[Type the document title] MEKANIKA BATUAN
Pada mekanika batuan, gaya yang berlaku pada setiap titik di batuan tersebut berbeda-beda. Oleh karena itu, perlu sekali mendefinisikan adanya perbedaan gaya di setiap titik pada area tersebut, yang dinyatakan dalam gaya per unit area, yang dinyatakan sebagai traction. Secara umum, traction berubah-ubah sesuai orientasi permukaan dimana dia bekerja, dan ini dinyatakan sebagai stress tensor. Stress merupakan besaran tensor. Besaran tensor adalah besaran yang memperhatikan besar, arah, dan orientasi plane/permukaan tempat besaran tersebut bekerja. Hal ini berbeda dengan besaran skalar yang memerhatikan nilai saja (contohnya pressure) dan besaran vektor yang hanya memerhatikan nilai dan arah (contohnya gaya). Lihat gambar di bawah ini. a)
F cosθ
b) F
F cos θ
θ
F
θ θ
A A/cosθ
⁄
Gambar 1.Menyatakan bagaimana a).besaran vektor dan b). besaran skalar bekerja.
Inti dari perbedaan antara besaran vektor dan tensor adalah jika vektor menganggap bahwa setiap benda yang dikenai besaran adalah seragam, sedangkan besaran besar an tensor tidak menganggap sebuah sebu ah rigid body seragam sehingga pada penguraiannya, arah plane juga diperhitungkan. Secara umum stress dibagi menjadi dua, yaitu compressive stress dan shear stress. Compressive stress (dinyatakan dalam σ) adalah stress yang berarah berarah tegak lurus terhadap plane, sedangkan shear stress (dinyatakan dalam τ) adalah stress yang berarah sejajar denga n plane.
[Type text]
Page 1
[Type the document title] Misalkan terdapat sebuah batuan dengan stress yang bekerja di setiap sisinya seperti yang ditunjukkan gambar 2a. Perlu diingat bahwa dalam mekanika batuan, kondisi batuan yang ditinjau adalah equilibrium, yang berarti tidak ada perubahan posisi yang terjadi akibat stress yang bekerja pada batuan, baik berupa rotasi maupun translasi. Agar kondisi equilibrium terpenuhi, maka
dan compressive stress yang bekerja pada sisi yang sejajar memiliki
besar yang sama ( a)
dan
. b)
y
x
Gambar 2a memperlihatkan batuan dengan beserta arah strss yang bekerja pada setiap sisinya. Gambar 2b memperlihatkan batuan yang dirotasi dengan dengan sudut sembarang.
Stress tensor yang bekerja pada batuan dinyatakan dalam bentuk matriks seperti berikut :
*
Dalam kondisi nyata, posisi batuan sangat menentukan besarnya stress yang bekerja pada batuan. Seperti yang telah disinggung sebelumnya, besarnya stress dipengaruh oleh faktor arah stress itu sendiri dan orientasi permukaan batuan yang dikenai stress terhadap x-y plane, yang dalam hal ini dinyatakan dalam bentuk sudut (lihat gambar 2b). Karena orientasi permukaan berubah, maka besarnya compressive dan shear stress pada permukaan juga akan berubah menjadi Nilai compressive dan shear stress yang baru ini dapat dinyatakan dalam bentuk
[Type text]
dan
,
, dan
.
.
Page 2
[Type the document title] Tinjau salah satu sisi batuan terhadap arah x-y plane. Resultan dari
sedangkan
dapat diuraikan menjadi
dan
dan
adalah
,
. Diasumsikan batuan memiliki tebal seragam
(berada pada sumbu z yang tidak diperlihatkan pada gambar) dan panjang sisi batuan adalah . Pada sumbu x dan sumbu y bekerja stress
,
, dan
. Sudut
dengan sumbu x. Ilustrasi diperlihatkan pada gambar 3 di bawah ini.
adalah sudut antara
y
x
Gambar 3 menyatakan semua stress yang bekerja pada batuan, beserta penguraiannya.
Dari penguraian stress yang bekerja pada sumbu x dan sumbu y, maka dapat dijabarkan persamaan sebagai berikut :
∑ ∑ ( )( )
Compressive strength dapat dinyatakan dalam penjumlahan dari komponen berdasarkan orientasi plane .
