MATEMÁTICAS Teorema del seno y del coseno SOLUCIÓN A TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULO
Cuando un triángulo no es rectángulo, entonces es acutángulo u obtusángulo. Este tipo de triangulo se resuelven teniendo en cuenta las medidas que se conocen del triángulo, según los siguientes casos.
Solución:
- () se conoce un lado y dos ángulos - () se conocen dos lados y un ángulo - () se conocen tres lados - () se conocen dos lados y el ángulo comprendido comprendido entre ellos. ell os.
Primero calculamos la medida del ángulo faltante . Recordemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° entonces + 53 + 40 = 180 por tanto = 87°
Para los triángulos anteriores se utiliza dos teoremas que son: ley del seno y ley del coseno.
Luego, se aplica la ley del seno
TEOREMA DEL SENO
=
Dado un triángulo de lados , y cuyos ángulos opuestos a cada lado son ∢, ∢, ∢ y ∢ respectivamente, se cumple que:
=
=
=
=
,
, despejamos
, ( )
= 2,89
Es decir, la medida de los lados es directamente proporcional al seno de los ángulos opuestos. Este teorema se utiliza para resolver triángulos que cumplen las condiciones () se conoce un lado y dos ángulos y () donde se conocen dos lados y un ángulo.
2. La distancia entre dos casas ubicadas en los puntos y es de 400 como se muestra en la figura. Si la distancia entre la casa del punto y un árbol ubicado en un punto , es de 200 , ¿Cuál es la distancia entre la casa del punto y el árbol?
Ejemplos 1. Aplicar la ley del seno en el siguiente triangulo para calcular la medida de .
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MATEMÁTICAS Teorema del seno y del coseno Solución Primero calculamos el ángulo
=
=
, despejamos
( )
=
= 0,8 0,845 = −0,845 = 57,69 25 + Luego, se calcula el ángulo + 25 57,69 ,69 = 180
2. Dos personas están pescando en las orillas de un lago a una distancia de 4 entre sí. Ven saltar un pez con los ángulos que se observan en la figura. ¿Qué cantidad de nailon necesita cada uno para lanzar el anzuelo hasta el lugar donde salto el pez?
= 97,31
Por último, se calcula la medida del lado ,
=
=
( ,)
̅ y ̅ del 3. Calcular la longitud de los lados siguiente trapecio.
= 469,4
Ejercicios 1. Encontrar los lados y ángulos faltantes en los siguientes triángulos 4. Determina la distancia que hay desde el punto hasta la altura del edificio .
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MATEMÁTICAS Teorema del seno y del coseno
5. Calcular la altura a la que caminan dos viajeros cuando cruzan un desfiladero por un puente colgante como se muestra en la figura.
8. Tres topógrafos quieren medir el ancho de una quebrada. Para esto, ubican los puntos y , y miden la distancia entre ellos. Luego, utilizan un teodolito para medir los ángulos de elevación y con respecto a un punto , como se muestra en la figura. Si = 50° y = 117°, ¿Cuál es el ancho de la quebrada?
6. En un automóvil, la manivela del cigüeñal tiene 8 de longitud y la biela 23 . Cuando el ángulo es de 15°, ¿Qué tan lejos está el pistón del centro del cigüeñal?
7. Un granjero quiere medir la distancia desde un punto ubicado en su granja hasta un punto ubicado en una propiedad vecina, sin pasar la cerca que se muestra en la figura. Calcular si = 45° y = 60°
9. Un ingeniero debe construir un canal entre los puntos y de dos ríos. Para esto, el ingeniero representa ambos ríos con líneas rectas y escribe las medidas que conoce, como se muestra en la figura. ¿Cuál será la longitud del canal?
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MATEMÁTICAS Teorema del seno y del coseno 10. Un helicóptero busca aterrizar en medio de dos casas que se encuentran separadas 200 . Si se mide al ángulo de elevación desde cada casa hasta el punto en el que se ubica el helicóptero en un instante dado, se obtiene las medidas de 30° y 45°. ¿A qué altura se encuentra el helicóptero en ese momento?
Este teorema se utiliza para resolver triángulos que cumplen las condiciones () se conocen tres lados y () se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos Ejemplos 1. Resolver el ⊿ en el cual = 5 , = 4 y = 6 .
