Teori Antrian Oleh:
Mulyanto, S.Kom, M.Cs
Politeknik Negeri Samarinda Jurusan Teknologi Informasi 2016
Silabus • • • •
Konsep Dasar Antrian Model Antrian Topologi Antrian Simulasi Antrian
Teori Antrian • Dikembangkan matematikawan Denmark, A.K. Erlang • Teori antrian menyumbangkan informasi yang diperlukan untuk membuat pengambilan keputusan dengan cara memprediksi karakteristik dari antrian seperti waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan. • Problem utama yang ditangani MENUNGGU • Penyebab : permintaan layanan > ketersediaan layanan
Teori Antrian (2) • Waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan tidak pasti: – Fasilitas pelayanan terlalu banyak cost penyedia fasilitas tinggi, utilisasi turun – Fasilitas pelayanan terlalu sedikit cost owner rendah, utilisasi tinggi, cost customer tinggi (antrian lama)
• Goal: meminimumkan total biaya (biaya langsung penyedia fasilitas dan biaya tidak langsung pelanggan)
Pertanyaan • Sisi permintaan layanan – Berapa lama waktu yang diperlukan untuk menunggu sebelum dilayani – Berapa banyak permintaan layanan di dalam jalur antrian – Kapan suatu permintaan layanan memperoleh layanan lebih cepat
• Sisi penyedia layanan – – – – –
Berapa besar areal menunggu Berapa banyak permintaan yang mampu dilayani Haruskah menambah beberapa layanan (server) Haruskah sistem dalam bentuk 1, 2, atau 3 antrian Haruskah sistem memberikan jalur layanan pintas
Ukuran Performansi Sistem Pelayanan • Berapa lama obyek yang harus dilayani tersebut menunggu sampai dilayani • Persentase waktu menganggur dari fasilitas pelayanan
Prosedur Antrian 1. Tentukan sistem antrian yang akan dipelajari 2. Tentukan model antrian yang cocok 3. Gunakan formula matematika atau metode simulasi untuk menganalisa model antrian
Komponen Sistem Antrian • Sumber masukan (input) orang, barang, komponen, job paper, dll • Populasi masukan berapa banyak pelanggan potensial yang masuk sistem antrian • Pola kedatangan teratur, random, dipengaruhi aspek lain, dll • Distribusi kedatangan menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu dan dalam periode waktu tertentu berturut-turut dalam waktu yang berbeda • Panjang antrian terbatas, tidak terbatas • Disiplin pelayanan FCFS, LCFS, acak, prioritas. • Fasilitas pelayanan single channel, multi channel • Mekanisme pelayanan (waktu pelayanan) deterministik, acak dengan distribusi probabilitas diketahui. Asumsi: 1 pelayan hanya dapat melayani urusan seorang pelanggan sampai tuntas. • Distribusi pelayanan berapa banyak pelanggan yang bisa dilayani per satuan waktu, berapa lama setiap pelanggan dapat dilayani. • Kapasitas sistem pelayanan maksimum jumlah pelanggan yang diperkenankan masuk dalam sistem
Pola Kedatangan • Stokastik – Distribusi probabilitas – Kedatangan tunggal/jamak
• Perilaku sumber permintaan pelayanan – Menunggu selamanya – Menunggu pada periode tertentu kemudian meninggalkan sistem – Melihat panjangnya jalur antrian dan memutuskan untuk tidak bergabung – Mengubah jalur antrian
• Ketergantungan waktu kedatangan – Stationary (tidak tergantung waktu) – Non stationary (tergantung waktu)
Pola Layanan • Distribusi untuk waktu layanan • Layanan tunggal atau jamak • Proses layanan tergantung pada jumlah permintaan layanan yang menunggu
Model-Model Antrian • Single chanel – single phase Sistem Antrian Sumber populasi
M
M
S
Sumber populasi
M
M
S
Sumber populasi
M
M
S
Keluar
Keluar
Keluar
• Single chanel – multi phase Sistem Antrian Sumber populasi
M
S
M
S
Keluar
Model-Model Antrian (2) • Multi channel – single phase S Sumber populasi
Keluar
M S
• Multi Chanel – Multi Phase Sistem Antrian
S Sumber populasi
M
S Keluar
M
S
M
S
Notasi Antrian A/B/X/Y/Z • • • • •
A B X Y Z
