10. TEOREMA NILAI RAT RATA-RAT A-RATA
10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka ( a, b) dan c katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f (x)
∈ (a, b).
Kita Kita
≤ f (c)
untuk setiap x dalam suatu interval terbuka I yang memuat c. Titik c dalam hal ini disebut sebagai titik maksimum lokal . Nilai dan titik minimum lokal didefinisikan secara analog.
Gambar Gambar 10.1
f mencapai nilai maksimum lokal di c
Secara intuitif, f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah ‘puncak’ di atas titik c. Serupa dengan itu, f mencapai nilai minimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah ‘lembah’ di atas titik c. 76
77
Pengantar Analisis Real
Jika f (c) merupakan nilai maksimum f pada seluruh interval ( a, b), maka tentunya f mencapai nilai maksimum lokal di c. Namun sebaliknya belum tentu benar, nilai maksimum lokal belum tentu merupakan nilai maksimum f . Contoh 1. Misalkan f : R
→ R adalah fungsi yang didefinsikan sebagai x + 2, x < −1, f (x) = |x|, x ≥ −1. Maka, f mencapai nilai maksimum lokal di −1, namun f (−1) = 1 bukan merupakan nilai maksimum f pada R. Demikian pula f mencapai nilai minimum lokal di 0, namun f (0) = 0 bukan merupakan nilai minimum f pada R.
Teorema 2. Misalkan f mempunyai turunan pada (a, b) dan c (a, b). Jika f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c, maka f (c) = 0.
∈
Bukti . Menurut definisi turunan, f (x) x
− f (c) → f (c) −c
c. Misalkan f (c) > 0. Menurut Soal Latihan 7.1 No. 4, terdapat suatu untuk x δ > 0 sedemikian sehingga f (x) f (c) >0 (1)
→
− x−c
untuk x (c δ, c + δ ), x = c. Sekarang misalkan x (c, c + δ ) sembarang. Maka, x c > 0 dan (1) memberikan f (x) f (c) > 0 atau f (x) > f (c). Jadi f tidak mungkin mencapai nilai maksimum lokal di c. Selanjutnya misalkan x (c δ, c) sembarang. Maka, x c < 0 dan (1) memberikan f (x) f (c) < 0 atau f (x) < f (c). Jadi f juga tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di c.
∈ −
−
∈
−
−
∈ −
−
Hal serupa terjadi ketika f (c) < 0. Jadi, jika f (c) = 0, maka f tidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.
Catatan.
Kebalikan dari Teorema 2 tidak berlaku: jika f (c) = 0, belum tentu f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c. Soal Latihan 1. Berikan sebuah contoh fungsi f yang terdefinisi pada ( 2, 2) dan mencapai nilai maksimum lokal di 1 tetapi f (1) bukan merupakan nilai maksimum f pada ( 2, 2).
−
−
78
Hendra Gunawan
2. Berikan sebuah contoh fungsi f yang mempunyai turunan nol di suatu titik tetapi f tidak mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di titik tersebut.
10.2 Titik Stasioner Titik c dengan f (c) = 0 disebut titik stasioner f . Sebagaimana telah dicatat sebelumnya, tidak semua titik stasioner merupakan titik maksimum atau minimum lokal. Sebagai contoh, jika f (x) = x3 , maka f (x) = 3x2 , sehingga 0 merupakan titik stasioner. Namun, 0 bukan merupakan titik maksimum maupun minimum f . (Titik 0 dalam hal ini merupakan titik infleksi f , yaitu titik terjadinya perubahan kecekungan grafik fungsi f .) Situasi yang lebih parah dapat terjadi. Sebagai contoh, fungsi f (x) = x2 sin x1 untuk x = 0 dan f (0) = 0 mempunyai turunan f (0) = 0 tetapi 0 bukan merupakan titik maksimum atau minimum lokal, ataupun titik infleksi.
Gambar 10.2
Grafik fungsi f (x) = x3
Teorema 3 (Teorema Rolle). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Jika f (a) = f (b), maka f (c) = 0 untuk suatu c (a, b).
∈
Bukti . Karena f kontinu pada interval kompak [ a, b], maka menurut sifat kekontinuan f mencapai nilai maksimum M di suatu titik c1
minimum m di suatu titik c2
∈ [a, b].
∈ [a, b] dan juga mencapai nilai
79
Pengantar Analisis Real
Misalkan c1 dan c2 adalah titik-titik ujung [ a, b]. Karena f (a) = f (b), maka m = M dan dengan demikian f konstan pada [a, b]. Akibatnya f (c) = 0 untuk setiap c (a, b). Jika c1 bukan titik ujung [ a, b], maka c1 (a, b) dan f mencapai nilai maksimum lokal di c1 . Menurut Teorema 2, f (c1 ) = 0. Hal serupa terjadi bila c2 bukan titik ujung [ a, b].
