam x; y y; z z ) = (tan-1( x x2); 3 x; e3 z tan z ) a lo largo de la inter po de velocidades de un fluido F( x sección de la esfera x2 + y2 + z 2 = 4 con el cilindro x2 + y2 =1, con z > 0. SOLUCIÓN: La circulación de un campo es su integral a lo largo de una línea cerrada. Recordemos que la razón entre la circulación del campo de velocidades y el área de la superficie encerrada por la curva tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a 0; si este valor es nulo, nulo, entonce entoncess el fluido es irrotacional y un molinillo ubicado en ese punto límite no rotará.
z
2
1
2
x
Prima facie vemos que el campo vectorial F tiene una ley bastante comple-
y
ja, por lo que se puede anticipar que el cálculo de la circulación como integral de línea puede resultar asaz engorroso. Por lo tanto, vale la pena calcular el rotacional a ver si resulta una función matemáticamente más tratable. i
rot F
j
x
tg 1 ( x 2 )
k
y
z 0i 0 j 3k
e 3 z tg z
3 x
En efecto, se simplifican enormemente los cálculos al resultar el rotacional una función vectorial constante. Por el teorema de Stokes, podemos calcular la integral de línea de F sobre la curva dada como el flujo del rotor a través t ravés de la superficie grisada. Parametrizando Parametrizando esta última: x r cos 0 r 1 r ( r ; ) y r sen , 0 2 z 4 r 2
Y hallando el producto vectorial fundamental:
rr r
i
j
cos
sen
r sen r cos
k r
4 r 2 0
r
4 r 2
cos i
r
4 r 2
sen j r k
Vemos que esta normal tiene componente z positiva, positiva, correspondiendo a una superficie positivamente orientada. orientada. con esto esto podemos calcular calcular ahora:
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rot F dS rot F (rr r )drd 0
S
D
0 3rdrd 3