[Type text]
dan
Page 3
[Type the document title]
Batuan berada pada kondisi equilibrium, sehingga dapat dikatakan bahwa
.
Penguraian shear stress menjadi :
( )( ) ( ) Persamaan untuk
dan
juga dapat dinyatakan dalam sudut
Untuk mempermudah perhitungan, parameter
menjadi :
dibuat nol dengan cara mengubah arah plane
yang bekerja pada batuan. Seperti yang terlihat pada gambar 4, dengan berubahnya permukaan batuan maka compressive strength juga akan berubah menjadi y
"
" x
"
"
Gambar 4 menyatakan batuan yang dirotasi sehingga t idak ada shear stress yang bekerja pada permukaannya.
[Type text]
Page 4
[Type the document title]
Persamaan
menjadi :
Denganan persamaan terakhir, dapat dibentuk hubungan trigonometri sebagai berikut :
( )
( ) ( )
θ
Tanda positif berlaku saat
, sedangkan tanda negatif berlaku saat
dapat diubah sebagai berikut ;
" " " ( ) ( ) ( ) " ( ) " ( ) " ( ) Persamaan untuk
.
Persamaan terakhir disebut dengan principal stress. Ada dua nilai principal stress, dimana nilai dengan tanda positif disebut maximum principal stress, sedangkan untuk nilai negatif disebut [Type text]
Page 5
[Type the document title] minimum principal stress. Hal yang perlu diperhatikan adalah perbedaan maximum dan 0
minimum principal stress adalah 180 dalam ukuran
, atau
. Dengan demikian dapat
disimpulkan bahwa maximum dan minimum principal stress saling tegak lurus. Seperti yang ditunjukkan oleh pada gambar 4, nilai maximum dan minimum principal stress adalah
" " dan
.
Koordinat x-y dapat diubah menjadi tegak lurus terhadap maximum dan minimum principal stress (lihat gambar 5a). Dengan mengubah koordinat x-y, maka ada parameter yang harus disesuaikan, yaitu
" " " ,
, dan
. Salah satu dari
atau
merupakan
maximum principal stress, sedangkan yang lainnya merupakan minimum principal stress. Hal ini belum dapat ditentukan sampai nilai setiap stress diketahui. Oleh karena itu bisa diasumsikan adalah maximum principal stress (dinyatakan dalam stress (dinyatakan dalam
).
) dan
adalah minimum pricncipal
Gambar 5a memperlihatkan x-y plane yang sejaj ar dengan principal stress. Gambar 5b memperlihatkan orientasi permukaan batuan yang berubah dan memebentuk sudut terhadap koordinat principal stress
Saat orientasi permukaan berubah terhadap sumbu x (ditunjukkan oleh gambar 5b), persamaan menjadi :
[Type text]
Page 6
[Type the document title] Kedua persamaan ini dapat digabungkan menjadi persamaan lingkaran.
Persamaan lingkaran ini disebut lingkaran Mohr. Plot grafik lingkaran Mohr digunakan untuk
mengetahui berapa besar nilai dan yang bekerja pada suatu permukaan dengan sudut sebesar
dari sumbu x. Nilai
sebesar
berkisar antara
sehingga rentang sudut pada lingkaran Mohr
. Lingkaran Mohr untuk gambar 5b diperlihatkan pada gambar 6.
Gambar 6 menunjukkan representasi gambar 5b yang diubah dalam bentuk diagram Mohr.
Dalam analisis kestabilan lubang bor (wellbore stability) pada proses pemboran, lingkaran Mohr merupakan salah satu bagian penting dalam menentukan kondisi kehancuran batuan (rock failure).
Misalkan sebuah benda yang terletak di sebuah permukaan kasar diberikan gaya sebesar , maka gaya minimal yang dibutuhkan untuk menggerakkan benda sebesar gaya friksinya (lihat gambar 7a). Jika dinyatakan dalam persamaan, maka :
[Type text]
Page 7
[Type the document title] dimana
adalah koefisien friksi dan
dimana gaya benda.
bekerja, maka gaya
adalah gaya normal. Jika ditinjau pada permukaan
sama dengan gaya geser (shear force) pada permukaan
a)
b)
Gambar 7a memperlihatkan sebuah benda yang memiliki gaya friksi sebagai hambatan, sedangkan gambar 7b merupakan kondisi failure batuan yang mekanismenya serupa dengan gambar a.