∈
∈
Soal Latihan 1. Diketahui f (x) = x x , x R. Tunjukkan bahwa 0 merupakan titik stasioner. Selidiki apakah f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di 0.
|| ∈
2. Beri contoh sebuah fungsi f yang terdefinisi pada [ a, b], mempunyai turunan pada (a, b), dan f (a) = f (b), namun tidak ada c (a, b) dengan f (c) = 0.
∈
10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai teorema berikut. Teorema 4 (Teorema Nilai Rata-rata). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Maka
f (c) = untuk suatu c
f (b) b
∈ (a, b).
− f (a) −a
(a) Nilai f (bb) f disebut nilai rata-rata f pada [a, b]. Nilai ini sama dengan a gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik ( a, f (a)) dan ( b, f (b)). Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f (x) terdapat suatu titik (c, f (c)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada [a, b]. Catatan.
− −
Bukti Teorema 4. Misalkan F didefinisikan pada [a, b] sebagai F (x) = f (x)
− hx
dengan h konstanta. Maka F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada ( a, b). Kita pilih konstanta h sedemikian sehingga F (a) = F (b), yakni h=
f (b) b
− f (a) . −a
80
Hendra Gunawan
Karena F memenuhi hipotesis Teorema Rolle, maka F (c) = 0 untuk suatu c Namun
F (c) = f (c)
∈ (a, b).
− h = 0,
sehingga teorema pun terbukti. Jika f mempunyai turunan di c, maka persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik ( c, f (c)) adalah y = f (c) + (x
− c)f (c).
Untuk x dekat c, nilai f (c) + ( x c)f (c) merupakan hampiran yang ’baik’ untuk f (x). Namun seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini?
−
Lebih jauh, misalkan f mempunyai turunan ke-( n
− 1) di c. Maka polinom (x − c)2 (x − c) 1 ( 1) P (x) = f (c) + ( x − c)f (c) + f (c) + · ·· + f (c) 2! (n − 1)! mempunyai turunan ke- k, k = 0, 1, . . . , n − 1, yang sama dengan turunan ke- k dari n−
n−
f . Karena itu masuk akal untuk menghampiri f (x) dengan P (x) untuk x di sekitar c. Namun, sekali lagi, seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini. Teorema
Taylor di bawah ini menjawab pertanyaan tersebut. Teorema 5 (Teorema Taylor). Misalkan f mempunyai turunan ke-n pada interval
∈ I , berlaku ( x − c) 2 (x − c) 1 ( f (x) = f (c) + ( x − c)f (c) + f (c) + · · · + f 2! (n − 1)! dengan E = 1! (x − c) f ( ) (ξ ) untuk suatu ξ di antara x dan c. terbuka I yang memuat titik c. Maka, untuk setiap x
n−
n
n
n−1)
(c) + E n
n
n
Proof . Untuk t di antara x dan c, definisikan
(x t)n 1 (n f (n 1)!
− F (t) = f (x) − f (t) − (x − t)f (t) − · · · − −
Perhatikan bahwa
Sekarang definisikan
(x t)n 1 (n) f (t). (n 1)!
− F (t) = − −
G(t) = F (t)
−
x x
−
− t −c
n
F (c).
−
1)
−
(t).
81
Pengantar Analisis Real
Maka, G(x) = G(c) = 0, sehingga menurut Teorema Rolle, terdapat ξ di antara x dan c sedemikian sehingga
0 = G (ξ ) = F (ξ ) +
n−1
n(x (x
− ξ) − c)
n−1
F (c) =
n
− (x(n−−ξ)1)!
Dari sini kita peroleh F (c) =
(x
− c)
n
n!
f (n) (ξ ) +
n(x (x
n−1
− ξ) − c)
n
F (c).
f (n) (ξ )
dan teorema pun terbukti. Soal Latihan
√
1. Diketahui f (x) = x. Tentukan nilai rata-rata f pada [0, 4]. Tentukan c sedemikian sehingga f (c) sama dengan nilai rata-rata tersebut.
∈ (0, 4)
2. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada ( a, b). Buktikan jika f (x) = 0 untuk setiap x (a, b), maka f konstan pada [a, b].
∈
R mempunyai turunan di setiap titik dan f (x) = x2 untuk 3. Misalkan f : R setiap x R. Buktikan bahwa f (x) = 13 x3 + C , dengan C suatu konstanta.
→
∈
4. Diketahui f : R
→ R memenuhi ketaksamaan |f (x) − f (y)| ≤ C |x − y| , p
x, y
∈ R,
untuk suatu C > 0 dan p > 1. Buktikan bahwa f konstan. 5. Buktikan jika f mempunyai turunan kedua di c, maka
f (c) = lim
f (c + h)
h→0
− 2f (c) + f (c − h) . h2
Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan kedua di suatu titik namun limit di atas ada. 6. Misalkan c bahwa
∈ R dan n ∈ N.
Buktikan dengan menggunakan Teorema Taylor
(1 + c)n = 1 + nc + (Petunjuk . Tinjau f (x) = xn .)
n(n
− 1) c2 + · ·· + c
2!
n
.