: distribusi waktu kedatangan : distribusi waktu layanan : jumlah layanan paralel : kapasitas sistem (default: unlimited) : disiplin antrian (default: FCFS) Karakteristik
Simbol
Keterangan
A dan B
M D G
Eksponensial Deterministik General (umum)
X
1, 2, …,
Y
1, 2, …,
Z
FCFS, RS, PS
Contoh • M/M/3//FCFS – – – – –
Distribusi kedatangan eksponensial Distribusi pelayanan eksponensial 3 paralel server Kapasitas sistem unlimited First Come First Serve
• M/D/1 – Distribusi kedatangan eksponensial – Distribusi pelayanan deterministik (dapat ditentukan dengan pasti) – 1 server – (default) kapasitas sistem unlimited) – (default) First Come First Serve
Topologi Antrian • Server akan melayani selama idle atau baru saja melakukan pelayanan • Antrian pada queue tergantung pada kondisi server, idle atau busy • Antara server 1 dan 2 tidak ada hubungan, demikian pula queue 1 dan queue 2 • Antrian pada queue 1 hanya tergantung pada kondisi server 1, demikian pula dengan antrian pada queue 2.
server
Server 1
Server 2
Topologi Antrian Server 1 • Pada saat server 1 dan 2 idle, maka server yang memiliki idle time terbesar yang dipilih untuk melayani kedatangan berikutnya • Pada saat salah satu server busy dan yang Server 2 lain idle, maka server yang idle akan melayani kedatangan berikutnya • Antrian yang terjadi pada queue tergantung kondisi server 1 dan 2
• Server 1 menjadi server utama dalam pelayanan. Server 2 sebagai cadangan, hanya bekerja pada server 1 saat server 1 busy • Pada saat server 1 dan 2 idle, server 1 dipilih untuk melayani kedatangan berikutnya. server 2 • Antrian yang terjadi pada queue tergantung kondisi server 1 dan 2.
Topologi Antrian server 1
• Antara server 1 dan 2 tidak ada hubungan, demikian pula dengan queue 1 dan 2 • Antrian pada queue 1 tergantung pada server 2 kondisi server 1 dan 2, sedangkan antrian pada queue 2 hanya tergantung pada kondisi server 1
M/M/1 • Model antrian jalur tunggal, kedatangan berdistribusi poisson dan waktu pelayanan eksponensial • Kedatangan dilayani atas dasar FIFO, dan setiap kedatangan menunggu dilayani, terlepas dari panjang antrian. • Kedatangan tidak terikat pada kedatangan sebelumnya, hanya saja jumlah kedatangan rata-rata tidak berubah menurut waktu. • Kedatangan digambarkan dengan distribusi probabilitas poisson dan datang dari populasi yang tidak terbatas (atau sangat besar) • Waktu pelayanan bervariasi dari satu pelanggan dengan pelanggan berikutnya dan tidak terikat satu sama lain, tetapi tingkat rata-rata waktu pelayanan diketahui. • Tingkat pelayanan lebih cepat daripada tingkat kedatangan
M/M/1 • Model antrian jalur tunggal dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan eksponensial • Jumlah rata-rata kedatangan per satuan waktu () • Rata-rata waktu antar kedatangan = 1/ • Jumlah rata-rata yang dilayani per satuan waktu () • Rata-rata waktu yang dibutuhkan pelayan = 1/ • Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem (Ls) Ls • Waktu rata-rata yang dihabiskan dalam sistem (ws) 1 ws
M/M/1 • Utilisasi fasilitas / probabilitas fasilitas layanan sibuk p • Probabilitas terdapat 0 unit dalam sistem (unit pelayanan kosong) p0 1 • Jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian (panjang antrian) 2 Lq ( ) • Waktu rata-rata di dalam antrian wq
M/M/1 • Probabilitas terdapat n unit dalam sistem n
Pn .P 0 µ
Studi Kasus • Bank CIMB Samarinda melakukan aktivitas pelayanan kepada nasabah yang akan melakukan transaksi di bank tersebut. Rata-rata kedatangan nasabah di Bank tersebut mengikuti distribusi poisson yaitu 20 pelanggan per jam. Bank dapat melayani rata-rata 25 nasabah per jam, dengan waktu pelayanan setiap pelanggan mengikuti distribusi probabilitas eksponensial. Diasumsikan model sistem antrian yang digunakan bank adalah M/M/1. Hitunglah: 1. 2. 3. 4. 5.