Saat benda dibuat menjadi sekecil mungkin (yang berarti permukaan dimana gaya bekerja juga sangat kecil), gaya akan sebanding dengan stress. Oleh karena itu, persamaan dapat diubah menjadi :
Hal yang serupa juga dapat terjadi pada batuan.Saat batuan mengalami rekahan, shear stress maksimum agar batuan tidak bergerak, yang pada mekanika batuan disebut dengan shear failure, sebesar compressive stress dikalikan koefisien friksi batuan. Pada batuan yang belum memiliki rekahan, shear stress maksimum didefinisikan dalam :
dimana
disebut dengan cohesive stress, yaitu stress yang dibutuhkan agar batuan rekah.
Cohesive stress merupakan kekuatan ikatan semen dari batuan. Persamaan terakhir ini dapat dibentuk dalam grafik compressive stress dan shear stress bersama dengan lingkaran Mohr
seperti gambar 8. Koefisien friksi
bentuk sudut friksi dimana
[Type text]
merupakan gradient persamaan, yang dinyatakan dalam .
Page 8
[Type the document title] Daerah di bawah garis merupakan kondisi batuan tidak mengalami failure
garis lurus merupakan kondisi failure batuan
dan
. Daerah di atas garis juga
menggambarkan kondisi hancurnya batuan, hanya saja sebagai hubungan kualitatif. Hal ini dikarenakan lingkaran Mohr hanya menggambarkan kondisi intact rock saja.
Gambar 8 merupakan grafik Mohr circle dan kondisi failure bat uan.
⁄
Saat batuan mengalami failure, terdapat hubungan antara
dan
. Hubungan tersebut
dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut :
Nilai
bisa didapat dari pengukuran lab UCS (Uniaxial Compressive Strength) atau TCS
(Triaxial Compressive Strength). Maka dapat diketahui orentasi permukaan dimana batuan mengalami shear failure.Hubungan antara shear failure dengan gambar 9.
dan
diperlihatkan pada
1− 2
1+ 2
Gambar 9 menunjukkan hubungan antara Mohr circle dan shear failure dan besaran-besaran yang diperlukan dalam perhitungan.
[Type text]
Page 9
[Type the document title] Sesuai dengan bentuk trigonometri, maka :
Persamaan dapat dinyatakan dalam bentuk menjadi :
didefinisikan sebagai unconfined compressive strength. Persamaan juga dapat dinyatakan
dalam bentuk menjadi :
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
Nilai
memiliki kisaran antara
[Type text]
.
Page 10
[Type the document title] Selain kondisi shear failure, batuan juga dapat mengalami kondisi tensile failure. Tensile failure terjadi pada saat compressive stress bernilai negatif, dan terjadi saat batuan
, dimana
adalah unconfined tensile strength (didapat dari Brazilian Test). Kebanyakan batuan memiliki nilai
yang jauh lebih kecil dibandingkan
.
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa kondisi batuan dimana tidak terjadi failure adalah :
(shear failure) (tensile failure)
Dalam analisis wellbore stability, kondisi failure inilah yang harus dihindari dan dengan demikian, harus dilakukan desain densitas mud dan trajektori yang tepat agar kedua kondisi di atas tetap terjaga. Batuan yang terdapat pada subsurface tidak hanya mendapat stress dari luar saja (seperti overburden stress, stress akibat pergerakan lempeng, dll.), namun juga mendapat stress dari dalam batuan itu sendiri, yaitu dari fluida di dalam batuan (disebut juga dengan pore pressure). Pore pressure bernilai sama, memberikan normal stress ke segala arah. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa pore pressure adalah bentuk skalar dari stress. Pore pressure memberikan “hambatan” terhadap stress dari luar batuan sehingga besarnya stress efektif (effective stress) yang diterima batuan harus didefinisikan. Misalkan sebuah batuan dengan ukuran grain beragam dan terdapat fluida di dalamnya diberikan stress dari luar batuan tersebut (lihat gambar 10a).
a)
b)
Gambar 10a memperlihatkan sebuah batuan yang diberikan compressive stress. Akibat adanya stress, maka akan ada kontak antar butir. Gambar 10b menunjukkan diagram gaya yang terjadi pada buir batuan.