11. Un rodadero para niños en un parque tiene 30 de longitud y un ángulo de elevación de 36° con respecto al piso. La escalera para subir al rodadero mide 18 de largo. ¿Qué ángulo de elevación con respecto al piso tiene la escalera? 12. Halla la altura de la pirámide Solución Primero se halla la medida de uno de los ángulos puede ser el ángulo de la siguiente forma: TEOREMA DEL COSENO
En todo triangulo, el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros lados, menos dos veces el producto de estas longitudes por el coseno del ángulo comprendido comprendido entre ellos. ell os. Es decir, dado ⊿ , se cumple que: = + 2 cos = + 2 cos
= + 2 cos (5) = (4) + (6) 2(4) 2(4)(6 (6)) cos cos 25 = 16 + 36 48 co c os 25 = 52 48 co c os cos =
−
cos = 0,5625 = − 0,5625 = 55,77
= + 2 cos
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MATEMÁTICAS Teorema del seno y del coseno Luego, se halla el ángulo , que lo podemos hacer con ley de coseno y también con la del seno. = + 2 cos (4) = (5) + (6) 2(5) 2(5)(6 (6)) cos cos 16 = 25 + 36 60 co c os
Solución
16 = 61 60 co c os cos =
Identificamos los datos:
−
cos = 0,75
= = 3 , = = 2,7 , = 52° y =
= − 0,75
Se halla la distancia entre =
= 41,41
= + 2 cos
Por último, la media del ángulo
= (2,7 (2,7)) + (3) 2(2,7 2(2,7)( )(3) 3) cos cos 52
+ + = 180
= 7,29 + 9 16,2 cos 52
55,77 + 41,41 + = 180
= 16.2 16.29 9 16,2 16,2(0 (0,6 ,61) 1)
= 180 55,77 41,41
= 6,40 ,40
= 82,82
= 2,53
2. En el camión que aparece en la figura, = 3 y = 2,7 . Si para descargar el camión se debe tener una inclinación de 52°, ¿Cuál debe ser la distancia de a , para obtener esta inclinación?
Ejercicios 1. Dos barcos, y , están anclados cerca un muelle se observa los dos barcos de modo que la medida del angulo = 60°, la distancia del barco al punto de referencia es 5 y la distancia del barco a este mismo punto es de 8 . Calcular la distancia entre los barcos.
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MATEMÁTICAS Teorema del seno y del coseno triángulo con otra viga de 15 . Halla los ángulos que forman las vigas entre sí. 5. Tres pueblos , y están unidos por carreteras rectas y planas. Las distancias entre y es de 6 , entre y es de 9 . El angulo formado por ambas carreteras es de 120°. ¿Cuál es la distancia entre y ? 2. Resuelve los siguientes triángulos.
3. La siguiente figura representa un hexágono regular con 6 de lado, donde ̅ . Calcular la es punto medio del lado ̅ medida del segmento
4. En una construcción, dos vigas de 10 están soldadas por sus extremos y forman un
6. Dos remolques que están separados por 36 tiran de un contenedor, como se muestra en la figura. Si la longitud de uno de los cables es de 64 y la del otro es de 69 , determina el ángulo que forman entre ellos.
7. Dos carreteras rectas se cruzan en un punto formando un ángulo de 42°. En un punto de una de las carreteras hay un edificio que está a 368 de , y en un punto de la otra carretera, hay un edificio que esta a 426 de . Determinar la distancia entre y .
8. En un momento dado, cuando un avión estaba directamente arriba de una carretera recta que une a dos pueblos, los ángulos de
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MATEMÁTICAS Teorema del seno y del coseno elevación con respecto a estos pueblos eran 21,1° y 12,3°
a. Determina las distancias del avión a cada uno de los pueblos en dicho instante, considerando una separación de 8,45 entre los puntos representativos de los pueblos. b. Determina la altitud del avión en ese momento. 9. Resolver un triángulo con los datos siguientes: = 1200 , = 700 y = 108° como se muestre en la figura.
11. Calcula los lados y ángulos faltantes
12. Desde lo alto de un globo se observa un pueblo con un ángulo de 50°, y otro , situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60°. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 del pueblo y a 4 , Calcula la distancia entre los pueblos y . 13. Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Beto hay 25 , y entre Berto y Camilo, 12 . El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20°. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo
̅ 10. Calcular la altura de la montaña
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