Tingkat intensitas fasilitas pelayanan (p) Jumlah rata-rata nasabah yang diharapkan dalam sistem Jumlah nasabah yang diharapkan menunggu dalam antrian Waktu yang diharapkan oleh setiap nasabah selama dalam sistem (waktu pelayanan) Waktu yang diharapkan oleh setiap nasabah untuk menunggu dalam antrian.
Penyelesaian • Diketahui: = 20, = 25 • Utilisasi (p) = / = 20/25 = 0,8 Teller akan sibuk melayani nasabah selama 80% dari waktunya, sisanya 20% idle.
• Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem Ls = / ( – ) = 20 / (25 – 20) = 4 nasabah
• Jumlah rata-rata nasabah menunggu dalam antrian Lq = 2 / [ ( – ) ] = 202 / [25(25 – 20)] = 400 / 125 = 3,2 nasabah
Penyelesaian (2) • Diketahui: = 20, = 25 • Waktu nasabah selama dalam sistem ws = 1 / ( - ) = 1 / (25 – 20) = 1/5 jam = 12 menit
• Waktu nasabah dalam antrian wq = / ( – ) = 20 / [25(25 – 20)] = 20 / 125 = 0,16 jam = 9,6 menit = 9 menit 36 detik
M/M/S • Disiplin antrian pertama datang pertama dilayani (FIFO) • Kedatangan poisson • Waktu pelayanan eksponensial • Populasi tidak terbatas • Sistem pelayanan multiple (jalur ganda) • Jumlah server c
M/M/S Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam sistem tersebut
Probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem antrian tersebut
Jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem antrian tersebut Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem antrian tersebut
P0
1 n c 1 1 n 0 n!
n
1 c c c ! c n
1 P 0 , untuk n c Pn P 0 , untuk n c; Pn n c n c!c n
1
( / ) c Ls P c 1!c 2 0 w
Ls
M/M/S Jumlah rata-rata pelanggan dalam antrian Lq Ls tersebut
Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam antrian menunggu untuk dilayani
1
Probabilitas seorang pelanggan yang datang dalam sistem tersebut harus menunggu untuk dilayani (utilitas)
wq ws
1 P c!
Lq
c
c P0 c
Studi Kasus • Petugas pelayanan kredit Bank CIMB mewawancarai seluruh nasabah yang ingin mengajukan kredit. Tingkat kedatangan para nasabah tersebut 4 nasabah/jam berdasarkan distribusi Poisson. Petugas menghabiskan waktu rata-rata 12 menit / nasabah. 1. Tentukan karakteristik antrian (P0, Ls, Lq, ws, wq, dan p) 2. Tambahkan seorang petugas baru pada sistem, sehingga sistem sekarang menjadi sistem antrian pelayanan multiple dengan 2 kanal, dan tentukan karakteristik antrian yang diminta pada bagian (1).