[Type text]
Page 11
[Type the document title] Kontak antar butir batuan diperjelas pada gambar 10b. Ada dua gaya yang bekerja pada butir, yaitu gaya dari stress luar
dan gaya yang diterim butir
. Resultan kedua gaya ini membuat
susunan butir batuan berada dalam kondisi equilibrium, sehingga dapat dinyatakan dalam
. Gaya
terbagi menjadi dua bagian, yaitu gaya yang bekerja pada butir batuan
gaya pada butir akibat fluida di dalamnya menjadi
dan
. Oleh karena itu, persamaan dapat dituliskan
. Persaman juga dapat diuraikan ke dalam bentuk stress menjadi :
Perlu diingat bahwa diterima oleh
sehingga
. Persamaan
butir batuan, dapat dinyatakan dalam
merupakan effective stress yang
. Oleh karena itu, effective stress
dinyatakan dalam bentuk :
Akan tetapi berdasarkan percobaan yang dilakukan, persamaan di atas perlu dimodifikasi, mengingat besarnya pore pressure yang memengaruhi stress bergantung pada jenis batuannya. Persamaan baru didefinisikan sebagai :
dimana merupakan konstanta Biot. Parameter
adalah bulk modulus batuan, sedangkan
adalah bulk modulus butir batuan.
Batuan yang dikenai stress pasti akan mengalami perubahan bentuk, seberapapun kecilnya. Perubahan bentuk ini dinyatakan dalam bentuk strain. Secara umum, ada dua jenis strain, yaitu axial strain dan shear strain. a)
b)
∗
Gambar 11 memperlihatkan a) axial strain dan b) shear strain.
[Type text]
Page 12
[Type the document title] Definisi dari axial strain dan shear strain dinyatakan sebagai berikut :
∗
Hubungan antara stress dan strain dinyatakan dalam beberapa bentuk, yaitu :
∗ ∗
∗
∗
∗
∗
Shear Modulus dan Bulk Modulus dapat dinyatakan dalam Poisson Ratio dan Modulus Young menjadi :
Pemboran membuat lubang pada batuan. Adanya lubang (cavities) pada batuan menyebabkan stress yang bekerja di sekitar lubang berubah. Kirsch (1898) mengembangkan persamaan untuk
[Type text]
Page 13
[Type the document title] mendefinisikan stress yang bekerja saat terdapat lubang pada batuan (penurunan rumus tidak diberikan disini).
( ) ( ) ( ) Namun persamaan ini hanya berlaku pada kondisi vertical well, padahal saat ini sebagian besar well yang dibor adalah directional dan horizontal. Misalkan terdapat wellbore dengan orientasi seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah.
ℎ
ℎ
[Type text]
Page 14
[Type the document title] Saat pemboran directional well, x-y-z plane akan berubah orientasi sehingga stress
ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ
dan
yang bekerja juga akan berubah. Oleh karena itu, nilai stress tersebut harus ditransformasi ke
dalam x-y-z plane yang sesuai dengan orientasi well. Persamaannya adalah :
Langkah-langkah analisis geomekanik pada batuan adalah sebagai berikut : 1. Diketahui parameter
ℎ dan
.
2. Ubahlah stress yang bekerja dalam bentuk wellbore dengan persamaan :
ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ
3. Ubahlah parameter
Kirsch pada kondisi
dan
dan
ke dalam bentuk
agar sesuai dengan orientiasi
dan
dengan persamaan
. Persamaannya dinyatakan di bawah ini :
( ) [( ) ] [Type text]
Page 15
[Type the document title]
( )
4. Ubahlah
dan
ke dalam bentuk principal stress dengan persamaan berikut :
Dari ketiga nilai tersebut, tentukan nilai maximum dan minimum principal stress. 5. Tentukan kondisi failure yang terjadi pada batuan dari persamaan :
dimana
(shear failure) (tensile failure)
merupakan principal stress
( )
. Kondisi shear failure biasa disebut
dengan breakout, sedangkan kondisi tensile failure biasa disebut dengan drilling induced fractures. Beberapa kemungkinan kondisi failure yang bisa terjadi dijabarkan sebagai berikut :
[Type text]
+ + + + + dan
dan
dan
dan
Page 16