Teorema de Transporte de Reynolds

 Teorema de trans  Teorema t ransport porte e de Reynolds El teorema del transporte de Reynolds es el primer paso para poder demostrar todas las ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos. Este teorema indica como varía con el tiempo una propiedad cualquiera (B) del fluido dentro de un volumen de control (VC) definido. La ecuacin del teorema de Reynolds varía li!eramente si el volumen de control es fi"o# mvil o deformable. El volumen de control es la re!in de inter$s que se desea estudiar# estudiar# mientras que la superficie de control (%C) es el área que envuelve el volumen de control# es un concepto abstracto y no obstruye de nin!una forma al fluido. Considerando un volumen de control fi"o atravesado por una confi!uracin de flu"o arbitraria# como se muestra en la fi!ura si!uiente# la &nica complicacin adicional es que 'ay onas de entrada y salida variables a lo lar!o de la superficie de control.

Cada área diferencial ( dA) de la superficie de control tendrá una velocidad V que formará un án!ulo  con la direccin local normal a dA# por lo tanto# los flu"os de entr entrad ada a vend vendrá rán n defi defini nido dos s por por (V* (V* cos cos)) entdt # cuando el flu"o entre o (V* cos)sal dt  cuando  cuando el flu"o sal!a. +abrá superficies que podrán corresponder a líneas de corriente (,-/) o a paredes slidas ( V,).

%e define B como una propiedad cualquiera del fluido que se conserve (masa# cantidad de movimiento# etc). 0 se define 1 como la variacin de B respecto de la masa

La cantidad total de B en el volumen de control es2

E3aminando la fi!ura anterior# se observan tres focos de variacin de de control2

B en

el volumen

Variacin de 1 en el interior del VC2

4lu"o de 1 que abandona el VC2

4lu"o de 1 que entra al VC2

5bs$rvese que en el límite cuando el cambio instantáneo de B en el sistema es la suma de la variacin interior más el flu"o que sale menos el que entra .

Esta es la e3presin del teorema del transporte de Reynolds para un volumen de control fi"o arbitrario. Cuando la propiedad B  es la masa# cantidad de movimiento# momento cin$tico o ener!ía# tenemos las leyes básicas en forma inte!ral. Como el volumen de control está fi"o en el espacio# los vol&menes elementales (dVol) no varían con el tiempo# de modo que la derivada temporal que aparece en el se!undo

miembro se anulará# a menos que 1 o 6 no permanecan constantes (flu"o no estacionario). La e3presin del teorema del transporte de Reynolds puede e3presarse de forma más sencilla. 7efinimos n  como vector unitario normal 'acia el e3terior en cualquier punto de la superficie de control# entonces V·n , V para flu"o saliente y V·n, 8V para flu"o entrante. 9or tanto# los t$rminos de flu"o se pueden representar por medio de inte!rales simples que incluyen ( V·n) tanto para flu"os salientes positivos como para flu"os entrantes ne!ativos. La forma compacta del transporte de Reynolds es pues2

+asta el momento se 'a supuesto un volumen de control fi"o y que no se mueve. En el caso de que el volumen de control est$ en movimiento# con velocidad uniforme Vs# un observador fi"o al VC verá pasar el flu"o a una velocidad ( Vr ) definida por2 Vr ,V8Vs

7onde V es la velocidad del fluido respecto al mismo sistema de referencia que se mide la velocidad del VC. El teorema de transporte de Reynolds con movimiento uniforme del VC queda2

 * pesar de lo e3puesto 'asta a'ora# el caso más !eneral se presenta cuando el volumen de control se mueve y deforma arbitrariamente. En este caso# el flu"o de volumen a trav$s de la %C es nuevamente proporcional a la velocidad relativa normal Vr ·n. %in embar!o# como la superficie de control se deforma# con velocidad Vs,Vs(r #t)# la velocidad relativa Vr ,V(r #t) : Vs(r #t). Esta funcin puede ser  una funcin complicada de operar# a pesar de que la e3presin ten!a la misma forma que en el caso anterior. 9or otra parte# debe tenerse en cuenta que los elementos de volumen de la inte!ral de volumen se distorsionan con el tiempo. 9or ello# la derivada temporal debe ser tomada despu$s de la inte!racin. 9ara un volumen de control deformable# el teorema del transporte adopta la si!uiente forma2