Penyelesaian Sistem Antrian Tunggal • = 4 nasabah/jam kedatangan • = 5 nasabah/jam yang dilayani • Probabilitas tidak ada nasabah dalam sistem P0 = [1 – (/)] = (1 – 4/5) = 1/5 = 0,20 • Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem Ls = / ( – ) = 4 / (5 – 4) = 4 nasabah • Jumlah rata-rata nasabah dalam antrian Lq = 2 / [ ( – ) ] = 42 / [5(5 – 4)] = 16 / 5 = 3,2 nasabah
Penyelesaian Sistem Antrian Tunggal • Waktu nasabah selama dalam sistem ws = 1 / ( - ) = 1 / (5 – 4) = 1/1 jam = 1 jam
• Waktu nasabah selama dalam antrian wq = / ( – ) = 4/ [5(5 – 4)] = 4 / 5 = 0.8 jam = 48 menit
• Probabilitas petugas sibuk dan nasabah harus menunggu P = / = 4/5 = 0,8
Penyelesaian – Sistem Antrian Ganda • = 4, = 5, c = 2 petugas • Probabilitas tidak ada nasabah dalam sistem P0
1
n c 1 1 n 1 c c n 0 n! c! c 1 1 0 1 2 1 4 1 4 1 4 2.5 4 16 10 1 5 50 6 0! 5 1! 5 2! 5 2.5 4 3 0.429 7
Penyelesaian – Sistem Antrian Ganda • Jumlah nasabah dalam sistem
( / ) Ls P 2 c 1!c c
0
2
4.5(4 / 5) 4 0,429 2 5 2 1!2.5 4 20 0,952 21
Penyelesaian – Sistem Antrian Ganda • Jumlah nasabah dalam antrian Lq = L – ( / ) = 20/21 – (4/5) = 16/105 0,152
• Waktu nasabah selama dalam sistem ws = Ls / = (20/21) / 4 = 5/21 0,238 jam 14 menit 17 detik
• Waktu nasabah selama dalam antrian wq = Lq / = (16/105) / 4 = 4 / 105 0.038 jam 2 menit 17 detik
Penyelesaian – Sistem Antrian Ganda • Probabilitas petugas sibuk dan nasabah harus menunggu c
1 c 1 4 2.5 3 16 P P0 0.229 c! c 2! 5 2.5 4 7 70 2
Komparasi Karakteristik
1 Teller
2 Teller
Utilitas (P)
0,80
0,229
Probabilitas nasabah tidak menunggu (P0)
0,20
0,429
4
0,952
3,2
0,152
Waktu nasabah selama dalam sistem (Ws)
01 : 00 :00
00 : 14 : 17
Waktu nasabah selama dalam antrian (Wq)
00 : 48 : 00
00 : 2 : 17
Jumlah nasabah dalam sistem (Ls)
Jumlah nasabah yang antri (Lq)
Latihan • Terdapat 1 mesin fotocopy di Koperasi Mahasiswa. Distribusi kedatangan pelanggan mengikuti distribusi poisson dengan jumlah kedatangan 40 orang/jam. Proses fotocopy ratarata membutuhkan 40 detik per orang mengikuti distribusi eksponensial. Tentukan: – – – –
Persentase waktu mesin fotocopy digunakan Panjang antrian rata-rata Jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem Waktu rata-rata yang dihabiskan untuk menunggu dalam antrian. – Waktu rata-rata yang dibutuhkan mulai dari masuk sistem hingga selesai dilayani.
Latihan • Penjual batu bata memiliki satu pekerja yang bertugas memuat batu bata ke dalam truck. Ratarata 24 truk datang tiap hari kerja (8 jam). Dengan pola kedatangan distribusi poisson, pekerja memuat batu bata keatas 4 truk tiap jam, waktu pelayanan distribusi exponential. Pengusaha ingin menambah satu petugas lagi untuk dapat memuat batu bata keatas 8 truk perjam. 1. Buat analisa karakteristik sistem jalur tunggal dan ganda 2. Upah sopir truk $10 perjam, upah petugas pemuat bata $6 perjam. Berapa penghematan jika punya 2 petugas pemuat batu bata